2020-2021学年辽宁省鞍山一中高二下期中理科数学试卷
2020年辽宁省鞍山市高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.2xdx=（）A. 18B. 9C. 6D. 33.命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为（）A. ∃x∈R，2x＞x2B. ∃x∈R，2x＜x2C. ∀x∈R，2x≥x2D. ∀x∈R，2x≥x24.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设，则（）A.B.C.D.5.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A. 假设a、b、c都是偶数B. 假设a、b、c都不是偶数C. 假设a、b、c至多有一个偶数D. 假设a、b、c至多有两个偶数6.如图：在直棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，P，Q，M分别是A1B1，BC，CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A.B.C.D.7.已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若M（3，），则|PM|+|PF|的最小值是（）A. B. 6 C. D.8.由xy=1，y=x，x=3所围成的封闭区域的面积为（）A. 2ln3B. 2+ln3C. 4-2ln3D. 4-ln39.若z是复数，则“|z|＜1”是“-1＜z＜1的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知曲线C的方程为，给定命题p：若k∈（-∞，3），则曲线C为双曲线；命题q：若k∈（3，4），则曲线C是焦点在x轴上的椭圆．下列是真命题的是（）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∧qD. （￢p）∧（￢q）11.已知定义在（0，+∞）的函数满足：，若a=，b=，c=，则（）A. a＞b＞cB. c＞a＞bC. a＞c＞bD. b＞a＞c12.设双曲线的右焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的方程为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线2x-y+c=0是抛物线x2=4y的一条切线，则c=______．14.函数f（x）=x2-7x-4ln x的最小值为______．15.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为______．16.当直线kx-y-k+1=0（k∈R）和曲线E：y=ax3+bx2+（ab≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，曲线E在点A点C处的切线总是平行的，则点（b，a）的坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.观察下面四个等式第1个：第2个：第3个：第4个：（I）按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n∈N*）（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想成立18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A1A=，M是CC1的中点．（1）求证：A1B⊥AM；（2）求二面角B-AM-C的平面角的大小．19.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的焦距为4离心率e=，（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F，倾斜角为的直线l与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．20.设函数f（x）=（2-x）（x+2）2，（Ⅰ）求f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）=c有三个不同零点，求c取值范围．21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，经过点M（1，）（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C的长轴左右顶点，P，Q是椭圆C上的两点，记直线AP 的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，若k2=2k1，试判断直线PQ是否恒过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由22.已知函数f（x）=-ln x-x2+ax，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为x+y-2=0（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=+x2-2x-（e为自然对数的底数），证明；对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）+g（x）＜0答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示及其几何意义，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内所对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，-1），位于第四象限．故选：D．2.【答案】B【解析】解：2xdx=．故选：B．首先求出被积函数的原函数，进一步求出定积分的值．本题考查的知识要点：定积分知识的应用，主要考查被积函数的原函数的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，2x＜x2”的否定为：∀x∈R，2x≥x2．故选：D．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由于代入化简即可得出．【解答】解：，.故选D．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查反证法的概念，根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“a,b,c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．6.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设AA1=AB=AC=2，则A（0，0，0），M（0，2，1），P（1，0，2），Q（1，1，0）．，．∴cos＜＞=．∴直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AA1=AB=AC=2，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，属于简单题．利用抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离，化曲为直，即可得出结论．【解答】解：由题意可判断出点M在抛物线内部，过点M作准线的垂线，垂足为N，抛物线的准线方程为x=，∵抛物线上的点P到焦点F距离|PF|等于点P到准线的距离d，∴|PM|+|PF|=|PM|+d＝3+=，即当M、P、N三点共线时取最小值,∴|PM|+|PF|的最小值是，故选D．8.【答案】D【解析】解：由曲线xy=1，直线y=x，解得x=±1．由xy=1，x=3可得交点坐标为（3，）．∴由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成封闭的平面图形的面积是S=（x-）dx=（x2-ln x）=4-ln3．故选：D．确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，若z是复数，设z=a+bi，若“|z|＜1”，则a2+b2＜1，-1＜z＜1不一定成立，“|z|＜1”是“-1＜z＜1的不充分条件，若-1＜z＜1，即z是（-1，1）上的实数，必有|z|＜1，即“|z|＜1”是“-1＜z＜1的必要条件，故“|z|＜1”是“-1＜z＜1的必要不充分条件；故选：B．根据题意，由复数的模的定义分析可得若“|z|＜1”，则a2+b2＜1，-1＜z＜1不一定成立，反之若-1＜z＜1，必有|z|＜1，据此分析可得答案．本题考查充分必要条件的判断，涉及复数模的计算，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵曲线C的方程为，∴当k＜3时，（4-k）（k-3）＜0；故曲线C为双曲线；∴命题p为真命题，￢p为假命题；∵当曲线C是焦点在x轴上的椭圆，∴；∴3；∴命题q为假命题，￢q为真命题；∴p∧q为假命题，p∧（￢q）为真命题，（￢p）∧q为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题；故选：B．利用双曲线与椭圆的定义判断p，q的真假，再判断复合命题的真假即可．本题考查椭圆与双曲线的标准方程，复合命题的真假性的判断；考查学生的分析能力，逻辑推理能力；属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了利用单调性比较函数值的大小，解题的关键是利用导数判断函数的单调性．可令g（x）=，x＞0，然后对其求导，结合导数与单调性的关系可求g（x）的单调性，进而可比较大小．【解答】解：令g（x）=，x＞0，因为：，则＜0，故g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为sin3＜，所以g（sin3）＞g（ln2）＞g（20.2）．故a＞b＞c．故选：A．12.【答案】B【解析】解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点坐标为（4，0），所以由题意可得双曲线的c=4，再由双曲线的渐近线的方程可得双曲线的方程：-=1，λ＞0，由题意可得λ+3λ=c2=16，解得λ=4，所以双曲线的方程为：-=1；故选：B．由抛物线的方程求出焦点坐标，由题意可得双曲线的c值，再由渐近线的方程设双曲线的方程，由c的值求出参数，进而可得双曲线的方程．考查圆锥曲线的性质，即双曲线的方程与渐近线方程的关系，属于基础题．13.【答案】-4【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系 .把直线的方程代入到抛物线方程，得到关于x一元二次方程，再利用△=0，计算得结论. 【解答】解：由题意可得：，可得x2-8x-4c=0，因为直线2x-y+c=0是抛物线x2=4y的一条切线，所以△=64+16c=0，解得c=-4．故答案为-4．14.【答案】-12-4ln4【解析】解：∵f（x）=x2-7x-4ln x，函数的定义域为：{x|x＞0}，∴f′（x）=2x-7-，令f′（x）=0，可得x=4，函数在（0，4）单调递减，在（4，+∞）单调递增，∴x=4时，函数取得最小值．最小值为：16-28-4ln4=-12-4ln4．故答案为：-12-4ln4．求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．本题考查函数的最小值，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是关键．15.【答案】【解析】解：连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2∴C1O⊥平面BDD1B1∴∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成角∵C1O=A1C1=，BC1=∴sin∠C1BO===故答案为：连接A1C1交B1D1于O，连接BO，则可得∠C1BO为BC1与平面BBD1B1所成角，利用正弦函数，即可求得结论．本题考查线面角，解题的关键是正确作出线面角，属于中档题．16.【答案】（-1，）【解析】解：∵曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，∴A，C两点关于f（x）的对称中心对称，故B为f（x）的对称中心，又直线kx-y-k+1=0恒过点（1，1），∴f（x）的对称中心为（1，1），即B（1，1），∴a+b+=1．①由y=ax3+bx2+，可得y′=3ax2+2bx，令y′=3ax2+2bx=0可得-=2，②由①②可得a=，b=-1．即（b，a）的坐标为（-1，），故答案为：（-1，）．由题意可知直线恒过定点（1，1），由曲线在A，C处的切线平行，可得A，C两点关于f（x）的对称中心对称，故B为f（x）的对称中心，由对称性，可得a，b的方程，求出a，b的值即可．本题考查了导数的几何意义，函数对称性的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（I）由第1个：，第2个：，第3个：，第4个：，可猜想，第n个等式（n∈N*）：++…+=，n∈N*：（Ⅱ）数学归纳法证明：当n=1时，=，=，等式成立；假设n=k（k∈N*）时，++…+=，k∈N*．当n=k+1时，++…++=+===，可得n=k+1时，++…+=，n∈N*也成立，综上可得，对一切的n∈N*，++…+=均成立．【解析】（I）由已知等式，观察等式的左边和右边，可得猜想++…+=，n∈N*；（Ⅱ）运用数学归纳法证明，先检验n=1成立，假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，再证n=k+1，注意运用假设，以及因式分解，可得证明．本题考查归纳猜想，以及数学归纳法的证明，考查推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】（1）证明：以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），A（0，，0），，M（0，0，），=（1，-，-），=（0，-，），∵=0+3-3=0，∴A1B⊥AM．（2）解：∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又∵BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC，∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，又∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1，即BC⊥平面AMC，∴=（1，0，0）是平面AMC的一个法向量，设=（x，y，z）是平面BAM的法向量，=（-1，，0），=（-1，0，），∴，取z=2，得=（），∴cos＜＞==．∴二面角B-AM-C的平面角的大小为45°．【解析】（1）以C为原点，CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明A1B⊥AM．（2）求出平面AMC的一个法向量和平面BAM的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AM-C的平面角的大小．本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）有题意可得：2c=4，=，b2=c2-a2，解得：a2=2，b2=2，所以双曲线的标准方程为：-=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得右焦点F（2，0），有题意可得直线l的方程为：x=y+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程：，整理可得y2-2y-3=0，y1+y2=2，y1y2=-3，所以S△AOB=•|y1-y2|===2，所以△AOB的面积为2．【解析】（Ⅰ）有题意可得c及a，c的关系再由a，b，c自己的关系求出a，b的值，进而求出双曲线的标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得右焦点F的坐标，有题意求出直线AB的方程，与双曲线联立求出两根之和及两根之积，进而求出三角形的面积本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的综合和三角形的面积公式，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（2-x）（x+2）2，x∈R，∴f'（x）=-3x2-4x+4=（x+2）（2-3x），令f'（x）＞0，解得-2＜x＜；令f'（x）＜0，解得x＜-2或x＞，∴函数f（x）在x=处取得极大值，在x=-2处取得极小值，∴极大值点为x=，极小值点为x=-2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数f（x）在（-2，）上单调递增，在（-∞，-2）和（，+∞）上单调递减，∴函数f（x）的单调递增区间为（-2，），单调递减区间为（-∞，-2）和（，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）的极小值为f（-2）=0，极大值为f（）=，画出函数f（x）的大致图象，如图所示：，∵f（x）=c有三个不同零点，∴函数y=f（x）与y=c有三个交点，由函数f（x）的图象可得：0＜c＜，∴c的取值范围为：（0，）．【解析】（Ⅰ）先求出导函数f'（x），利用导函数的正负得到函数f（x）的单调性，从而求出f（x）的极大值点与极小值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）函数f（x）的单调性即可得到函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）f（x）=c有三个不同零点，等价于函数y=f（x）与y=c有三个交点，根据函数f （x）的极值和单调区间，画出函数f（x）的大致图象，即可得到c取值范围．本题主要考查了利用导数研究函数的极值，单调性和最值，考查了函数与方程的关系，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意得e==，则a2=4c2，则a2=b2，将点（1，）代入椭圆方程+=1，解得：b2=3，a2=4，∴所求的椭圆方程为+=1；（Ⅱ）设P（x1，y1），由已知可得AP的方程为y=k1（x+2）代入椭圆方程可得3x2+4k12（x+2）2-12=0，解得x1=-2（舍去），或x1=，进而y1=k1（x+2）=，即P（，），设Q（x2，y2），同理可得Q（，），故P的坐标为（，），当PQ⊥x轴时，即=，解得k12=，此时PQ的方程为x=，与x轴交于（，0），记该点为N，当PQ不垂直于x轴时，即≠，则直线PN的斜率为=，直线NQ的斜率为kQN==，可得P，N，Q三点共线，则直线PQ恒过定点（，0）．【解析】（Ⅰ）由题意，利用离心率公式及待定系数法即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），AP的方程为y=k1（x+2），联立椭圆方程，求得P的坐标；设Q（x2，y2），同理可得Q的坐标，讨论PQ是否垂直于x轴，结合直线的斜率公式和三点共线的性质可得所求定点．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆联立求交点，以及直线恒过定点的求法，注意运用三点共线的条件，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）显然切点（1，f（1））在切线x+y-2=0上，故f（1）=1，由已知可得f（1）=-ln1+a-1=a-1=1，所以a=2．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得f（x）=-ln x+2x-x2，故f（x）+g（x）=）=-ln x-x2+2x++x2-2x--1=，显然，当x＞0时，恒成立，设，则，易知，当时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞0，所以，h（x）在上是减函数，在上是增函数，所以，，故对任意的x＞0，都有f（x）+g（x）＜1-（ln2+1）=-ln2＜0，所以对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）＜0．【解析】（Ⅰ）利用先将x=1代入切线方程求出f（1），得切点坐标为（1，1），再代入y=f（x）即可求出a；（Ⅱ）将f（x）+g（x）合并之后，先分离，容易看出前者取值在（0，1）之间，所以只需求出后者的最小值，1与后者最小值的差只要小于0即可．本题主要是考查了利用导数研究不等式恒成立问题的思路，一般是转化为函数的最值问题，此例第二问主要是通过巧妙的将函数分成两个函数来研究，一个求最大值，一个求最小值，问题得到了简化．难度较大．。
辽宁省2020学年下学期期中考试高二数学(理)试卷
下学期期中考试高二试题数学（理）说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数2z i =-所表示的点在第（ ）象限.A ．一B ．二C ．三D ．四2.在初中的平面几何证明中有这样一段证明：“因为//l m 所以12∠=∠”（如图〕，这段证明的大前提是（ ）A ．“//l m ”B ．“12∠=∠”C ．“两直线平行，同位角相等”D.“同位角相等，两直线平行” 3.列关于排列数和组合数的叙述（,m n 均为正整数，m n ≤），①(1)(2)()m n A n n n n m =---L ；②!()!!m n n n m m C =-；③m m n n m m A C A =；④11m m n n n m C C C -+=+ 其中正确的有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 4.关于实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列说法错误的是（ ）A ．240b ac ->时，方程有两个不相等实根B ．240b ac -<时，方程有两个不相等虚根C ．240b ac -=时，方程有两个相等实根D ．240b ac -=时，方程有两个互为共轭复数的虚根5.现有2门不同的考试要安排在连续的5天之内进行，每天最多考一门，且不能连续两天有考试，则不同的安排方案有（ ）A ．16种B ．12种C ．8种D ．6种6.已知函数()f x 的图象如图所示，则其导函数()f x '的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7.中国诗词大会总决赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加，依据规则，他们都有机会获得冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8.五位好朋友去某地旅游，由于时间紧迫，他们每个人只能在,,a b c 三个景点中任选一个参观，且这三个景点都至少有一个人参观则参观方法共有（ ）A ．150种B ．130种C ．124种D ．96种9.=（ ）A ．12πB ．12π+C ．6πD ．6π+ 10.已知函数3()2f x x x =-的零点构成集合P ，若(1,2,3,4)i x P i ∈=（1234,,,x x x x 可以相等），则满足条件“222212344x x x x +++≤”的数组()1234,,,x x x x 的个数为（ ） A ．33 B ．29 C ．27D ．21 11.若函数()ln (0)f x x x =>与函数2()g x x a =+有公切线，则实数a 的最小值为（ ）A ．11ln 222--B ．ln21--C ．12-D ．ln2-12.对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<，且21x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.现给出四个函数：1()x f x xe =；2())f x x =；()3,0ln (1,)0f x x x x x -≤+>⎧⎪=⎨⎪⎩；24()x x f x e e x =--.则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数21i z i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（i 为虚数单位），则||z =________. 14.观察下列不等式：122a a +≥1233a a a ++≥12344a a a a +++≥ ……照此规律，当n N ∈(2)n …时不等式为__________.15.由曲线2,y x y ==围成的封闭图形的面积为_______. 16.设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17.复数()2123210,(25)51z a i z a i a a=--=--+-，若11z z +是实数，求实数a 的值. 18.某公司生产一种智能手机的投入成本是4500元/部，当手机售价为6000元/部时，月销售量为a 台，市场分析的结果表明，如果手机的销售价提高的百分率为(01)x x <<，那么月销售量减少的百分率为2x .记销售价提高的百分率为x 时，月利润是y 元.（1）写出月利润y 与x 的函数关系式；（2）如何确定这种智能手机的销售价，使得该公司的月利润最大.19.设3211()32f x x x ax =-++. （1）若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）若()f x 在2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，求a 的取值范围.20.不是有理数.21.已知数列{}22111,0,0,1n n n n na a a a a a ++≥=+-=. （1）求出23,a a ；（2）判断数列{}n a 的单调性并给出证明.22.已知函数()(1)ln ()f x a x x a =-+∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数1()(), 2.71828x g x e f x e -=-=L 是自然对数的底数，若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.。
2020-2021学年高二第二学期理科数学期中考试卷(有答案)
2020-2021学年度第二学期高二理科数学期中考试卷第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）.1．如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b=（）A．2 B．1C．2D．42．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（）A．168B．167C．153D．1353．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（）A．261种B．360种C．369种D．372种4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程ŷ=9.4x+9.1，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.55．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（）A．12B．13C．14D．166．如图是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，2A，…，A14.将14次成绩输入程序框图，则输出的结果是（）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
A．8B．9C．10D．117．已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则（）A．a0=0B．a3=−280C．a1+a2+⋅⋅⋅+a7=−3D．a1+2a2+⋅⋅⋅+7a7=−7 8．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个9．武威创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A．19B．16C．13D．1210．若m,n,l为空间三条不同的直线，α,β,γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若m⊥l,n⊥l，则m//n B．若m⊥β,m//α，则α⊥βC．若α⊥γ,β⊥γ,则α//βD．若α∩β=m,β∩γ=n,m//n,则α//β11．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在直线x+y−1=0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A､B两点，则|AB|=（）A ．12B ．14C ．16D ．1812．定义在R 上的函数()y f x =满足()6()f x f x -=，()()3'()03x f x x ->≠，若()()010f f ⋅<，则函数()f x 在区间()5,6内（ ）A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．至少有2个零点D ．可能有无数个零点第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）.13．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两个总分和为X ，则X =3的概率是______．14．二项式(3x +2x )6(n ∈N ∗)的展开式中的x 2系数为_________.(用数字作答)15．如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．16．由下面的茎叶图可知，甲组37．如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______． 四、解答题（共70分）17（10分）．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外都相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列．18（12分）．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50)，50,60)，60,70)，…，[90,100]，得到如下频率分布直方图．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2020-2021学年辽宁省鞍山市高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年辽宁省鞍山市高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）1.已知集合A={x|x2<2x}，集合B={x|1<x<3}，则A∩B=()A. {x|2<x<3}B. {x|1<x<2}C. {x|0<x<3}D. {x|0<x<2}2.已知命题P：∃a<0，使得a+12021>0，则命题￢p为()A. ∃a≥0，使得a+12021≤0 B. ∀a<0，都有a+12021<0C. ∃a<0，使得a+12021≤0 D. ∀a<0，都有a+12021≤03.下列区间中，函数y=ln(−x2+2x)单调递增的区间是()A. (0,1)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (1,2)4.已知f(x)={−x 2−2x+1,x≤0−2x+1,x>0，则函数g(x)=f(x)−e−x的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45.函数f(x)=2x+12x−1cosx的部分图象大致为()A.B.C.D.6. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，若f(x)在区间[1,2]为增函数，则f(x)( )A. 在区间[−4,−3]上是增函数，在区间[2,3]上是增函数B. 在区间[−4,−3]上是增函数，在区间[2,3]上是减函数C. 在区间[−4,−3]上是减函数，在区间[2,3]上是增函数D. 在区间[−4,−3]上是减函数，在区间[2,3]上是减函数7. 已知函数f(x)={|log 2x|,x ≤811−x,x >8，且三个实数a ，b ，c(其中a <b <c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则cab 的取值范围是( )A. (0,6)B. (6,9)C. (8,11)D. (5,8)8. 已知函数f(x)=log 3(9x +1)−kx 是定义在R 上的偶函数，设a =f(19)，b =f(ln 109)，c =f(−e −89)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <a <c9. 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则用向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 可表示向量BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为( )A. a ⃗ +b ⃗ +c ⃗B. a ⃗ −b ⃗ +c ⃗C. a⃗+b⃗ −c⃗D. −a⃗+b⃗ +c⃗11.在等比数列{a n}中，a1=1，公比|q|≠1，若a m=a1a2a3a4a5，则m=()．A. 9B. 10C. 11D. 1212.等差数列{a n}的公差为d，前n项的和为S n，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A. S7B. S8C. S13D. S1513.公元480年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926到3.1415927之间，在之后的800年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的7个数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到小于3.14的不同数字个数为()A. 2280B. 440C. 720D. 24014.唐代诗人李质的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河“，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤5，若将军从点A(4,0)出发，河岸线所在直线方程为x+y=8，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为()A. 2√5B. 3√5C. 4√5D. 5√515.某地组织普通高中数学竞赛．初赛共有20000名学生参赛，考试结束后发现考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(110,100)，决定考试成绩140分及以上者可以进入决赛．已知进入决赛的人数为26，那么估计本次考试成绩130分以上的人数大约为()附：P(μ−σ<X<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=0.9974．A. 456B. 1587C. 955D. 68316.如果数列{a n}满足a1=2，a2=1，且a n⋅a n−1a n−1−a n =a n⋅a n+1a n−a n+1，那么此数列的第10项为()A. 1210B. 129C. 110D. 15二、多选题（本大题共8小题，共40.0分）17.已知实数a，b，则下列命题为真命题的是()A. 若a>0>b，则1a >1bB. “a>b”是“a2>b2”的充要条件C. 若a>b>1，则log a2021<log b2021D. 若ab>0，则ba +ab≥218.下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有()A. f(x)=1xB. f(x)=e−x−e xC. f(x)=ln(−x+√x2+1)D. f(x)=e x−1e x+119.设点P是曲线y=e x−x+23上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些区间？()A. (π4,3π4) B. (π2,2π3) C. [0,π2) D. [5π6,π)20.已知关于x的方程a x=x a(其中a>1，x>0)有且仅有一个解，令ℎ(x)=a x−x a(a>1,x>0)，则下列结论正确的()A. a=eB. ℎ(x)在区间(1,e)单调递减C. x=e是ℎ(x)的零点D. ℎ(1)是ℎ(x)的极小值，x=e是ℎ(x)的极大值点21.关于(a−b)10的说法，正确的是()A. 展开式中的二项式系数之和为1024B. 展开式中第6项的二项式系数最大C. 展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D. 展开式中第6项的系数最小22.若直线y=2x−1与双曲线x2−y2m=1有且只有一个公共点，则m的值可能为()A. 3B. 4C. 8D. 1023.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则()A. 直线BD 1⊥平面A 1C 1DB. 点P 到平面A 1C 1D 的距离为定值C. 异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3,π2]D. 直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√3324. 已知数列{a n }，{b n }满足a n+1=2a n +b n ，b n+1=a n +2b n +lnn+1n 3,n ∈N +.如果a 1+b 1>0，那么下列说法正确的有( )A. 数列{a n −b n }单调递增B. 数列{a n +b n }单调递增C. 数列{a n }从某项以后单调递增D. 数列{b n }从某项以后单调递增三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）25. 若“∃x ∈[−2,1]，x 2+2x −m >0”为假命题，则实数m 的最小值为______． 26. 已知f(x)=2alnx +x 2+(b −4)x(a >0,b >0)在x =1处取得极值，则1a +2b 的最小值为______．27. 已知f(x)={2−x,x ≤1x 2−4x +a,x >1，若a =1，且f(m)=1，则m =______；若对任意的t >0，函数y =f(x)−t −1有两个零点，则实数a 的取值范围是______．28. 已知函数f(x)=13ax 3−12x 2+x −xlnx 存在两个极值点，则实数a 的取值范围是______．29. 已知等比数列{a n }各项均为正数，若a 1+a 3=16，a 5+a 7=4，则{a n }的公比为______．30. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，定点A(2,1)，设P 为抛物线上的动点，|PA|+|PF|的最小值为______，此时点P 坐标为______．31. 如果a 1+a 2+a 3+⋯+a n =2n −1，那么1a 1+a 2+1a 2+a 3+⋯+1a n +a n+1=______． 32. 已知0<P(A)<1，且P(B|A)=P(B).若P(A −)=0.6，P(B|A −)=0.3，则P(AB)=______．四、解答题（本大题共12小题，共140.0分）>1}，②A={x|x2−2x−3<0}，③A={x||x−1|<2}这三个33.在①A={x|4x+1条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题：设集合______，集合B={x|(x−2m)(x−m2−1)<0,m≠1}，(1)定义A−B={x|x∈A，且x∉B}，当m=0时，求A−B；(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．34.已知函数f(x)=log a(2−x)+log a(x+4)(a>0且a≠1)．(1)若a>1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的最小值为−1，求a的值．235.若函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且满足f(x)−g(x)=cos2x+e−x−e x．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，证明函数ℎ(x)有且只有1个零点．36. 已知函数f(x)=3−2⋅3x ，g(x)=3x ．(1)当x ∈[1,2]时，求函数ℎ(x)=[f(x)+1]⋅g(x)的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,2]不等式f 2(x)≥m[g(x)−3]恒成立，求实数m 的取值范围．37. 连江可门港是福州市“一城两翼”城市发展战略格局中的北翼，位于连江县东北部的黄岐半岛，罗源湾南岸，与台湾岛一衣带水，是福州港的重要深水港区，是福建省石化等临海制造业基地．可门港内的可门开发区有多家化工公司．为了保护环境，减少污染，发展低碳经济，绿邦化工有限公司在我省某大学的科研成果支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)(x ∈[50,400])之间的函数关系可近似地表示为y ={23x 3−100x 2+5000x,x ∈[50,100)12x 2−100x +45000,x ∈[100,400]，且每处理一吨二氧化碳可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，政府相关部门将给予补偿．(1)当x ∈[50,100)时，判断该项目能否获利？若获利，求出最大利润；若不获利，则政府相关部门每月至少需要补偿多少元才有可能使项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？38.已知函数f(x)=axe x−2−lnx−x+2．(1)设x=2是函数f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1时，f(x)≥0．e39.某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查，得到的数据如表：．从参与该项老年运动的被调查者中随机抽取1人个人是男性的概率是23(1)求2×2列联表中p，q，x，y的值；(2)是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)40.已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，∀m，n∈N+．(1)求数列{a n}的通项a n；(2)设数列{b n}满足b n=2S n，求数列{S n⋅b n}的前n项和T n．41.如图AD//BC，且AD=2BC，AD//EG，且AD=EG，CD//FG，且CD=2FG，AD⊥CD，DG⊥平面ABCD，AD=CD=DG=2．(1)求二面角E−BC−F的余弦值；(2)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为π，求线段DP的长．442.某篮球队内部进行一次罚篮测试，规定：每名队员若连续罚中两次，则不用继续罚篮，判定为通过测试；否则罚篮5次停止测试，已知队员甲罚球命中率为4．5(1)用X 表示甲罚球的次数，求随机变量X 的分布列与数学期望； (2)记“甲罚篮5次”为事件A ，“甲通过测试”为事件B ，求P(B|A)．43. 已知长度为3的线段的两个端点A ，B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，记动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)设曲线C 与y 轴的正半轴交于点D ，过点D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C 于M ，N 两点，连接MN ，试判断直线是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由．44. S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n +S n =2n −1．(1)设b n =2n a n ，证明：b n+1−b n =22n ，并求a n ； (2)证明：∑1S in i=1<3．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2<2x}={x|0<x<2}，又集合B={x|1<x<3}，所以A∩B={x|1<x<2}．故选：B．先利用一元二次不等式的解法求出集合A，再由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，>0，命题P：∃a<0，使得a+12021≤0．它的否定命题是￢p：∀a<0，都有a+12021故选：D．根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出该命题的否定命题即可．本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题应用问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由−x2+2x>0，解得0<x<2，即函数的定义域为(0,2)，令t=−x2+2x，该函数的对称轴方程为x=1，且图象是开口向下的抛物线，在(0,1)上是增函数，由复合函数的单调性可得，函数y=ln(−x2+2x)单调递增的区间是(0,1)．故选：A．由对数式的真数大于0求得函数的定义域，再求出内层函数的增区间，结合复合函数的单调性得答案．本题考查复合函数的单调性的求法，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．4.【答案】B【解析】解：令g(x)=0⇒f(x)=e −x ，则函数g(x)的零点个数即函数y =f(x)和y =e −x 图象交点的个数， 作出函数y =f(x)和y =e −x 的草图，数形结合易得函数y =f(x)和y =e −x 图象共有2个交点， 所以函数g(x)有2个零点． 故选：B ．作出函数y =f(x)和y =e −x 的草图，看交点个数即可知道函数g(x)=f(x)−e −x 的零点个数．本题考查函数的零点与方程的解，考查数形结合的数学思想，直观想象的核心素养，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，因为f(−x)=2−x +12−x −1cos(−x)=1+2x1−2x ⋅cosx =−2x +12x −1cosx =−f(x)， 所以f(x)为奇函数，排除选项A 和D ， 令f(x)=0，则x =π2+kπ，k ∈Z ，所以在y 轴右侧，函数f(x)的第一个零点为x =π2，不妨取x =1，则f(1)=2+12−1⋅cos1>0，即选项B 正确，选项C 错误．故选：B ．由函数的奇偶性可排除选项A 和D ，再考虑x ∈(0,π2)时，不妨比较f(1)与0的大小关系，即可得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的奇偶性、单调性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，即f(x)的图象关于直线x =1对称，则有f(−x)=f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则有f(x)=f(−x)=f(2+x)， 则有f(x)=f(x +2)，即f(x)是周期为2的周期函数，f(x)在区间[1,2]上为增函数，而f(x)的图象关于直线x =1对称，则f(x)在区间[0,1]上为减函数，故f(x)在区间[2,3]上为减函数；f(x)在区间[1,2]上为增函数，其周期为2，则f(x)在区间[3,4]上为增函数，f(x)为偶函数，则f(x)在区间[−4,3]上为减函数； 故选：D ．根据题意，由f(1+x)=f(1−x)分析可得f(x)的图象关于直线x =1对称，进而可得f(x)是周期为2的周期函数，据此分析可得f(x)在区间[−4,−3]和[2,3]上的单调性，即可得答案．本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的对称性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：作出函数f(x)={|log 2x|,x ≤811−x,x >8的图象如图，由f(a)=f(b)=f(c)，a <b <c ，可得a ∈(0,1)，b ∈(1,8)，c ∈(8,11)，由|log2a|=|log2b|，得−log2a=log2b，即log2ab=0，得ab=1．∴cab=c∈(8,11)，故选：C．作出分段函数的图象，数形结合可得a，b，c的范围，再由|log2a|=|log2b|结合对数的运算性质求得ab=1，则答案可求．本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】D【解析】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)=f(−1)，∴log310−k=log3109+k=log310−2+k，即k=1，∴f(x)=log3(9x+1)−x，∴f′(x)=9x⋅ln9(9x+1)ln3−1=9x−19x+1，∴当x>0时，f′(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上单调递增，∵f(x)为偶函数，∴c=f(−e−89)=f(e−89)，令y=lnx−x+1，则y′=1x−1，当x>1时，y′<0，y单调递减；当0<x<1时，y′>0，y单调递增，∴当x=1时，y取得最大值，为0，∴y=lnx−x+1≤0，即lnx≤x−1，当且仅当x=1时，等号成立，∴ln109<109−1=19，e−89>e−1=1e>19，∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴c>a>b．故选：D．由偶函数的性质可得k=1，再对f(x)求导，推出f(x)在(0,+∞)上单调递增，然后结合函数的单调性与奇偶性，以及利用中间值法比较a，b，c中自变量的大小，从而得解．本题考查利用导数判断函数的单调性，函数单调性与奇偶性的综合应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．9.【答案】B【解析】解：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1+a 5=10，a 4=7，可得2a 1+4d =10，a 1+3d =7，解得d =2， 故选：B ．设数列{a n }的公差为d ，则由题意可得2a 1+4d =10，a 1+3d =7，由此解得d 的值． 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ， 故选：D ．从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量，得到结果．本题考查向量的基本定理及其意义，在几何体中一般用由一个公共点的三个向量作为基底来使用，这种题目和平面向量中的题目做法相同．11.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的性质、通项公式的灵活应用，属于基础题．根据等比数列的性质得a 1⋅a 5=a 2⋅a 4=a 32，结合条件和等比数列的通项公式列出方程，求出m 的值． 【解答】解：根据等比数列的性质得，a 1⋅a 5=a 2⋅a 4=a 32， 又a m =a 1a 2a 3a 4a 5，所以a m =a 35，因为a m =a 1q m−1=q m−1，a 3=a 1q 2=q 2， 所以q m−1=(q 2)5，所以m −1=10，即m =11， 故选：C ．12.【答案】C【解析】解：∵a 2+a 8+a 11=(a 1+d)+(a 1+7d)+(a 1+10d)=3(a 1+6d)=3a 7， 且a 2+a 8+a 11是一个定值， ∴a 7为定值， 又S 13=13(a 1+a 13) 2=13a 7，∴S 13为定值． 故选：C ．利用等差数列的通项公式化简已知的式子，得到关于a 7的关系式，由已知式子为定值得到a 7为定值，再利用等差数列的求和公式及等差数列的性质化简S 13，也得到关于a 7的关系式，进而得到S 13为定值．此题考查了等差数列的通项公式，求和公式，以及等差数列的性质，a 7的值是已知与未知桥梁与纽带，灵活运用等差数列的通项公式求出a 7的值是解本题的关键．13.【答案】D【解析】解：由题意可得，小数点后两位为3.11或3.12时，余下的5个数全排列得到的数字小于3.14，故小于3.14的不同数字个数为2A 55=240． 故选：D ．由题意可得，小数点后两位为3.11或3.12时，余下的5个数全排列得到的数字小于3.14，即可求解．本题主要考查排列及简单计数问题，考查计算能力，属于基础题．14.【答案】B【解析】解：设点A 关于直线x +y =8的对称点B(a,b)，设军营所在区域的圆心为O ， 根据题意，|BO|−√5为最短距离， AB 的中点为(a+42,b 2)，直线AB 的斜率为1，由{a+42+b 2=8ba−4=1，解得a =8，b =4，所以|BO|−√5=√82+42−√5=3√5． 故选：B ．求出A关于x+y=8的对称点B，根据题意，|BO|−√5为最短距离，求出即可．本题考查函数模型的选择及应用，考查点关于直线的对称点的计算，考查数学转化思想，是中档题．15.【答案】A【解析】解：∵考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(110,100)，∴μ=110，σ2=100，即σ=10，∴P(X≥130)=1−P(90<X<130)2=1−0.95442=0.0228，故本次考试成绩130分以上的人数大约为20000×0.0228=456人．故选：A．根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．16.【答案】D【解析】【分析】本题考查了数列递推式，考查了数列构造法，训练了累加法求数列的和，是中档题．把已知的递推式取倒数，得到新数列{1an −1a n−1}构成以1a2−1a1为首项，以1为公比的等比数列．求出该等比数列的通项后利用累加法可得数列{a n}的第10项．【解答】解：由a n⋅a n−1a n−1−a n =a n⋅a n+1a n−a n+1，得a n−1−a n a n⋅a n−1=a n−a n+1a n⋅a n+1，∴1a n −1a n−1=1a n+1−1a n，即1a n+1−1 a n1 a n −1a n−1=1，∴{1a n −1a n−1}构成以1a2−1a1为首项，以1为公比的等比数列，∵a1=2，a2=1，∴1a2−1a1=1−12=12，则1a n −1a n−1=12×1n=12，∴1a2−1a1=12，1 a3−1a2=12，…1 a10−1a9=12，累加得：1a10=1a1+92=12+92=5，∴a10=15．故选D．17.【答案】ACD【解析】解：对于A：a>0>b，所以1a −1b=b−aab>0，则1a>1b，故A正确；对于B：当“a>b>0”时，“a2>b2”成立，当“a2>b2”成立，则“a>b”不一定成立，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：由于a>b>1，所以当x>1时，满足log b x>log a x，即log a2021<log b2021成立，故C正确；对于D：ab>0，则ba +ab≥2，(当且仅当a=b时，等号成立)，故D正确；故选：ACD．直接利用基本不等式的应用，对数函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用，基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：基本不等式的应用，对数函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】BC【解析】解：A选项，f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，在定义域内不是减函数，A 选项错误．B选项，定义域为R，f(−x)=e x−e−x=−f(x)，为奇函数，又f′(x)=−e−x−e x<0，所以f(x)单调递减，B选项正确．C选项，定义域为R，f(−x)+f(x)=ln(x+√x2+1)+ln(−x+√x2+1)=ln1=0，为奇函数；f(x)=ln(1x+√x2+1)，又当x>0时，y=x+√x2+1单调递增，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，由奇偶性可得f(x)在R上递减．C选项正确．D选项，定义域为R，f(−x)=e−x−1e−x+1=1−e x1+e x=−f(x)，为奇函数，又f(x)=e x+1−2e x+1=1−2e x+1为增函数，D选项错误．故选：BC．利用定义判断函数的奇偶性，利用导数，复合函数的“同增异减”判断单调性．本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属于基础题．19.【答案】CD【解析】解：y=e x−x+23的导数为y′=e x−1，由e x>0，可得切线的斜率k>−1，由tanα>−1，可得0≤α<π2或3π4<α<π，则C，D正确，故选：CD．求得函数的导数，可得切线的斜率，由指数函数的值域，可得斜率的范围，由正切函数的图象和性质，可得倾斜角的范围．本题考查导数的几何意义，以及直线的倾斜角的范围，考查转化思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】ABC【解析】解：因为关于x的方程a x=x a(其中a>1，x>0)有且仅有一个解，所以xlna=alnx，在(0,+∞)上有且只有一个解，所以lnxx =lnaa在(0,+∞)上有且只有一个解，设f(x)=lnxx (x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x=e处取得极大值1e，作出y=f(x)的图像，当lnaa =1e或lnaa<0，解得a=e或0<a<1，又a>1，可得a=e，故A正确；由ℎ(x)=e x−x e，可得ℎ(e)=0，故C正确；ℎ(x)的导数为ℎ′(x)=e x−ex e−1，由ℎ′(x)=0，可得e x=ex e−1，两边取对数可得x=1+(e−1)lnx，即x−1=(e−1)lnx，结合y=x−1与y=(e−1)lnx的图象，可得x=1或x=e，当0<x<1或x>e时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当1<x<e时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以x=1是ℎ(x)的极大值点，x=e是ℎ(x)的极小值点，且x→0时，ℎ(x)→1，则ℎ(x)的最小值为ℎ(e)=0，故B正确，D错误故选：ABC．由于关于x的方程a x=x a(其中a>1，x>0)有且仅有一个解，可得xlna=alnx在(0,+∞)上有且只有一个解，进而得到lnxx =lnaa在(0,+∞)上有且只有一个解，设f(x)=lnxx(x>0)，对f(x)求导，判断其单调性，作出函数f(x)的图象，可得a=e，即可判断A是否正确；由ℎ(x)=e x−x e，可得ℎ(e)=0，即可判断C是否正确；对ℎ(x)求导，判断ℎ(x)的单调性，求出极值，即可判断B，D是否正确．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】ABD【解析】解：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210=1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D 也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的． 故选：ABD ．利用二项式定理的通项公式及其性质即可判断出正误．本题考查了简易逻辑的判定方法、二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.【答案】AB【解析】解：联立{y =2x −1mx 2−y 2=m ，可得(m −4)x 2+4x −1−m =0， 当m =4时，4x −1−m =0有唯一解，符合题意；当m ≠4时，△=16+4(m +1)(m −4)=0，解得m =3或m =0(舍去)， 故m =3或4． 故选：AB ．联立{y =2x −1mx 2−y 2=m ，可得(m −4)x 2+4x −1−m =0，讨论当m =4时，当m ≠4时，即可．考查直线与圆锥曲线交点的问题，题中涉及到求一元二次方程有一个根的求法，直线与双曲线的位置关系的判断，是中档题．23.【答案】ABC【解析】解：如图，对于A ，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1=B 1， ∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，对于B ，∵A 1D//B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C//平面A 1C 1D ， ∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，故B 正确；对于C ，当点P 与线段B 1C 的端点重合时，异面直线AP 与A 1D 所成角取得最小值为π3， 故异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3,π2]，故C 正确，对于D ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图示：设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P(a,1，a)， 则D(0,0，0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1，1)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，1)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0，a −1)， 设平面A 1C 1D 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +z =0n ⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，−1)， ∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：|n ⃗⃗ ⋅C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|C 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3⋅√a 2+(a−1)2=√3⋅√2(a−12)2+12，∴当a =12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√63，故D 错误．故选：ABC ．在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ， 在B 中，由B 1C//平面A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值， 在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3,π2]，在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为√63．利用空间向量法求解线面角问题，属于中档题．24.【答案】BCD【解析】解：由a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n+ln n+1n3，两式作差可得a n+1−b n+1=a n−b n−ln n+1n3，当n=1时，a2−b2=a1−b1−ln2，∴a2−b2<a1−b1，故A错误；两式相加可得a n+1+b n+1=3(a n+b n)+ln(n+1)−3lnn，即a n+1+b n+1−ln(n+1)=3(a n+b n−lnn)，∴{a n+b n−lnn}是以a1+b1为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n−lnn=(a1+b1)⋅3n−1，则a n+b n=(a1+b1)⋅3n−1+lnn，又a1+b1>0，∴数列{a n+b n}单调递增，故B正确；将a n+b n=(a1+b1)⋅3n−1+lnn代入a n+1=2a n+b n，得a n+1=a n+(a n+b n)=a n+(a1+b1)⋅3n−1+lnn，∴a n+1−a n=(a1+b1)⋅3n−1+lnn>0，可得数列{a n}从某项以后单调递增，故C正确；将a n+b n=(a1+b1)⋅3n−1+lnn代入b n+1=a n+2b n+ln n+1n3，得b n+1=b n+(a n+b n)+ln n+1n3=b n+(a1+b1)⋅3n−1+lnn+ln n+1n3，∴b n+1−b n=(a1+b1)⋅3n−1+ln(n+1)−2lnn，由a1+b1>0，结合指数函数与对数函数的增长速度可知，从某个n起后，(a1+b1)⋅3n−1−lnn>0，又ln(n+1)−lnn>0，∴数列{b n}从某项以后单调递增，故D正确．故选：BCD．计算a2−b2=a1−b1−ln2<a1−b1判断A；由已知递推式可得{a n+b n−lnn}是以a1+b1为首项，3为公比的等比数列，求其通项公式得到数列{a n+b n}的通项公式判断B；结合已知条件可得a n+1−a n>0判断C；计算b n+1−b n=(a1+b1)⋅3n−1+ln(n+ 1)−2lnn，由指数函数与对数函数的增长速度判断D．本题考查数列递推式的应用，考查数列的函数特性，考查推理论证能力与运算求解能力，属难题．25.【答案】3【解析】解：若“∃x∈[−2,1]，x2+2x−m>0”为假命题，则它的否定命题：“∀x∈[−2,1]，x2+2x−m≤0”是真命题，所以m≥x2+2x对∀x∈[−2,1]恒成立；设f(x)=x2+2x，x∈[−2,1]，则f(x)的最大值为f(1)=3，所以m≥3，即实数m的最小值为3．故答案为：3．根据命题和它的否定命题真假性相反，写出该命题的否定命题，再求实数m的最小值．本题考查了命题和它的否定命题应用问题，也考查了推理转化能力，是基础题．26.【答案】4【解析】解：因为f(x)=2alnx+x2+(b−4)x，所以f′(x)=2ax+2x+b−4，因为f(x)在x=1处取得极值，所以f′(1)=2a+2+b−4=0，即2a+b=2，因为a>0，b>0，所以1a +2b=22a+2b≥(√2+√2)22a+b=82=4，当且仅当22a =2b，即a=12,b=1时取等号，所以1a +2b的最小值为4．故答案为：4．求出f′(x)，由极值的定义得到f′(1)=0，即2a+b=2，然后利用基本不等式的结论求解最值即可．本题考查了利用导数研究函数极值的应用，基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．27.【答案】m=1或4 (−∞,4]【解析】解：当a =1时，f(x)={2−x,x ≤1x 2−4x +1,x >1，当m ≤1时，f(m)=2−m =1，解得m =1，当m >1时，f(m)=m 2−4m +1=1，解得m =4或m =0(舍)． 综上，m =1或m =4；对任意的t >0，函数y =f(x)−t −1有两个零点，即y =t +1(t >0)与y =f(x)有两个交点．作出f(x)的图象如图：则12−4×1+a ≤1，即a ≤4． ∴实数a 的取值范围是(−∞,4]． 故答案为：m =1或4；(−∞,4]．把a =1代入函数解析式，然后分类求解f(m)=1，即可求得m 的值；把函数y =f(x)−t −1有两个零点，转化为y =t +1(t >0)与y =f(x)有两个交点，结合图象可得关于a 的不等式，求解得答案．本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．28.【答案】(0,1)【解析】解：因为函数f(x)=13ax 3−12x 2+x −xlnx(x >0)， 则f′(x)=ax 2−x −lnx ， 因为f(x)存在两个极值点， 则f′(x)有两个正零点，令f′(x)=0，则ax 2=x +lnx ，即a =x+lnx x 2在(0,+∞)上有两个不同的根，令g(x)=x+lnx x 2，则g′(x)=−x+1−2lnxx 3，因为y =−x +1−2lnx 是减函数，且当x =1时，y =0，当x >1时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以当x =1时，g(x)取得最大值g(1)=1， 又当0<x <1e 时，g(x)<0，当x >1时，g(x)>0， 所以要使得f′(x)有两个两点， 则0<a <1，所以实数a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．求出f′(x)，利用极值点的定义，将问题转化为a =x+lnx x 2在(0,+∞)上有两个不同的根，构造函数g(x)=x+lnx x 2，利用导数研究函数g(x)的单调性与函数值的取值情况，从而确定a 的取值范围．本题考查了函数极值点的理解与应用，函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的单调性的应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：(1)方程法(直接解方程得到函数的零点)；(2)图象法(直接画出函数的图象分析得解)；(3)方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).属于中档题．29.【答案】√22【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q >0， 则根据题意可得{a 1+a 1q 2=16a 1q 4+a 1q 6=4，解得q 4=14， 解得q =√22，即{a n }的公比为√22．故答案为：√22．设等比数列{a n }的公比为q >0，根据题意利用等比数列的通项公式可得{a 1+a 1q 2=16a 1q 4+a 1q 6=4，进而解得q 的值，即可得解． 本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，考查了方程思想，属于基础题．30.【答案】3 (14,1)【解析】解：如图，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线x=−1，点P到准线x=−1的距离为PC，则|PA|+|PF|=|PA|+|PC|，故当A、P、C三点共线时，|PA|+|PF|有最小值2−(−1)=3，此时，点P的纵坐标为1，代入可得点P的横坐标为14，故此时点P坐标为(14,1)．故答案为：3，(14,1)．抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线x=−1，记点P到准线x=−1的距离为PC，从而可得|PA|+|PF|=|PA|+|PC|，从而结合图象求最值即可．本题考查了圆锥曲线的定义的应用及数形结合的思想方法应用，属于基础题．31.【答案】23(1−12n)【解析】解：a1+a2+a3+⋯+a n=2n−1，可得a1=2−1=1，当n≥2时，a n=2n−1−2n−1+1=2n−1，上式对n=1也成立，所以a n=2n−1，n∈N∗，1a n+a n+1=12n−1+2n=13⋅2n−1，所以1a1+a2+1a2+a3+⋯+1a n+a n+1=13(1+12+14+...+12n−1)=13⋅1−12n1−12=23(1−12n).故答案为：23(1−12n).由数列的递推式可得a n=2n−1，n∈N∗，1a n+a n+1=13⋅2n−1，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．32.【答案】0.12【解析】解：∵P(B|A)=P(B)， ∴A ，B 相互独立， ∵P(A −)=0.6，∴P(A)=1−P(A −)=1−0.6=0.4， ∵P(B|A −)=0.3， ∴P(B)=0.3，∴P(AB)=P(A)P(B)=0.4×0.3=0.12． 故答案为：0.12．由P(B|A)=P(B)，可得A ，B 相互独立，再结合已知条件，根据独立事件的概率乘法公式，即可求解．本题主要考查事件之间独立性的判断，以及独立事件的概率乘法公式，属于基础题．33.【答案】解：若选①：(1)因为A ={x|4x+1>1}={x|x−3x+1<0}={x|−1<x <3}，当m =0时，集合B ={x|(x −2m)(x −m 2−1)<0}={x|0<x <1}， 所以A −B ={x|−1<x ≤0或1≤x <3}；(2)因为m ≠1，则m 2+1−2m =(m −1)2>0，即m 2+1>2m ， 所以B ={x|2m <x <m 2+1}， 因为A ∪B =A ，则B ⊆A ，所以{2m ≥−1m 2+1≤3，解得−12≤m ≤√2，故m 的取值范围为[−12,1)∪(1,√2]． 若选②：(1)因为A ={x|x 2−2x −3<0}=={x|(x +1)(x −3)<0}={x|−1<x <3}， 当m =0时，集合B ={x|(x −2m)(x −m 2−1)<0}={x|0<x <1}， 所以A −B ={x|−1<x ≤0或1≤x <3}；(2)因为m ≠1，则m 2+1−2m =(m −1)2>0，即m 2+1>2m ， 所以B ={x|2m <x <m 2+1}，所以{2m ≥−1m 2+1≤3，解得−12≤m ≤√2，故m 的取值范围为[−12,1)∪(1,√2]． 若选③：(1)因为A ={x||x −1|<2}={x|−2<x −1<2}={x|−1<x <3}， 当m =0时，集合B ={x|(x −2m)(x −m 2−1)<0}={x|0<x <1}， 所以A −B ={x|−1<x ≤0或1≤x <3}；(2)因为m ≠1，则m 2+1−2m =(m −1)2>0，即m 2+1>2m ， 所以B ={x|2m <x <m 2+1}， 因为A ∪B =A ，则B ⊆A ，所以{2m ≥−1m 2+1≤3，解得−12≤m ≤√2，故m 的取值范围为[−12,1)∪(1,√2]．【解析】若选①：(1)先利用分式不等式的解法求出集合A ，求出集合B ，然后由定义求解即可； (2)求出集合B ，利用子集的定义，列出关于m 的不等式组，求解即可． 若选②：(1)先利用一元二次不等式的解法求出集合A ，求出集合B ，然后由定义求解即可； (2)求出集合B ，利用子集的定义，列出关于m 的不等式组，求解即可． 若选③：(1)先利用绝对值不等式的解法求出集合A ，求出集合B ，然后由定义求解即可； (2)求出集合B ，利用子集的定义，列出关于m 的不等式组，求解即可．本题考查了分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式的解法，子集定理的理解与应用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与运算能力，属于基础题．34.【答案】解：(1)由{2−x >0x +4>0，解得−4<x <2，则函数f(x)的定义域为(−4,2)，f(x)=log a (2−x)+log a (x +4)=log a (2−x)(x +4)，令u =(2−x)(x +4)=−x 2−2x +8=−(x +1)2+9，−4<x <2， 当x ∈(−4,−1)时，u 是增函数，当x ∈(−1,2)时，u 是减函数， 又a >1，∴y =log a u 在(0,+∞)上是增函数，。
辽宁省2020年高二下学期期中数学试卷(理科)(I)卷(模拟)
辽宁省2020年高二下学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）的展开式中，的系数等于40，则等于（）A .B .C . 1D .2. （2分）反证法证明的关键是在正确的假设下得出矛盾,这个矛盾可以是（）①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾A . ①②B . ②③C . ①②③D . ①②③④3. （2分） (2019高二下·四川月考) 已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（）A .B .C .D . 复数在复平面内表示的点在第四象限4. （2分） (2017高二下·赣州期末) 将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A . 24种B . 28种C . 32种D . 16种5. （2分） (2017高二下·宜春期中) C +C +C +C +…+C 的值为（）A . CB . CC . CD . C6. （2分）现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为（）A . 7B . 64C . 12D . 817. （2分） (2020高二下·宁波期中) 已知随机变量满足，，其中 .令随机变量，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二下·东莞期末) 对具有线性相关关系的两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据（x1 ， y1），（x2 ， y2）…（xn ， yn），则下列说法中不正确的是（）A . 若最小二乘法原理下得到的回归直线方程 =0.52x+ ，则y与x具有正相关关系B . 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C . 在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适D . 用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好9. （2分） (2019高三上·广东月考) 某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·日照月考) 现抛掷两枚骰子，记事件为“朝上的2个数之和为偶数”，事件为“朝上的2个数均为偶数”，则（）A .B .C .D .11. （2分）除以9的余数为（）A . 8B . 7C . 6D . 512. （2分） (2019高二下·日照月考) 随机变量，满足：，，若，则（）A . 5B . 4C . 7D . 9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·丰城期中) 我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a2）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有________人．14. （1分）(2012·山东理) 设a＞0，若曲线y= 与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2 ，则a=________．15. （1分） (2017高二·卢龙期末) 的系数是________．16. （1分） (2015高二下·盐城期中) 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高二下·景德镇期中) 甲、乙、丙三人独立的对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为；（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）若该技术难题未被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励6万元．奖励规则如下：若只有一人攻克，则此人获得全部奖金6万元；若只有2人攻克，则此二人均分奖金，每人3万元；若三人均攻克，则每人2万元．在这一技术难题被攻克的前提下，设甲拿到的奖金数为 ,求的分布列和数学期望．18. （5分） (2016高三上·北京期中) 已知集合A=a1 ， a2 ， a3 ，…，an ，其中ai∈R（1≤i≤n，n ＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n ，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？19. （10分） (2015高一下·枣阳开学考) 已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}（1）若a= ，求A∩B．（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．20. （5分）已知的展开式中的二项式系数之和为256．（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项．21. （10分） (2019高三上·郴州月考) 郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温，[15,20) ，[25,20)，35)[35，天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？22. （5分） (2017高二上·清城期末) 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2020-2021学年辽宁省鞍山一中高二下期中理科数学试卷
2020-2021学年辽宁省鞍山一中高二下期中理科数学试卷2020-2021学年辽宁省鞍山一中高二下期中理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数21i-（i 是虚数单位）的虚部是（） A ．1 B ．i C ．12D ．12i 2．可导函数在闭区间的最大值必在（）取得 A ．极值点 B ．导数为0的点 C ．极值点或区间端点 D ．区间端点 3．下列推理过程利用的推理方法是（）①通过大量的试验得出抛硬币出现正面的概率为0.4；②函数2()||f x x x =+为偶函数 A ．演绎推理归纳推理 B ．类比推理演绎推理 C ．归纳推理合情推理 D ．归纳推理演绎推理 4．圆上有10个点，过每3个点都可画1个圆的内接三角形，则所有圆的内接三角形的个数为（）A ．120B ．240C ．360D ．7205．当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积S 与正方形的面积P 的大小关系为（）A ．S P <B ．S P >C ．S P =D ．,S P 的大小关系不定6．组合数C (1,)rn n r n r Z >∈、恒等于（） A ．1111r n r C n --++ B ．11(1)(1)r n n r C --++ C ．11r n nrC --D ．11r n n C r-- 7．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A ．若12||0z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12||||z z =，则1122z z z z =D ．若12||||z z =，则2212z z =8．若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．1[0,]e B ．1(0,)e C ．1(0,]eD ．1(,0)e-9．若函数()f x 的导函数在区间(,)a b 上的图象关于直线2a bx +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（）A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式,根据3.14159π≈判断,下列近似公式中最精确的一个是（） A ．3169d V ≈B ．32111d V ≈C ．3300157d V ≈D ．32d V ≈11．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有（）种不同的站法A ．42B ．44C ．46D ．4812．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（） A ．[1,0]- B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]二、填空题13．设3()f x x =，（,a b 是常数），则()f a bx -的导数等于 . 14．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为____________. 15．将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有种.16．计算12323nn n n n C C C nC ++++可以采用以下方法：构造等式：0122(1)n nn n n n n C C x C x C x x ++++=+，两边对x 求导得：12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，在上式中令1x =得：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=，类比上述计算方法计算 12223223n n n n n C C C n C ++++= .17．已知函数2312()()af x a R x x x=++∈. （1）若1a =，求函数()f x 在1[4,]2--上的最值；（2）若0a ≥，求函数()f x 的极值点.三、解答题18．在二项式*(12)()nx n N -∈的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的二项式系数最大项；（2）若展开式的第二项大于第三项，求x 的取值范围. 19．设函数()1x f x e ax =--.（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()0g a ≤. 20．已知数列{}n a 的通项公式为：1(1)n n a n n=+（e 为自然对数的底数）. （1）计算123,,a a a ，由此推测计算123n a a a a 的公式，并给出证明；（2）若nn a c n=，求证：2n c e <<. 21．等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 22．设()(1)axf x x e =+（其中0a ≠），曲线()y f x =在1x a=处有水平切线.（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x x =++，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，有1212|()()|2g x g x e e ---<+.参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意得，22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故选A. 考点：复数的运算与复数的概念. 2．C 【解析】此题考查导数的应用，函数的极值点一定是导函数的零点，导函数的零点不一定是极值点；函数在闭区间上的最值有可能在闭区间的端点处取，有可能在函数的极值点取；求函数闭区间上的最值方法是：首先求出极值然后再把极值和区间的端点值比较，最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值，所以选C ； 3．D 【解析】试题分析：由题意得，①为归纳推理，在推理过程是由特殊到一般的推理过程；②为演绎推理，可利用三段论推理证得函数2 ()||f x x x =+为偶函数. 考点：合情推理与演绎推理. 4．A 【解析】试题分析：圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，故一共可以画出三角形个数为310120C =，故选A.考点：组合及组合数的应用. 5．B 【解析】试题分析：设周长为c ，则正方形的边长为4c ，圆的半径为2c π，则圆的面积为22()24c c πππ?=，正方形的面积为24416c c c ?=，所以圆的面积S 与正方形的面积P 的大小关系为S P >.考点：正方形与圆的周长与面积公式.6．D 【详解】由11!(1)!·!()!(1)![(1)(1)]!rr n n n n n n C C r n r r r n r r---===-----.7．D 【解析】试题分析：对于A 中，若12||0z z -=，则12120z z z z -=?=，所以12z z =是正确的；对于B 中，若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =是正确的；对于C 中，设111222,z a b i z a b i =+=+，若12||||z z ==，222211112222,z z a b z z a b =+=+，所以1122z z z z =是正确的；对于D 中，若121,z z i ==，则12||||z z =，而22121,1z z ==-，所以不正确，故选D.考点：复数的概念与运算. 8．D 【解析】试题分析：由题意得()ln 1f x x '=+，所以()f x 在1(0,)e 上单调递减；在1(,)e+∞上单调递增，所以当0x →时，()f x a →-；当x →+∞时，()f x →+∞，所以若使函数()ln f x x x a =-有两个零点，则11ln 0a e e -<且0a ->，解得1 0a e-<<，故选D.考点：利用导数研究函数的单调性及零点问题. 9．C 【解析】试题分析：因为函数()y f x =的导函数在区间(),a b 上的图象关于直线2a bx +=对称，即导函数要么无增减性，要么在直线2a bx +=两侧单调性相反；对于①，由图得，在a 处切线的斜率最小，在b 处的切线的斜率最大，故导函数图象不关于2a bx +=对称，所以不正确；对于②，由图得，在a 处切线的斜率最大，在b 处的切线的斜率最小，故导函数图象不关于2a bx +=对称，所以不正确；对于③，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数的图象关于2a bx +=对称，所以正确；对于④，由图得，原函数有一对称中心，在直线2a b x +=与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线2a bx +=对称，所以正确，故选C ．考点：导数与函数的关系及函数的对称性的判定.【方法点晴】本题主要考查了函数单调性与其导函数之间的关系、函数图象的对称性的判定与证明，解答此类题目，要注意运用课本定义的灵活运用，是对课本知识的深化和探究，属于中档试题，同时也是易错题，本题的解答中因为函数()y f x =的导函数在区间(),a b 上的图象关于直线2a b x +=对称，即导函数要么无增减性，要么在直线2a bx +=两侧单调性相反，从而根据图象得到结论. 10．B 【分析】利用球体的体积公式得333443326d d V R πππ??==?=，得出d 的表达式，再将π的近似值代入可得出d 的最精确的表达式. 【详解】由球体的体积公式得333443326d dV R πππ??==?=，36V d π=，6 1.9099π≈，16 1.77789≈，21 1.909111≈，300 1.9082157≈，2111与6π最为接近，故选C.【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题． 11．B 【解析】试题分析：由题意的，设五人分别为,,,,A B C D E ，重新站队时，可从A 开始，其中A 有144C =种不同的选择，比如A 占据了B 的位置，可再由B 选取位置，可分为类，一类：B 占据了A 的位置，则后面的重站，共有2种站法；若B 没有占据A 的位置，则B 有133C =种站法，后面的重站，共有3种站法，所以共有14(233)44C ?+?=种不同的站法，故选B. 考点：排列、组合的应用.【方法点晴】本题主要考查了以站队问题的排列、组合问题的应用，着重考查了分析问题、解答问题的能力和分类讨论思想方法的应用，有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中，可先设五人分别为,,,,A B C D E ，从可从A 开始，其中A 有144C =种不同的选择，再利用A 所占的位置，决定另一个人的选择，体现了处理排列组合的一种方法. 12．B 【解析】分析：根据题意求得函数()f x 的解析式，进而得到()()'f x f x 的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由()()'2xf x f x xe -+=，得()()'2xxe f x e f x x +=，∴()'2x e f x x ??=??，设()2xe f x x c =+（c 为常数），∵()01f =，∴1c =，∴()21xx f x e+=，∴()()22221(1)x xxxxe x e x f x e e ---==-'，∴()()222'(1)2111f x x x f x x x -=-=-+++，∴当x=0时，()()'1f x f x =-；当0x ≠时，()()'211f x f x x x=-++，故当0x >时，12x x+≥，当1x =时等号成立，此时21101x x -<-+≤+；当0x <时，12x x+≤-，当1x =-时等号成立，此时22111x x-≤-+<-+．综上可得22101x x-≤-+≤+，即函数'f x f x 的取值范围为[]2,0-．故选B ．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数()f x 的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立． 13．23()b a bx -- 【解析】试题分析：由3()f x x =，则3()()f a bx a bx -=-，所以22()3()()3()f a bx a bx a bx b a bx ''-=-?-=--.考点：导数的运算. 14．4 【分析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线3y x =与直线4y x =在第一象限所围成饿图形的面积是23242001(4)(2)|8444x x dx x x -=-=-=?，即围成的封闭图形的面积为 4．考点：利用定积分求解曲边形的面积. 15．150 【解析】试题分析：将5名实习教师分配到高二年级的三个班中实习，每班至少1名，有两种情况：（1）将5名实习教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有122542215C C C A =种分组方法，再将三组分到3个班级中，共有331590A ?=种不同的分配方案；（2）将5名实习教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，有3115222210C C C A =种分组方法，再将三组分到3个班级中，共有331060A ?=种不同的分配方案，所以共有9060150+=种不同的分配方案.考点：排列组合的应用.【方法点晴】本题主要考查了排列、组合的综合应用，解答时要注意根据题意要求，合理分类讨论，其次要正确运用分组公式，作出合理分组，着重考查了分析问题和解答问题的能力和分类讨论的思想方法，属于中档试题，本题的解答中先将5名实习教师分成三组，可分为一组1人，另两组都是2人或一组3人，另两组都是1人，根据组合的公式，正确分组是解答问题的关键. 16．2(1)2n n n -+【解析】试题分析：由题意得，构造等式：12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，两边同乘x ，得12233123(1)n nn n n n n C x C x C x nC x n x x -++++=??+，再两边对x 求导，得到122232211223(1)(1)(1)n n n n n n n n C C x C x n C x n x n n x x ---++++=++-?+，在上式中，令1x =，得12223223nn n n n C C C n C ++++=2(1)2n n n -+.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用，是道好题，解答问题的关键在于对122n n C C x ++323nC x +11(1)n n n n nC x n x --+=+，两边同乘以x 整理后在对x 求导，要使分析到这一点，此类问题将大大增加了难度，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和推理、运算能力，试题有一定的难度，属于难题.17．（1）最大值为0，最小值为2-；（2）当0a =时，有一个极值点4x =-，当403a <<时，有两个极值点243x a =-±-，当43a ≥时，()g x 没有极值点. 【解析】试题分析：（1）求导函数，即可判断'4(1)(3)()x x f x x++=-，得到函数的单调性，即可求出函数的最值；（2）求2'423()x x a g x x++=-，令2230x x a ++=，从而得到1612a ?=-，进而分类讨论可得函数的极值点，得出结论. 试题解析：（1）∵12323121()2f x x x x x x x---=++=++，∴2'2342334414443(1)(3)()43()x x x x f x x x x x x x x x---++++=---=-++=-=- 令'()0f x =，得3x =-或1x =-，令'()0f x >，得31x -<<-，令'()0f x <，得3x <-或1x >-且0x ≠ 随x 的变化，'()f x ，()f x 的变化情况如下：∴'()f x 在1[4,]2--的最大值为0，最小值为-2.（2）2'423()x x ag x x++=-，令2230x x a ++=，则1612a ?=-，①当0?≤，即43a ≥时，'()0g x ≤，故()g x 没有极值点；②当0?>，即403a <<时，12x =-220x =-<，减区间为1(,)x -∞，2(,0)x ；增区间为12(,)x x ，故有两个极值点12,x x . ③当0a =时，212()g x x x =+，'34()x g x x+=-，减区间为(,4)-∞-，增区间为(4,0)-，故有一个极值点4x =-.当403a <<时，()g x 有两个极值点2x =- 当43a ≥时，()g x 没有极值点. 考点：利用导数求闭区间函数的最值；利用导数研究函数的极值. 18．（1）41120x ；（2）1{|0}7x x -<<. 【解析】试题分析：（1）根据二项展开式中，偶数项的和为12n -，即可求解n 的值；（2）利用二项式的通项，求出第第二项大于第三项，列出不等式，即可求解x 的取值范围. 试题解析：（1）由题意可得：12128n -=，∴8n =∴8(12)x -展开式二项式系数最大项为第5项，44458(2)1120T C x x =-=，（2）因为128(2)T C x =-，2238(2)T C x =-，∴23T T >的解集为1{|0}7x x -<<. 考点：二项式定理的应用. 19．（1）0a ≤；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，由函数()f x 在R 上单调递增，可得其导函数大于等于0恒成立，由此可求出a 的取值范围；（2）由导数求出函数()f x 的最小值()ln 1g a a a a =--，然后利用导数求出函数()g a 的最大值，即可得到答案.试题解析：（1）∵()1x f x e ax =--在R 上为单调递增函数，∴'()0xf x e a =-≥恒成立∴min ()xa e ≤，∴0a ≤（2）∵'()x f x e a =-，0a >，∴'()0f x =，得ln x a =，当ln x a >时，'()0f x >，()f x 递增，当ln x a <时，'()0f x <，()f x 递减，∴ln x a =时，min ()()ln 1f x g a a a a ==--，求()g a 在0a >时的最大值，可知当1a =时()g a 取最大值0，∴()0g a ≤.考点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值. 20．（1）2123(1)n a a a a n =+；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数列通项公式，分别令1n =，2n =，3n =，求解出123,,a a a 的值，进而得到129a a =，12364a a a =，1234625a a a a =的值，据此可猜测123n a a a a 的表达式，利用数学归纳法证明；（2）可以构造二项式，利用分析法证明. 试题解析：当1n =时，12a =；当2n =时，292a =；当3n =时，3649a = (4625)64a = ∴129a a =，12364a a a =，1234625a a a a =，… 猜想2123(1)n a a a a n =+，*()n N ∈用数学归纳法证明（略）（2）2n c <，用二项展开式证明，将1(1)n n+二项展开取前两项得证欲证n c e <，只需证1ln(1)1n n +<，只要证11ln(1)n n+<，由ln 1x x ≤-可得考点：数学归纳法.21．（Ⅰ）21(n n a n S n n =-=；（Ⅱ）见解析. 【详解】（Ⅰ）由已知得111{339a a d =+=+，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得nn S b n n== 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r +=．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，20{20q pr q p r -=∴--=，，22()02p r pr p r p r +??∴=-=∴=，，．与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列． 22．（1）2a =-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用导数的运算法则可得()f x '，由于曲线()y f x =在1x a=处有水平切线，可得1()0f a'=，即可求解a 的值；（2）若对任意12,(0,1)x x ∈，有1212|()()|2g x g x e e ---<+，则只需max min ()()g x g x -小于122e e --+，令()()()g x h x k x =+，可得()g x '在(0,1)上的单调性，可求解1min ()1g x e ->-，2max ()12g x e -<+，即可作出证明.试题解析：（1）对()f x 求导得：'()(1)axf x ax a e =++，由题意知'1()(2)0f a e a=+=，解得：2a =-.（2）若对任意12,(0,1)x x ∈，有1212|()()|2g x g x e e ---<+，则只需max min ()()g x g x -小于122e e --+，令()()()g x h x k x =+，其中2()(1)xh x x e-=+，()ln k x x x =，(0,1)x ∈，当(0,1)x ∈时，通过求导，求最值得2()(1)xh x x e -=+的取值范围21()12h x e -<<+，当(0,1)x ∈时，通过求导，求最值得()ln k x x x =的取值范围1()0ek x --<<，∴12()()()(1,12)g x h x k x e e --=+∈-+，∴1min ()1g x e ->-，2max ()12g x e -<+，∴12max min ()()2g x g x e e ---<+.考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程；利用导数求解曲线上的最值；【方法点晴】本题主要考查了导数研究曲线上某点处的切线方程、利用导数求解曲线上的最值及恒成立问题的等价转化，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于难度，本题的解答的关键在于若对任意12,(0,1)x x ∈，有1212|()()|2g x g x e e ---<+，转化为max min ()()g x g x -<122e e --+，通过构造新函数，利用最值求解.。
2020-2021学年鞍山一中高二下学期期中数学复习卷2(含答案解析)
2020-2021学年鞍山一中高二下学期期中数学复习卷2一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合是虚数单位，则()A. B. C. D.2.“所有9的倍数都是3的倍数．某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理()A. 完全正确B. 推理形式不正确C. 错误，因为大小前提不一致D. 错误，因为大前提错误3.在独立性检验中，统计量K2有两个临界值：3.841和6.635；当K2>3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K2>6.635时，有99%的把握说明两个事件相关，当K2≤3.841时，认为两个事件无关．在一项调查某种药是否对心脏病有治疗作用时，共调查了3000人，经计算的K2=4.56，根据这一数据分析，认为此药物与心脏病之间()A. 有95%的把握认为两者相关B. 约有95%的心脏病患者使用药物有作用C. 有99%的把握认为两者相关D. 约有99%的心脏病患者使用药物有作用4.在复平面内，复数z=i(1+i)对应的点的坐标是()A. (1,−1)B. (1,1)C. (−1,1)D. (−1,−1)5.若用反证法证明“若x，y∈R，且x+y<2，则x，y中至多有一个大于1”，则假设为()A. x，y中至多有一个小于或等于1B. x，y中至少有两个小于或等于1C. x，y都小于1D. x，y都大于16.一组具有线性相关关系的变量(x,y)分别为(2,3)，(4,4)，(5,6)，(6,5)，(8,7)，且这组数据的回归直线方程为y∧=0.65x+a，则a等于()A. 0.75B. 1.25C. 1.75D. 3.757.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确8.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(1623−1662)是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5…，则此数列前151项和为()A. 219−211B. 218−211C. 219−209D. 218−2099.中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为()A. 71B. 72C. 89D. 9010.期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格.乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格．丁：要是我能及格，大家都能及格．成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11.已知方程kx+3=log2x(k<0)的实根x0满足x0∈(1,2)，则k的取值范围为()A. k<−3B. −1<k<0C. −3<k<−1D. k<−3或−1<k<012.已知数列的前项和为，首项，且满足，则等于()．A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知i是虚数单位，z=2+ii，则z的模|z|=______．14.观察下列式子：1+12≥32，1+12+13+14>2，1+12+13+⋯+18>52，…，你可归纳出的不等式是______．15.若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)=2，则f(4)=______ ．16.12、问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变形为，考察函数可知，，且此函数在R上单调递减，所以方程有唯一解。
辽宁省鞍山市高二下学期期中数学试卷(理科)
辽宁省鞍山市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）连续掷两次骰子得到点数分别为，记，，则（O为坐标原点）的概率为（）A .B .C .D .2. （2分）在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，至少有1件次品的抽法不正确的结果是（）A .B .C .D .3. （2分）为贯彻落实《四川省普通高中学分管理办法（试行）》，成都某中学的4名学生可从本年级开设的3门课程中选择，每个学生必须且只能选一门，且每门课必须有人选，则不同的选课方案有（）种．A . 18B . 36C . 54D . 724. （2分）若,则（）A . 1B .C .D .5. （2分） (2016高二下·安徽期中) 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（）A . 35种B . 24种C . 18种D . 9种6. （2分）设两个正态分布N(μ1 ，)(σ1＞0)和N(μ2 ，)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有（）A . μ1＜μ2 ，σ1＜σ2B . μ1＜μ2 ，σ1＞σ2C . μ1＞μ2 ，σ1＜σ2D . μ1＞μ2 ，σ1＞σ27. （2分）(2017·绍兴模拟) 已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：ξp qP q p若E（ξ）= ．则p2+q2=（）A .B .C .D . 18. （2分）关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于0.158 7⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人。
辽宁省鞍山市2020版高二下学期期中数学试卷(理科)B卷
辽宁省鞍山市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·安阳期中) 函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A . 10B . 9C . 8D .2. （2分）(2019·淄博模拟) 若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A .B .C .D . 13. （2分） (2017高二·卢龙期末) 设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·揭阳模拟) 已知正数a，b满足a+b=4，则曲线f（x）=lnx+ 在点（a，f（a））处的切线的倾斜角的取值范围为（）A . [ ，+∞）B . [ ，）C . [ ，）D . [ ，）5. （2分）用秦九韶算法计算当x=0.1时，多项式f（x）=2x6+3x5+4x4+5x3+6x2+7x+8的值，需要做乘法和加法运算的次数分别是（）A . 6，6B . 5，6C . 5，5D . 6，56. （2分）观察下列各式：a+b=1，a²+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，,则a10+b10=（）A . 28B . 76C . 123D . 1997. （2分）二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A . 3B .C . 3或D . 3或8. （2分）(2013·重庆理) 某质点的运动方程是，则在s时的瞬时速度为（）A . －1B . －3C . 7D . 139. （2分） (2016高三上·西安期中) （理）的值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·沈河月考) 已知函数是定义在上的图象不间断的函数，其导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个11. （2分）等差数列中，是函数的极值点，则的值是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·鹰潭模拟) 函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式的解集为（）A . {x＞﹣2011}B . {x|x＜﹣2011}C . {x|﹣2011＜x＜0}D . {x|﹣2016＜x＜﹣2011}二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二下·淄博期中) 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1 ，外接圆面积为S2 ，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P﹣ABC的内切球体积为V1 ，外接球体积为V2 ，则 =________．14. （1分）设i为虚数单位，若关于x的方程x2﹣（2+i）x+1+mi=0（m∈R）有一实根为n，则m=________15. （1分）(2017·诸暨模拟) 已知函数f（x）=|x2+ax+b|在区间[0，c]内的最大值为M（a，b∈R，c＞0位常数）且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c=________．16. （1分）1+3+32+…+399被4除所得的余数是________．三、解答题： (共6题；共50分)17. （5分）用数学归纳法求证：… ，（n≥2，n∈N+）．18. （15分） (2015高三下·湖北期中) 已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）．（1） a= 时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）存在两个不同的极值x1，x2，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（x）在（0，a]上的最小值．19. （10分） (2019高三上·杭州月考) 已知函数，．（1）若与的图象在公共点处有相同的切线，求切线方程；（2）若为整数，且恒成立，求的最小值.20. （5分）若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．21. （10分）(2013·浙江理) 已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．22. （5分）(2017·东城模拟) 设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共50分) 17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、第11 页共13 页第12 页共13 页22-1、第13 页共13 页。
辽宁省2020-2021学年高二数学下学期期中试题理
最新 Word高二数学放学期期中试题理注意事项：本试卷分第I 卷 ( 选择题 ) 和第 II卷(非选择题)两部分，考试时间为120 分钟 , 满分 150 分。
第 I 卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，满分60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．已知复数z m2 3m mi ( m R ) 为纯虚数，则m （）A. 0B. 3C. 0 或 3D. 42 ．下列求导数运算正确的是（）A．( x 1 )' 1 1 B ． (log 5 x)' 1x x2 x ln 5C ．(3x)' 3 x log 3 eD ． (x2 cos2x)' 2x sin 2x3．用反证法证明命题：“三角形的内角中起码有一个不大于60 度”时，反设正确的选项是（）。
A. 假定三内角都不大于60 度；B. 假定三内角都大于60 度；C. 假定三内角至多有一个大于60 度；D. 假定三内角至多有两个大于60 度。
4．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面 , 则平行于平面内所有直线；已知直线 b 平面，直线 a 平面，直线 b ∥平面，则直线 b ∥直线a”的结论明显是错误的，这是由于（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误5 ．设函数f x 的导函数为 f x ，且 f x x 2 2 x f 1 ，则 f 0 等于（）A ．0B ． 4C ． 2D ． 26．我校在模块考试中约有1000 人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0, 试卷满分150 分 ) ，统计结果显示数学考试成绩在70 分到 110 分之间的人数约为总人数的3，则此次数5学考试成绩不低于110 分的学生人数约为()A． 600 B．400C．300D．2007．教育部选派 3 名中文教师到外国任教中文，有 4 个国家可供选择，每名教师随机选择一个国家，则恰有 2 名教师选择同一个国家的概率为（）A．3B ．4C ．9D ．9 8 9 16 328．若随机变量X～B ，且 E X ＝3，则P( X＝1)的值是( )A．2 4 B．5 C ．4 D．49.将 5 名大学生疏派到 3 个乡镇去任职, 每个乡镇起码一名, 不一样的分派方案种数为( )10.给出下边类比推理命题（此中Q为有理数集， R 为实数集， C为复数集）（ 1）“若a,b R, 则a b 0 a b ”类比推出“若a,b C ，则a b 0 a b ”；（ 2）“若a, b, c, d R, 则复数 a bi c dia c, b d ”类比推出“若 a,b, c, d Q ，则 a b 2 c d 2 a c,b d ”；（ 3）“若a,b R, 则a b 0 a b ”类比推出“若a,b C ，则a b 0 a b ”；此中类比结论正确的个数是（）A．0 B ． 1 C ．2 D ． 311．( 2 1)10 a0 a1 x a2 x2 a10 x10 , 则(a0 a1 a2 a10 ) 2 (a1 a2 a9 )2 （) A． 0 B ． -1 C． 1 D ．( 2 1)1012．已知函数f ( x)的定义域为R，且知足f ( x 2) f ( x) ，其导函数 f '( x) ，当x 1时，(x 1)[ f ( x) ( x 1) f '( x)] 0 ，且 f (1) 4, 则不等式xf ( x 1) 8 的解集为( )A．( －∞ ,－2)B．(2,+∞)C．(－2,2)D．(－∞ ,－2)∪ (2,+∞)第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，满分20 分。
辽宁省鞍山市普通高中2020-2021学年高二下学期期中质量监测数学试题 (2)
2021年鞍山市普通高中高二统一质量监测数学参考答案填空题：解答题：17．解：（1）由已知可得16442476p q x y ====，，， ................................................. 4分 （2）()21001632448604024762=χ⨯−⨯⨯⨯⨯ ...................................................................................... 6分100 2.706171=< ...................................................................................................... 8分 所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关 .......................................... 10分18．解：（1）因为n m n m S S S ++=，m n ∀∈，N +，11a =．所以当1m =时，11n n S S S ++=，即111n n S S a +−== .................................................... 2分故数列{}n S 是首项为1，公差为1得等差数列，即n S n = ......................................... 3分 于是，当2n ≥时，11n n n a S S −=−= ............................................................................ 5分 又因为11a =，所以1n a =，n ∈N +............................................................................... 6分 （2）由（1）得22n S n n b ==，故2n n n S b n =⋅⋅ ............................................................... 8分 所以231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯①23412 1222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯② ................................................. 10分 ①-②得231121212122n n n T n +−=⨯+⨯+⨯++⨯−⋅即()111222122n n n n T n n +++=−+⋅=−+ ..................................................................... 12分 19．解：因为DG ABCD ⊥平面，DA ABCD DC ABCD ⊂⊂平面，平面，所以DG DA DG DC ⊥⊥，，又AD CD ⊥故可以D 为坐标原点， DA DA DG ，，的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系................................................................................................................ 2分 由AD ∥BC 且2AD BC =，AD ∥EG 且AD EG =， CD ∥FG 且2CD FG =，2AD CD DG ===可知，各点坐标为()202E ，，，()120B ，，，()020C ，，，()012F ，，， ............................................................... 4分 （1）易知()222CE =−，，，()1,0,0CB =，()12CF =−0，， 设平面EBC 的法向量为()1111n x y z =，，，则由1100n n CE CB ⋅=⋅=，可得111122200x y z x −+=⎧⎨=⎩，故平面EBC 的一个法向量为()1n =0，1，1 ............................ 5分 设平面FBC 的法向量为()2222n x y z =，，，则由2200n n CF CB ⋅=⋅=，可得222200y z x −+=⎧⎨=⎩ ，故平面FBC 的一个法向量为()1n =0，2，1 ................................. 6分因为12cos 10n n =， 且显然二面角E BC F −−为锐角。
2020-2021学年鞍山一中高二下学期期中数学复习卷1(含答案解析)
2020-2021学年鞍山一中高二下学期期中数学复习卷1一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，且z=2+i1−i−i5，且z的共轭复数为z，则z·z=A. 2B. √5C. √2D. 122.设f(x)=sinxcosx，则f(x)在点(π6,f(π6))处的切线的斜率为()A. 12B. √32C. −12D. −√323.已知是的导函数，即，，则()A. B. C. D.4.函数f(x)=e x−1x的大致图象为()A. B.C. D.5.七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是()A. 1440B. 3600C. 4320D. 48006.设函数，则()A. 为的极大值点B. 为的极小值点C. 为的极大值点D. 为的极小值点7.9.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2 n·1·3·…·(2n−1)(n∈N+)，从n=k推导到n=k+1时，左边需要增乘的代数式为()A. B. C. 2k+1 D. 2(2k+1)8.已知直线y=x+a与曲线y=e x(e为自然对数的底数)有公共点，则实数a的取值范围是()A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. [1,+∞)D. (0,1]9.由数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的三位数的偶数的总个数为()A. 12B. 18C. 30D. 6010.已知p：3+3=5，命题q：6>3，则下列说法正确的是()A. p∧q为真，￢q为假B. p∨q为假，￢q为假C. p∧q为假，p∨q为真D. p∨q为真，p∧q为真11.定积分∫cπosxdx=()A. −1B. 0C. 1D. π12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=12f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)={12−2x,0≤x<1−21−|x−32|,1≤x<2，函数g(x)=x3+3x2+m.若对任意s∈[−4,−2)，存在t∈[−4,−2)，不等式f(s)−g(t)≥0成立，则实数m的取值范围是()A. (−∞,−12]B. (−∞,14]C. (−∞,8]D. (−∞,312]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数z=1+i，则2z−z=______ ．14.设x=1是函数f(x)=a n+1x3−a n x2−a n+2x+1(n∈N+)的极值点，数列{a n}满足a1=1，a2=2，b n=log2a n+1，若[x]表示不超过x的最大整数，则[2020b1b2+2020b2b3+2020b3b4+⋯+2020b2020b2021]=______．15.设A(x A,y A)，B(x B,y B)为平面直角坐标系上的两点，其中x A，y A，x B，y B∈Z.令△x=x B−x A，△y=y B−y A，若|△x|+|△y|=t(t∈Z)，且|△x|⋅|△y|≠0，则称点B为点A的“t−相关点”，记作：B=[ω(A)]t.已知P0(x0,y0)(x0,y0∈Z)为平面上一个动点，平面上点列{P i}满足：P i=[ω(P i−1)]t，且点P i的坐标为(x i,y i)，其中i=1，2，3，…，n.给出以下判断，其中正确的是______①若点M为点A的“t−相关点”，则点A也为点M的“t−相关点”．②若点M为点A的“t−相关点”，点N也为点A的“t−相关点”，则点M为点N的“t−相关点”．③当t=3时，P0的相关点有8个，且这8个点可能在一个圆周上，也可能不在一个圆周上；④当t=3时，P0与P n重合，则n一定为偶数．16.若三角形面积和周长分别为S、L，其半径为r，则r=2SL；根据类比思想，若四面体体积和表面积分别为V、P，其内切球半径为R，则R=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(1)已知z1=1−2i，z2=3+4i，求满足1z =1z1+1z2的复数z．(2)已知z，ω为复数，(1+3i)−z为纯虚数，ω=z2+i，且|ω|=5√2.求复数ω．18.已知函数f(x)=ln x−kx有两个零点x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)求证：x1+x2>2e．19. 第七届国际数学教育大会的会徽的主体是由一连串直角三角形演变而成，其中OA =AB =BC =CD =DE =EF =FG =GH =HI =1，若将图2的直角三角形继续作下去，并记OA 、OB 、…、OI 、…的长度所构成的数列为{a n }.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列b n =1an+1+a n的前n 项和S n ，S n ．20. 已知函数f(x)=1x+a ，g(x)=bx 2+3x ．(1)设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)，且ℎ(1)=ℎ′(1)=0求a ，b 的值；(2)当a =2且b =4时，求函数φ(x)=g(x)f(x)的单调区间，并求该函数在区间(−2,m](−2<m ≤14)上的最大值．21.设函数f(x)=ae x −lnx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为−(1e+1)．(1)证明：f(x)有且只有一个零点．(2)当x∈(0,+∞)时，f(x)<kex恒成立，求整数k的最小值．22.已知曲线．(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵z =2+i1−i −i 5， ∴z =(2+i)(1+i)2−i =12+12i ，则z −=12−12i ， 则z ⋅z −=|z|2=12． 故选：D ．化简复数z ，再由z ⋅z −=|z|2求解．本题考查复数的共轭复数，虚数单位i 的幂运算的周期性，复数的四则运算，属于基础题．2.答案：A解析：解：f(x)=sinxcosx ，f′(x)=cos 2x −sin 2x ， ∴k =f′(π6)=12，故选：A ．根据导数的运算公式求出函数f(x)在x =π6处的导数，从而由几何意义求出切线的斜率． 本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．3.答案：D解析：本题主要考查了学生对导数的运算法则和公式的应用能力，并懂得从中找出规律，即求周期T ，在运算过程中要求运算的正确性．解：∵，∴由此可发现函数的表达式是以4为周期循环出现，即T=4，．故选D．4.答案：B解析：本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档．求导分析函数的单调性，比照后，可得答案．，解：∵函数f(x)=e x−1x∴f′(x)=(x−1)e x−1，x2故当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，故选：B．5.答案：B解析：本题考查了排列问题和分步乘法计数原理的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题．由于甲、乙两人必需不相邻，先排列其它5个人，共有A55种结果，出现6个空，从这6个空中选出2个空排上甲、乙即可写出结果．解：∵甲、乙两人必需不相邻，∴先排列其它5个人，共有A55种结果，再在五个人形成的6个空中选2个位置排列，共有A62种结果，∴不同的排法的种数是A55A62=3600．故选B．6.答案：D解析：试题分析：，由可得，当时，当时，所以是的极小值点考点：函数极值点点评：求函数的极值点主要是令导数为零解相应的x值，然后判定x值附近区间的单调性，从而确定是极大值还是极小值7.答案：D解析：当n=k到n=k+1时，左端式子为(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)，所以需要增加的式子为，选D．8.答案：C解析：解：当y=x+a与函数y=e x有公共点时，转化为x+a=e x有实数根，令f(x)=e x−(x+a)，则导函数f′(x)=e x−1，∴f′(x)>0时x>0，f′(x)<0时x<0，∴f(x)在x=0时取极小值f(0)=1−a，∴当y=x+a与函数y=e x有公共点时，1−a≤0，即a≥1，∴a的取值范围是[1,+∞)．故选：C．直线与函数的图象有公共点，可转化为方程有实数根，通过构造函数，判定函数有无零点即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性及对应方程根的问题，体现了导数在研究函数中的重要作用，是基础题．9.答案：C解析：解：若个位是0，则有A 42=12，若个位是2或4，则先排百位有3种，然后排十位有3共有2×3×3=18， 共12+18=30种， 故选：C ．根据个位数是0和2，4进行讨论计算即可．本题主要考查简单计数的计算，结合个位数是不是0进行分类讨论是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：命题p 是假命题，q 是真命题， 则p ∧q 为假，￢q 为假，p ∨q 为真， 故选：C ．分别判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，判断p ，q 的真假是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：∫c π0osxdx =sinx|0π=sinπ−sin0=0−0=0 故选：B根据微积分基本定理，计算即可本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．属于基础题．12.答案：C解析：本题考查了分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．对任意s ∈[−4,−2)，存在t ∈[−4,−2)，不等式f(s)−g(t)≥0成立，等价于：f(s)min ≥g(t)min .利用分段函数的性质可得f(s)min ，利用导数研究函数的单调性极值与最值可得g(t)min ． 解：对任意s ∈[−4,−2)，存在t ∈[−4,−2)，不等式f(s)−g(t)≥0成立，等价于：f(s)min ≥g(t)min ．定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=12f(x)，当x ∈[0,2]时，f(x)={12−2x,0≤x <1−21−|x−32|,1≤x <2,∴x ∈[0,2]，f(0)=12为最大值，f(32)=−2为最小值； ∵f(x +2)=12f(x)，∴f(x)=2f(x +2)， 当x ∈[−2,0]，f(−2)=2f(0)=2×12=1， 当x ∈[−4,−2]，f(−4)=2f(−2)=2×1=2， ∴∀s ∈[−4,2)，f(s)max =2， ∵f(x)=2f(x +2)，x ∈[−2,0]， ∴f(−12)=2f(32)=2×(−2)=−4， ∵x ∈[−4,−2]，∴f(−52)=2f(−12)=−8，∴∀s ∈[−4,2)，f(s)min =−8， ∵函数g(x)=x 3+3x 2+m ， ∴g ′(x)=3x 2+6x ，由3x 2+6x >0，解得x >0，或x <−2， 由3x 2+6x <0，解得−2<x <0，∴函数g(x)=x 3+3x 2+m ，在(−∞,−2)，(0,+∞)单调递增． 在(−2,0)单调递减，∴∀t ∈[−4,−2)，g(t)min =g(−4)=m −16， ∵不等式f(s)−g(t)≥0， ∴−8≥m −16， 故实数满足：m ≤8， 故选：C ．13.答案：−2i解析：解：2z −z=21+i−1−i=1−i−1−i=−2i，故答案为−2i．把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．本题考查复数代数形式的运算法则．14.答案：2019解析：解：函数f(x)=a n+1x3−a n x2−a n+2x+1(n∈N+)的导数为f′(x)=3a n+1x2−2a n x−a n+2，由x=1是f(x)=a n+1x3−a n x2−a n+2x的极值点，可得f′(1)=0，即3a n+1−2a n−a n+2=0，即有2(a n+1−a n)=a n+2−a n+1，设c n=a n+1−a n，可得2c n=c n+1，可得数列{c n}为首项为1，公比为2的等比数列，即有c n=2n−1，则a n=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+⋯+(a n−a n−1)=1+1+2+⋯+=2n−2=1+1−2n−11−2=2n−1，则b n=log2a n+1=n，∴1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则2020b1b2+2020b2b3+2020b3b4+⋯+2020b2020b2021=2020(1−12+12−13+13−14+⋯+12020−12021)=2020−20202021，∴[2020b1b2+2020b2b3+2020b3b4+⋯+2020b2020b2021]=[2020−20202021]=2019，故答案为：2019．求得f(x)的导数，可得f′(1)=0，即3a n+1−2a n−a n+2=0，结合构造等比数列，以及等比数列的定义和通项公式，对数的运算性质，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求值．本题考查导数的运用：求极值点，考查数列恒等式的运用，以及等比数列的通项公式和求和公式，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15.答案：①④解析：解：①由新定义和加法的交换律，即可知①正确；②可举点A(0,0)，M(1,2)，N(2,1)，则点M为点A的“3−相关点”，点N也为点A的“3−相关点”，但点M为点N的“2−相关点”，故②错；③当t=3时，P0的相关点有8个，比如P0(0,0)，则相关点有(1,2)，(1,−2)，(−1,2)，(−1,2)，(2,1)，(−2,1)，(2,−1)，(−2,−1)共8个，它们在一个圆周上，故③错；④当t=3时，P0与P n重合，若n为奇数，比如n=1，显然不成立；n=3，可举P0(0,0)，P1(1,2)，P2(4,2)，P3(0,0)，则点P1为点P0的“3−相关点”，点P2也为点P1的“3−相关点”，但点P3为点P2的“6−相关点”，故n一定为偶数，即④正确．故答案为：①④．①由新定义和加法的交换律，即可判断；②可举点A(0,0)，M(1,2)，N(2,1)，对照定义加以判断；③比如P0(0,0)，则列举出所有的相关点，并判断它们都在同一个圆周上；④从反面考虑，若n为奇数，比如n=1，显然不成立；n=3，可举P0(0,0)，P1(1,2)，P2(4,2)，P3(0,0)，由定义即可加以判断．本题考查新定义及理解运用，注意运用列举法，或从反面考虑，同时考查简单的合情推理，是一道中档题．16.答案：R=3VP；三角形是平面图形，二维解析：解：由已知三角形面积和周长分别为S、L，其半径为r，则r=2SL的，四面体是空间图形是三维的，三角形有三个边，四面体有四个面，三角形有面积，四面体有体积，则类比得：四面体体积和表面积分别为V、P，其内切球半径为R，则R=3VP故答案为R=3VP由类比推理的规则点类比线，线类比面，面类比体，由此类比规则求解本题即可本题考查类比推理，求解的关键是熟练掌握类比的规则以及平面与空间两种图形之间类比的对应的量．如：点类比线，线类比面，面类比体，17.答案：解：(1)由z 1=1−2i ，z 2=3+4i ，得1z =1z 1+1z 2=11−2i +13+4i =1+2i (1−2i)(1+2i)+3−4i(3+4i)(3−4i)=15+25i +325−425i =825+625i ， 则z =258+6i =25(8−6i)(8+6i)(8−6i)=2−32i ； (2)设z =a +bi(a,b ∈R)，∵(1+3i)⋅z =(1+3i)(a +bi)=a −3b +(3a +b)i 为纯虚数， ∴{a −3b =03a +b ≠0．又ω=z2+i =(a+bi)(2−i)(2+i)(2−i)=2a+b−(2b−a)i5=2a+b 5+2b−a 5i ，|ω|=5√2，∴√(2a+b 5)2+(2b−a 5)2=5√2．把a =3b 代入化为b 2=25，解得b =±5，∴a =±15． ∴ω=±(2×15+55+10−155i)=±(7−i)．解析：(1)把z 1，z 2代入1z =1z 1+1z 2，利用复数代数形式的乘除运算化简求出1z ，进一步求出z ；(2)设z =a +bi(a,b ∈R)，利用复数的运算及(1+3i)⋅z =(1+3i)(a +bi)=a −3b +(3a +b)i 为纯虚数，可得{a −3b =03a +b ≠0，又ω=z 2+i =2a+b 5+2b−a 5i ，|ω|=5√2，可得√(2a+b 5)2+(2b−a 5)2=5√2，即可得出a ，b ，再代入可得ω．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是中档题．18.答案：解：(1)函数f(x)=lnx −kx 有2个零点，即函数g(x)=xlnx 的图象与直线y =k 有2个交点， g′(x)=lnx +1，令g′(x)>0，解得：x >1e ， 令g′(x)<0，解得：0<x <1e ， ∴g(x)在(0,1e )递减，在(1e ,+∞)递增， x =1e 是极小值点，g(1e )=−1e ，又x →0时，g(x)→0，x →+∞时，g(x)→+∞，g(1)=0， g(x)的大致图象如图示：由图象得：−1e <k <0， (2)证明：不妨设x 1<x 2， 由(1)得：0<x 1<1e <x 2<1， 令ℎ(x)=g(x)−g(2e −x) =xlnx −(2e −x)ln(2e −x)， ℎ′(x)=ln[−(ex −1)2+1]， 当0<x <1e 时，ℎ′(x)<0， ℎ(x)在(0,1e )递减，ℎ(1e )=0，∴ℎ(x 1)>0，即g(x 1)>g(2e −x 1)，g(x 2)>g(2e −x 1)， x 2，2e −x 1∈(1e ,+∞)，g(x)在(1e ,+∞)递增， ∴x 2>2e −x 1， 故x 1+x 2>2e ．解析：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题． (1)问题转化为函数g(x)=xlnx 的图象与直线y =k 有2个交点，求出g(x)的单调性，画出函数图象，从而求出k 的范围即可；(2)设x 1<x 2，根据函数的单调性得到x 2，2e −x 1∈(1e ,+∞)，g(x)在(1e ,+∞)递增，从而证出结论即可．19.答案：解：(1)∵OA =AB =BC =CD =DE =EF =FG =GH =HI =1，∴a 22=a 12+1,a 32=a 22+1，…a n+12=a n 2+1，即数列{a n 2}是以1为首项，1为公差的等差数列，则a n 2=1+(n −1)=n ，即a n =√n ． (2)b n =1an+1+a n=n+1+n=√n +1−√n ，则S n =(√2−1)+(√3−√2)+⋯+√n +1−√n =√n +1−1．解析：(1)根据条件确定a n 满足的关系式，构造等差数列即可求数列{a n }的通项公式； (2)求出b n 的通项公式，利用分母有理化，进行求和．本题主要考查等差数列的判定和应用，以及利用分母有理化进行数列求和，考查学生的计算能力．20.答案：解：(1)函数ℎ(x)定义域为{x|x ≠−a}，…(1分)则ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)=−1(x+a)−2bx −3，…(3分) 因为{ℎ(1)=0ℎ′(1)=0.所以{11+a −b −3=0−1(1+a)2−2b −3=0.解得，{a =0b =−2或{a =−43b =−6.…(6分) (2)记φ(x)=g(x)f(x)，则φ(x)=(x +a)(bx 2+3x)(x ≠−a)，∵因为a =2，b =4，所以φ(x)=(x +2)(4x 2+3x)(x ≠−2)，…(7分) φ′(x)=12x 2+22x +6=2(2x +3)(3x +1)， 令φ′(x)=0，得x =−32，或x =−13，…(8分) 当x <−32，或x >−13时，φ′(x)>0， 当−32<x <−13时，φ′(x)<0，∴函数φ(x)的单调递增区间为(−∞,−2),(−2,−32),(−13,+∞)，单调递减区间为(−32,−13)，…(10分) ①当−2<m <−32时，φ(x)在(−2,m)上单调递增， ∴其最大值为φ(m)=4m 3+11m 2+6m ，…(12分)②当−32≤m ≤14时，φ(x)在(−2,−32)上单调递增，在(−32,−13)上单调递减，在(−13,m)上单调递增，而φ(−32)=φ(14)=94， ∴φ(x)的最大值为94.…(14分)解析：(1)先求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的导数，再利用ℎ(1)=ℎ′(1)=0建立关于a ，b 的方程组，即可求出a ，b 的值；(2)根据函数的单调性与导数的关系，令导数φ′(x)>0(或<0)，解不等式即可求出其单调递增区间和单调递减区间，从而求出其最大值．本题考查利用导数研究函数的单调性和闭区间上函数的最值问题，根据函数的导数求出函数的解析式是解题的关键，增加了题目的难度，考查运算能力和逆向思维能力，属中档题．21.答案：解：(1)证明：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=−a e x −1x ，则f′(1)=−a e −1=−(1e +1)，解得a =1，∴f′(x)=−1e x −1x <0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减， ∵f(1)=1e >0,f(e)=1e e −1<0， ∴f(x)有且只有一个零点；(2)当x =1时，f(1)=1e <ke ，由此可得k >1，； 当k =2时，下面证明f(x)<2ex 对x ∈(0,+∞)恒成立， 要证f(x)<2ex ，即证xe x <2e +xlnx ，令g(x)=xe ，则g′(x)=1−x e x，显然g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，故g(x)≤g(1)=1e ， 令ℎ(x)=2e +xlnx ，则ℎ′(x)=1+lnx ，显然ℎ(x)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增，故ℎ(x)≥ℎ(1e )=1e ， 从而g(x)≤ℎ(x)，又g(x)和ℎ(x)不在同一处取到最值，则g(x)<ℎ(x)， 故当x ∈(0,+∞)时，f(x)<2ex 恒成立，从而整数k 的最小值为2．解析：(1)求导可得f′(x)=−ae x −1x，由题意可解得a=1，进一步可得f(x)在(0,+∞)上单调递减，再结合零点存在性定理即可得证；(2)采用先猜再证的策略，由f(1)<ke 可得k>1，则猜想整数k的最小值为2，即证f(x)<2ex对x∈(0,+∞)恒成立，进一步转化为证明xe x <2e+xlnx，令g(x)=xe x，令ℎ(x)=2e+xlnx，只需g(x)max<ℎ(x)min，再利用导数分别求解即可验证猜想成立．本题涉及了函数的零点，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，最值以及不等式的恒成立等知识点，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：(1)，因为曲线C在点(0,1)处的切线为L：，所以且.解得，(2)法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x，，都有，即∀x，R，恒成立，令，①若a=0，则，所以实数b的取值范围是；②若，，由得，的情况如下：0+极小值所以的最小值为，所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x，，都有，即∀x，R，恒成立，令，则等价于∀，恒成立，令，则，由得，的情况如下：0+极小值所以的最小值为，实数b的取值范围是．解析：试题分析：(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时，由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，所以．。
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2020-2021学年辽宁省鞍山一中高二下期中理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数21i-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．12D ．12i 2．可导函数在闭区间的最大值必在（ ）取得 A ．极值点 B ．导数为0的点 C ．极值点或区间端点 D ．区间端点 3．下列推理过程利用的推理方法是（ ）①通过大量的试验得出抛硬币出现正面的概率为0.4；②函数2()||f x x x =+为偶函数 A ．演绎推理 归纳推理 B ．类比推理 演绎推理 C ．归纳推理 合情推理 D ．归纳推理 演绎推理 4．圆上有10个点，过每3个点都可画1个圆的内接三角形，则所有圆的内接三角形的个数为（ ）A ．120B ．240C ．360D ．7205．当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积S 与正方形的面积P 的大小关系为（ ）A ．S P <B ．S P >C ．S P =D ．,S P 的大小关系不定6．组合数C (1,)rn n r n r Z >∈、恒等于（ ） A ．1111r n r C n --++ B ．11(1)(1)r n n r C --++ C ．11r n nrC --D ．11r n n C r-- 7．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（ ）A ．若12||0z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12||||z z =，则1122z z z z =D ．若12||||z z =，则2212z z =8．若函数()ln f x x x a =-有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1[0,]e B ．1(0,)e C ．1(0,]eD ．1(,0)e-9．若函数()f x 的导函数在区间(,)a b 上的图象关于直线2a bx +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．①④B ．②④C ．③④D ．②③10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式,根据 3.14159π≈判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．3169d V ≈B ．32111d V ≈C ．3300157d V ≈D ．32d V ≈11．5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有（ ）种不同的站法A ．42B ．44C ．46D ．4812．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]二、填空题13．设3()f x x =，（,a b 是常数），则()f a bx -的导数等于 . 14．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为____________. 15．将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少一名，则不同的分配方案有 种.16．计算12323nn n n n C C C nC ++++可以采用以下方法：构造等式：0122(1)n nn n n n n C C x C x C x x ++++=+，两边对x 求导得：12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，在上式中令1x =得：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=，类比上述计算方法计算 12223223n n n n n C C C n C ++++= .17．已知函数2312()()af x a R x x x=++∈. （1）若1a =，求函数()f x 在1[4,]2--上的最值；（2）若0a ≥，求函数()f x 的极值点.三、解答题18．在二项式*(12)()nx n N -∈的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的二项式系数最大项；（2）若展开式的第二项大于第三项，求x 的取值范围. 19．设函数()1x f x e ax =--.（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求证：()0g a ≤. 20．已知数列{}n a 的通项公式为：1(1)n n a n n=+（e 为自然对数的底数）. （1）计算123,,a a a ，由此推测计算123n a a a a 的公式，并给出证明；（2）若nn a c n=，求证：2n c e <<. 21．等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 22．设()(1)axf x x e =+（其中0a ≠），曲线()y f x =在1x a=处有水平切线.（1）求a 的值；（2）设()()ln g x f x x x x =++，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，有1212|()()|2g x g x e e ---<+.参考答案1．A 【解析】试题分析：由题意得，22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，所以复数的虚部为1，故选A. 考点：复数的运算与复数的概念. 2．C 【解析】此题考查导数的应用，函数的极值点一定是导函数的零点，导函数的零点不一定是极值点；函数在闭区间上的最值有可能在闭区间的端点处取，有可能在函数的极值点取；求函数闭区间上的最值方法是：首先求出极值然后再把极值和区间的端点值比较，最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值，所以选C ； 3．D 【解析】试题分析：由题意得，①为归纳推理，在推理过程是由特殊到一般的推理过程；②为演绎推理，可利用三段论推理证得函数2()||f x x x =+为偶函数. 考点：合情推理与演绎推理. 4．A 【解析】试题分析：圆上10个点，任意3点都不共线，故从10个中任选3个都可以构成一个三角形，故一共可以画出三角形个数为310120C =，故选A.考点：组合及组合数的应用. 5．B 【解析】试题分析：设周长为c ，则正方形的边长为4c ，圆的半径为2c π，则圆的面积为22()24c c πππ⨯=，正方形的面积为24416c c c ⨯=，所以圆的面积S 与正方形的面积P 的大小关系为S P >.考点：正方形与圆的周长与面积公式.6．D 【详解】 由11!(1)!·!()!(1)![(1)(1)]!rr n n n n n n C C r n r r r n r r---===-----.7．D 【解析】试题分析：对于A 中，若12||0z z -=，则12120z z z z -=⇒=，所以12z z =是正确的；对于B 中，若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =是正确的；对于C 中，设111222,z a b i z a b i =+=+，若12||||z z ==，222211112222,z z a b z z a b =+=+，所以1122z z z z =是正确的；对于D 中，若121,z z i ==，则12||||z z =，而22121,1z z ==-，所以不正确，故选D.考点：复数的概念与运算. 8．D 【解析】试题分析：由题意得()ln 1f x x '=+，所以()f x 在1(0,)e 上单调递减；在1(,)e+∞上单调递增，所以当0x →时，()f x a →-；当x →+∞时，()f x →+∞，所以若使函数()ln f x x x a =-有两个零点，则11ln 0a e e -<且0a ->，解得10a e-<<，故选D.考点：利用导数研究函数的单调性及零点问题. 9．C 【解析】试题分析：因为函数()y f x =的导函数在区间(),a b 上的图象关于直线2a bx +=对称，即导函数要么无增减性，要么在直线2a bx +=两侧单调性相反；对于①，由图得，在a 处切线的斜率最小，在b 处的切线的斜率最大，故导函数图象不关于2a bx +=对称，所以不正确；对于②，由图得，在a 处切线的斜率最大，在b 处的切线的斜率最小，故导函数图象不关于2a bx +=对称，所以不正确；对于③，由图得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数的图象关于2a bx +=对称，所以正确；对于④，由图得，原函数有一对称中心，在直线2a b x +=与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线2a bx +=对称，所以正确，故选C ．考点：导数与函数的关系及函数的对称性的判定.【方法点晴】本题主要考查了函数单调性与其导函数之间的关系、函数图象的对称性的判定与证明，解答此类题目，要注意运用课本定义的灵活运用，是对课本知识的深化和探究，属于中档试题，同时也是易错题，本题的解答中因为函数()y f x =的导函数在区间(),a b 上的图象关于直线2a b x +=对称，即导函数要么无增减性，要么在直线2a bx +=两侧单调性相反，从而根据图象得到结论. 10．B 【分析】利用球体的体积公式得333443326d d V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，得出d 的表达式，再将π的近似值代入可得出d 的最精确的表达式. 【详解】由球体的体积公式得333443326d dV R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，36V d π=，6 1.9099π≈，16 1.77789≈，21 1.909111≈，300 1.9082157≈，2111与6π最为接近，故选C.【点睛】本题考查球体的体积公式，解题的关键在于理解题中定义，考查分析问题和理解问题的能力，属于中等题． 11．B 【解析】试题分析：由题意的，设五人分别为,,,,A B C D E ，重新站队时，可从A 开始，其中A 有144C =种不同的选择，比如A 占据了B 的位置，可再由B 选取位置，可分为类，一类：B 占据了A 的位置，则后面的重站，共有2种站法；若B 没有占据A 的位置，则B 有133C =种站法，后面的重站，共有3种站法，所以共有14(233)44C ⨯+⨯=种不同的站法，故选B. 考点：排列、组合的应用.【方法点晴】本题主要考查了以站队问题的排列、组合问题的应用，着重考查了分析问题、解答问题的能力和分类讨论思想方法的应用，有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中，可先设五人分别为,,,,A B C D E ，从可从A 开始，其中A 有144C =种不同的选择，再利用A 所占的位置，决定另一个人的选择，体现了处理排列组合的一种方法. 12．B 【解析】分析：根据题意求得函数()f x 的解析式，进而得到()()'f x f x 的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由()()'2xf x f x xe -+=，得()()'2xxe f x e f x x +=，∴()'2x e f x x ⎡⎤=⎣⎦， 设()2xe f x x c =+（c 为常数），∵()01f =， ∴1c =，∴()21xx f x e+=， ∴()()22221(1)x xxxxe x e x f x e e ---==-'， ∴()()222'(1)2111f x x x f x x x -=-=-+++， ∴当x=0时，()()'1f x f x =-；当0x ≠时，()()'211f x f x x x=-++， 故当0x >时，12x x+≥，当1x =时等号成立，此时21101x x -<-+≤+； 当0x <时，12x x+≤-，当1x =-时等号成立，此时22111x x-≤-+<-+． 综上可得22101x x-≤-+≤+， 即函数()()'f x f x 的取值范围为[]2,0-．故选B ．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数()f x 的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立． 13．23()b a bx -- 【解析】试题分析：由3()f x x =，则3()()f a bx a bx -=-，所以22()3()()3()f a bx a bx a bx b a bx ''-=-⋅-=--.考点：导数的运算. 14．4 【分析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为 0，曲线3y x =与直线4y x =在第一象限所围成饿图形的面积是23242001(4)(2)|8444x x dx x x -=-=-=⎰，即围成的封闭图形的面积为 4．考点：利用定积分求解曲边形的面积. 15．150 【解析】试题分析：将5名实习教师分配到高二年级的三个班中实习，每班至少1名，有两种情况：（1）将5名实习教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种分组方法，再将三组分到3个班级中，共有331590A ⨯=种不同的分配方案；（2）将5名实习教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，有3115222210C C C A =种分组方法，再将三组分到3个班级中，共有331060A ⨯=种不同的分配方案，所以共有9060150+=种不同的分配方案.考点：排列组合的应用.【方法点晴】本题主要考查了排列、组合的综合应用，解答时要注意根据题意要求，合理分类讨论，其次要正确运用分组公式，作出合理分组，着重考查了分析问题和解答问题的能力和分类讨论的思想方法，属于中档试题，本题的解答中先将5名实习教师分成三组，可分为一组1人，另两组都是2人或一组3人，另两组都是1人，根据组合的公式，正确分组是解答问题的关键. 16．2(1)2n n n -+【解析】试题分析：由题意得，构造等式：12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+，两边同乘x ，得12233123(1)n nn n n n n C x C x C x nC x n x x -++++=⋅⋅+，再两边对x 求导，得到122232211223(1)(1)(1)n n n n n n n n C C x C x n C x n x n n x x ---++++=++-⋅+，在上式中，令1x =，得12223223nn n n n C C C n C ++++=2(1)2n n n -+.考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查了二项式定理的应用，是道好题，解答问题的关键在于对122n n C C x ++323nC x +11(1)n n n n nC x n x --+=+，两边同乘以x 整理后在对x 求导，要使分析到这一点，此类问题将大大增加了难度，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和推理、运算能力，试题有一定的难度，属于难题.17．（1）最大值为0，最小值为2-；（2）当0a =时，有一个极值点4x =-，当403a <<时，有两个极值点243x a =-±-，当43a ≥时，()g x 没有极值点. 【解析】试题分析：（1）求导函数，即可判断'4(1)(3)()x x f x x++=-，得到函数的单调性，即可求出函数的最值；（2）求2'423()x x a g x x++=-，令2230x x a ++=，从而得到1612a ∆=-，进而分类讨论可得函数的极值点，得出结论. 试题解析：（1）∵12323121()2f x x x x x x x---=++=++， ∴2'2342334414443(1)(3)()43()x x x x f x x x x x x x x x---++++=---=-++=-=- 令'()0f x =，得3x =-或1x =-，令'()0f x >，得31x -<<-， 令'()0f x <，得3x <-或1x >-且0x ≠ 随x 的变化，'()f x ，()f x 的变化情况如下：∴'()f x 在1[4,]2--的最大值为0，最小值为-2.（2）2'423()x x ag x x++=-，令2230x x a ++=，则1612a ∆=-， ①当0∆≤，即43a ≥时，'()0g x ≤，故()g x 没有极值点；②当0∆>，即403a <<时，12x =-220x =-<，减区间为1(,)x -∞，2(,0)x ；增区间为12(,)x x ，故有两个极值点12,x x . ③当0a =时，212()g x x x =+，'34()x g x x+=-，减区间为(,4)-∞-，增区间为(4,0)-，故有一个极值点4x =-.当403a <<时，()g x 有两个极值点2x =- 当43a ≥时，()g x 没有极值点. 考点：利用导数求闭区间函数的最值；利用导数研究函数的极值. 18．（1）41120x ；（2）1{|0}7x x -<<. 【解析】试题分析：（1）根据二项展开式中，偶数项的和为12n -，即可求解n 的值；（2）利用二项式的通项，求出第第二项大于第三项，列出不等式，即可求解x 的取值范围. 试题解析：（1）由题意可得：12128n -=，∴8n =∴8(12)x -展开式二项式系数最大项为第5项，44458(2)1120T C x x =-=， （2）因为128(2)T C x =-，2238(2)T C x =-，∴23T T >的解集为1{|0}7x x -<<. 考点：二项式定理的应用. 19．（1）0a ≤；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，由函数()f x 在R 上单调递增，可得其导函数大于等于0恒成立，由此可求出a 的取值范围；（2）由导数求出函数()f x 的最小值()ln 1g a a a a =--，然后利用导数求出函数()g a 的最大值，即可得到答案.试题解析：（1）∵()1x f x e ax =--在R 上为单调递增函数，∴'()0xf x e a =-≥恒成立∴min ()xa e ≤，∴0a ≤（2）∵'()x f x e a =-，0a >，∴'()0f x =，得ln x a =， 当ln x a >时，'()0f x >，()f x 递增， 当ln x a <时，'()0f x <，()f x 递减， ∴ln x a =时，min ()()ln 1f x g a a a a ==--，求()g a 在0a >时的最大值，可知当1a =时()g a 取最大值0， ∴()0g a ≤.考点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值. 20．（1）2123(1)n a a a a n =+；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数列通项公式，分别令1n =，2n =，3n =，求解出123,,a a a 的值，进而得到129a a =，12364a a a =，1234625a a a a =的值，据此可猜测123n a a a a 的表达式，利用数学归纳法证明；（2）可以构造二项式，利用分析法证明. 试题解析：当1n =时，12a =；当2n =时，292a =；当3n =时，3649a = (4625)64a = ∴129a a =，12364a a a =，1234625a a a a =，… 猜想2123(1)n a a a a n =+，*()n N ∈用数学归纳法证明（略）（2）2n c <，用二项展开式证明，将1(1)n n+二项展开取前两项得证 欲证n c e <，只需证1ln(1)1n n +<，只要证11ln(1)n n+<，由ln 1x x ≤-可得 考点：数学归纳法.21．（Ⅰ）21(n n a n S n n =-=；（Ⅱ）见解析. 【详解】（Ⅰ）由已知得111{339a a d =+=+，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得nn S b n n== 假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r +=．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，20{20q pr q p r -=∴--=，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列． 22．（1）2a =-；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用导数的运算法则可得()f x '，由于曲线()y f x =在1x a=处有水平切线，可得1()0f a'=，即可求解a 的值；（2）若对任意12,(0,1)x x ∈，有1212|()()|2g x g x e e ---<+，则只需max min ()()g x g x -小于122e e --+，令()()()g x h x k x =+，可得()g x '在(0,1)上的单调性，可求解1min ()1g x e ->-，2max ()12g x e -<+，即可作出证明.试题解析：（1）对()f x 求导得：'()(1)axf x ax a e =++，由题意知'1()(2)0f a e a=+=， 解得：2a =-.（2）若对任意12,(0,1)x x ∈，有1212|()()|2g x g x e e ---<+，则只需max min ()()g x g x -小于122e e --+，令()()()g x h x k x =+，其中2()(1)xh x x e-=+，()ln k x x x =，(0,1)x ∈，当(0,1)x ∈时，通过求导，求最值得2()(1)xh x x e -=+的取值范围21()12h x e -<<+，当(0,1)x ∈时，通过求导，求最值得()ln k x x x =的取值范围1()0ek x --<<，∴12()()()(1,12)g x h x k x e e --=+∈-+，∴1min ()1g x e ->-，2max ()12g x e -<+， ∴12max min ()()2g x g x e e ---<+.考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程；利用导数求解曲线上的最值；【方法点晴】本题主要考查了导数研究曲线上某点处的切线方程、利用导数求解曲线上的最值及恒成立问题的等价转化，着重考查了学生的推理与运算能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于难度，本题的解答的关键在于若对任意12,(0,1)x x ∈，有1212|()()|2g x g x e e ---<+，转化为max min ()()g x g x -<122e e --+，通过构造新函数，利用最值求解.。