最新广东省广州市高考数学二模(文科)试题及参考答案

图1
俯视图侧视图
正视图试卷类型：A
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）
2018．4
本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是1
3
V Sh =
,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于
A ．2-i
B ．2i
C ．2-
D ．2 2．已知集合{}}{
2
0,1,2,3,0
A B x x x ==-=，则集合A B I
的子集个数为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有3
2
x x >”的否定是
A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >
B ．不存在0x ∈R ，使得32
00x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32
x x ≤
4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A
．y =
．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+
5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．
16 B ．13 C ．12 D ．38
6．一个几何体的三视图如图1，则该几何体
的体积为
A ．12π
B ．6π
C ．4π
D ．2π
7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
8．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为
A
．14 D
．14
9．设12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF
的中点在y 轴上，若1230PF F ︒
∠=，则椭圆C 的离心率为
A
B
C ．13
D ． 16
10．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行
排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若
2014ij a =，则i j +的值为
A ．257
B ．256
C ．254
D ．253
表1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11．不等式()()120x x +-<的解集为 . 12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r
的值
为 .
13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值
为8，则ab 的最大值为 .
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,
(x a t t y t =-⎧⎨=⎩
为参数)与
圆1cos ,
(sin x y θθθ=+⎧⎨
=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .
15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且
12
AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2
，则
△AFD 的面积为 cm 2
.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，x ∈R .
(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,
2πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且()1
2
f θ=
，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）
某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表.
H F
E
D C B
A
(1) 求a ，b ，n 的值;
(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.
表2 18．（本小题满分14分）
如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，
,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.
图2 19．（本小题满分14分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2
(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；
（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）
已知函数()2
ln f x x x ax =++，a ∈R .
（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()
1
f x
g x x x =
-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.
( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）
已知点()2,1A 在抛物线2
:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E
相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；
（2）若ST =1l 的方程；
（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果
考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（1）解：∵()4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分
∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫
+∈- ⎪⎝
⎭
， ……………3分
4x π⎛⎫⎡
+
∈ ⎪⎣⎝
⎭
. ……………4分
∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣
. ……………5分 （2）解法1：∵()1
2f θ=
，
142πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭. ……………6分
∴cos 44
πθ⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
……………9分
212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ ……………11分
2
124⎛=-⨯ ⎝⎭
3
4=. ……………12分
解法2：∵()1
2
f θ=，
M O
H F E D C
B A
142πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭. ……………6分
1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分
∴1
cos sin 2
θθ-=. ……………8分
两边平方得22
1cos 2cos sin sin 4
θθθθ-+=. ……………10分
∴ 3
sin 24
θ=. ……………12分
17．（本小题满分12分）
(1) 解：依题意，得
520
0.05,0.35,a b n n n
===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分
(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，
则第三、四、五组分别抽取
306360⨯=名，206260⨯=名，10
6160
⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，
则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，
{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，
{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分
其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分
故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为3
10.815
-
=. ……………12分 18．（本小题满分14分）
（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，
∴OH ∥AB ，1
12
OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，
∴OH ∥EF ，OH EF =.
∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分
∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分
（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，
由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.
∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分
在Rt△BFC 中，222
4FB FC BC +==，又FB FC =
，得FB =
∴EM =……………6分 在△AME
中，AE =1AM =
，EM =
O
H
F
E D C B A ∴2
2
2
3AM EM AE +==.
∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，
∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，
∴1
12
FH BC =
=. 在△AEO
中，1
12
AE AO AC EO FH ==
===, ∴2
2
2
AO EO AE +=.
∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,
∴AO FH ⊥. ……………6分
∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =I ,
∴FH ⊥平面ABCD .
∵AB ⊂平面ABCD ,
∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB BC ⊥. ……………8分
∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =I ,
∴AB ⊥平面BCF . ……………9分
（3）解：连接EC ，
在Rt△BFC 中，1
12
FH BC =
=， ∴1EO FH ==.
由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，
∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，
∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =
⋅⋅正方形214
1233
=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅
∆2111
1323
=⨯⨯⨯=. ………13分
∴五面体ABCDEF 的体积为125
3
V V V =+=. ……………14分
19．（本小题满分14分）
（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()2
2
1121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦
. ………3分
∵{}n a 是等差数列，
∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，
∴2
325a a a =，即()()()2
539p p p +=++， ……………6分
解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭. ……………1分 ∵2
n S n pn q =++，
∴12d =，12
d
a p -=，0q =. ……………4分
∴2d =，11p a =-，0q =.
∵235,,a a a 成等比数列，
∴2
325a a a =， ……………5分
即()()()2
111428a a a +=++.
解得10a =. ……………6分
∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分
∵22log log n n a n b +=，
∴2212
24n
a n n n
b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分
∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()01221
42434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①
……………10分
()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分
①-②得0
1
2
1
34444
4n n
n T n --=++++-⋅L 14414
n n
n -=-⋅-()13413n
n -⋅-=.
……………13分
∴()131419
n
n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分
∵22log log n n a n b +=，
∴2212
24n
a n n n
b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分
∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()01221
42434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .
……………10分
由()1
2
3
11n n
x x x x x x x x
+-++++=≠-L ， ……………11分
两边对x 取导数得，0
1
2
1
23n x x x nx -++++=
L ()()
12
11
1n n nx n x x +-++-. …………12分
令4x =，得()()0
1
2
2
114243414
431419n n n
n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣
⎦L . ∴()131419
n
n T n ⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）
（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分
∵()2ln f x x x ax =++， ∴()1
2f x x a x
'=
++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即1
20x a x
++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 1
2a x x -≤
+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时
, 12x x +≥=当且仅当1
2x x
=,
即2x =时,取等号.
……………5分
∴a -≤
即a ≥-.
∴a
的取值范围为)
⎡-+∞⎣
. ……………6分
解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分
∵()2
ln f x x x ax =++， ∴()2121
2x ax f x x a x x
++'=++=.……………2分
方程2210x ax ++=的判别式2
8a ∆=-. ……………3分
① 当0∆≤,
即a -≤≤, 2
210x ax ++≥,
此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,
故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当
0∆>,
即a <-
或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需
2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.
设()2
21h x x ax =++, 则()010,0,4
h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.
故a >……………5分
综合①②得a
的取值范围为)
⎡-+∞⎣
. ……………6分
（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111
f x x x x x
g x x x x x x ++=-=-=+++. ()()
21
1ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *
)上存在极值，
∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,
即方程1
1ln 0x x +
-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()211
0x x x
ϕ'=--<,
∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分
∵()413ln 3ln
33ϕ=-=4e 274
1 2.5ln 0327
>>, ……………10分 ()51
4ln 4ln
44ϕ=-=5e 256513ln 04256
<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分
∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *
∴3t ≤. ……………13分
∵t ∈N *，
∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2
:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分
第（2）、（3）问提供以下两种解法：
解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为2
4x y =.
设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，22
11224,4x y x y ==，
由2
1,4,
y kx x y =+⎧⎨
=⎩消去y 得2
440x kx --=，
解得1,2422
k x k ±=
=±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分
直线AB 的斜率2
111111
12
4224
AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12
124
x y x +-=-. ……………3分
令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为18
2,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭
. ……………4分
同理可得点T 的坐标为28
2,12x ⎛⎫-
- ⎪+⎝⎭
. ……………5分 ∴()()()
121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫
=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x
x x x x k k
---=
==+++. ……………6分
∵ST =，
∴12x x -=. 由()2
2
1212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，
解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()
12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫
=
-+-=- ⎪
++++⎝⎭ ()()()12124444442
22248k k x x x x k k
++=-
=-=-+++. ……………10分
而2
ST
=()()()2
2212
12
12
2
2
2
1614k x x x x x x k
k
k
+-+-==
， ……………11分
∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2
222114x y ST k ⎛
⎫+++= ⎪⎝⎭()22
41k k +=. 展开得()()222
2
2414414k x x y k k k
++++=-=. ……………12分 令0x =，得()2
14y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分
∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为2
4x y =.
设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，
由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.
x k y ⎧
=-⎪
⎨
⎪=-⎩
∴点S 的坐标为12
2,1k ⎛
⎫-
- ⎪⎝
⎭
. ……………2分 由()1212,4,
y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.
∴1142x k =-，2
2111114414
y x k k =
=-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分
同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛
⎫-
- ⎪⎝
⎭
，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，
∴()()()()
()()2
22
22
2112
1212121
4414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---=
=
----121k k =+-.
∴121k k k +=+. ……………5分 又()2
11144142k k k k -+=-1+，得()2
1111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，
化简得122
k
k k =
. ……………6分
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精品文档 ()121212
22222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分
∵ST =， ∴(
)
1212
2k k k k -=.
∴()()22
12125k k k k -=.
由()()()222
1212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+，
得()225
124k k k +=+，
解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+.
…………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，
则0SP TP ⋅=u u r u u r ，
……………10分 得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛
⎫
-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
……………11分 整理得，()224
410x x y k +-++=.
……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。