三角函数与解三角形中的高考热点问题
解三角形是高中数学重点和难点也是历年高考必考点和命题热点题型
解三角形是高中数学重点和难点也是历年高考必考点和命题热点题型
高一到高三数学必刷基础题型全归纳解已更新完成解三角形专题，而三角形是高中数学教学中的重点和难点，也是历年高考的必考点和命题热点。
其中，正弦定理和余弦定理及解三角形更是重中之重，但面对利用正余弦定理或三角函数关系所产生的各类解，学生往往缺乏必要的甄别意识和区分技能，从而造成“会而不对，对而不全”的现象时有发生。
利用这些题型掌握可以轻松提高
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等
3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合
Word文档资料，微信：1989450104，其实，学习一定是有捷径和方法的，不是一味的苦学到半夜，清华北大数名学霸耗精心总结《高分其实很简单》，学霸们晒方法、晒技巧、晒笔记、晒心得、晒智慧！更有高考“必考点”、易考点、分析，让你做题，解题学会举一反三！。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附解析
【最新】《三角函数与解三角形》专题解析(1)一、选择题1．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()π02f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω= ( ) A ．23B ．2C ．143D ．263【答案】C 【解析】∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴1sin()sin()6262πππω-=--=- ∴2266k πππωπ-=+或52,266k k Z πππωπ-=+∈ ∴243k ω=+或42,k k ω=+∈Z ∵函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点 ∴(,)6626x ππωππω-∈-- ∴2326ωππππ<-≤∴131933ω<≤ ∴143ω=或6ω= 故选C.2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）ABCD【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos C =， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.5．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ）A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编含答案解析
A．2或 B． C． D． 或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数 的图象关于直线 对称，则有 ，解得 ，得到函数再求最值.
【详解】
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
当 时， ，此时 的最大值为 ；
当 时， ，此时 的最大值为 ；
【详解】
解：双曲线 的右焦点为 ，双曲线 的右支上一点 ，它关于原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，可得 ， ， ，
，所以 ，可得 ，
，
所以双曲线的离心率为： ．
故选： ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
4．已知函数 ，若方程 的解为 ( )，则 =（）
【详解】
设灯塔位于 处，船开始的位置为 ，船行 后处于 ，如图所示，
可得 ， ，
，
在三角形 中，利用正弦定理可得：
，
可得
故选
【点睛】
本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．
17．函数 （ω＞0）的图像过点（1，2），若f（x）相邻的两个零点x1，x2满足|x1－x2|＝6，则f（x）的单调增区间为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得 ，结合x1＜x2求出x1的范围，再由 求解即可．
【详解】
因为0＜x ，∴ ，
又因为方程 的解为x1，x2（0＜x1＜x2＜π），
∴ ，∴ ，
∴ ，
因为 ，∴0＜x1 ，
∴ ，
高考中三角函数和解三角形的真题（常见的题型）汇总
三角函数类型一：角度的概念、弧长和三角函数的概念1已知角q 的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角q 终边上的一点，且552sin -=q ，则y的值的值2已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是 3若0cos sin <q q ，则角q 在第在第___________________________象限角。
象限角。
象限角。
4 4 已知已知q 为第二象限角；则2q可能为第可能为第_____________________象限角。
象限角。
象限角。
5已知q 为第二象限角；则24a p +所在的象限是所在的象限是_____________________。
6已知角a 的终边过点)60cos 6,8(--m P ，且54cos -=a ，则m 的值为的值为7在平面直角坐标系中，若角a 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终点经过点)4,3(a a P -)0(<a ，则a a cos sin +的值为的值为8 8 已知角已知角a 的终边经过点)3,4(-，则a cos 等于等于答案：1 -8-8；；21sin 2；3 二或四；4 一或三；5 一或三；6 21；7 51；8 54-。
类型二：同角三角函数的求值与化解（a a a a a cos tan sin ,1cos sin 22×==+）1求300sin =_______=_______。
2已知3cos sin cos sin =-+xx x x ，则x tan 的值是的值是________________________。
3若点)9,(a 在函数xy 3=的图像上，则6tanpa 的值为的值为 4已知a 是第二象限角，135sin =a ，则a cos 的值的值5已知51)25sin(=+a p ，那么a cos 的值的值6已知21tan -=a ，则1cos 22sin 2--a a 等于等于7)1410tan(-的值的值8 8 记记cos(80)k -°=,那么tan100°= 9已知11-tan tan -=a a，则2cos sin sin 2++a a a = 10 已知角)2,0(p Îx ，21cos 22££-x 的解集是_____。
三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题(解析版)
三角函数ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．高频考法(1)ω取值与范围问题(2)面积与周长的最值与范围问题(3)长度的范围与最值问题01ω取值与范围问题1、f (x )=A sin (ωx +φ)在f (x )=A sin (ωx +φ)区间(a ，b )内没有零点⇒b -a ≤T2k π≤aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ≤π+k π⇒b -a ≤T2a ≥k π-ϕωb ≤π+k π-ϕω同理，f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内没有零点⇒b -a ≤T2k π<aω+ϕ<π+k πk π<bω+ϕ<π+k π ⇒b -a <T2a >k π-ϕωb <π+k π-ϕω2、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有3个零点⇒T <b -a ≤2T k π≤aω+ϕ<π+k π3π+k π<bω+ϕ≤4π+k π⇒T <b -a ≤2T k π-φω≤a <(k +1)π-φω(k +3)π-φω<b ≤(k +4)π-φω同理f (x )=A sin (ωx +φ)在区间[a ，b ]内有2个零点⇒T2≤b -a <3T2k π<aω+ϕ≤π+k π2π+k π≤bω+ϕ<3π+k π ⇒T 2≤b -a <3T2k π-φω<a ≤k π+π-φω(k +2)π-φω≤b <(k +3)π-φω 3、f (x )=A sin (ωx +φ)在区间(a ，b )内有n 个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω≤a<kπ+π-φω(k+n)π-φω<b≤(k+n+1)π-φω同理f(x)=A sin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点⇒(n-1)T2≤b-a<(n+1)T2kπ-φω<a≤kπ+π-φω(k+n)π-φω≤b<(k+n+1)π-φω4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+14T，则2n+14T=(2n+1)π2ω=b-a ．5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T 2.1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π4,2π3上单调递增，则ω的最大值为()A.14B.12C.1211D.83【答案】B【解析】因为y=3sinωx+cosωx=2sinωx+π6，又ω>0，由-π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ,k∈Z，得到-2π3+2kπω≤x≤π3+2kπω,k∈Z，所以函数y=3sinωx+cosωx的单调增区间为-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，依题有-π4,2π3⊆-2π3+2kπω,π3+2kπω(k∈Z)，则2π3≤π3ω-2π3ω≤-π4，得到0<ω≤12，故选：B.2(2024·四川泸州·三模)已知函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，则ω的取值范围是()A.83,11 3B.83,113C.53,83D.53,83【答案】B【解析】因为0≤x≤π，所以-2π3≤ωx-2π3≤ωπ-2π3，因为函数f x =sinωx-2π3(ω>0)在0,π 有且仅有三个零点，结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ-2π3<3π，解得83≤ω<113，故选：B.3(2024·四川德阳·二模)已知函数f x =sinωx+φ(ω>0,φ∈R)在区间7π12,5π6上单调，且满足f7π12=-f3π4 ．给出下列结论，其中正确结论的个数是()①f2π3=0；②若f5π6-x=f x ，则函数f x 的最小正周期为π；③关于x的方程f x =1在区间0,2π上最多有3个不相等的实数解；④若函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，则ω的取值范围为83,103．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】①因为f7π12=-f3π4 且7π12+3π42=2π3，所以f2π3=0.①正确.②因为f5π6-x=f(x)所以f(x)的对称轴为x=5π62=5π12,2π3-5π12=π4=T4⇒T=π.②正确.③在一个周期内f x =1只有一个实数解，函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3.当T=2π3时，f x =sin3x，f x =1在区间0,2π上实数解最多为π6,5π6,3π2共3个.③正确.④函数f x 在区间2π3,13π6上恰有5个零点，2T<13π6-2π3≤5T2⇒2⋅2πω<13π6-2π3≤52⋅2πω，解得83<ω≤103；又因为函数f x 在区间7π12,5π6上单调且f2π3 =0，T≥45π6-2π3=2π3，即2πω≥2π3⇒ω≤3，所以ω∈83,3.④错误故选：C4(2024·江苏泰州·模拟预测)设函数f x =2sinωx-π6-1ω>0在π,2π上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是()A.32,+∞ B.32,73 ∪52,+∞ C.136,3 ∪196,+∞ D.12,+∞ 【答案】A【解析】令2sin ωx -π6 -1=0得sin ωx -π6 =12，因为ω>0，所以ωx -π6>-π6，令sin z =12，解得z =π6+2k π,k ∈Z 或z =5π6+2k 1π,k 1∈Z ，从小到大将sin z =12的正根写出如下：π6，5π6，13π6，17π6，25π6，29π6⋯⋯，因为x ∈π,2π ，所以ωx -π6∈ωπ-π6,2ωπ-π6，当ωπ-π6∈0,π6 ，即ω∈16,13 时，2ωπ-π6≥5π6，解得ω≥12，此时无解，当ωπ-π6∈π6,5π6 ，即ω∈13,1 时，2ωπ-π6≥13π6，解得ω≥76，此时无解，当ωπ-π6∈5π6,13π6 ，即ω∈1,73 时，2ωπ-π6≥17π6，解得ω≥32，故ω∈32,73，当ωπ-π6∈13π6,17π6 ，即ω∈73,3 时，2ωπ-π6≥25π6，解得ω≥136，故ω∈73,3，当ω≥3时，2ωπ-π6-ωπ-π6=ωπ≥3π，此时f x 在π,2π 上至少有两个不同零点，综上，ω的取值范围是32,+∞ .故选：A02面积与周长的最值与范围问题正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．1(2024·青海·模拟预测)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos 2B +2b cos A cos B =c ．(1)求B ；(2)若b =4，△ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得，2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin C ，所以2sin A cos 2B +2sin B cos A cos B =sin A cos B +cos A sin B ,所以sin A cos B (2cos B -1)+cos A sin B (2cos B -1)=0，即(2cos B -1)sin (A +B )=0，由0<A +B <π，可知sin (A +B )≠0，所以2cos B -1=0，即cos B =12，由0<B <π，知B =π3.(2)由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即16=a 2+c 2-ac ，所以16=a +c 2-3ac ，即ac =13a +c 2-16 ，因为S =12ac sin B =34ac ，L =a +b +c ，所以S L =3ac 4a +c +4=3a +c 2-1612a +c +4，所以S L=312a +c -4 ，又ac ≤a +c 24(当且仅当a =c 时取等号)，所以16=a +c 2-3ac ≥a +c24(当且仅当a =c =4时取等号)，所以a +c ≤8(当且仅当a =c =4时取等号)，所以S L=312a +c -4 ≤312×8-4 =33(当且仅当a =c =4时取等号)，即S L的最大值为33.2(2024·陕西汉中·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，请从下列条件中选择一个条件作答：(注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．)①记△ABC 的面积为S ，且3AB ⋅AC =2S ；②已知a sin B =b cos A -π6 ．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =6，求△ABC 周长的取值范围．【解析】(1)选条件①，由3AB ⋅AC =2S ，得3bc cos A =2×12bc sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.选条件②，由a sin B =b cos A -π6 及正弦定理，得sin A sin B =sin B cos A -π6，而sin B >0，则sin A =cos A -π6 =32cos A +12sin A ，整理得tan A =3，而0<A <π，所以A =π3.(2)由(1)知A =π3，由正弦定理得b sin B =c sin C =a sin A =6sin π3=22，因此b +c =22sin B +22sin C =22sin B +sin π3+B =2232sin B +32cos B=26sin B +π6由△ABC 为锐角三角形，得0<B <π20<2π3-B <π2 ，解得π6<B <π2，因此π3<B +π6<2π3，则32<sin B +π6≤1，于是32<b +c ≤26，32+6<a +b +c ≤36，所以△ABC 周长的取值范围是(32+6,36].3(2024·宁夏银川·二模)已知平面四边形ABCD 中，∠A +∠C =180°,BC =3.(1)若AB =6,AD =3,CD =4，求BD ；(2)若∠ABC =120°,△ABC 的面积为932，求四边形ABCD 周长的取值范围.【解析】(1)在△ABD 中，由余弦定理得cos ∠A =32+62-BD 22×3×6，在△BCD 中，由余弦定理得cos ∠C =32+42-BD 22×3×4，因为∠A +∠C =180°，所以cos ∠A +cos ∠C =0，即32+62-BD 22×3×6+32+42-BD 22×3×4=0，解得BD =33.(2)由已知S △ABC =12×3×AB ×32=932，得AB =6，在△ABC 中，∠ABC =120°，由余弦定理得AC 2=32+62-2×3×6×cos120°=63，则AC =37，设AD=x,CD=y,(x,>0,y>0)，在△ACD中，由余弦定理得372=x2+y2-2xy⋅cos60°=x+y2-3xy，则x+y2=63+3xy≤63+3×x+y22，得x+y24≤63，所以x+y≤67，当且仅当x=y=37时取等号，又x+y>AC=37，所以四边形ABCD周长的取值范围为37+9,67+9.4(2024·四川德阳·二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin B=23cos2A+C 2.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.【解析】(1)因为△ABC中，sin B=23cos2A+C2，即2sinB2cos B2=23cos2π-B2=23sin2B2，而0<B<π,∴sin B2>0，故cos B2=3sin B2，故tan B2=33，又0<B<π,∴0<B2<π2，则B2=π6,∴B=π3；(2)由(1)以及题设可得S△ABC=12ac sin B=34a；由正弦定理得a=c sin Asin C=c sin2π3-Csin C=c sin2π3cos C-cos2π3sin Csin C=32cos C+12sin Csin C=32tan C+12，因为△ABC为锐角三角形，0<A<π2，0<C<π2，则0<2π3-C<π2,∴π6<C<π2，则tan C>33,∴0<1tan C<3，则12<32tan C+12<2，即12<a<2，则38<S△ABC<32，即△ABC面积的取值范围为38,32 .03长度的范围与最值问题对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．1(2024·贵州遵义·一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3b-a sin C= 3a cos C．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求b的取值范围．【解析】(1)在△ABC中，由3b-a sin C=3a cos C及正弦定理，得3sin B-sin A sin C=3sin A cos C，则3sin A cos C+sin A sin C=3sin(A+C)=3sin A cos C+3cos A sin C，即sin A sin C=3cos A sin C，而sin C>0，于是tan A=3，又0<A<π，所以A=π3.(2)由(1)知，A=π3，由正弦定理得b=c sin Bsin C=2sin2π3-Csin C=3cos C+sin Csin C=3tan C+1，由△ABC为锐角三角形，得0<C<π20<2π3-C<π2，解得π6<C<π2，则tan C>13，∴1tan C<3,则1<b<4，所以b的取值范围是1<b<4.2(2024·宁夏固原·一模)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且2sin B sin C+cos2C= 1+cos2A-cos2B．(1)求证：B+C=2A；(2)求c-ba的取值范围．【解析】(1)因为2sin B sin C+cos2C=1+cos2A-cos2B，所以2sin B sin C+1-2sin2C=1+1-2sin2A-1+2sin2B，则sin B sin C-sin2C=-sin2A+sin2B，由正弦定理可得bc-c2=-a2+b2，即bc=b2+c2-a2，所以cos A=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，又A∈0,π2，故A=π3，由A+B+C=π，故B+C=π-A=2π3=2A；(2)由(1)得sin A=32,cos A=12，因为sin B=sin A+C=sin A cos C+cos A sin C=32cos C+12sin C，所以由正弦定理得c-ba=sin C-sin Bsin A=23sin C-32cos C-12sin C=2312sin C-32cos C=23sin C-π3，又锐角△ABC中，有0<C<π20<π-π3-B<π2，解得π6<C<π2，所以-π6<C-π3<π6，则-12<sin C-π3<12，所以-33<23sin C-π3<33，即-33<23sin C-π3<33，故c-ba的取值范围为-33,33.3(2024·河北衡水·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD,BD=2，且a2=-233S+ab cos C.(1)求角B；(2)求2AD +1CD的取值范围.【解析】(1)∵a2=-233S+ab cos C，∴a2=-33ab sin C+ab cos C，即a=-33b sin C+b cos C，由正弦定理得，sin A=-33sin B sin C+sin B cos C，∴sin B+C=-33sin B sin C+sin B cos C，∴cos B sin C=-33sin B sin C，∵sin C≠0，∴tan B=-3，由0<B<π，得B=2π3.(2)由(1)知，B=2π3，因为AB⊥BD，所以∠ABD=π2，∠DBC=π6，在△BCD中，由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsin C，即DC=2sinπ6sin C=1sin C，在Rt△ABD中，AD=BDsin A=2sin A，∴2 AD +1CD=22sin A+11sin C=sin A+sin C，∵∠ABC=2π3，∴A+C=π3,∴2 AD +1CD=sin A+sin C=sinπ3-C+sin C=sinπ3cos C-cosπ3sin C+sin C=sin C+π3，∵0<C<π3，∴C+π3∈π3,2π3，∴sin C+π3∈32,1，所以2AD+1CD的取值范围为32,1.4(2024·陕西安康·模拟预测)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=8，ac=1+sin2A-sin2Csin2B，且a≠c．(1)求证：B=2C；(2)已知点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范围．【解析】(1)因为ac=1+sin2A-sin2Csin2B，即a-cc=sin2A-sin2Csin2B，由正弦定理可得a-cc=a2-c2b2=a+ca-cb2，又a≠c，即a-c≠0，所以1c=a+cb2，整理得b2=c2+ac，由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，整理得c=a-2c cos B，由正弦定理得sin C=sin A-2sin C cos B，故sin C=sin B+C-2sin C cos B，即sin C=sin B cos C+sin C cos B-2sin C cos B，整理得sin C=sin B-C，又因为△ABC为锐角三角形，则C∈0,π2,B∈0,π2，可得B-C∈-π2,π2，所以C=B-C，即B=2C.(2)因为点M在线段AC上，且∠ABM=∠CBM，即BM平分∠ABC，又B=2C，所以∠C=∠CBM，则∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C，在△MCB中，由正弦定理得BCsin∠BMC=BMsin C，所以BM=BC sin Csin∠BMC=8sin Csin2C=8sin C2sin C cos C=4cos C，因为△ABC为锐角三角形，且B=2C，所以0<C<π20<2C<π20<π-3C<π2，解得π6<C<π4.故22<cos C<32，所以833<BM<42.因此线段BM 长度的取值范围833,42.1在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =3，A =60°，则b 的取值范围是()A.0,6B.0,23C.3,23D.3,6【答案】C【解析】由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b =a sin B sin A =3sin B sin60°=23sin B ，又△ABC 为锐角三角形，C =180°-A -B =120°-B ，又0°<B ,C <90°，则0°<120°-B <90°，解得30°<B <90°，而当30°<x <90°时，y =sin x 单调递增，故sin B ∈12,1，所以b =23sin B ∈3,23 .故选：C2已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)，现有如下说法：①若φ=π3，函数f (x )在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5；②若直线x =π4为函数f (x )图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f (x )图象的一个对称中心，且f (x )在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817；③若f (x )=12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163；则正确的个数为()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①，因为x =π6+π32=π4时，f x 有最小值，所以sin ωπ4+π3=-1，所以ωπ4+π3=2kπ+3π2k∈Z，得到ω=8k+143k∈Z，因为f x 在区间π6,π3上有最小值，无最大值，所以π3-π4≤πω，即ω≤12，令k=0，得ω=143，故①错误；对于②，根据题意，有ωπ4+φ=2k1π+π2k1∈Z5ωπ3+φ=k2πk2∈ZT2=πω≥5π6-π4=7π12，得出ω=-12(2k1-k2)+617,k1,k2∈Z0<ω≤127，即ω=-12k+617,k∈Z0<ω≤127，得到ω=617或1817，故②正确；对于③，令ωx+φ=2kπ+π6k∈Z或ωx+φ=2kπ+5π6k∈Z，则x=-φ+2kπω+π6ωk∈Z或x=-φ+2kπω+5π6ωk∈Z，故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过π2，即2πω≤π2,8π3ω>π2,，解得ω∈4,16 3，故③正确，故选：C．3设函数f x =sin2ωx-cos2ωx+23sinωx cosωxω>0，当x∈0,π2时，方程f x =2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是()A.73,13 3B.73,133C.83,143D.83,143【答案】C【解析】由已知易知f x =3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx-π6，当x∈0,π2时2ωx-π6∈-π6,πω-π6，所以要满足题意有5π2≤πω-π6<9π2⇒ω∈83,143.故选：C4将函数f x =sinωx-cosωx(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，再把横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x 的图象．若点π2,0是g x 图象的一个对称中心，则ω的最小值是()A.45B.12C.15D.56【答案】C【解析】由题意可得f x =222sinωx-22cosωx=2sinωx-π4，所以将f x 的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数h x =2sin ωx +π4 -π4=2sin ωx +ωπ4-π4的图象，再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数g x =2sin 2ωx +ωπ4-π4的图象，因为点π2,0 是g x 图象的一个对称中心，所以πω+ωπ4-π4=k π,k ∈Z ，解得ω=45k +15,k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为15．故选：C5已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23.故选：A6(多选题)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，且a =2，AB ⋅AC=23S ，下列选项正确的是()A.A =π6B.若b =2，则△ABC 只有一解C.若△ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是23,4D.若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2+3【答案】ABD【解析】对于A ，因为AB ⋅AC =23S ，所以bc cos A =23×12bc sin A ，则tan A =33，因为A ∈0,π ，所以A =π6，故A 正确；对于B ，因为b =2=a ，则B =A =π6，C =2π3，故△ABC 只有一解，故B 正确；对于C ，若△ABC 为锐角三角形，则B ∈0,π2 ，C ∈0,π2，则0<B <π20<π-π6-B <π2，则π3<B <π2，即sin B ∈32,1，由正弦定理可知：b =a sin Bsin A=4sin B ∈23,4 ，故C 错误；对于D ，若D 为BC 边上的中点，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14AB 2+2AB ⋅AC +AC 2=14b 2+c 2+3bc由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-3bc =4，得b 2+c 2=3bc +4，又b 2+c 2=3bc +4≥2bc ，所以bc ≤42-3=43+8，当且仅当b =c =2+6时取得等号，所以AD 2=14b 2+c 2+3bc =144+23bc ≤144+23×43+8 =7+43，即AD ≤7+43=2+3，故D 正确.故选：ABD .7已知函数f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx ω>0 ，若f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．【答案】56,43【解析】因为f x =12+3sin ωx cos ωx -cos 2ωx =32sin2ωx -12cos2ωx =sin 2ωx -π6，因为f x 的图象在0,π 上有且仅有两条对称轴，所以3π2≤2ωπ-π6<5π2，解得56≤ω<43，所以ω的取值范围是56,43 ．故答案为：56,43.8已知函数f x =sin ωx ω>0 ，若∃x 1,x 2∈π3,π，f x 1 =-1，f x 2 =1，则实数ω的取值范围是.【答案】ω=32或ω≥52【解析】设θ=ωx，x∈π3,π，则θ∈π3ω,πω，所以问题转化为y=sinθ在θ∈π3ω,πω上存在最大值和最小值，由正弦函数图象可得，π3ω≤kπ+π2kπ+π2+π≤πω，解得k+32≤ω≤3k+32，所以k≥0,k∈Z，当k=0时，32≤ω≤32，∴ω=32；当k=1时，52≤k≤92，当k=2时，72≤ω≤152，当k=3时，92≤ω≤212，当k=n，n∈N*时，n+32≤ω≤3n+32，当k=n+1时，n+52≤ω≤3n+92，而n+52-3n+32=-2n+1<0，即n+52<3n+32，所以k∈N*时，所有情况的ω范围的并集为ω≥52；综上，实数ω的取值范围是ω=32或ω≥52.故答案为：ω=32或ω≥52.9已知函数f x =sinωx+φω>0满足f x ≥fπ12，且f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，则实数ω的取值范围为．【答案】125,4【解析】因为f x ≥fπ12，所以fπ12 =sinπ12ω+φ=-1，所以π12ω+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ-π12ω+3π2，k∈Z，所以f x =sinωx+2kπ-π12ω+3π2 =-cosωx-π12．当-π3≤x≤π3时，-5πω12≤ωx-π12≤πω4ω>0．因为f x 在区间-π3,π3上恰有两个最值，且-5πω12>πω4 ，所以ω>0-2π<-5πω12≤-π0<πω4<π，解得125≤ω<4．故答案为：125,4．10已知函数f (x )=-sin ωx -π4 (ω>0)在区间π3,π 上单调递减，则ω的取值范围是.【答案】0,34【解析】当x ∈π3,π时， ωπ3-π4<ωx -π4<ωπ-π4，又y =-sin x 的单调递减区间为2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z )，所以ωπ3-π4≥2k π-π2ωπ-π4≤2k π+π2(k ∈Z )，解得6k -34≤ω≤2k +34(k ∈Z )，且2k +34≥6k -34(k ∈Z )，解得k ≤38，又ω>0，所以k =0，所以ω的取值范围为0,34.故答案为：0,3411若函数f x =cos ωx -π6ω>0 在区间π3,2π3内单调递减，则ω的最大值为．【答案】74【解析】由题得：12T ≥2π3-π3⇒0<ω≤3，令t =ωx -π6⇒t ∈πω3-π6,2πω3-π6，则y =cos t 在t ∈πω3-π6,2πω3-π6单调递减，故πω3-π6≥2k π2πω3-π6≤2k π+π⇒6k +12≤ω≤3k +74，由0<ω≤3，故ω∈12,74，所以ω的最大值为74，故答案为：74.12已知函数f (x )=4sin ωx ,g (x )=4cos ωx -π3+b (ω>0)，且∀x 1,x 2∈R ,|f (x 1)-g (x 2)|≤8，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，与函数g (x )的图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且BA ⋅BC<0，则ω的取值范围是．【答案】0,2π8【解析】依题意，函数f (x )的值域为[-4,4]，g (x )的值域为[b -4,b +4]，由∀x 1,x 2∈R ,f (x 1)-g (x 2) ≤8，得|(b -4)-4|≤8，且|(b +4)-(-4)|≤8，解得b =0，g (x )=4cos ωx -π3 =4sin ωx +π6 ，将f (x )=4sin ωx 的图象向右平移π3ω个单位长度后，得h (x )=4sin ωx -π3ω =4sin ωx -π3，在同一坐标系内作出函数y =g (x ),y =h (x )的图象，观察图象知，|AC |=2πω，取AC 中点D ，连接BD ，由对称性知|AB |=|BC |，BD ⊥AC ，由BA ⋅BC <0，得∠ABC >π2，即∠ABD >π4，|AD |>|BD |，由h (x )=g (x )，得sin ωx -π3 =sin ωx +π6 ，则ωx -π3+ωx+π6=π+2k π,k ∈Z ，解得ωx =712π+k π,k ∈Z ，于是y =4sin 712π+k π-π3=±22，则|BD |=42，因此πω>42，解得0<ω<2π8，所以ω的取值范围是0,2π8.故答案为：0,2π813在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠ABC =2π3，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =2，则a +4c 的最小值为．【答案】18【解析】如图所示，则△ABC 的面积为12ac sin 2π3=12a ⋅2sin π3+12c ⋅2sin π3，则ac =2a +2c ，所以1a +1c =12，显然a ,c >0，故a +4c =(a +4c )1a +1c ×2=2×5+4c a +a c ≥25+24c a ⋅a c=18，当且仅当4ca =a c 1a +1c =12，即a =6c =3时取等号.所以a +4c 的最小值为18.故答案为：18.14在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且2b sin A -3a =0.(1)求角B；(2)求sin A+sin C的取值范围.【解析】(1)∵2b sin A-3a=0，∴2sin A sin B-3sin A=0，又∵A∈0,π2,∴sin A≠0，∴sin B=32,B∈0,π2，∴B=π3.(2)由(1)可知，B=π3，且△ABC为锐角三角形，所以0<A<π20<C=2π3-A<π2，∴A∈π6,π2，则sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=32sin A+32cos A=3sin A+π6，因为π3<A+π6<2π3，∴sin A+sin C∈32,3.15在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2b sin A-3a=0．(1)求角B的大小；(2)求cos A+cos C的取值范围．【解析】(1)因为2b sin A-3a=0，由正弦定理边化角得：2sin B sin A-3sin A=0，所以2sin B-3sin A=0，由于在△ABC中，sin A≠0，所以2sin B-3=0，即sin B=32，又0<B<π2，所以B=π3.(2)由(1)可知B=π3，所以A+C=2π3，所以cos A+cos C=cos A+cos2π3-A=cos A+cos2π3cos A+sin2π3sin A=cos A-12cos A+32sin A=12cos A+32sin A=sin A+π6由于在锐角△ABC中，0<2π3-A<π2 0<A<π2，所以π6<A<π2，所以π3<A+π6<2π3，所以sinπ3<sin A+π6≤sinπ2，所以32<sin A+π6≤1，所以cos A+cos C的取值范围为32,1.16已知锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b2+c2-(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc，(1)求角A的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc的取值范围．【解析】(1)∵b2+c2-b cos C+c cos B2=bc，由余弦定理可得b2+c2-b⋅a2+b2-c22ab+c⋅a2+c2-b22ac2=bc，化简整理得b2+c2-a2=bc，又b2+c2-a2=2bc cos A，∴cos A=12，又0<A<π2，所以A=π3.(2)因为三角形外接圆半径为R=3，所以b=23sin B，c=23sin C，∴bc=12sin B sin C，由(1)得B+C=2π3，所以bc=12sin B sin C=12sin B sin2π3-B=12sin B32cos B+12sin B=63sin B cos B+6sin2B=33sin2B+31-cos2B=632sin2B-12cos2B+3 =6sin2B-π6+3，因为△ABC是锐角三角形，且B+C=2π3，所以π6<B<π2，∴π6<2B-π6<5π6，∴12<sin2B-π6≤1，∴6<6sin2B-π6+3≤9，即6<bc≤9.所以bc的取值范围为6,9.17在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，cos2B-sin2B=-1 2．(1)求角B，并计算sin B+π6的值；(2)若b=3，且△ABC是锐角三角形，求a+2c的最大值．【解析】(1)由cos2B+sin2B=1cos2B-sin2B=-12，得cos2B=14，则cos B=±12，又0<B<π，所以B=π3或2π3.当B=π3时，sin B+π6=sinπ2=1；当B=2π3时，sin B+π6=sin5π6=12.(2)若△ABC为锐角三角形，则B=π3，有0<C<π20<A=2π3-C<π2，解得π6<C<π2.由正弦定理，得asin A=csin C=bsin B=332=2，则a=2sin A,c=2sin C，所以a+2c=2sin A+4sin C=2sin2π3-C+4sin C=232cos C+12sin C+4sin C=5sin C+3cos C=27sin(C+φ)，其中tanφ=35，又tanφ=35<33=tanπ6，所以0<φ<π6，则π3<C+φ<2π3，故当C+φ=π2时，sin(C+φ)取到最大值1，所以a+2c的最大值为27.18在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【解析】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos2θ-1=2cosθ，AB=12+32 2-2×1×32⋅cosπ-2θ=134+3cos2θ=134+32cos2θ-1=6cos2θ+1 4，在△ABD中，因为θ∈0,π2，所以由正弦定理可知：ABsin∠ADB =ADsin B⇒sin∠ADBsin B=ABAD=6cos2θ+142cosθ=14×24cos2θ+1cos2θ=14×24+1cos2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B 的取值范围为54,+∞ ..19记锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B .(1)证明：B +C =2A ；(2)求c b的取值范围.【解析】(1)证明：由2sin B sin C +cos2C =1+cos2A -cos2B ，得2sin B sin C +1-2sin 2C =1+1-2sin 2A -1+2sin 2B ，即sin B sin C -sin 2C =-sin 2A +sin 2B ，由正弦定理可得bc -c 2=-a 2+b 2，即a 2=b 2+c 2-bc ，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，故cos A =12，又A ∈0,π2 ，故A =π3，由A +B +C =π，故B +C =π-A =2π3=2A ；(2)由正弦定理可得：c b=sin C sin B =sin π-A -B sin B =sin π3+B sin B =12sin B +32cos B sin B =12+32tan B ，又锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<π-π3-B <π2，解得π6<B <π2，即tan B ∈33,+∞，即1tan B ∈0,3 ，故c b=12+32tan B ∈12,2 .20记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a +b +c a +b -c =3，且△ABC 的面积为334.(1)求角C ；(2)若AD =2DB ，求CD 的最小值.【解析】(1)∵a +b +c a +b -c =3，∴3=(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab 结合余弦定理得3=2ab cos C +2ab =2ab 1+cos C ，∴ab =321+cos C ，∵S △ABC =12ab sin C =334，∴sin C 1+cos C =3，即2sin C 2cos C 2cos 2C 2=tan C 2=3，又∵C 2∈0,π2 ，∴C 2=π3，故C =2π3；(2)由(1)知：C =2π3,ab =321+cos C=3，∵AD =2DB ，∴CD =13CA +23CB ，∴CD 2=13CA +23CB 2=19b 2+49a 2+49ab cos C =19b 2+49a 2-23，又19b 2+49a 2-23≥219b 2⋅49a 2-23=2×23-23=23，当且仅当b =2a =6时，CD 长取最小值，此时CD =23=63，∴CD 长的最小值为63.21已知函数f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx ω>0 的最小正周期为4π.(1)求f x 在0,π 上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2a -c cos B =b ⋅cos C ,求f A 的取值范围.【解析】(1)f x =12-sin 2ωx +32sin2ωx =12-1-cos2ωx 2+32sin2ωx =32sin2ωx +12cos2ωx =sin 2ωx +π6.因为T =2π2ω=4π,所以ω=14,故f x =sin 12x +π6.由-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z ,解得4k π-4π3≤x ≤4k π+2π3,k ∈Z ,当k =0时,-4π3≤x ≤2π3,又x ∈0,π ,所以f x 在0,π 上的单调递增区间为0,2π3.(2)由2a -c cos B =b ⋅cos C ,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C =sin B +C =sin A .因为sin A ≠0,所以cos B =12,又B ∈0,π ,所以B =π3,又三角形为锐角三角形，则0<A <π20<2π3-A <π2，则π6<A <π2，所以π4<A 2+π6<5π12，又f A =sin A 2+π6，sin 5π12=sin π4+π6 =sin π4cos π6+cos π4sin π6=2+64，则22<sin A 2+π6 <2+64，所以f A 的取值范围为22,2+64.22已知在△ABC 中，1-cos A 2-sin A =0，(1)求A ；(2)若点D 是边BC 上一点，BD =2DC ，△ABC 的面积为3，求AD 的最小值.【解析】(1)因为1-cos A 2-sin A =0，所以sin 2A 2=sin A ， 因为0<A 2<π2，sin A 2>0，则sin A 2=2sin A 2cos A 2，故cos A 2=12， 所以A 2=π3，A =2π3，(2)因为BD =2DC ，则BD =2DC ，所以AD -AB =2AC -AD ，故AD =13AB +23AC ， 因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A =3，所以bc =4|AD |2=13AB +23AC 2=19c 2+49b 2+49AB ⋅AC =19c 2+49b 2-29bc ≥49bc -29bc =89上式当且仅当c =2b ，即c =22，b =2时取得“=”号，所以AD 的最小值是223.23在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且满足2sin A +C cos A -sin C cos A =sin A cos C ．(1)求角A ；(2)若点D 在线段BC 上，且满足BD =3DC ,AD =3，求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)由题意得2sin B cos A -sin C cos A =sin A cos C ，即2sin B cos A =sin A cos C +sin C cos A =sin B ，∵sin B ≠0，∴2cos A =1，∴cos A =12，又0<A <π,∴A =π3；(2)解法一：令DC =t ，则BD =3t ，∵cos ∠ADC =-cos ∠ADB ，∴AD 2+DC 2-AC 22AD ⋅DC =-AD 2+BD 2-AB 22AD ⋅BD ，即9+t 2-b 26t =-9+9t 2-c 218t ，∴12t 2=-36+3b 2+c 2①，又∵cos ∠BAC =12=b 2+c 2-16t 22bc ，∴16t 2=b 2+c 2-bc ②，∵联立①②，得144-3bc =9b 2+c 2≥6bc (当且仅当c =3b 时取等号)，即bc ≤16，∴S △ABC =12bc sin ∠BAC =34bc ≤43，∴△ABC 面积的最大值为43.解法二：依题意AD =14AB+34AC，∴AD 2=14AB+34AC 2=116AB 2+9AC 2+6AB ⋅AC，即9=116AB 2+9AC 2+6AB AC cos π3=116AB 2+9AC 2+3AB AC，∵AB 2+9AC 2≥6AB AC (当且仅当AB =3AC 时取等号)，∴AB AC ≤16，∴S △ABC =12AB ACsin ∠BAC ≤34×16=43，∴△ABC 面积的最大值为43．24已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c 2的最小值．【解析】(1)因为m ⎳n ，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b2a2+c2=a2+c2-aca2+c2=1-aca2+c2,1-aca2+c2≥1-ac2ac=1-12=12，当且仅当a=c时等号成立，故b2a2+c2的最小值为12.25已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B，a<c，b<c．(1)求tan(A+B)的值；(2)若△ABC的面积为123，求c的最小值．【解析】(1)因为sin2C=sin2B+sinπ3+Bcosπ6+B=sin2B+12sinπ2+2B+sinπ6=sin2B+12cos2B+12=sin2B+121-2sin2B+14=34，因为sin C>0，所以sin C=3 2，由△ABC为钝角三角形且a<c，b<c知，C为钝角，所以cos C=-12，即tan C=-3，所以tan(A+B)=tanπ-C=-tan C=3.(2)因为S△ABC=12ab sin C=34ab=123，所以ab=48，由余弦定理，c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2+ab≥3ab=144，当且仅当a=b=43时，等号成立，此时c2的最小值为144，所以c的最小值为12.。
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2
3
所以 的取值范围为（
2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值
超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形 三角函数与解三角形热点问题
【尝试训练】 (2020·郑州质检)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若向量 m＝2cos2C2 ，cos A－2 B，n＝58，cos A－2 B，m·n＝98. (1)求 tan Atan B 的值； (2)求c2a－bsai2n－Cb2的最小值. 解 (1)由题意可得 m·n＝54cos2C2＋cos2A－2 B＝98， 即－58cos(A＋B)＋12cos(A－B)＝0，展开可得 cos Acos B＝9sin Asin B，
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2)由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ(k∈Z). 设 A＝－4π，π4，B＝x－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，易知 A∩B＝－1π2，π4.
所以当 x∈－π4，π4时，f(x)在区间－1π2，π4上单调递增，在区间－π4，－1π2上单调 递减.
6＋ 4
2 .
两角差正弦公式的应用
12′
[高考状元满分心得]
❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点
步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出 0°<A<180°就有分，没写就扣 1 分，第(2)
问中 0°<C<120°也是如此.
❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时
教你如何审题——三角函数与平面向量
【例题】 (2020·湘赣十四校联考)已知向量 m＝(sin x，－1)，n＝( 3，cos x)，且函
数 f(x)＝m·n. (1)若 x∈0，2π，且 f(x)＝23，求 sin x 的值；
(2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，△ABC
高考数学一轮复习三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
，∵函数f（x）＝cos（2x＋φ）（0＜φ＜π）在区间
π π
− ,
6 6
上单调递
π
− ≥ 0,
π
π
π
2π
减，∴ − + , + ⊆[0，π]，即ቐ 3π
解得 ≤φ≤ .令f（x）＝cos
3
3
3
3
+ ≤ π,
3
π
π π
（2x＋φ）＝0，则2x＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即x＝ － ＋ （k∈Z），又函数f
4
解：（2）f（x）＝－
1 2 5
sin−
＋ ＋a.
2
4
17
, 5
4 ⇒൝4
()max ≤
由题意得ቐ
()min ≥ 1
17
,
4 ⇒2≤a≤3，
+ ≤
−1 ≥ 1
即实数a的取值范围是[2，3].
三角形中的最值（范围）问题
考向1 利用三角函数的性质求最值（范围）
【例4】 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C.
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（范围）问题
三角函数与解三角形中的最值（范围）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
3
3
答案
3
3
－
3
3
2
1+ 2
，
｜解题技法｜
sin+
高考热点剖析——解三角形热点问题
高考热点剖析——解三角形热点问题高考对本内容的考查主要有：正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型可能是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题．1．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .2．余弦定理及其推论a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .4．三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π.(2)A ＞B ＞C ⇔a ＞b ＞c ⇔＞sin A ＞sin B ＞sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B . 【应对策略】解三角形是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是与三角函数的综合更加是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题．需要熟练掌握三角形中的基本定理及其变形，以及正、余弦定理与三角函数的结合问题． 【必备方法】1．三角形中的三角函数是三角函数图象和性质的一个重要方面的应用，解决的关键是要善于应用诱导公式、同角三角函数的基本关系等三角函数基础知识对三角函数解析式进行化简、变形，同时要注意有关角的范围限制．2．正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角； (2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 3．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．命题角度一 正、余弦定理与三角函数的结合问题[命题要点] 正、余弦定理与三角函数结合命题是高考的一个方面，往往以三角函数为载体考查解三角形知识．【例1】► (2012·天一、淮阴、海门中学联考)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．[思路分析] (1)将原函数解析式通过恒等变换化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形解决； (2)通过正、余弦定理的结合解题． 解 (1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，则f (x )的最小值是－2，最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， ∵0＜C ＜π，∴－π6＜2C －π6＜11π6，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得a b ＝12，①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，②由①②解得a ＝1，b ＝2.【方法支招】对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理．【突破训练1】 (2012·苏州调研)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a －cb －c ＝sin Bsin A ＋sin C. (1)求A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由a －cb －c ＝sin B sin A ＋sin C ，得a －c b －c ＝ba ＋c. ∴a 2＝b 2＋c 2－bc .由余弦定理，得cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π32－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π32＝－12cos 2x .令2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为[k π，k π＋π2](k ∈Z )．命题角度二 正、余弦定理与三角形面积的结合问题[命题要点] ①根据条件求面积大小、最值或范围；②已知三角形面积，求其它元素． 【例2】►（2012年高考（浙江理））在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B C .(Ⅰ)求tan C 的值;(Ⅱ)若a 求∆ABC 的面积. ．[思路分析] 由已知条件结合三角恒等变换，正、余弦定理及三角形的面积公式解决． 【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点.(Ⅰ) ∵cos A =23>0,∴sin A =,cos C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos Acos C +23sin C .整理得:tan C(Ⅱ)由图辅助三角形知:sin C . 又由正弦定理知:sin sin a cA C=,故c =对角A 运用余弦定理:cos A =222223b c a bc +-=. (2)解(1) (2)得:b =or b 舍去).∴∆ABC 的面积为:S .. 【方法支招】三角形中的面积公式一般与正弦定理、余弦定理的应用有密切关系，而在解决问题时又要充分应用三角恒等变换公式．三角恒等变换公式是解决三角函数类问题、三角形问题的工具，在复习时要注意这个特点．【突破训练2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知2sin A ＝3cos A . (1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ， 即2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 解得cos A ＝12或－2(舍去)，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.由余弦定理，知b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A . 又a 2－c 2＝b 2－mbc ， 可得cos A ＝m2，∴m ＝1.(2)由余弦定理及a ＝3，A ＝π3， 可得3＝b 2＋c 2－bc ，再由基本不等式b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝34bc ≤334，故△ABC 面积的最大值为334.命题角度三 解三角形在实际问题中的应用[命题要点] ①应用正弦定理、余弦定理求距离或航行方向；②与三角函数综合考查，求解最值等实际问题．【例3】►为了测量某城市电视塔的高度，在一条直道上选 择了A ，B ，C 三点，使m BC AB 60==，在A ，B ，C 三点观察塔的最高点，测得仰角分别为602.5445，，，若测量 者的身高为1.5m ，试求电视塔的高度(结果保留1位小数). 【思路分析】引导学生依据题意画出示意图如图，将实际问题转化为解三角形问题。
高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
题型三 三角函数与解三角形 ——高考数学高频题型专项讲解
题型三三角函数与解三角形——高考数学高频题型专项讲解一、思路分析三角函数定义的应用，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简与求值都是高考中的热点考查内容，常与三角恒等变换结合命题，同时应注意象限角、终边相同的角等与三角函数的综合，以及扇形的弧长和面积公式的考查，考查基本运算能力，题型以选择题、填空题为主.三角恒等变换在高考中重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数式的化简；（2）三角函数的求值；（3）通过恒等变换研究函数的性质等.注意三角恒等变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命题，难度中等偏下.高考考查三角函数的命题点主要有三个方面：（1）三角函数的图象及应用；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查.多以选择题和填空题的形式出现，难度中等，多了解命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题.解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档.二、考纲要求1.任意角和弧度制、三角函数的概念和诱导公式（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互比.（2）理解并掌握同角三角函数的基本关系式.（3）掌握诱导公式及其应用.2.三角恒等变换（1）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）能进行简单的三角恒等变换.3.三角函数的图象与性质（1）理解三角函数的定义，掌握三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值等性质及其应用.（2）了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义，理解参数A ，ω，ϕ的意义以及参数的变化对函数图象的影响.（3）会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.4.解三角形（1）掌握余弦定理、正弦定理.（2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.三、方法技巧1.利用诱导公式化简求值的思路（1）给角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用.（2）在对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名称搞错.2.弧长和扇形面积问题的解题策略（l ）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.（2）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.（3）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.3.三角函数定义问题的常见类型及解题策略（1）已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解.（2）已知角α的某个三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.（3）三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.4.应用三角恒等变换公式的策略（1）正用三角函数公式时，要记住公式的结构特征和符号变化规律，如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”.（2）逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式.（3）注意和差角和倍角公式的变形.（4）三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用.5.解决三角函数的图象变换问题的基本方法（1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换自变量x ，如果x 的系数不是1，那么要先把x 的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向.（2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x 的系数变为一致，通过列方程求解.（3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数()f x ，()g x 的图象与x 轴的交点（如图象上升时与x 轴的交点），其分别为1(,0)x ，2(,0)x （1()0f x =，2()0g x =），则由21x x -的值可判断出左右平移的情况，由()()g x f x -的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况.6.给值求值问题的解题策略从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.7..解给值求角问题的一般步骤（1）确定角的范围，根据条件确定所求角的范围.（2）求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.（3）结合三角函数值及角的范围求角.8.利用三角函数处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性.（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.9.正、余弦定理判断三角形形状的方法（1）角化边：通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断.（2）边化角：通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系进行判断.10.解三角形中的最值（取值范围）问题的求解方法（1）函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换:及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解，（2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面积公式建立a b +，ab ，22a b +之间 的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解.（3）几何法：根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解.11.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤（1）找条件.寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向.（2）定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化.（3）求结果，根据前两步的分析，代入求值得出结果.（4）反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性.12.几个典型三角形应用问题的处理方法.（1）求距离问题的注意事项：①选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.（2）处理高度问题的注意事项：①在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角（视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角）是一个关键.②在实际问题中，可能会遇到空间与平面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.（3）测量角度问题的一般步骤：①在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；②用正弦定理或余弦定理解三角形；③将解得的结果转化为实际问题的解.。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题市赛课公开课一等
sin C＝sin(180°－A－B)＝sin(135°－B)＝sin 135°cos B－cos 135°sin B＝ 22×45 －－ 22×35＝7102. (2)由正弦定理，得sBinCA＝siAnBC，即102＝7AB2，解得 AB＝14，
2 10 则△ABC 的面积 S＝12AB·BC·sin B＝12×14×10×35＝42.
5/27
[规范解答] x)
(1)f(x)＝2 3sin2x＋π4·cos2x＋π4－sin(x＋π)＝ 3sinx＋π2－(－sin 3分
＝ 3cos x＋sin x＝2sinx＋π3，
5分
于是 T＝21π＝2π.
6分
6/27
(2)由已知得 g(x)＝fx－π6＝2sinx＋π6. ∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈π6，76π， ∴sinx＋π6∈－12，1， ∴g(x)＝2sinx＋π6∈[－1,2]. 故函数 g(x)在区间[0，π]上的最大值为 2，最小值为－1.
8分
10 分 11 分 12 分
7/27
[答题模板] 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤为：
第一步(化简)：将 f(x)化为 asin x＋bcos x 的形式．
第二步(用辅助角公式)：构造 f(x)＝
a2＋b2·sin
x·
a2a＋b2＋cos
x·
b a2＋b2.
第三步(求性质)：利用 f(x)＝ a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质．
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[对点训练 2] 在△ABC 中，已知 A＝45°，cos B＝45. (1)求 sin C 的值； (2)若 BC＝10，求△ABC 的面积. 【导学号：00090118】 [解] (1)因为 cos B＝45，且 B＝(0°，180°)， 所以 sin B＝ 1－cos2B＝35.
【高考研究】2020版高考文数审题答题(二)三角函数与解三角形热点问题(含答案)
19
@《创新设计》
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热点三 三角函数与平面向量结合
[例 3] 已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， 向量 m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且 m⊥n. (1)求角 B 的大小；(2)若 b＝ 3，求 a＋c 的取值范围． (＝2)a由2＋余c弦2＋定ac理＝得(a＋b2＝c)2a－2＋acc≥2－(2aa＋ccco)s223－π a＋2 c2 ＝34(a＋c)2，当且仅当 a＝c 时取等号． ∴(a＋c)2≤4，故 a＋c≤2.又 a＋c>b＝ 3，∴a＋c∈( 3，2]．
由正弦定理得 b＝sina A·sin B，c＝sina A·sin C，
5
@《创新设计》
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热点一 解三角形(教材VS高考)
所以 bc＝sina22A·sin Bsin C＝8， ②……………10 分 (得分点 8) 由①②得：b＋c＝ 33，.....................11 分 (得分点 9) 所以 a＋b＋c＝3＋ 33，即△ABC 周长为 3＋ 33….12 分 (得分点 10)
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热点三 三角函数与平面向量结合
[例 3] 已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， 向量 m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且 m⊥n. (1)求角 B 的大小；(2)若 b＝ 3，求 a＋c 的取值范围．
解 (1)∵m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且 m⊥n，
所以，当 x∈－π4，π4时，f(x)在区 间－1π2，π4上单调递增， 在区间－π4，－1π2上单调递减．
设 A＝－π4，π4， B＝x|－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，
高三重点：解三角形与三角函数综合问题(含向量)
三角函数与解三角形结合相关综合问题(适用于理科数学)三角函数与解三角形相结合的问题，因其考察范围非常广泛、涉及知识点众多，在各省各套卷中，都是重中之重的问题，熟练掌握三角函数的基本公式、解三角形的基本方法思路是问题解决的关键。
注意以下细节问题：1、 不知道什么时候使用“边化成角，角化成边”的思路，以及不能正确进行边角互化，是必须要解决的问题，判断下面的算式进行的边角互化是否正确。
22223232cos cos ;sin cos sin cos ;sin sin sin ;sin sin sin sin ;;sin sin sin ;;sin sin sin sin sin sin ;cos ;sin sin sin cos ;cos a B b A A B B A a A b A c C A B A C a c b A C B a bc ac b A B C A C B a b c A A B C A ab A =→=+=→+=+=→+=+-=→+-=++=++=+（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、2cos sin sin cos sin sin cos sin ;b ac B a A B A A C B A +=→+=上述进行的边角互化，只有第一个和第二个是正确的，其余均是错误的；2、 在三角形中常用一些与三角形内角和有关的诱导公式，这些公式往往能够起到减少未知角数量的作用，特别是在三角形中已知一个内角求相关范围的时候一般将问题转化为三角函数中“一角一函数”的问题加以解决。
现对这些公式进行举例，希望考生务必要记住，记准，记熟。
sin()sin ;cos()cos ;sin()cos ;22cos()sin ;22A B C A B C A B C A B C +=+=-+=+=3、三角形内角角度范围：题中常说到锐角三角形或钝角三角形，这其实就是在给我们有关于内角范围的隐含条件，比如本专项第一道题，粗略认为每个内角都是(0,)2π的范围肯定是不对的，应结合题意仔细分析，考生一定要注意这一点。
2025届高三一轮复习数学课件：高考中的三角函数与解三角形问题
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角C;
(2)若D为AB的中点,且c=2, CD= 3 ,求a,b的值.
解:选择①:
(1)根据正弦定理,得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
形结合思想和转化与化归思想应用较多.
典 例 突 破
题型一
三角函数的化简与求值
解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元,减
少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、
同次;在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变
换化成已知角也是化异为同;对于三角函数式中既有正弦函数、余弦函数
3 13
13,sin A= 13 .
sin
sin
A=
=
3 13
.
13
2 13
(2)由(1)及 a<c,得 cos A= 13 ,
12
5
2
则 sin 2A=2sin Acos A=13,cos 2A=1-2sin A=-13.
π
π
π
7 2
故 sin 2 + =sin 2Acos +cos 2Asin =
3
2sin Acos B+2sin Bcos A=2sin(A+B)=2sin C= 3,则 sin C= .
2
π
又 C 为锐角三角形的内角,则 C=3.
3
由正弦定理,得sin = sin = =2 3,
3
2
即 a=2 3sin A,b=2 3sin B,
高中数学专题讲义：高考中三角函数问题的热点题型
高中数学专题讲义:高考中三角函数问题的热点题型高考导航 从近几年的高考试题看,全国卷交替考查三角函数、解三角形.该部分解答题是高考得分的基本组成部分,不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有:一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题,在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.热点一 三角函数的图象和性质(规范解答)注意对基本三角函数y ＝sin x ,y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值. 满分解答 (1)解 因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3.2分 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－ 3.4分所以f (x )的最小正周期为2π.6分(2)解 因为0≤x ≤2π3,所以π3≤x ＋π3≤π.8分 当x ＋π3＝π,即x ＝2π3时,f (x )取得最小值.11分所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.13分❶将f (x )化为a sin x ＋b cos x ＋c 形式得2分； ❷将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)＋h 形式得2分； ❸求出最小正周期得2分.❹写出ωx ＋φ的取值范围得2分. ❺利用单调性分析最值得3分. ❻求出最值得2分.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 周期与最值的模板第一步:三角函数式的化简,一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式；第二步:由T ＝2π|ω|求最小正周期； 第三步:确定f (x )的单调性；第四步:确定各单调区间端点处的函数值； 第五步:明确规范地表达结论.【训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0),且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值.解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω＞0,所以2π2ω＝π,因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.设t ＝2x －π3,则函数f (x )可转化为y ＝－sin t .当π≤x ≤3π2时,5π3≤t ＝2x －π3≤ 8π3,如图所示,作出函数y ＝sin t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3 上的图象,由图象可知,当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π3，8π3时,sin t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1,故－1≤－sin t ≤32,因此－1≤f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32,－1.热点二 解三角形高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.【例2】 (2017·成都诊断)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C )(x ∈R ),函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称.(1)当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时,求函数f (x )的值域；(2)若a ＝7,且sin B ＋sin C ＝13314,求△ABC 的面积. 解 (1)∵f (x )＝2sin(x －A )cos x ＋sin(B ＋C ) ＝2(sin x cos A －cos x sin A )cos x ＋sin A ＝2sin x cos A cos x －2cos 2x sin A ＋sin A ＝sin 2x cos A －cos 2x sin A ＝sin(2x －A ), 又函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝0,又A ∈(0,π),则A ＝π3,则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,则2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3,即－32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1.(2)由正弦定理,得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝143,则sin B ＝314b ,sin C ＝314c ,sin B ＋sin C ＝314(b ＋c )＝13314,即b ＋c ＝13. 由余弦定理,得a 2＝c 2＋b 2－2bc cos A , 即49＝c 2＋b 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ,即bc ＝40. 则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.探究提高 三角函数和三角形的结合,一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角,再代入到三角函数中,三角函数和(差)角公式的灵活运用是解决此类问题的关键.【训练2】 四边形ABCD 的内角A 与C 互补,且AB ＝1,BC ＝3,CD ＝DA ＝2. (1)求角C 的大小和线段BD 的长度； (2)求四边形ABCD 的面积. 解 (1)设BD ＝x ,在△ABD 中,由余弦定理,得cos A ＝1＋4－x 22×2×1,在△BCD 中,由余弦定理,得cos C ＝9＋4－x 22×2×3,∵A ＋C ＝π,∴cos A ＋cos C ＝0. 联立上式,解得x ＝7,cos C ＝12. 由于C ∈(0,π). ∴C ＝π3,BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π,C ＝π3,∴sin A ＝sin C ＝32. 又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23, ∴四边形ABCD 的面积为2 3. 热点三 三角函数与平面向量结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】 (2016·贵州适应性考试)已知△ABC 的三内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,向量m ＝(cos B ,cos C ),n ＝(2a ＋c ,b ),且m ⊥n . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3,求a ＋c 的范围.解 (1)∵m ＝(cos B ,cos C ),n ＝(2a ＋c ,b ),且m ⊥n , ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0,∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0, ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0. 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0,π),∴sin A ≠0,∴cos B ＝－12. ∵0＜B ＜π,∴B ＝2π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2,当且仅当a ＝c 时取等号. ∴(a ＋c )2≤4,故a ＋c ≤2. 又a ＋c >b ＝3,∴a ＋c ∈(3,2]. 即a ＋c 的取值范围是(3,2].探究提高 向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【训练3】 已知向量a ＝(m ,cos 2x ),b ＝(sin 2x ,n ),函数f (x )＝a·b ,且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ,n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象,若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y ＝g (x )的单调递增区间.解 (1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2,所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2),由题意知x 20＋1＝1,所以x 0＝0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1,因为0<φ<π,所以φ＝π6,因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π,k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π,k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π,k ∈Z .(建议用时:70分钟)1.(2017·昆明调研)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0,y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上最大值和最小值.解 (1)由题得,f (x )的最小正周期为π,y 0＝3. 当y 0＝3时,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝1,由题干图象可得2x 0＋π6＝2π＋π2, 解得x 0＝7π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12,所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0.于是:当2x ＋π6＝0,即x ＝－π12时,f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2,即x ＝－π3时,f (x )取得最小值－3.2.(2017·郑州模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知a sin 2B ＝3b sin A . (1)求B ；(2)若cos A ＝13,求sin C 的值. 解 (1)在△ABC 中, 由a sin A ＝b sin B , 可得a sin B ＝b sin A , 又由a sin 2B ＝3b sin A ,得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B , 又B ∈(0,π),所以sin B ≠0,所以cos B ＝32,得B ＝π6.(2)由cos A ＝13,A ∈(0,π),得sin A ＝223, 则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ), 所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.3.(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0),已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c (其中b ＜c ),且f (A )＝32,△ABC 的面积为S ＝63,a ＝27,求b ,c 的值. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1.∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π, ∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1.(2)由f (A )＝32,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0,π),∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝63,∴12bc sin π3＝63,bc ＝24,由余弦定理,得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24. ∴b 2＋c 2＝52,又∵b ＜c ,解得b ＝4,c ＝6.4.(2016·济南名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx2＋1－3(ω＞0)的周期为π.(1)求f (x )的解析式并求其单调递增区间；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位长度,再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h (x )的图象,若h (x )为奇函数,求φ的最小值. 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx2＋1－3＝sin ωx ＋23×1＋cos ωx2＋1－3＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1＝2sin(ωx ＋π3)＋1.又函数f (x )的周期为π,因此2πω ＝π,∴ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z ), 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z ),即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ).(2)由题意可知h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋π3,又h (x )为奇函数,则2φ＋π3＝k π,∴φ＝k π2－π6(k ∈Z ).∵φ＞0,∴当k ＝1时,φ取最小值π3. 5.已知△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m ＝ (2sin B ,－3),n ＝(cos 2B ,2cos 2B2－1),且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2,求S △ABC 的最大值. 解 (1)∵m ∥n ,∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ,∴sin 2B ＝－3cos 2B ,即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角,∴2B ∈(0,π), ∴2B ＝2π3,∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3,b ＝2,由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ,代入上式,得ac ≤4, 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立. 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3, 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立, 即S △ABC 的最大值为 3.6.(2017·东北四市模拟)已知函数f (x )＝a ·b ,其中a ＝(2cos x ,－3sin 2x ),b ＝ (cos x ,1),x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,f (A )＝－1,a ＝7,且向量m ＝(3,sin B )与n ＝(2,sin C )共线,求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3, 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z ),解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ),∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1,又π3＜2A ＋π3＜7π3,∴2A ＋π3＝π,即A ＝π3.∵a ＝7,∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3,sin B )与n ＝(2,sin C )共线, ∴2sin B ＝3sin C ,由正弦定理得2b ＝3c ,② 由①②得b ＝3,c ＝2.。
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热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年浙江卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T 17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π4－sin(x＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：51062131】[思路点拨] (1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f (x )化为正弦型函数，然后求其周期．(2)先利用平移变换求出g (x )的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规范解答] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)3分＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3，5分于是T ＝2π1＝2π.6分(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6.8分∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，10分∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6∈[－1,2].13分故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.14分 [答题模板] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为： 第一步(化简)：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． 第二步(用辅助角公式)：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin x ·aa 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2. 第三步(求性质)：利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2 sin (α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫其中tan φ＝b a ，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.2．求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解． [对点训练1] (2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A ，B ，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π.2分又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，4分所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫πx ＋π6.6分(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z ).9分由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，11分 又k ∈Z ，知k ＝5，13分由此可知在闭区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.14分热点2 解三角形从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC面积的2倍．(1)求sin Bsin C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．[解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .2分因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin Bsin C ＝AC AB ＝12.6分 (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.8分在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .12分 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6.由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.14分[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．[对点训练2] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．[解] (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得a sin B ＝b sin A ．2分 又由a sin 2B ＝3b sin A ，得 2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6.6分(2)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π6＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.14分热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．(2017·浙江高考冲刺卷(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin A －cos A ＝－105，cos B ＝255.(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为2，求a 的值. 【导学号：51062132】 [解] (1)∵sin A －cos A ＝－105，∴1－2sin A cos A ＝25，2分∴2sin A cos A ＝35，∴A 为锐角．∴sin A ＋cos A ＝1＋2sin A cos A ＝2105.3分 由⎩⎪⎨⎪⎧sin A －cos A ＝－105，sin A ＋cos A ＝2105，得⎩⎪⎨⎪⎧sin A ＝1010，cos A ＝31010.∵cos B ＝255，∴B 为锐角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55.则cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－22，而0<C <π，∴C ＝3π4.8分(2)由正弦定理得b a＝sin B sin A＝2，则b ＝2a .由(1)得sin C ＝22，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×a ×2a ×22＝12a 2＝2，∴a ＝2.14分[规律方法] 1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．[对点训练3] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．[解] (1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25.5分(2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010.8分由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝35.11分由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.14分 热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1．在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＝35.2分由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C， 所以AB ＝AC ·sin C sin B＝6×2235＝52.6分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.9分又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.12分 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.14分2．设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6的值.【导学号：51062133】[解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋3－1，4分由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫或⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z.7分 (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3＋3－1，9分把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.14分3．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；3分 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .6分 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，7分 单调递减区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.9分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，12分 即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.14分 4．(2017·浙江名校交流卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a ＋b c ＝cos A ＋Ccos C .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求使△ABC 周长最大时a ，b 的值． [解] (1)∵2a ＋b c＝cos A ＋Ccos C ， ∴2sin A ＋sin B sin C ＝cos A ＋C cos C ，∴2sin A cos C ＋sin B cos C ＋sin C cos B ＝0，∴2sin A cos C ＋sin A ＝0，4分又sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3.6分(2)∵3sin 2π3＝a sin A ＝bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－A ， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－A ，10分 ∴△ABC 的周长＝3＋2sin A ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－A ＝3＋sin A ＋3cos A ＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π3，∴当A ＝π6时，△ABC 的周长最大，此时a ＝b ＝1.14分。