幂函数的图像与性质

【知识结构】

1．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂

:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂

: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

例2 （1）计算：25

.021

21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；

（2）化简：533233232332

3134)2(248a a a a a b a a ab b b

a a ⋅⋅⨯-÷++--

变式：（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:

（1）

;)(653

12121

132b a b a b a ⋅⋅⋅⋅--（2）.)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a (3)

1

00.256371.5()86-⨯-+

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）

A ．y x =

B ．3y x =

C ．2y x =

D ．1y x -=

例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；

（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；

变式 已知幂函数2

223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______．

2.幂函数的图像

幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．

α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；

α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；

3、幂函数的性质

y=x

y=x 2 y=x 3 12y x = y=x -1 定义域

R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且 值域

R [0，+∞） R [0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性

奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，+∞）时，增； x ∈(,0]-∞时，减

增 增 x ∈(0,+∞)时，

减；

x ∈(-∞,0)时，减 定点

（1，1） 例3．比较大小： （1）1

1221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5

4.幂函数的性质及其应用

幂函数y ＝x α有下列性质：

(1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；

当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．

(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．

例4．已知幂函数2

23m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．

6.性质：

（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；

（2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ；

（3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当11,1,3,3

a =-时，幂函数是 ．

例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d

的大小关系是 （ ）

()A a b c d >>>

()B b a d c >>> ()C a b d c >>> ()D a d c b >>>

例7 若点错误!未找到引用源。在幂函数错误!未找到引用源。的图象上，点错误!未找到引用源。在幂函数错误!未找到引用源。的图象上，定义错误!未找到引用源。，试求函数错误!未找到引用源。的最大值以及单调区间。

例8 若函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上是递减函数，求实数错误!未找到引用源。的取值范围。

【巩固练习】

1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x

===-=中，幂函数的个数为 ( )

b c

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2、幂函数的图象都经过点（ ）

A ．（1，1）

B ．（0，1）

C ．（0，0）

D ．（1，0）

3、幂函数25-=x y 的定义域为（ ）

A ．(0,+∞)

B ．[0,+∞)

C ．R

D ．(-∞，0)U (0,+∞)

4．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( )

A ．a >0

B ．a <0

C ．a =0

D ．不能确定

5．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )

A ．m >1

B ．m <1

C ．m =l

D ．不能确定

6．若函数f (x )＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是( )

A ．单调递减的偶函数

B ．单调递减的奇函数

C ．单调递增的偶函数

D ．单调递增的奇函数

7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：

x

1 1

2 f (x

) 1

22 则不等式f (|x |)≤2的解集是( )

A ．{x |－4≤x ≤4}

B ．{x |0≤x ≤4}

C ．{x |－2≤x ≤2}

D ．{x |0＜x ≤2}

8．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)

的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2

B ．m ＝1或m ＝2

C ．m ＝2

D ．m ＝1

9、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取

值范围是