高中总复习数学函数与方程及分类讨论思想的应用练习
(完整版)高一函数大题训练含答案解析
(完整版)高一函数大题训练含答案解析一、解答题1．已知有穷数列{}n a 、{}n b （1,2,,n k =⋅⋅⋅），函数1122()||||||k k f x a x b a x b a x b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）如果{}n a 是常数列，1n a =，n b n =，3k =，在直角坐标系中在画出函数()f x 的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；（2）当n n a n b ==，7k m =（m ∈*N ）时，判断函数()f x 在区间[5,51]m m +上的单调性，并说明理由； （3）当n a n =，1n b n=，100=k 时，求该函数的最小值. 2．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1xy a a =>；②3y x =． （2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()*002,N f f n n n >∈==，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤；（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例．3．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同；（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤时，求2212m m +的取值范围.4．已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<=，其中分点121n t t t -、、、将区间[],a b 任意划分成()*n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-，称为()x ϕ关于区间[],a b 的n 阶划分“落差总和”.当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . (1)已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；(2)已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.(3)若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -+++++=.5．已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x ∈R ；（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的范围；（3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅-将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x 为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；6．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．7．已知函数()242 1.x xf x a =⋅--（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域； （2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围.8．已知函数()22f x x x a =+--.（1）当0a =时，求函数()f x 的零点；（2）若不等式()0f x <至少有一个负解，求实数a 的取值范围. 9．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况.10．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有()f x 1>．(Ⅰ)求()f 0；(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．11．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．12．已知函数()20182018,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，(1)分别求()()()()1,2018f f f f -的值: (2)讨论()()()f f x m m R =∈的解的个数:(3)若对任意给定的[)1,t ∈+∞,都存在唯一的x R ∈,满足()()222f f x a t at =-，求实数a的取值范围.13．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()sin()3f x x π=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.14．一般地，我们把函数1110()()N --=∈n n n n h x a x a x a x a n ++++称为多项式函数，其中系数0a ，1a ，…, n a ∈R ．设()f x ，()g x 为两个多项式函数，且对所有的实数x 等式[()][()]f g x g f x =恒成立．（1）若2()3f x x =+，()(0)g x kx b k =+≠． ①求()g x 的表达式； ②解不等式()()5f x g x ->．（2）若方程()()f x g x =无实数根，证明方程[()][()]f f x g g x =也无实数解． 15．若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”； （2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N*k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【参考答案】一、解答题1．（1）图象见解析；递减区间(],2-∞，递增区间[)2,+∞，最小值()22f =；（2）单调递增；理由见解析；（3）292071. 【解析】（1）根据条件采用零点分段的方法作出函数()f x 的图象，根据图象确定出()f x 的单调区间和最小值；（2）写出()f x 的解析式，根据[]5,51x m m ∈+分析函数()f x 的结构，从而判断出()f x 的单调性；（3）先根据条件证明出()f x 的单调性然后即可求解出()f x 的最小值. 【详解】 （1）如图所示，由图象可知：单调递减区间(],2-∞，单调递增区间[)2,+∞，最小值()22f =； （2）因为()112233...77f x x x x m x m =⋅-+-+-++-且[]5,51x m m ∈+, 所以()()()()()()()()()()12233...555151...77f x x x x m x m m m x m m x =-+-+-++-+++-++-， 所以()()()()()()()()()222222155517212...55152 (72)2m m m m m f x x m x m m m +⋅++⋅=-+++-++++++ ， 所以()()()()()()()222222222552425152...712 (52)m m m m f x x m m m m +--=++++++-+++，所以()()()()()()()2222222+35152...712 (52)m m f x x m m m m =++++++-+++且2302m m+>， 所以()f x 在[]5,51m m +上单调递增；（3）因为()12131...1001f x x x x x =-+-+-++-，显然当[)1,x ∈+∞时，()f x 单调递增，当(],0x ∈-∞时，()f x 单调递减， 设存在一个值()1*t N t ∈，使得10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，此时最小值即为1f t ⎛⎫⎪⎝⎭，下面证明1t存在：因为若要10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，则有12112100......t t t t t t t t t-+++++>+++，解得：71t ≥，且()1221100 (1111111)t t t t t t t t t t -++++<+++≠------，解得：171t -<， 所以7172t ≤<，所以71t =，所以存在1171t =满足条件，故假设成立，综上可知：()f x 在1,71⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+71⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， ()()()()()()()min 1112170721731100171f x f x x x x x x ⎛⎫==-+-+⋅⋅⋅+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭292041971x =+=【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，其中着重考查了函数单调性方面的内容，对学生的理解与分析能力要求较高，难度较难.2．（1）①()1xy a a =>具有性质P ；②3y x =不具有性质P ，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出()()()112f x f x f x -++-的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由3y x =，举出当1x =-时，不满足()()()112f x f x f x -++≥，即可得到结论； （2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，证明对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤不成立．【详解】证明：（1）①函数()()1xf x a a =>具有性质P ，()()()11111222x x x x f x f x f x a a a a a a -+⎛⎫-++-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1a >，120x a a a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()()()112f x f x f x -++≥， 此函数为具有性质P ；②函数()3f x x =不具有性质P ，例如，当1x =-时，()()()()11208f x f x f f -++=-+=-，()22f x =-，所以，()()()201f f f -+<-， 此函数不具有性质P ． （2）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，则()()10f i f i -->， 因为函数()f x 具有性质P ， 所以，对于任意*n ∈N ，均有()()()()11f n f n f n f n +-≥--， 所以()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i --≥---≥≥-->，所以()()()()()()110f n f n f n f i f i f i =--+++-+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，与()0f n =矛盾， 所以，对任意的{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤．（3）不成立．例如，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数证明：当x 为有理数时，1x -，1x +均为有理数，()()()112f x f x f x -++-()()()2221121122x x x n x x x =-++---++-=，当x 为无理数时，1x -，1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-=所以，函数()f x 对任意的x ∈R ， 均有()()()112f x f x f x -++≥， 即函数()f x 具有性质P ．而当[]()0,2x n n ∈>且当x 为无理数时，()0f x >． 所以，在（2）的条件下，“对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤”不成立． 如()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数， ()()()2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数等．【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．3．（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）221218m m <+≤【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.(2)根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,再列式利用恒成立问题求解即可.(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使故()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时23k n ππ=±,n Z ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（2）()2f x x =及()2xg x a =+的定义域均为R ,根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xg x a =+而言,()222x x k x k m a a a +-⋅+=+++()2222x k k a -=+⋅+, 所以()()22222x x k km a a -⋅+=+⋅+,()()22220xkkm a m -⎡⎤⋅-++⋅-=⎣⎦,()2220k k m a m -⎧=+⎪⎨⋅-=⎪⎩, 即22m m ≥⎧⎨=⎩,故2m =,只有0k =,所以函数()2xg x a =+的“平衡”数对为()2,0, 综上可得函数()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同.（3）2221cos cos cos 22m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以221cos 2sin m x x =, 2222cos cos cos 44m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22cos 1m x =,由于04x π<≤,所以21cos 12x ≤<,故(]212tan 0,2m x =∈,(]22sec 1,2m x =∈, ()22224121tan 4tan m m x x +=++()22222145tan 2tan 15tan 55x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, 由于04x π<≤,所以20tan 1x <≤时,2116tan 555x <+≤,()2212tan 238x <+-≤,所以221218m m <+≤.【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题. 4．(1)3；(2)见解析；(3)见解析 【解析】 【分析】(1)直接利用题中给的定义求解即可；(2)利用函数的单调性和数列的信息应用求出充要条件；(3)利用函数的奇偶性和存在的最佳划分，进一步建立函数的单调区间，最后求出函数的关系式. 【详解】(1)()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=； (2)若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则{}()()()(){}11,,,,1ni i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>.由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-（*）等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾. 所以()x ϕ在[],a b 上单调递增；(3)由(2)的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都是单调，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都单调，而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,2n i j n i ⎛⎫+== ⎪⎝⎭时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=.【点睛】本题是信息给予题，考查了数学阅读能力，考查了函数和数列的综合应用能力，考查了数学运算能力.5．（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）证明见解析，min 4M =；【解析】 【分析】（1）由已知()g x 在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，易构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值。
专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用-学会解题之高三数学万能解题模板(2021版)(解析版)
专题07 分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。
类型一 分段函数例1 函数 ，若实数a 满足=1，则实数a 的所有取值的和为（ ） A ．1 B ．C． D ． 【答案】C【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类：令0log 2=a 和0142=++a a 得，，，32321+-=--==a a a第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 若1>a 则()a a f 2log =，所以()()()1log log 22==a a f f ，所以4=a ； 若10≤<a 则()a a f 2log =，所以()()()11log 4log 222=++=a a a f f ，22log ,0()41,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩(())f f a 1716-1516--2-所以0log 2=a 或-4log 2=a ，即1=a 或161=a ； 若032≤<+-a 则()142++=a a a f ，所以()()()114log 22=++=a a a f f ，所以52+-=a （舍）或52--=a （舍）；若3232+-≤≤--a 则()142++=a a a f ，所以()()()()1114414222=++++++=a a a a a f f ，所以32+-=a 或32--=a ；若32--<a 则()142++=a a a f ，所以()()()114log 22=++=a a a f f ，所以52+-=a （舍）或52--=a ； 第三步 得出结论.所以a 所有可能值为161,32,32,1,52,4+-----，其和为51615--，故选C ．【变式演练1】在函数22, 1, 122, 2x x y x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()1f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．312或 C ．1± D【答案】C 【解析】试题解析：当1x ≤- 时，211x x +=⇒=-；当12x -<<时，211x x =⇒=；当2x ≥时，1212x x =⇒=（舍）.考点：本题考查函数性质例2 已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【答案】C【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 由题意可得自变量的分界点为0；第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解：易判断2y x =在区间[)0,+∞单调递增，因为()f x 在(),-∞+∞上是增函数，所以函数3232y x a a =+-+在(),0-∞单掉递增； 第三步，得出结论：所以只需满足2320a a -+≤，解得：12a ≤≤，所以答案为C ． 考点：1．分段函数；2．函数的单调性．点评：本题考查了分段函数的单调性，渗透着分类讨论的数学思想，考查学生正确理解函数的单调性的概念，其解题的关键点有二：其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）. 【变式演练2】【甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高三第一学期10月月考数学（理）】已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则b a -的取值范围为（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性以及()()()f a f b a b =<，可得11,128a b ≤<≤≤且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤，然后用k 表示,a b ，再作差，构造函数，并利用单调性可求得结果.【详解】因为函数()f x 在1[,1)8上递减，在[1,2]上递增，又()()()f a f b a b =<，所以11,128a b ≤<≤≤，且122log 2b a +=，令122log 2b a k +==，则24k <≤，所以212k a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log b k =，所以221log 2k b a k -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设函数221()log 2x g x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,4]x ∈，∵()g x 在(]2,4上单调递增， ∵(2)()(4)g g x g <≤，即70()4g x <≤， ∵70,4b a ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，故选：B ．例3 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 【答案】D【解析】第一步，通过观察分析，决定如何对自变量进行分类： 由题意可得自变量的分界点为0和1；第二步，通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解： 因为当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +， 由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，第三步，得出结论：因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ． 考点：分段函数的单调性与最值问题．【变式演练3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 【答案】0，3-22. 【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-. 考点：分段函数类型二 含参数函数的最值问题例4已知函数()y f x =是二次函数，且满足(0)3f =，(1)(3)0f f -== （1）求()y f x =的解析式；（2）若[,2]x t t ∈+，试将()y f x =的最大值表示成关于t 的函数()g t ．【答案】（1）2()23f x x x =-++；（2）2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩． 【解析】试题分析：（1）由已知(1)(3)0f f -==，因此二次函数的解析式可设为()(1)(3)f x a x x =+-；（2）由于二次函数的最大值与对称轴有关，而且本题中二次项系数为负（图象是开口向下的抛物线），因此要分三类求最大值，即对称轴在区间的左边，在区间上，在区间的右边，分别求解，最后得()g t 是一个分段函数形式．试题解析：（1）由题可设()(1)(3)f x a x x =+-， 又(0)3f =，得a ＝－1，得2()23f x x x =-++ （2）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置： 由题意可得：参量在区间的端点；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：由（1）知，()y f x =的对称轴为01x =，若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，若12t t <<+，即11t -≤≤，则()y f x =在[)1,t 上是增函数，在[]21+t ，是减函数， 若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数；第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值：若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，2max ()23y f t t t ==-++…8分若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数，2max (2)23y f t t t =+=--+若12t t <<+，即11t -≤≤，则max (1)4y f == 第四步，得出结论：故 2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 【变式演练4】【天津市静海区2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)4,8C ．()4,8D ．()1,8【答案】B 【分析】只需使原函数在()1,+∞和(],1-∞上都递增，且端点处的函数值符合要求即可. 【详解】若函数(),142,12xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩在R 上递增，则只需满足1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-+ ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得：48a ≤<. 故选：B.例5.设函数2(),,f x x ax b a b R =-+∈．（1）当2a =时，记函数|()|f x 在[0，4]上的最大值为()g b ，求()g b 的最小值；（2）存在实数a ，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，求b 的最大值及此时a 的值．【答案】（1）92；（2）2a ＝ 【解析】试题分析：（1）当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =．所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+⎧==⎨+-<+⎩|,|，即可得到()g b 的最小值．（2）显然0b >．22()24a a f x x b ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．然后再对<02a ，2a b >和02a b ≤≤进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果．试题解析：（1）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置： 由题意可得：参量在函数的常量位置；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =．所以()f x 在[]20，上单调递减，在(]42，上单调递增， 第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值：所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+⎧==⎨+-<+⎩|,|， 第四步，得出结论：即可得到()g b 的最小值，所以()g b 的最小值为92． （2）第一步，通过观察函数的特征，分析参数的位置在什么位置： 由题意可得：参量在函数的对称轴和常量位置；第二步，通过讨论含参函数的单调性和已知区间之间的关系进行分类讨论：∵当<02a时，函数()x f y =在[]b ，0上为增函数， ∵当2ab >时，函数()x f y =在[]b ，0上为减函数，∵当02ab ≤≤时，函数()x f y =在[]b ，0上先减后增， 第三步，根据含参函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出 其最值：∵当<02a 时，只需满足()()⎩⎨⎧+-==bab b b f b f 20由0a <及2b ≥，得()26f b b b >≥＋，与()6f b ≤矛盾． ∵当2a b >时，只需满足()()206 2.f b f b b ab b =≤⎧⎪⎨=-+≥⎪⎩由20a b >>，得22ab b <－－，∵222111()2244f b b b b b ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭，与()2f b ≥矛盾．∵当02a b ≤≤时，只需满足()()22206,224624f b a a fb a a f b b b ⎧⎪=≤⎪⎪⎪⎛⎫=-≥⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪=-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①，②，③第四步 得出结论.由∵，∵得26b ≤≤．由∵，∵得2-+262a b ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又02a b ≤≤，∵022a b ≤-≤，即022a b ≤-≤，再结合∵得222()24a b b ≤≤-，∵∵23b ≤≤．当3b ＝时，由∵得2a ＝，此时满足∵，∵，∵及02ab ≤≤． 综上所述，b 的最大值为3，此时2a ＝．考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．【变式演练5】【2018年全国普通考试理科数学（北京卷）】设函数f(x)=[ax 2−(4a +1)x +4a +3]e x ∵ （1）若曲线y =f (x )在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行∵求a ∵（2）若f(x)在x =2处取得极小值，求a 的取值范围∵【答案】(1) 1 (2)（12，+∞）【解析】（∵）因为f(x)=[ax 2−(4a +1)x +4a +3]e x ∵ 所以f ′∵x ∵=∵2ax –∵4a +1∵∵e x +∵ax 2–∵4a +1∵x +4a +3∵e x ∵x ∵R ∵ =∵ax 2–∵2a +1∵x +2∵e x ∵ f ′(1)=(1–a )e∵由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1∵ 此时f (1)=3e≠0∵ 所以a 的值为1∵∵∵∵由∵∵∵得f ′∵x ∵=∵ax 2–∵2a +1∵x +2∵e x =∵ax –1∵(x –2)e x ∵ 若a >12，则当x ∵(1a ∵2)时，f ′(x )<0∵ 当x ∵(2∵+∞)时，f ′(x )>0∵ 所以f (x )<0在x =2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∵(0∵2)时，x –2<0∵ax –1≤12x –1<0∵ 所以f ′(x )>0∵所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是（12∵+∞∵∵点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.【高考再现】1.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【思路导引】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案．【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点． 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩， 当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意； 当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >-∞+∞，故选D．综上，k的取值范围为(,0)(22,)【专家解读】本题的特点是函数图象及其现在的灵活运用，本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是正确作出函数图象，应用函数图象及其性质解决问题．2.【2017天津理】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.3.【2016高考浙江文数】已知函数f（x）=x2+bx，则“b<0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分必要条件.【方法点睛】解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．4.【2017年全国普通考试理科数学】已知函数()23,1,{ 2, 1.x x x f x x x x -+≤=+>设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ． 47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ． 4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．2⎡⎤-⎣⎦ D ．3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+， 2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---≤- ⎪⎝⎭（14x =时取等号），p q ⇒p q q p223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭（34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+， 32222x x a x x--≤≤+，又323222x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.5. 【2015高考陕西，文4】设，则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】【解析】因为，所以，故答案选 【考点定位】1.分段函数；2.复合函数求值.10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩((2))f f -=1-141232C 21(2)24f --==111((2))()11422f f f -===-=C【名师点睛】1.本题考查分段函数和复合函数求值，此题需要先求的值，继而去求的值；2.若求函数的值，需要先求的值，再去求的值；若是解方程的根，则需先令，即，再解方程求出的值，最后在解方程；3.本题属于基础题，注意运算的准确性.【反馈练习】1．【江西省新余市第一中学2021届高三第四次模拟考试数学（文）】已知函数21log (),0()2,0xx x f x x +-<⎧=⎨>⎩，则(1)(1)f f -+=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据分段函数分别求出()1f 和()1f -的值，即可求解. 【详解】因为21log (),0()2,0xx x f x x +-<⎧=⎨>⎩所以()1122f ==，()()211log 1101f -=+--=+=⎡⎤⎣⎦，所以()()11123f f -+=+=，故选：B2．【广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学（理）】已知函数2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则(1)(1)f f --=(2)f -((2))f f -[()]f f a ()f a [()]f f a [()]f f x a =()f x t =()f t a =()f t a =t ()f x t =A ．-7B ．2C ．7D ．-4【答案】A 【分析】根据解析式，分别求出(1)f 和(1)f -，即可得出结果. 【详解】因为2log ,0()34,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩， 所以2(1)log 10f ==，()(1)3417f -=--=， 因此(1)(1)7f f --=-. 故选：A.3.已知函数()()837,8,8x a x x f x ax -⎧--≤=⎨>⎩，若数列{}n a 满足()()*n a f n n N=∈，且{}na 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．17,39⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,39⎛⎫⎪⎝⎭D ．[)2,3【答案】C 【分析】由题意可得分段函数()f x 在每一段都是单调递增且98a a >，即可得解. 【详解】因为函数()()837,8,8x a x x f x ax -⎧--≤=⎨>⎩，()()*n a f n n N=∈，且{}na 是递增数列，则()981837a a a -⎪>⎨⎪>--⎩，解得1739a <<. 故选：C. 【点睛】在处理函数与数列的综合问题时，要注意数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点.4.【云南省红河州2021届高中毕业生第一次复习统一检测数学（文）】已知函数()()101,012,1x f x x x f x x -≤<=-≤<⎨⎪-≥⎪⎩，若函数()()()01g x f x k k =-≤≤的所有零点从小到大依次成等差数列，则()g x 的零点一定不包含（ ）A．20192-B ．2019C ．2020D．20202+【答案】D 【分析】根据题意，得出当0k =时，()g x 的零点为1-，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当1k =时，()g x 的零点为0，2，4，…，都是偶数，进而讨论即可求解 【详解】解析由条件知()f x 是周期为2的周期函数，函数()g x 的零点即曲线()y f x =与直线y k =的交点的横坐标作图如下，由图可知，当0k =时，()g x 的零点为1-，1，3，5，…，都是奇数，此时包含2019，当1k=时，()g x 的零点为0，2，4，…，都是偶数，此时包含2020，当k =()g x的零点为1，22-…，此时包含20192-，因此()g x的零点一定不包含20202+. 故选D5.【宁夏银川一中2021届高三第四次月考数学（理科）】已知函数()3244,0(),0x x a x a x f x a x ⎧+-+->⎪=⎨≤⎪⎩，是单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(1,3] C ．[2,3] D ．[3,)+∞【答案】C 【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可. 【详解】由()32()44f x x a x a =+-+-，0x >，可知()22()340f x x a '=+-≥在0x >时恒成立，故240a -≥即2a ≥或2a ≤-，根据分段函数的性质可知，204014a a a a ⎧-≥⎪>⎨⎪-≥⎩，解可得，23a ≤≤.故选：C.6.【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩若0.013335,log 2,log 0.92a b c ===，则有（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f c f a f b >>C ．()()()f a f c f b >>D ．()()()f a f b f c >>【答案】D【分析】 先得到函数()f x 在R 上单调递增，然后比较,,a b c 的大小，从而得到结果【详解】因为2,0,(),0,x x e e x f x x x -⎧->=⎨-⎩，当0x >时，()x x f x e e -=-单调递增，且()00f =， 当0x ≤时，()2f x x =-，在(],0-∞上单调递增，且()00f =，所以函数()f x 在R 上单调递增，又由0.01351,0log 1,0a b c =><=<<，所以a b c >>，所以()()()f a f b f c >>.故选：D7.【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数()2121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）A ．12B ．1-C ．±1D ．12± 【答案】C【分析】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，再结合图像即可求出答案.【详解】设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()221g x x ax h x x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩， 由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，结合图像，210x -=，得1x =±，所以1a =±.故选：C8．【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数x ，则事件“2,(0)1,(0)x x y x x ⎧≤=⎨+>⎩，且1,22y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”发生的概率为（ ） A ．78 B ．58 C ．38 D ．12【答案】D【分析】根据已知条件，求事件“2(0)1(0)x x y x x ⎧=⎨+>⎩，且1[,2]2y ∈”发生时x 的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【详解】事件“2(0)1(0)x x y x x ⎧=⎨+>⎩，且1[,2]2y ∈” 由题可知，该分段函数是一个增函数，1[,2]2y ∈，此时[1x ∈-，1]， 所以该事件发生的概率1(1)12(2)2P --==--． 故选：D ．9.【安徽省宿州市泗县第一中学2020届高三下学期最后一卷数学（文）】已知函数()22log ,012,04x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，方程()f x a =有四个不同根1x ，2x ，3x ，4x ，且满足1234x x x x <<<，则221323432x x x x x x +-的取值范围是（ ）A．)⎡+∞⎣ B．1298⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．9129,28⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】作出函数()y f x =的图象，可得出当直线y a =与函数()y f x =的图象有四个交点时a 的取值范围，求出实数3x 的取值范围，将代数式221323432x x x x x x +-转化为关于3x 的函数，利用双勾函数的基本性质求出221323432x x x x x x +-的取值范围. 【详解】作出函数图像可得1222+=-x x ，2324log log x x -=从而得341x x =，且()23–log 1,2x ∈，从而得()312,4x ∈，所以()22231221323432233311222x x x x x x x x x x x x ++-=-=+，令231t x =则()4,16t ∈，2y t t =+在()4,16上递增，所以9129,28y ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 故选：D. 10．【上海市闵行区2021届高三上学期一模】已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩.设()f x 在[)()*22,2n n n -∈N 上的最大值记作n a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则n S 的最大值为___________.【答案】64【分析】根据函数的解析式，分别求得123,,,a a a ，得出172n a n =-，结合等差数列的性质和前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意，函数()()151,0222,2x x f x f x x ⎧--≤<⎪=⎨--≥⎪⎩， 当1n =时，[0,2)x ∈，此时()151f x x =--，此时函数()f x 在[0,2)上的最大值为()1151115f =--=，所以115a =，当2n =时，[2,4)x ∈，此时()()22f x f x =--，此时2[0,2)x -∈，所以()()2215212133f x f x x x =--=----=--，此时函数()f x 在[2,4)[0,2)上的最大值为()3133313f =--=，所以213a =，当[22,2)x n n ∈-时，()15[(22)]2(1)15(22)12(1)f x f x n n x n n =-----=------， 此时函数()f x 的最大值为()172f n n =-，所以172n a n =-，当18,n n N +≤≤∈时，0n a >，当9,n n N +≥∈时，0n a <，所以n S 的最大值为8818()8(151)6422a S a +⨯+===. 故答案为：64.。
高中数学专题练习题集
高考等差、等比数列及其应用【考纲要求】1．考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题． 2．考查运用数列知识解决数列综合题的能力．【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C 级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题．因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。
【复习指导】1．熟练等差数列与等比数列的基本运算．2.数列中n a 与n S 之间的互化关系也是高考的一个热点.3．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．基础练习1.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =_____. [解析]数列{}1n n a a +仍是等比数列,其首项是128,a a =公比为1.4所以, 1223118[1()]324(14)1314n n n n a a a a a a -+-+++==--2.设，，，，则数列的通项公式=．[解析]数列是等比数列，则3．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，并且a n －1－a n a n ·a n －1＝a n －a n ＋1a n ·a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为.[解析] 由已知可得：1a n ＋1＋1a n －1＝2a n ，n ≥2，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等差数列，∴a 100＝150. 一.若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10， 则a ＝________．[解析] 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a 、b 、c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q ＝－52a ＝10，所以a ＝－4.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝_______.[解析] 本小题主要考查数列前n 项和S n 与通项a n 的关系，解题的突破口是用a n 表示S n .由S n ＝2a n ＋1＝2(S n ＋1－S n )得S n ＋1＝32S n ，所以{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以S n ＝123-⎪⎭⎫⎝⎛n .考向一 等差数列与等比数列的综合应用12a =121n n a a +=+21n n n a b a +=-*n N ∈{}n b n b {}n b 11422n n n b -+=⋅=【例1】设数列的前项和为 已知（I ）设，证明数列是等比数列（II ）求数列的通项公式. 解：（I ）由及，有由，．．．① 则当时，有．．．．．② ②－①得又，是首项，公比为２的等比数列． （II ）由（I ）可得，数列是首项为，公差为的等比数列．， 第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II ）问中由（I ）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以． 【巩固练习】 1．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝3)21(21--+n (2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)， 由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．{}n a n ,n S 11,a =142n n S a +=+12n n n b a a +=-{}n b {}n a 11,a =142n n S a +=+12142,a a a +=+21121325,23a ab a a =+=∴=-=142n n S a +=+2n ≥142n n S a -=+111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-12n n n b a a +=-12n n b b -∴={}n b ∴13b =11232n n n n b a a -+=-=⋅113224n n n na a ++∴-=∴{}2n n a 1234∴1331(1)22444n na n n =+-=-2(31)2n n a n -=-⋅1n n b b -与的关系即可11232n n n a a -+-=⋅1(,n n n a pa q p q +=+为常数)1n q +2．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足2222234577a a a a ,S +=+=（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项. 解：（1）设公差为d ，则22222543a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题08 分类讨论思想在二次函数最值中的应用(解析版)
【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的.【方法点评】类型 求二次函数最值问题使用情景：二次函数在区间上的最值问题解题模板：第一步 通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么位置；第二步 通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论； 第三步 根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；第四步 得出结论.例1已知函数()y f x =是二次函数，且满足(0)3f =，(1)(3)0f f -== （1）求()y f x =的解析式；（2）若[,2]x t t ∈+，试将()y f x =的最大值表示成关于t 的函数()g t ．【答案】（1）2()23f x x x =-++；（2）2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩．【解析】试题解析：（1）由题可设()(1)(3)f x a x x =+-， 又(0)3f =，得a ＝－1，得2()23f x x x =-++ （2）由（1）知，()y f x =的对称轴为01x =，若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，2max ()23y f t t t ==-++…8分 若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数，2max (2)23y f t t t =+=--+若12t t <<+，即11t -≤≤，则max (1)4y f ==故 2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩。
高三数学函数与方程试题
高三数学函数与方程试题1.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【考点】函数的最值.2.若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)【解析】由f(x)＝x3－3x＋a，得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，由图象可知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋a，f(x)的极小值为f(1)＝a－2，要使函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则有f(－1)＝2＋a>0，f(1)＝a－2<0，即－2<a<2，所以实数a的取值范围是(－2,2)．3.已知函数，，的零点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，分别得，，，则分别为函数的图象与函数，，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得，，，故选．【考点】函数图象、零点的概念.4.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为关于的方程有两个不同的实根，即有两个不同的实根．等价于函数与函数有两个交点．如图可得．【考点】1．含绝对值的函数的图象．2．函数与方程问题．3．数形结合的数学思想．5.是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙述正确的是()A．若,则函数的图象关于原点对称B．若,则方程有大于2的实根C．若,则方程有两个实根D．若,则方程有两个实根【答案】B【解析】还是奇函数，当时，不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，A错；如，则函数的极小值小于，时，把图象向上平移2个单位，的极小值小于0，方程仍然有三个根，C错，极大值为，当时，的极大值小于0，方程只有一个根，D错，故选B．【考点】函数图象变换，函数的零点．6.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】如图，直线y=x-a与函数的图象在处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时；直线与函数的图象有一个切点，切点坐标是，此时相应，观察图象可知，方程有三个不同的实根时，实数的取值范围是.【考点】1函数图像；2数形结合及转化思想。
高中数学总复习考点知识专题讲解与提升练习02 函数的嵌套问题(解析版)
高中数学总复习考点知识专题讲解与提升练习第2讲函数的嵌套问题一．选择题（共15小题）1．（2021•合肥一模）已知函数,0()1,0x x e x f x xe x lnx x -⎧-=⎨--->⎩，则函数()(())()F x f f x ef x =-的零点个数为()(e 是自然对数的底数）． A ．6B ．5C ．4D ．3【解答】解：不妨设1()(0)x f x e x -=-，2()1(0)x f x xe x lnx x =--->， 易知，1()0f x <在(-∞，0]上恒成立，且在(-∞，0]单调递增；211()1(1)()x x x f x e xe x e x x '=+--=+-，设1()(0)x g x e x x=->，由当0x +→时，()g x →-∞，g （1）10e =->，且函数()g x 在(0,)+∞上单增，故函数()g x 存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得0()0g x =，即010x e x -=，则00001,0xx e lnx x =+=， 故当0(0,)x x ∈时，()0g x <，2()0f x '<，2()f x 单减；当0(x x ∈，)+∞时，()0g x >，2()0f x '>，2()f x 单增，故0220000()()10x min f x f x x e x lnx ==---=，故2()0f x ；令()t f x =，()()0F t f t et =-=，当0t 时，0t e et ---=，解得1t =-，此时易知()1f x t ==-有一个解；当0t >时，10t te t lnt et ----=，即1t te t lnt et ---=，作函数2()f t 与函数y et =如下图所示，由图可知，函数2()f t 与函数y et =有两个交点，设这两个交点为1t ，2t ，且10t >，20t >， 而由图观察易知，1()f x t =，2()f x t =均有两个交点，故此时共有四个解； 综上，函数()(())()F x f f x ef x =-的零点个数为5． 故选：B ．【点评】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．2．（2021•绵阳模拟）已知函数()||x e f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是()A ．21(1,)21e e ---B ．(1,)+∞C ．21(21e e --，2)D ．21(21e e --，)+∞【解答】解：当0x >时，()x e f x x =，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'==，当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，则当1x =时函数取得极小值f （1）e =，当0x <时，()x e f x x =-，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'=-=-，此时()0f x '>恒成立，此时函数为增函数， 作出函数()f x 的图象如图：设()t f x =，则t e >时，()t f x =有3个根， 当t e =时，()t f x =有2个根 当0t e <<时，()t f x =有1个根， 当0t 时，()t f x =有0个根，则2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根， 等价为2210()t at a m R -+-=∈有2个相异的实数根， 其中0t e <<，t e >， 设2()21h t t at a =-+-，则(0)0()0202h h e a a ⎧⎪>⎪<⎨⎪-⎪-=>⎩，即2102100a e ae a a ->⎧⎪-+-<⎨⎪>⎩，即21121a e a e >⎧⎪⎨->⎪-⎩， 即2121e a e ->-，即实数a 的取值范围是21(21e e --，)+∞，故选：D ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 3．（2021•海淀区校级开学）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数．当0x >时，5sin(),0142()1()1,14x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈，有且仅有2个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，55)(44-⋃，)+∞B ．(-∞，565){}(454-⋃，)+∞ C ．5(,)[14-∞--，51](4⋃，)+∞D ．5(4-，5)4【解答】解：作出函数的图象如图所示，令()f x t =，则由图象可得： 当11t -或54t =±时，方程()f x t =有1解；当514t -<<-或514t <<时，方程()f x t =有2解；当54t <-或54t >时，方程()f x t =无解； 因为25[()](56)()60fx a f x a -++=，所以6()5f x =或()f x a =，因为关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有2个不同实数根， 又6()5f x =有2 解，所以()f x a =无解或方程()f x a =的解也是方程6()5f x =的解，故54a <-或65a =或54a >， 故选：B ．【点评】本题主要考查了方程根的个数的判定与应用问题，其中解答中涉及到一元二次方程根的求解，函数的图象的应用等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中正确作出函数的图象和合理应用()f x t =的根的个数的应用是解答的关键． 4．（2021•三门峡一模）已知函数(1),0(),0xln x x f x xe x +⎧=⎨-<⎩，方程2()()0()f x mf x m R +=∈有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是() A ．1(,)e-∞-B ．1(e-，0)C ．1(e-，)+∞D ．1(0,)e【解答】解：当0x <时，()x f x xe =-， 则()(1)x f x x e '=-+， 由()0f x '=得1x =-，当1x <-时，()0f x '>， 当10x -<<时，()0f x '<，即当1x =-时，函数()f x 取得极大值，此时1(1)f e-=， 且当0x <时，()0f x >， 当0x 时，()(1)0f x ln x =+， 设()t f x =，则当1t e=时，方程()t f x =有两个根，当1t e >或0t =时，方程()t f x =有1个根，当10t e<<时，方程()t f x =有3个根， 当0t <时，方程()t f x =有0个根，则方程2()()0()f x mf x m R +=∈等价为20t mt +=， 即0t =或t m =-，当0t =时，方程()t f x =有1个根，∴若方程2()()0()f x mf x m R +=∈有四个不相等的实数根，则等价为()t f x =有3个根， 即10m e<-<，得10m e-<<， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数根的个数的判断，求函数的导数，研究函数的取值范围，利用换元法和图象法进行求解是解决本题的关键． 5．（2021秋•北碚区校级月考）已知函数(1),0(),0xln x x f x x e x +⎧=⎨-<⎩，函数1()(())2g x f f x =-零点的个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：令()u f x =，令()0g x =，则1()02f u -=，当0u 时，则()(1)f u ln u =+，所以，1(1)2ln u +=，∴1u =． 当0u <时，()u f u ue =-，则()(1)u f u u e '=-+， 当1u <-时，()0f u '>；当10u -<<时，()0f u '<．此时，函数()y f u =在1u =-处取得极大值，且极大值为11(1)2f e-=<．所以，当0u <时，1()2f u <，则方程1()02f u -=在0u <时无解．再考虑方程()1f x =的根的个数， 作出函数()u f x =的图象如下图所示，1112e>>，所以，直线1u=与函数()u f x=的图象只有一个交点，因此，函数()g x只有一个零点，故选：D．【点评】本题考查函数的零点个数，考查复合函数的零点个数问题，解决本题的关键在于灵活处理内层函数与外层函数零点之间的关系，属于难题．6．（2021春•渝北区校级期末）已知函数(),0()21,0xxln x x xf x x xexe--<⎧⎪=⎨--⎪⎩，()()g x f x x a=+-．若()g x 存在三个零点，则实数a的取值范围是()A．23(1,)e--B．23(0,2)e-C．32(0,2)e-D．32[1,2)e--【解答】解：因为()()g x f x x a=+-存在三个零点，所以方程()f x x a=-+存在三个实根，因为当0x<时，()f x x a=-+，即()ln x a-=有且只有一个实根，所以当0x时，()f x x a=-+，即21xxae-=有且只有2个实根，令21xxye-=，0x，则22(21)32()x xx xe x e xye e---'==，由32x<，得0y'>，由32x>，得0y'<，所以21xxye-=在3[0,)2上递增，在3(,)2+∞上递减，所以当32x=时，21xxye-=取得最大值323222ee-=，又0x=时，1y=-，x→+∞时，0y→，由函数21xxye-=，0x的图象可知，3202a e-<<．所以实数a 的取值范围是32(0,2)e -． 故选：C ．【点评】本题考查了函数的零点方程根的关系，转化成函数图象的交点的关系是关键，考查数形结合的思想，是中档题．7．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是() A ．(,0)-∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2-∞，)+∞D ．(-∞，0)(1⋃，)+∞【解答】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+>=⎨-+<⎩的图象如图：方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x ，2()2()10()f x af x a a R -+-=∈，可得()f x a =±，当1a >时，1a >，(0,1)a -．满足题意．当1a =时，2a ，0a =，不满足题意． 考察选项可知，D 正确；故选：D ．【点评】本题考查分段函数的应用，函数与方程的应用，考察最值思想以及计算能力．本题如果直接求解，难度比较大，关于a 的不等式组不易求解．采用回代验证，方便快速得到结果．8．（2021•大东区一模）已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R -+-=∈有3个相异的实数根，则a 的取值范围是()A ．21(21e e --，)+∞B ．21(,)21e e --∞-C ．21(0,)21e e --D ．21{}21e e --【解答】解：当0x >时，()x e f x x =，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'==， 当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，则当1x =时函数取得极小值f （1）e =，当0x <时，()x e f x x =-，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x --'=-=-，此时()0f x '>恒成立，此时函数为增函数， 作出函数()f x 的图象如图：设()t f x =，则t e >时，()t f x =有3个根， 当t e =时，()t f x =有2个根当0t e <<时，()t f x =有1个根， 当0t 时，()t f x =有0个根，则2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有三个相异的实数根， 等价为2210()t at a m R -+-=∈有2个相异的实数根， 其中0t e <<，t e =， 当t e =时，2210e ae a -+-=，即2121e a e -=-，此时满足条件． 故选：D ．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．9．（2021秋•天津期末）已知函数2()(||xe f x e x =为自然对数的底数），关于x 的方程2[()]2()20()f x af x a a R -+-=∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．2(,)21e e +∞-D ．242(,)41e e -+∞-【解答】解：2()||xe f x x =， 0x >时，2()x e f x x =，22(21)()x e x f x x -'=， 令()0f x '>，解得：12x >，令()0f x '<，解得：102x <<，故()f x 在1(0,)2递减，在1(2，)+∞递增，故1()()22min f x f e ==，0x <时，2()x e f x x =-，22(21)()0x e x f x x -'=->， 函数()f x 的图象，如图示：，设()t f x =，方程2[()]2()20f x af x a -+-=等价于2220t at a -+-=，而△2244(2)4480a a a a =--=-+>， 若关于x 的方程恰有四个不同的实数根， 则102t e <<，22t e >， 设2()22g t t at a =-+-，则(0)0(2)0g g e >⎧⎨<⎩，即2204420a e ae a ->⎧⎨-+-<⎩解得：24241e a e ->-，故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，换元思想，考查二次函数的性质，是一道中档题． 10．（2021秋•谯城区校级期末）已知函数2||,0()41,0lnx x f x x x x >⎧=⎨--+⎩，若关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-=有8个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为()A ．(2,4)B ．(2，4]C ．[2，4]D ．[2，4) 【解答】解：设()f x t =，则22()2()10f x af x a -+-=， 化为22210t at a -+-=，作出()f x 的图象，由图知，若关于x 的方程22()2()10f x af x a -+-=有8个不相等的实数根， 则关于t 的方程22210t at a -+-=有两个不等实根1215t t <<． 设22()21(1)(1)g t t at a t a t a =-+-=---+，，则由图知，1115a a -⎧⎨+<⎩，解得：24a <，故选：D ．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．11．（2021•郑州校级模拟）已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x 时，5sin()(01)42()1()1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程25[()](56)()60()f x a f x a a R -++=∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A ．01a <<或54a =B ．01a 或54a =C ．01a <或54a =D ．514a <或0a = 【解答】解：函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x 时，5sin()(01)42()1()1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，当0x <时，5sin(),10()4241,1x x x f x x π⎧--⎪=⎨⎪+<-⎩． 作出函数()f x 的图象如右．由于关于x 的方程25[()](56)()60f x a f x a -++=， 解得()f x a =或6()5f x =，当01x 时，()[0f x ∈，5]4，1x >时，()(1f x ∈，5)4．由65154<<，则6()5f x =有4个实根， 由题意，只要()f x a =有2个实根，则由图象可得当01a <时，()f x a =有2个实根，当54a =时，()f x a =有2个实根．综上可得：01a <或54a =． 故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．12．（2021•和平区四模）已知函数32()32f x x x =-+，函数22(3)1,0()1()1,02x x g x x x ⎧-++<⎪=⎨-+⎪⎩，则关于x 的方程[()]0(0)g f x a a -=>的实根最多有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【解答】解：作出函数()f x 和()g x 的图象如图： 由[()]0(0)g f x a a -=>得[()]g f x a =，(0)a > 设()t f x =，则()g t a =，(0)a > 由()y g t =的图象知，①当01a <<时，方程()g t a =有两个根143t -<<-，或242t -<<-， 由()t f x =的图象知，当143t -<<-时，()t f x =有0个根， 当242t -<<-时，()t f x =有0个根， 此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有0个根，②当1a =时，方程()g t a =有两个根13t =-，或212t = 由()t f x =的图象知，当13t =-时，()t f x =有0个根， 当212t =时，()t f x =有3个根， 此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有3个根，③当514a <<时，方程()g t a =有两个根1102t <<，或2112t <<， 由()t f x =的图象知，当1102t <<时，()t f x =有3个根， 当2112t <<时，()t f x =有3个根，此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有336+=个根， ④当54a =时，方程()g t a =有两个根10t =，或21t =， 由()t f x =的图象知，当10t =时，()t f x =有3个根， 当21t =时，()t f x =有3个根，此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有336+=个根 ⑤当54a >时，方程()g t a =有1个根11t >，由()t f x =的图象知，当1112t >时，()t f x =有3或2个或1个根， 此时方程[()]0(0)g f x a a -=>有3或2个或1个根， 综上方程[()]0(0)g f x a a -=>的实根最多有6个根， 故选：C ．【点评】本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．13．（2021•余姚市模拟）已知函数32()32f x x x =-+，210()420x x g x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则方程[()]0(g f x a a -=为正实数）的根的个数不可能为()A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个 【解答】解：函数32()32f x x x =-+，画出函数()f x 的图象，如图示：我们易求出()f x 与y a =的交点情况为： 当2a >时，有一个交点； 当2a =时，有两个交点； 当02a <<时，有三个交点；21,0()42,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩， 画出函数()g x 的图象，如图示：我们易求出()g x 与y a =的交点情况为： 当2a >时，有2个交点； 当2a =时，有2个交点；当02a <<时，有2个交点；∴方程[()]0(g f x a a -=为正实数）的根的个数可能为：4个，5个，6个， 不可能为3个， 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．14．（2021春•安徽期末）已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a【解答】解：函数32()31f x x x =-+，21,0()()468,0x x g x g x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪---⎩，2()36f x x x ∴'=-，令()0f x '=得：0x =，或2x =，故当0x =时，函数()f x 取极大值1，当2x =时，函数取极小值3-； 则()f x 与y m =的交点情况为： 当3m <-，或1m >时，有一个交点； 当3m =-，或1m =时，有两个交点； 当31m -<<时，有三个交点；()g x 与y a =的交点情况为：当01a <<时有两个交点，一个在区间(4,3)--上，一个在区间(3,2)--上； 当1a =时有两个交点，一个为3-，一个为12；当1a >时有两个交点，一个在区间1(0,)2上，一个在区间1(2-，1)上．若方程[()]0g f x a -=有6个解，()0g m a -=有两个根，均在(3,1)-上， 故5(1,)4a ∈， 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．15．（2021春•舒城县校级期中）已知函数()||(0)x f x x e x =≠，其中e 为自然对数的底数，关于x 的方程2()0()f x f x λ+-=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是()A ．1(0,)e B ．)+∞C ．2(,)e e ++∞D ．1(2,)e e++∞【解答】解：,0()||,0x xxx e x f x x e x e x ⎧>==⎨-<⎩． 当0x >时，由()x f x x e =，得()(1)0x x x f x e x e e x '=+=+>，()f x ∴在(0,)+∞上为增函数；当0x <时，由()x f x x e =-，得()(1)x x x f x e x e e x '=--=-+． 当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，∴当1x =-时，函数()f x 取得极大值为1(1)f e-=． 作出函数()||(0)x f x x e x =≠的图象的大致形状：令()f x t =，则方程2()0()f x f x λ+-=化为20t tλ+-=， 即220t t λ-+=， 要使关于x 的方程2()0()f x f x λ+-=有四个相异实根， 则方程220t t λ-+=的两根一个在1(0,)e，一个在1(,)e+∞之间．则2120e e λ-+<，解得12e eλ>+． ∴实数λ的取值范围是1(2e e+，)+∞． 故选：D ．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题． 二．多选题（共1小题）16．（2021秋•广州月考）已知函数21,()()(2),x e x mf x m R x x m ⎧-=∈⎨-+<⎩，则() A ．对任意的m R ∈，函数()f x 都有零点B ．当3m -时，对12x x ∀≠，都有1212()(()())0x x f x f x --<成立C ．当0m =时，方程[()]0f f x =有4个不同的实数根D ．当0m =时，方程()()0f x f x +-=有2个不同的实数根【解答】解：对于A ：作出函数1x y e =-和244y x x =---的图象如图所示：当0m >时，函数()f x 只有1个零点， 当20m -<时，函数()f x 有2个零点，当2m -时，函数()f x 只有1个零点，故A 正确； 对于B ：当3m -时，函数()f x 单调递增，若当3m -时，对12x x ∀≠，都有1212()(()())0x x f x f x --<成立，则()f x 单调递减，故B 错误； 对于:0C m =时，()0f t =得12t =-，20t =， 当1()2f x t ==-时，方程有两个解， 当2()0f x t ==时，方程有两个解，所以方程[()]0f f x =有4个不同的实数根，故C 正确；对于D ：当0m =时，方程()()0f x f x +-=的根为()()f x f x =--的根， 令()()h x f x =--， 作出()f x ，()h x 的图象：可得函数()f x 与()h x 有三个交点，其中包括0x =， 即方程()()f x f x +-有三个根， 故选：AC ．【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题． 三．填空题（共7小题）17．（2021春•安徽期末）已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()30()f x af x a a R -+-=∈有3个相异的实数根，则a的取值范围是23(,3)21ee--．【解答】解：由题得2(1)()(0)xe xf x xx-'=≠，当1x>时，()0f x'>，函数单调递增；当01x<<时，()0f x'<，函数单调递减；当0x<时，()0f x'<，函数单调递减；作出函数()xef xx=的图象如右图，令()t f x=，则2()23g t t at a=-+-，设函数()g t的两零点分别为1t，2t①1t<，2t e>，则2(0)30()230g ag e e ae a=-<⎧⎨=-+-<⎩，解得23(,3)21eae-∈-②1t e=，2t e>，则22()23044(4)0g e e ae aa ea a⎧=-+-=⎪>⎨⎪=-->⎩，此时无解，综上：23(,3)21eae-∈-，故答案为：23(,3)21ee--【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．18．（2021春•衡阳期末）已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数．当0x 时，5sin()(01)42()1()1(1)4x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，则f （1）=54，若关于x 的方程2[()]()0(f x af x b a ++=，))b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是． 【解答】解：f （1）55sin()424π==，作函数()y f x =的图象如右图，设方程20x ax b ++=的两个根为1x ，2x ； ①若154x =，2514x <<， 故129(4x x a +=-∈，5)2， 故5(2a ∈-，9)4-；②若101x <，2514x <<， 故129(1,)4x x a +=-∈， 故9(4a ∈-，1)-；故答案为：54，5(2-，99)(44--⋃，1)-．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用． 19．（2021秋•全国Ⅰ卷月考）已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，当0x 时，3sin(),01,22()1()1,1,2x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩则函数3()(())4g x f f x =-的零点个数为2．【解答】解：()f x 是偶函数，∴作出函数()f x 的图象如图，当01x 时，022xππ，则，33sin()222x π， 当1x >时，13()1(1,)22x +∈，由3()(())04g x f f x =-=得3(())4f f x =，设()t f x =，则3()4f t =，由3()4f t =，得01t <<或10t -<<， 当10t -<<时，()t f x =无解，当01t <<时，()t f x =有两个交点，即()g x 有两个零点， 故答案为：2．【点评】本题主要考查函数与方程的关系，利用换元法转化为两个方程根的个数问题，以及利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．20．（2021秋•常熟市月考）已知函数32()31f x x x =-+，2442,0()1|2|1,02x x x g x x x ⎧-+>⎪=⎨-++⎪⎩，若函数(())y g f x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为1(,2)2． 【解答】解：作出函数()f x 与()g x 的图象如图：令()f x t =，则由图可知，当()f x t =有3个交点时，(3,1)t ∈-，当(3,1)t ∈-时，要使()0y g t a =-=，即函数图象在(3,1)t ∈-时，y a =与()y g t =要有2个交点，根据图象可知1(3)2g -=，故1(2a ∈，2)，故答案为：1(2，2)．【点评】本题主要考查函数零点个数求解参数取值范围，分段函数图象的画法，数形结合是关键，综合性强，属于难题．21．（2021春•让胡路区校级月考）已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是21(21e e --，)+∞．【解答】解：当0x >时，()x e f x x =，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x--'==， 当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，则当1x =时函数取得极小值f （1）e =，当0x <时，()x e f x x =-，函数的导数22(1)()x x x e x e e x f x x x--'=-=-，此时()0f x '>恒成立， 此时函数为增函数， 作出函数()f x 的图象如图：设()t f x =，则t e >时，()t f x =有3个根， 当t e =时，()t f x =有2个根 当0t e <<时，()t f x =有1个根， 当0t 时，()t f x =有0个根，则2()2()10()f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根， 等价为2210()t at a m R -+-=∈有2个相异的实数根， 其中0t e <<，t e >， 设2()21h t t at a =-+-，则(0)0()0202h h e a a ⎧⎪>⎪<⎨⎪-⎪-=>⎩，即2102100a e ae a a ->⎧⎪-+-<⎨⎪>⎩，即21121a e a e >⎧⎪⎨->⎪-⎩， 即2121e a e ->-，故答案为：21(21e e --，)+∞【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 22．（2021春•鼓楼区校级期末）函数2()(3)x f x x e =-，关于x 的方程2()()10f x mf x -+=恰有四个不同的实数解，则正数m 的取值范围为336(6e e +，)+∞． 【解答】解：2()(23)(3)(1)x xf x x x e x x e '=+-=+-， 令()0f x '=得，3x =-或1，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(,3)-∞-上单调递增，且()0f x >， 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在(3,1)-上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()36()3f x f e =-=极大值，()f x f =极小值（1）2e =-， 令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根1t ，2t ，且一个根在36(0,)e内，一个根在36(e，)+∞内， 或者两个根都在(2,0)e -内，或者一个根在(2,0)e -内，一个根为36e ，因为m 为正数，所以120t t m +=>，又121t t =，所以1t ，2t 都为正根，所以两个根不可能在(2,0)e -内，令2()1g x x mx =-+，因为(0)10g =>， 所以只需36()0g e <，即6336610m e e-+<，得3366e m e >+， 即m 的取值范围为：336(6e e +，)+∞， 故答案为：336(6e e +，)+∞． 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的零点与方程根的关系，是中档题．23．（2021春•德阳期中）已知函数||()x x f x e=，若关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是1(1,1)e +． 【解答】解：化简得(0)()(0)x xx x e f x x x e ⎧⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩， 当0x 时，()0f x ，21()()x x x x e xe x f x e e--'==， 若01x <<时，()0f x '>，若1x >时，()0f x '<，所以当1x =时，函数()f x 有极大值f （1）1e=， 当0x <时，2()1()0()x x x xe x e xf x e e ---⋅-+'==<，()f x 为减函数， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程2()()10f x mf x m -+-=得，(()(1))(()1)0f x m f x ---=，所以()1f x =或()1f x m =-，由图象知方程()1f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实数根，则()1f x m =-要有三个解，由函数图象知101m e <-<， 所以111m e <<+． 故答案为：1(1,1)e +【点评】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，数形结合求得结果．四．解答题（共2小题）24．已知函数()y f x =的定义域为R ，且(2)y f x =+的函数图象关于2x =-对称，当0x 时，3sin()(01)22()1()1(1)2x x x f x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程24()(45)()50()f x a f x a a R -++=∈，有且仅有6个不相同实数根，则实数a 的取值范围．【解答】解：(2)y f x =+的函数图象关于2x =-对称，将(2)y f x =+的图象右移2个单位，可得()y f x =的图象，可知图象关于y 轴对称．作出函数()y f x =的图象，关于x 的方程24()(45)()50f x a f x a -++=， 即有5()4f x =或()f x a =．()y f x =和直线54y =的交点有4个，即5()4f x =的解的个数为4，由题意可得()f x a =有两个解．即()y f x =和直线y a =有两个交点， 由图象可得32a =或01a <．综上可得a 的范围是(0，31]{}2．【点评】本题考查函数方程的转化思想的运用，考查方程的根的分布情况，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．25．已知函数1()f x x x=+，若关于x 的方程2()(1)()20f x m f x m -++=有四个不同的实数根，则实数m 的取值范围是多少？【解答】解：关于x 的方程2()(1)()20f x m f x m -++= 有4个不同的实数根，令1()t f x x x ==+，则2t ，或2t -，故关于t的一元二次方程2(1)20t m t m-++=有两个实数根，且这2个实数根大于2或小于2-．令2()(1)2g t t m t m=-++，①若这两个根都大于2，则由2(1)80122(2)20m mmg⎧=+->⎪+⎪>⎨⎪=>⎪⎩，求得3m>+②若这两个根都小于2-，则由2(1)80122(2)460m mmg m⎧=+->⎪+⎪<-⎨⎪-=+>⎪⎩，求得m∈∅．③若这两个根一个大于2，另一个小于2-，则由(2)460(2)20g mg-=+<⎧⎨=<⎩，可得m∈∅．综上可得，m的范围为(3+，)+∞．【点评】本题主要考查方程根的个数判断，体现了转化、分类讨论、数形结合的数学思想，属于难题．。
(好题)高中数学必修一第四单元《函数应用》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．已知函数()24xf x =-，()()()1g x a x a x a =-++同时满足：①x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <，②(],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x <，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(-3，0) B ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．(-3，-1)D ．(-3，-1]2．已知方程923310x x k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[1,)+∞3．若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根1x ，2x ，且12x x <，则下列结论中错误的是（ ）A ．当0m =时，12x =，23x =B ．14m ≥-C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为()2,0和()3,0 4．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rtI t N e =（其中0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.55．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为（ ）A ．4.25米B ．4.5米C ．3.9米D ．4.05米6．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()31xf x m =+-（m ∈R ，0m ≠）是定义在[]1,1-上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(),0-∞7．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．函数f(x)＝2log ,02,0xx x a x >⎧⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a<0B ．0<a<C ． <a<1D ．a≤0或a>19．用二分法求方程x 2–2=0在（1，2）内近似解，设f （x ）=x 2–2，得f （1）<0，f （1.5）>0， f （1.25）<0，则方程的根在区间( ) A ．（1.25，1.5）B ．（1，1.25）C ．（1, 1.5）D ．不能确定10．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投人.若该高校2018年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投人的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg 20.30≈）（ ）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=- ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x x =，则函数()()()1g x x f x π=-- 在区间3-,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．若关于x 的方程12xa a -= (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是（ ）A ．(0，1)∪(1，+∞)B ．(0，1)C ．(1，+∞)D ．1(0,)2二、填空题13．设方程240x mx -+=的两根为α，β，其中[1,3]α∈，则实数m 的取值范围是________.14．已知函数()1,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()1y f f x ⎡⎤=-⎣⎦的零点个数为______. 15．已知函数()()21,043,0x e x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同的零点，从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x -++的取值范围为 _________16．若函数222,0(),0x x x x f x e a x +⎧->⎪=⎨-≤⎪⎩有3个零点，则实数a 的取值范围是___17．已知函数()2log ,02 sin ,2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若1234x x x x <<<且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341222x x x x --的取值范围为____________.18．若y a x =的图象与直线y x a =+（0a >）有两个不同交点，则a 的取值范围是__________.19．已知函数21,0()(1),0x x f x f x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若方程()f x x a =--有两个不同实根，则实数a的取值范围为________.20．已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 方程()f x ax =有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________． 三、解答题21．设函数()()21f x ax ax a R =+-∈.（1）当12a =时，求函数()f x 的零点； （2）讨论函数()f x 零点的个数.22．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()124x f x g x +-=.（Ⅰ）求函数()f x 和()g x 的表达式；（Ⅱ）若方程()4xf x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有一个实根，求实数m 的取值范围.23．如图所示，河（阴影部分）的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB BC ⊥，EF DF ⊥，DF AB ⊥，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB FE ==千米，74OD =千米，94DF =千米，32EC =千米，若以OA ，OD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是函数1by x a=--（其中a ，b 是常数）图象的一部分，河岸AC 可看成是函数y kx m =+（其中k ，m 为常数）图象的一部分.（1）写出点A 和点C 的坐标，并求k ，m ，a ，b 的值.（2）现准备建一座桥MN ，其中M 在曲线段DE 上，N 在AC 上，且MN AC ⊥.记M 的横坐标为t .①写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并标明定义域；（注：若点M 的坐标为0(,)t y ，则桥MN 的长l 可用公式021lk计算）②当t 为何值时，l 取到最小值？最小值是多少？24．某工厂生产某产品x 件所需成本费用为P 元，且2110005,10P x x =++而每件售出的价格为Q 元，其中(),xQ a a b R b=+∈. （1）问:该工厂生产多少件产品，使得每件产品所需成本费用最少?（2）若生产出的产品能全部售出，且当产量为150件时利润最大，此时每件价格为30，求a b 、的值.25．已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数（1）判断函数2()1((0,))f x x x x =+-∈+∞是否为闭函数？并说明理由； （2）求证：函数3y x =-（[1,1]x ∈-）为闭函数； （3）若(0)y k x k =<是闭函数，求实数k 的取值范围26．如图所示，已知1(,)A x m 、2(,2)B x m +、3(,4)C x m +（其中2m ≥）是指数函数()2x f x =图像上的三点．(1)当2m =时，求123()f x x x ++的值；(2)设ABC ∆的面积为S ，求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先判断当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥，问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解，分类讨论列出不等式可解出a 的范围． 【详解】∵()24xf x =-，∴当2x <时()0f x <，当2x ≥时()0f x ≥.因为x ∀∈R ，都有()0f x <或()0g x <且 (],1x ∃∈-∞-，()()0f x g x < 所以函数()g x 需满足:①当2x ≥时，()0g x <恒成立； ②当1x ≤-时，()0g x >有解.（1）当0a ≥时，显然()g x 不满足条件①；（2）当0a <时，方程()0g x =的两根为1x a =，21x a =--， ∵0a <，∴11a -->-，∴112a a <-⎧⎨--<⎩，解得31a -<<-.故选：C . 【点睛】转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将问题转化为当2x ≥时，()0g x <恒成立且当1x ≤-时，()0g x >有解是解题的关键.2．B解析：B 【分析】先将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题，再利用判别式和韦达定理即可求出实数k 的取值范围. 【详解】设3x t =，则0t >，则方程923310x x k -⋅+-=有两个实根可转化为方程22310t t k -+-=有两个正根，则利用判别式和韦达定理得()()22431020310k k ⎧∆=---≥⎪>⎨⎪->⎩，解得：1233k <≤； 所以实数k 的取值范围为12,33⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将指数型方程的解的问题转化为二次方程的根的问题是解决本题的关键.3．C解析：C 【分析】画出函数()()23y x x =--的图像，然后对四个选项逐一分析，由此得出错误结论的选项. 【详解】画出二次函数()()23y x x =--的图像如下图所示，当0m =时，122,3x x ==成立，故A 选项结论正确. 根据二次函数图像的对称性可知，当 2.5x =时，y 取得最小值为14-， 要使()()23y x x m =--=有两个不相等的实数根， 则需14m >-，故B 选项结论正确. 当0m >时，根据图像可知122,3x x <>，故C 选项结论错误. 由()()23x x m --=展开得2560x x m -+-=， 根据韦达定理得12125,6x x x x m +=⋅=-. 所以()()()2121212y x x x x m x x x x x x m =--+=-+++()()25623x x x x =-+=--，故()()12y x x x x m =--+与x 轴的交点坐标为()()2,0,3,0. 故选：C. 【点睛】思路点睛：一元二次方程根的分布，根据其有两个不等的实根，结合根与系数的关系、函数图象，判断各选项的正误.4．B解析：B 【分析】根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rtN e N =，求解t 值得答案 【详解】解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =， 所以0.40()tI t N e=，由0()2I t N =，得0.4002tN e N =，则0.42t e =，两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.691.70.40.4t =≈≈， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题5．D解析：D 【分析】可设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将(5,5)-代入可得n ，可得抛物线的方程，再令3.5x =，求得y ，计算70.5y --，可得所求值．【详解】解：如右图，设抛物线的方程为2(0)x ny n =<，将点(5,5)-代入抛物线的方程可得，255n =-，解得5n =-， 即抛物线的方程为25x y =-，令 3.5x =，可得23.55y =-，解得 2.45y =-，则通过隧道的车辆限制高度为7 2.450.5 4.05--=（米)． 故选：D ．【点睛】利用坐标法思想，建立适当的直角坐标系，得到抛物线的方程，从而解决问题.6．A解析：A 【分析】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，即存在0[1,1]x ∈-,满足00()()f x f x -=-，即02332x x m -=--+有根，即可求出答案．【详解】()31x f x m =+-是定义在[1,1]-上的“倒戈函数，∴存在0[1,1]x ∈-满足00()()f x f x -=-，003131x x m m -∴+-=--+， 002332x x m -∴=--+，构造函数00332x x y -=--+，0[1,1]x ∈-，令03x t =，1[,3]3t ∈，1122()y t t t t=--+=-+在1[,1]3单调递增，在(1,3]单调递减，所以1t =取得最大值0， 13t =或3t =取得最小值43-，4[,0]3y ∴∈-，4203m ∴-<，032m ∴-<， 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是指数函数的性质、函数的值域，新定义“倒戈函数”，正确理解新定义“倒戈函数”的含义，是解答的关键．7．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论8．A解析：A 【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件. 【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2x x a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1 又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集， 故选A 【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.9．A解析：A 【分析】根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><, 所以(1,25)(1.5)0f f ⋅<,可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】由题意知，2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元，然后解不等式1300 1.122000n ⨯>，将指数式化为对数式，得出n 的取值范围，即可得出答案. 【详解】若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300 1.12n ⨯万元， 由1300 1.122000n ⨯>可得1.3 1.122n ⨯>，lg1.3lg1.12lg 2n ∴+>， 所以0.050.19n ⨯>， 得 3.8n >，则正整数n 的最小值为4， 所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元， 故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解题的关键就是列出指数不等式，考查函数思想的应用与计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点就是函数()y f x =与函数1()h x x π=-的交点的横坐标． ∵()()f x f x π+=-∴()()2f x f x π+=，即函数()f x 的周期为2π，且函数()f x 的图象关于直线2x π=对称．又可得()()2f x f x π+=--，从而函数()f x 的图象关于点(π,0)对称． 函数1()h x x π=-的图象关于点(π,0)对称． 画出函数f(x),h(x)的图象（如下所示），根据图象可得函数f(x),h(x)的图象共有4个交点，它们关于点(π,0)对称． 所以函数()()()1g x x f x π=--在区间3,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为2π+2π=4π． 选D ．点睛：解答本题的关键是将函数()()()1g x x f x π=--零点问题转化为两个函数图象交点的横坐标问题，借助函数图象的直观性使得问题得到解答，这是数形结合在解答数学题中的应用，解题中要求正确画出函数的图象．同时本题中还用到了函数的周期性、对称性、奇偶性之间的互相转化，对于这些知识要做到熟练运用．12．D解析：D 【分析】由题意转化条件为函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点，按照a >1、0<a <1分类，数形结合即可得解. 【详解】根据题意，函数y =1xa -(a >0，a ≠1)的图象与直线y =2a 有两个不同的交点，a >1时，如图（1）所示；0<a <1时，如图（2）所示.由图象知，0<2a <1，所以10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数函数图象及函数图象变换的应用，考查了函数与方程的综合应用及数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】由题意利用韦达定理不等式的性质求出实数的取值范围【详解】解：方程的两根其中故即解得或令①解得；②解得综上可得故答案为：【点睛】本题考查二次函数根的分布问题属于中档题 解析：[]4,5【分析】由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m 的取值范围． 【详解】 解：方程240x mx -+=的两根α，β，其中[1,3]α∈， 故0∆，即()2440m --⨯≥，解得4m ≥或4m ≤-，令()24f x x mx =-+①()()0130f f ∆⎧⎨≤⎩，解得1353m ≤≤； ②()()01030132f f m ∆⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪≤≤⎪⎩解得134,3m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上可得[]4,5m ∈ 故答案为：[]4,5． 【点睛】本题考查二次函数根的分布问题，属于中档题.14．【分析】先由可求得的值再由和两种情况结合的值可求得的值即可得解【详解】下面先解方程得出的值（1）当时可得可得；（2）当时可得可得或下面解方程和①当时由可得由可得（舍去）由可得；②当时由可得由可得或由 解析：7【分析】先由()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦可求得()f x 的值，再由0x ≤和0x >两种情况结合()f x 的值，可求得x 的值，即可得解. 【详解】下面先解方程()10f f x ⎡⎤-=⎣⎦得出()f x 的值.（1）当()0f x ≤时，可得()()1110f f x f x -=+-=⎡⎤⎣⎦，可得()0f x =；（2）当()0f x >时，可得()()1ln 10f f x f x -=-=⎡⎤⎣⎦，可得()f x e =或()1f x e=. 下面解方程()0f x =、()f x e =和()1f x e=. ①当0x ≤时，由()10f x x =+=可得1x =-，由()1f x x e =+=可得1x e =-（舍去），由()11f x x e =+=可得11x e=-； ②当0x >时，由()ln 0f x x ==可得1x =，由()1ln f x x e==可得1e x e =或1ex e -=，由()ln f x x e ==可得e x e =或ex e -=.综上所述，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故答案为：7. 【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.15．【分析】先将函数有四个不同的零点转化为函数有四个不同的交点利用数形结合得到a 的范围再根据为方程的两根为方程的两根利用韦达定理建立的函数再利用函数的单调性求解【详解】因为函数有四个不同的零点所以函数有 解析：(]3,3e +【分析】先将函数()y f x a =-有四个不同的零点，转化为函数(),y f x y a ==有四个不同的交点，利用数形结合得到a 的范围，再根据1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，利用韦达定理建立1234x x x x -++的函数，再利用函数的单调性求解.【详解】因为函数()y f x a =-有四个不同的零点， 所以函数(),y f x y a ==有四个不同的交点， 如图所示：由图知：1a e <≤，设1x ，2x 为方程()21x e a +=的两根，即221ln 0x x a ++-=的两根， 所以121ln =-x x a ， 设3x ，4x 为方程43x a x+-=的两根，即()2340x a x -++=的两根， 所以343x x a +=+，所以1234ln 13ln 2x x x x a a a a -++=-++=++， 因为ln ,2y a y a ==+在()0,∞+上递增， 所以ln 2y a a =++在()0,∞+上递增， 所以1234(3,3]x x x x e ∈-+++， 故答案为：(]3,3e + 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定a 的范围，进而利用函数法求解.16．【分析】结合与的图象判断出当时的零点个数由此判断出当时的零点个数画出时的图象由此求得的取值范围【详解】画出与的图象如下图所示由图可知当时与的图象有个交点也即的图象有个零点所以当时有个零点当时画出的图解析：{}()21,e ⋃+∞【分析】 结合2x y =与2yx 的图象，判断出当0x >时，()f x 的零点个数.由此判断出当0x ≤时，()f x 的零点个数.画出0x ≤时2x y e +=的图象，由此求得a 的取值范围.【详解】 画出2x y =与2yx 的图象如下图所示，由图可知，当0x >时，2x y =与2y x 的图象有2个交点，也即()f x 的图象有2个零点. 所以当0x ≤时，()f x 有1个零点.当0x ≤时，画出()20x y ex +=≤的图象如下图所示，由图可知，要使()20x y e x +=≤与y a =只有1个交点，则需1a =或2a e >.所以a 的取值范围是{}()21,e ⋃+∞. 故答案为：{}()21,e ⋃+∞【点睛】研究分段函数零点问题，可结合函数图象，将零点问题转化为函数交点个数问来研究.17．【分析】根据解析式画出函数图象去绝对值并结合对数的运算性质求得根据正弦函数的对称性求得将化为结合二次函数的性质即可得出结果【详解】函数画出函数图象如下图所示:由函数图象可知若则因为与关于对称则且去绝 解析：()0,12【分析】根据解析式,画出函数图象.去绝对值并结合对数的运算性质求得12x x ⋅，根据正弦函数的对称性求得34x x +，将()()341222x x x x --化为2441220x x -+-，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【详解】函数()2 log,02sin,2104x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数图象如下图所示:由函数图象可知，若()()()()1234f x f x f x f x k====，则()0,1k∈，因为1234x x x x<<<，3x与4x关于6x=对称，则2122log logx x=，3412x x+=，且4810x<<，去绝对值化简可得2122log logx x-=，即2122log log0x x+=，由对数运算可得()212log0x x⋅=所以121x x⋅=，则()()()3434343412222420x xx x x x x xx x--=-=++-()23444442012201220x x x x x x=-=--=-+-，令21220y x x=-+-，()8,10x∈，因为21220y x x=-+-是开口向下，对称轴为6x=的二次函数，所以21220y x x=-+-在()8,10x∈上单调递减，所以10012020649620y-+-<<-+-，即012y<<；即()()()34244122212200,12x xx xx x--=-+-∈故答案为: ()0,12.【点睛】本题考查了分段函数的性质及应用，涉及求二次函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于中档题.18．【分析】首先根据已知题意画出图形然后根据数形结合分析的取值范围需要注意为的斜率【详解】根据题意的图象如图：结合图象知要想有两个不同交点的斜率要大于的斜率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数图象解析：()1,+∞【分析】首先根据已知题意画出图形，然后根据数形结合分析a 的取值范围，需要注意a 为y ax =的斜率. 【详解】根据题意y a x =的图象如图：()0a >，结合图象知，要想有两个不同交点y ax ∴=的斜率要大于y x a =+的斜率a ∴的取值范围是1a >.故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查函数图象的交点问题，考查数形结合能力，属于中等题型.19．【分析】先画出当时函数的图象当时利用周期性画出函数的图象在同一直角坐标系内画出直线的图象利用数形结合进行求解即可【详解】当时画出函数的图象当时当时画出函数的图象如下图所示：Failedtodownl 解析：(1,)-+∞【分析】先画出当0x ≥时函数()f x 的图象，当0x <时，利用周期性画出函数()f x 的图象，在同一直角坐标系内画出直线y x a =--的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】当0x ≥时，画出函数()f x 的图象，当10x -≤<时，1()21x f x +=-，当21x -≤<-时，2()21x f x +=-，画出函数()f x 的图象如下图所示： [Failed to download image :http://192.168.0.10:8086/QBM/2020/4/16/2442971918139392/2444041550692352/EXPLANATION /d0eaa7b33ddc4636b9cc52164f3abcc4.png]因为方程()f x x a =--有两个不同实根，所以函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.由直线y x a =--过(0,1)，得1a =-； 由直线y x a =--过(0,0)，得0a =； 由直线y x a =--过(1,0)-，得1a =； 而函数()f x 不过(0,1),(1,1),(2,1)--因此有当1a >-时，函数()f x 和函数y x a =--的图象有两个不同的交点.，即方程()f x x a =--有两个不同实根.故答案为：(1,)-+∞【点睛】本题考查了已知方程根的个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想，考查了函数的周期性，考查了数学运算能力.20．【分析】作出函数图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点数形结合即可得解【详解】作出函数的图象关于方程有三个不相等的实数根即图象与直线有三个不同的公共点由图可得：【点睛】此题考解析：1[,1)2.【分析】作出函数图象，关于x方程()f x ax=有三个不相等的实数根，即()f x图象与直线y ax=有三个不同的公共点，数形结合即可得解.【详解】作出函数21(0)()(1)(0)x xf xf x x-⎧-≤=⎨->⎩，，的图象，关于x方程()f x ax=有三个不相等的实数根，即()f x图象与直线y ax=有三个不同的公共点由图可得：1[,1)2a∈【点睛】此题考查方程的根的问题，根据函数图象，数形结合求解，需要熟练掌握常见基本初等函数的图象和性质，准确作出函数图象求解.三、解答题21．（1）2-和1；（2）答案见解析.【分析】（1）当12a=时，直接解方程()0f x=，即可求得函数()f x的零点；（2）分0a=和0a≠两种情况讨论，在0a=时，直接求解即可；在0a≠时，结合∆的符号可得出函数()f x 的零点个数. 【详解】 （1）当12a =时，()211122f x x x =+-，令()0f x =，可得220x x +-=，解得2x =-或1x =.此时，函数()f x 的零点为2-和1；（2）当0a =时，()1f x =-，此时函数()f x 无零点； 当0a ≠时，24a a ∆=+. ①若∆<0，即40a 时，此时函数()f x 无零点；②若0∆=，即4a =-时，函数()f x 有且只有一个零点； ③若0∆>，即4a 或0a >时，此时函数()f x 有两个零点. 综上所述，当40a时，函数()f x 无零点；当4a =-时，函数()f x 有且只有一个零点； 当4a或0a >时，函数()f x 有两个零点.【点睛】思路点睛：本题考查含参二次函数零点个数的分类讨论，步骤如下： （1）首先确定首项系数为零的情况，直接解方程()0f x =即可；（2）对首项系数不为零进行讨论，分∆<0、0∆=、0∆>三种情况讨论，可得出函数()f x 在不同情况下的零点个数.22．（Ⅰ）()44xxf x -=+，()44xx g x -=-；（Ⅱ）5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（Ⅰ）由()()124x f x g x +-=，结合()f x 的偶函数，()g x 是奇函数，得到()()124x f x g x -+-=，两式联立求解.（Ⅱ）()4x f x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根，即()214410x x m m --⋅-=在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有一个实根，令()4,1,2xz z =∈，转化为()2110m z mz ---=在()1,2上恰有一个实根，令()()211h z m z mz =---，用二次函数的性质求解.【详解】（Ⅰ）由()()124x f x g x +-=.得()()124x f x g x -+---=，.因为()f x 的偶函数，()g x 是奇函数， 所以()()124x f x g x -+-=，解得()44xxf x -=+，()44xx g x -=-.（Ⅱ）因为()4xf x m m =⋅-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根， 即444x x x m m -+=⋅-，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭恰有一个实根， 即()214410xxm m --⋅-=在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有一个实根，令()4,1,2xz z =∈，则()2110m z mz ---=在()1,2上恰有一个实根，令()()211h z m z mz =---又()12h =-，则有()2250h m =->或()()244012211020m m m m m h ⎧∆=+-=⎪⎪<<⎪-⎨⎪-<⎪<⎪⎩， 解得52m >， 综上m 的取值范围为5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 23．（1）3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫⎪⎝⎭，43k =，2m =-，4a =，3b =；（2）①19()94,[0,3]54f t t t t ⎛⎫=--∈ ⎪-⎝⎭；②52t =，min ()1f t =. 【分析】（1）根据题中给的边长，得到点,A C 的坐标，并代入直线，求,k m ，由点,D E 的坐标代入函数1b y x a =--，求,a b 的值；（2）①由（1）可知点43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，利用点到直线的距离求()l f t =，②定义域下利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题意得：4OF BC ==，OA EC =，∴3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把3,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，9,42C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+得302942k m k m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得43k =，2m =-.∵70,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,4E ，把70,4D ⎛⎫⎪⎝⎭，()3,4E 代入1b y x a =--得3433b a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得：4a =，3b =.（2）①由（1）得：M 点在314y x =--上，∴43,1M t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，[0,3]t ∈， ∴桥MN 的长l为341219()(94),[0,3]54l f t t t t t --+===--∈-； ②由①得：1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦194(4)754t t ⎡⎤=----⎢⎥-⎣⎦， 而40t -<，904t <-，∴94(4)124t t ---≥=-， 当且仅当94(4)4t t --=--时即52t =时，“=”成立，∴min 1()12715f t =-+=. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数应用题，函数模型的应用，基本不等式求最值. 本题的关键是最后一问，函数的变形，1919()(94)4(4)75454f t t t t t ⎡⎤=--=----⎢⎥--⎣⎦，只有变形成这种形式，才能用基本不等式求最值.24．（1）该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少；（2）25,30.a b ==【分析】（1）建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数，再利用当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，结合二次函数的性质建立条件关系，即可求a ，b 的值 【详解】解：（1）由题意，每套玩具所需成本费用为211000510001000105255251010x xP x x xxx x++==+++==，当且仅当100010x x=， 即100x =时，每套玩具所需成本费用最少为25元．（2）利润22111()()(10005)()(5)10001010x y xQ x P x a x x x a x b b =-=+-++=-+--，若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，∴满足5150112()1015030ab a b -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得25a =，30b =．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键，属于中档题．25．（1）见解析；(2)见解析；（3）1(,0)4-【分析】（1）可判断函数f （x ）在定义域内不单调，由闭函数的定义可作出判断；（2）按照闭函数的定义只需证明两条：①在定义域内单调；②该函数值域也为[﹣1，1]；（3）由y k =0，+∞）上的增函数，知其符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，从而有a k b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x k =用二次方程根的分布知识可得k 的限制条件； 【详解】（1）函数f （x ）在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数． （2）先证y ＝﹣x 3符合条件①：对于任意x 1，x 2∈[﹣1，1]，且x 1＜x 2， 有331221y y x x-=-＝()()22212121x x x x x x -++＝()222121113024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴y 1＞y 2，故y ＝﹣x 3是R 上的减函数．又因为y ＝﹣x 3在[﹣1，1]上的值域是[﹣1，1]． 所以函数y ＝﹣x 3（x ∈[﹣1，1]）为闭函数；（3）易知y k =0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则有a k b k ⎧=+⎪⎨=⎪⎩故a ，b是x k =22(21)00x k x k x x k ⎧-++=⎪⎨⎪⎩有两个不等非负实根；设x 1，x 2为方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0的二根，则2212212(21)4021000k k x x k x x k k ⎧∆=+->⎪+=+>⎪⎨=⎪⎪<⎩，解得：104-<<k ∴k 的取值范围：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值，属于中档题． 26．（1）48；（2）24log 3【分析】（1）根据指数运算法则求解，（2）作辅助线，将所求三角形面积转化为一个大直角三角形面积减去一个小直角三角形面积以及一个直角梯形面积，利用坐标表示面积，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】（1）()()()123312123222224x x x x x x f x x x m m m ++++===++，∴ 当2m =时，()12348f x x x ++=；(2)过C 作直线l 垂直于x 轴，分别过,A B 作11,AA BB 垂直于直线l ，垂足分别为11,A B ，则1111ABC AAC BB C AA B B S S S S ∆∆∆=--梯形 ()()()31323231111422222x x x x x x x x =-⨯--⨯--+-⨯ ()()()()21322222log 2log log 4x x x m m m =-+=+-++()2222224log log 144m m m m m +⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭即S 关于m 的函数为：()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭，[)2,m ∈+∞令24v m m =+，因为24v m m =+在[)2,+∞上是增函数，∴12v ≥ 再令41t v =+，则41t v =+在[)12,+∞上是减函数，∴413t <≤； 而2log S t =在区间41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，所以，函数()224log 14S m m m ⎛⎫=+⎪+⎝⎭在区间[)2,+∞上是减函数，故当2m =时，()()2max 42log 3S m S ==．【点睛】本题考查指数函数、对数函数以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.。
2021年高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习 新人教A版必修5
2021年高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习 新人教A 版必修5对点讲练分类讨论思想在集合中的应用分类讨论思想是高中的重要数学思想之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题． 1．由集合的互异性决定分类【例1】 设A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{9，a －5,1－a}，已知A∩B＝{9}，则实数a ＝________.分析 由A∩B＝{9}知集合A 与B 中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a 的值，注意集合中元素互异性的检验． 答案 －3解析 由A∩B＝{9}，得2a －1＝9，或a 2＝9， 解得a ＝5,3，－3.当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{9,0，－4}， A∩B＝{9，－4}，与A∩B＝{9}矛盾；当a ＝3时，a －5＝－2,1－a ＝－2，B 中元素重复，舍去； 当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{9，－8,4}，满足题设． ∴a＝－3.规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用．(2)本题在解题过程中易出现的错误：①分类讨论过于复杂；②不进行检验，导致出现增根；③分类讨论之后没有进行总结．变式迁移1 全集S ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a ＋11|,2}，∁S A ＝{5}，求实数a 的值． 解 因为∁S A ＝{5}，由补集的定义知，5∈S，但5A.从而a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，|2a ＋11|＝15S ，不符合题意； 当a ＝－4时，|2a ＋11|＝3∈S.故a ＝－4. 2．由空集引起的讨论【例2】 已知集合A ＝{x|－2≤x≤5}，集合B ＝{x|p ＋1≤x≤2p－1}，若A∩B＝B ，求实数p 的取值范围．解 ∵A∩B＝B ，∴B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，即p ＋1>2p －1， 故p<2，此时满足B ⊆A ；(2)当B≠∅时，又B ⊆A ，借助数轴表示知⎩⎪⎨⎪⎧p ＋1≤2p－1－2≤p＋12p －1≤5，故2≤p≤3.由(1)(2)得p≤3.规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法．如A ⊆B 即可分两类：(1)A ＝∅；(2)A≠∅.而对于A≠∅又可分两类：①A B ；②A＝B.从而使问题得到解决．需注意A ＝∅这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．变式迁移2 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x|mx －2＝0}，若B ⊆A ，求由实数m 构成的集合．解 A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2} 当m ＝0时，B ＝∅，符合B ⊆A ；当m≠0时，B ＝{x|x ＝2m }，由B ⊆A 知，2m ＝1或2m＝2.即m ＝2或m ＝1.故m 所构成的集合为{0,1,2}．数形结合思想在函数中的应用数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率．【例3】 设函数f(x)＝x 2－2|x|－1 (－3≤x≤3)， (1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．(1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x 2－2|x|－1＝f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)解 当x≥0时，f(x)＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－20≤x≤3x ＋12－2 －3≤x<0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图． (3)解 函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]． f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数， 在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(4)解 当x≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2. 故函数f(x)的值域为[－2,2]．规律方法 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．变式迁移3 当m 为何值时，方程x 2－4|x|＋5＝m 有4个互不相等的实数根？解 令f(x)＝x 2－4|x|＋5，则f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5， x≥0，x 2＋4x ＋5， x<0，那么原问题转化为探求m 为何值时，函数f(x)的图象与直线y ＝m 有4个交点．作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知，当1<m<5时，f(x)的图象与y ＝m 有4个交点，即方程x 2－4|x|＋5＝m 有4个互不相等的实根． 等价转化思想的应用数学问题中，已知条件是结论成立的保证．但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难以解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向所求结论靠拢，是解题过程中经常要做的工作．变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．【例4】 对任意x∈[1，＋∞)，不等式x 2＋2x －a>0恒成立．求实数a 的取值范围．解 方法一 由已知x∈[1，＋∞)，x 2＋2x －a>0恒成立，即a<x 2＋2x ，x∈[1，＋∞)恒成立．令g(x)＝x 2＋2x ，x∈[1，＋∞)，则原问题可转化为a 小于g(x)在[1，＋∞)上的最小值．∵g(x)＝(x ＋1)2－1，图象的对称轴为x ＝－1， ∴函数g(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴x＝1时，g(x)取最小值g(1)＝3.∴a<3. 即所求a 的取值范围是(－∞，3)．方法二 当x∈[1，＋∞)时，x 2＋2x －a>0恒成立，令f(x)＝x 2＋2x －a ，x∈[1，＋∞)， 则有x∈[1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，f(x)＝(x ＋1)2－a －1，x∈[1，＋∞)，∴f(x)min ＝f(1)＝3－a ，问题转化为3－a>0， 即a<3.∴所求a 的取值范围为(－∞，3)．规律方法 本题关键是将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即f(x)>a 恒成立⇔f(x)min >a ，f(x)<a 恒成立⇔f(x)max <a.变式迁移4 已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，求m 的取值范围．解 f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为R ，即等价于x ∈R 时，mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0满足要求，当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ＝m 2－4m <0，解得：0<m <4. 综上，m 的取值范围为[0,4)．数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁．在日常学习中，同学们要注意数学思想方法在解题中的运用，要增强运用数学思想方法解决问题的意识，从而迅速找到解题思想或简化解题过程．课时作业一、选择题1．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．－3<a <－1 B ．－3≤a ≤－1 C ．a ≤－3或a ≥－1 D ．a <－3或a >－1 答案 A解析 ∵|x －2|>3，∴x >5或x <－1. ∴S ＝{x |x >5或x <－1}．又T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋8>5，a <－1. ∴－3<a <－1. 2．若偶函数f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 D ．f (2)< f <f (－1) 答案 D解析 由f (x )是偶函数， 得f (2)＝f (－2)，又f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，则f (－2)＝f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)． 3．如果奇函数f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f (x )在区间[－5，－1]上是( )A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－3 答案 D解析 当－5≤x ≤－1时1≤－x ≤5， ∴f (－x )≥3，即－f (x )≥3. 从而f (x )≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 故f (x )在[－5，－1]是减函数．故选D.4．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间[0，＋∞)的图象与f (x )的图象重合，设a <b <0，给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )；②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b )； ③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a )；④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )． 其中成立的是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 D解析 本题采用特值法求解．不妨取符合题意的函数f (x )＝x 及g (x )＝|x |，进行比较或由g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ， x ≥0，f －x ， x <0，f (0)＝0，f (a )<f (b )<0，f (－a )>f (－b )>0得出．5．已知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示，则函数F (x )＝f (x )·g (x )的图象可以是( )答案 A解析 由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )均为奇函数．f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝－g (x )，F (x )＝f (x )·g (x )＝[－f (－x )]·[－g (－x )]＝F (－x )．所以函数F (x )＝f (x )·g (x )为偶函数．注意到函数y ＝f (x )的图象在y 轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y ＝g (x )在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A. 二、填空题 6．设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5A . ∴a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，|2a －1|＝3≠5且3∈U ， 当a ＝－4时，|2a －1|＝9≠5，但是9U . 故a 的值为2.7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______. 答案 －2解析 f (x ＋4)＝f (x )，∴f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2.8．有下列四个命题：①函数f (x )＝|x ||x －2|为偶函数；②函数y ＝x －1的值域为{y |y ≥0}；③已知集合A ＝{－1,3}，B ＝{x |ax －1＝0，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，则a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，13；④集合A ＝{非负实数}，B ＝{实数}，对应法则f ：“求平方根”，则f 是A 到B 的映射． 写出所有正确命题的序号________． 答案 ②④解析 函数f (x )＝|x ||x －2|的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f (x )＝|x ||x －2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；函数y ＝x －1的定义域为{x |x ≥1}，当x ≥1时，y ≥0，即命题②正确； 因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，若B ＝∅，满足B ⊆A ，这时a ＝0；若B ≠∅，由B ⊆A ，得a ＝－1或a ＝13.因此，满足题设的实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，即命题③不正确．依据映射的定义知，命题④正确． 三、解答题9．设奇函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的增函数，若不等式f (ax ＋6)＋f (2－x 2)<0对于任意x ∈[2,4]都成立，求实数a 的取值范围．解 由f (ax ＋6)＋f (2－x 2)<0得f (ax ＋6)<－f (2－x 2)．∵f (x )为奇函数，∴f (ax ＋6)<f (x 2－2)． 又f (x )在R 上为增函数，∴原问题等价于ax ＋6<x 2－2对x ∈[2,4]都成立，即x 2－ax －8>0对x ∈[2,4]都成立．令g (x )＝x 2－ax －8，问题又转化为：在x ∈[2,4]上，g (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a2<2，g 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2≤a2≤4，g a2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a 2>4，g 4>0，解得a <－2.综上，a ∈(－∞，－2)．10．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈N )是奇函数，且f (1)＝2，f (2)<3.(1)求a ，b ，c 的值；(2)试研究x <0时，f (x )的单调性，证明你的结论．解 (1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c ＝2，由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3，因为f (x )为奇函数，故f (x )的定义域关于原点对称．又f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠－c b (显然b ≠0，否则f (x )为偶函数)，所以－c b ＝0，则c ＝0，于是得f (x )＝a b x ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b<3，∴8b －32b <3，∴b <32，又b ∈N ，∴b ＝1，∴a ＝1，故a ＝b ＝1，c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增由于f (x )是奇函数，根据奇函数的对称性，可知f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以只需讨论f (x )在区间(－1,0)上的增减性即可， 当－1<x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)．显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(－1,0)上为减函数．综上所述，f (x )在(－∞，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数．38374 95E6 闦31315 7A53 穓{ 30506772A 眪E 28189 6E1D 渝 38097 94D1 铑20321 4F61 佡33101 814D 腍b。
2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学(北师大),第6章 教师备课平台
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(3)∵an＝ ＋1， 9 n－ 2 而函数 f(x)＝ ＋1 9 x－ 2 数， ∴a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…， 且当 n≤4 时，an<1；当 n>4 时，an>1， ∴最大项为 a5＝3，最小项为 a4＝－1. 1
9 9 在－∞， ， ，＋∞上都是减函 2 2
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所以当 n 为奇数 2m－1 时， Sn ＝(a1 ＋a3 ＋a5 ＋…＋a2m － 1)＋(a2 ＋a4 ＋a6 ＋…＋ a2m) 1－3m 31－3m 1 ＝ ＋ 1－3 1－3
－
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＝3m－2＝3
n+1 2
－2；
当 n 为偶函数 2m 时， Sn＝(a1＋a2＋a3＋…＋a2m－ 1)＋a2m ＝3m－2＋3m＝2×3m－2＝2×3 －2.
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(3)∵bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}为等差数列． nn－25 ∴Tn＝ <n－13， 2 整理得 n －27n＋26<0，解得 1<n<26. ∴Tn<bn 的解集为{n|1<n<26，n∈N＋ }．
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一、函数与方程的思想在数列中的应用 在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定 义域是 N＋ (或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的 点． 数列具有单调性， 如等差数列(除去公差为 0 的情况)， 等比数列(如 a1>0，q>1)．因此研究数列问题，可以类比 函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例 如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最 值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，
高三数学函数试题
高三数学函数试题1.（2013•浙江）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0B．a＜0，4a+b=0C．a＞0，2a+b=0D．a＜0，2a+b=0【答案】A【解析】因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选A．2.已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意方程有解，即有解，的取值范围就是函数的值域，当时，，当时，是增函数，取值范围是，即函数的值域是，这就是的取值范围．【考点】方程有解与函数的值域．3.如果函数的定义域为R，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”。
(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，说明理由；(2)已知具有“性质”，且当时，求在上有最大值；(3)设函数具有“性质”，且当时，.若与交点个数为2013，求的值.【答案】(1) ，(2) 当时，，当时，，(3) .【解析】(1)新定义问题，必须从定义出发,实际是对定义条件的直译. 由得，(2)由性质知函数为偶函数. ∴当时，∵在单调增，∴时，，当时，∵在单调减，在上单调增，又，∴时，，当时，∵在单调减，在上单调增，又，∴时，. (3) ∵函数具有“性质” ∴∴∴函数是以2为周期的函数. 当时，为偶函数，因此易得函数是以1为周期的函数.结合图像得: ①当时，要使得与有2013个交点，只要与在区间有2012个交点，而在内有一个交点∴过，从而得,②当时，同理可得,③当时，不合题意, 综上所述.(1)由得∴∴函数具有“性质”，其中 2分(2) ∵具有“性质”∴设，则，∴∴ 4分当时，∵在单调增，∴时， 5分当时，∵在单调减，在上单调增又，∴时， 6分当时，∵在单调减，在上单调增又，∴时， 7分综上得当时，，当时， 8分(3) ∵函数具有“性质”∴∴，∴函数是以2为周期的函数 9分设，则，再设当，则当，则∴对于，都有而∴∴函数是以1为周期的函数 12分①当时，要使得与有2013个交点，只要与在区间有2012个交点，而在内有一个交点∴过，从而得 14分②当时，同理可得③当时，不合题意综上所述 16分【考点】函数奇偶性，函数周期，函数图像4.对实数a与b，定义新运算“⊗”：．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣x2）=，由图可知，当c∈函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是，故选B．5.已知，定义，其中，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，，，，，，，，依次，函数值周期性地出现，且，故，选B．【考点】1、分段函数；2、函数的周期性.6.已知是定义在上的奇函数，且，若，有恒成立.（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。
2022版高中数学第四章函数应用本章复习提升北师大版必修1
第四章函数应用本章复习提升易混易错练易错点1忽视对参数取值范围的讨论导致错误1.()若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.2.(2020北京首都师范大学附属中学高一下期中,)已知a是实数, 关于x的方程2ax2+2x-3-a=0在区间[-1,1]上有实数根, 求a的取值范围.易错点2忽视实际问题中函数的定义域导致错误3.(2021四川泸州泸县一中高一上月考,)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位:元)和时间t(t∈N)(单位:天)的关系如图所示:(1)请确定销售价格P(元)和时间t(天)的函数解析式;(2)该商品的日销售量Q(单位:件)与时间t(天)的关系:Q=-t+40(0≤t≤30,t∈N),求该商品的日销售金额y(单位:元)与时间t(天)的函数解析式;(3)求该商品的日销售金额y(元)的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天?易错点3忽视分段函数的计算方法导致错误4.()某购物站在2019年11月开展“全部6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”的优惠.小淘在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品42件,为使花钱总数最少(不能多买),他最少需要下的订单张数为()A.1B.2C.3D.45.(2021河南洛阳高一上期中,)已知函数f (x )={x +1,x ≤0,lg x ,x >0,若存在互不相等的实数a ,b ,c ,d 满足|f (a )|=|f (b )|=|f (c )|=|f (d )|,则a +b +c +d 的取值范围为 ( )A.(0,+∞)B.(-2,+∞)C.(2,8110)D.(0,8110]6.()某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)设一次订购量为x ,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P =f (x )的表达式;(2)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少?如果订购1000个,利润又是多少?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)7.(2019四川成都石室中学高一上期末检测,)目前,某市出租车的计价标准是:路程2km以内(含2km)按起步价8元收取,超过2km后的路程按1.9元/km收取,但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).(1)若0<x≤20,将乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(单位:km)的分段函数;(2)某乘客行程为16km,他准备先乘一辆出租车行驶8km,然后换乘另一辆出租车完成余下路程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱?思想方法练一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用1.()原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原,已知到今年为止,森林的面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14.剩余面积为原面积的√22(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,已经砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?二、数形结合思想在解决函数问题中的应用2.(2019浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)函数f(x)=|log2x|-e-x的所有零点的积为m,则有()A.m=1B.m∈(0,1)C.m∈(1,2)D.m∈(2,+∞)3.()函数f(x)=(12)x-x2的零点个数为()A.1B.2C.3D.44.(2021重庆缙云教育联盟高一上月考,)已知函数f(x)=|log3(x-1)|-(13)x-1有2个不同的零点x1,x2,则()A.x1x2<1B.x1x2=x1+x2C.x1x2>x1+x2D.x1x2<x1+x2三、分类与整合思想在解决函数零点问题中的应用5.(2021四川成都外国语学校高一上月考,)已知函数f(x)={-(x-1)2+1,x<2,12x(x-2),x≥2,若函数F(x)=f(x)-mx有4个零点,则实数m的取值范围是()A.(52-√6,16) B.(52-√6,3-2√2)C.(120,3-2√2) D.(120,16)6.(2019湖南明德中学高一上期中,)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1)若k=2,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求k的取值范围,并证明:1x1+1x2<4.四、转化与化归思想在解决函数零点问题中的应用 7.()已知函数f (x )={log x x ,x >0,|x +3|,-4≤x <0,若函数f (x )的图像上有且仅有两个点关于y 轴对称,则a 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1,4)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(0,1)∪(1,4)8.()若函数f (x )=2ax 2-x -1在(0,1)上恰有一个零点,则a 的取值范围是 .答案全解全析 第四章 函数应用本章复习提升 易混易错练4.C5.D1.解析 当a =0时,f (x )=-x -1,令f (x )=0,得x =-1,符合题意;当a >0时,此函数图像开口向上,f (0)=-1<0,结合二次函数图像知符合题意;当a <0时,此函数图像开口向下,f (0)=-1<0,由图像(图略)得{x =1+4x =0,--12x<0,即a =-14.综上可知,实数a 的取值范围为{-14}∪[0,+∞).2.解析 当a =0时,f (x )=2x -3, 令2x -3=0,得x =32∉[-1,1],∴f (x )在[-1,1]上没有实数根, 故a ≠0.函数f (x )=2ax 2+2x -3-a 的图像的对称轴为直线x =-12x . 当a >0时,①当-12x ≤-1,即0<a ≤12时,需使{x (-1)≤0,x (1)≥0,即{x ≤5,x ≥1,无解,∴a ∈⌀;②当-1<-12x<0,即a >12时,需使{x (-12x )≤0,x (1)≥0,即{-12x-3-x ≤0,x ≥1,解得a ≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞). 当a <0时,① 当0<-12x≤1,即a ≤-12时,需使{x (-1)≤0,x (-12x )≥0,即{x ≤5,-12x -3-x ≥0,解得a ≤-3-√72或-3+√72≤a ≤5,又a ≤-12,∴a 的取值范围是(-∞,-3-√72);②当-12x >1时,即-12<a <0时, 需使{x (-1)≤0,x (1)≥0,即{x ≤5,x ≥1,∴a ∈⌀. 综上所述 ,a 的取值范围是(-∞,-3-√72)∪[1,+∞).易错警示本题考查的是由二次函数零点的分布求参数范围的问题,当二次函数(方程)的二次项系数含有参数时,需要对参数进行分类讨论.3.解析 (1)当0≤t <25,t ∈N 时,设P =at +b (a ≠0),将点(0,19),(25,44)代入,得{19=x ,44=25x +x ,解得{x =1,x =19,∴P =t +19(0≤t <25,t ∈N),当25≤t ≤30,t ∈N 时,同理可得P =-t +100,综上所述,销售价格P (元)和时间t (天)的函数解析式为P ={x +19,0≤x <25,x ∈x ,-x +100,25≤x ≤30,x ∈N.(2)由题意得,y =P ·Q , 由(1)得y ={(x +19)(-x +40),0≤x <25,x ∈x ,(-x +100)(-x +40),25≤x ≤30,x ∈N,即y ={-x 2+21x +760,0≤x <25,x ∈x ,x 2-140x +4000,25≤x ≤30,x ∈N.(3)由y ={-x 2+21x +760,0≤x <25,x ∈x ,x 2-140x +4000,25≤x ≤30,x ∈N,当0≤t <25,t ∈N 时,由二次函数的图像和性质,知当t =10或t =11时,y 取最大值,为870. 当25≤t ≤30,t ∈N 时,由二次函数的图像和性质,知当t =25时,y 取最大值,为1125.综上所述,在第25天,该商品的日销售金额最大为1125元.4.C 要使6折后的价格满300元,则原价应满500元,因为每张订单金额必须是48的整数倍,所以每张订单中的商品数不小于11,若每张订单购买的商品数分别为11,11,11,9,则应下4张订单,但最后一张订单金额不满500元,不能参加“满减”活动,可将最后一个订单中的9件商品分到前3个订单中,此时只需下3张订单,所以他最少需要下3张订单.5.D f (x )={x +1,x ≤0,lg x ,x >0,则|f (x )|={-x -1,x ∈(-∞,-1),x +1,x ∈[-1,0],-lg x ,x ∈(0,1),lg x ,x ∈[1,+∞),画出函数|f (x )|的图像,如图所示:设|f (a )|=|f (b )|=|f (c )|=|f (d )|=k ,则k ∈(0,1],不妨取a <b <0<c <1<d ,根据对称性知a +b =-2,-lg c =lg d ,即cd =1,c +d =d +1x ,d ∈(1,10],故d +1x ∈(2,10110],故a +b +c +d ∈(0,8110]. 故选D . 易错警示对于分段函数,需特别注意以下几点:(1)分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围,有不同的对应法则的函数; (2)分段函数是一个函数;(3)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 6.解析 (1)若实际出厂单价为51元,则订购量为100+60-510.02=550,当0<x ≤100时,P =60;当100<x <550时,P =60-0.02(x -100)=62-x50;当x ≥550时,P =51.因此,P ={60,0<x ≤100,62-x50,100<x <550,51,x ≥550.(2)设工厂获得的利润为L 元,当订购500个时,L =(62-50050-40)×500=6000;当订购1000个时,L =(51-40)×1000 =11000.故当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元. 7.解析 (1)由题意得车费f (x )关于路程x 的函数为 f (x )={8(0<x ≤2),8+1.9(x -2)(2<x ≤10),8+1.9×8+2.85×(x -10)(10<x ≤20),即f (x )={8(0<x ≤2),4.2+1.9x (2<x ≤10),2.85x -5.3(10<x ≤20).(2)只乘一辆车的车费为f (16)=2.85×16-5.3=40.3(元), 乘两辆车的车费为2f (8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元). ∵40.3>38.8,∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.思想方法练2.B3.C4.D5.B 7.D1.解析 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <34), 则a (1-x )10=12a ,根据题设构造方程,体现了方程思想. 即(1-x )10=12,解得x =1-(12)110,所以所求百分比为1-(12)110. (2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的√22,则a (12)x10=√22a ,即(12)x 10=(12)12,解得n =5,再次构造方程,利用方程思想求解. 所以到今年为止,已经砍伐了5年. (3)设该片森林一共可砍伐m 年,则a (12)x10=14a ,即(12)x10=(12)2,解得m=20,所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15年.2.B由f(x)=0得|log2x|=e-x=(1e )x,在同一坐标系中,作出函数y=|log2x|与y=(1e)x的图像,如图所示:以形助数,借助函数图像解决零点问题.由图像知,f(x)=0有两实数解,且0<x1<1<x2, ∴-log2x1=e-x1,log2x2=e-x2,∴log2x1+log2x2=e-x2-e-x1,∴log2(x1·x2)=(1e )x2-(1e)x1<0,从而0<x1x2<1,即0<m<1,故选B.3.C由f(x)=0得(12)x=x2.在同一坐标系中作出函数y=(12)x与y=x2的图像,如图所示:同时作出两个函数的图像,数形结合,由图像交点个数得到函数零点个数.由图像知f(x)有3个零点,故选C.4.D函数f(x)=|log3(x-1)|-(13)x-1有2个不同的零点x1,x2, 即y=|log3(x-1)|与y=3-x+1的图像有2个不同的交点.分别画出y=3-x+1和y=|log3(x-1)|的图像,如图所示:以形助数,借助函数图像直观得出图像的交点个数.发现两函数的图像在(1,2)和(2,+∞)有两个交点.不妨设x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),那么在(1,2)上有1+3-x1=-log3(x1-1),①在(2,+∞)上有1+3-x2=log3(x2-1),②①+②,得3-x2-3-x1=log3[(x1-1)(x2-1)].∵x2>x1,∴3-x2<3-x1,即3-x2-3-x1<0,∴log3[(x1-1)(x2-1)]<0,∴0<(x1-1)(x2-1)<1,∴x1x2<x1+x2,利用对数函数的单调性去掉对数符号.故选D.思想方法判断方程是否有解、解的个数及解所在的区间,判断函数零点的个数及零点所在区间等问题,往往通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了数形结合思想.5.B函数f(x)={-(x-1)2+1,x<2, 12x(x-2),x≥2,函数F(x)=f(x)-mx有4个零点,即f(x)=mx有4个不同的交点.画出函数f(x)的图像,如图所示:以形助数,借助函数图像研究问题.由图可知,当2≤x <4时,设对应二次函数顶点为A ,则A (3,12),k OA =123=16,对x 的范围分类讨论,体现分类讨论的思想.当4≤x <6时,设对应二次函数的顶点为B ,则B (5,14),k OB =145=120, 所以120<m <16.当直线y =mx 与2≤x <4时所对应的二次函数图像相切时,直线y =mx 与函数f (x )的图像有3个交点,此时{x =xx ,x =-12(x -3)2+12,化简,得x 2+(2m -6)x +8=0,Δ=(2m -6)2-4×8=0,解得m 1=3-2√2,m 2=3+2√2(舍);将直线与二次函数图像相切转化为根的 判别式为0.当直线y =mx 与4≤x <6时所对应的二次函数图像相切时,直线y =mx 与函数f (x )的图像有5个交点,此时{x =xx ,x =-14(x -5)2+14,相切时也有两种情形,故继续分类讨论. 化简,得x 2+(4m -10)x +24=0,Δ=(4m -10)2-4×24=0,解得m 3=52-√6,m 4=52+√6(舍);故当f (x )=mx 有4个不同的交点时,m ∈(52-√6,3-2√2).故选B .思想方法本题考查函数零点与方程根的关系,依题意,函数y =f (x )的图像与直线y =mx 有4个交点,作出函数图像,通过图像分析找到临界情况,画图时要考虑自变量取值不同时.对应的函数不同.考查分类与整合的思想方法. 6.解析 (1)若k =2,则f (x )=|x 2-1|+x 2+2x. 对绝对值内的代数式分类,从而去掉绝对值.当x ≥1或x ≤-1时,f (x )=0可化为x 2-1+x 2+2x =0,即2x 2+2x -1=0, 解得x =-1-√32或x =-1+√32(舍去).当-1<x <1时,f (x )=0可化为2x +1=0, 解得x =-12.针对另一种情形求函数的零点. 综上所述,f (x )的零点为-1-√32,-12.(2)当0<x <2时,f (x )={xx +1,0<x ≤1,2x 2+xx -1,1<x <2.若f (x )的两个零点x 1,x 2都在(1,2)内,将零点所在的范围转化到更具体的范围中. 则x 1·x 2=-12,与x 1,x 2∈(1,2)不符合,因此,两个零点分别在(0,1]和(1,2)内. 不妨设x 1∈(0,1],x 2∈(1,2),由x 1∈(0,1]得f (x 1)=kx 1+1=0,k =-1x 1≤-1.由x 2∈(1,2),且f (x )=2x 2+kx -1,得f (1)·f (2)<0⇒(k +1)(2k +7)<0⇒-72<k <-1.综上所述,-72<k <-1.证明:设g (k )=1x 1+1x 2, ∵x 1=-1x ,x 2=-x +√x 2+84或x 2=-x -√x 2+84(舍去), ∴g (k )=1x 1+1x 2=-k +√=√x 2+8-x2=√,∴g (k )在(-72,-1)上单调递减, ∴g (k )=1x 1+1x 2<g (-72)=√(-72)2+8+722=4,即1x 1+1x 2<4.7.D 函数y =log a x (x >0)的图像与函数h (x )=log a (-x )(x <0)的图像关于y 轴对称,则函数f (x )图像上有且仅有两个点关于y 轴对称的问题可转化为函数y =log a (-x )-|x +3|在-4≤x <0上有唯一零点的问题. 将对称问题转化为函数零点的个数问题.当0<a <1时,作出h (x )=log a (-x )(x <0),f (x )=|x +3|(-4≤x <0)的图像(图略),显然两图像有唯一交点,符合题意;将函数零点个数问题转化为函数图像交点的 个数问题.当a >1时,由函数h (x )=log a (-x )与f (x )=|x +3|(-4≤x <0)的图像有唯一交点,得log a 4>1,又a >1,所以1<a <4. 综上所述,a 的取值范围是(0,1)∪(1,4).所以D 选项是正确的. 8.答案 (1,+∞)解析 f (x )在(0,1)上恰有一个零点可转化为2a =1x +1x 2在(0,1)内有唯一解.将函数恰有一个零点转化为方程恰有一个解.设t =1x (x ∈(0,1)),则t ∈(1,+∞),2a =t +t 2,2a =1x +1x 2在(0,1)内有唯一解,即2a =t +t 2在(1,+∞)上有唯一解. 继续转化为另一个方程仅有唯一解的问题.设h(t)=t+t2,易知函数h(t)=t+t2在(1,+∞)上单调递增, 依题意得2a>h(1)=2,即a>1,故a的取值范围是(1,+∞).将不等式恒成立转化为参数与函数的最值关系问题.。
2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 对数与对数函数(精练：基础+重难点)
2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题⎝⎭．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，cos1x<<，则ln(cos)0x<.故选A．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数()|f x=令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（A ．12B ．14【答案】C【分析】求出A ，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果【详解】令11x -=，即2x =，得则21m n +=且0m >，0n >，由222122m n mn mn +≥⇒≥当且仅当14m =，12n =时，等号成立，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最41+．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在结合函数图象的走势，排除【详解】()22ln 41x x x f x =+变形为，定义域为()(,00,∞-U )()22ln ln 2222x x x x x x ----==++为偶函数，关于y 轴对称．1x <<时，()0f x <，，排除BC ，→+∞时，()0f x →，故排除故选：A ．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，21log 62b =，12c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．b a c >>B ．c b a >>D ．【答案】A二、多选题当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得当1a ≥时，函数()lg f x x =在[a 由图可知，函数()πsin2x g x =在所以11lg 2a a M m a -=-=，解得结合选项，实数a 可以是13和10故选：BD.三、填空题15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，故答案为：10.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1log 2(0a y x a =+->且1)a ≠的图像恒过定点P ，且点P 在圆220x y mx m +++=外，则符合条件的整数m 的取值可以为__________.（写出一个值即可）【答案】5（不唯一，取4m >的整数即可）【分析】先求定点P 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m 的取值.【详解】因为函数()1log 2a y x =+-的图像恒过定点()1,1，所以()1,1P ；因为点P 在圆220x y mx m +++=外，所以22110m m +++>且240m m ->，解得10m -<<或4m >；又m 为整数，所以m 的取值可以为5,6,7, .故答案为：5（不唯一，取4m >的整数即可）.【B组在综合中考查能力】一、单选题A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为二、多选题三、填空题四、解答题【C组在创新中考查思维】一、解答题二、单选题则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+故当()1f x =时，方程()g x =所以，要使函数()()2g x f x =+所以，关于t 方程22t at b ++=所以，由韦达定理得1,a b =-=故选：B【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于1,0a b =-=.三、多选题5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数列说法正确的是（）四、填空题由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线π1tan tan tan()41tan k θαθθ+==+=-设切点A 的横坐标为1x ，切点e mx y m '=，所以1e 2mx AD k m ==。
2021-2022学年西安市长安一中高一上学期期末数学复习卷 (2)(含解析)
2021-2022学年西安市长安一中高一上学期期末数学复习卷 (2)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 扇形的圆心角与半径相等，面积为4，这个扇形的圆心角等于( )A. √43B. 2C. π4D. π2 2. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为A. 1和20B. 9和10C. 9和11D. 10和11 3. 函数f(x)=√x +1的定义域为( )A. (5,+∞)B. [−1,5)∪(5,+∞)C. [−1,5)D. [−1,+∞) 4. 已知角θ的终边在直线y =−2x 上，则cos2θ=( )A. 35B. 34C. −34D. −35 5. “a =2”是“直线ax +2y −1=0与x +(a +1)y +2=0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知f(x)为偶函数，当x ≥0时，f(x)=m(|x −2|+|x −4|)，(m >0)，若函数y =f[f(x)]−4m 恰有4个零点，则实数m 的取值范围( )A. (0,16)B. (0,16)∪(56,52)C. (0,14)∪(54,52)D. (0,14) 7. 已知函数f(x)=2cos 3x+2cos 2x−2cos 2x 22cos 2x 2，则函数f(x)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π 8. 函数y =−x 2(x ∈R)是( )A. 左减右增的偶函数B. 左增右减的偶函数C. 减函数、奇函数D. 增函数、奇函数 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设函数f(x)、g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A. f(x)g(x)是奇函数B. |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数10. 已知a =x 12，b =(12)x ，c =log 12x ，则( ) A. 当a =b 时，有c >aB. 当a =b 时，有c <aC. 当b =c 时，有a >cD. 当b =c 时，有a <c 11. 已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x 2−mx +2=0的两个实根，则下列结论正确的是( )A. tanα+tanβ=−mB. m >2√2C. m +tanα≥4D. tan(α+β)=−m12. 设x ∈R ，则“2x 2+x −1>0”成立的一个充分不必要条件是( )A. x >12B. x <−1或x >12C. x <−2D. x <−1 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cosB =14,b =3，sinC =2sinA ，则△ABC 的面积为______．14. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(12,√22)，则log 2f(8)=______． 15. α，β都是锐角，sinα=12，cos(α+β)=12，则cosβ= ______ ．16. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0,+∞)时，f(x)是增函数，且f(−2)=0，则不等式f(x)<0的解集为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }，a n =p n +λq n (p >0,q >0,p ≠q,λ∈R,λ≠0,n ∈N ∗)．(1)求证：数列{a n+1−pa n }为等比数列；(2)数列{a n }中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；(3)设A ={(n,b n )|b n =3n +k n ，n ∈N ∗}，其中k 为常数，且k ∈N ∗，B ={(n,c n )|c n =5n ，n ∈N ∗}，求A ∩B ．18. 设函数f(x)=x 3+1x+1，x ∈[0,1]，证明：(Ⅰ)f(x)≥1−x +x 2(Ⅱ)34<f(x)≤32．19. 已知函数f(x)=Asin(x +π4)，x ∈R ，且f(0)=1．(1)求A 的值；(2)若f(α)=−15，α是第二象限角，求cosα．20. 已知f(x)=Asin(ωx +φ)+1(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且图象上的一个最低点为M(2π3,−1)．(1)求f(x)的解析式；(2)已知f(α2)=13，α∈[0,π]，求cosα的值．21. 已知△P 1P 2P 3三个顶点的坐标分别为P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,sinβ)，P 3(cosγ,sinγ)，且OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ (O 为坐标原点)． (1)求∠P 1OP 2的大小；(2)试判断△P 1P 2P 3的形状．22. 已知t 为实数，函数f(x)=2log a (2x +t −2)，g(x)=log a x ，其中0<a <1．(1)若|g(m)|=|g(n)|，且m ≠n ，求mn 的值；(2)若函数g(√x 2+1+kx)具有奇偶性，求实数k 的值；(3)当x ∈[1,9]时，函数f(x)的图象始终在函数g(x)的图象的下方，求实数t 的取值范围；参考答案及解析1.答案：B解析：解：设扇形的圆心角大小为α(rad)，半径为r，则r=α，可得扇形的面积为S=12r2α=12×α2×α=4．解得：扇形的圆心角大小为α=2．故选：B．由题意根据扇形的面积公式即可求解．本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．2.答案：D解析：解：设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：S=|1−x|×10+|2−x|×10+⋯+|20−x|×10若S取最小值，则函数y=(1−x)2+(2−x)2+⋯+(20−x)2=20x2−420x+(12+22+⋯+ 202)也取最小值由二次函数的性质，可得函数y=20x2−420x+(12+22+⋯+202)的对称轴为y=10.5又∵为正整数，故x=10或11故选D3.答案：D解析：解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥−1，故函数的定义域是[−1,+∞)，故选：D．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了二次根式的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．4.答案：D解析：解：根据角θ的终边在直线y=−2x上知，tanθ=−2，所以cos2θ=cos2θ−sin2θ=cos2θ−sin2θsin2θ+cos2θ=1−tan2θtan2θ+1=1−(−2)2 (−2)2+1=−35．故选：D．根据题意求出tanθ的值，再计算cos2θ的值．本题主要考查了同角三角函数的基本关系与二倍角公式应用问题，是基础题．5.答案：D解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出a的值是解决本题的关键，属于基础题．根据直线平行的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a=0时，直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行，等价为直线2y−1=0与直线x+y+2=0平行，但此时两直线不平行，故不满足题意；当a≠0时，若直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行，则满足1a =a+12≠2−1，由1a =a+12得a2+a−2=0，得a=1或a=−2，由a+12≠−2得a≠−5，则若直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行，则a=1或a=−2，则“a=2”是“直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行”的既不充分也不必要条件，故选：D．6.答案：B解析：解：设f(x)=t，(t>0)则由y=f[f(x)]−4m=0得f[f(x)]=4m，即f(t)=4m，则m(|t−2|+|t−4|)=4m，则|t−2|+|t−4|=4，得t=5，或t=1，若t =1，则f(x)=m(|x −2|+|x −4|)=1，即|x −2|+|x −4|=1m ， 若t =5，则f(x)=m(|x −2|+|x −4|)=5，即|x −2|+|x −4|=5m ，设g(x)=|x −2|+|x −4|，(x ≥0)，∵函数f(x)是偶函数，∴要使函数y =f[f(x)]−4m 恰有4个零点，则等价为当x ≥0时，函数y =f[f(x)]−4m 恰有2个零点，作出g(x)在[0,+∞)上的图象如图：①{1m <22<5m <6，即{m >1256<m <52，即56<m <52，②{1m >65m >6，即{0<m <160<m <56，即0<m <16，综上实数m 的取值范围是(0,16)∪(56,52)，故选：B．利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合函数与方程之间的关系，利用数形结合以及分类讨论进行求解是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．7.答案：B=2cos2x−1=cos2x，解析：解：由二倍角公式得f(x)=2cos2x(cosx+1)−(cosx+1)cosx+1=π，∴T=2π2故函数f(x)的最小正周期是π．故选：B．本题化简是关键．对于分子的化简，前两项提取公因式，第三项考虑有半角出现从而考虑二倍角公式．本题要求学生能熟练使用二倍角公式进行化简，会求函数最小正周期，是简单题．8.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．由函数y=−x2是开口向下的一条抛物线，即可求解．解：∵y=−x2是开口向下的一条抛物线，∴y=−x2在(−∞,0)上为增函数，(0,+∞)上为减函数，不妨设y=f(x)=−x2，则f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)，∴f(x)为偶函数．故选B．9.答案：AC解析：本题主要考查了函数奇偶性的定义在奇偶性的判断中的应用，属于基础题．由题意可知f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，然后分别检验各选项即可判断．解：由题意可知f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，对于选项A，f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项正确；对于选项B ，|f(−x)|⋅g(−x)=|−f(x)|⋅g(x)=|f(x)|⋅g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f(−x)|g(−x)|=−f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f(−x)⋅g(−x)|=|−f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D 项错误，故选：AC ．10.答案：AC解析：根据a =b 可求出此时x 的值，然后代入解析式即可比较a 与c 的大小，作出a =x 12，b =(12)x ，c =log 12x 的图象，结合图象可比较a 与c 的大小．本题主要考查了两数的大小比较，同时考查了数形结合的数学思想和转化能力，属于较难题． 解：当a =b 时，x =12，此时c =log 12x =log 1212=1，a =(12)12=√22<1， 所以当a =b 时，有c >a ；作出a =x 12，b =(12)x ，c =log 12x 的图象如下图：当b =c 时，即两图象在交点A 处相等，设交点横坐标为t ，此时t 12>log 12t ， 所以a >c ．故选：AC ．11.答案：BCD解析：本题主要考查两角和与差的正切公式，韦达定理，基本不等式的应用，属于中档题．由题意利用两角和与差的正切公式，韦达定理，基本不等式，得出结论．解：∵0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x2−mx+2=0的两不等实根，∴tanα+tanβ=m>0，故A错误；tanα⋅tanβ=2，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=m1−2=−m，故D正确；∴m=tanα+tanβ>2√tanα⋅tanβ=2√2，故B正确；m+tanα=2tanα+tanβ≥2√2tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα=tanβ时，等号成立，故C正确．故选：BCD．12.答案：ACD解析：不等式2x2+x−1>0成立的一个充分不必要条件，对应的x范围应该是集合A的真子集，直接判断即可得到答案．本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解法，其中熟练掌握必要条件、充分条件与充要条件的定义，是解答本题的关键．解：解不等式2x2+x−1>0，得x<−1或x>12，则不等式的解集为A={x|x<−1或x>12}，因此，不等式2x2+x−1>0成立的一个充分不必要条件，对应的x范围应该是集合A的真子集，故A，C，D符合，故选：ACD．13.答案：9√1516解析：本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．解：在△ABC中由正弦定理可知：asinA =bsinB=csinC=2R，由sinC =2sinA 得c =2a ，cosB =14，sinB =√1−cos 2B =√154， 由余弦定理可知：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即32=a 2+(2a)2−2a ⋅2a ×14， 解得a =32，c =3，△ABC 的面积S =12acsinB =12×32×3×√154=9√1516， 故答案为：9√1516． 14.答案：32解析：解：设函数的解析式是y =x α，代入(12,√22)得： (12)α=√22，解得：α=12， 故f(8)=812，故log 2f(8)=32，故答案为：32．求出函数的解析式，求出f(8)的值，代入即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查幂函数的定义以及对数的运算，是一道基础题．15.答案：√32 解析：解：∵α，β都是锐角，sinα=12，cos(α+β)=12，∴α=π6，α+β=π3， ∴β=π6， cosβ=√32． 故答案为：√32． 依题意，可求得α=π6，α+β=π3，从而可得β=π6，于是可求答案．本题考查特殊角的三角函数，求得β=π6是关键(当然，也可以利用两角差的余弦)，属于基础题．16.答案：(−2,2)解析：解：根据题意，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(−2)=0， 则f(−2)=f(2)=0，又由当x ∈[0,+∞)时，f(x)是增函数， 则f(x)<0⇒f(x)<f(2)⇒|x|<2， 解可得：−2<x <2， 即不等式的解集为(−2,2)． 故答案为：(−2,2)．根据题意，由函数的奇偶性可得f(2)=f(−2)=0，结合函数的单调性分析可得f(x)<0⇒f(x)<f(2)⇒|x|<2，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x 的不等式，属于中档题．17.答案：解：(1)∵a n =p n +λq n ，∴a n+1−pa n =p n+1+λq n+1−p(p n +λq n )=λq n (q −p)， ∵λ≠0，q >0，p ≠q ∴a n+2−pa n+1a n+1−pa n=q 为常数∴数列{a n+1−pa n }为等比数列(2)取数列{a n }的连续三项a n ，a n+1，a n+2(n ≥1,n ∈N ∗)，∵a n+12−a n a n+2=(p n+1+λq n+1)2−(p n +λq n )(p n+2+λq n+2)=−λp n q n (p −q)2，∵p >0，q >0，p ≠q ，λ≠0，∴−λp n q n (p −q)2≠0，即a n+12≠a n a n+2，∴数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列；(3)当k =1时，3n +k n =3n +1<5n ，此时B ∩C =⌀；当k =3时，3n +k n =3n +3n =2⋅3n 为偶数；而5n 为奇数，此时B ∩C =⌀； 当k ≥5时，3n +k n >5n ，此时B ∩C =⌀； 当k =2时，3n +2n =5n ，发现n =1符合要求， 下面证明唯一性(即只有n =1符合要求)． 由3n +2n =5n 得(35)n +(25)n =1，设f(x)=(35)x +(25)x ，则f(x)=(35)x +(25)x 是R 上的减函数， ∴f(x)=1的解只有一个从而当且仅当n =1时(35)n +(25)n =1， 即3n +2n =5n ，此时B ∩C ={(1,5)}；当k =4时，3n +4n =5n ，发现n =2符合要求， 下面同理可证明唯一性(即只有n =2符合要求)． 从而当且仅当n =2时(35)n +(45)n =1， 即3n +4n =5n ，此时B ∩C ={(2,25)}； 综上，当k =1，k =3或k ≥5时，B ∩C =⌀； 当k =2时，B ∩C ={(1,5)}， 当k =4时，B ∩C ={(2,25)}．解析：(1)根据a n =p n +λq n 可得a n+1−pa n 的表达式，整理可得a n+2−pa n+1a n+1−pa n为常数，进而可判断数列{a n+1−pa n }为等比数列．(2)取数列{a n }的连续三项a n ，a n+1，a n+2把a n =p n +λq n 代入a n+12−a n a n+2整理可知结果不为0，进而可判断a n+12≠a n a n+2，即数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列；(3)由3n +2n =5n 整理得(35)n +(25)n =1，设f(x)=(35)x +(25)x 则可知f(x)为减函数，故可判定f(x)=1的解只有一个，从而当且仅当n =1，3n +2n =5n 成立，同样的道理可证当k =1，k =3或k ≥5时，B ∩C =⌀；当k =2时，B ∩C ={(1,5)}，当k =4时，B ∩C ={(2,25)}． 本题主要考查了等比数列的确定和集合的相关知识．考查了学生分析和运算能力．18.答案：(Ⅰ)证明：因为f(x)=x 3+1x+1，x ∈[0,1]，且1−x +x 2−x 3=1−(−x)41−(−x)=1−x 41+x，因为1−x 41+x≤11+x ，所以1−x +x 2−x 3≤1x+1， 即f(x)≥1−x +x 2；(Ⅱ)证明：因为0≤x ≤1，所以x 3≤x ， 所以f(x)=x 3+1x+1≤x +1x+1=x +1x+1−32+32=(x−1)(2x+1)2(x+1)+32≤32；由(Ⅰ)得，f(x)≥1−x +x 2=(x −12)2+34≥34，且f(12)=(12)3+11+12=1924>34，所以f(x)>34； 综上，34<f(x)≤32．解析：(Ⅰ)根据题意，1−x +x 2−x 3=1−(−x)41−(−x)，利用放缩法得1−x 41+x≤11+x ，即可证明结论成立；(Ⅱ)利用0≤x ≤1时x 3≤x ，证明f(x)≤32，再利用配方法证明f(x)≥34，结合函数的最小值得出f(x)>34，即证结论成立．本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．19.答案：解：(1)依题意，Asin π4=1…(2分)，A ×√22=1…(3分)，A =√2…(4分)(2)由(1)得，f(x)=√2sin(x +π4)…(5分) 由f(α)=−15得，sin(α+π4)=−√210…(6分)∵α是第二象限角， ∴2kπ+π2<α<2kπ+π，∴2kπ+3π4<α+π4<2kπ+5π4…(7分)，∴α+π4是第二或第三象限角∵由sin(α+π4)=−√210<0，∴α+π4是第三象限角，∴cos(α+π4)=−√1−sin 2(α+π4)=−7√210…(9分)∴cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cos π4+sin(α+π4)sin π4=−7√210×√22−√210×√22=−45…(12分)解析：(1)由函数f(x)的解析式以及f(0)=1，求得A 的值．(2)由(1)得sin(α+π4)=−√210，求出cos(α+π4)，将α用(α+π4)−π4表示，利用两角差的余弦展开求出值；本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的关系式，两角差的余弦公式，属于中档题．20.答案：解：(1)由f(x)=Asin(ωx +φ)+1的最小正周期为π，则有T =2πω=π，得ω=2．∴f(x)=Asin(2x +φ)+1，∵函数图象有一个最低点M(2π3,−1)，A >0， ∴A =2，且2sin(2×2π3+φ)+1=−1，则有2×2π3+φ=3π2+2kπ,k ∈Z ，解得：φ=π6+2kπ,k ∈Z ， ∵0<φ<π2， ∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x +π6)+1；(2)由f(α2)=13，得2sin(α+π6)+1=13，得sin(α+π6)=−13． ∵0≤α≤π， ∴π6≤α+π6≤76π，又sin(α+π6)<0，∴cos(α+π6)=−√1−sin 2(α+π6)=−2√23．∴cosα=[cos(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cos π6+sin(α+π6)sin π6=−2√23×√32−13×12=−1+2√66． 解析：(1)由f(x)=Asin(ωx +φ)+1的周期为π，求出ω，再由f(x)图象有一个最低点M(2π3,−1)列式求得φ，则三角函数的解析式可求；(2)把f(α2)=13代入函数解析式，求得sin(α+π6)=−13，结合α的范围求得cos(α+π6)的值，然后由两角差的余弦得答案．本题考查了利用三角函数的部分图象求函数解析式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了已知三角函数值求其它三角函数的值，是中档题． 21.答案：解：(1)由题意可得|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∵OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，即OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12， ∴cos∠P 1OP 2=OP1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12， ∵∠P 1OP 2∈(0,π)， ∴∠P 1OP 2=2π3．(2)∵P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√3， 同理可得，|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3， ∴△P 1P 2P 3的形状为等边三角形．解析：(1)由题意可得|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方可求OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，从而可求cos∠P 1OP 2=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12，结合范围∠P 1OP 2∈(0,π)，即可求解∠P 1OP 2的值．(2)利用向量的运算可得P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算可求|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，即可判断△P 1P 2P 3的形状．本题主要考查了三角形形状的判断，考查了向量的运算，属于中档题．22.答案：解：(1)∵|g(m)|=|g(n)|，且m ≠n ，∴g(m)=−g(n)，即log a m =−log a n ， 则log a m +log a n =log a mn =0， ∴mn =1．(2)设ℎ(x)=g(√x 2+1+kx)=log a (√x 2+1+kx)， 若ℎ(x)是偶函数，则ℎ(x)=ℎ(−x)恒成立， 即log a (√x 2+1+kx)=log a (√x 2+1−kx)， 则√x 2+1+kx =√x 2+1−kx 恒成立， kx =0恒成立，∴k =0．当k =0时，ℎ(x)=g(√x 2+1+kx)=log a √x 2+1为偶函数成立． 若ℎ(x)是奇函数，则ℎ(x)=−ℎ(−x)恒成立，即log a (√x 2+1+kx)+log a (√x 2+1−kx)=0， 则(√x 2+1+kx)(√x 2+1−kx)=1恒成立， 得(1−k 2)x 2=0恒成立，∴k =±1．当k =±1时，ℎ(x)=log a (√x 2+1±x)，为奇函数成立． 综上，经检验：当k =0，±1时函数具有奇偶性．(3)当x ∈[1,9]时，函数f(x)的图象始终在函数g(x)的图象的下方， 即转化为2log a (2x +t −2)<log a x ，在x ∈[1,9]时恒成立， ∵0<a <1，∴y =log a x ，在定义域上单减， ∴转化为{2x +t −2>0√x >0在x ∈[1,9]时恒成立，∵√x >0，∴等价于2x +t −2>√x 在x ∈[1,9]时恒成立， 即t >−2x +√x +2在x ∈[1,9]时恒成立， 则t >(−2x +√x +2)max ， y =−2x +√x +2=−2(√x −14)2+178在[1,9]单减，∴t >(−2x +√x +2)max =1． ∴t >1．解析：本题(1)利用对数函数的运算公式求解．(2)利用奇偶函数的定义得到等式后求k 的值，求出k 的值后需要检验． (3)利用转化思想转化为函数的最值问题求解，运算过程中需要分离参数．本题考查了对数函数的性质及运算公式，以及奇偶函数的定义式，和转化思想及分离参数求最值，综合性强，属于中档题．。
高三数学函数试题答案及解析
高三数学函数试题答案及解析1.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x]等于________．【答案】2【解析】∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f′(x)＝＋>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x]＝2.2.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法3.下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）.图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是（）；是偶函数；在其定义域上是增函数；的图像关于点对称.A．（1）（3）（4）.B．（1）（2）（3）.C．（1）（2）（4）.D．（1）（2）（3）（4）.【答案】A【解析】由题意得：对应点为，此时直线与轴交于坐标原点，所以成立，由于函数定义区间为，所以是偶函数不成立，由题意得：直线与轴的交点从左到右，因此在其定义域上是增函数成立，根据直线与轴的交点关于原点对称，而由知的图像关于点对称成立.【考点】函数对应关系4.已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意方程有解，即有解，的取值范围就是函数的值域，当时，，当时，是增函数，取值范围是，即函数的值域是，这就是的取值范围．【考点】方程有解与函数的值域．5.设函数，其中，为正整数，，，均为常数，曲线在处的切线方程为.（1）求，，的值；（2）求函数的最大值；（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）【答案】（1）;（2）;（3）见解析.【解析】（1）在切点处的的函数值，就是切线的斜率为，可得；根据切点适合切线方程、曲线方程，可得，.（2）求导数，求驻点，讨论区间函数单调性，确定最值.（3）本小题有多种思路，一是要证对任意的都有只需证；二是令，利用导数确定，转化得到．令，证明．（1）因为， 1分所以，又因为切线的斜率为，所以 2分，由点（1,c）在直线上，可得，即 3分4分（2）由（1）知，，所以令，解得，即在（0，+上有唯一零点 5分当0<<时，，故在（0，）上单调递增； 6分当>时，，故在（，+上单调递减； 7分在（0，+上的最大值=== 8分（3）证法1：要证对任意的都有只需证由（2）知在上有最大值，=，故只需证 9分，即① 11分令，则，①即② 13分令，则显然当0<t<1时，，所以在（0，1）上单调递增，所以，即对任意的②恒成立，所以对任意的都有 14分证法2：令，则． 10分当时，，故在上单调递减；而当时，，故在上单调递增．在上有最小值，．，即. 12分令，得，即，所以，即.由（2）知，，故所证不等式成立． 14分【考点】导数的几何意义，直线方程，应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，转化与化归思想，分类讨论思想，应用导数研究恒成立问题.6.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的n N*,定义x,则当x时，函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，故；当时，，故，因为，故，综上函数的值域是．【考点】函数的值域．7.若直角坐标平面内两点满足条件：①点都在的图象上；②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”(点对与可看作一个“兄弟点对”).已知函数, 则的“兄弟点对”的个数为( )A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】设，则点关于原点的对称点为，于是，，只需判断方程根的个数，即与图像的交点个数，函数图像如下：所以的“兄弟点对”的个数为5个.【考点】1.函数的值；2.新定义题；3.函数的零点.8.已知函数满足，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，则，于是，故，如图所示，作出函数的图像，观察图像可知：要使函数有三个不同零点，则直线应在图中的两条虚线之间，于是.【考点】1.导数求切线斜率；2.函数的图像9.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，所以函数在上是增函数，由得，解得或，所以选C.【考点】函数的单调性.10.已知函数，给出下列命题：（1）必是偶函数；（2）当时，的图象关于直线对称；（3）若，则在区间上是增函数；（4）有最大值.其中正确的命题序号是（）A．（3）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（2）（3）【答案】A【解析】当时，不是偶函数，（1）错；取可得，但图象不关于直线对称，（2）错;当时，，其对称轴为，开口向上在区间上是增函数，（3）正确；因为开口向上无最大值，所以也无最大值，（4）错,所以正确的是（3），选A.【考点】函数奇偶性、二次函数图象.11.若直角坐标平面内不同的两点满足条件：①都在函数的图像上；②关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（）对．A．B．C．D．【答案】C【解析】函数关于坐标原点对称的函数为与函数的交点个数（如下图）即为“友好点对”的个数，从图象上可知有两个交点.【考点】求函数解析式,函数的奇偶性,二次函数,对数函数的图象.12.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记得最小值为得最大值为,则 ( )A．B．C．D．【答案】C.【解析】即，当时，取最小值；当时，取最大值,所以，选C.【考点】分段函数求最值.13.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）是，理由详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）判断方程是否有解；（Ⅱ）在方程有解时，通过分离参数求取值范围；（Ⅲ）在不便于分离参数时，通二次函数的图象判断一元二次方程根的分布. 试题解析：为“局部奇函数”等价于关于的方程有解．（Ⅰ）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． 3分（Ⅱ）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解． 5分令，则．设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，． 7分所以时，．所以，即． 9分（Ⅲ）当时，可化为．设，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”． 11分令，1°当，在有解，由，即，解得； 13分2°当时，在有解等价于解得． 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m的取值范围为． 16分【考点】函数的值域、方程解的存在性的判定.14.对于函数与和区间D，如果存在，使，则称是函数与在区间D上的“友好点”．现给出两个函数①，②，③，④，其中在区间上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】对于①，不符合；对于②，，不符合；对于③，=，，函数在（0，+∞）上是单调减函数，当时，，所以，存在，使成立；对于④令得令，得所以，时，函数取得极大值，且为最大值，最大值为，所以，存在，使成立；故选C.【考点】新定义问题，配方法、导数法求函数的值域.15.已知函数若直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】如下图所示，作出函数的图象如下图所示，当直线与函数的图象有两个不同的交点，则.【考点】分段函数的图象、函数的零点16.已知函数，（，.若,且函数的图像关于点对称，并在处取得最小值，则正实数的值构成的集合是 .【答案】【解析】由于函数的最小正周期为，由于函数的图象关于点对称，并在处取得最小值，即直线是函数的一条对称轴，故是的奇数倍，即，其中，解得，故正实数的取值集合为.【考点】三角函数的对称性、周期性17.设，定义，则+2等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设终边过点的角（不妨设）则，其中是终边过的角（不妨设）．当时，有+2．故选A．【考点】三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的求解，属于基础题。
【备战】高考数学 高频考点归类分析 应用导数讨论函数的增减性(真题为例)
应用导数讨论函数的增减性典型例题：例1. （2012年浙江省理5分）设0a >，0b >【 】A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．若2223a ba b +=+，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a ba b -=-，则a b <【答案】A 。
【考点】函数的单调性，导数的应用。
【解析】对选项A ，若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+。
构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立。
其余选项用同样方法排除。
故选A 。
例2. （2012年湖南省文5分）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当[]0,x π∈时，0＜()f x ＜1；当()0,x π∈ 且2x π≠时 ，()()02x f x π'->，则函数()sin y f x x =-在[-2π，2π] 上的零点个数为【 】 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ。
【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。
【解析】由当()0,x π∈ 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'->，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数。
又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知()sin y f x x =-在[-2π，2π] 上的零点个数为4个。
高中数学高考总复习----函数与方程的思想巩固练习题(含答案解析)
练习题（含答案解析）
【巩固练习】
1.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f (x) 为[0,1] 上的增函数”是“ f (x) 为[3,4] 上
的减函数”的（ ） （A）既不充分也不必要的条件 （C）必要而不充分的条件
（B）充分而不必要的条件 （D）充要条件
2
3.【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数 学能力.
【 解 析 】 解 法 1 ： 因 为 函 数 f (x) 2x x3 2 的 导 数 为 f '(x) 2x ln 2 3x2 0 ， 所 以 函 数
f (x) 2x x3 2 单调递增，又 f (0)=1+0 2= 1， f (1)=2+23 2=8，即 f (0) f (1)<0 且函数 f (x)
1 a0
x2 是原方程的解当且仅当 x2
，即 a 1．
于是满足题意的 a 1, 2 ． 综上， a 的取值范围为 1, 2 3, 4 ．
（3）当 0
x1
x2
时，
1 x1
a
1 x2
a
log2
，
1 x1
a
log2
1 x2
a
，
所以 f x 在 0, 上单调递减．
函数 f x 在区间t,t 1 上的最大值与最小值分别为 f t ， f t 1 ．
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x
(D)y＜z＜x
5. (2016
上海高考)已知无穷等比数列{an}的公比为
q，前
n
【导与练】2010-2012年高考数学 试题汇编 第五节 二次函数、函数与方程、函数模型及其应用 理
第五节二次函数、函数与方程、函数模型及其应用二次函数考向聚焦二次函数是高考的重点内容,主要考查二次函数的图象与性质应用,特别是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系及应用,同时对数形结合、函数与方程等数学思想方法的考查也蕴含其中.对二次函数的考查主要以选择题、填空题的形式出现,多为中档题,所占分值为5分左右1.(2011年某某卷,理8)对实数a和b,定义运算“⊗”:a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R,若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值X围是( )(A)(-∞,-2]∪(-1,)(B)(-∞,-2]∪(-1,-)(C)(-1,)∪(,+∞)(D)(-1,-)∪[,+∞)解析:f(x)=,y=f(x)的图象如图.由图可知当c≤-2或-1<c<-时y=f(x)与y=c有两个交点,故y=f(x)-c与x轴恰有两个交点,故选B.答案:B.该题主要考查了对数学语言的理解能力、分段函数及数形结合的思想,立意明确、设计新颖.2.(2010年某某卷,理6)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )解析:由abc>0知,当c>0时ab>0,∴f(0)=c>0,对称轴x=-<0无对应选项;当c<0时,ab<0,∴f(0)=c<0,对称轴x=->0,由图象知选D.答案:D.3.(2012年某某卷,理13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.解析:如图,建立平面直角坐标系,设C(0,2),A(-2,0),B(2,0)则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)满足:得a=-,b=0,c=2∴y=-x2+2.设水位下降1米,至线段EF处时,F(x,-1),代入上式:-1=-x2+2,∴x=,有|EF|=2.答案:2函数的零点与方程的根考向聚焦函数的零点与方程的根是高考的一个热点内容,近几年高考在这个考点上常考常新,主要从以下几个方面进行考查:一是求函数零点的个数(可能是具体函数也可能是抽象函数);二是判断函数零点(方程的根)所在的区间;三是已知函数零点(方程的根)的个数或X围,求解析式中参数的取值X围.一般以选择题或填空题的形式出现,所占分值为5分左右备考指津要强化这个考点以上三个方面的训练,同时要注意数形结合思想、函数与方程思想以及分类讨论思想方法的训练与应用4.(2012年某某卷,理9,5分)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:令f(x)=0,得x=0或cos x2=0,因为x∈[0,4],所以x2∈[0,16].由于cos(+kπ)=0(k∈Z),故当x2=,,,,时,cos x2=0.所以零点个数为6.答案:C.求解函数的零点个数通常有两种方法:一、直接法,即求解出所有的零点,再来数其个数;二、数形结合法,即转化为函数的图象与x轴的交点个数,此法适用于零点的具体值不好求解时,本题用的就是第一种方法.5.(2012年某某卷,理4,5分)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由f(x)=2x+x3-2=0得:2x=-x3+2,令h(x)=-x3+2,则h'(x)=-3x2<0,∴h(x)在(0,1)上单调递减,∴h(x)∈(1,2),在同一坐标系内画出y=2x与h(x)=-x3+2的图象知,其图象在(0,1)上只有一个交点,故f(x)=2x+x3-2在(0,1)上只有1个零点.故选B.6.(2012年某某卷,理11,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos(πx)|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在[-,]上的零点个数为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:由f(-x)=f(x)知y=f(x)为偶函数,由f(x)=f(2-x)知y=f(x)关于直线x=1对称,由f(-x)=f(2-x)知y=f(x)的周期T=2.g(x)=|xcos(πx)|=h(x)=g(x)-f(x)的零点个数等价于y=f(x)与y=g(x)的图象交点个数.作出图象易知选B. 答案:B.7.(2011年某某卷,理6)函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内( )(A)没有零点 (B)有且仅有一个零点(C)有且仅有两个零点 (D)有无穷多个零点解析:在同一坐标系中作出函数y=(x≥0)及y=cos x(x≥0)的图象,数形结合知两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)=-cos x在[0,+∞)内有且只有一个零点.故选B.答案:B.8.(2010年某某卷,理2)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)解析:f(-1)·f(0)<0,故选B.答案:B.9.(2010年某某卷,理4)函数f(x)=的零点个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①x≤0时,f(x)=0⇔x2+2x-3=0,∴x=-3(x=1舍去).②x>0时,f(x)=0⇔-2+ln x=0,∴x=e2.因此函数共有两个零点.故选C.10.(2011年某某卷,理16)已知函数f(x)=1og a x+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=.解析:对函数f(x),∵2<a<3<b<4,∴f(2)=log a2+2-b<1+2-b=3-b<0,f(3)=log a3+3-b>1+3-b=4-b>0.即f(2)f(3)<0,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)存在唯一的零点x0,且x0∈(2,3),∴n=2.答案:211.(2012年某某卷,理21,14分)设函数f n(x)=x n+bx+c(n∈N+,b,c∈R).(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f n(x)在区间(,1)内存在唯一零点;(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值X围;(3)在(1)的条件下,设x n是f n(x)在(,1)内的零点,判断数列x2,x3,…,x n,…的增减性.(1)证明:∵f'n(x)=nx n-1+1>0在(,1)上恒成立,∴f n(x)在(,1)上单调递增,又当n≥2且n∈N+时,f n()=()n-<0,f n(1)=2-1>0,∴f n()f(1)<0,∴f n(x)在区间(,1)内存在唯一的零点.解:(2)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c∀x1、x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4成立,等价于:f2(x)max-f2(x)min≤4下面只需求f2(x)在[-1,1]上的最值即可.f2(x)的对称轴方程为:x=-①当-≤-1,即b≥2时,f2(x)在[-1,1]上递增,f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f2(-1)=(1+b+c)-(1-b+c)=2b≤4,b≤2, 综上b=2,②当-1<-≤0,即0≤b<2时,f(1)>f(-1),f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f(-)=(1+b+c)-(-+c)=1+b+≤4, b2+4b-12≤0,-6≤b≤2,综上:0≤b<2.③当0<-≤1,即-2≤b<0时,f(-1)>f(1),f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f(-)=(1-b+c)-(-+c)=1-b+≤4, b2-4b-12≤0,-2≤b≤6,综上:-2≤b<0.④当->1,即b<-2时,f2(x)在[-1,1]上单调递减,f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f2(1)=(1-b+c)-(1+b+c)=-2b≤4,b≥-2. 综上:综上所述:-2≤b≤2.(3)该数列为递增数列.法一:设x n是f n(x)=x n+x-1在(,1)内的唯一零点(n≥2)f n (x n)=+x n -1=0f n+1(x n+1)=+x n+1-1=0,x n+1∈(,1)由于<,所以f n+1(x n+1)=+x n+1-1<+x n+1-1=f n(x n+1)∴f n+1(x n+1)=f n(x n)<f n(x n+1)由(1)知,f n(x)在(,1)上单调递增,∴x n<x n+1(n≥2)∴数列x2、x3、x4、…、x n、…是递增数列.法二:设x n是f n(x)=x n+x-1在(,1)内的唯一零点.f n+1(x n)·f n+1(1)=(+x n-1)·(1n+1+1-1)=+x n-1<+x n-1=0∴f n+1(x)的零点x n+1在(x n,1)内,有x n<x n+1(n≥2)∴数列x2,x3,…,x n,…是递增数列.此题在导数的基础上,重点考查函数的零点及二次函数的最值问题,用分类讨论的方法讨论了动轴定区间问题,难度较大.函数模型的综合应用考向聚焦函数的应用是高考的热点内容,在高考试题中,考查函数的应用,主要有两种形式,一是以选择题、填空题的形式,考查几种常见函数模型在实际问题中的应用等,一般为容易题或中档题;二是以解答题的形式,考查实际问题以及函数与其他知识,如:方程、不等式、数列、解析几何等的综合等,综合性强,难度较大12.(2012年某某卷,理8,5分)已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值为( )(A)16(B)8(C)8(D)4解析:如图所示,由-log2x A=m,x A=()m,log2x B=m,x B=2m,-log2x C=,x C=(,log2x D=,x D=所以,a=|x A-x C|=|()m-(|,b=|x D-x B|=|2m-|,==2m·=设u=m+=(2m+1)+-≥2·2-=(当且仅当(2m+1)=,即m=时,等号成立)所以=≥=8,故选B.答案:B.在研究函数时数形结合,求的最小值,先建立的关系式,再利用求最值的方法求解.13.(2012年某某卷,理10,5分)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f()≤[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;②f(x2)在[1,]上具有性质P;③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].其中真命题的序号是( )(A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④解析:本小题主要考查函数性质的应用与知识迁移能力,对③,若∃x1∈[1,3],使f(x1)≠1,则f(x1)<1且x1≠2,则一定存在x2∈[1,3],使得=2,又f(x2)≤1,∴f(x1)+f(x2)<2,据性质P得f()≤[f(x1)+f(x2)],即f(x1)+f(x2)≥2f()=f(2)=2,这显然与f(x1)+f(x2)<2矛盾,∴假设不成立,即∀x∈[1,3],f(x)=1;对④,f()=f()≤[f()+f()],又f()≤[f(x1)+f(x2)],f()≤[f(x3)+f(x4)],∴f()+f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],∴f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)].故选D.答案:D.本题中的信息实质上是凹函数的性质,在应用中可借助某些函数如指数函数、一次函数等,若结合图象则易判定①②为假.③④均为全称命题,其真假判定分别采用了反证法与综合法,考查了知识的灵活运用.14.(2010年某某卷,理10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表,那么,各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )(A)y=[] (B)y=[](C)y=[] (D)y=[]解析:法一:特殊取值法,若x=56,y=5,排除C、D,若x=57,y=6,排除A,所以选B.法二:设x=10m+a(0≤a≤9),0≤a≤6时,[]=[m+]=m=[],当6<a≤9时,[]=[m+]=m+1=[]+1,所以选B.答案:B.15.(2012年某某卷,理14,5分)已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值X围是.解析:本题考查分段函数的图象及利用数形结合研究函数图象交点个数.y==,其图象如图.直线y=kx-2过定点(0,-2),把直线绕点(0,-2)旋转知,当k∈(0,1)∪(1,4)时,两图象恰有2个交点.答案:(0,1)∪(1,4)16.(2012年某某数学,17,14分)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.解:(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知x>0,k>0,故x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时,可击中目标.本题把函数、不等式放在应用题中,设计新颖,考法独特.17.(2012年某某卷,理20,13分)某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.解:(1)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为T1(x),T2(x),T3(x),由题设有T1(x)==,T2(x)=,T3(x)=,其中x,kx,200-(1+k)x均为1到200之间的正整数.(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为{x|0<x<,x∈N*},易知,T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,注意到T2(x)=T1(x),于是①当k=2时,T1(x)=T2(x),此时f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{,}.由函数T1(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)<f(45).故当x=44时完成订单任务的时间最短,且最短时间为f(44)=.②当k>2时,T1(x)>T2(x),由于k为正整数,故k≥3,此时≥=.记T(x)=,ϕ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函数,则f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=ϕ(x)=max{,}.由函数T1(x),T(x)的单调性知,当=时ϕ(x)取最小值,解得x=.由于36<<37,而ϕ(36)=T1(36)=>,ϕ(37)=T(37)=>.此时完成订单任务的最短时间大于.③当k<2时,T1(x)<T2(x),由于k为正整数,故k=1,此时f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{,}.由函数T2(x),T3(x)的单调性知,当=时f(x)取最小值,解得x=,类似(1)的讨论,此时完成订单任务的最短时间为,大于.综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.18.(2011年某某卷,理17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下.大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时)解:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b(a≠0,a、b为常数),再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)=(2)依题意并由(1)可得f(x)=当0≤x<20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;当20≤x≤200时,f(x)=x(200-x)≤[]2=,当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时.19.(2011年某某卷,理20)如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;(2)其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值X围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少. 解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=当0<c≤时,y是关于v的减函数.故当v=10时,y min=20-.当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数;在(c,10]上,y是关于v的增函数,故当v=c 时,y min=.(2011年某某卷,理10)设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R},若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能的是( )(A)|S|=1且|T|=0 (B)|S|=1且|T|=1(C)|S|=2且|T|=2 (D)|S|=2且|T|=3难题特色:本题看似集合问题,实则研究方程根的个数问题,由于两个方程都是三次方程,且方程中都含有a,b,c三个参数,导致考生无法对给出的结论进行真假判断.难点突破:(1)合理采用选择题的解法,对各个结论逐一进行分析判断;(2)通过对参数a,b,c 取特殊值,帮助分析根的情况,对结论作出判断.解析:当|S|=1时,由f(x)=(x+a)(x2+bx+c)=0得b2-4c<0,且根为x=-a.当a=0时,g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)=0无根,|T|=0,∴A可能成立.当a≠0时,g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)=0有一根为x=-,|T|=1,∴B可能成立.当|S|=2时,不妨取a=1,b=c=4,f(x)=(x+a)(x2+bx+c)=(x+1)(x2+4x+4)=0,有两根为-1或-2. 而g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)=(x+1)(4x2+4x+1)=0,有两根为-1或-,|T|=2,∴C可能成立.若|T|=3,则有由b2-4c>0知方程x2+bx+c=0有两个不等的实根.由-+1≠0知,a2-ab+c≠0,即-a不是方程x2+bx+c=0的根,∴|S|=3,D不正确.故选D.。
高中高考数学专题总结复习分类讨论思想
二、分类议论思想高考动向分类议论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中常常使用的数学思想方法之一.突出考察学生思想的谨慎性和周祥性，以及认识问题的全面性和深刻性，提升学生剖析问题，解决问题的能力，能表现“侧重考察数学能力”的要求.所以分类议论是历年数学高考的要点与热门 .并且也是高考的一个难点.数学中的分类议论贯串教材的各个部分，它不单形式多样，并且拥有很强的综合性和逻辑性.知识升华1．分类议论的常有情况（ 1）由数学观点惹起的分类议论：主假如指有的观点自己是分类的，在不一样条件下有不一样结论，则一定进行分类议论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.（ 2）由性质、定理、公式惹起的分类议论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，2在不一样条件下结论不一致，如二次函数y=ax +bx+c(a ≠，0)由 a 的正负而致使张口方向不确定，等比数列前n 项和公式因公比q 能否为 1 而致使公式的表达式不确立等.（3）由某些数学式子变形惹起的分类议论：有的数学式子自己是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0， a=0， a＜0， a＞ 0 解法是不一样的 .（4）由图形惹起的分类议论：有的图形的种类、地点也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的地点关系等 .（5）由实质意义惹起的议论：此类问题在应用题中常有.（6）由参数变化惹起的议论：所解问题含有参数时，一定对参数的不一样取值进行分类议论；含有参数的数学识题中，参变量的不一样取值，使得变形受限致使不一样的结果.2．分类的原则（1）每次分类的对象是确立的，标准是同一的；分类议论问题的难点在于什么时候开始议论，即认识为何要分类议论，又从几方面开始议论，只有明确了议论原由，才能正确、适合地进行分类与议论.这就要求我们正确掌握所用的观点、定理、定义，考虑问题要全面. 函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线地点关系中的鉴别式等等，常常是分类议论区分的依照.（ 2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级议论.当问题中出现多个不确立要素时，要以起主导作用的要素进行区分，做到不重不漏，而后对区分的每一类分别求解，再整合后获取一个完好的答案.数形联合是简化分类议论的重要方法.3．分类议论的一般步骤第一，明确议论对象，确立对象的范围；第二，确立分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类议论，获取阶段性结果；第四，概括总结，得出结论.4.分类议论应注意的问题第一，按主元分类的结果应求并集.第二，按参数分类的结果要分类给出.第三，分类议论是一种重要的解题策略，但这类分类议论的方法有时比较繁琐，如有可能，尽量防止分.经典例题透析种类一：不等式中的字母议论1、（ 2010·山）若于随意，恒建立， a 的取范是________.一反三：【式 1】解对于的不等式:（）.【式 2】解对于的不等式:.种类二：函数中的分类议论2、数，函数的最大，（Ⅰ），求的取范，并把表示的函数；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求足的全部数 .分析：（ I）∵，∴要使存心，必且，即∵，且⋯⋯①∴的取范是，由①得：，∴，，（ II ）由意知即函数，的最大，∵时，直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种状况进行议论：（ 1）当时，函数，的图象是张口向上的抛物线的一段，由知在上单一递加，故；（ 2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是张口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，，综上所述，有=（ III ）当时，；当时，，，∴，∴，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，进而有或，要使，一定有，，即，此时，，综上所述，知足的全部实数为：或.贯通融会：【变式1】函数的图象经过点(-1， 3)，且 f(x) 在 (-1， +∞)上恒有f(x)<3 ，求函数 f(x).分析： f(x) 图象经过点 (-1， 3)，则，整理得：，解得或(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不知足题意；(2)当，则，此时，x∈ (-1，+∞)时，即 f(x)<3 ，知足题意为所求.综上，.【变式 2】已知函数有最大值2，务实数的取值.分析：令，则().(1)当即时，，解得 :或（舍）；(2)当即时，,解得 :或（舍）；(3) 当即时，，解得（全都舍去） .综上，当或时，能使函数的最大值为 2.贯通融会：【变式 1】设，（ 1）利用函数单一性的意义，判断f(x) 在（ 0， +∞）上的单一性；（2）记 f(x) 在 0<x≤1上的最小值为 g(a)，求 y=g(a) 的分析式 .分析：（1）设 0<x 1<x 2<+∞则f(x 2)-f(x 1)=由题设 x2-x1>0 ，ax1·x2>0∴当 0<x 1<x2≤时，，∴ f(x2)-f(x1)<0，即 f(x 2)<f(x 1)，则 f(x) 在区间 [0，]单一递减，当<x 1<x 2<+∞时，，∴ f(x 2)-f(x 1)>0，即 f(x 2)>f(x 1)，则 f(x) 在区间（，+∞）单一递加.（ 2）由于 0<x≤1，由（ 1）的结论，当 0<≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;当>1，即 0<a<1 时， g(a)=f(1)=a综上，所求的函数y=g(a) ＝.种类三：数列4、数列 {a n} 的前n 项和为S n，已知 {S n} 是各项均为正数的等比数列，试比较与的大小，并证明你的结论.分析：设等比数列 {S n} 的公比为q，则 q>0①q=1 时， S n=S1=a1当 n=1 时，，a2=0，∴，即当 n≥2时， a =S -Sn-1 =a -a =0，，即nn 1 1n-1n-1 (2)q ≠1时， S n=S1·q=a1·q当n=1 时，∴ ，即.当 n ≥2 ，a n =S n -S n-1 =a n-1n-2n-21·q -a 1·q =a 1·q (q-1)此∴ q>1 ，，0<q<1 ，.升 ： 等比数列前 n 和公式分 q=1 或 q ≠1两种状况 行 .一反三：【 式 1】求数列： 1， a+a 2 234 3456n,a +a +a ,a +a +a +a , ⋯⋯（此中 a ≠0）的前 n 和 S .分析： 数列的通 n-1 n2n-2a n =a +a +⋯ +a：（ 1）当 a=1 ， a n =n ， S n =1+2+⋯ +n=（ 2）当 a=-1 ，，∴ ，（ 3）当 a ≠±1且 a ≠0 ，，∴.【变式 2 】设 {a n} 是由正数组成的等比数列， S n是其前n项和，证明:.分析：（ 1）当 q=1 时，S n=na1，进而，（ 2）当 q≠1时，，进而由（ 1）（ 2）得 :.∵函数为单一递减函数.∴∴.【变式 3】已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列 .(Ⅰ )求 q 的值；(Ⅱ )设 {b } 是以 2 为首项， q 为公差的等差数列，其前n 项和为 S ，当 n≥2时，比较 S n n nn的大小，并说与 b明原由 .分析：2(Ⅰ )由题设 2a3=a1+a2，即 2a1q =a1+a1q,∵a1≠0，∴ 2q2 -q-1=0，∴或，(Ⅱ )若 q=1 ，则当 n≥2时，若当 n≥2时，故对于 n∈N +，当 2≤n≤9时， S n>b n；当 n=10 时， S n=b n；当 n≥11时， S n<b n.【变式 4 】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，此中；一般地，规定为的 k 阶差分数列，其中且 k∈ N* ， k≥2。
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
1 3 1 时， 要使 P 点落在指定区域内， 即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评： 平面向量经常和平面图形结合到一块， 利用平面图形的几何意义以及具有几何性 质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题 例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围 是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表 示的集合是（ ） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有 利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3：代数式的几何意义应用 例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边 界 ) 运 动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的 取 值 范 围 是 是 ；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。 解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段
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高中总复习数学函数与方程及分类讨论思想的应用练习
一、选择题
1.设函数f(x)=x
x x x x cos 22)4sin(222++++π
的最大值与最小值分别为M,N,则（ ） A.M-N=4 B.M+N=4 C.M-N=2 D.M+N=2
2.(理)过函数y=xsinx+cosx 图象上点(x 0,y 0)的切线的斜率为k ，若k=g(x 0)，则函数k=g(x 0)的图象大致为（ ）
(文)y=f(x)=2x 3-3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于（ ）
A.5
B.0
C.6
D.1
3.对任意x ∈R ，有f(x)=
2
1f(x+1)，x ∈［0,1］时，f(x)=x(1-x)，则f(-1.5)等于（ ） A.161 B.81 C.41 D.-415 4.函数f(x)的定义域为R ，且x ≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x ＜1时，f(x)=2x 2-x+1，那么当x ＞1时，f(x)的递减区间是（ ）
A.［
45，+∞］ B.(1,4
5) C.［47,+∞) D.(1,47］ 5.在数列{a n }中，如果存在非零常数T ，使得a m +T=a m 对于任意正整数m 均成立，那么就称数列{a n }为周期数列，其中T 叫做数列{a n }的周期.已知数列{x n }满足x n+1=｜x n -x n-1｜(n ≥2,n ∈N ),如果x 1=1,x 2=a(a ≤1,a ≠0),当数列{x n }的周期为3时，则该数列的前2 006项的和为（ ）
A.668
B.669
C.1 336
D.1 338
6.设有两个命题，p ：不等式|x|+|x+1|>a 的解集为R ；q ：函数f(x)=-(7-3a)x 在R 上是减函数．如果这两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ）
A.1≤a ＜2
B.2＜a ≤37
C.2≤a ＜3
7 D.1＜a ≤2 7.从－3,－2,－1,0, 1, 2, 3, 4这8个数中任选3个不同的数组成二次函数y=ax 2+bx+c 的系数a, b, c,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有（ ）
A.72条
B.96条
C.128条
D.144条
8.（理）已知n
n n
n n a a +-∞→22lim =1，其中a ∈R ，则a 的取值范围是（ ） A.a ＜0 B.a ＜2或a ≠-2 C.-2＜a ＜2 D.a ＜-2或a ＞2 （文）若函数f(x)同时满足（1）有反函数；（2）是奇函数;（3）定义域与值域相同，则f(x)的解析式可能是（ ）
A.f(x)=-x 3
B.f(x)=1+x 3
C.f(x)=2
x
x e e -+ D.f(x)=lg x x +-11 9.已知函数f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-,
,,,22为偶数时当为奇数时当n n n n 且a n =f(n)+f(n+1)，则a 1+a 2+a 3…+a 100等于（ ） A.0 B.100 C.-100 D.10 200
10.设定义域为R 的函数f(x)=⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-,1,1,1,|1|1x x x .若关于x 的方程f 2(x)＋bf(x)＋c=0有3个不同
的实数解x 1、x 2、x 3，则x 12+x 22+x 32等于（ ）
A.5
B.2222b b +
C.13
D.2223c
c +
二、填空题
11.实数x ，y 满足：(x-1)3+2 006(x-1)=-3,(y-1)3+2 006(y-1)=3,则x+y=._________.
12.设对任意实数x ∈［-2,2］，函数f(x)=lg(3a-ax-x 2)总有意义，则实数a 的取值范围是________.
13.过点P （2，3），且在坐标轴上的截距相等的直线方程是__________。
14.依次写出数a 1=1，a 2,a 3,…法则如下：如果a n -2为自然数且未写出过，则写a n+1=a n -2,否则就写a n+1=a n +3,那么a 6=____________.
三、解答题
15.某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区.已知AB ⊥BC ，OA ∥BC,且AB=BC=2AO=4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段.如果要使矩形的相邻两边分别落在AB 、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积.（精确到0.1 km 2）
16.已知向量a =(cos 32x,sin 32x)，b =(cos 2x ,-sin 2x ),且x ∈［0, 2
π］，设f(x)=a ·b -2λ|a +b |.
(1)求a ·b 及|a +b |；
(2)若f(x)的最小值是-3
2，求λ的值； (3)（理）若方程f(x)-4=0有解，求λ的取值范围.
17.设函f(x)=1
2-+x mx 的图象关于直线y=x 对称. （1）求m 的值； （2）若直线y=a(a ∈R )与f(x)的图象无公共点，且f(|t-2|+
23)<2a+f(4a)，求实数t 的取值范围.
18.设关于x 的函数y=2cos 2x-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a)，求：
（1）写出f(a)的表达式；
（2）试确定能使f(a)=
2
1的a 的值，并求此时函数y 的最大值. 19.已知O 为坐标原点，OA =（2，1），OB =（1，7），OC =（5，1），OD =x OA ,y=DB ·DC ,
（x ，y ∈R ）
（1）求点P （x ，y ）的轨迹方程；
（2）将点P （x ，y ）的轨迹按向量a=（-2，8）平移到曲线C ，M,N 是曲线C 上的两不同的点，如果OM ⊥ON ，求证直线MN 恒过一定点，并求出定点坐标.
20.在平面直角坐标系中，已知A 1(-3,0)、A 2(3,0),P(x,y),M(92-x ,0)，若实数λ使向量A 1、λOM 、P A 2满足λ
2·(OM )2=A 1·P A 2. (1)求P 点的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线； (2)当λ=3
3时，过点A 1且斜率为1的直线与(1)中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x=-9上找一点C ，使△A 1BC 为正三角形.。