二次函数与相似三角形综合题20160203

PC 于 B 点，直线 QA 与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC ．是否存在点 Q ，使得
△OPC 与 △PQB 相似？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，说明理由．
（2）如果符合（2）中的 Q 点在 x 轴的上方，连结 OQ ，矩形 OABC 内的四个三角形
△O△P△C，△，， PQB OQP OQA 之间存在怎样的关系？为什么？
要使 △O∽C△P
QBP, BQ PB ，则有 3 n m
3
，即
OC CP
3
3
3

2 3
m2

53 3
m

m

3
3
3
解之得， m1 3 3， m2 3 ，当 m 3 时，即为 P 点， 当 m1 3 3 时， n 3 ，所以得 Q(3 3， 3) ． 故存在两个 Q 点使得 △OCP 与 △PBQ 相似．
二次函数与相似三角形 例 1 如图 1，已知抛物线 y 1 x 2 x 的顶点为 A，且经过原，与 x 轴交于点 O、B。
4 （1）若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四 边形为平行四边形，求 D 点的坐标； （2）连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得△OBP 与△ OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。
例 2 （2013 凉山州压轴题）如图，抛物线 y=﹣x2+x+4 交 x 轴于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G． （1）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交 CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 PM 的长； （2）在（1）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得以 P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断△PCM 的形 状；若不存在，请说明理由．
B，O， D 为顶点的三角形与 △BAC 相似．
在 y x2 2x 3 中，令 y 0 ，则由 x2 2x 3 0 ，解得 x1 1，x2 x 0 ，得 y 3 ．C(0，3) ． 设过点 O 的直线 l 交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ． Q 点 B 的坐标为 (3，0) ，点 C 的坐标为 (0，3) ，点 A 的坐标为 (1，0) ．
角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等
知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的
长度，之后利用相似来列方程求解。
解:⑴如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时,CD
边形,此时 D 点的坐标为(－2,－3), 当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1)
⑵如图 2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设 OP 交抛物线的对称轴于 A′点,显然 A′(2,－1) ∴直线 OP 的解析式为 y 1 x
Q 点的坐标为 (2 3，，2，) (3 3 3) ．
（2）在 Rt△OCP 中，因为 tan COP CP 3 ．所以 COP 30o ． OC 3
当 Q 点的坐标为 (2 3， 2) 时， BPQ COP 30o． 所以 OPQ OCP B QAO 90o． 因此， △O△P△C，△，， PQB OPQ OAQ 都是直角三角形．
D
的坐标为

3 4
，9 4

．］
若是②，则有 BD BO gBA 3 4 2 2 ． BC 3 2
而 OBC 45o， BE DE ． 在 Rt△BDE 中，由勾股定理，得 BE 2 DE 2 2 BE 2 BD 2 (2 2)2 ．
∥ ＝ OB,
由0


1 (x 4

2) 2
1得 x1

0, x 2

4
,
∴B(4,0),OB＝4.
∴D 点的横坐标为 6
将 x＝6 代入 y 1 (x 2)2 1 ,得 y＝－3, 4
∴D(6,－3);
y A
O
B x
C
D
图1
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四
2 9
2
．
BA
4
4
而 OBC 45o， BE DE ．
在 Rt△BDE
中，由勾股定理，得
BE
2

DE
2

2
BE
2

BD
2


9
2 4
2 ．
解得
BE

DE

9
（负值舍去）．
4
OE

OB

BE
3 9

3
．
44
点
D
的坐标为

3 4
，9 4

．
将点 D 的坐标代入 y kx(k 0) 中，求得 k 3 ．
∴点 P 的坐标为（m，﹣ m2+m+4），
4
7
∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣ m+4）=﹣m2+ m，
3
3
7
即 PM=﹣m2+ m（0＜m＜3）；
3
（3）在（2）的条件下，连结 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以
P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得
AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．
若以 P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则
PF：AE=FC：EM，
即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），
∵m≠0 且 m≠3，
∴m= ．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF． 在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM 为直角三角形； ②若△CFP∽△AEM，则 CF：AE=PF：EM， 即 m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4）， ∵m≠0 且 m≠3，
∴m=1． ∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM， ∴△PCM 为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点 P 使△PFC 与△AEM 相似．此时 m 的值为 或 1，△PCM 为直角三
角形或等腰三角形．
点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解 析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适 中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y x2 2x 3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点
（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ． （1）若直线 l : y kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），则是否存在这样
的直线 l ，使得以 B，O， D 为顶点的三角形与 △BAC 相似？若存在，求出该直线的函数 表达式及点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； A(1，0)，，B(，3 0),C(0 3)
（2）若点 P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重x合的任意一点，试比较锐角
x
l
PCO 与 ACO 的大小l （不必证明），并写出此时点 P 的横坐标 xp 的取值范围．
C C
D
A
By
AOE
By
x 1
x 1
练习 3 图
（1）假设存在直线 l : y kx(k 0) 与线段 BC 交于点 D （不与点 B，C 重合），使得以
又在 Rt△OAQ 中，因为 tan QOA QA 3 ．所以 QOA 30o ． AO 3
即有 POQ QOA QPB COP 30o ． 所以 △O∽P△C∽△∽PQ△B OQP OQA ， 又因为 QP ⊥⊥OP， QA OA POQ AOQ 30o， 所以 △O≌Q△A OQP ．
y
CP
B
Q
O
E
Ax
（1）存在．
设 Q 点的坐标为 (m，
n) ，则 n 2 m2 5
3 m，
3
3
要使 △O∽C△P
PBQ,
BQ

PB
3n
，则有

m
3
，即
CP OC
3
3
3

2 3
m2

53 3
m

m

3
3
3
解之得， m1 2 3， m2 2 ．
当 m1 2 3 时， n 2 ，即为 Q 点，所以得 Q(2 3， 2)