大学概率论习题五详解(1)

正文：

概率论习题五详解

1、设X 为离散型的随机变量，且期望EX 、方差DX 均存在，证明对任意0>ε,都有

()2

εεDX

EX X P ≤

≥-

证明 设()i i p x X P == ,...2,1=i 则

()()∑≥

-==≥-ε

εEX x i

i x X P

EX X P ()i

EX x i p EX x i ∑≥

--≤εε2

2

()i

i

i p EX x ∑

-≤2

2ε=2

εDX

2、设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为，请利用切比雪

夫不等式证明：

()12

16≤

≥-Y X P 。 证 ()0=-Y X E ()1,cov ==DXDY Y X ρ

()()325,cov 2=-=-+=-Y X DY DX Y X D

()()()()()12

1

6662=

-≤≥---=≥-Y X D Y X E Y X P Y X P 3、一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与之间的偏差不小于的概率不超过

解设n X 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得

01.004.05.05.004.05.02≤⨯⨯≤⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥-n n X P n 从而有 1562504.001.025

.02

=⨯≥n

即至少连抛15625次硬币，才能保证正面出现频率与的偏差不小于的概率不超过。 4、每名学生的数学考试成绩X 是随机变量，已知80=EX ，25=DX ，（1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在70分到90分之间的概率范围；（2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在75分到85分之间的概率不低于90%，至少要有多少学生参加考试

解 (1)由切比雪夫不等式 ()

2

1ε

εDX

EX X P -

≥<- ()0>ε

又 ()()()101090709070

≤-≤-=-≤-≤-=≤≤EX X P EX EX X EX P X P

=()75.0100

25

11080=-≥≤-X P 即该生的数学考试成绩在70分到90分之间的概率不低于75%

(2)设有n 个学生参加考试(独立进行)，记第i 个学生的成绩为i X ()n i i ...2,=，则平均成

绩为∑==n i i X n X 11，又8011==∑=n

i i EX n X E , n

DX n X D 251==

则由切比雪夫不等式可得：()()

n

n n X P X P 1525

1158085752-=⨯-≥≤-=≤≤ 要使上述要求不低于90%，只需9.01

≥-n

n ，解得10≥n ，即有10个以上的学生参加考试，

就可以达到要求。

5、设800台设备独立的工作，它们在同时发生故障的次数()01.0,800~B X ，现由2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。

解 ()()i i i i C X P X P -=∑

-

=≤-=>8008002

99.001.01212

在二项分布表（附表1）中不能查出。8=np ，使用正态分布近似计算： 若使用正态分布近似计算：X 近似

~()92.7,8N ,

()()()9834

.0132.2132.292.781212=Φ=⎪

⎭⎫

⎝⎛-≤--≈≤-=>X P X P X P

6、对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有1名家长来、有2名家长来参加会议的概率分别为、、。若学校共有400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布，求：(1)参加会议的家长数X 超过450的概率；(2)每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。

解 (1)以i X ()400...2,1=i 表示第i 个学生来参加会议的家长数，则i X 的分布律为:

所以1.1=i EX ，.0=i DX ， 而∑==

400

1

i i

X

X

由中心极限定理知：()76,440~N X 近似

()()1257.0147.11450=Φ-≈>X P

(2)以Y 表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则()8.0,400~B Y

由中心极限定理知：()64,320~N Y 近似

则()()9938.05.2340=Φ≈≤Y P

7、射手打靶得10分的概率为，得9分的概率为，得8分、7分和6分的概率分别0 .1、和，若此射手进行100次射击，至少可得950分的概率是多少

解 设i X 为射手第i 次射击的得分，则有

且∑==

100

1

i i

X

X ， 15.9=i EX ，95.842

=EX ，2275.1=DX

由中心极限定理得：

()0008.0159.312275.110091595019501001=Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-Φ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥∑=i i X P

8、某产品的不合格率为，任取10000件中不合格品不多于70件的概率为多少

解 依题意，10000件产品中不合格品数()005.0,10000~B X ，由50=np ，()51>-p n ，故可用二项分布的正态近似，所求概率为

()()()9977.08355.2005.0150507070=Φ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--Φ≈≤X P 9、某厂生产的螺丝钉的不合格品率为，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有100只

合格品的概率不小于

解 设 n 为一盒装有的螺钉数，其中合格品数记为X ，则有()99.0,~n B X ，该题要求n ，使得下述概率不等式成立。

()95.0100≥≥X P 或()05.0100<

利用二项分布的正态近似，可得：()645.105.00099.099.0100-Φ=<⎪⎭

⎫

⎝⎛-Φn n

因此，n n 0099.0645.199.0100-<- 解得，19.103>n

这意味着，每盒应装104只螺钉，才能使每盒含有100只合格品的概率不小于。

（B ）

1、为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查，使其次品出现的频率与实际次品率相差小于的概率不小于。

解：依题意，可建立如下概率不等式

()

95.01.0≥<-'P P P

其中P 是这实际的次品率，如抽取n 个产品则次品的频率n

x x x P n

...21++='，由中心极限

定理，P '近似服从正态分布：

()()()()n n P P P N /P 1P ,0N ~P P /1,--'-或

从而有 ()975.0295

.0111.0=+≥⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-ΦP P n 查表可得 ：

()

96.111.0≥-P P n

或()P P n -≥16.19

由于P 未知，只得放大抽检量，用1/2代替 ()P P -1 ，可得：8.9≥n

96≥n ，可见，需抽查96个产品才能使其次品率与实际次品率相差小于的概率不小于。

2、 假设批量生产的某产品的优质品率为60%，求在随机抽取的200件产品中有120到150件优质品的概率α．

解 记n ν——随机抽取的200件产品中优质品的的件数，则n ν服从二项分布，参数为n =200，p =；48)1(120=-=p np np ，．由于n =200充分大，故根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地