南昌二中高中物理竞赛热学教程第四讲 动量 角动量和能量
南昌二中高中物理竞赛热学教程第四讲 动量 角动量和能量
第四讲 动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。
4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ∆叫做冲量。
4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。
在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：x tx x mv mvt F 0-=∆ y ty y mv mv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t -第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到：1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ）即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
高中物理竞赛讲义-角动量
角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
高二物理竞赛角动量、角动量守恒课件
mv
m
A
2
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
mv
r
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
3
L
o•
r
mv
m
L r mv
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum. Law
of Conservation of Angular Momentum)
一）角动量
例如天文上行星围绕太阳转。
1
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
o•
r
M1
M内内2力力矩ddFt 1M(2L11F0.M21L220)4
O
M两 1对式 质M点10 （ 1dd）Lt1：
1
相加： M1 M10 M 2
M对M2质02内M点力Mdd1（t0矩2(0L21）Md：dLLt222)0320
13
i
F
Fi 0,
i
F
Mi 0
i
11
力矩：
M rF
角动量 L r mv r p
角动量也称动量矩 质点系的角动量
L Li ri piii来自12F1Z
对多个质点而言：
（以两个质点为例）
r1
m1 d
r Y
F12
F21
2X
m2
F2如外分图力别设矩受有外质M力点1.MmF211。mF22
力学4角动量功和能
r F2 ...) drr ...
drr
A1 A2 ...
可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别
对该物体所做功的代数和。
注意：
(1) 力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关， 而且往往与路径有关。
(2) 功是标量，但有正负，且与参考系有关。
2. 功率 ——做功的快慢
功率：力在单位时间内所做的功。
f拉—— 有心力
角动量守恒：
rr
O
L2 L1 L2 L1
r1mv1 r2mv2
v2
r1 r2
v1
显然: v2 v1
问题：若取O′为参考点呢？
例6.用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律:
行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,
即行星的矢径的面积速度为恒量。
动画
解：在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积可
3.
若或质点MLr 的0rr角动Pr则量 L恒守rt 矢恒Lr量定0 律——角动量0t守Mr恒dt定律Lrt
r L0
注意:
（1）是普遍规律,宏观、微观均适用。 F
r r
F
（2）
M
rF 0
Frr// F0，rr 0
力心
（3）质有点心对力力：心运的动角质动点量所守受恒的。力总rr是/通/ F过r一个固定点。
GMm r
是位置的函数， “引力势能” 结论：保守力作的功，
Aab (E pb E pa ) E p 等于势能增量的负值。
注：势能是属于物体系统的,不为单个物体所具有。
（1）保守力(如: 重力,弹力,万有引力)的功与路
径无关, 由此可以引入的势能概念。
（2）质点在任一位置的势能, 等于把质点由该位置
高中物理竞赛辅导教程(新大纲版)
高中物理竞赛辅导教程(新大纲版)一、力学部分1. 运动学- 基本概念：位移、速度、加速度。
位移是矢量，表示位置的变化；速度是描述物体运动快慢和方向的物理量，加速度则反映速度变化的快慢。
- 匀变速直线运动公式：v = v_0+at，x=v_0t+(1)/(2)at^2，v^2-v_{0}^2 = 2ax。
这些公式在解决直线运动问题时非常关键，要注意各物理量的正负取值。
- 相对运动：要理解相对速度的概念，例如v_{AB}=v_{A}-v_{B}，在处理多个物体相对运动的问题时很有用。
- 曲线运动：重点掌握平抛运动和圆周运动。
平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；圆周运动中要理解向心加速度a =frac{v^2}{r}=ω^2r，向心力F = ma的来源和计算。
2. 牛顿运动定律- 牛顿第二定律F = ma是核心。
要学会对物体进行受力分析，正确画出受力图。
- 整体法和隔离法：在处理多个物体组成的系统时，整体法可以简化问题，求出系统的加速度；隔离法用于分析系统内单个物体的受力情况。
- 超重和失重：当物体具有向上的加速度时超重，具有向下的加速度时失重，加速度为g时完全失重。
3. 动量与能量- 动量定理I=Δ p，其中I是合外力的冲量，Δ p是动量的变化量。
- 动量守恒定律：对于一个系统，如果合外力为零，则系统的总动量守恒。
在碰撞、爆炸等问题中经常用到。
- 动能定理W=Δ E_{k}，要明确功是能量转化的量度。
- 机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的系统内，机械能守恒。
要熟练掌握机械能守恒定律的表达式E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}。
二、电磁学部分1. 电场- 库仑定律F = kfrac{q_{1}q_{2}}{r^2}，描述真空中两个静止点电荷之间的相互作用力。
- 电场强度E=(F)/(q)，电场线可以形象地描述电场的分布情况。
- 电势、电势差：U_{AB}=φ_{A}-φ_{B}，电场力做功与电势差的关系W = qU。
高中物理竞赛动量和能量知识点讲解
高中物理竞赛动量和能量知识点讲解一、冲量和动量1、冲力（F —t 图象特征）→ 冲量。
冲量定义、物理意义冲量在F —t 图象中的意义→从定义角度求变力冲量（F 对t 的平均作用力）2、动量的定义 动量矢量性与运算二、动量定理1、定理的基本形式与表达 2、分方向的表达式：ΣI x =ΔP x ，ΣI y =ΔP y …3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。
即tP ∆∆=ΣF 外 三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件 a 、原始条件与等效 b 、近似条件c 、某个方向上满足a 或b ，可在此方向应用动量守恒定律四、功和能 1、功的定义、标量性，功在F —S 图象中的意义 2、功率，定义求法和推论求法3、能的概念、能的转化和守恒定律4、功的求法a 、恒力的功：W = FScos α= FS F = F S Sb 、变力的功：基本原则——过程分割与代数累积；利用F —S 图象（或先寻求F 对S 的平均作用力）c 、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点五、动能、动能定理 1、动能（平动动能）2、动能定理a 、ΣW 的两种理解b 、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a 、保守力与耗散力（非保守力）→ 势能（定义：ΔE p = －W 保）b 、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达2、机械能3、机械能守恒定律a 、定律内容 b 、条件与拓展条件（注意系统划分） c 、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。
七、碰撞与恢复系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能损失分类）碰撞的基本特征：a 、动量守恒；b 、位置不超越；c 、动能不膨胀。
2、三种典型的碰撞a 、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。
满足——m 1v 10 + m 2v 20 = m 1v 1 + m 2v 221 m 1210v + 21 m 2220v = 21 m 121v + 21 m 222v 解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：v 1 = 21201021m m v 2v )m m (++-， v 2 = 121020122)(m m v v m m ++- 对于结果的讨论：①当m 1 = m 2 时，v 1 = v 20 ，v 2 = v 10 ，称为“交换速度”；②当m 1 ＜＜ m 2 ，且v 20 = 0时，v 1 ≈ －v 10 ，v 2 ≈ 0 ，小物碰大物，原速率返回；③当m 1 ＞＞ m 2 ，且v 20 = 0时，v 1 ≈ v 10 ，v 2 ≈ 2v 10 ，b 、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律c 、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有v 1 = v 2 = 21202101m m v m v m ++ 3、恢复系数：碰后分离速度（v 2 － v 1）与碰前接近速度（v 10 － v 20）的比值，即： e = 201012v v v v -- 。
高中物理竞赛第4章刚体力学及角动量合集4-2
m
§4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量 1 刚体定轴转动的角动量 r
1
刚体以角速度
绕定轴转动,刚体上每 一质点都以相同的角速度绕轴作圆周运 动.其中质点 mi 对轴的角动量
m1
m i
Li mi vi ri mi ri
2
于是刚体上所有质点对轴的角动量,即刚 体对定轴的角动量为
区别： 平动： 平动动能 转动： 转动动能
1 2 mv 线动量 2
1 2 J 2
角动量
mv
J
质量是平动中惯性大小的量度。
转动惯量是转动中惯性大小的量度。
几种常见刚体的转动惯量：
细棒
L L
m
1 2 J mL 12
1 2 J mL 3
细棒
m
薄圆环 R 或薄圆筒 圆盘或 圆柱体
m
R
J mR 2
J
，
1 2 E K J 2
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义有
J ri mi
2
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r dm
2
dm —质元的质量
r—质元到转轴的距离
转动惯量的计算
ri
L mi ri ( mi ri ) J
2 2
刚体的角动量
式中
2 m r i i 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯
量，用J表示。 刚体转动惯量：
J mi ri
刚体绕定轴的角动量表达式：
2
Lz J
刚体的转动动能
高二物理竞赛角动量定理角动量守恒定律课件
的速率向东奔跑, 他感到风从北方吹来,当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向吹来, 求风的速度。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变
A,B,C三个质点相互间有相对运动
M dL F dp
dt
dt
对质点系而言：（以两个质点为例）
设有质点m1 、 m2
分别受外力 F1 F2
外力矩 M1 M2
作用在质点系的角冲量等于系 统角动量的增量。
三、角动量守恒定律
若 则：
M合
dL
外
力
矩 0
0L
恒矢量
dt
M dL dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所 受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考 点的角动量将保持不变。
注意：角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无 论在宏观上还是微观领域中都成立。
已知：
v sd = 10 正东
vcs
v fd = 10 v cs = 20
正西 北偏西30o
•
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
vcs vcd
v fd v fc vcd
300
v fc v fd vcd
人地 cos 450
2人
地
4.23(m
s
1
)
质点动力学(二) 人 地 人 地
450 450
风 人
风 地
二、力学的相对性原理
aAC aAB aBC
aBC 0, 同一质点的加速度在两个相互间作匀速 aAC aAB 直线运动的参照系中是相同的。
在牛顿力学中,力与参考系无关，质量与运动无关 F F
南昌二中高中物理竞赛热学教程第四讲物态变化.doc
l = (u - u ) + p (V - V )L(u - u ) 称为内潜热，p (V - V ) 称为外水 潜热。
三相图：将同一种物质的汽化曲线 OK 、458mmHgL时 临界点 ，可以存在沸腾现象 S c第四讲 物态变化 §4.1 相与相变相:指的是热学系统中物理性质均匀的部分，一个相与其他部分之间有一定的分界面隔离 开来。
例如冰和水的混合物中，因为冰和水的物理性质不同，故为不同的相，但它们的化学 成份相同。
一种化学成分称为“一元”，因此冰水混合物称为单元二相系，而水和酒精的混合 物就是二元单相系。
相变：不同相之间的相互转变称为相变。
相变特点：伴随物态的变化；要吸收或放出的热量。
相变潜热：相变时吸收或放出的热量统称相变潜热。
2 1 2 1218atmK2121冰1at m汽熔解曲线(熔点随外界压强的变化关系)OL 、升S华曲线(固体上饱和气压随温度的变化关系)OS 同时画在 P-T 图上，我们就能标出固、 0 0.01 100 374 t o c液、气三态存在的区域，这称为三相图。
每条曲线对应着两态平衡共存的情况。
三条曲线的交点 O ，对应三态平衡共存的状态，称为三相点。
如下图为水的三相图。
水的水相点 O 是水、冰、水蒸气平衡共存的状态，其饱和水汽压P = 4.58mmHgS、温度 T=273.16 开 0.01℃，这是国际温标规定的基本固定点。
因为水的三相点是唯一的，不像冰点和汽点那样会随外界压强的变化而变化。
例 如图 4-1-1 所示的 P-T 图线中，表示了一定质量某种物质的不同物相所存在的区域。
下面有关这种物质的几个说明P L中，哪些是正确的？()A.当 T > T三相点 ，可以存在升华现象固液 K临界点B.在凝固过程中体积增大 T > TC.当时三相点气D.当 p < p 三相点 时，它是一种稳定的液体E.以上说法都不对O 汽 T t o分析:将液体和固体上方的饱和汽压随温度变化的曲线 SK ， 图 4-1-1 升华曲线 SO ，以及熔点随温度变化的熔化曲线 SL ，同时画在P-T 图上(图 2-1-1)，我们就能标出固、液、汽三态存在的区域；每条曲线对应着两态平衡共存 的情况，三根曲线的交点 S ，对应着三态平衡共存的惟一状态，称为三相点，图线叫三相图。
高二物理竞赛动量矩和角动量课件
w
13 rad/s
利用平衡位置Ｘ０
R
v
θ
m
h
P
h
P
h
Q
h
Q
P
Q
O
在 P — Q 过程中机械能守恒
Q
h
Q
m
h
P
g
m
g
+
1
2
m
v
2
··· (1)
在 Q 点处脱离球面时，质点动力学方程为
··· (2)
m
v
2
cos
m
g
q
R
——对 z 轴的转动惯量
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
球体
细棒
细棒
——平行轴定理
——理想气体状态方程
对Mkg的理想气体
理想气体状态方程
若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数约减少了_____%
分子的平均平动动能
理想气体的温度公式
速率小结
三种速率小结
最概然速率
v
p
1
.
4
1
=
k
T
2
m
=
R
T
m
平均速率
v
1
.
6
0
=
R
T
m
=
k
T
m
8
p
方均根速率
a
A
F
b
a
d
r
h
b
E
p
初态势能
末态势能
E
p
系统势能增量的负值
变质量问题 微分形式 动量定律 动量守恒
高二物理竞赛动量和角动量课件 (1)
1）微分形式： dI Fdt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fdt 表示力的时间累积，叫做时间d t 内合外力 F的冲量。
2）积分形式： I
t2
F
d
t
若为恒力： I Ft
t1
说 明： ( 1 ) 单位：N s或kg m s1
（2）冲量的叠加：合力的冲量等于各个分力冲量的矢量和。
I (t2 t1
Fi )dt
vA2
A
anA
vA v0 cos
anA g
联立上述三式得
A
v
2 0
cos2
g
anB g
由题图，对B点有，
vB2
B
anB
vB v0 anB g cos
联立上述三式得
B
v02
g cos
4.1.1、动 量
与质量和速度 有关的状态量
4.1 动量定理
度量质点 运动的量
质点动力 学问题
动量
p = mv
重力（外力）
F冲 F mg 3200 2 3200 N 的冲量可忽略
2)冲力的冲量：
F t2
t1 冲
d
t
F t
3.2kgm /s
重力的冲量： mgt 2 10 3 kgm/s
12
4.1.3、质点系的动力学方程
F1
由两个质点组成的质点系：
m1
m2
: F1
: F2
f1
f2
dp1 dt
第4章 动量和角动量
(一）
1
(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 （或以
第一章作业讲解
[1-10]在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为 a g Bv , g为重力加速度， B为与物体的质量、形状及
高中物理竞赛 动量 角动量和能量
动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。
4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ∆叫做冲量。
4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。
在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：x tx x mv mv t F 0-=∆ y ty ymvmv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t - M M第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到：1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ）即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
第4章动量与角动量概论
xdm
dm
a 2 2x 2dx
0
a2
2xdx
0
2a 3
15
§4-3 动量守恒定律
质点系的动量定理：
t
t0 Fidt p p0
当
Fi 0 时，
有
p p0
动量守恒定律：
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
p
mi vi
常矢量
条件： Fi 0
16
说明：
（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动 量不变，而是指系统动量总和不变。
质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的冲量等
于质点动量的增量。
说明：
（1） 冲量的方向 I 与动量增量 p 的方向一致。
（2） 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加 原理。常把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式 进行计算。
5
t
I x t0 Fxdt mvx mvx0
t
I y t0 Fydt mvy mvy0
zC
mi zi mi
xC
xdm dm
yC
ydm dm
zC
zdm dm
说明： 对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在 它的几何对称中心。
12
4-2-3 质心运动定理
质心位置公式：
m drC
dt
mi
dri dt
mrC
mi ri
mvC mivi
结论： 质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度 的乘积。
（2） 系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量 和除以系统的总质量。
14
例5 求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板质心的
高中物理竞赛第4章刚体力学及角动量合集4-5
力矩的功
因
Fr sin M
d A M d
力矩作功：
A M d M d
0
0
对于刚体定轴转动 情形，因质点间无相对 位移，任何一对内力作 功为零。
r
0‘
d
dr
F
P
2.定轴转动的动能定理
根据定轴转动定理 则物体在
d t时间内转过角位移 d d t 时
将上式与 J
m0v0 a 联立，并代入J 值，得
1 2 3 v0 (ml 2m0 a)(ml 2 3m0 a 2 ) g m0 a 6
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-11 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端 点 O 的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释 放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物 体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物 体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地 面的最大高度 h ，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆 的条件。
a
பைடு நூலகம்
1 2 l m0 E0 J mg (a ) 2 2 l E m0 ga(1 cos ) mg (a cos ) 势能零点 2
定轴转动刚体的角动量守恒定律
由机械能守恒，E=E0, 代入=300，得：
1 l 3 l 3 2 J mg (a ) m0 ga(1 ) mg (a ) 2 2 2 2 2
（2）
式中’是棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 ’取 正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
解： 这个问题可分为三个阶段 进行分析。第一阶段是棒自由 摆落的过程。这时除重力外， 其余内力与外力都不作功，所 以机械能守恒。我们把棒在竖 直位置时质心所在处取为势能
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第四讲 动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。
4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ∆叫做冲量。
4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。
在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：x tx x mv mvt F 0-=∆ y ty y mv mv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t -第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到：1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ）即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
§4，2 角动量 角动量守恒定律动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。
它的求法跟力矩完全一样，只要把力F 换成动量P 即可，故B 点上的动量P 对原点O 的动量矩J 为P r J⨯= （r=）以下介绍两个定理：（1）.角动量定理：质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即M dt dJ= （M 为力矩）。
（2）．角动量守恒定律如果质点不受外力作用，或虽受外力作用，但诸外力对某点的合力矩为零，则对该点来讲，质点的动量矩J 为一恒矢量，这个关系叫做角动量守恒定律 即 r ×F=0，则J=r ×mv=r ×P=恒矢量§4.3动量守恒定律动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的，首先在碰撞问题的研究中发现了它，随着实践范围的扩大，逐步认识到它具有普遍意义，对于相互作用的系统，在合外力为零的情况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。
即： t v m 11+t v m 22+……+n n v m =+'+'2211v m v m ……n n v m ' 上式就是动量守恒定律的数学表达式。
应用动量守恒定律应注意以下几点：（1）动量是矢量，相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和，而不是代数和，在具体计算时，经常采用正交分解法，写出动量守恒定律的分量方程，这样可把矢量运算转化为代数运算，（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量恒定不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化，系统的内力只能改变系统内物体的动量，却不能改变系统的总动量。
在合外力不为零时，系统的总动量就要发生改变，但在垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。
（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当作合外力为零进行处理，动量守恒定律成立。
如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似认为守恒。
（4）动量守恒定律是由牛顿定律导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。
因此，动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。
动量守恒定律的推广 由于一个质点系在不受外力的作用时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态，这个讨论包含了三层含意：（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。
（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。
（3）如果一个质点系的质心在某一个外力作用下作某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。
比如某一物体原来做抛体运动，如果突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。
如果一个质量为A m 的半圆形槽A 原来静止在水平面上，原槽半径为R 。
将一个质量为B m 的滑块B 由静止释放（图4-3-1），若不计一切摩擦，问A 的最大位移为多少？由于A 做的是较复杂的变加速运动，因此很难用牛顿定律来解。
由水平方向动量守恒和机械能守恒，可知B 一定能到达槽A 右边的最高端，而且这一瞬间A 、B 相对静止。
因为A 、B 组成的体系原来在水平方向的动量为零，所以它的质心位置应该不变，初始状态A 、B 的质心距离圆槽最低点的水平距离为：Rm m m s BA B⋅+=。
所以B 滑到槽A 的右边最高端时，A 的位移为（图4-3-2）Rm m m s BA B⋅+=22如果原来A 、B 一起以速度v 向右运动，用胶水将B 粘在槽A 左上端，某一时刻胶水突然失效，B 开始滑落，仍然忽略一切摩擦。
设从B 脱落到B 再次与A 相对静止的时间是t ，那么这段时间内A 运动了多少距离？B 脱落后，A 将开始做变加速运动，但A 、B 两物体的质心仍然以速度v 向右运动。
所以在t 时间内A 运动的距离为：Rm m m vt L B A B+-=2§4.4 功和功率 4．4．1功的概念力和力的方向上位移的乘积称为功。
即θcos Fs W = 式中θ是力矢量F 与位移矢量s 之间的夹角。
功是标量，图4-3-1 F 1F有正、负。
外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。
对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即 i si F W i θcos ∆∑=也可以用F=F （s ）图象的“面积”来表示功的大小，如图4-4-1所示。
由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功的大小可以有不同的数值，但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。
因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相对位移是与参照系无关的。
值得注意的是，功的定义式中力F 应为恒力。
如F 为变力中学阶段常用如下几种处理方法：（1）微元法；（2）图象法；（3）等效法。
4．4．2. 几种力的功下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。
具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。
不具有这种特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。
（1）重力的功 重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度1h 处将重力为mg 的物移到高2h 处。
重力做功为：)(12h h mg W c -=，显然与运动路径无关。
（2）弹簧弹力的功物体在弹簧弹力F=-kx 的作用下，从位置1x 运动至位置2x ，如图4-4-2（a ）所示，其弹力变化F=F （x ）如图4-4-2（b ）所示则该过程中弹力的功W 可用图中斜线“面积”表示，功大小为222112212121)(2)1(kx kx x x x kx W -=-⋅+-=（3）万有引力的功质量m 的质点在另一质量M 的质点的作用下由相对距离1r 运动至相对距离2r 的过程中，引力所做功为1221)11(r G M mr G M m r r G M m W -=--= 4．4．3.功率作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为t W P =求瞬时功率，取时间0→∆t 则为θθcos cos 00v F t s F Iim t W Iim P t t ⋅=∆∆=∆∆==→∆→∆12)(a 图4-4-2式中v 为某时刻的瞬时速度，θ为此刻v 与F 方向的夹角 §4．5 动能 动能定理 4．5．1． 质点动能定理质量m 的质点以速度v 运动时，它所具有动能k E 为:221mv E k =动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功，其关系是:W 外=21K K K E E E -=∆上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。
4．5．2．质点系动能定理若质点系由n 个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其它质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。
设质点系由N 个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i 个质点用质点动能定理i W 外+i W 内=21222121i i i i v m v m -对所有n 个质点的动能定理求和就有∑i W 外+∑i W 内=21222121i i i i v m v m ∑-∑若用W 外、W 内、2K E 、1K E 分别表示∑i W 外、∑i W 内、2221i i v m ∑、2121i i v m ∑则上式可写成W 外+ W 内=2K E -1K E由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。
和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W 内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。
这一点有时在解题时十分有效。
§4．6 势能4．6．1 势能若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。
存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。
规定保守力所做功等于势能变化的负值，即W 保=P E ∆-。
（1）势能的相对性。
通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。
原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。
（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。