高中数学：幂函数的概念、图象和性质

高中数学：幂函数的概念、图象和性质

1、幂函数的概念

一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合。

例1、已知幂函数，且当时为减函数。求幂函数的解析式。

分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。

解答：由于为幂函数，

所以，解得，或。

当时，，在上为减函数；

当时，，在上为常函数，不合题意，舍去。

故所求幂函数的解析式为。

2、幂函数的图象和性质

图象：

定

义域值域奇

偶性奇偶奇

非奇非

偶

奇

单

调性上增

上减，

上增

上增上增

，

上分别减

定

点

，

（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；

（2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数；

（3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴；

（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。

例2、比较，，的大小。

分析：先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。

解答：

而在上单调递增，且，

。故。

例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。

分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。

函数是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在和

上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以通过对

的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。

解答：由于，所以函数的图象是由幂

函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。

其单调递减区间是和，而函数在区间上是递减函数，所以应有。

例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象

上，定义，试求函数的最大值及其单调区间。分析：首先根据幂函数的定义求出，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。

解答：设，因为点在的图象上，所以，所以，即；

又设，点在的图象上，所以，所以，即。

在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有

。

根据图象可知函数的最大值等于，其单调递增区间是（，－1）和（0，1）；单调递减区间是和。

例5、已知幂函数是偶函数，且在上是减函

数，求函数的解析式，并讨论的奇偶性。

分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论的奇偶性时要注意对字母的讨论。

解答：由在上是减函数得，。

∵，0，1。

又因为是偶函数，∴只有当时符合题意，故。

于是，。

当且时，为非奇非偶函数；

当且时，为奇函数；

当且时，为偶函数；

当且时，为既奇又偶函数。

例6、已知幂函数在上是增函数，且在定义域上是偶函数。

（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；

（2）对于（1）中求得的函数，设函数

。问是否存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。

分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。

解答：（1）∵幂函数在上是增函数，

∴∴

又，∴

∵在定义域上是偶函数，∴只有当时符合题意，故。（2）由，则。

假设存在实数，使得满足题设条件。令，则

。

∵在上是减函数，∴当时，；当时，。

若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则

在上是减函数，且在上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是即，

∴。

故存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数。