Diracδ函数及其性质

由此得出推论： xδ(x)=0 和
d x δ ( x) = −δ ( x) dx
∫ δ (a − x)δ ( x − b)dx = δ (a − b)
4°复合函数形式的δ函数 °复合函数形式的 函数 函数——δ[h(x)]
设方程h(x)=0有n个实数根x1，x2，…，xn，则在任 意实根xi附近足够小的邻域内有： h(x)= h'(xi)( x-xi) 其中h'(xi)是h(x)在x=xi处的一阶导数。 如果h' (xi)≠0，则在xi附近可以写出： δ[h(x)]=δ[h'(xi)( x-xi)]=
M M
Q Q
激光脉冲及 其它小光源
I
早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一 个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强 质点、 质点 点电荷、 的电脉冲等 的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这种物理量的 数学符号被称之为‘冲击脉冲符号’。 1947 年 ， 英 国 物 理 学 家 P.A.M.Dirac 在 他 的 著 作 《Principle of Quantum Mechanics》中正式引入δ(x)， 并称它为‘奇异函数’或‘广义函数’。 δ(x)函数之所以被称为‘奇异函数 奇异函数’或‘广义函数 广义函数’， 奇异函数 广义函数 原因在于： 一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一 种极限状态，而且它的极限也和普通函数不同，不是 收敛到定值，而是收敛到无穷大； 二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算， 它对别的函数的作用只能通过积分来确定。
x2 1 lim G ( x) = lim[ exp(− 2 )] = ∞ σ →0 σ →0 2σ 2π σ
而当x≠0，σ→0时，
1 x2 lim G ( x) = lim[ exp(− 2 )] = 0 σ →0 σ →0 2σ 2π σ
由公式(5)得：
∫
∞
− ∞ σ →0
lim G ( x)dx = lim ∫ G ( x)dx = 1
根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(xa)对x的导数可以表示Dirac δ(x)函数，即式(10)成立。
3°Dirac函数的性质 ° 函数的性质
性质1)、积分性质：δ函数的定义式： 性质 、 积分性质
∫
∞
−∞
δ ( x ± x0 )dx = 1
即表明了δ函数的积分性质，这个积分也可称之为δ 由此得出推论： 函数的‘强度’。
一、 Dirac δ函数 函数
1°Diracδ函数的定义 ° 函数的定义 2°Diracδ函数可以用一些连续函数的 ° 函数可以用一些连续函数的 序列极限来表示 3°Dirac δ函数的性质 ° 函数的性质 4°复合函数形式的 函数—— °复合函数形式的Diracδ函数 函数 δ[h(x)] 5°二维 °二维Diracδ函数 函数
G ( x) = 1 x2 exp( − 2 ) 2σ 2π σ
(4)
该函数具有如下的性质：
∫ ∫
∞
−∞ ∞
G ( x )dx = 1 x G ( x )dx = σ
2 2
(5)
−∞
当σ→0时，G(x)就趋向于δ(x)，即：
1 x2 δ ( x) = lim G ( x) = lim[ exp(− 2 )] σ →0 σ →0 2σ 2π σ
sin 2 αx sin 2 αx lim 根据上述讨论可知，函数 的极限 α →∞ 2 παx 2 παx
可以表示Diracδ(x)函数，即式(8)成立。
sin 2 αx δ ( x) = lim α → ∞ παx 2
(8)
4)、阶跃函数的导数也可以表示Dirac δ(x)函数。 根据第一次课所讲的内容可知，阶跃函数step(x) 也称为Heaviside函数，也可以用H(x)表示，其定 义如下：
2
5°二维函数δ函数 °二维函数 函数 *1、直角坐标系的情况 二维δ函数表示为δ(x, y)，它是位于xy平面坐标原 点处的一个单位脉冲。 二维δ函数是可分离变量函数，即有： δ(x, y)= δ(x)·δ(y) 二维δ函数的性质以及其证明过程与一维δ函数的 δ δ 情形相同。 *2、极坐标系的情况 δ(x，y) → δ(r，θ) ，必须要保证： 1)、脉冲位置相同； 2)、二者强度(即曲面下‘体积’)相同。 只有这样，坐标变换才是等价的。
δ ( x − xi )
| h ' ( xi ) |
若h' (xi)在n个实根处皆不为零，则有：
δ [h( x)] = ∑
i =1
n
δ ( x − xi )
| h' ( xi ) |
h' (xi)≠0
上式表明，δ[h(x)]是由n个脉冲构成的脉冲系列，各 个脉冲位置由方程h(x)=0的n个实根确定，各脉冲的 强度则由系数| h' (xi)|-1来确定。 推论：
1，x > a H ( x − a ) = 0，x < a 1 ，x = a 2
(9)
函数H(x-a)对x的导数也满足δ(x)的条件，即：
d δ ( x) = H ( x − a ) dx
(10)
证明： 很容易看出，当x≠a时，
∆H dH = =0 ∆x → 0 ∆ x dx lim
几个二维δ函数在两种坐标系中的位置关系
直角坐标系(x，y) δ(x，y) δ(x-x0，y) δ(x，y-y0) δ(x+x0，y) δ(x，y+y0) δ(x-x0，y-y0)
r0 = x + y
2 0 2 0
极坐标系(r，θ) δ(r)
π δ ( r − y 0 ,θ − )
2
δ(r-x0，θ)
(6)
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0，x ≠ 0 δ ( x) = ∞，x = 0
∫
∞
(1)
−∞
δ ( x)dx = 1
0，x − a ≠ 0 δ ( x − a) = ∞，x − a = 0
(3)
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
证明： 由(4)式可以看出，当x=0，σ→0时，
1 [δ ( x − a ) + δ ( x + a )](a > 0) 2a 1 δ [( x − a)( x − b)] = [δ ( x − a ) + δ ( x − b)](a ≠ b) | a −b|
δ (x 2 − a 2 ) =
| x | δ ( x ) = δ ( x) 1 ∞ δ [sin(πx )] = ∑ δ ( x − n) π n =−∞
sin 2 αx δ ( x) = lim α → ∞ παx 2
(8)
证明： 当x=0时，
sin 2 αx α sin αx 2 α lim [ ] = lim [ ] = lim = ∞ α → ∞ παx 2 α →∞ π α →∞ π αx
当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着 |αx|的增加而减小。所以： 当α→∞时，sin(αx)/(αx)→0 于是有：
δ(x，y)曲面下的体积为：
δ (r ) 而 曲面下的体积为： πr
∫∫
∞
−∞
δ ( x, y )dxdy = 1
π∫ ∫
0
1
∞
2π
而当x=a时，
∆H dH lim = =∞ ∆x → 0 ∆x dx
d f ( x)[ H ( x − a )]dx dx
∞ −∞
利用分步法计算积分，有：
∫
∞
−∞
= H ( x − a ) f ( x) |
∞ a
− ∫ H ( x − a ) f ' ( x)dx
−∞
∞
= f (∞) − ∫ f ' ( x)dx = f (∞) − f ( x) | ∞ = f (a ) a
(7)
证明：当x=0时，
sin αx α sin αx α lim[ ] = lim [ ] = lim = ∞ α →∞ α →∞ π α →∞ π πx αx
当x≠0时，sin(αx)/(αx) 以周期2π/α振荡，振幅随着 |αx|的增加而减小。
sin α x →0 所以，当α→∞时， αx
于是有：
3π δ ( r − y 0 ,θ − ) 2 δ (r − r0 ,θ − θ 0 )
δ(r-x0，θ-π)
θ 0 = arctan(
表1
y0 ) x0
考虑到脉冲强度的对应关系，下面给出两个二维δ函 数坐标变换的例子：
1 例1)、 δ ( x, y ) = δ (r ) πr 证明： 显然，δ(x，y)和δ(r)的位置相同。
σ →0 − ∞
∞
所以由公式(6)所定义的函数满足δ(x)函数的条件(1)式。 可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示δ(x)函数。
2)、函数
sin αx πx
lim 的极限 α →∞
其中α>0。
sin αx δ ( x ) = lim α →∞ πx
sin αx πx 也满足δ(x)函数的条件：
α sin αx 2 α sin 2 αx sin αx 2 lim[ ] = lim [ ] = lim lim[ ] =0 2 α → ∞ παx α →∞ π α →∞ π α →∞ αx αx
查找定积分表可得到：
sin 2 x ∫−∞ x 2 dx = π
∞
于是有：
2 2 ∞ sin αx ∞ sin (αx ) sin 2 αx 1 ∫−∞ αlim παx 2 dx = αlim ∫−∞ παx 2 dx = π αlim ∫−∞ (αx) 2 d (αx) = 1 →∞ →∞ →∞ ∞
∫
∞
−∞
δ ( x)dx = 1
性质2)、筛选性质 性质 、筛选性质：式(2)表明了δ函数的筛选性质。 而式(3)中的 则是其推论。
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x)dx = f (0)
(2)
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
性质3)、坐标缩放性质 性质 、坐标缩放性质，设a为常数，且不为零， 则有： δ ( x) δ (ax) = (a ≠ 0)
其中a为任意常数。 因此用δ(x-a)乘x的函数，并对所有x积分的过程， 等效于用a代替x的过程。 在光学里，δ(x)函数常常用来表示位于坐标原点 的具有单位光功率的点光源 点光源，由于点光源所占面积趋 点光源 近于零，所以在x=0点功率密度趋近于无穷大。
2°δ(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示 ° 可以用一些连续函数的序列极限来表示 1)、归一化的Gauss分布函数G(x)：
∫
成立。
∞
−∞
f ( x)δ ( x)dx = f (0)
(2)
f(x)是定义在区间(-∞，∞)上的连续函数。
*定义的另外形式： 在(1)和(2)中变换原点，得到：
δ ( x − a) =
0，x − a ≠ 0 ∞，x − a = 0
(3)
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
根据上述讨论可知，函数
sin αx πx
lim 的极限 α →∞
sin αx πx
满足δ(x)函数的条件，可以表示Dirac δ(x)函数，即 (7)式成立。
sin 2 αx sin 2 αx 3)、函数 也满足δ(x)函数的条 2 的极限 lim α → ∞ παx 2 παx
件，即：
其中α>0。
lim[
α →∞
α sin αx sin αx ] = lim [ ]=0 α →∞ π πx αx
当α>0时，查找定积分表可得到：
sin αx ∫−∞ x dx = π
∞
所以有：
∞ sin αx sin αx ∫−∞ αlim πx dx = αlim ∫−∞ πx dx = 1 →∞ →∞ ∞
1°Dirac δ 函数的定义 ° 对于自变量为一维的δ函数 函数-——δ(x)来说，它满足 函数 下列条件： 0，x ≠ 0 δ ( x) = ∞，x = 0 (1) ∞ ∫ δ ( x)dx = 1
−∞
这表明，δ(x)函数在x≠0点处处为零，在x=0点出现无穷 大极值，x=0点又称为奇异点。 但是，尽管δ(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1， 即对应着δ函数的‘面积’或‘强度’等于1，所以δ(x) 又叫做单位脉冲函数 单位脉冲函数。 单位脉冲函数 很显然，等式：
|a|
推论1： δ(-x)=δ(x) 说明δ函数具有偶对称性。 推论2：
x δ ( ) =| a | δ ( x)(a ≠ 0) a
性质4)、 函数的乘法性质 函数的乘法性质：如果f(x)在x0点连续， 性质 、δ函数的乘法性质 则有：
f ( x)δ ( x − x0 ) = δ ( x − x0 ) f ( x0 )