(完整版)幂函数的图像与性质(2)
(word完整版)幂函数的性质
教学过程： 一、幂函数1．幂函数的定义⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像⑵归纳幂函数的性质：① 当0α>时:ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。
ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。
ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。
21x1-=x② 当0α<时：ⅰ)图象都过()1,1点。
ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。
思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？ 例题讲解：例1 写出下列函数的定义域和奇偶性(1)4y x = (2）14y x = （3）3y x -= （4）2y x -=例2 比较下列各组中两个值的大小： （1）11662,3 ；（2)4314.3-与43-π;（3）35)88.0(-与53(0.89)-．思考：.比较下列各数的大小：(1)2333441.1,1.4,1.1； (2) 3338420.16,0.5,6.25.--例3 已知函数()()2212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？例4 已知函数画出23y x -=的大致图象。
⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23y x -=的大致图象。
二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念对于函数y=f（x)，我们把使f(x）=0的实数x叫做函数y=f(x）的零点(zero point）。
方程f（x）=0有实数根函数y=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f(x）有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:如果函数y=f（x)在区间［a，b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a）·f(b)〈0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b)内有零点.即存在c∈（a,b)，使得f（c ）=0，这个c也就是方程f(x）=0的根。
幂函数的性质与图像ⅠⅡ
(3 2m) ，求m的取值范围．
4．幂函数f ( x)的图像经过点 ( 2， 2)， 1 点(2， )在幂函数g ( x)的图像上． 4 (1)求f ( x)、g ( x)的解析式；
(2) x为何值时，f ( x) g ( x) ? x为何值时，f ( x) g ( x) ?
2
4 3
(3) y x
1 3
(4) y x
1 2
1
-4
-1
A
B
C
D
探究：幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点 (1,1) (2) 如果α＞０，
打开几何
在 区间[0,+∞)上是 增函数
如果a＜０， 在区间(0,+∞)上是 减函数 (3) 当α为奇数时， 幂函数为 奇函数 当α为偶数时，
幂函数为 偶函数；
a c
2
b
d
2．函数y x 的图像如右图， m、n N且互质，则m、n满足( A ) ( A)m为奇数，n为偶数且m n
-4 -2
n m
1
o
1
2
4
-1
( B)m为奇数，n为偶数且m n (C )m为偶数，n为奇数且m n ( D)m为偶数，n为奇数且m n
-2
1．已知幂函数 f x x
(二)幂函数的性质 ( 奇偶性 ) p
设幂函数 y x
q
( p, q为互质的正整数） 填写下表：
k0
p奇数 q偶数
p, q为奇数
k 0
p, q为奇数
p偶数 q奇数
p偶数 q奇数
p奇数 q偶数
定义域 (,) (,) 奇偶性 奇函数 偶函数
幂函数图象及其性质--完整版
幂函数的图像与性质一、根式与有理数指数幂1、根式（1（2①②2（1③0（2①②③二、幂函数1、幂函数的定形如()ay x a R =∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，a 为常数 已知函数()()2531m f x m m x--=--，当m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数； （2）是正比例函数； （3）是反比例函数； （4）是二次函数；练习：已知函数221()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数 （2）反比例函数（3）二次函数 （4）幂函数三、幂函数的图像幂函数ay x =的图象由于a 的值不同而不同． 1、幂函数ay x =的图象（部分图像）2、单调性：（只研究第一象限的单调性）当0a >时，图象过原点和()1,1，在第一象限的图象上升，故函数在第一象限单调递增；当0a <时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，故函数在第一象限单调递减； 3、幂函数的奇偶性 （1）当a 是整数如果a 是偶数，则幂函数的为偶函数 如果a 是奇数，则幂函数的为奇函数 （2）当a 是分数(,,,a q qy x a p q N p p*==∈为最简分式）的图象备注：当a 是分数时，幂函数的奇偶性没有统一性，由具体情况才能判断。
4、幂的大小与函数图像的关系 总结：在直线1x =右侧，图像越靠近x 轴，幂越小；练习、右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）()A a b c d>>>()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>题型分析：一、求定义域 1、函数23-=x y 的定义域为 .2、函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域3、求函数25y x =的定义域练习：1、若a 21＜a21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 2、若21)1(－＋a ＜21)23(－－a ，求则a 的取值范围二、单调性1、函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，0）C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）A ．13y x = B ．2y x = C ．3y x = D ．2y x -=三、判断下列函数的奇偶性 1、已知幂函数23-=xy ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 2、已知幂函数25y x = ，那么函数为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．减函数 3、已知幂函数f(x)=x 322--m m（m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F （x ）=a ）（）（x xf bx f -的奇偶性xOy ay x=by x = cy x=幂依次减小四、比较大小1、比较下列各组中两个数的大小： （1）535.1，537.1； （2）0.71.5，0.61.5； （3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．练习：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26--- （4）30.530.5,3,log 0.52、已知点在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =； （３）()()f x g x <．综合训练1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32、幂函数的图象都经过点（ ）A ．（1，1）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（1，0）3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）A ．(0,+∞)B ．[0,+∞)C ．RD ．(-∞，0)U (0,+∞)4．若幂函数()af x x =在()0,+∞上是增函数，则（ ）A ．a >0B ．a <0C ．a =0D ．不能确定 6．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定 9、若四个幂函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝dx 在同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A 、d ＞c ＞b ＞aB 、a ＞b ＞c ＞dC 、d ＞c ＞a ＞bD 、a ＞b ＞d ＞c10、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝ax 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0bx cx11、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系..6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）指数函数、对数函数、幂函数综合小练习1、函数41lg)(--=x xx f 的定义域为（ ） A ．(1，4) B ．(－∞，1)∪(4，＋∞) C ．[1，4) D ．(－∞，1]∪(4，＋∞) 2、以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln 2(D) ln23、设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则不等式f (x )>2的解集为（ ）(A)（1，2）⋃（3，+∞） (B)（10，+∞） (C)（1，2）⋃ （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（ ）A ．R Q P <<B ．P R Q <<C ．Q R P <<D ．R P Q <<5、已知c a b 212121log log log <<，则( )A ．c a b 222>>B ．cb a 222>> C ．abc222>> D ．bac222>> 6、函数12log (32)y x =-（ ） A.[1,)+∞ B. 23(,)+∞ C.23[,1] D. 23(,1]7、已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点 A ，且点A 的横坐标为2，则k （ ）A ．41-B ．41C ．21-D ．218、若函数()1(01)xf x a b a a =+->≠且的图像经过二、三、四象限，则一定有（ ）A ．010><<b a 且B ．01>>b a 且C ．010<<<b a 且D ．01<>b a 且 9、已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于（ ） （A ）34 （B ）8 （C ）18 （D ）21 10、函数y ＝lg|x| （ ）A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 11、函数3)4lg(--=x x y 的定义域是12、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________13、若函数f(x) = 1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________.14、若函数)2(log )(22a a x x x f ++=是奇函数，则a = ．。
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点
高一数学上册幂函数的性质与图像知识点高一数学上册幂函数的性质与图像知识点幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
下文是高一数学上册幂函数的性质与图像知识点，欢迎阅读!定义:形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质:对于a的.取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a 就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
幂函数图像的性质定义_幂函数的解析式_幂函数的单调性和奇偶性
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质幂函数是一类常见的数学函数，它的表达形式为y = x^n，其中x是自变量，n是常数指数。
在本文中，我们将探讨幂函数的图像以及它的一些基本性质。
一、幂函数图像的特点幂函数的图像是由指数n的不同取值而呈现出多种形态。
下面我们将分别讨论指数为正偶数、正奇数、负偶数和负奇数时的情况。
1. 指数为正偶数时（n > 0且n为偶数）当指数为正偶数时，幂函数的图像呈现出关于y轴对称的特点。
以y = x^2为例，当x取正负值时，y值都为正，且当x取0时，y值为0。
图像在原点处有一个最小值点，随着x的逐渐增大或减小，y也逐渐增大，但增长速度逐渐减慢。
2. 指数为正奇数时（n > 0且n为奇数）当指数为正奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。
以y = x^3为例，当x取正值时，y值为正；当x取负值时，y值为负。
图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y也随之增大或减小，但增长速度较快。
3. 指数为负偶数时（n < 0且n为偶数）当指数为负偶数时，幂函数的图像呈现出关于x轴对称的特点。
以y = x^-2为例，当x取正值时，y值小于1；当x取0时，y值无定义；当x取负值时，y值同样小于1。
图像在x轴上有一个渐近线y=0，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐减小。
4. 指数为负奇数时（n < 0且n为奇数）当指数为负奇数时，幂函数的图像呈现出关于原点对称的特点。
以y = x^-3为例，当x取正值时，y值大于1；当x取负值时，y值小于-1。
图像在原点处有一个零点，当x逐渐增大或减小时，y的绝对值逐渐增大。
二、幂函数的基本性质除了图像的特点，幂函数还有一些其他的基本性质。
下面我们将介绍其中的两个重要性质。
1. 幂函数的增减性根据幂函数的指数正负，我们可以判断幂函数的增减性。
当指数为正时，幂函数是递增函数，随着自变量的增大，函数值也随之增大；当指数为负时，幂函数是递减函数，随着自变量的增大，函数值却减小。
幂函数的图像与性质
x 1, x 1, 解析: x 1 ,有 解得 x<1, e 2 x 1 1n2,
x 1 x 1, 或 1 有 解得 1≤x≤8, x8 3 x 2
综上所述, {x|x≤8}.
这节课你有什么收获？
总结 (1)幂函数的定义； (2) 幂函数的图像与性质；
（慢增） （快增）
提高训练
练习 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内
的图象，已知 a分别取
1 四个值，则相 1,1, , 2 2
C4 C2 C3 C1 应图象依次为:________
1
范例讲解 考点三：幂函数的单调性 例1. 利用单调性判断下列各值的大小。 （1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.3
y=x0
6
-1
-2
-3
-4
幂函数在第一象限的图像
幂函数图象在第一象限的分布情况：
1
1
＝1
0 1
0
1
在直线x=1的右侧，从下往上， 幂指数增大
0< <1
图 像 特 点
第一象限
>1
y y
<0
y
1 o 1 x
1 o
1
1
x
o
1
x
性 质
都经过定点（1，1） 在[0，+∞)为 在[0，+∞)为 在（0，+∞)为 单调增函数. 单调增函数. 单调减函数.
3
2
1
(-1,1)
-6 -4 -2
(1,1)
2 4 6
-1
(-1,-1)
(完整word版)幂函数的图像性质和应用
幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：m na =0a >，m 、n N ∈，且1n >）负分数指数幂的意义是：mn a-=（0a >，m 、n N ∈，且1n >）1、 幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．0n <幂函数基本性质（1）所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1)；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0,+∞］上,是增函数（3)α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论;2．对于幂函数y ＝αx ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限,其次确定曲线的类型,即α＜0,0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双，大竖小横"，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．2、 幂函数的应用OxyOx yOxy例1、 幂函数n my x =（m 、n N ∈,且m 、n 互质）的图象在第一，二象限,且不经过原点，则有（ ) ()A m 、n 为奇数且1mn<()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1mn <()D m 奇数，n 为偶数，且1mn>例2、 右图为幂函数y x α=,,,a b c d 的大小关系是 （ ）()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>()D a d c b >>>解:取12x =, 由图像可知：11112222cdba⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b d c ⇒>>>，应选()C ．例3、 比较下列各组数的大小：（1）131.5，131.7，1；（2）()37,(37，()37;（3）23-⎛ ⎝⎭,23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1--．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小， 可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵13y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，∴11331.7 1.51>>．（2）底数均为负数,可以将其转化为()3377=-,()3377=-,()3377=-．∵37y x =在()0,+∞上单调递增，且>b c∴)333777>>，即))333777-<-<-，∴(()()333777<<．（3）先将指数统一,底数化成正数．2233--⎛= ⎝⎭⎝⎭，2233101077--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()42331.1 1.21---=． ∵23y x -=在()0,+∞上单调递减,且7 1.21102<<，∴()2232337 1.21102---⎛⎛⎫>> ⎪ ⎝⎭⎝⎭,即：()2234337 1.1102---⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．点评:比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数,则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性;（3）若既不能化为同指数,也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例4、 若()()1133132a a --+<-，求实数a 的取值范围．分析：若1133x y --<，则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<． 解：根据幂函数的性质,有三种可能:10320a a +<⎧⎨->⎩或10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩,解得：()23,1,32a ⎛⎫-∞- ⎪⎝∈⎭．例3．已知幂函数223m m y x --=(m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值．解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2230m m --≤，∴13m -≤≤;∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数；（2）分别求出f －1（x ）＝f (x ），f －1(x ）＞f （x ），f －1（x ）＜f (x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f －1（x ）＝x 31． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1(x ）＝x 31的图象都经过点(0，0）和（1,1）． ∴f －1（x )＝f （x ）时,x ＝±1及0；在同一个坐标系中画出两个函数图象,由图可知 f －1(x ）＞f (x )时，x ＜－1或0＜x ＜1； f －1（x ）＜f (x ）时，x ＞1或－1＜x ＜0．点评：本题在确定x 的范围时，采用了数形结合的方法,若采用解不等式或方程则较为麻烦．y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32,∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1)2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评:这是复合函数求值域的问题,应用换元法． 【同步练习】1. 下列函数中不是幂函数的是（ ）Ａ．y = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 答案:Ｃ2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是( )Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案:Ｂ3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -= 答案：Ｄ4．函数y ＝（x 2－2x ）21－的定义域是( ）A ．{x ｜x ≠0或x ≠2｝B ．（－∞，0） （2，＋∞）C ．(－∞，0）] [2，＋∞］D ．（0，2）解析：函数可化为根式形式，即可得定义域． 答案:B5．函数y ＝（1－x 2）21的值域是( ）A ．［0，＋∞］B ．（0,1）C ．（0,1）D ．［0,1］ 解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2,则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1． 答案：D6．函数y ＝52x 的单调递减区间为（ ）A ．（－∞,1）B ．(－∞，0)C ．［0，＋∞］D ．（－∞，＋∞） 解析：函数y ＝52x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ． 答案：B 7．若a 21＜a21－,则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质,选C ．答案:C8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 。
高中数学：幂函数的概念、图象和性质
⾼中数学：幂函数的概念、图象和性质1、幂函数的概念⼀般地，函数叫做幂函数，其中是⾃变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合。
例1、已知幂函数，且当时为减函数。
求幂函数的解析式。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。
求幂函数的解析式，⼀般⽤待定系数法，弄明⽩幂函数的定义是解题的关键。
解答：由于为幂函数，所以，解得，或。
当时，，在上为减函数；当时，，在上为常函数，不合题意，舍去。
故所求幂函数的解析式为。
2、幂函数的图象和性质图象：性质：定义域值域奇偶性奇偶奇⾮奇⾮偶奇单调性上增上减，上增上增上增，上分别减定点，（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；（2）如果，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数；（3）如果，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。
在第⼀象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右⽅⽆限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上⽅⽆限地逼近轴；（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。
例2、⽐较，，的⼤⼩。
分析：先利⽤幂函数的增减性⽐较与的⼤⼩，再根据幂函数的图象⽐较与的⼤⼩。
解答：⽽在上单调递增，且，。
故。
例3、若函数在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。
函数是⼀个⽐较常⽤的幂函数，它也叫做反⽐例函数，其定义域是，是⼀个奇函数，对称中⼼为（0，0），在和上都是递减函数。
⼀般地，形如的函数都可以通过对的图象进⾏变换⽽得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。
解答：由于，所以函数的图象是由幂函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所⽰。
其单调递减区间是和，⽽函数在区间上是递减函数，所以应有。
例4、若点在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最⼤值及其单调区间。
分析：⾸先根据幂函数的定义求出，然后在同⼀坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最⼤值和单调区间。
高一数学幂函数的性质与图像知识点
高一数学幂函数的性质与图像学问点高一数学幂函数的性质与图像学问点幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;假如幂函数图象与坐标轴相交，则交点确定是原点。
下文是沪教版高一数学上册幂函数的性质与图像学问点，欢迎阅读!定义:形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同状况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根[据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的全部实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同状况如下：在x大于0时，函数的.值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质:对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性：首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0,+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，明显x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数;解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数;解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同状况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数;假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数;假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的全部实数。
幂函数图像和性质
称为幂函数，
其中 x 是自变量， a 是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
指数函数的自变量在
的位置上
幂函数的自变量在
的位置上
指数函数中参数a的取值范围是 a 0且a 1
幂函数中参数a的取值范围是 a R
图像
1
y x y x2 y x3 y x2
定义域 值域 单调性 奇偶性 对称性 过定点
象限分布
R R
增函数
奇
(0, 0)
(0, 0) (1,1)
一三
R
[0, )
先减后增
偶
y轴
(0, 0)
(1,1)
一二
R
R
增函数
奇
(0, 0)
(0, 0)
(1,1)
一三
[0, )
[0, )
增函数
无 无
(0, 0) (1,1)
一
y x1
y x2
y x3
1
yx 2
图
像
定义域 x 0
值域 y 0
单调性 减减
奇偶性 奇
对称性 (0, 0)
过定点 (1,1)
象限分 一三
(0, ) x 0
(0, ) y 0
先增后减 减减
偶
奇
y轴
(0,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0)
(1,1) (1,1)
一二 一三
(0, ) (0, )
减函数
无 无
(1,1)
一
(完整版)幂函数知识总结
幂 函 数 复 习一、幂函数定义：形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。
注意：幂函数与指数函数有何不同？【思考·提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 观察图:归纳：幂函数图像在第一象限的分布情况如下：二、幂函数的性质归纳:幂函数在第一象限的性质:0>α，图像过定点（0,0）（1,1)，在区间(+∞,0）上单调递增。
0<α，图像过定点(1，1)，在区间（+∞,0）上单调递减.探究：整数m,n 的奇偶与幂函数nm x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关系? 结果：形如nmx y =),,,(互质且n m Z n m ∈的幂函数的奇偶性（1）当m,n 都为奇数时，f （x)为奇函数,图象关于原点对称； （2）当m 为奇数n 为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称；（3）当m 为偶数n 为奇数时，f(x ）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内. 三、幂函数的图像画法：关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1，在第一象限为抛物线型（凹）； 指数等于1，在第一象限为上升的射线；指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（凸）； 指数等于0，在第一象限为水平的射线； 指数小于0，在第一象限为双曲线型; 四、规律方法总结:1、幂函数)1,0(==ααx y 的图像：2、幂函数),,,,(互质q p Z q p p qx y ∈==αα的图像:3、比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： (1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性; （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 题型一:幂函数解析式特征例1。
下列函数是幂函数的是（ ） A ．y=xxB 。
幂函数的图像与性质
幂函数的图像与性质幂函数的图像与性质是指，如果将一个函数定义为f(x)=ax，其中a是一个正常数，那么这个函数就叫做幂函数。
注意，这里的x不必要是整数，可以是任意实数值。
一般来说，如果a>0，则函数的图形表示为一条递增的直线；如果a<0，则函数的图形表示为一条递减的直线；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线。
在函数的图形中，如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
在函数的性质方面，幂函数的表达式可以写成y=ax，其中a是一个实数，x是一个实数变量，y是一个实数函数。
事实上，它是一个特殊的多项式函数，可以用指数形式表示，即y=ax=e^(lna)x=exlnax。
如果a>0，则此函数在定义域中是递增函数；如果a<0，则此函数在定义域中是递减函数；如果a=1，则此函数在定义域中是一条水平线。
另外，幂函数的导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
此外，幂函数的图形也会因其中的参数a的值的大小而有所不同。
如果a>1，则函数的图形表示为一条右上斜线，即函数的导数增加得越来越快；如果a<1，则函数的图形表示为一条左下斜线，即函数的导数减少得越来越快；如果a=1，则函数的图形表示为一条水平直线，即函数的导数保持不变。
综上所述，幂函数的图形与性质取决于参数a的值，它是一个特殊的多项式函数，其导函数为y'=axlnax，其中a、x均为实数，而y'为函数y的导函数。
幂函数图像及性质总结
幂函数图像及性质总结幂函数是一种常见的函数形式，表示为 $ f(x) = ax^b $，其中a和b是实数常数，且b不等于零。
在本文中，我们将探讨幂函数的图像和性质，帮助读者更好地理解幂函数在数学中的应用和意义。
幂函数的图像特征幂函数的图像一般呈现为一条曲线，其形状取决于幂函数中的指数b的正负性和大小。
当b>0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递增；当b<0时，幂函数的图像在第一象限中从左向右递减。
若b为偶数，则幂函数的图像在第一和第三象限中均为非负，且在原点处取得最小值；若b为奇数，则幂函数的图像在第一、第三象限中一正一负，且在原点处有切线。
幂函数的性质总结1.定义域和值域：幂函数的定义域为全体实数集 $ \mathbb{R} $，值域取决于指数b的正负性。
2.奇偶性：当指数 $ b $ 为偶数时，幂函数是偶函数；当指数 $ b $ 为奇数时，幂函数是奇函数。
3.对称性：如果 $ b $ 为偶数，则幂函数关于y轴对称；如果 $ b $ 为奇数，则幂函数关于原点对称。
4.增减性：当 $ b > 0 $ 时，幂函数在定义域上递增；当 $ b < 0 $ 时，幂函数在定义域上递减。
5.极值点和拐点：幂函数的极值点和拐点通常出现在指数b为偶数的情况下。
6.与常函数的比较：当幂函数的指数b大于1时，其增长速度快于常函数；当指数b在 0 到 1 之间时，其增长速度为常函数；当指数b为负时，其绝对值小于 1 时，其增长速度慢于常函数。
结语通过以上对幂函数图像及性质的总结，我们可以更深入地理解幂函数在数学中的重要性和应用。
幂函数在数学建模、物理学等领域有着广泛的应用，希望本文能够帮助读者更好地理解幂函数的概念和特性。
高中数学上册 4.1《幂函数的图像与性质》教案（2） 沪教版
§4.1幂函数的图像与性质（二）一、教学内容分析教材地位:幂函数是中学教材中的一个大体内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一样化.教学重点: 幂函数的图像与性质. 教学难点: 以幂函数为背景的图像变换. 二、教学目标设计能描绘常见幂函数的图像，把握幂函数的大体性质；明白得幂函数图像的演进及单调性质；明白得幂函数图形特点与代数特征的对称联系，在函数性质的应用中体会它的价值。
能以幂函数为背景进行大体的函数图像的平移和对称变换. 三、教学流程设计设置情境→探讨研究→总结提炼→尝试应用→练习回馈→设置评判五、教学进程设计1.情境设置指导学生刻画一些典型的幂函数的图像，回忆并归纳幂函数的性质. 2.探讨研究问题：如下图的别离是幂函数①1a x y =，②2a x y =，③3a x y =，④4a x y =,⑤5a x y =,⑥6a x y =,⑦7a x y =在座标系中第一象限内的图像，请尽可能精准地将指数7654321,,,,,,a a a a a a a 的范围别离确信出来.3.总结提炼揭露幂函数图像特点与底数的依托关系.师生一起整理出规律性结论.4.尝试应用 ①（1）研究函数21)(,21)(,1)(--=-==x x x h x x g x x f 的图像之间的关系； （2）在同一坐标中作上述函数的图像；1xy1a x y =2a x y =6a x y =3ax y =4a x y =7a x y =a x y =（3）由所作函数的图像判定最后一个函数的奇偶性、单调性. ②已知函数x x x f +=3)(.（1） 试求该函数的零点，并作出图像； （2） 是不是存在自然数n ，使)(n f =1000，假设存在，求出n ；假设不存在，请说明理由.③作函数1||1-=x y的大致图像.5.练习回馈讲义第83页练习4.1(2) 六、教学评判设计习题4.1——B 组（依照学生具体情形选用）。
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【知识结构】1 •有理数指数幕 （1）幕的有关概念m①正数的正分数指数幕：a nv'a m (a 0,m> n N ,且n 1)；（三）幕函数 1、幕函数的定义形如y=x " （a € R ）的函数称为幕函数，m 1 1 a n m / ----- (amn aa②正数的负分数指数幕 0,m 、n N ,且n 1) ③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义 注:分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算 （2）有理数指数幕的性质①a f a s =a r+s (a>0,r 、s € Q ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s € Q)；③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r € Q);. 例2 （1）计算: 3 "3 4 o 5 [(38)3(56).2 1 1 (0.008) 3(0.02) ' (0.32円 0.06250.254 1 a 3 8a 3b 2 2 (2)化简：4b 3 23 ab a 3 (a 3 23 b) . a 3 a 2 a 引Ja Va 变式: （1）（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数） 2)1 2 1 b 2 ( 3a?b 1) (4a? b 予.其中x是自变量，a为常数注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
例1.下列函数中不是幕函数的是（）A. y VxB. y X3 C y 2x D. y X1例2.已知函数f x m2m 1 x 5m 3，当m为何值时，f x :（1）是幕函数；（2）是幕函数，且是0, 上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幕函数y （m2 m 1）x m 2m 3，当x （0，g）时为减函数，则幕函数y _______ -2. 幕函数的图像幕函数y= x a的图象由于a的值不同而不同.a的正负：a> 0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；aV0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立;3、幕函数的性质例3.比较大小:1 1—— 3 3 1 1 2 3 0 5(1)1.52,1.7 2(2)( 1.2) ,( 1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4)0.5 ,3 ' ,log3 0.54.幕函数的性质及其应用幕函数y= x a有下列性质：(1)单调性：当a>0时，函数在(0,+^上单调递增;当aV0时，函数在(0,+^上单调递减.⑵奇偶性：幕函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断.m 22m 3例4.已知幕函数y x( m Z )的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.例5•已知幕函数y x m 2(m N)的图象与x, y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象.变式：已知幕函数f(X)=X亦2m 3( m^ Z)为偶函数，且在区间(0, + X)上是单调减函数.(1)求函数f(x); (2)讨论F (x) =a f (x) 二的奇偶性.xf (x)5.规律方法(1).幕函数y=x a(a0,1)的图象(2).幕函数y x a(a q, p,q N」为最简分式)的图象6.性质:(1)幕函数的图象都过点;任何幕函数都不过象限；(2)当a 0时，幕函数在［0,)上当a 0时，幕函数在(0,)上；(3) 当 a 2,2 时, 幕函数是当 a 1,1,3,-时，幕函数3是.例6右图为幕函数y x在第一象限的图像，则a, b,c, dy」的大小关系是( )」x a(A) a b c d(B) b a d c y x b (C)a b d c(D) a d c b^^X^y x cO x例7若点错误!未找到引用源。
在幕函数错误!未找到引用源。
的图象上，点错误! 未找到引用源。
在幕函数错误!未找到引用源。
的图象上，定义错误!未找到引用源。
，试求函数错误!未找到引用源。
的最大值以及单调区间。
例8若函数错误!未找到引用源。
在区间错误!未找到引用源。
上是递减函数，求实数错误!未找到引用源。
的取值范围。
【巩固练习】1 .在函数y -^3, y 3x2, y x2x, y x°中，幕函数的个数为()xA . 0B . 1C . 2 2、 幕函数的图象都经过点()A . (1, 1)B . (0, 1)C . (0, 0)53、 幕函数y x 2的定义域为( )4. 若幕函数f 『x x a 在 0,上是增函数，则()A . a >0B . a <0C . a =0D .不能确定5. 若幕函数f xx m1 在(0, +x 上是减函数，则() A . m >1 B . m <1 C .m =l D .不能确定6. 若函数f(x) = x 3(x € R),则函数y = f( — x)在其定义域上是( )A.单调递减的偶函数 B .单调递减的奇函数 C •单调递增的偶函数 D .单调递增的奇函数 7. 已知幕函数f(x) = x"的部分对应值如下表：则不等式f(| x|) <2的解集是( )A. {x| — 4< x <4}B. {x|0 < x <4}C. {x| - .2 < x < 2}D. {x|0 v x < 2}¥8. 如果幕函数y = (m i — 3m ^3) 一汕'<的图象不过原点，则m 的取值是(9、当x €( 1,+〜时，函数)y = x a 的图象恒在直线y =x 的下方，贝U a 的取 值范围是D . (1, 0)A . (0,+ )B . [0,+ )C . RD .(- ,0)U (0,+ )A.— 1< me 2B. m= 1 或 mi= 2C. m= 2D. mi= 1二、填空题：_ 1 _ 111、若(a+1)2v (3a —2) 2，则a的取值范围是______ ;312. 函数y x 2的定义域为______________ .(A) ( B) ( C) ( D) (E) ( F)113•幕函数y = f(x)的图象经过点一2,—8，则满足f(x) = 27的x的值是.14.已知a= ；1，函数f (x) = a x，若实数m n满足f (n) >f (n)，则m, n的大小关系为 _______________ .幕函数的性质与图像测试一、填空题1. 若幕函数y f x的图像过点—,2 ，则函数y f x的解析式为222. ______________________________________________________________ 已知函数f x m2 4m 4 x m m 1是幕函数，则实数m的值为 ________________________ .3. 幕函数y x n 2n 3 n N的图像与两坐标无交点且关于y轴对称，则n的值等于 _________ .1114. 设a 2, 1,丄,丄,丄,1,2,3 ，已知幕函数f x x是偶函数，且在区间2 3 20, 上是减函数，则满足要求的值的个数是___________ .5. 已知函数f x a x的图像的对称中心是3, 1，贝U函数f x的单调递B、0v a v 1C、a>0D、a v 0集合M 中元素的个数是( (A) 1或2或0(C) 1或2或3或4 、解答题213. 研究函数y x 3的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像11.5 3 ( 7)0 80'25 4 2 (3 2.3)6(3) 6x a 1减区间是 _________ .6. 已知幕函数y x R 的图像当0x1时，在直线y x 的上方；当x 1 时在直线y x 的下方，贝U 的取值范围是 _____________ .17. 函数y TT7的图像可以看成由幕函数 y 的图像向 _______________ 平移________ 单位.1 18. 已知x 1 3 3 2x 3，贝U 实数x 的取值范围是 ___________ .、选择题9.如图，M 、N 、 P 、Q 分别为幕函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幕函数为①2y x 3 :② y x 2 :③ y x 3 :④ yQ 与四个函数序号的对应顺序只可能是( ).(A［①②③④(B )②③④① (D )③②①④ 10.下列函数中，是奇函数且在 0,上是增函数的是((A) 5x 35x 3(C)5x 411当 x 1,时，下列函数的图像全在直线x 下方且为偶函数的是( ).(A)1x 2 ( B ) y x 4 (C)12.设 yx 和y g x 是两个不同的幕函数，集合Mx| f x gx ，则(B ) 1或2或3 (D )0或1或2或3。