指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质.doc
高考数学指数函数对数函数与幂函数对数与对数函数对数函数的性质与图像对数函数的性质与图像
, -2<x<2
所以函2 数 fx(x)的定义域为(-2,2),关于原点对称.
解法一: f(-x)=ln
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2 =②x
2 -x
=-f(x),
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所以函数f(x)=ln 2是- x 奇函数.
2 x
解法二: f(x)+f(-x)=ln +2 l-nx =③2 x
2 x
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内容(nèiróng)总结
第四章 指数函数、对数函数与幂函数。易错辨析:忽视对数函数对系数、底数(dǐshù)、真数的要求致误.。b的取值范围是(3,+∞),故选C.。所以
y=log2(x2+4)≥log24=2.。即函数y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).。3.(1)(变条件)把本例(1)①中的函数变成“y= ”,结果如何。因为对数函数的图像过点
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探究(tànjiū)三 对数函数的定义域、值域问题
例3 (1)求下列函数的定义域:
①y= ;lg (2-x)
②y=log(2x-1)(-4x+8). (2)求下列函数的值域:
①y=log2(x2+4);
②y=lo (3+2x-x第四章 指数函数(zhǐ shù hán shù)、对数函数与 4.2 对数与幂对函数数函数
4.2.3 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
第1课时 对数函数(duìshùhán shù)的性质与图像
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情境导学
问题(wèntí):已知细胞的分裂个数y与分裂次数x满足函数y=2x,那么反过来,x是不是关于
基本初等函数的图像与性质
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。
一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。
它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。
二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。
幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。
② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。
③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。
2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。
幂函数、指数函数与对数函数(解析版))
幂函数、指数函数与对数函数知识方法扫描一、指数函数及其性质形如y =a x (a >0,a ≠1)的函数叫作指数函数，其定义域为R ，值域为(0,+∞)．当0<a <1时，y =a x 是减函数，当a >1时，y =a x 为增函数，它的图像恒过定点(0,1)．二、分数指数幂a 1n=na ,a m n=n a m ,a -n=1an ,a -mn =1na m三、对数函数及其性质对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)的定义域为(0,+∞)，值域为R ，图像过定点(1,0)．它是指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的反函数，所有性质均可由指数函数的性质导出．当0<a <1时，y =log a x 为减函数，当a >1时，y =log a x 为增函数．四、对数的运算性质(M >0,N >0)(1)a log M a =M (这是定义)；(2)log a (MN )=log M a +log a N ；(3)log a MN=log a M -log a N ；(4)log a M n =n log a M ；(5)log a b =log c blog c a (a ,b ,c >0,a ,c ≠1)(换底公式)．由以上性质(4)、(5)容易得到以下两条推论：1)log a mb n =n m log a b ；2)log a b =1log b a．典型例题剖析1已知x 1是方程x +lg x =10的根，x 2是方程x +10x =10的根，求x 1+x 2的值．【解法1】由题意得lg x 1=10-x 110x 2=10-x 2，表明x 1是函数y =lg x 与y =10-x 的交点的横坐标，x 2是函数y =10x 与y =10-x 的交点的横坐标．因为y =lg x 与y =10x 互为反函数，其图像关于y =x 对称，由y =10-x y =x 得，x =5y =5 ，所以x 1+x 22=5，所以x 1+x 2=10．【解法2】构造函数f (x )=x +lg x ，由x 1+lg x 1=10知f x 1 =10，x 2+10x 2=10即10x 2+lg10x 2=10，则f 10x 2 =10，于是f x 1 =f 10x 2 ，又f (x )为(0,+∞)上的增函数，故x 1=10x 2，x 1+x 2=10x 2+x 2=10．【解法3】由题意得x 1=1010-x 110-x 2=10x 2，两式相减有x 1+x 2-10=1010-x 1-10x 2．若x 1+x 2-10>0，则1010-x 1-10x 2>0，得10-x 1>x 2，矛盾；若x 1+x 2-10<0，则1010-x 1-10x 2<0，得10-x 1<x 2，矛盾；而当x 1+x 2=10时，满足题意．【评注】解法1巧妙地利用了数形结合的方法，解法2巧妙地利用了函数的单调性，解法3巧妙地利用了反证法的技巧．2已知a >0，b >0，log9a =log 12b =log 16(a +b )，求ba的值．【解法1】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．由于9k ×16k =12k 2故(a +b )a =b 2，解得：b a =1+52(负根舍去)．【解法2】设log 9a =log 12b =log 16(a +b )=k ，则a =9k ，b =12k ，a +b =16k ．b a =12k 9k =43 k ，而9k +12k =16k，故1+12k 9k =16k 9k ，即43 k 2-43 k -1=0，故b a =43 k =1+52(负根舍去)．【评注】对数运算和指数运算互为逆运算，有关对数的运算和处理，往往可以转化为指数的运算和处理．3已知函数f (x )=1x +1+log 13x 2-x，试解不等式f x x -12 >12．【分析】本题为分式不等式与对数不等式混合．初看不易解决，但可以发现该函数在其定义域内单调递减，这是本题的解题关键．【解】易证函数y =f (x )在其定义域(0,2)内是单调减函数．并且f (1)=12，所以原不等式即为f x x -12 >f (1)等价于x x -12 <10<x x -12 <2⇒ x 12<x <1+174或1-174<x <0 ．【评注】利用函数单调性解决不易入手的不等式是一种常用方法．4设方程lg (kx )=2lg (x +1)仅有一个实根，求k 的取值范围．【分析】本题要注意函数的定义域．【解法1】当且仅当kx >0①x +1>0②x 2+(2-k )x +1=0③时原方程仅有一个实根，对方程③使用求根公式，得x 1,x 2=12k -2±k 2-4k ④Δ=k 2-4k ≥0⇒k <0或k ≥4．当k <0时，由方程③，得x 1+x 2=k -2<0,x 1x 2=1>0,所以x 1，x 2同为负根．又由方程程④知x 1+1>0,x 2+1<0,所以原方程有一个解x 1．当k =4时，原方程有一个解x =k2-1=1．当k >4时，由方程③，得x 1+x 2=k -2>0,x 1x 2=1>0. 所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上所述可得k <0或k =4为所求．【解法2】由题意，方程kx =(x +1)2，也即方程k =x +1x+2在满足关于x 的不等式kx >0x +1>0 的范围内有唯一实数根，以下分两种情况讨论：(1)当k >0时，k =x +1x +2在x >0范围内有唯一实数根，则有k =4；(2)当k <0时，k =x +1x+2在-1<x <0范围内有唯一实数根，则有k <0．综上可得k <0或k =4为所求．【评注】本题实质上是一道一元二次方程问题．5解不等式：log 12(x +3x )>log 64x ．【分析】若考虑到去根号，可设x =y 6(y >0)，原不等式变为log 12y 3+ y 2 >log 6446=log 2y ，即2log 12y +log 2(y +1)>log 2y ，陷入困境．原不等式即6log 12(x +3x )>log 2x ⇒2log 12x +log 121+x166>log 2x ，设t =log 2x ，则log 12x =1log x12=12log x 2+log x 3，同样陷入困境．下面用整体代换y =log 64x ．【解】设y =log 64x ，则x =64y，代人原不等式，有log 128y +4y >y ，8y +4y >12y，23 y +13 y >1，由指数函数的单调性知y =log 64x <1，则0<x <64．故原不等式的解集为(0,64)．6已知1<a ≤b ≤c 证明：log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c ．【证法1】注意到log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c=ln b ln a +ln c ln b +ln a ln c -ln a ln b+ln b ln c +ln c ln a =ln 2b ln c +ln 2c ln a +ln 2a ln b -ln 2b ln a +ln 2c ln b +ln 2a ln c ln a lnb ln c=-(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )ln a ln b ln c．【证法2】设log b a =x ，log c b =y ，则log a c =1xy ，于是原不等式等价于x +y +1xy ≤1x +1y+xy ，即x 2y +xy 2+1≤y +x +x 2y 2，即xy (x +y )-(x +y )+1-x 2y 2 ≤0，也即(x +y -1-xy )(xy -1)≤0也即(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，由1<a ≤b ≤c 知x ≥1,y ≥1，所以(x -1)(y -1)(xy -1)≥0，得证．因为1<a ≤b ≤c ，所以ln a ln b ln c >0，(ln a -ln b )(ln b -ln c )(ln c -ln a )≥0所以log a b +log b c +log c a -log b a +log c b +log a c ≤0即log a b +log b c +log c a ≤log b a +log c b +log a c °【评注】若令x =ln a ，y =ln b ，z =ln c 则原不等式等价于：设0<x ≤y ≤z ，求证：x 2y +y 2z +z 2x ≤xy 2+yz 2+zx 2．7设函数f (x )=|lg (x +1)|，实数a ，b (a <b )满足f (a )=f -b +1b +2，f (10a +6b +21)=4lg2，求a 、b 的值．【分析】利用已知条件构建关于a 、b 的二元方程组进行求解．【解】因为f (a )=f -b +1b +2 ，所以|lg (a +1)|=lg -b +1b +2+1 =lg 1b +2=|lg (b +2)|所以，a +1=b +2或(a +1)(b +2)=1，又因为a <b ，所以a +1≠b +2，所以(a +1)(b +2)=1又由于0<a +1<b +1<b +2，于是0<a +1<1<b +2，所以(10a +6b +21)+1=10(a +1)+6(b +2)=6(b +2)+10b +2>1，从而f (10a +6b +21)=lg 6(b +2)+10b +2=lg 6(b +2)+10b +2，又f (10a +6b +21)=4lg2，所以lg 6(b +2)+10b +2 =4lg2，故6(b +2)+10b +2=16．解得b =-13或b =-1(舍去)．把b =-13代故(a +1)(b +2)=1，解得a =-25．所以，a =-25,b =-13．同步训练一、选择题1已知a 、b 是方程log 3x 3+log 27(3x )=-43的两个根，则a +b =()．A.1027B.481C.1081D.2881【答案】C ．【解析】原方程变形为log 33log 3(3x )+log 3(3x )log 327=-43，即11+log 3x +1+log 3x 3=-43．令1+log 3x =t ，则1t +t 3=-43，解得t 1=-1,t 2=-3．所以1+log 3x =-1或1+log 3x =-3，方程的两根分别为19和181，所以a +b =1081．故选C ．2已知函数f (x )=1a x -1+12x 2+bx +6(a ,b 为常数，a >1)，且f lglog 81000 =8，则f (lglg2)的值是()．A.8 B.4 C.-4 D.-8【答案】B ．【解析】由已知可得f lglog 81000 =f lg33lg2=f (-lglg2)=8，又1a -x -1+12=a x 1-a x +12=-1+11-a x +12=-1a x -1-12，令F (x )=f (x )-6，则有F (-x )=-F (x )．从而有f (-lglg2)=F (-lglg2)+6=-F (lglg2)+6=8，即知F (lglg2)=-2，f (lglg2)=F (lglg2)+6=4．3如果f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364，则使f (x )<0的x 的取值范围为()．A.0<x <1 B.1<x <83C.x >1D.x >83【答案】B ．【解析】显然x >0，且x ≠1．f (x )=1-log x 2+log x 29-log x 364=1-log x 2+log x 3-log x 4=log x 38x ．要使f (x )<0．当x >1时，38x <1，即1<x <83；当0<x <1时，38x >1，此时无解．由此可得，使得f (x )<0的x 的取值范围为1<x <83．应选B ．4若f (x )=lg x 2-2ax +a 的值域为R ，则a 的取值范围是()．A.0<a <1 B.0≤a ≤1 C.a <0或a >1 D.a ≤0或a ≥1【答案】D ．【解析】由题目条件可知，(0,+∞)⊆y |y =x 2-2ax +a ，故Δ=(-2a )2-4a ≥0，解得a ≤0或a ≥1．选D ．二、填空题5设f (x )=log 3x -4-x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．【答案】[3,4]．【解析】定义域(0,4]．在定义域内f (x )单调递增，且f (3)=0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3,4]．6设0<a <1，0<θ<π4，x =(sin θ)log asin θ，y =(cos θ)log atan θ，则x 与y 的大小关系为．【答案】x <y ．【解析】根据条件知，0<sin θ<cos θ<1，0<sin θ<tan θ<1，因为0<a <1，所以f (x )=log a x 为减函数，所以log a sin θ>log a tan θ>0，于是x =(sin θ)log a sin θ<(sin θ)log a tan θ<(cos θ)log a tan θ=y .7设f (x )=12x +5+lg 1-x 1+x ，则不等式f x x -12<15的解集为．【答案】1-174,0 ∪12,1+174．【解析】原不等式即为f x x -12<f (0)．因为f (x )的定义域为(-1,1)，且f (x )为减函数．所以-1<x x -12 <1x x -12 >0.解得x ∈1-174,0∪12,1+174．8设f (x )=11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x ，则f (x )+f 1x =．【答案】3．【解析】f (x )+f 1x =11+2lg x +11+4lg x +11+8lg x +11+2-lg x +11+4-lg x +11+8-lg x =3．三、解答题9已知函数f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)的反函数是y =f -1(x )，而且函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称．(1)求函数y =g (x )的解析式；(2)若函数F (x )=f -1(x )-g (-x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，求a 的取值范围．【解析】(1)由f (x )=a x +3a (a >0,a ≠1)，得f -1(x )=log a (x -3a )．又函数y =g (x )的图像与函数y =f -1(x )的图像关于点(a ,0)对称，则g (a +x )=-f -1(a -x )，于是，g (x )=-f -1(2a -x )=-log a (-x -a )，(x <-a )．(2)由(1)的结论，有F (x )=f -1(x )-g (-x )=log a (x -3a )+log a (x -a )．要使F (x )有意义，必须满足x -3a >0,x -a >0. 又a >0，故x >3a ．由题设F (x )在x ∈[a +2,a +3]上有意义，所以a +2>3a ，即a <1．于是，0<a <1．10设f (x )=log a (x -2a )+log a (x -3a )，其中a >0且a ≠1．若在区间[a +3,a +4]上f (x )≤1恒成立，求a 的取值范围．【解析】f (x )=log a x 2-5ax +6a 2=log a x -5a 2 2-a 24．由x -2a >0x -3a >0, 得x >3a ，由题意知a +3>3a ，故a <32，从而(a +3)-5a 2=-32(2-a )>0，故函数g (x )=x -5a 2 2-a 24在区间[a +3,a +4]上单调递增．若0<a <1，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递减，所以f (x )在区间[a +3，a +4]上的最大值为f (a +3)=log a 2a 2-9a +9 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式loglog a 2a 2-9a +9 ≤1恒成立，从而2a 2-9a +9≥a ，解得a ≥5+72或a ≤5-72．结合0<a <1，得0<a <1．若1<a <32，则f (x )在区间[a +3,a +4]上单调递增，所以f (x )在区间[a +3,a +4]，上的最大值为f (a +4)=log a 2a 2-12a +16 ．在区间[a +3,a +4]上不等式f (x )≤1恒成立，等价于不等式log a 2a 2-12a +16 ≤1恒成立，从而2a 2-12a +16≤a ，即2a 2-13a +16≤0，解得13-414≤a ≤13+414．易知13-414>32，所以不符合．综上所述，a 的取值范围为(0,1)．11解方程组x x +y=y 12y x +y =x 3，(其中x ,y ∈R * ．【解析】两边取对数，则原方程组可化为(x +y )lg x =12lg y ①(x +y )lg y =3lg x ②把式①代入式②，得(x +y )2lg x =36lg x ，所以(x +y )2-36 lg x =0．由lg x =0，得x =1；代入式①，得y =1．由(x +y )2-36=0x ,y ∈R * 得x +y =6．代入式①得lg x =2lg y ，即x =y 2，所以y 2+y -6=0．又y >0，所以y =2,x =4．所以方程组的解为x 1=1y 1=1 ，x 2=4y 2=2 ．12已知f (x )=lg (x +1)-12log 3x ．(1)解方程f (x )=0；(2)求集合M =n f n 2-214n -1998 ≥0,n ∈Z 的子集个数．【解析】(1)任取0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =lg x 1+1 -lg x 2+1 -12log 3x 1-log 3x 2=lgx 1+1x 2+1-12log 3x 1x 2=lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2，因为x 1+1x 2+1>x 1x 2，所以lg x 1+1x 2+1>lg x 1x 2．故f x 1 -f x 2 =lg x 1+1x 2+1-log 9x 1x 2>lg x 1x 2-lg x1x 2lg9，因为0<lg9<1，lg x 1x 2<0，所以f x 1 -f x 2 >lg x 1x 2-lg x1x 2=0，f (x )为(0,+∞)上的减函数，注意到f (9)=0，当x >9时，f (x )<f (9)=0；当<x <9时，f (x )>f (9)=0，所以f (x )=0有且仅有一个根x =9．(2)由f n 2-214n -1998 ≥0⇒f n 2-214n -1998 ≥f (9)所以n 2-214n -1998≤9n 2-214n -1998>0 ⇔n 2-214n -2007≤0n 2-214n -1998>0⇔(n -223)(n +9)≤0(n -107)2>1998+1072=13447>1152⇔-9≤n ≤223n >222或n <-8 ⇔⇔-9≤n ≤223n ≥223或n ≤-9 ，所以n =223或n =-9,M ={-9,223},M 的子集的个数是4．13已知a >0，a ≠1，试求使得方程log a (x -ak )=log a x 2-a 2 有解的k 的取值范围．【解析】由对数性质知，原方程的解x 应满足(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0x 2-a 2>0(1)(2)(3)若式(1)、式(2)同时成立，则式(3)必成立，故只需要解(x -ak )2=x 2-a 2x -ak >0.由式(1)可得2kx =a 1+k 2(4)当k =0时，式(4)无解；当k ≠0时，式(4)的解是x =a 1+k 2 2k ，代人式(2)，得1+k 22k>k ．若k <0，则k 2>1，所以k <-1；若k >0，则k 2<1，所以0<k <1．综上所述，当k ∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解．14已知0.301029<lg2<0.301030，0.477120<lg3<0.477121，求20001979的首位数字．【解析】lg20001979=1979lg2000=1979(3+lg2)．所以6532.736391<lg20001979<6532.73837．故20001979为6533位数，由lg5=1-lg2,lg6=lg2+lg3，得0.698970<lg5<0.6989710.778149<lg6<0.778151⇒lg5<0.736391<0.73837<lg6,说明20001979的首位数字是5．15已知3a +13b =17a ，5a +7b =11b ，试判断实数a 与b 的大小关系，并证明之．【解析】令a =1，则13b =14,5+7b =11b ，可见b >1．猜想a <b ．下面用反证法证明：若a ≥b ，则13a ≥13b ,5a ≥5b ，所以17a =3a +13b ≤3a +13a ,11b =5a +7b ≥5b +7b ，即317 a +1317 a ≥1,511 b +711 b ≤1，而函数f (x )=317 x +1317 x和g (x )=511 x +711 x在R 上均为减函数，且f (1)=317+1317=1617<1≤f (a ),g (1)=511+711=1211>1≥g (b )．所以a <1,b >1．这与a ≥b 矛盾，故a <b ．16解不等式log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <1+log 2x 4+1 ．【解析】原不等式等价于log 2x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1 <log 22x 4+2 ．由于y =log 2x 为单调递增函数，于是x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1<2x 4+2，两端同时除以x 6，并整理得2x2+1x 6>x 6+3x 4+3x 2+1+2x 4+2=x 2+1 3+2x 2+1 构造函数g (t )=t 3+2t ，则上述不等式转化为g1x2>g x 2+1 .显然g (t )=t 3+2t 在R 上为增函数．于是以上不等式等价于1x2>x 2+1，即x 2 2+x 2-1<0，解得x 2<5-12．故原不等式的解集为-5-12,5-12．。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；3y1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1(1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；.当10<<a 时，a 值越大，xa y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==xf x xxx g ⎪⎫⎛=1)((4)()n n n b a ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm 四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结.docx
(一)指数与指数函数1.根式(1)根式的概念根式的It念3符号表示a备注3如果x n=a，那么x叫做a的〃次方根a n > lfin e AT P 当«为奇数时,正数的«次方根是一个正数,负数的川次方根是一个负数3零的兀次方根是零3当n为偶数时,正数的n次方根有两个，它们互为相反数"土嚅(° >0)3负数没有偶次方根卩(2).两个重要公式*a①> 0)\a\=<[-a{ci < 0)②=a (注意a必须使砺有意义)。
2.有理数指数幕(1)幕的有关概念①正数的正分数指数幕:a"= 奸(d > (),m. n w AT,且〃〉1);豐 1 1②正数的负分数指数幕：a n = —=-=(^7>0,/?K /?G N\JBL H>1)a n③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.注：分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算。
(2)有理数指数幕的性质①a I a'=a H'"(a>0,r、s G Q)；②(a r)s=a re(a>0,r> sEQ)；③(ab)'=a r b s(a>0,b>0,r E Q);.3.指数函数的图象与性质y=a x a>l 0<a<l图象~d 1 *定义域 R 值域 (0, +oo) 性质(1)过定点(0, 1)(2)当 x>0 时,y>l; x<0 时,0<y<l(2)当 x>0 时，0<y<l; x<0 时，y>l(3)在(-oo, +oo)上是增函数(3)在 (-00 , 4-00 )上是减函数注：如图所示，是指数函数(1) y=a x , (2) y=b x ' (3) ,y=c x (4) ,y=d x 的图象，如何确 定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图屮作直线x=l,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 ci>』>l>ai>bi,・・・c>d>l>a>b 。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
幂指对函数图像性质综合
1、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， ②函数图像与性质：a ＞1 0＜a ＜1 x x a y a y -==与图象性 质 定义域：R值域：(0，＋∞)过点(0，1)在R 上增函数 在R 上减函数1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x ay a y -==与的图象关于y 轴对称。
2、对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数，②函数图像：a >1 0<a <1 xy x y a a 1log log ==与图象 011 011性 质 定义域：（0，+∞）值域：R过点（1，0），即当x ＝1时，y ＝0 x ∈（0，1）时y ＜0 x ∈（1，＋∞）时y ＞0 x ∈（0，1）时y ＞0x ∈（1，＋∞）时y ＜0在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y aa 1log log ==与的图象关于x 轴对称。
4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数。
3、幂函数：①定义：函数y =x α (α∈R)称为幂函数。
如y=x ，y=x 2，y=，y=x -1，y=x -都是幂函数。
②函数图像与性质：1）y=x α (α∈R)没有统一的定义域，定义域由α值确定。
但在(0，+)内总是有定义的，且都经过（1，1）点。
指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质.doc
指数函数、对数函数、幂函数的图像及性质指数函数、对数函数和幂函数的图像和性质(1)指数函数和指数函数1。
公式(1)的根的根的根的根的概念符号表示备注。
如果被叫的次根是奇数，正数的次根是正数，负数的次根是负数。
如果负数的次根是零并且是偶数，则正数有两个次根。
他们彼此相对。
负数不是偶数。
N是奇数，N是偶数(2)。
两个重要的公式①；(2)(注意必须有意义)。
2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。
注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂运算。
(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。
②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。
X0小时，01。
X1(3)在(-2)中(请注意，它必须有意义)。
2.与有理数的指数幂有关的概念(1) ①正数的正分数指数幂:(2)正数的负分数指数幂: (3)正分数指数幂0等于负分数指数幂0。
注意: 分数指数幂和根公式可以互换，根公式通常用分数指数幂计算。
(2)有理数的指数幂的性质①aras=ar s(a0，r，s∈Q)。
②(ar)s=ar(A0，r，s∈Q).③(ab)r=ARB(A0，b0，r∈Q).3.指数函数y=axa101的图像和性质。
X0小时，01。
X1(3)在(:如图所示，它是指数函数的图像(1) y=ax，(2)y=bx，(3)，y=CX (4)，y=dx。
如何确定碱基a，b，c，d和1之间的大小关系？提示:在图中画一条x=1的直线，交点与图像的纵坐标是它们各自基点的值，即c1d11a1b1,∴cd1ab.也就是说，无论是在轴的左侧还是右侧，基数都是逆时针增加的。
(2)对数和对数函数1.对数的概念(1)对数的定义如果数字被称为底，对数被记录为，其中对数的底被称为真数。
最新指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的讲义
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。
理解对数的概念及其运算性质。
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。
了解指数函数y=a x 与对数函数log x a y =互为反函数（0,1a a >≠且）。
了解幂函数的概念。
结合函数y=x ，y=x 2，y=x 3，1y x=，12y x =的图象，了解它们的变化情况。
指数函数、对数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。
（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根1n n N *>∈且当n 为奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数na零的n 次方根是零当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数(0)n a a ±> 负数没有偶次方根（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn ；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:(0,,1)mn m naa a m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 1(0,,1)m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 y=a x a>10<a<1图象定义域 R值域 （0，+∞）n 为奇数 n 为偶数性质（1）过定点（0，1） （2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数 （3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
第4章 幂函数、指数函数、对数函数
第四章：幂函数、指数函数和对数函数4、1 幂函数的图像与性质1、幂函数的概念一般地，函数(k y x k =为常数，k Q ∈）叫做幂函数。
思考：（1）在我们学过的函数中，有哪些是幂函数？举例说明。
2y x =、y x =、1y x=、0y x =、12y x =⋅⋅⋅(2)下列函数是否为幂函数： （1）2y x =； （2）17(2)y x -=；（3）13(2)y x =-； （4）y =。
2、幂函数的图像 画幂函数图像分两步：（1）画出幂函数在第一象限的图像（如图）（2）由定义域和奇偶性画出幂函数在其它象限的图像。
例1、分别画出下列幂函数的大致图像。
（1）43y x =； （2）12y x -=； （3）13y x =； （4）0y x =；（5）2y x-=； （6）12y x =； （7）32y x =； （8）23y x =（9）53y x =； （10）y x =； （11）13y x -=。
3、幂函数()ky x k Q =∈的性质：（1）幂函数的图像恒过点(1,1)；（2）当0k >时，幂函数在区间[0,)+∞是上增函数； 当0k <时，幂函数在区间(0,)+∞上是减函数。
例2、已知幂函数21(732)35(1)()t t y t t xt Z +-=-+∈是偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调增函数。
求整数t 的值，并作出相应幂函数的大致图像。
解：0t =（舍去），或1t =±，图像略。
例3、分别画出下列函数的大致图像。
（1）y = （2）3(1)y x =+；（3）y = （4）()231y x -=-。
例4、设01a b c d <<<<<，正数,,,m n k r 满足：01a b c dm n k r <===<，则,,,,1mnkr之间的大小关系为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
解：在同一坐标系内作出函数,,,a b c dy x y x y x y x ====与直线(01)y p p =<<相交，得交点的横坐标分别为,,,n r k m 可以得出：1n r k m <<<<。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①)0()0(||aa a a a aann；②a a nn)(（注意a 必须使na 有意义）。
2．有理数指数幂（1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:(0,,1)mnmn a a a m n N n 、且;②正数的负分数指数幂:11(0,,1)mnmnmnaam nN n aa、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质①a r a s=a r+s(a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s=a rs(a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质y=ax a>1 0<a<1n 为奇数n 为偶数图象定义域R 值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1 (3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xaN a a 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a 0,1a a 且log Na 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为 eln N2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（0,1aa 且）：①1log 0a ，②lo g 1a a，③lo g N aa N ，④lo g N a aN 。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
(一)指数与指数函数1根式(1) 根式的概念(2).两个重要公式”n 为奇数a① 勺a =〈a(a 王0) n 为偶数\a\=： 、—a(a<0)② (n .a)n =a (注意a 必须使I a 有意义) 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念m①正数的正分数指数幂:a n =n 孑(a 0,m> n N ,且n 1);注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行 根式的运算。
(2) 有理数指数幂的性质 ① aras=ar+s(a>0,r 、s € Q);②正数的负分数指数幂1— ■ (a • 0, m 、n m 'n N ,且 n 1)③0的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义② (ar)s=ars(a>O,r 、s€ Q)；③ (ab)r=arbs(a>O,b>O,r € Q);.3. 指数函数的图象与性质注：如图所示，是指数函数（1）y=ax, （2）y=bx, （3）,y=cx （4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即 c1>d1>1>a1>b1,二c>d>1>a>b 。
即无论在轴 的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数 1、对数的概念 （1） 对数的定义如果a * = N （a - 0且a "），那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作 x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2） 几种常见对数2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（a -0,且 a=1）：① log a^ 0，② log, =1，③ a 1* 二 N ， ④ log a^ = N 。
（2）对数的重要公式:12叫（a,b 均为大于零且不等于1,N 0）；log a（3）对数的运算法则：如果a 0,且a=1， M 0, N 0那么①换底公式: N log b② log a b1 iog b a①log a (MN ) = log a M log a N;②log a M-log a M-log a N；N③log a M n二n log a M (n・ R)；④log m b n = —log a b。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xy Ox y =2x y =21xy =1-=xy 3x y = O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a aa nn；②a a nn =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)mnaa m n N n *=>∈>、且;②正数的负分数指数幂: 10,,1)m nm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念 （1）对数的定义如果(01)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log Na x =，其中a叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2）几种常见对数2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1log 0a =，②l og 1aa =，③lo g Na a N =，④lo g N a aN =。
（2）对数的重要公式：①换底公式：log log (,1,0)log N Na bbaa b N =>均为大于零且不等于； ②1log log b a ab =。
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
当xo>l时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3, y=x2, y=x ,y x2,y=x-1；
1
当0<xo<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1,y x2,y=x , y=x2, y=x3。
3、藉函数的性质
段X数
y=x
2y=x
3y=x
1
yx，
-1y=x
定义域
R
R
R
[0,)
x| x Rflx 0
值域
R
[0,)
R
[0,)
y | y Rfi y 0
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x € [0 ,)时，增；
xe(,0]时，减
增
增
x C (0,+)时，减；
x C (- ,0)时，减
定点
(1 , 1)
叫做对数的底数，N叫做真数。
(2)几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为aa 0,且a 1
logaN
常用对数
底数为10
lg N
自然对数
底数为e
ln N
2、对数的性质与运算法则
(1)
(2)对数的重要公式：
lonN
-^b(a,b均为大丁零且不等丁1,N 0)；loga
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
(三)籍函数
1、藉函数的定义
形如y=x " (a£ R)的函数称为藉函数，其中x是自变量，a为常数
注：藉函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，备函数的自变量在底数位置，而
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质之欧阳家百创编
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质欧阳家百（2021.03.07）（一）指数与指数函数1．根式（1）根式的概念（2）．两个重要公式 ①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a a nn ；②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。
2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念①正数的正分数指数幂:0,,1)m na a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)mnm naa m n N n a-*==>∈>、且③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
n 为奇数n 为偶数（2）有理数指数幂的性质①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q);②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=a x a>1 0<a<1 图象定义域R值域（0，+∞）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1; x<0时,0<y<1 (2) 当x>0时，0<y<1; x<0时, y>1(3)在（-∞，+∞）上是增函数（3）在（-∞，+∞）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果(01)xa N a a=>≠且，那么数x叫做以a为底，N的对数，记作log Nax=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1 ．根式（ 1 ）根式的概念根式的概念符号表示备注如果 x na , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次na零的 n 次方根是零方根是一个负数当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反na ( a0) 负数没有偶次方根数（ 2 ）．两个重要公式an 为奇数① n a na( a 0)；| a |0) n 为偶数a(a② (n a ) na （注意 a 必须使 n a 有意义）。
2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念mna m (a①正数的正分数指数幂 : an0, m 、 n N ,且 n 1) ;m11②正数的负分数指数幂 : an0, m 、 n N , 且 n 1)m(aa nna m③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（ 2 ）有理数指数幂的性质①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q);③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.3．指数函数的图象与性质y=a x a>10<a<1图象定义域R值域（0，+ ）性质（ 1 ）过定点（0，1）（ 2 ）当 x>0 时， y>1; (2) 当 x>0 时， 0<y<1;x<0 时 ,0<y<1 x<0 时 , y>1(3) 在（ - ，+ ）上是增函（3）在（ - ，+ ）上是减函数数注：如图所示，是指数函数（ 1 ） y=a x, （ 2） y=b x,（ 3 ） ,y=c x（ 4 ）,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数1、对数的概念（1 ）对数的定义如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。
（2 ）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 e ln N2、对数的性质与运算法则（ 1 ）对数的性质（a 0,且a 1 ）：①log a1 0 ，② log a a 1，③a log a N N ，④log a a N N 。
（2 ）对数的重要公式：N①换底公式：log b N loga (a,b均为大于零且不等于 1,N 0) ； log a b② log a b1 a。
log b（3 ）对数的运算法则：如果 a 0,且a 1 ，M 0, N 0 那么① log a (MN ) log a M log a N ；② log a Mlog a M log a N ；N③ log a M n n log a M ( n R) ；④ log a m b n nlog a b 。
m3、对数函数的图象与性质a 10 a 1图象性（ 1 ）定义域：（ 0,+）质（2）值域： R（3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1 ， 0 ）（ 4）当0 x时，y ( ,0)；（ 4 ）当x 1时，y ( ,0)；1当 x 1 时，y (0, ) 当 0 x 1时，y (0, ) （ 5）在（ 0,+ ）上为增函数（ 5 ）在（ 0,+ ）上为减函数注：确定图中各函数的底数 a ， b ， c， d 与 1 的大小关系提示：作一直线y=1 ，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0<c<d<1<a<b.4 、反函数指数函数 y=a x与对数函数 y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。
（三）幂函数1 、幂函数的定义形如 y=x α（ a ∈ R）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2 、幂函数的图象1注：在上图第一象限中如何确定y=x 3， y=x 2，y=x ，y x 2 ，y=x -1方法：可画出 x=x 0；1当 x0 >1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ，y x2， y=x -1；1当 0<x 0 <1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x -1，y x2，y=x，y=x2，y=x3。
3、幂函数的性质y=x y=x 2 y=x 3 1 y=x -1y x2定义域R R R [0 ，）R且 x 0x | x值域R [0 ，）R [0 ，）R且y 0y | y奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈[0 ，）时，增；增增x ∈ (0,+ )时，减；x ∈ (- ,0) 时，减x ∈( ,0] 时，减定点（1，1）三：例题诠释，举一反三 知识点 1 ：指数幂的化简与求值例 1.(2007育才 A)[(33) 22113 (5 4)0.5(0.008)3( 0.02)2(0.32) 2 ] 0.0625 0.25（1 ）计算：8 9 ；4 12a 38a 3 b23 ba 3 a 2(a 322a )5a 3a（2 ）化简： 4b323 ab a 3变式：（ 2007 执信 A ）化简下列各式（其中各字母均为正数）:211 1 (a 3b 1 ) 2a2b 3 ;（1 ）6 a5b11215a 3b 2 ( 3a 2 b 1 ) (4a 3 b 3 )2 .（2）617 )021.5 3( 80.2542 ( 323)6(2)3 (3) 63知识点 2 ：指数函数的图象及应用例 2.(2009 广附 A)已知实数 a 、b 满足等式( 1 ) a ( 1 ) b，下列五个关系式：① 0 ＜ b ＜ a; ② a ＜2 3b ＜ 0; ③0 ＜ a ＜ b; ④b ＜ a ＜ 0; ⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有（ ）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个变式：（ 2010华附 A ）若直线 y 2a 与函数 y | a x 1 | (a0 且 a 1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 _______.知识点 3 ：指数函数的性质例 3. （ 2010 省实 B ）已知定义域为R 的函数 f (x)2x b 2x1是奇函数。
2（Ⅰ）求 b 的值；（Ⅱ）判断函数f x 的单调性 ;（Ⅲ）若对任意的t R ，不等式 f ( t 22t) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求 k 的取值范围．变式：（ 2010 东莞 B ）设 a ＞0,f(x)= e xa是 R 上的偶函数 .aex（ 1 ）求 a 的值；（ 2 ）求证： f(x) 在（ 0 ，+∞）上是增函数 . 知识点 4 ：对数式的化简与求值例 4. （ 2010 云浮 A ）计算：（1 ）log23(2 3)（2 ） 2(lg 2 )2 +lg 2 · lg5+ (lg 2 )2 lg 2 1 ;（3 ） 1 lg 32 - 4lg 8 +lg 245 .2 49 3变式：（ 2010 惠州 A ） 化简求值 . （1 ） log 27 +log 2 12- 1log 2 42-1;482（ 2 ） (lg2) 2 +lg2 · lg50+lg25;（ 3 ） (log 3 2+log 9 2) · (log 4 3+log 8 3).知识点 5 ：对数函数的性质例 5. （ 2011 深圳 A ）对于 0 a 1，给出下列四个不等式：① log a (1 a)log a (a1); ② log a (1 a) log a (1 1) ；aa③ a 1 a1 1④ a 1 a1 1a a ;a a ; 其中成立的是（ ）（A ）①与③（ B ）①与④（ C ）②与③（ D ）②与④变式：（ 2011 韶关 A ）已知 0 ＜ a ＜ 1,b ＞ 1,ab ＞1 ，则 log a 1 ,log a b, log b 1 的大小关系是b b（ ） A.log a 1 log a b log b 1B. log ab log a 1 log b 1b bbbC. log ab log b 1 log a 1D. log b 1 log a 1 log a bb bbb例 6. （ 2010 广州 B ）已知函数 f(x)=logax(a ＞0,a ≠ 1) ，如果对于任意x ∈［ 3 ， +∞）都有|f(x)| ≥1 成立，试求 a 的取值范围 .变式：（ 2010 广雅 B ）已知函数 f （x ） =log 2 (x 2 -ax-a) 在区间（ -∞ , 1- 3 ］上是单调递减函数 .求实数 a 的取值范围 . 知识点 6 ：幂函数的图象及应用例 7.(2009佛山 B) 已知点 ( 2，2) 在幂函数 f (x) 的图象上，点1 ，在幂函数 g (x) 的图4象上．问当 x 为何值时有： （１） f (x) g ( x) ；（２） f (x) g( x) ；（３） f (x)g ( x) ． 变式：（ 2009 揭阳 B ）已知幂函数 f(x)=xm22m 3（ m ∈ Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）b上是单调减函数 . （ 1 ）求函数 f(x);（ 2 ）讨论 F （ x ） =af （ x ） 的奇偶性 .xf （ x）四：方向预测、胜利在望1 x的定义域为（）1 ．（ A ）函数 f ( x) lg4xA ． (1，4)B ．[1 ，4)C ． (－∞， 1) ∪(4 ，＋∞ )D ．(－∞， 1] ∪ (4，＋∞ )2. （ A ）以下四个数中的最大者是（）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln2(D) ln23 （ B ）设 a>1 ，函数 f(x)=log a x 在区间［ a,2a ］上的最大值与最小值之差为1, 则 a=()2(A) 2（B ）2（C ）2 2（D ）44. （ A ）已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当0 x1 时， f (x) lg x. 设af (6 ), b f ( 3 ), c f ( 5), 则（ ）5 2 2（ A ） a b c （ B ） b a c （C ） c b a （ D ） c a b5. （ B ）设 f (x )=2e x 1, x2,则不等式 f (x )>2 的解集为（）log 3 (x 2 1), x2,(A)（ 1 ，2 ） （ 3， +∞）(B) （ 10 ， +∞）(C)（ 1 ，2 ）（ 10 ， +∞）(D) （1， 2）6．（A ）设 P log 2 3， Q log 3 2 ， R log 2 (log 3 2) ，则（）Ａ．RQPＢ．PRQＣ．QRPＤ．RPQ7 ． (A) 已知 log 1 blog 1 a log 1 c ，则 ()222A ． 2b 2a 2cB ． 2a 2b 2cC ． 2 c 2b 2aD ． 2c 2a 2b8 ．（ B ）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1 上单调递减的是（）（ A ） f ( x)sin x(B)f ( x)x1(C) f ( x)1 (a x a x)(D) f ( x) ln 2x2 2 x9. （ A ）函数 ylog 1 (3x 2) 的定义域是：（ ）2A [1, )B(32, )C[ 32 ,1]D ( 32,1]10.(A) 已知函数 ylog 1 x 与y kx 的图象有公共点 A ，且点 A 的横坐标为 2 ，则 k （ ）4A ．1 1114B ．C ．D ．4 2 211 ．（ B ）若函数 f (x) a x b 1(a 0且 a 1)的图象经过第二 、三、四象限，则一定有（）A ． 0 a 1且b 0 B ． a 1且b 0C ． 0 a 1且 b 0D ． a 1且b 012 ．(B) 若函数 f ( x) log a x(0 a1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=（ ）A.22 C.114B.4D.2213.(A) 已知 0 ＜ x ＜ y ＜ a ＜ 1 ，则有（）（ A ） log a ( xy) 0 （B ）0 log a ( xy) 1（ C ） 1 log a ( xy) 2 （ D ） log a ( xy) 214. （ A ）已知 f (x 6 )log 2 x ，那么 f (8) 等于（）4 （B ）8（C ）181 （ A ）（ D ）3215 ．（ B ）函数 y ＝ lg|x| A ．是偶函数，在区间 C ．是奇函数，在区间（ ）(－∞， 0) 上单调递增B ．是偶函数，在区间 (－∞， 0) 上单调递减(0 ，＋∞ ) 上单调递增 D ．是奇函数，在区间 (0 ，＋∞ ) 上单调递减16. （ A ）函数 y lg( 4 x) 的定义域是____________________________.x 317 ．（ B ）函数 ya 1 x (a 0， a 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线mx ny 1 0(mn 0) 上，则 1 1 ．m 的最小值为n18 ．（ A ）设 g(x) e x , x 0. 则 g( g( 1lnx, x 0. )) __________219 ．（ B ）若函数 f(x) =2x 22ax a1 的定义域为 R ，则 a 的取值范围为 ___________. 20 ． (B) 若函数 f ( ) loga ( xx 22 a 2 ) 是奇函数，则 a = ．x21.(B) 已知函数f ( x) 1log1 x，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调x 21 x性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1. 解：（1 ） 2，（ 2 ） a 29113 5 1 3515 ab 6b 33b 2) a 2 b 2(a） 1,（23）2.(3)1104ab44 ab例2. 解：B变式：解： (0, 1) ；2例 3. 解：（Ⅰ） b1 （Ⅱ）减函数。