线面垂直的性质
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
a
l
a
a l
作用： 面面垂直线面垂直
垂直体系
判定
判定
线线垂
线面垂直 面面垂直
直
定义
性质
问题2 , a , a ,判断a与位置关系
α
a
a //
l
问题3： β
思考：已知平面，，直线a,且 , AB,
a //, a AB,试判断直线a与平面的位置关系。
α
Aa
β
a⊥β
符号语言：
ab
a ,b a / /b
α
线面垂垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
∵BC 平面SBC
A
C
∴AD⊥BC
∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴SA⊥BC
“从已知想性质，从求证
∵SA∩AD=A，
想判定”这是证明几何问
∴BC⊥平面SAB
题的基本思维方法．
∵AB 平面ABC ∴AB⊥BC
课堂小结
1、证题原则：注从已意知想辅性助质，线从求的证作想判用定
B
例3 , a , a ,判断a与位置关系
证明：设 l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
b
bl
l
b 又a
线面垂直
a // b 性质
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理
线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。
简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。
由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。
线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。
该定理也可以用图形来表示，如下图所示：
从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。
而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的，同样CD也与mn是垂直的。
线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。
同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。
由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。
它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB DE ⊥ 9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PADVDCBA SA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
线面垂直的性质定理
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
a
①交换“平行”与“垂直”
b
a ⊥α,b ∥α a⊥ b α
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
ba
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” α
①a ⊥α,a⊥ b b ∥α 或 b
② 无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
线线垂直 线面垂直
关键：线不在多，相交则行
二、新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
无忧PPT整理发布
3 线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
a
②交换“直线”与“平面” α
a ⊥α,β ∥α a⊥β
2.逆向探究：
β
交换“条件”与“结论”
①a ⊥α,a⊥ b b//或 b
②a ⊥α,β ∥α a⊥β
无忧PPT整理发布
随堂测试
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
一、知识回顾
1. 直线和平面垂直的定义？
如果直线和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂 直.
高中数学必修二4.线面垂直的性质及判定
αO A B CαOAB授课内容 线面垂直的判定及性质教学内容知识梳理1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4、斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。
直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角【同步练习】1、下列命题中正确的个数是（ ）①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则α⊥l ； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则α⊥l ；③如果直线l 不垂直于α，则α内也没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也有无数条直线与l 垂直。
A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、若直线l ⊥平面α，直线α⊂m ，则（ ）A 、m l ⊥B 、l 可能和m 平行C 、l 和m 相交D 、l 和m 不相交3、直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ） A 、β⊥a B 、a ∥β C 、β⊂a D 、β⊂a 或a ∥β4、给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；③互相平行的两条直线，在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ④过点P 有且仅有一条直线与异面直线l ，m 都垂直。
线面垂直的判定与性质
l
P
l
P P
l
线面垂直的判定与性质
线面垂直的判定
1.判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直，那么这条直线垂 直于这个平面。
线面垂直的判定与性质
线面垂直的判定
两直线平行，一条 直线垂直于一个面， 那么另一条直线也垂 直于这个面。 a b
线面，面面垂直 的判定 与性质
Hale Waihona Puke 线面垂直的判定与性质直线与平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面 内的任 意一条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 互相垂直。记作 l
l
P
叫做 l 的垂面 l 与 的交点P 叫做的垂足
l
叫做 的垂线
线面垂直的判定与性质
直线与平面垂直的定义
a
b
如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝1，SB＝3
（1）求证：BC⊥SC；
面面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的判定定理
判定定理----- 如果一个平面过另一个平面的垂线， 那么这两个平面垂直。
面面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的性质定理
性质定理---如果两个平面垂直，那么一个平 面内垂直于交线的直线与另一平面垂直。
证明:AB⊥平面VAD
V
D A
C
B
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求证：CD⊥AE； (2)求证：PD⊥面ABE.
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1．线面垂直直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．5、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF并证明你的结论6、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.B7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD证明:AB⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD中，60DAB︒∠=，2,4AB AD==,将CBD∆沿BD折起到EBD∆的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB DE⊥9、如图，在四棱锥ABCDP-中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PADVD CBA10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
线面垂直判定与性质
•知识点1•直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直 •2. 线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面 判定定理： ______ . 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 .3. 三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜 线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平 面上的射影垂直. •题型示例【例1】 如图所示，已知点 S 是平面ABC 外一点，/ ABC=90 ° , SA 丄平面 ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的 射影分别为点 E 、F ，求证：EF 丄SC.【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF 丄SC 成立，结合 AF 丄SC 可推证SC 丄平面AEF ，这样 SC ± AE ,结合AE 丄SB ,可推证 AE 丄平面SBC ,因此证明 AE 丄平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA 丄平面ABC , / ABC=90。
，可以推证 BC 丄AE ,结合 AE 丄SB 完成AE 丄平 面SBC 的证明.【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解线面垂直例1题图决问题的关键•【例2】已知：M A N=AB,PQ丄M于Q , P0丄N于O, 0R丄M于R,求证：QR丄AB.【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有(1) a // b,a丄c= b丄c;(2)a丄a ,b~ a = a丄b;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”“四条线” •所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】已知如图⑴所示，矩形纸片AA' A' !A I,B、C、B i、C i分别为AA' ,A i A'的三等分点，将矩形纸片沿BB i,CC i折成如图⑵形状(正三棱柱)，若面对角线AB i丄BC i，求证:A i C丄AB i.例3题图解(i)【解前点津】题设主要条件是AB i丄BC,而结论是AB i丄A i C，题设，题断有对答性，可在2 / i0ABB i A i上作文章，只要取A I B I中点D i，就把异面直线AB i与BC i垂直关系转换到ABB J A I同一平面内AB i与BD i 垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理•自然想到题断AB i与A i C垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D即可，只要证得A i D垂直于AB i，事实上DBD i A i,为平行四边形，解题路子清楚了•【解后归纳】证线线垂直主要途径是：（i）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化• 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法【例4】空间三条线段AB,BC,CD,AB丄BC,BC丄CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围是____________ •【解前点津】如图，在直角梯形ABCD i中,CD i=6,AD i的长是AD的最小值，其中AH丄CD i,AH=BC=4,HD i=3,••• AD i=5;在直角△ AHD 2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为.HD；AH 2= ；（6 3）242 = 97例4题图a//b =b_Ma _M b_ M =allha_M③ a：b Mal/M④a_b "丄M.D.①②④B.DM丄平面PEFC.PM丄平面A. DP丄平面PEF4. 设a、b是异面直线，下列命题正确的是（A. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一条直线和B. 过不在a、b上的一点P 一定可以作一个平面和C. 过a 一定可以作一个平面与b垂直D. 过a 一定可以作一个平面与b平行5. 如果直线l,m与平面a ,3，丫满足：1= 3门Y ,l II DEF D. PF 丄平面DEF）a、b都相交a、b都垂直A. a丄丫且I丄m6.AB是圆的直径，的距离为（）,m：- a和m l 丫，那么必有（）C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，贝U P到ABA.1B.2 2.5C.-53.5D.-5【解后归纳】本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手，其实冷静分析, 找出隐藏的条件很容易得出结论••对应训练分阶提升一、基础夯实1•设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题:其中正确的命题是（）A. ①②B.①②③C.②③④2. 下列命题中正确的是（）A. 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C. 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D. 若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3. 如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把厶ADE、△ CDF和厶BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P —DEF中，必第3题图7. 有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行;£ B E个平面与a垂直; ②过平面a的一条斜线I有且仅有-二、思维激活11.如图AB 是斜边，三个顶点在平面 a 的同侧，它们在a 内的射 B ' C '是正三角形，且 AA '= 3cm, BB '= 5cm, CC '= 4cm ,ZV71:\1 \ i*广\ // *BC第12题图12. 如图所示，在直四棱柱A i B i C i D i — B i D i （注:填上你认为正确的一种条件即可 13. 如图所示，在三棱锥 V — ABC 中，当三条侧棱 VA 、VB 、VC 之间满足条件 VC 丄AB.（注：填上你认为正确的一种条件即可）ABCD 满足条件 ，不必考虑所有可能的情形） 时，有A i C时，有③ 异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与 b 都不垂直其中正确命题的个数为 （）A.0B.1C.2D.38. d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面 a 、 3满足a 丄a, b 丄B ，则下面正确的结论是 （ ）A. a 与3必相交且交线m // d 或m 与d 重合B. a 与3必相交且交线 m // d 但m 与d 不重合C. a 与3必相交且交线 m 与d 一定不平行D. a 与3不一定相交9. 设I 、m 为直线，a 为平面，且I 丄a ，给出下列命题①若m l a ,贝U m// I ;②若m 丄I ,贝U m // a ;③若m // a ，贝U m ± I ;④若m // I ，贝U m ± a , 其中真命题的序号是 （）A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10. 已知直线I 丄平面a ，直线m 平面3，给出下列四个命题：①若a // 3，贝y I 丄m ；②若a 丄3，则I // m ；③若I // m ,则a 丄3 ；④若I 丄m ,则a // 3 . 其中正确的命题是 （ ）A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②三、能力提高14. 如图所示，三棱锥V-ABC 中,AH 丄侧面VBC,且 H 是厶VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. （1） 求证:VC 丄AB;（2） 若二面角E — AB — C 的大小为30° ,求VC 与平面ABC 所成角的大小.15. 如图所示，PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1) 求证：MN //平面FAD.(2) 求证：MN丄CD.⑶若/ PDA = 45 °，求证：MN丄平面FCD.16. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，/ BAD = 60 ° , AB = 4, AD=2，侧棱PB = J5 , PD = ,3 .(1)求证：BD丄平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P —BC—A的大小.17. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中，/ ACB=90 °，/BAC=30° ,BC=1 , AA j= .. 6 , M 是CC1 的中点, 求证：AB」A1M .A M B第15题图第16题图18. 如图所示，正方体 ABCD — A ' B ' C ' D '的棱长为a , M 是AD 的中点，N 是BD '上一点, 且 D ' N : NB = 1 : 2, MC 与 BD 交于 P.(1) 求证：NP 丄平面 ABCD.(2) 求平面PNC 与平面CC ' D ' D 所成的角 (3) 求点C 到平面D ' MB 的距离.第18题图第4课线面垂直习题解答1. A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行 .2. C 由线面垂直的性质定理可知.3. A 折后 DP 丄 PE,DP 丄 PF , PE 丄 PF.4. D 过a 上任一点作直线 b '// b,则a , b '确定的平面与直线 b 平行.5. A映世总,m 丄 丫且m U a ，则必有a 丄丫，又因为1= 3 n Y 则有I U 丫，而m 丄丫贝U I 丄m,故选A. 22—AC BC 26. DP 作 PD 丄 AB 于 D ，连 CD ，贝U CD 丄 AB , AB=、AC BC - 5 , CDAB f7. D 由定理及性质知三个命题均正确 .8. A 显然a 与3不平行•9. D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直 10. B Ta// 3 , I 丄 a ,• I 丄 m 11.3cm 2设正三角A ' B ' C '的边长为a.22 2 2 2 2 2 ,…AC =a +1,BC =a +1,AB =a +4,A B••• PD= , PC 2 CD 2i5.证明: 又 AC 2+BC 2=AB 2,「・ a 2=2.=H 3232S ^A B ，C 一a cm .4212. 在直四棱柱A i B i C i D i —ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC 丄BD （或任何能推导出这个条件 的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等）时,有A I C 丄B i D i （注:填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情形）.点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线 定理但答案不惟一，要求思维应灵活13. VC 丄 VA , VC 丄AB.由 VC 丄VA , VC 丄AB 知 VC 丄平面 VAB. 14. (i)证明：•/ HVBC 的垂心,••• VC 丄BE,又AH 丄平面VBC,••• BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影，• AB 丄VC. (2)解:由(i)知 VC 丄 AB,VC 丄 BE,• VC 丄平面 ABE,在平面 ABE 上，作ED 丄AB,又AB 丄VC, • AB 丄面 DEC.• AB 丄CD, •••/ EDC 为二面角 E —AB — C 的平面角， •••/ EDC=30 ° ,••• AB 丄平面 VCD, •VC 在底面 ABC 上的射影为 CD .•••/ VCD 为VC 与底面 ABC 所成角，又VC 丄AB,VC 丄BE, • VC 丄面 ABE, • VC 丄DE, :丄 CED=90 °，故/ ECD=60 ° ,• VC 与面ABC 所成角为60° .（1）如图所示，取 PD 的中点E ,连结AE , EN ,1 1则有 EN // CD // AB // AM , EN = - CD = - AB = AM ，故 AMNE 为平行四边形 2 2 • MN // AE.•/ AE 平面 PAD , MN 平面 PAD , • MN //平面 PAD. (2) •/ PA 丄平面 ABCD , • PA 丄 AB.又AD 丄AB , • AB 丄平面 PAD. • AB 丄AE ,即卩AB 丄MN. 又 CD // AB , • MN 丄 CD.(3) •/ PA 丄平面 ABCD , • PA 丄 AD. 又/ PDA = 45° , E 为PD 的中点. • AE 丄 PD ,即 MN 丄 PD.又 MN 丄 CD , • MN 丄平面PCD.16.如图(1)证：由已知 AB = 4 , AD =2, / BAD = 60° ,2 2 21第15题图解故BD = AD +AB -2AD • ABcos60°= 4+16-2 X 2X 4 X - = 12.2tan Z PFE =PEEF22、3.317.连结AC1,ACMC1CC1■-6C1A1又AB2= AD2+BD2,•••△ABD是直角三角形，/ ADB = 90°,即AD 丄BD.在厶PDB 中，PD = 3 , PB= ..15 , BD = .. 12 ,•PB2= PD2+BD2，故得PD 丄BD.又PD n AD = D,•BD丄平面FAD.⑵由BD丄平面FAD, BD 平面ABCD.•平面PAD丄平面ABCD .作PE丄AD于E,又PE平面PAD,•PE丄平面ABCD，•/ PDE是PD与底面ABCD所成的角.•/ PDE = 60°,「. PE = PDsin60°=汉也=?2 2 '作EF丄BC于F，连PF，贝U PF丄BF ,•Z PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF = BD = ,12，在Rt△ PEF 中，J3 故二面角P —BC—A的大小为arctan——4•Rt △ACC [S Rt △MC1A1,•Z AC Q= Z MA1C1,•Z A1MC1 + Z AC1C= Z A1MC 计Z MA1C1=90 °.•A1M丄AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，•CC1 丄B1C1，又BQ」A1C1,「・B1C1 丄平面AC1M.由三垂线定理知AB1丄A1M.点评：要证AB1I A1M，因B1C1丄平面AC1,由三垂线定理可转化成证AC1 JA1M，而AC1I A1M 一定会成立.18.(1)证明：在正方形ABCD中，•/△ MPD CPB, 且MD =】BC2 ，• DP : PB= MD : BC = 1 : 2.又已知D' N : NB= 1 : 2,由平行截割定理的逆定理得NP // DD '，又DD '丄平面ABCD ,••• NP 丄平面 ABCD.(2) •/ NP // DD '// CC• NP 、CC '在同一平面内，CC '为平面NPC 与平面CC ' D ' D 所成二面角的棱• 又由CC '丄平面 ABCD ，得CC '丄CD , CC '丄CM ,•••/ MCD 为该二面角的平面角•在Rt △ MCD 中可知/ MCD = arctan 1，即为所求二面角的大小 .2a 2 .c⑶由已知棱长为a 可得，等腰△ MBC 面积S i = 2 ，等腰△ MBD '面积$2=4 a 2 ,设所求距离为 h ,即为三棱锥C —D ' MB 的高.•••三棱锥D '— BCM 体积为1S 1 D^=丄&人,3 3S 1 a■. 6--h a. S 2 3。
线面垂直的性质
性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。
垂直是什么意思
垂直，是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。
通常用符号“⊥”表示。
设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。
点线面之间的位置关系——垂直关系-简单-讲义
点、线、面之间的位置关系——垂直关系知识讲解一、线面垂直1.定义：如果一条直线和一个平面相交于点0，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直.1）这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足.2）垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3）如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4）画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图.直线l与平面a互相垂直，记作l ±a .2.线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.符号语言表述：l ±a,l ±b,a,b u a,a p|b = A n l ±a图像语言表述：l la3.线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.符号语言表述：a±a,b±a n a//b图像语言表述:4.线面垂直的性质（1）一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线（2 ）推论1 ：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面;（3）推论2 ：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行;（4）垂直于同一直线的两个平面平行.5.证明线面垂直的方法（1）线面垂直的定义（2）线面垂直的判定定理（a± b, a± c, b u a, c u a, b^c = M n a±a ）（3）平行线垂直平面的传递性（a g, b l a n a l a）（4）面面垂直的性质（a l。
, a Qp = l, a u p , a 11 n a l a）（5）面面平行的性质（a l a, a Q p n a 1p）（6）面面垂直的性质（a n P=l,a l y , p l y n l l y）二、面面垂直1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，则称这两个平面互相垂直.2.平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.符号语言表述：m l a, m u p n a l p图像语言表述：3.面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.符号语言表述：a l p, aqp=l,m G P,m 11 n m l a图像语言表述:4.面面垂直的性质(1)两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两相交平面的交线垂直于第三个平面(2)两平面互相垂直，过公共交线上一点做一个平面的垂线，则这条直线在第二个平面内5.证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a l p, a u a n a l p )三、垂直模型总结1.勾股定理a2 + b2 = C2 n AC 1 CB2.等腰三角形三线合一AB = AC, D为BC重点n AD ± BC3,直径所对的圆周角为直角BD = CD = AD n BA ± AC4.菱形对角线垂直平分在菱形ABCD中n BD ± AC5.正方形、矩形临边垂直AB 1 BC, BC 1 CD6.正方形中点连线垂直在正方形ABCD中，E, F为CD, BC的中点n AE1DF7.直棱柱、正棱柱中侧棱垂直底面在直三棱柱中n AD ± 面ABC, AD 1 AB, AD 1BC, AD 1 AC典型例题一，选择题（共10小题）1 （2018•云南模拟）在正方体ABCD - A1B1c1D1中"点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A- AD J DPB- AP±B1C C. AC J DP D• A i P,B i C2 . （2018春•武邑县校级月考）如图，四棱锥P - ABCD中，4PAB与^PBC是正三角形，平面PAB，平面PBC, AC X BD，则下列结论不一定成立的是（）AA . PB±ACB . PD，平面ABCDC . AC±PD D .平面PBD，平面ABCDA . AE±CEB . BE±DEC . DE±CED .面ADE±® BCE4 （2016秋•杭州期末）如图所示，四边形ABCD中，AD〃BC ,AD=AB ,N BCD=45°,N BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD,面BCD，连结AC ,则下列命题正确的是（）A .面ABD±® ABCB .面ADC±® BDC C .面ABC±® BDCD .面ADC±® ABC 5 . （2017春•昆都仑区校级期中）如图，A ABC是直角三角形，N ABC=90°, PA ，平面ABC ,此图中直角三角形的个数为（）BA . 1B . 2C . 3D . 46.( 2017•青州市模拟)如图，在三棱锥A - BCD中，AB,平面BCD , N ACB=45°, N ADB=30°, N BCD=120°, CD=40 视AB=( )A . 10B . 20C . 30D . 407（2017秋•赣州期中）设a邛为不重合的平面，m , n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A .若m u a, n u 0, m〃n,则U a〃B B .若n±a , n±P , m，B,则U m±aC .若m〃a,n〃B,m，n,UU a±0D .若a±0 ,n，0,m，n,UU m±a8. （2015秋•临海市校级月考）在三棱锥A - BCD中，若AD±BC , BD1AD , △BCD是锐角三角形，那么必有（）A .平面八8口，平面ADCB .平面八8口，平面ABCC .平面ADC,平面BCDD .平面ABC,平面BCD9. （2014秋•兴庆区校级期末）两个平面平行的条件是（）A.一个平面内一条直线平行于另一个平面B.一个平面内两条直线平行于另一个平面C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面10（2015秋•东昌区校级期中）过^ABC所在平面a外一点P ,作PO，a ,垂足为O，若PA±PB，PB±PC，PC L PA，则点O 是 ^ABC 的（）A .垂心B .重心C .内心D .外心二，填空题（共4小题）11.过平面外两点，可作个平面与已知平面平行.12. （2015春•上海校级期末）点P为^ABC所在平面外一点，PO,平面ABC , 垂足为。
线面垂直的判定与性质
线面垂直线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例【例1】 如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点，外一点， ∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的上的 射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC . 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF ⊥SC 成立，结合AF ⊥SC 可推证SC ⊥平面AEF ，这样，这样 SC ⊥AE ，结合AE ⊥SB ，可推证AE ⊥平面SBC ，因此证明，因此证明 AE ⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA ⊥平面ABC ， ∠ABC =90°，可以推证BC ⊥AE ，结合AE ⊥SB 完成AE ⊥平⊥平 面SBC 的证明. 【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 例1题图题图【例2】 已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB . 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c Þb ⊥c ;(2)a ⊥α,b ÌαÞa ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1. 【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理自然想到题断AB 1与A 1C垂直用同法（对称原理）例3题图解(1) 转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了. 【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 . 【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6, AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3, ∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论. 例4题图题图●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ^Þþýü^// ②b a M b M a //Þþýü^^ ③Þþýü^^b a M a b ∥M ④Þþýü^b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.①②①② B.①②③①②③ C.②③④②③④ D.①②④①②④ 2.下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m Ìα和m ⊥γ,那么必有那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为的距离为 ( ) A.1 B.2 C.552 D.553 7.有三个命题：有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直都不垂直 其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图题图A.α与β必相交且交线m∥d 或m 与d 重合重合 B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合不重合 C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行一定不平行 D.α与β不一定相交不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是的序号是 ( ) A.①②③①②③ B.①②④①②④ C.②③④②③④ D.①③④①③④ 10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.③与④③与④B.①与③①与③C.②与④②与④D.①与②①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是′的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. (1)求证:VC ⊥AB ; (2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小. 第11题图题图第12题图题图第13题图题图第14题图题图15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3. (1)求证：BD ⊥平面P AD . (2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小. 17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P . 第15题图题图第16题图题图522+BC AC 52×5354122++CD PC 333定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC , ∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC . ∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD . ∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE , ∴∠CED =90°,故∠ECD=60°, ∴VC 与面ABC 所成角为60°. 15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE . ∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB . 又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD . (3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点. ∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD . 16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，°，即AD ⊥BD 在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD . (2)由BD ⊥平面P AD，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD所成的角. 第15题图解题图解第16题图解题图解∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=´. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，中，tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M . 点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD . (2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知中可知∠MCD ＝arctan21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高. ∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131=¢×，6 1。
第8.4讲 线面垂直的判定定理(艺考生专用)
★谨以此案赠送给有梦想的学子第8.4讲 线面垂直的判定定理◆知识精要1.线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理⑴判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.⑵判定定理二：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.⑶判定定理三：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.⑷判定定理四：两个相交平面都和第三个平面垂直，则交线垂直于第三个平面.◆现在就考考你，不要介意呀！1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题： ①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥//； ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥；③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ； ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M .其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面.B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面.C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线.D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面.3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( )A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行5.如果直线l，m与平面α,β,γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有 ( )A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若1=BC，2=AC，1=PC，则P到AB的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553第3题图7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m∥d或m 与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d一定不平行D.α与β不一定相交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题．．．的序号是 ( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②3.线面垂直的证明方法例1如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.例2如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.求证：BD⊥平面PAD.◆我们用向量法来证明线面垂直，你会发现，这个方法真是太简单了，好好享受证明的快感吧.例3如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.考考你，试试身手吧.1．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D -AF -E的余弦值．图1-42．[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．3．[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE ＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B -AD -E的大小．3.线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理一：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线；线面垂直的性质定理二：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 线面垂直的性质定理三：如果两条平行线中一条垂直于一个平面，那么另一条也平行这个平面.说明：线面垂直的最大应用就是来证明线线垂直.显摆一下，我是看好你呀！1. 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ） ⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ） ⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；（ ） ⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ） ⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ） ⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （ ） 2. 下列四个命题中错误的是（ ）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α3. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（ ）. A.平面ABC 必平行于α B.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内 4. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（ ）.A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线 5. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a ___b .6. 设直线,a b 分别在正方体''''ABCD A B C D -中两个不同的平面内，欲使//a b ，,a b 应满足________________________.(至少写出2个不同答案)7.如图12-5，在三棱锥中，PA PB=，AB BC⊥，若M是PC的中点，试确定AB 上点N的位置，使得MN AB⊥.图12-58. 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC .9.已知，如图矩形ABCD，过A作SA⊥面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
班级 编制人 审核人
小组
姓名
编号
§2.3.3
直线与平面垂直的性质
通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
1、通过探索发现直线与平面垂直的性质，培养学生的空间想象能力； 2、理解和掌握直线与平面垂直的性质，并通过它们把线面垂直问题转化为线线平行或线线垂直问题。
3.如图，已知 AB, PC 于C, PD 于D, a , a CD. 求证： a // AB.
4、四棱锥 P ABCD 中， PA 面ABCD ，底面 ABCD 为矩形，问侧面中有多少个直角三角形？并 分别指出来。
聊城二中教研室
2、黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
/ / / / 3、如图（1） ，长方体 ABCD A B C D 中，棱 AA , BB , CC , DD 所在直线都垂直于平面 ABCD ，
/ / / /
它们之间具有什么位置关系？
3、 如图 （2） ， 已知直线 a , b 和平面 。 如果 a , b , 那么直线 a , b 一定平行吗？据此你有何猜想？
直线与平面垂直的性质及其应用
自学质疑学案 学习 记录 一、 走进探知园 1、两条直线的位置关系 学案内容
2、直线与平面垂直的定义
3、直线与平面垂直的判定定理及其图形、符号表示
二、 探究新知 阅读课本的 71～72 页，并思考下列问题： 探究一： 1、如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的直线具有什么位置关系？
探究二：叙述并证明直线与平面垂直的性质定理
思考：设平面 平面 ，点 P 在平面 内，过点 P 作平面 的垂线 a ，直线 a 与平面 具有什么位 置关系？
三、 运用新知
1、如图，已知平面 ， ， ，直线 a 满足 a , a ，试判断直线 a 与平面 的位置关系.
五、 巩固提升 1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√” ，错误的画“×” 。
（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行。 （2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。 （ （ ） ）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直。 （ ） 2.已知直线 a , b 和平面 ，且 a b, a ，则 b 与 的位置关系是 。
2、已知平面 ， ，直线 a ，且 ， AB ， a // ， a AB ，求证： a
B
a
A
四、 自我反思 （1）请回顾本节课所学过的知识内容，建立函数模型，解决实际问题的基本过程是什么？
（2）在本节课的学习过程中，还有哪不太明白的地方，请向老师提出。