高等数学下册知识点总结

高等数学下册知识点

二. 极限性质:

1. 类型: *; *(含); *(含)

2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):

3. 未定型:

4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:

, , ,

, , , , lim n n a →∞lim ()x f x →∞

x →±∞0

lim ()x x f x →0x x ±

→000,

,1,,0,0,0∞

∞∞-∞⋅∞∞∞

11n n →1(0)1n a a >→1()max(,,)n

n

n n

a b c a b c ++→()00!

n

a a n >→1(0)x x

→→∞0lim 1x

x x +

→=lim 0n x x x e →+∞=ln lim 0n x x x →+∞=

, 四. 必备公式:

1. 等价无穷小: 当时,

; ; ; ; ; ;

;

第八章 空间解析几何与向量代数

（一） 向量及其线性运算

1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；

2、 线性运算：加减法、数乘；

3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；

4、

利用坐标做向量的运算：设，，

则 , ；

5、 向量的模、方向角、投影：

1） 向量的模：

；

2） 两点间的距离公式：

0lim ln 0n

x x x +

→=0,

x

x e x →-∞

⎧→⎨+∞→+∞

⎩()0u x →sin ()()u x u x :tan ()()u x u x :2

11cos ()()2

u x u x -:

()

1()u x e

u x -:ln(1())()u x u x +:(1())1()u x u x αα+-:arcsin ()()u x u x :arctan ()()u x u x :),,(z y x a a a a =ρ

)

,,(z y x b b b b =ρ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρ

ρ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ2

22z y x r ++=ρ

2

12212212)

()()(z z y y x x B A -+-+-=

3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角

4） 方向余弦：

5） 投影：，其中为向量与的夹角。

（二） 数量积，向量积

1、 数量积：

1）

2）

2、 向量积：

大小：，方向：符合右手规则

1）

2）

γ

βα,,r

z

r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβαϕcos Pr a a j u

ρρρ

=ϕa ρu

ρ

运算律：反交换律

（三） 曲面及其方程

1、 曲面方程的概念：

2、 旋转曲面：

面上曲线，

绕轴旋转一周：

绕轴旋转一周：

3、 柱面：

表示母线平行于轴，准线为的柱面

4、 二次曲面

1） 椭圆锥面：

z

y

x

z y x

b b b a a a k j i

b a ρρρρ

ρ=⨯

2）椭球面：

旋转椭球面：

3）单叶双曲面：

4）双叶双曲面：

5）椭圆抛物面：

6）双曲抛物面（马鞍面）：7）椭圆柱面：

8）双曲柱面：

9）抛物柱面：

（四）空间曲线及其方程

1、 一般方程：

2、 参数方程：，如螺旋线：

3、 空间曲线在坐标面上的投影

，消去，得到曲线在面上的投影

（五） 平面及其方程

1、 点法式方程：

法向量：，过点

2、

一般式方程：

截距式方程：

3、

两平面的夹角：，，

),,(C B A n =ρ

),,(1111C B A n =ρ),,(2222C B A n =ρ

2

2

22222121212

12121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=

θ⇔∏⊥∏210212121=++C C B B A A

4、

点

到平面

的距离：

（六） 空间直线及其方程

1、 一般式方程：

2、

对称式（点向式）方程：

方向向量：，过点

3、 参数式方程：

4、

两直线的夹角：，，

⇔∏∏21//2

1

2121C C B B A A ==

2

22000C B A D

Cz By Ax d +++++=

p

z z n y y m x x 0

00-=-=-),,(p n m s =ρ

),,(1111p n m s =ρ),,(2222p n m s =ρ

22

22

22

21

21

21

212121cos p

n m p n m p p n n m m ++⋅++++=

ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m ⇔21//L L 2

1

2121p p n n m m ==