九年级数学中考复习中档题训练含答案解析 专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型

专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型
典例精讲
基本模型1垂线段最短
【例1】如图,等边△ABC 的边长为3,F 为BC 上的动点,DF ⊥AB 于点D ,EF ⊥AC 于点E ,则DE 的长的最小值为 .
基本模型2定弦定角
【例2】如图, ⊙O 的半径为2,AB 是弦,△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°,∠BAC =30°,连接
OC .则OC 的最大值为 .
基本模型3 直径是圆中最长的弦
【例3】(2020原创题)如图,在△ABC 中,AB =2,∠ACB =120°,则△ABC 周长的最大值为 .
基本模型4定弦所对弧的中点到弦的距离最大
【例4】(2020 原创题)在△ABC 中,AB =6,∠ACB = 45°,则△ABC 面积的最大值为
C
B D
基本模型5隐切线
【例5】已知半圆⊙O的直径AB长为12,点P是半圆上的一动点,点Q是弦AP上的一点,且
AQ=2PQ, 连接BQ并延长交⊙0于点M,则AM长度的最大值为2π
微专题5 圆中的计算(五)隐圆中的最值模型
典例精讲
基本模型1垂线段最短
【例1】如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE的长
的最小值为9
4
.
【解析】过A,D，F ,E作⊙О,取AF的中点О,则
OA=OD=OF=OE，
∴A,D,F,E在以AF为直径的⊙О上,作直径DM,连接EM, 则∠M=60°，
∴DE
=
2
,DM=
2
AF,∴AF⊥BC时,AF最小,
此时AF
=
2
,故DE有最小值
9
4
.
基本模型2定弦定角
【例2】如图,⊙O的半径为2,AB是弦,△ABC为直角三角形，∠ACB=90°,∠BAC=30°,连接
OC.则OC
的最大值为1 .
1
C
【解析】设直线BC 与⊙О交于点D ，∠ACB =90°, ∠BAC =30°,则╱B =60°，∴AD 为定弦﹐连接ОA,OD, 易得AD
,∵∠ACB =90°,取AD 中点Q ， 则点C 在以AD 为直径的⊙Q 上,作射线OQ 交⊙Q 于点E ， 则OC 的最大值为OE=OQ+QE
基本模型3 直径是圆中最长的弦
【例3】(2020原创题)如图,在△ABC 中,AB =2,∠ACB =120°,则△ABC
2 【解析】延长AC 至点D ,使CD=CB ,连接DB,则∠ADB =60° ∴点D 在以AB 为弦，其所对的圆周角为60°的弧上运动 ∴当AD 为直径时,其长度最大,即AC+CB 最大. ∵当AD 为直径时﹐∠ABD =90°， ∴AD
=
2sin 3AB ADB ==
∠ ∴△ABC
的周长最大值为
23
+. 基本模型4定弦所对弧的中点到弦的距离最大
【例4】(2020 原创题)在△ABC 中,AB =6,∠ACB = 45°,则△ABC
面积的最大值为9 [解析]如图，作△ABC 的外接圆⊙O ,当点C 运动至ACB 的中点C ′处时,AB 边上的高最大，即△ABC 的面积最大. 易证C ′O ⊥AB 于点D , 连接OA.OB .则∠AOB =90°， ∴AO=BO=C ′O
=
2AB
=OD =12
AB =3,∴C ′D
=+3 ∴△ABC 面积的最大值为12
AB ⋅CD
=(
)
1
6392⨯⨯
基本模型5隐切线
【例5】已知半圆⊙O 的直径AB 长为12,点P 是半圆上的一动点,点Q 是弦AP 上的一点,且AQ =2PQ, 连接BQ 并延长交⊙0于点M ,则AM 长度的最大值为2π
[解析]连接OP ,在AB 上取一点1O ,使A 1O =
2
3
AO =4.连接1O Q, 则123AO AQ AP AO ==,∴△AO 1Q ∽△AOP ,∴O 1Q =2
3
OP =4,
B D
C'
∴点Q 在以4为半径的⊙01上，∴当BM 与⊙01相切时, ∠ABM 最大,AM 最长，
设切点为Q 1.则01Q 1⊥BM ,∵01Q 1=4，01B =8. ∴∠01BQ 1= 30°，
∴AM 的长度最大时所对的圆心角为60°,最大值为：
606
=2180
ππ⨯⨯
1。