棱柱圆柱的体积一
各形状物体体积计算公式
一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πr S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物、、长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)棱台体体积计算公式：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。
常用立体图形体积公式
常用的立体图形体积公式：
长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）
正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）
圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】
角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】
柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）
表面积的公式
1、柱体
（1）棱柱
每个面的面积相加
）特殊长方体、正方体（
长方体：S=2(ab+ah+bh)
正方体：S=6a^2
（2）圆柱
S=2πr^2+2πrh
2、锥体
（1）棱锥
每个面的面积相加
（2）圆锥
S=πr^2+πrl
3、台体
（1）棱台
每个面的面积相加
（2）圆台
S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l
4、球
S=4πr^2
提问人的追问2010-03-07 08:00 请问台体是什么呀？？
回答人的补充2010-03-07 09:49。
几何体有几种分类的方法
几何体有几种分类的方法
几何包括3种类型。
1、对几何体进行分类，可根据几何体的特征按（柱体），（锥体），（球体）划分；也可按组成几何体的面的（曲）或（平）来划分；还可组成几何体的面的（数量）来划分。
2、立体几何图形，
第一类:柱体;包括:圆柱和棱柱，棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，棱柱体按底面边数的多少又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱;棱柱体积统一等于底面面积乘以高，即V=SH,
第二类:锥体;包括:圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥以及N棱锥;棱锥体积统一为V=SH/3,
第三类:旋转体:包括:圆柱;圆台;圆锥;球;球冠;弓环;圆环;堤环;扇环;枣核形。
3、平面几何图形：
1）圆形:包括正圆，椭圆，多焦点圆--卵圆。
2）多边形:三角形(分为一般三角形，直角三角形，等腰三角形，等边三角形)、四边形(分为不规则四边形，梯形，平行四边形，平行四边形又分:矩形，菱形，正方形)、五边形、六……
3）弓形(由直线和圆弧构成的图形，包括优弧弓，劣弧弓，抛物线弓等)。
4）多弧形(包括月牙形，谷粒形，太极形葫芦形等)。
圆柱体积公式大全表
圆柱体积公式大全表
1. 圆柱体体积公式：
V=πR²H
V为圆柱体的体积，π为圆周率，R为圆柱底面半径，H为圆柱高。
2. 全棱柱体体积公式：
V=a²h
V为全棱柱体的体积，a为底面边长，h为高。
3. 半球体体积公式：
V=2/3πr³
V为半球体的体积，π为圆周率，r为半球体半径。
4. 平行四边形体积公式：
V=1/3a²h
V为平行四边形体积，a为底面边长，h为高。
5. 台阶体积公式：
V=1/3a²h
V为台阶体积，a为底面边长，h为台阶高。
6. 球体体积公式：
V=4/3πr³
V为球体体积，π为圆周率，r为球体半径。
7. 圆台体积公式：
V=πR²H
V为圆台体积，π为圆周率，R为底面半径，H为高。
8. 圆柱台体积公式：
V=(πDiffR² + πR²h)
V为圆柱台体积，π为圆周率，R为底面半径，h为高，DiffR为底部和上部半径的差。
9. 圆筒体积公式：
V=πr²h
V为圆筒体积，π为圆周率，r为圆筒半径，h为高。
10. 椭圆台体积公式：
V=πAh/2
V为椭圆台体积，π为圆周率，A为底部长轴，h为高。
11. 圆锥体积公式：
V=πR²h/3
V为圆锥体积，π为圆周率，R为底面半径，h为高。
12. 球锥体积公式：
V=(3(πR²h - 4/3πr³))/3
V为球锥体积，π为圆周率，R为底面半径，r为顶面半径，h为高。
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
柱、锥、台的体积详解
4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的 正 方 形 ， 且 ADE 、BCF 均 为 正 三 角 形 ， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）
a 3
3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则 1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
台体
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点， 如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
1 V1 h( S S 4S 4S ) 3
7 Sh 3
7 5 V2 4Sh Sh Sh 3 3
D
V1 : V2 7 : 5
1 1 = S x h S x 3 3
棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
1 V ( S S S S )h 3
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台 的体积是多少？ (结果中保留π)
1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
1.7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 导入新课被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230.4米，塔高146.6米，假如知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？新知探究提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体＝Sh (S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体＝13Sh (S 为底面积，h 为锥体的高)；V 台体＝13(S S ′)h (S ′，S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式．②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？讨论结果：①棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3＝a 2a ＝Sh ；长方体的长、宽和高分别为a ，b ，c ，其体积为V ＝abc ＝(ab )c ＝Sh ；底面半径为r 、高为h 的圆柱的体积是V ＝πr 2h ＝Sh .可以类比，一般的柱体的体积也是V ＝Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高．圆锥的体积公式是V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的13. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)． 由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的13. 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ，其中S ′，S 分别为上、下底面面积，h 为圆台(棱台)高．注意：不要求推导公式，也不要求记忆．②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．当S ′＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S ′＝S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如图1：图1应用示例例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．金字塔高146.6 m ，底面边长230.4 m ．问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？图2解：如图2，AC 为高，BC 为底面的边心距，则AC ＝146.6，BC ＝115.2，底面周长c ＝4×230.4.S 侧面积＝12c ·AB ＝12×4×230.4×115.22＋146.62≈85 916.2(m 2)， V ＝13S ·AC ＝13×230.42×146.6≈2 594 046.0(m 3)． 答：金字塔的侧面积约是85 916.2 m 2，体积约是2 594 046.0 m 3.点评：本题主要考查多面体的侧面积和体积.变式训练1．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶7∶19C ．3∶4∶5D ．1∶9∶27分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3.于是自上而下三个圆锥的体积之比为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3r 2h ∶⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(2r )2·2h ∶⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(3r )2·3h ＝1∶8∶27.所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶(8－1)∶(27－8)＝1∶7∶19.答案：B2．三棱锥V —ABC 的中截面是△A 1B 1C 1，则三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A —A 1BC 的体积之比是( )A ．1∶2B ．1∶4C ．1∶6D ．1∶8分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4.将三棱锥A —A 1BC 转化为三棱锥A 1—ABC ，这样三棱锥V —A 1B 1C 1与三棱锥A 1—ABC 的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.答案：B例2 已知一正四棱台的上底边长为4 cm ，下底边长为8 cm ，高为3 cm.求其体积．解：V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13(42＋82＋42×82)×3＝112(cm 3)． 答：正四棱台的体积为112 cm 3.点评：本题主要考查正四棱台的体积.变式训练如图3，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)图3解：如图4，设水面的半径为r ，则EH ＝r －2分米，BG ＝2分米．在△ABG 中，∵EH ∥BG ，∴AH AG ＝EH BG .∵AH ＝2分米，∴25＝r －22.∴r ＝145分米．∴当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水＝13π·3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1452＋145×4＋42＝876π25(立方分米)．图4 ∴所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)． 答：所用的时间为36.69秒.变式1 如图5所示，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为()图5A ．1 B.12 C.13 D.16活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征.图6分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图6所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC .则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V ＝13S △ABC PA ＝13×12×1＝16. 答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积．给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得．此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视.变式训练2如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为( ) A.3π3 B.23π3 C.3π D.π3分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：A课堂练习：P46课堂小结：本节学习了：1．简单几何体的体积公式．2．解决有关计算问题．课后作业：P48习题1-7 A 组3，4，5，8。
第1章 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学习目标 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．知识点一 柱、锥、台体的体积公式知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V ＝ShV ＝13(S ′＋S ′S ＋S )hV ＝13Sh .1．锥体的体积等于底面面积与高之积．( × ) 2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ )类型一 多面体的体积例1 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． (1)证明 由题知四边形PDAQ 为直角梯形． 因为QA ⊥平面ABCD ，QA 平面PDAQ ， 所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ， 所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . 在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ， 则PQ ⊥QD .又DC ∩QD ＝D ，DC ，QD 平面DCQ ， 所以PQ ⊥平面DCQ .(2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高， 所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高． 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1. 反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法 (1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．跟踪训练1 如图，在三棱柱111ABC A B C －中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为l 2V V ，的两部分，那么12:V V ＝________.答案 7∶5解析 设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh . 因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以AEFS ＝14S ， 1V ＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ， 2V ＝Sh －1V ＝512Sh ，故12:7:5V V ＝.类型二 旋转体的体积例2 体积为52 cm 3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，求截得这个圆台的圆锥的体积．解 由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27. 截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26， ∴小圆锥的体积为2 cm 3， 故原来圆锥的体积为54 cm 3.反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答． (1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．考点 题点答案 21π解析 设上，下底面半径，母线长分别为r ，R ，l .作A 1D ⊥AB 于点D ，则A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°， 又∠BA 1A ＝90°， ∴∠BA 1D ＝60°， ∴AD ＝A 1Dtan 60°＝3， ∴R －r ＝ 3.BD ＝A 1D ·tan 60°＝33，∴R ＋r ＝3 3.∴ R ＝23，r ＝3，而h ＝3.∴V 圆台＝13πh (R 2＋Rr ＋r 2)＝13π×3×[(23)2＋23×3＋(3)2]＝21π.∴圆台的体积为21π. 类型三 几何体体积的求法 命题角度1 等体积法例3 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E 为AA 1的中点，F 为CC 1上一点，求三棱锥A 1－D 1EF 的体积．考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积解 1111A D EF F A D E V V －－＝，锥锥三棱三棱由1121111124A D E S EA A D a ∆⋅＝＝， 又三棱锥F －A 1D 1E 的高为CD ＝a ，11231113412F A D E V a a a ∴⨯⨯－＝＝，锥三棱 1131.12A D EF V a ∴－＝三棱锥反思与感悟 (1)三棱锥的每一个面都可当作底面来处理． (2)利用等体积法可求点到面的距离．跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在三棱锥A 1－ABD 中，求A 到平面A 1BD 的距离d .考点 题点解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1是三棱锥A 1－ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝1，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝ 2.∵13×12×12×1＝13×12×2×32×2×d ， ∴d ＝33. 命题角度2 割补法例4 如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 与平面AC 的距离为3，求该多面体的体积．考点 题点解 如图，连接EB ，EC ，AC .四棱锥E －ABCD 的体积V E －ABCD ＝13×42×3＝16.因为AB ＝2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB ＝2S △BEF .所以V F －EBC ＝V C －EFB ＝12V C －ABE ＝12V E －ABC＝12×12V E －ABCD ＝4. 所以该多面体的体积V ＝V E －ABCD ＋V F －EBC ＝16＋4＝20.反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．考点 题点解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.1.已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积答案 D解析 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.128π3 B.64π3 C ．64π D ．1282π考点 柱体、锥体、台体的体积 题点 锥体的体积 答案 B解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意知2r ＝l 2＋l 2，即l ＝2r ，∴S 侧＝πrl ＝2πr 2＝162π， 解得r ＝4.∴l ＝42，圆锥的高h ＝l 2－r 2＝4，∴圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13π×42×4＝64π3.3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是( ) A ．18＋6 2 B ．6＋2 2 C ．24 D ．18考点 题点 答案 B解析 V ＝13(2＋4＋2×4)×3＝6＋2 2.4．已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________． 考点题点 台体的体积 答案73π3解析 设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ，母线长为l ，高为h ，则S 上＝πr 2＝π，S 下＝πR 2＝4π.∴r ＝1，R ＝2，S 侧＝π(r ＋R )l ＝6π.∴l ＝2，∴h ＝3，∴V ＝13π(12＋22＋1×2)×3＝73π3.5．如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm ，高为20 cm 的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.考点 题点 答案 0.6解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积． 设水面下降的高度为x cm ，则π×⎝⎛⎭⎫2022x ＝13π×⎝⎛⎭⎫622×20， 得x ＝0.6 cm.1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ←―――S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .2．在三棱锥A －BCD 中，若求点A 到平面BCD 的距离h ，可以先求V A －BCD ，h ＝3V S △BCD.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V 一般用换顶点法求解，即V A －BCD ＝V B －ACD ＝V C －ABD ＝V D －ABC ，求解的原则是V 易求，且△BCD 的面积易求．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．一、选择题1.如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34考点 题点 答案 C解析 ∵V C －A ′B ′C ′＝13V ABC －A ′B ′C ′，∴V C －AA ′B ′B ＝23V ABC －A ′B ′C ′＝23.2.如图，已知正三棱锥S －ABC ，D ，E 分别为底面边AB ，AC 的中点，则四棱锥S －BCED 与三棱锥S －ABC 的体积之比为( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶3答案 C解析 两锥体高相等，因此V 四棱锥S －BCED ∶V 三棱锥S －ABC ＝S 四边形BCED ∶S △ABC ＝3∶4. 3．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355 考点 题点 答案 C解析 设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则2πr ＝6π，∴r ＝3. ∴h ＝64－32＝55，∴V ＝13π·r 2·h ＝355π.4.如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.53πB.43πC.23π D ．2π 考点 组合几何体的表面积与体积题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积 答案 A解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－13×π×12×1＝53π.5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为( ) A ．2 B ．2 2 C. 2 D. 3 考点 题点 答案 A解析 如图所示，设等边三角形ABC 为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC 的边长，且S △ABC ＝34AB 2，∴3＝34AB 2，∴AB ＝2.6．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )A.16B.13C.12D ．1答案 A 解析 三棱锥D 1－ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16. 7．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )A ．6 3 cmB ．6 cmC ．2318 cmD ．3312 cm 考点 柱体、锥体、台体的体积题点 锥体的体积答案 B解析 设圆锥中水的底面半径为r cm ，由题意知13πr 2×3r ＝π22×6， 得r ＝23，∴水面的高度是3×23＝6 cm.8．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．1 B.32 C ．3 D.32考点题点答案 A解析 在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3，11DB C S ＝12×2×3＝ 3. 又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ，AD ⊥BC ，AD 平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴1111DB C A B DC V S 三棱－＝锥·AD ＝13×3×3＝1. 二、填空题9．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________． 考点题点答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 10.如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．考点题点答案 96解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.11.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，已知D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥A －FED 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2的值为______．考点 柱体、锥体、台体的表面积与体积题点 其他求体积、表面积问题答案 124解析 设三棱柱的高为h ，∵F 是AA 1的中点，∴三棱锥F －ADE 的高为h 2， ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴S △ADE ＝14S △ABC ， ∵V 1＝13S △ADE ·h 2，V 2＝S △ABC ·h ， ∴V 1V 2＝16S △ADE ·h S △ABC ·h ＝124. 三、解答题12．在四边形ABCD 中，A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解 如图为所得旋转体，由一个圆锥和一个圆台组成．∵C (2,1)，D (0,3)，∴圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2 ＝83π.∵B (1,0)，C (2,1)， ∴圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1.∴V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′) ＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， ∴V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π.13.如图所示是一个边长为5＋2的正方形，剪去阴影部分得到圆锥的侧面和底面展开图，求该圆锥的体积．考点题点解 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则依题意有14·2πl ＝2πr ， ∴l ＝4r .又∵AC ＝OC ＋OA ＝2r ＋r ＋l ＝(2＋5)r ，且AC ＝2×(2＋5)，∴(2＋5)r ＝(2＋5)×2，∴r ＝2，∴l ＝42，∴h ＝l 2－r 2＝30，∴V 圆锥＝13πr 2h ＝13π(2)2×30＝2303π.故该圆锥的体积为2303π. 四、探究与拓展14．若正三棱台A 1B 1C 1－ABC 的两底面边长分别为2,8，侧棱长等于6，则此三棱台的体积V ＝________.答案 42 2解析 如图，设D 1，D 分别为A 1B 1，AB 的中点，O 1，O 为上、下两底面的中心，则O 1O 为棱台的高h ，O 1C 1＝233，OC ＝833，作C 1H ⊥OC 于点H ，则C 1H ＝h ，且CH ＝23，故h ＝C 1H ＝36－12＝2 6. ∵111A B C S ＝3，S △ABC ＝163，∴V ＝(3＋43＋163)×263＝42 2. 15.在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，则三棱锥A 1－ABC ，B －A 1B 1C ，C －A 1B 1C 1的体积之比是多少？考点题点解 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则1114.A B C S S ∆＝ ∴1A ABC V －＝13S △ABC ·h ＝13Sh ， 1111114·.3C ABC A B C V S h Sh ∆－＝＝又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ， ∴11B A B C V －＝V 台－1111A ABC C ABC V V －－－＝73Sh －13Sh －43Sh ＝23Sh . ∴1A ABC V －∶11B A B C V －∶111C A B C V －＝1∶2∶4.。
各种体积计算公式
各种体积计算公式圆台体积V=π*h*(R2+R*r+r2)/3 V=π*h*(D2+d2+D*d) /12 圆柱体积V=π*R2*hV=π*D2*h/4球缺体积h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6V＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)长方形周长=（长+宽）×2面积=长×宽正方形周长=边长×4面积=边长×边长三角形面积=底×高÷2平行四边形面积=底×高梯形面积=（上底+下底）×高÷2圆周长=π×d=π×r×2面积=π×r×r长方体表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 体积=长×宽×高正方体表面积=棱长×棱长×6体积=棱长×棱长×棱长圆柱侧面积=底面圆的周长×高表面积=上下底面面积+侧面积圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V 正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh体积=底面积×高圆锥体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半s＝(a+b+c)/2A,B,C－内角S ＝ah/2 ＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2ha,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2=a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物线形)圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则长方体体积公式为：V长=abc正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长．如果用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a³锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3圆台体积公式:V=(R²+Rr+r²)hπ÷3球缺体积公式＝πh²(3R-h)÷3球体积公式：V＝4πR³/3棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l （l为侧棱长,h为高)棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。
几何体体积计算公式 圆柱体的体积公式
几何体体积计算公式圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则长方体体积公式为：V长=abc 正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长．如果用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为V正＝a·a·a ＝a³锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3 台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 圆台体积公式:V=(R²+Rr+r²)hπ÷3 球缺体积公式＝πh²(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR³/3 棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l （l为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。
几何体的表面积计算公式圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s ＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S ＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长S＝r2/2·(πα/180-sinα) b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2 α－圆心角的度数≈2bh/3 圆环R－外圆半径S＝π(R2-r2) r－内圆半径＝π（一）面积 a 1、正方形S= a2 (a为正方形边长) 2、长方形S= a ×b b 长方形(a、b分别为长、宽) 3、三角形S= b ×h÷2 h 三角形（b、h分别为底边长和高） b 4、梯形S=（a+b）×h÷2 a （a、b、h 分别为上底长、下底长和高）h 梯形5、圆形S=3.14×d 2 ÷ 4 （d为直径）b （二）圆周长与直径的关系L=3.14 × d c 长方体（三）体积b 1、长方体V=a ×b ×c a (a、b、c分别为长、宽、高) 2、圆柱体V= S×h（S、h 分别为底面积和高）d 3、圆锥体V=S ×h ÷3（S、h 分别为底面积和高）圆柱体4、长方截锥体V=（S1+S2+ S1×S2 ）×h ÷3 h (S1、S2和h分别为上下底面积和高) 5、圆台体V=（d12 + d1×d2 + d22）÷12 ×h ×3 .14 (d1、d2和h分别为上下底直径和高) h 长方截锥体d1h 圆台体d2 (D2-d2)/4 D－外圆直径d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4 d －短轴。
柱、锥、台表面积体积公式
圆柱体体积公式
圆柱体体积公式
$V = pi r^{2}h$
解释
其中，$V$表示圆柱体的体积，$pi$是圆周率，$r$是底面圆的半径，$h$是圆柱的高。
棱柱体表面积公式
棱柱体表面积公式
根据棱柱的形状和尺寸有所不同，需 要具体问题具体分析。
解释
棱柱体的表面积由底面和顶面的面积 以及侧面的面积组成，具体计算方法 需要根据棱柱的具体形状和尺寸来确 定。
03
台体表面积体积公式
圆台体表面积公式
总结词
圆台体表面积公式是计算圆台侧面积和两个底面积的总和。
详细描述
圆台体表面积公式为 S = π * (r1 + r2) * l，其中 r1 和 r2 分别为圆台上下底面的半径， l 为圆台母线长度。
圆台体体积公式
总结词
圆台体体积公式是计算圆台所占三维空间的 大小。
物理学
在计算物体之间的相互作用力、热传导、电磁波的传播等物理现象 时，需要使用表面积和体积公式来描述物体的大小和形状。
化学工程
在化学工程领域，表面积和体积的计算对于反应器设计、传热传质计 算等方面具有重要意义。
表面积和体积公式的推导过程
要点一
柱体
柱体的表面积由底面和侧面组成，侧面 面积是高乘以底面周长，底面周长是 2πr（r为底面半径），所以侧面面积 是2πrh（h为高），底面面积是πr^2， 所以柱体表面积是2πrh+πr^2，体积 是底面积乘以高，即πr^2h。
棱台体体积公式
总结词
棱台体体积公式是计算棱台所占三维空间的 大小。
详细描述
棱台体体积公式为 V = (1/3) * (a1 + a2) * l * h，其中 a1 和 a2 分别为棱台上下底面的边
各形状物体体积计算公式
常用体积及表面积计算公式一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h －高V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物我用拟柱体公式来解决一下，至于公式本身证明需要用到积分知识（需要同时推广牛顿－莱布尼茨公式），不详谈：任何立体的体积均可以归纳成：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)S1指上表面S2指下表面S指高线垂直平分面柱体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)、、长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh圆 r－半径d－直径 C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形 l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环 R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径 S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆 D－长轴d－短轴 S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2V＝a3长方体 a－长b－宽c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体 S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高 V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径r－内圆半径h－高 V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径h－高 V＝πr2h/3圆台 r－上底半径R－下底半径h－高 V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高r－球半径a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径h－高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径 V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)棱台体体积计算公式：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。
8棱柱圆柱的体积一-教育
师：同度量长度、面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取 一个单位体积作为标准，然后求出几何体的体积是单位体积的多少倍， 这个倍数就是这个几何体的体积的数值．通常取棱长等于单位长度 （例如1cm、1m等）的正方体的体积作为体积单位． 作为推算体积的基础，我们把下面的两个事实 当作公理． （二）两个公理 公理5 长方体的体条件有三个：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之 间；（2）两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截；（3） 两个截面的面积总相等．三个条件缺一不可，否则不能得出两个几 何体的体积相等．
师：我国古代数学家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结 出这个公理，并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理 6也叫做祖暅原理．祖暅比外国人早十二世纪提出这个事实．在古代我 国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的．
V长方体=abc． 推论1 长方体的体积等于它的底面积S和高h的积．
V长方体=Sh．
推论2
正方体的体积等于它的棱长a的立方．
V正方体=a3
公理6 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的 任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何 体的体积相等．
图2-48表示，夹在平行平面α、β之间的两个形状不同的几何体，被 平行于平面α、β的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等， 那么它们的体积一定相等．
定理
柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积．
V圆柱=πr2h．
V柱体=Sh． 推论 底面半径是r，高是h的圆柱的体积是
（四）例题 例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（图2-50）共重5.8kg，已知底面 六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．问约有毛坯多少 个（铁的比重是7.8g/cm3）． 分析：要先求出一个螺丝帽的体积，而一个螺丝帽的体积等于一个正 六棱柱与一个圆柱体积之差．象这样，由若干个简单体组合而成的几何体， 叫做组合体．求组合体积的关键是掌握简单体的体积公式．这是一个实际 题，是属于近似计算的，由于所给的数据都具有两位有效数字，因此运算 过程中都取三位有效数字，结果取二位有效数字．
棱柱-圆柱的表面积与体积
二、圆柱的表面积和体积
圆柱：设底面半径为r， 母线长（高）为h
S圆柱表= S底+S侧 =2πr2+2πrh
V圆柱 = 底面积*h = π r2h
例题
已知：圆柱底面半径为10，母线长（高）为20 求：圆柱的表面积和体积 解：r=10
h=20
∴ S圆柱表= S底+S侧 =2πr2+2πrh =600π
验 面 前 自 警 、自重
例题：Leabharlann 已知：一个正三棱柱，底面是边长为10的正三角形， 高是20，
求：它的表面积和体积
解：a=10
圆柱体体积公式
圆柱体的体积公式：体积=底面积×高,如果用h代表圆柱体的高,则圆柱＝S底×h长方体的体积公式：体积=长×宽×高如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则长方体体积公式为：V长=abc正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长．如果用a表示正方体的棱长,则正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a³锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3台体体积公式:V= S上+√S上S下+S下h÷3圆台体积公式:V=R²+Rr+r²hπ÷3球缺体积公式＝πh²3R-h÷3球体积公式：V＝4πR³/3棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l l为侧棱长,h为高棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号S1S2〕／3h注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高;------几何体的表面积计算公式圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高圆锥体:表面积:πRR+πRhh+RR的平方根体积: πRRh/3 r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2a+b S＝ab 三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝a+b+c/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝ss-as-bs-c1/2＝a2sinBsinC/2sinA 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S ＝ah＝absinα 菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝a+bh/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd ＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×a/360 S＝πr2×a/360 弓形l－弧长S＝r2/2·πα/180-sinαb－弦长＝r2arccosr-h/r - r-h2rh-h21/2h－矢高＝παr2/360 - b/2·r2-b/221/2r－半径＝rl-b/2 + bh/2α－圆心角的度数≈2bh/3 圆环R－外圆半径S＝πR2-r2r－内圆半径＝πD2-d2/4D－外圆直径d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4d－短轴倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2αcosα ·secα＝1 cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin－α＝－sinαcos－α＝cosαtan－α＝－tanαcot－α＝－cotαsinπ/2－α＝cosαcosπ/2－α＝sinαtanπ/2－α＝cotαcotπ/2－α＝tanαsinπ/2＋α＝cosαcosπ/2＋α＝－sinαtanπ/2＋α＝－cotαcotπ/2＋α＝－tanαsinπ－α＝sinαcosπ－α＝－cosαtanπ－α＝－tanαcotπ－α＝－cotαsinπ＋α＝－sinαcosπ＋α＝－cosαtanπ＋α＝tanαcotπ＋α＝cotαsin3π/2－α＝－cosαcos3π/2－α＝－sinαtan3π/2－α＝cotαcot3π/2－α＝tanαsin3π/2＋α＝－cosαcos3π/2＋α＝sinαtan3π/2＋α＝－cotαcot3π/2＋α＝－tanαsin2π－α＝－sinαcos2π－α＝cosαtan2π－α＝－tanαcot2π－α＝－cotαsin2kπ＋α＝sinαcos2kπ＋α＝cosαtan2kπ＋α＝tanαcot2kπ＋α＝cotα其中k∈Z两角和与差的三角函数公式万能公式sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβcosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβcosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβ2tanα/2sinα＝——————1＋tan2α/2 1－tan2α/2 cosα＝——————1＋tan2α/2tanα＋β＝—————— 1－tanα ·tanβtanα－tanβtanα－β＝—————— 1＋tanα ·tanβ2tanα/2tanα＝—————— 1－tan2α/2半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2α＋βα－β 1sinα ·cosβ＝-sinα＋β＋sinα－β 21cosα ·sinβ＝-sinα＋β－sinα－β 21cosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 cosα ·cosβ＝-cosα＋β＋cosα－β 21sinα ·sinβ＝－-cosα＋β－cosα－β 2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式辅助角的三角函数的公式。
圆柱与棱柱的相同点
圆柱与棱柱的相同点一、几何性质1. 边与顶点：圆柱是由两个平行的圆底面和一个连接两个底面的侧面组成，底面和侧面都是由无数个边组成的。
而棱柱是由两个平行的多边形底面和若干个连接两个底面的侧面组成，底面和侧面都是由直线段组成的。
2. 对称性：圆柱和棱柱都具有轴对称性，即它们都可以围绕轴线进行旋转，使得旋转前后的图形完全一致。
3. 顶点个数：圆柱和棱柱的顶点个数是相同的，都是两个底面上的顶点个数之和。
二、表面积比较1. 圆柱的表面积：圆柱的表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成。
底面的面积可以通过圆的面积公式计算，侧面的面积等于侧面的高度乘以底面的周长。
因此，圆柱的表面积公式为：S = 2πr² + 2πrh，其中r为底面的半径，h为圆柱的高度。
2. 棱柱的表面积：棱柱的表面积也由两个底面的面积和侧面的面积组成。
底面的面积可以通过多边形面积公式计算，侧面的面积等于底面的周长乘以棱柱的高度。
因此，棱柱的表面积公式为：S = 2B+ Ph，其中B为底面的面积，P为底面的周长，h为棱柱的高度。
从表面积公式可以看出，圆柱的表面积只与底面的半径和高度有关，而与圆柱的形状无关；而棱柱的表面积则与底面的形状和高度都有关。
三、体积比较1. 圆柱的体积：圆柱的体积由底面的面积和高度决定。
圆柱的底面积乘以高度就是圆柱的体积。
因此，圆柱的体积公式为：V = πr²h，其中r为底面的半径，h为圆柱的高度。
2. 棱柱的体积：棱柱的体积也由底面的面积和高度决定。
棱柱的底面积乘以高度就是棱柱的体积。
因此，棱柱的体积公式为：V = Bh，其中B为底面的面积，h为棱柱的高度。
从体积公式可以看出，圆柱的体积只与底面的半径和高度有关，而与圆柱的形状无关；而棱柱的体积则与底面的形状和高度都有关。
圆柱和棱柱在几何性质、表面积和体积等方面存在一些相同点。
它们都具有轴对称性，顶点个数相同。
在表面积方面，圆柱和棱柱都由底面的面积和侧面的面积组成，只是底面的形状不同；在体积方面，圆柱和棱柱都由底面的面积和高度决定，只是底面的形状不同。
棱柱和圆柱的相同点和不同点
棱柱和圆柱的相同点和不同点
棱柱和圆柱是几何图形中常见的两种立体图形，它们在形状、特征和用途等方面有着一些相同点和不同点。
从形状上来看，棱柱和圆柱都属于柱状体，都具有一个底面和一个顶面，底面和顶面之间通过侧面连接。
不同的是，棱柱的底面和顶面是多边形，侧面是由多个矩形组成的，而圆柱的底面和顶面是圆形，侧面是由圆形的曲面组成的。
从特征上来看，棱柱的侧面是由多个矩形组成的，而圆柱的侧面是由圆形的曲面组成的，因此棱柱的侧面是平直的，而圆柱的侧面是弯曲的。
此外，棱柱的侧面的边长相等，而圆柱的侧面的长度是不等的。
另外，棱柱和圆柱都具有体积和表面积这两个重要的特征。
棱柱的体积等于底面的面积乘以高，表面积等于底面的面积加上所有侧面的面积。
而圆柱的体积等于底面的面积乘以高，表面积等于底面的面积加上侧面的面积。
从用途上来看，棱柱和圆柱都具有一定的实际应用价值。
棱柱常见于建筑、工程和制造业中，例如建筑中的柱子、工程中的管道和制造业中的柱状产品等。
圆柱则更为常见，广泛应用于各个领域。
例如，圆柱形状的容器可以用来存储液体或气体；圆柱形状的柱子可以用来支撑建筑物或桥梁；圆柱形状的轴承可以用来转动机械等。
棱柱和圆柱在形状、特征和用途等方面都有一些相同点和不同点。
它们都属于柱状体，都具有底面、顶面和侧面，但底面和侧面的形状不同，特征和用途也有所差异。
了解和理解这些相同点和不同点，有助于我们更好地认识和应用这两种立体图形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
棱柱、圆柱的体积
一、素质教育目标
（一）知识教学点 1．体积的概念与公理5、公理6． 2．棱柱、圆柱的体积公式． （二）能力训练点 1．理解并掌握公理5及其推论1、2和公理6． 2．理解并掌握棱柱、圆柱的体积公式并会应用它求棱柱、圆柱的组合体的 体积． （三）德育渗透点 1．使学生认识求棱柱、圆柱的体积是人类生产实践的需要，进一步培养学 生实践第一的观点． 2．通过公理6（祖暅原理）把棱柱、圆柱的体积问题转化成可求体积的等 积体——长方体的体积问题，使学生懂得一般与特殊间关系及化归的解题 意识． 3．通过祖暅原理的提出比国外早1200年的事实，激发学生的爱国热 情．
（六）总结
这节课我们学习了公理5、6及公理5的两个推论，学习了棱柱、圆柱的 体积公式及这些公式的简单的应用．
五、作业 P．98中2、3、4、7、8、11． 六、板书设计 2．8 一、体积的概念及体积的度量 二、公理5 推论1 推论2 V长方体=abc V长方体=Sh V正方体=a3 棱柱、圆柱的体积
V长方体=abc． 推论1 长方体的体积等于它的底面积S和高h的积．
V长方体=Sh．
推论2
正方体的体积等于它的棱长a的立方．
V正方体=a3
公理6 夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的 任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何 体的体积相等．
图2-48表示，夹在平行平面α、β之间的两个形状不同的几何体，被 平行于平面α、β的任意一个平面所截，如果截面P和Q的面积总相等， 那么它们的体积一定相等．
定理
柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积．
V圆柱=πr2h．
V柱体=Sh． 推论 底面半径是r，高是h的圆柱的体积是
（四）例题 例1 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯（图2-50）共重5.8kg，已知底面 六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．问约有毛坯多少 个（铁的比重是7.8g/cm3）． 分析：要先求出一个螺丝帽的体积，而一个螺丝帽的体积等于一个正 六棱柱与一个圆柱体积之差．象这样，由若干个简单体组合而成的几何体， 叫做组合体．求组合体积的关键是掌握简单体的体积公式．这是一个实际 题，是属于近似计算的，由于所给的数据都具有两位有效数字，因此运算 过程中都取三位有效数字，结果取二位有效数字．
生：几何体占有空间部分的大小叫做它的体积．
师：同度量长度、面积一样，要度量一个几何体的体积，首先要选取 一个单位体积作为标准，然后求出几何体的体积是单位体积的多少倍， 这个倍数就是这个几何体的体积的数值．通常取棱长等于单位长度 （例如1cm、1m等）的正方体的体积作为体积单位． 作为推算体积的基础，我们把下面的两个事实 当作公理． （二）两个公理 公理5 长方体的体积等于它的长、宽、高的积
二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：公理5、6，棱柱、圆柱的体积公式及其应用． 2．教学难点：对公理6的理解及利用公理6、5推出棱柱、圆柱的体积公式． 3．教学疑点：把棱柱、圆柱的体积转化成等积的长方体，这个长方体的存 在性． 三、课时安排
1课时．
四、教与学过程设计 （一）体积的概念
师：在生产建设和科学实验中，经常会遇到关于物体体积的问题，这些问题 与各种几何体的体积有关，那么什么叫做几何体的体积？
（三）棱柱、圆柱的体积 师：下面我们用以上两个公理来求棱柱和圆柱的体积． 师问：棱柱、圆柱的截面有什么性质？ 生：平行于底面的截面与底面相等．
师：设棱柱与圆柱的底面积都为S、高都为h，根据祖暅原理，那么 它们的体积相等，但等于多少呢？为此还必须引进一个底面积为S、高 为h的长方体，而这样的长方体、棱柱、圆柱的体积都相等．由公理5的 推论1和V长方体=Sh，于是得到下面的定理：
公理6
（见课本P94）
V圆柱=πr2hBiblioteka 三、V柱体=Sh例2 三棱柱的底面是△ABC，AB=13cm，BC=15cm，CA=12cm， 侧棱AA′的长是20cm，如果侧AA′与底面所成的角是60°，求这个三 棱柱的体积． 分析：求三棱柱的体积先要求棱柱的底面积和高． 解：设A′在平面ABC上的射影为H，则A′H是棱柱的高， ∠A′AH=60°（图2-51）．
（五）课堂练习
1．用棱长为1的正方体的体积作为体积单位．图2-47中长方体体积为24，假如将体 积单位改用棱长为2的正方体的体积，这个长方体的体积为多少？为什么？
解：这个长方体的体积为3．因为新体积单位的体积是原来的8倍， 2．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，比较它们的体积哪个大？大多少？
师：公理6的条件有三个：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之 间；（2）两个几何体被平行于这两个平面的任意平面所截；（3） 两个截面的面积总相等．三个条件缺一不可，否则不能得出两个几 何体的体积相等．
师：我国古代数学家祖暅，早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结 出这个公理，并首先用这个公理证明了球的体积公式，因而我们把公理 6也叫做祖暅原理．祖暅比外国人早十二世纪提出这个事实．在古代我 国数学家对世界数学发展的贡献也是很大的．