复变函数_习题集(含答案)
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, .
原积分 .
20.解: 在 内以 为2级极点.
.
原积分 .
21.解： .
记 ， 在上半平面内仅以 为二级极点.
,
故 .
22.解： .
设 , 以 为二级极点，且
,
.
故 .
23.解： .
设 , 为 在上半平面的一级极点,
,
.
.
24.解： .
记 满足 ,
.
故 .
25.解: 设 则 , .
,
令 则 在 内只有一级极点, ,依定理有
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
5.设函数 在区域 内解析， 在区域 内为常数，证明 在区域 内必为常数．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
.
9.解:
.
10.解: .
11.解： 在C内解析.
.
12.解: .
13.解：
.
14.解：（a） .
（b）
.
15.解：（a） .
（b）
.
16.解： 在 内仅以z=1，z=2为分别为一、二级极点.
,
,
故 .
17.解: .
18.解： 在 内以 分别为2，1级极点.
, .
原积分 .
19.解： 在 内以 分别为可去奇点，1级极点.
15.计算积分 ，其中路径分别为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
16.计算积分 ．
17.计算积分 ．
18.计算积分 ．
19.计算积分 ．
20.计算积分 ．
21.用留数定理计算积分 ．
22.用留数定理计算积分 .
23.用留数定理计算积分 ．
24.用留数定理计算积分 ．
39.设 在 内部解析，且连续到 ，在 上有 .试证明：在 内部只有一个点，使 ．
40.证明区域 上的调和函数 的 也为区域 上的调和函数．
二、填空题1
（略）……
答案
1.解：
2.解：
设 ，我们有 ，
即 .
,
在C上可微分.
又由 ,可得 ,即 .
由函数可导的充要条件知 在 处可导， 处不可导，从而在C上处处不解析.
6.求 的值．
7.求值 ．
8.求值 ．
9.求值 ．
10.求值 ．
11.求积分 ，其中C是连结O和i的任意连续曲线．
12.计算积分 ，其中 是沿 由原点到点 的曲线．
13.计算积分 ，其中路径为沿抛物线 自原点到点 的有向曲线段．
14.计算积分 ，其中路径为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
.
（根据Rouche定理）
故结论成立.
40.证明: 是调和函数.
使得 解析,
解析,
也是调和函数.
一、填空题1
（略）……
.
26.解： ，且 收敛.
绝对收敛.
27.解： , .
收敛, 绝对收敛.
28.解： ,
收敛, 收敛.
条件收敛, 为条件收敛.
29.解: , .
故幂级数在 上处处收敛.
30.解: , .
故幂级数在 上处处发散.
31.解： ， ， 在C上仅以 为奇点.
,令 ，则 .
,且
故 .
32.解:
,
故
.
33.解：
.
33.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
34.试将函数 分别在圆环域 内展开为洛朗级数．
35.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
36.设 在区域 解析，证明在区域 内 满足下列等式
．
37.证明方程 的全部根均圆环 内．
38.设函数 在 内解析，令 .证明： 在区间 上是一个上升函数，且若存在 及 （ ），使 ，则 常数．
3.解： ,
.
,
在C上任何点处可微，且满足C-R条件.
故 在C上处处解析.
4.证明： 设 ,由 .
有 .
又 在 内解析,
有 .
由 与 得 .
故 在 内为常数.
5.证明： 设 ,由 ，
有 .
又 在 内为常数,
有 .
由 与 得 .
故 在 内为常数.从而 在 内为常数.
6.解： ， .
又 ,
.
7.解:
.
8.解:
而 在 内无零点,
在 内无根.
在C内解析且当 时,
,即 .
由Rouche定理可知 与 在 内的零点个数相同.
故 在 共有7个零点.
综合 可知结论成立.
38.证明:(1) , 则
, .
故 ,即 在 上为 的上升函数.
(2)如果存在 及 使得 ,则有 .于是在 内 恒为常数,从而在 内 恒为常数.39.证明：取 ,解析来自连续到边界.34.解： .
,
,
故 .
35.解：
故 .
36.证明：设 .
, .
,（1）
同理 ,（2）
在D内解析.
在D内为调和函数，即
,（3） , （4）
而 满足C-R条件，即
， （5） ， （6）
由（1）~（6）可知:
.
37.证明： , 与 在 内解析，且连续到 上，
又当 时, ,即 .
与 在 内的零点个数相同.
原积分 .
20.解: 在 内以 为2级极点.
.
原积分 .
21.解： .
记 ， 在上半平面内仅以 为二级极点.
,
故 .
22.解： .
设 , 以 为二级极点，且
,
.
故 .
23.解： .
设 , 为 在上半平面的一级极点,
,
.
.
24.解： .
记 满足 ,
.
故 .
25.解: 设 则 , .
,
令 则 在 内只有一级极点, ,依定理有
《复变函数》课程习题集
一、计算题
1.函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
2.试判断函数 在 平面上哪些点处可微？哪些点处解析？
3.试判断函数 在 平面上的哪些点处可微？哪些点处解析？
4.设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数．
5.设函数 在区域 内解析， 在区域 内为常数，证明 在区域 内必为常数．
25.用留数定理计算积分 ．
26.判断级数 的收敛性．
27.判断级数 的敛散性．
28.判断级数 的敛散性．
29.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
30.求幂级数 的收敛半径，并讨论它在收敛圆周上的敛散情况．
31.将 按 的幂展开，并指明收敛范围．
32.试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛朗级数．
.
9.解:
.
10.解: .
11.解： 在C内解析.
.
12.解: .
13.解：
.
14.解：（a） .
（b）
.
15.解：（a） .
（b）
.
16.解： 在 内仅以z=1，z=2为分别为一、二级极点.
,
,
故 .
17.解: .
18.解： 在 内以 分别为2，1级极点.
, .
原积分 .
19.解： 在 内以 分别为可去奇点，1级极点.
15.计算积分 ，其中路径分别为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
16.计算积分 ．
17.计算积分 ．
18.计算积分 ．
19.计算积分 ．
20.计算积分 ．
21.用留数定理计算积分 ．
22.用留数定理计算积分 .
23.用留数定理计算积分 ．
24.用留数定理计算积分 ．
39.设 在 内部解析，且连续到 ，在 上有 .试证明：在 内部只有一个点，使 ．
40.证明区域 上的调和函数 的 也为区域 上的调和函数．
二、填空题1
（略）……
答案
1.解：
2.解：
设 ，我们有 ，
即 .
,
在C上可微分.
又由 ,可得 ,即 .
由函数可导的充要条件知 在 处可导， 处不可导，从而在C上处处不解析.
6.求 的值．
7.求值 ．
8.求值 ．
9.求值 ．
10.求值 ．
11.求积分 ，其中C是连结O和i的任意连续曲线．
12.计算积分 ，其中 是沿 由原点到点 的曲线．
13.计算积分 ，其中路径为沿抛物线 自原点到点 的有向曲线段．
14.计算积分 ，其中路径为（a）自原点到点 的直线段；(b)自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 ．
.
（根据Rouche定理）
故结论成立.
40.证明: 是调和函数.
使得 解析,
解析,
也是调和函数.
一、填空题1
（略）……
.
26.解： ，且 收敛.
绝对收敛.
27.解： , .
收敛, 绝对收敛.
28.解： ,
收敛, 收敛.
条件收敛, 为条件收敛.
29.解: , .
故幂级数在 上处处收敛.
30.解: , .
故幂级数在 上处处发散.
31.解： ， ， 在C上仅以 为奇点.
,令 ，则 .
,且
故 .
32.解:
,
故
.
33.解：
.
33.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
34.试将函数 分别在圆环域 内展开为洛朗级数．
35.试给出函数 在 处的泰勒展开式．
36.设 在区域 解析，证明在区域 内 满足下列等式
．
37.证明方程 的全部根均圆环 内．
38.设函数 在 内解析，令 .证明： 在区间 上是一个上升函数，且若存在 及 （ ），使 ，则 常数．
3.解： ,
.
,
在C上任何点处可微，且满足C-R条件.
故 在C上处处解析.
4.证明： 设 ,由 .
有 .
又 在 内解析,
有 .
由 与 得 .
故 在 内为常数.
5.证明： 设 ,由 ，
有 .
又 在 内为常数,
有 .
由 与 得 .
故 在 内为常数.从而 在 内为常数.
6.解： ， .
又 ,
.
7.解:
.
8.解:
而 在 内无零点,
在 内无根.
在C内解析且当 时,
,即 .
由Rouche定理可知 与 在 内的零点个数相同.
故 在 共有7个零点.
综合 可知结论成立.
38.证明:(1) , 则
, .
故 ,即 在 上为 的上升函数.
(2)如果存在 及 使得 ,则有 .于是在 内 恒为常数,从而在 内 恒为常数.39.证明：取 ,解析来自连续到边界.34.解： .
,
,
故 .
35.解：
故 .
36.证明：设 .
, .
,（1）
同理 ,（2）
在D内解析.
在D内为调和函数，即
,（3） , （4）
而 满足C-R条件，即
， （5） ， （6）
由（1）~（6）可知:
.
37.证明： , 与 在 内解析，且连续到 上，
又当 时, ,即 .
与 在 内的零点个数相同.