高中数学第一章集合与函数概念1-2函数及其表示1-2-1函数的概念优化练习新人教A版必修1

高中数学第一章集合与函数概念1-2函数及其表示1-2-1函数的概念优化练习新人教A版必修1
[课时作业]
[A组基础巩固]
1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有( )
A．0个B．1个
C．0或1个D．无数个
解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点
(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．
答案：C
2．已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝()2；②f(x)＝x，g(x)＝；③f(n)＝2n－1，
g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一函数的为( )
A．没有B．仅有②
C．②④ D．②③④
解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C.
答案：C
3．y＝x2(－1≤x≤2)的值域是( )
A．[1,4] B．[0,1]
C．[0,4] D．[0,2]
解析：由图可知f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．
答案：C
4．函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(1,2]
解析：要使函数y＝有意义，则解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．
答案：D
5．图中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象的是( )
解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1]，B中函数定义域不是[0,1]，故可排除A，B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.故选C.
答案：C
6．下列说法正确的有________．(只填序号)
①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的
值也不同；⑤f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值，这是一个常量． 解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y 是x 的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f(x)＝1，x ＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x 不同时，函数值y 的值可能相同，如函数y ＝x2，当x ＝1和－1时，y 都为1.⑤是正确的．f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值是一个常量．故填①③⑤. 答案：①③⑤
7．已知函数f(x)＝，若f(x)的定义域为R ，则m 的取值范围是________．
解析：由已知得2x2－mx ＋3≥0对x∈R 恒成立，即Δ＝m2－24≤0，∴－2≤m≤2. 答案：[－2，2]
8．若函数f(x)的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a]，则a 的取值范围为________． 解析：由区间的定义知
⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －1<a ＋a ＋3<4a
⇒1<a<2.
答案：(1,2)
9．若f(x)的定义域为[－3,5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．
解析：由f(x)的定义域为[－3,5]，得φ(x)的定义域需满足
⎩⎪⎨⎪⎧
－3≤－x≤5，－3≤x≤5
即解得－3≤x≤3.
所以函数φ(x)的定义域为[－3,3]． 10．试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x －1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x －1)2＋1； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝x －.
解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y ＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}． (4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t ＝，则x ＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t ＝2－.又t≥0，故f(t)≥－.所以函数的值域是.
[B 组 能力提升]
1．函数y ＝的值域为( ) A ．(－∞，3) B ．[3，＋∞) C ．[0,9]
D ．[0,3]
解析：由函数性质可得5＋4x －x2≥0的值域开方即是．结合函数图象
(图略)可得y∈[0,3]，故选D.
答案：D
2．已知f(x)的定义域是[0，＋∞)，则函数(x－2)0＋f(x－1)的定义域是( )
A．[0,2)∪(2，＋∞) B．[1,2)∪(2，＋∞)
C．[－1,2)∪(2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：得1≤x且x≠2.
答案：B
3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
则f(g(1))的值为的x的值是________．
解析：g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1；
f(g(1))＝1，f(g(2))＝3，
f(g (3))＝1，g(f(1))＝3，
g(f(2))＝1，g(f(3))＝3，
∴满足f(g(x))>g(f(x))的x值为x＝2.
答案：1 2
4．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数f(x)的值域为________．
解析：由题意知，f(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－1，x∈[－2，
x2－2，
，2].
当x∈[－2,1]时，f(x)＝－1； 当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,2]． ∴当x ∈[－2,2]时，f(x)∈[－1,2]． 答案：[－1,2]
5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为 2 m ，渠深为 1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．
解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为 2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ，∴水的面积A ＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0＜h<1.8}．值域由二次函数A ＝h2＋2h(0＜h ＜1. 8)求得．
由函数A ＝h2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大， ∴0＜A ＜6.84.
故值域为{A|0＜A ＜6.84}．
(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h ＜1.8，∴A＝h2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．
6．对于函数f(x)，若f(x)＝x ，则称x 为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x ，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和
“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．
(1)求证：A⊆B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.
解析：(1)若A＝∅，则A⊆B显然成立．
若A≠∅，设t∈A，
则f(t)＝t，f(f(t))＝t，t∈B，
从而A⊆B，故A⊆B成立．
(2)∵A＝{－1,3}，
∴f(－1)＝－1，且f(3)＝3.
即，∴，
∴，∴f(x)＝x2－x－3.
∵B＝{x|f(f(x))＝x}，
∴(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
∴(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
∴(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0，
∴x＝±或x＝－1或x＝3.
∴B＝{－，－1，，3}．。