狄拉克函数

H (x) 1
阶跃函数的定义为
H
(x)
0, 1,
x0 x0
0
x
(x) H(x)
证明：设 f (x)是任意的连续函数，则
f (x)H (x)dx
f (x) dH (x) dx
f (x)dH (x)
dx
f (x)H (x)
f (x)H (x)dx
f
() 0
f
( x)dx
f
()
f (x) (x x0)dx f (x0)
—将 (x x0 )乘上 f (x)进行积分，其值为将 f (x)的 x换为 x0或
者说： 函数具有挑选性（把 f (x)在 x x0的值挑选出来）
证明：设 是任意小的正数，则由于 (x x0 )在 x x0时为零，
所以
f (x) (x x0 )dx
x0 x0
f (x) (x x0)dx
由积分中值定理有：
f (x) (x x0 )dx
f ( )
x0 x0
(
x
x0
)dx
(x0 x0 )
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f (x) (x x0 )dx
f ( )
x0 x0
(
x
x0
)dx
(x0 x0 )
当 0时， x0，连续函数 f ( ) f (x0)，且
2
(x) 1 eikxdk
2
欧拉公式
1
{
cos kxdk i
sin kxdk}
2
1
cos kxdk lim
1
n
cos kxdk
2
n 2 n
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3.
(
x)
lim
u
sin
2 (ux) x2u
——根限形式
证明：（1）当 x 0时,令v xu，且有lim sin v 1 v0 v
x (x) f (x)dx
xf (x) (x 0)dx [xf (x)]x0 0
连续函数 f (x)的任意性得
x (x) 0
另一种证法：由性质 3 中令 f (x) x，则
x (x x0 ) x0 (x x0 ) 令 x0 0，则 x (x) 0
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性质 5：若(x)为连续函数，且(x) 0只有单根
证明： (x)的对 x求导的，考虑到 (x)是偶函数，
所以 (x) d (x) d (x) (x)
d ( x)
dx
2 x (x) (x)
证明：用 f (x)乘上式左边后对 x从 到积分，得
函数
f (x)x (x)dx
d
[xf (x)]
f (0) f (x)[ (x)]dx
分下限(xk ) (xk )，积分变为
Ck
1
(xk )
(xk ) [(x)]d(x) 1
( xk )
(xk )
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综上所述：Ck
1
(xk )
，
(x)
N
Ck (x
k 1
xk )
[(x)] N (x xk )
k1 (xk )
说明：若(x)有重根，则上式不成立。例如(x) x2 有重根
第八章 狄拉克 函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到狄拉克函数（单 位脉冲函数）。因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如 在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用 后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作 用后的运动情况等。 研究此类问题就会产生我们要介 绍的狄拉克函数。下面我们将从物理实例出发引入狄 拉克函数，并介绍函数的基本知识。
x2u
(ux)2
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4. (x) lim n enx2 n
5.
(
x)
lim
0
(
x2
2
)
6.
(x)
lim
n
1
(1
n nx2
)
说明：因为 函数并不是给出普通的数值之间的对应关系，
所以 函数也不象普通的函数那样具有唯一确定的表达式。
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7 用阶跃函数的导数表示
xk (k 1, 2
N ),则 [(x)] N (x xk ) k1 (xk )
证明：由一维 函数的定义可得
(x)
0, ,
当(x) 0,即x xk 当(x) 0,即x xk
,
k
1, 2,
,N
通过上式可得 (x)的函数曲线是有 N 个峰值的曲线，因此可
N
将 (x)展开为 (x) Ck (x xk ) k 1
导数定义
dx
x0
x (x)与 (x)在积分号下对任意连续函数 f (x)的运算性
质相同 x (x)= (x)
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六、三维 函数
1.定义： 3(r ) (x) ( y) (z)
3(r )
0
(r 0) (r 0)
3(r )d3r
(x)dx
( y)dy
令 f (x) (x x)，代入（2）式：
c(k) (x x)eikxdx eikx
（3）
（3）式代入（1）式： f (x) (x x) 1 eik(xx)dk
2
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2.
(x) lim 1
n
cos kxdk
n 2 n
——极限形式
证明：在 (x x) 1 eik(xx)dk 中，令 x, 0，则
当l 0时，电荷分布可看作位于 x x0的单位点电荷。此时
(x)
0
(x x0 ) (x x0 )
(3)
(x)dx 1
（4）
把定义在区间(, )上，满足上述这两个要求的函数称为
函数，并记作 (x x0 )，即
(x x0)
0
(x x0 ) (x x0 )
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3(r r) n*(r)n (r ) n1
(
x)Байду номын сангаас
f
(
x0
)
(
x
x0
)dx
证明：当 x x0时，等式两边均为零
当 x x0时，等式两边均为 f (x0 ) (x x0 )
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性质 4. x (x) 0
f ( x ) ( x x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 )
证明：对任意的连续函数 f (x)，均有：
b
a (x x0 )dx
1 0
(a x0 b) (a x0,b x0 )
引入 函数后，位于 x0处、电量为q的点电荷的线电荷密度为： (x) q (x x0)。位于坐标原点，质量为 m 的质点的质量线 密度为： (x) m (x 0) m (x)
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说明：
( xk )
Ck
1
(xk )
(xk ) [(x)]d(x)
( xk )
（1） 当(xk ) 0时，在区间xk , xk 中，积分上限大于积
分下限(xk ) (xk )，积分变为
Ck
1
(xk )
(xk ) [(x)]d(x) 1
( xk )
(xk )
（2） 当(xk ) 0时，在区间xk , xk 中，积分上限小于积
x0 x0
(
x
x0
)dx
1
所以
f (x) (x x0)dx
f (x0 )
特别地： x0
0时，
f (x) (x)dx
f (0)
说明：
f
(x) (x
x0 )dx
f
( x0 ) 也可作为δ函数的定义，即
δ函数可以通过它在积分号下对任一连续函数 f (x)的运算
性质来定义。
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性质 2.（对称性）： (x x0 ) (x0 x) 函数是偶函数
证明：设 f (x)为定义在( )的连续函数，则
x0 x
f (x) (x0 x)dx f (x0 ) ( )(d )
f (x0 ) ( )d f (x0 ) f (x) (x x0)dx
(z)dz 1
2. 3(r )的傅里叶积分：
3 (r
)
1
(2
)3
eik r
d 3k
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3.用拉普拉斯算符表示： 3(r ) 1 2 1 4 r
证明：（1）r 0时， 1 、 1 2 1
r
4 r
（2）r 0时，将球坐标系下的2代入，保留对 r 求偏导的算
符
1
4
2
1 r
x0 )dx
(1)n
f
(n) (x0 )
成立，则 (n) (x x0 )称为 (x x0 )函数的 n 阶导数，并记作：
(n) (x
x0 )
dn dxn
(x
x0 )
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f( x )( x x 0 ) d x f( x 0 )
五、 函数导数的性质 1 (x)是奇函数： (x) (x)
lim
v0
sin
2 (ux) x2u
lim u [lim sin(xu)]2
u x0 xu
lim u
u
（2）当 x 为不等于 0 的常数时：
lim
u
sin2 (ux)
x2u
lim
u
1 x2u
0
（3）在 (, ) 区间的积分值：
sin2 (ux)dx 1 sin2 (ux)d (ux) 1
现在的问题归结为求展开系数Ck ，现在区间xm , xm 对上式