概率论-Ch01-090322

n1 n2 ... ni ... nk
要点：需经k步才算完成
二. 排列：
在m个不同的元素中任取n(≤m)个，按一定的 顺序排成一列，则共有排法
(1) 不可重复
m! A m(m 1)...(m n 1) (m n)!
n m
m n 时 Am m ! ;
1 0 n 1 时 Am m ; n 0 时 Am 1
(2) 可重复 (n≤m or m≤n)
m
n
三. 组合：
在m个不同的元素中任取n(≤ m)个，不管怎样的顺序 排成一列，则共有排法数：
A m! m C Cm n n ! n !(m n)!
n m
n m
n 1 C 时
4 概率的性质
1
2 3
P( A) 1 P( A)
P() 0 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
推广 P ( Ak ) P ( Ak )
k 1 k 1 n n i j 1

n
P ( Ai A j ) ... ( 1) n 1 P ( A1 A2 ... An )
引例 设局域电话号码可选五个数码组成，每个数码可以是0,1,2,…
… ,9中的任一个。求这些事件的概率。
设 A1=“5个数码全相同”，
A2=“5个数码全不相同”，
A3=“5个数码中有两个3”，
解 将每一可能的电话号码作为基本事件，它们可认为是等可 能的。由于数码是可重复的，故基本事件总数为105
1)显然，A1中包含的基本事件数为10，故
2。能组成多少不同的8位数
1 C9 107
(二) 集合论初步
——概念与运算
一、集合的基本概念 1. 集(合)：具有某种特定性质的事物所组成的全体 A、B、X、…{e} 元素：组成集合的各个事物为元素 a、b、e…… 2. 集合的表示方法
列举法：A a, b, c...
描述法：B x | x G
以上试验有以下特点：
E的三个特征：
(1)可重复（同条件下） (2)实验前可知所有可能结果 (3)具体会出现什么结果不可知
每个可能的结果——样本点； 所有样本点的集合——样本空间
二、事件
称随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件。在每
次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事 件发生
占两个位置的方法有 C 2 种，而其余3个数码中的每一个都可以从剩 5 下的9个数码0，1，2，4，，9中重复选取，有9种方法。故
2 C 5 93 0.0729 5 10
P A3
例1. <占位问题>
三、事件间的关系和运算
样本空间——全集 样本点——基本事件 随机事件 ——子集
概率论与集合论中的符号表示
记号
概率论
样本空间、必然事件 不可能事件
集合论
全集 空集
S Φ
e
A
基本事件
事件A
元素
子集
A
A B
A的对立事件
事件A必然导致事件B的发生 事件A导致事件B的发生，且B导致A发生
A的补集
可能是次品； 测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量结果 不一定相同等等。
是否有规律可循呢？
一. 随机试验与事件
随机试验 E 随机事件
有如下试验：
E1：抛一枚硬币，观察正面H,反面T出现的情况。{H,T} E2：抛一枚骰子，观察出现的点数。{1,2,…,6} E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。 {{ H,H,H},{H,H,T},{H,T,H},{H,T,T},{T,H,H},{T,H,T},{T,T,H}, {T,T,H} }
P A1
10 1 4 105 10
续
5 2) A2中包含的基本事件数为，P10 10 9 8 7 6 故
P A2
10 9 8 7 6 0.3024 5 10
2 3) A3中包含的基本事件数是 C5 93 ，这是因为数码3在电话号码中
,则
“包含于”，“真包含”, , ,
有 e B
0 n 1 n
C C ... C 2
n n
A B
n

为任何集的子集
，则 A=B
（3）相等：若 A B 且 B A
二、集合的运算
1。和运算——并集
A B | A or B
推广
2。交运算——交集
4> 若A B, 则 P( A) P( B)
<证>
1 : A A S , P( S ) P( A) P( A) 1 P( A) 1 P( A)
2 : P() 1 P() 1 P( S ) 0
A B A ( B A) 3 : B AB ( B A)
其中 ri m
i 1
例1. 电话号码由8个数字组成的电话局能容纳多少用户？ Sol. 【分析】 —— 可重复的排列问题：
10 10 ... 10 10 8 从 00000000～99999999
【讨论】 1。不重复
8 A10 10 9 8 7 6 5 4 3 1814400
2。规范性:
3。可加性: 若 A· B=Φ
则
f n ( A B) f n ( A B) f n ( A) f n ( B)
推广：有限可加 可列可加
3. 概率
<定义> E.S. 对于S的每一事件A都赋于一实数P(A)，若 P(A)满足上述频率的性质，则称P(A)为事件A发生的 概率
一.
加法定理及乘法定理
【加法定理】 设完成一件任务有k类办法，在第i类 ni种方法，则完成此任务共有方法数 办法中有
n1 n2 ... ni ... nk
要点：同一任务有k类方法，独立完成，不需借助它种方法
（eg. 分配、推销产品）
【乘法定理】 设完成一件任务有k个步骤，第i个步骤有ni种方法， 且必须通过k个步骤才算完成，则完成此任务共有方法 数：
1.2 古典概型
一. 定义 <特点>
1。样本空间有限 2。每个结果是等可能发生的 eg. 抽牌 设事件A，定义A发生的概率
P( A) A所包含的样本点个数k 全体样本点个数n
<计算>
eg.掷硬币1/2；掷骰子偶数3/6
做题步骤
step1. E是什么，s＝？有限否
2. 基本事件是否等可能
3. P(A)=k/n
A是B的子集 A与B相等
A B
概率论与集合论中的符号表示（续）
A B
A B
A B AB
AB
事件A与事件B至少一个发生 事件A与事件B同时发生
A与B的并集 A与B的交集
事件A发生而事件B不发生
事件A和事件B不同时发生
A与B的差集
互斥
概率论运算表示可用集合论中的运算关系来对应
例：上例中, 设事件
结合律
分配律
Demogen法则： （推广）
UAi Ai , A i Ai
例：证明
A B AB
再证 AB A B
【证】 先证 A B AB
对 e A B
有 e A B
同理，对 e AB
有
e A, e B


e A, e B
互斥 （不相容）：AB
此时， A B A B
互逆 （对立）：当 AB 且 A B S
显然 A 与 A 互逆
4。差运算——差集
A B AB | A, B
特别地，若 A B，则 A B
5. 集合的运算律 满足
交换律
内容：
概率论、数理统计、随机 过程
<序言>
概率论研究 偶然现象——一个更加广阔的世界—— 规律性的 一个数学分支
概率泛滥的年代 ——这个一种必然 稀缺，所以珍贵 永远摇摆的概率事件
<预备知识>
（一） （二） 排列、组合 集合论初步
P ( A B ) P ( A) P ( B A) 由可加性得 P ( B ) P ( AB) P ( B A) 两式相减得：P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB)
4>.
A B:
B A ( B A)
P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( B A) 0 P ( B ) P ( A)
故 A={（正正），（正反）}， B={（正正），（反反）}， C={（反正），（反反）}，
AUB = {（正正），（正反），（反反）}， AUC = A+C = {（正正）,（正反）,（反正）,（反反）} =S
四.
概率
1. 频率：设事件A在n次试验中出现nA次，则比值
f n ( A) nA n
E4：在一批灯泡中任意抽取 n次，观察出现次品的个数。
{0,1,2,3……,n} E5：记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数 {0,1,2,3……} E6：记录某地一昼夜的最低和最高温度 {（T1,T2）| t0 ≤ T1 < T2 ≤ t1} E7：记录微弱信号变化规律。{v|v1 ≤V≤v2} ……..
A1 U A2 U ... U An U Ai
i 1
n
A B | A, B
推广