只有一个公共点的两条直线形成相交直线.课件
《两直线的位置关系》课件
CHAPTER 04
两直线的关系应用
解析几何中的应用
解析几何的基本概念
01
解析几何是研究图形与坐标之间的关系，通过代数方法解决几
何问题。两直线的位置关系是解析几何中的基本问题。
直线的方程
02
在二维坐标系中，直线可以用一个或两个方程来表示。例如，
通过两点式、点斜式、截距式等可以求出直线的方程。
两直线的交点
两直线的斜率与截距
斜率的定义与计算
总结词
斜率是直线在平面上的一个重要属性，它表示直线相对于x轴 的倾斜程度。
详细描述
斜率是直线方程y=kx+b中k的值，它表示直线在y轴上的单 位长度内，x轴的变化量。如果k为正数，则直线向右上方倾 斜；如果k为负数，则直线向右下方倾斜。
截距的定义与计算
总结词
截距是直线与y轴和x轴相交的点，表示直线在坐标轴上的位置。
判断方法
斜率法
若两直线斜率相等且截距不等，则两 直线平行；若斜率不存在且截距相等 ，则两直线平行。
交点法
若两直线无公共点，则两直线平行或 重合；若两直线有且仅有一个公共点 ，则两直线相交；若两直线有无数个 公共点，则两直线重合。
平行与垂直的性质
平行性质
平行直线间的距离是固定的，且与两直线的方向向量或斜率有关。
03
两直线相交于一点，这个点是两直线的交点。求两直线的交点
可以通过联立两直线的方程来求解。
三角函数图象中的应用
01
三角函数的图象与性质
三角函数（如正弦、余弦、正切等）的图象是周期性的，这些图象在某
些部分表现出直线性。
02
三角函数与直线的交点
在三角函数的图象中，求直线与三角函数的交点可以通过将直线的方程
相交线教学课件-人教版七年级数学下册
对顶角的概念与性质 练2
领补角和对顶角的综 合应用
测1 测3 例1
理解
练3 测4
掌握
例3 练4 例2 测5
应用 综合 评价 测6
测2 拓1
总结反思 知识内化
收获检验
今天我们学习了哪些知识？
1 什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别？ 2 什么是对顶角？对顶角有什么性质？
归纳小结
角的名称
特征
性质
相同点
b
1 2O
a
3
4
由对顶角相等，得
∠3 = ∠1 = 40°，∠4 = ∠2 = 140°.
例3.完成下列解题过程.
A
如图，直线 AB ，CD 相交于 O ，
∠AOC = 80°，∠1 = 30°，求
∠2 的度数.
C
D
1E O2
B
解：∵ ∠DOB = ∠ AOC （ 对顶角相等 ）， ∠AOC = 80°（已知），
探究 1
∠1 和∠3 之间有怎样的位置关系？
C
A
12 O4 3
B
D
图中还有其 他的对顶角吗？
形如∠1 与∠3 有一个公共顶点 O ，并且∠1 的两边 分别是∠3 的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两 个角，互为对顶角.
练一练 1 下列各图中，∠1 和∠2 是邻补角吗？为什么？
12 1
12 2
解：∵ ∠BOD = ∠AOC = 76°， 又∵ OE 平分 ∠BOD ，
F
C
B
∴
∠DOE
=
∠BOE
=
1 2
∠BOD
=
1 2
×
76°=
38°.
A
空间中直线与直线之间的位置关系-公开课课件
讲授新知
D1 A1
C1 B1
1、异面直线定义
D
C
A
B
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
定义辨析：在两个平面内的两条直线是否一定是 异面直线？
合作探究
分别在两个平面内的两条直线的位置关系？
b a
M
ab
a与b是异面直线
a与b是相交直线
BACK
NEXT
a
b
a与b是平行直线
2.异面直线的画法
由 b′∥b, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″
a ∠2
a′
O ∠1
BACK
NEXT
求异面直线所成的角
例1、如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线AA1
与 BC1所成的角.
D1 A1
B1 C1 解： AA1 // BB1
B1BC1为异面直线 AA1与BC1所成的角
D
C B1BC1 45
A
B
异面直线 AA1与BC1所成的角为45
变式：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，试求异面直线BC1
与AC所成的角. D1
C1
解：连结 A1C1
AA1 //BB1 //CC1
A1
B1
四边形A CC1 A1为平行四边形
D
A1CC1B或 其AAC补1C/角1/BA为为1C异异1 面面直直线线BBCC1与1与AAC所C所成成的的角角
C'
D' C
D
B'
C'
A'
D'
B
C
A
D
B' A'
北师版数学七年级下册教学课件 第2章 相交线与平行线1 两条直线的位置关系(第1课时)
解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和 ∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC;
互补的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和 ∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和 ∠DOE,∠EOC和∠BOD;
相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC.
3.如图所示,小颖想测量一堵拐角高
墙在地面上所成的角∠AOB的度数,人 不能进入围墙内,你能帮小颖想出简单 的测量方法吗?请简述你的方法,并说 C
【知识归纳】 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交
和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线 为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
对顶角的定义与性质
观察下面两个图形,思考以下几个问题.
问题1 观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系,大小有 何关系,为什么? 问题2 剪子在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗?∠3和∠4呢? 你有何结论? 【归纳总结】 如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公 共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶 角.对顶角有如下性质:对顶角相等.
[知识拓展]
1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种,相交
时两条直线只有一个公共点,平行指的是两条直线平行,而不是线段
或射线.
2.对顶角必须具备的两个要素:①有公共顶点;②两边互为反向延 长线.
3.互为余角、互为补角是指两个角之间的关系,是成对出现的.两 角互为补角并不一定一个是钝角一个是锐角,也有可能是两个直角.
【即时练习】
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 ( D )
2.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这 个扇形零件的圆心角的度数.你能说出所量角是多少度吗?为什么?
《5.1.1相交线》课件(新人教版)
1．如右图直线AB、CD交于点O，OP为 射线，那么（ C ） A．∠AOC和∠BOC是对顶角
B．∠BOC和∠AOP是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角 D．∠AOC和∠DOP是对顶角 C B O A P D
2．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝ 40°，则∠2＝（ D ）
A．60° B．100° C．120° D．140°
相交线的定义
2
O ●
3
二线四角图
1
4
b
a
位置关系：直线a与直线b相交于点O 有一个公共点的两条直线形成相交直线．
请你画出任意两条相交直线，看看这 四个角有什么关系?
两条相交直线形成的小于平角的角有几个?
如下图所示，∠1与∠2有什么特点？ D 3 O 4 B
A 1 C
2
∠1与∠2有一条公共边OA，它 们的另一边互为反向延长线．
课堂小结
角的 名称
对 顶 角 邻 补 角 特 征
性 质
相 同 点
不 同 点
①两条直线相 对顶 ①都是两条 ①有无公共边 交形成的角； 角相 直线相交而 ②有公共顶点; 成的角； 等 ②两直线相 ③没有公共边 ②都有一个 交时，对顶 ①两条直线相 公共顶点； 角只有两对 交而成； 邻补 邻补角有四 ②有公共顶点; 角互 ③都是成对 对 ③有一条公共 补 出现的 边
1．理解对顶角与邻补角的概念，能从 图中辨认对顶角与邻补角； 2．掌握对顶角的性质 ；
3．理解对顶角相等的说理过程．
重点
对顶角的概念，对顶角性质与应用．
难点
理解对顶角相等的性质的探索．
自学教材第2、3页，完成下列问题。
1、在平面内的两条直线有___种位置关系， 分别是______和_______. 2、如果两个角有一条公共边，它们的另一 边互为____________，那这两个角互为_______． 3、如果一个角的两边是另一个角的两边的 ____________，那么这两个角互为_______, 性质是_____________. 4、判断 ① 有公共顶点且相等的两个角是对顶角． ② 两条直线相交，有两组对顶角．
人教版七年级数学课件《相交线》
8.如图(2)，直线AC和BD相交于点O，那么∠AOD的对顶角是________，
∠AOD，∠BOC
∠AOB的邻补角是__________________.
148°
32° ∠4=______.
148°
9.如图(3),直线a，b相交，∠1=32°，则∠2=______,∠3=____,
达标检测
解：∠1与∠α，∠3与∠α，∠1与∠2，∠2与∠3是邻补角；
∠1与∠3，∠2与∠α是对顶角.
当∠α=35°时，
∠1=145°，∠2=35°，∠3=145°；
当∠α=90°时，
∠1=90°，∠2=90°，∠3=90°；
当∠α=115°时，
∠1=65°，∠2=115°，∠3=65°；
当∠α=m°时，
∠1=(180-m)°，∠2=m°，∠3=(180-m)°.
针对练习
人教版数学七年级下册
1.如图，直线AB、CD、EF相交，若∠1+∠5=180°,找出图中与
∠1相等的角.
2
解：∵ ∠1= ∠3（对顶角相等）
1
∠5+∠8=180 °且∠1 +∠5=180°
4
∴∠8= ∠1
∵ ∠8= ∠6（对顶角相等）
∴∠6= ∠1.
3
A
C
5
7
6
8
F
针对练习
人教版数学七年级下册
解：由邻补角的定义，得
∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
由对顶角相等，得
∠3=∠1=40°
∠4=∠2=140°
针对练习
人教版数学七年级下册
如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得
冀教版七年级数学下册相交线
图中还有哪些角是内错角？ 7
8 5 4
6
3 2
B
C
1 F
D
学习与发现
同旁内角
1
像∠3和∠6这种位置关系的角叫同旁内角. 观察这两角的位置关系有何特点.
E A
图中还有哪些同旁内角？ 7
B
8 5 4
6
3 2
C
1
F
D
巩固与应用
三线八角
A
请同学们完成学案上探究二.
B
C
当堂检测
1.右图中∠1的同位角有( ∠3,∠2 ） ∠1的内错角有( ∠4,∠5 ） ∠1的同旁内角有( ∠8，∠9 ）
2.对顶角
对顶角：两条直线相交形成的 四个角中，用公共定点但没有 公共边的两个角是对顶角。 辨认对顶角： 一看是不是两条直线相交所形 成的角。 二看是不是有公共顶点。 三看是不是没有公共边。 注意： 1.对顶角形成的前提必须是两 直线相交。 2.对顶角是成对出现的。 3.对顶角一定相等，但相等的 角不一定是对顶角。
E
C
4 3 N 1 2
F
D
学习与发现
对顶角的定义
E
2
这样两个角之间的关系叫邻补角
C
4 4 3 1 1 2N D
F
互为邻补角的两个 角顶点什么关系？
公共顶点,一边重合，
另一边互为反向延长线.
两条边分别有什 么关系?
学习与发现
对顶角的定义
3
E ∠1和∠3之间的位置关系是对顶角 4 3 N C 1 2 D F
3
C
理由： 因为∠1和∠2互补，∠2和∠3互补 那么∠1=∠3（同角的补角相等）
做一做
三条直线相交形成几个角？
人教A版必修空间两条直线之间的位置关系PPT课件
D1
C1
A1
B1
D A
C B
AA1, AD, A1B1, B1C1,C1C,CD
人 教 A 版 必修 2第二 章2.1. 2空间两 条直线 之间的 位置关 系(共 26张PP T)
人 教 A 版 必修 2第二 章2.1. 2空间两 条直线 之间的 位置关 系(共 26张PP T)
练习3
下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC 和BH是 相交 直线 ② BD 和FH是 平行 直线 ③BH 和DC是 异面 直线
H E
D A
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
课后思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?
G F
C B
人 教 A 版 必修 2第二 章2.1. 2空间两 条直线 之间的 位置关 系(共 26张PP T)
观察实例
复习：平面内两条直线的位置关系 相交直线
平行直线
a
a
o
b
b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
新课探究
探究一
e
观察下列图形，说说空间中两条 直线的位置关系
螺母 a
f
b c
d
旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什 么位置关系？
按公共点个数分
有一个公共点: 相交直线
平行直线 无公共点
异面直线
人 教 A 版 必修 2第二 章2.1. 2空间两 条直线 之间的 位置关 系(共 26张PP T)
2. 1.4 两条直线的交点课件(北师大版必修二)
得l1，l2的交点坐标为
－4m 4 ( ， )． 4－m 4－m －4m 8 代入l3的方程得 －3m· －4＝0. 4－m 4－m 2 解得m＝－1或m＝3， 2 ∴当m＝－1或m＝3时，l1，l2，l3交于一点．
(2)若l1与l2不相交，则m＝4，若l1与l3不相交，则m＝ 1 －6，若l2与l3不相交，则m∈∅. 2 1 综上知：当m＝－1或m＝ 3 或m＝4或m＝－ 6 时，三条 直线不能构成三角形，即构成三角形的条件是m∈(－∞， 1 1 2 2 －1)∪(－1，－6)∪(－6，3)∪(3，4)∪(4，＋∞)．
[一点通]
解答本题充分利用了直线相交与联立
直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐 标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解 此类问题的基础．
பைடு நூலகம்
1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐
标 为 ( ) A．(－ 4 3，－ x＋23) y＋6＝0， x＝－4， 解析：由 得 B．(4,3) 2x＋5y－7＝0， y＝3. C．(－4,3) 故两直线的交点坐标为 (－4,3)．
法二：设直线l与直线4x＋y＋6＝0的交点为P(x0，－4x0－6)． 该点P关于(0,0)的对称点是(－x0,4x0＋6)． 根据题意知，该对称点在直线3x－5y－6＝0上， ∴－3x0－5(4x0＋6)－6＝0，
36 解得x0＝－23. 36 6 ∴P点坐标为(－23，23)． 6 23 ∴直线l的方程为y＝ 36x，即x＋6y＝0. －23
4．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且在y轴
上截距为8的直线的方程是
( )
A．2x＋y－8＝0
相交线1
【学习目标】☺结合具体情景，了解邻补角、对顶角的概念，掌握邻补角、对顶角的性质（重点）☺理解两条直线垂直的位置关系，掌握垂线的相关性质；会用三角尺或量角【例2】若两个角互为邻补角且度数之比为3:2，求这两个角的度数。
【变式训练2】互为邻补角的两个角的平分线所夹的角是（）1A 、45°B 、90°C 、120°D 无法确定知识点二：对顶角的概念及其性质1、定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
如图，∠1和∠3互为对顶角。
2、性质：对顶角相等。
【例3】 如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )如果两个角相等数.课堂小结：3OD CBA知识点三：垂线的概念及表示方法1、定义：两条直线相交，所成四个角中有一个角是直角时，我们称这两条直线相互垂直，其中一条直线是另一条的垂线，他们的交点叫做垂足。
2、垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O ”，则记为AB ⊥CD ，并在图中任意一个角处作上直角记号，一“靠”——把三角尺的一条直角边靠在已知直线上； 二“过”——让三角尺的另一条直角边经过已知点； 三“画”——沿已知点所在的直角边画出直线。
【例6】 如图，∠BAC 为钝角 （1）画出点C 到AB 的垂线； （2）过点A 画BC 的垂线； (3)过点B 画AC 的垂线。
【针对性训练6】 如图，点A 是直线a 上一点，分别过点A 作直线b 的垂线。
Cb知识点五：垂线的性质及点到直线的距离1、垂线段：过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足之间的线段叫做该点到直线的垂线段。
2、垂线的性质：性质1：互相垂直的两条直线形成的四个角都是直角；性质2：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；1、下列说法错误的个数是( )①一条直线的垂线只有一条；②一条直线的垂线有无数条；③过一点画一条直线的垂线只能画一条A、0B、1C、2D、32、如果两条直线相交成( )，那么这两条直线互相垂直A、锐角B、直角C、钝角D、任意一个角3、过一条线段外一点画这条线段的垂线，垂足在( )A、这条线段上B、这条线段的端点上45C 、这条线段的延长线上D 、以上都有可能【例9】 如图，AC ⊥BC ，C 为垂足，CD ⊥AB ，D 为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC= 6那么点C 到AB 的距离是多少？点A 到BC 的距离是多少？点B 到CD 的距离是多少？A 、B 两点的距离是多少？4、同旁内角：∠3与∠6这对角在两被截线AB,CD 的之间（内），在截线EF 的同侧，形如“U ” 字型.具有这种关系的一对角叫同旁内角。
两条直线的位置关系ppt课件
理论说明对顶角性质：
A
D
因为直线AB,CD相交于点O（已知）
O
所以∠AOD＋∠AOC＝180°（补角的意义）
C
B
∠AOD＋∠BOD＝180°（补角的意义）
所以∠AOC＝∠BOD（同角的补角相等）
－40°＝140°（等量代换）
例二：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC. 已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.
解：因为OE平分∠BOC，
A
所以∠BOE=∠COE＝65°
得∠BOC＝130°.
C
O
因为直线AB、CD相交于点O， 所以∠BOC与∠AOD是对顶角，
所以∠AOD＝∠BOC＝130°.
余角、补角的识别及性质总结
一、余角的识别：
两角的和为90度，则两角互为余角. 特别说明：余角只与数量有关，与位置无关 判定：若∠1+∠2=900，则∠1与∠2互为余角. 性质：若∠1与∠2互为余角，则∠1+∠2=900.
二、补角的识别： 两角的和为180度，则两角互为补角. 特别说明：补角只与数量有关，与位置无关.
请将图简化成几何图，并抽
象成数学问题： ON 与 DC 交于点 O ，∠ DON =∠ CON
=90°， 且∠1=∠2.
问:1）图中有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？ 2）有哪些角相等？为什么？
归纳总结: 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角 相等.
例题讲解：
例一：如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝40°， 求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数。
专题 两条直线的位置关系(知识点串讲)(学生版)
专题05两条直线的位置关系重难突破知识点一对顶角、邻补角、互余、互补1、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．相交线的定义：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．2、对顶角两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．如图1∠和3∠是对顶角；2∠和4∠是对顶角对顶角的性质：对顶角相等．注意：①形成对顶角的前提条件是两条直线相交。
对顶角不仅反映了角的数量关系，还反映了角的位置关系；②对顶角必须具备两个条件：有公共顶点；两边互为反向延长线．③对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．3、邻补角两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．如图，1∠和2∠有公共顶点O ，有一条公共边OC ，OA 与OB 互为反向延长线，所以1∠和2∠互为邻补角；4、余角和补角（1）定义：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．（2）性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．典例1（2021春•福田区校级月考）下列四个图形中，1∠是对顶角的是()∠与2A．B．C．D．典例2（2020春•南山区期中）如图，直线AB与CD相交于点O，OE为DOB∠∠=︒，则DOEAOC∠的角平分线，若54的度数为()A．25︒B．26︒C．27︒D．28︒典例3（2020春•高明区期末）如图，直线AB CD⊥于点O，EF为过点O的一条直线，则1∠的关系中一定成立∠与2的是()A．互为邻补角B．互为补角C．互为对顶角D．互为余角知识点二垂直、垂线段最短1、垂直两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB 与CD 互相垂直，记作AB CD ⊥或（CD AB ⊥），读作“AB 垂直于CD ”，垂足为O ；注意：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况．2、垂线的性质平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：①画已知直线的垂线可以画出无数条，但过一点画已知直线的垂线，只能画出一条；②必须强调“在同一平面内”，否则，在空间里，经过一点与已知直线垂直的直线有无数条；③点到直线的距离，一定是线段的长度，不是线段．典例1（2020春•揭阳期中）若点A 到直线l 的距离为7cm ，点B 到直线l 的距离为3cm ，则线段AB 的长度为()A ．10cmB ．4cmC ．10cm 或4cmD ．至少4cm典例2（2020•金平区一模）能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”，这实际问题的数学知识是()A ．两点之间线段最短B ．两点确定一条直线C ．垂线段最短D ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直典例3（2020•南海区校级模拟）如图，CA AB ⊥，EA AD ⊥，已知45DAB ∠=︒，那么EAC ∠的大小是()A ．50︒B ．45︒C ．30︒D ．60︒巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2020春•五莲县期末）下列四个图中，1∠与2∠是对顶角的是()A ．B ．C ．D ．2．（2019•紫金县一模）如图，直线AC 和直线BD 相交于点O ，若1290∠+∠=︒，则BOC ∠的度数是()A ．100︒B ．115︒C ．135︒D ．145︒3．（2019春•光明区期末）如图，CO AB ⊥，垂足为O ，90DOE ∠=︒，下列结论不正确的是()A ．1290∠+∠=︒B ．2390∠+∠=︒C ．1390∠+∠=︒D ．3490∠+∠=︒4．（2020春•济阳区期末）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分EOC∠的∠=︒，则BOEEOC∠，100大小为()A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒5．（2020秋•长春期末）如图，AC BCAC=，点D是线段BC上的动点，则A、D两点之间的距离不可⊥，4能是()A．3.5B．4.5C．5D．5.56．（2021春•历下区期中）如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB CD⊥，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是()A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线7．（2020春•南海区期末）如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段PC去公路边，他的这一选择用到的数学知识是()A．两点确定一条直线B．两点之间直线最短C．两点之间线段最短D．垂线段最短8．如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分AOC∠=︒，则CON∠的度数为BOD⊥．若70∠，ON OM()A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒二、填空题（共5小题）9．（2021春•福田区校级期中）如图所示，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是（用字母表示）．10．（2019春•杏花岭区校级期中）如图，直线a与直线b相交于点O，231∠=∠，2∠=．11．（2021春•南海区校级期中）如图，E是直线CA上一点，40⊥，∠，GE EF∠=︒，射线EB平分CEFFEA则GEB∠=︒．12．（2020春•金山区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，40⊥，则DOE∠的∠=︒，过点O作EO ABAOC度数为．13．（2021春•金牛区校级月考）已知A∠的大小∠的3倍少20︒，则A∠与的B∠比B∠两边分别垂直，且A是．三、解答题（共2小题）14．（2021春•简阳市月考）如图所示，直线AB、CD相交O，OE AB∠=∠，求BOD∠DOE COE⊥于O，且3的度数和AOD∠的度数．15．（2020秋•砚山县期末）如图，直线AB与CD相交于点O，90∠=︒．AOM（1）如图1，若OC平分AOM∠的度数；∠，求AOD（2）如图2，若4∠的度数．∠，求MONBOC NOB∠=∠，且OM平分NOC。
人教版相交线与平行线复习课件(2)
(2) 推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线也互相平行。
4.同位角、内错角、同旁内角的概念
同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条 直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置 关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。
（2）有且只有一个公共点的两条直线是相交直线（ √ ）
（3）没有公共点的两条直线是平行线。( × ) （4）在同一平面内不相交的两条线段必平行。 （×）
（5）同一平面内的两条直线，必把这个平面分成四部分。
（×）
2、下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、 垂直、平行三种
1、如图，已知AC⊥AE， BD⊥BF，∠1=35°， ∠2=35°，AC与BD平行吗？ AE与BF平行吗？为什么？
2、如图，已知∠A＝∠1，∠C＝∠D，试 说明FD∥BC。
A
E
1 F
D 2
B
C
3、(2002.河南)如图所示，已知AB∥CD，A 直线EF分别交AB，CD于点E，点F，
EG平分∠BEF，若∠1=72°，则
应点，连接各组对应点的线
段平行且相等。
全章思维导图
基础大训练
1、在两同条一直线平的面位内置，关系有相交、平行。
C
12 B
4 O3
2、对顶角：顶点相同
A
角的两边互为反向延长线
D
3、邻补角：有一条公共边 另一边互为反向延长线
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
4、如图，直线AB，CD被直线EF所截，那么图中
方法2：内错角相等，两直线平行。
7.1 相交线 课件6 (冀教版七年级下册)
练习：下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？ 为什么？
1 2
1 2
1
2
(1)辨认对顶角的要领：一看是不是两条直
线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿 相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角， 反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线； 二看是不是有公共顶点；三看是不是没有 公共边，符合这三个条件时，才能确定这 两个角是对顶角，只具备一个或两个条件 都不行。
(2)对顶角是成对存在的，它们是互为对顶
角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是
∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角。
对顶角性质： 对顶角相等
C 2 1 A 4 3 D
B
(为什么？)
∵∠1和∠2互补， ∠3和∠2互补， ∴∠1＝∠3 (同角的补角相等)
注意：如果∠α 和∠β 是对顶角，那么一定有 ∠α ＝∠β ；反之，如果有∠α ＝∠β ， 那么∠α 与∠β 一定是对顶角吗？ (不一定)
①今天我们学习了哪些数学知识?
②今天我们学到哪些数学方法?
③通过今天学习你认为今后应该怎么处理生活与 数学的关系?
∠1=∠3 ∠2=∠4
C
2 1 A 4
B
3
D
∠1+∠2=180˚ ∠1+∠4=180˚ ∠1=∠3 ∠3+∠2=180˚ ∠2=∠4 ∠3+∠4=180˚
象∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分 别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两 个角，互为对顶角 ∠1与∠3;∠2与∠4互为对顶角
位置关系 数量关系 基本图形
二.议一议
1.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两 两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？ 根据这种位置关系将它们分类。
中职数学基础模块下册《两条直线的位置关系》课件
在其他学科中的应用
物理学
在物理学中，利用两条直线的位置关系可以解释一些物理现象， 如光的反射和折射、力的合成与分解等。
化学
在化学中，利用两条直线的位置关系可以解释一些化学反应的原 理，如酸碱中和反应、氧化还原反应等。
经济学
在经济学中，利用两条直线的位置关系可以分析一些经济现象， 如供需关系、成本与收益分析等。
在几何图形中的应用
确定几何图形的形状和大小
通过两条直线的位置关系，可以确定几何图形的形状和大小，如 平行四边形、矩形、菱形等。
解决几何问题
利用两条直线的位置关系，可以解决一些几何问题，如求角度、求 距离等。
证明几何定理
通过两条直线的位置关系，可以证明一些几何定理，如平行线的性 质定理、垂直平分线的性质定理等。
相交直线
相交直线的定义
相交直线
两条直线在同一平面内只有一个公共点时，这两条直线称为相交直线。
平行直线
两条直线在同一平面内没有公共点时，这两条直线称为平行直线。
相交直线的性质
唯一性
两条相交直线只有一个交 点。
不平行性
两条相交直线不能是平行 的。
对称性
两条相交直线关于它们的 交点对称。
相交直线的交点与方程
交点坐标
求解方法
两条直线的交点坐标可以通过联立两 直线的方程求解得到。
解方程组的方法包括代入法、加减法 、消元法等。
方程联立
通过将两条直线的方程联立，可以消 去一个变量，从而求解出交点的坐标 。
CHAPTER 04
重合直线
重合直线的定义
重合直线的定义
两条直线在同一平面内，没有其他公共点，则这两条直线重合。
中职数学基础模块下 册《两条直线的位置 关系》
《空间直线》课件1 (北师大版必修2)
３、两条直线不相交是这两条直线异面的 ４、两条直线不平行是这两条直线异面的 ５、下列命题中，其中正确的是
条件 条件
（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行 （２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行 （３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行 （４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行
A F D B G E H c
例2、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ 分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、 ＣＦ ＣＤ上的点，且 ＝ ＣＧ ＝ ２ 。 ３ ＣＢ ＣＤ 求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等
A E D B F H G c
例3、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分 别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。 求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ １ＡＣ ３
②从是否共面的角度
公理４
平行同一条直线的两条直线互相平行
Ｐ
Ｄ Ａ Ｍ
Ｅ Ｃ Ｎ Ｂ
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（
Ａ、平行 Ｃ、异面 Ｂ、相交 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面
）
２、两条异面直线指的是（
Ａ、没有公共点的两条直线
）
Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直 线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
６、三个平面两两相交，所得的三条交线（
Ａ、交于一点 Ｂቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ互相平行
）
Ｃ、有两条平行
Ｄ、或交于一点或互相平行
小结
空间直线
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点--------异面直线 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
两条直线的交点坐标ppt课件
中线AF : x 1,中线BG : 7 x 9 y 5 0,中线CE : x 9 y -13 0.
x 1
x 1
4
由
, 解得
,
即交点
P
坐标为
(1,
).
4
y
3
7 x 9 y 5 0
3
4
1 9 13=0, 点P在中线CE所在直线，ABC三条中线交于一点.
y = k1x + b1
y = k2x + b2
方程解的个数 一组
直线的关系
A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0
A1x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
相交
无解
同一
方程
平行
重合
是过直线A1x+B1y+C1=0和
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系
方程
即可。
例2
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交
点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
[自主解答] 方法一
+ － = ，
＝－，
解方程组
，得
= .
+ + = ，
即l1与l2的交点坐标为（－1，2）.
又由直线l3的斜率为 ，得直线l的斜率为－ ，
联立方程组
+ + ＝和 + + ＝
y = k1x + b1
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∠3、∠4的度数。
解: ∵∠3=∠1 ∠1=40°
b 1（ （2 a 4） ）3
∴∠3=40°
∴∠2=180°－∠1=140°
∴∠4=∠2=140°
• 变式1：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？ • 变式2：若∠2-∠1=400, 求∠4的度数？
用代数的方法(列方程）解决几何问题是比较有效的!
精
11
C （12（ ） 4O）3 B
A
D
∵直线AB与CD相交于O点
∴∠1=∠3
已知:直线AB与CD相交于O点(如图),试说明: ∠1=∠3、 ∠2=∠4
答：因为 直线AB与CD相交于O点
所以∠1+∠2=180°, ∠2+∠3=180°
所以∠1=∠3
同理可得：∠2=∠精4
9
两直线相交 分类
位置关系
名称 数量 关系
补 角
∠4和∠1
B
1、有公共顶点
对
∠1和∠3、 2、没有公共边
顶
∠2和∠4、 3、两边互为反向延长线 角
精
7
练习1.下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？ 为什么？
1( )2
1( )2
1( )2
练习2.下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？ 为什么？
1(（2
1( 2
精
1( 2
8
对顶角的性质:
对顶角相等.
同学们可以观察刚才画的 两条相交线,并用各种工 具或方法验证这个猜想.
精
12
练习:
3、(1)如右图直线AB、CD交于点O,OE为射线,那么 ( C )
A)∠AOC和∠BOE是对顶角； B)∠COE和∠AOD是对顶角；
A
D
C)∠BOC和∠AOD是对顶角；
O
D)∠AOE和∠DOE是对顶角。 C
50O
B
E (2)如右图中直线AB、CD交于O,OE是∠BOC的平分线
且∠BOE=50度，那么∠AOE=（ C ） A）80度 B）100度 C）130度 D）150度
C
2O
1
3
4
A
∠1和∠2、1、有公共顶点
邻
∠2和∠3、 2、有一条公共边
邻补
B ∠3和∠4、 3、另一边互为反向延长线 ∠4和∠1
补 角
角 互 补
D 1、有公共顶点
对
∠1和∠3、 2、没有公共边
对顶 顶角
∠2和∠4、 3、两边互为反向延长线 角 相
等
精
10
例1:如图,直线a、b相交,∠1=40°,求 ∠2、
C
E
思考题: (合作讨论)
A
B
两条直线相交，最多有几对对顶角？
图1
F
D
三条直线相交，最多有几对对顶角？
四条直线相交，最多有几对对顶角？ 4×3=12对 n 条直线相交，最多有几精 对对顶角？ n×(n-1)对 15
①今天我们学习了哪些数学知识?
②今天我们学到哪些数学方法?
③通过今天学习你认为今后应该怎么处理生活与 数学的关系?
精
1
精
2
精Hale Waihona Puke 3精精D
A
O
B C
只有一个公共点的两条直线形成相交直线.
从数学的角度你认为相交线的图形中蕴涵了什 么知识?
位置关系
数量关系
精
基本图形
考虑角的位置关系可以从角的顶点和角边入手!
两直线相交 归类
位置关系 名称
A
2O
1
3
4
C
∠1和∠2、1、有公共顶点
∠2和∠3、 2、有一条公共边
邻
D ∠3和∠4、 3、另一边互为反向延长线
D
E精
14
练习:
5、(1)如图1,两条直线ＣＤ、ＥＦ相交,在这个图形中,有对顶
角_２___对,邻补角_４___对.
(2)如图1,三条直线ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ两两相交,在这个图形
中,有对顶角__6__对,邻补角_1_2__对.
(3)如图1,三条直线ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ相交于一点,在这个
图形中,有对顶角6____对,邻补角1_2___对.
精
16
①作业本上完成：习题5.1第1题、第2题和第 7题。
②收集生活中相交线的图片,并找到其中运 用我们所学知识的例子!
精
17
(3)如上图,直线AB、CD交于O,OE是∠BOC的平分线, 请你补充一个条件，求出∠DOE. 你补充的条件是_______精____, ∠DOE=_________13.
数学源于生活,必将用于生活
4、泸州是一座历史文化古城,拥有很多的历史古迹。其中就有报恩塔,为了 实地测量古塔（如图１)外墙底角（如图2中∠ABC）的大小,李霞同学设 计了两种测量方案： 方案1:作AB的延长线，量出∠CBD的度数，便知∠ABC的度数； 方案2:作AB的延长线,CB的延长线,量出∠DBE的度数,便知∠ABC的度数。 请你解释方案1、方案2所应用的数学道理。