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指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1 ．根式

（ 1 ）根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果 x n

a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根

n 1且 n N

当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次

n

a

零的 n 次方根是零

方根是一个负数

当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反

n

a ( a

0) 负数没有偶次方根

数

（ 2 ）．两个重要公式

a

n 为奇数

① n a n

a( a 0)

；

| a |

0) n 为偶数

a(a

② (n a ) n

a （注意 a 必须使 n a 有意义）。

2 ．有理数指数幂 （ 1 ）幂的有关概念

m

n

a m (a

①正数的正分数指数幂 : a

n

0, m 、 n N ,且 n 1) ;

m

1

1

②正数的负分数指数幂 : a

n

0, m 、 n N , 且 n 1)

m

(a

a n

n

a m

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 .

注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（ 2 ）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q);

②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q);

③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.

3．指数函数的图象与性质

y=a x a>10

图象

定义域R

值域（0，+ ）

性质（ 1 ）过定点（0，1）

（ 2 ）当 x>0 时， y>1; (2) 当 x>0 时， 0

x<0 时 ,01

(3) 在（ - ，+ ）上是增函（3）在（ - ，+ ）上是减函数

数

注：如图所示，是指数函数（ 1 ） y=a x, （ 2） y=b x,（ 3 ） ,y=c x（ 4 ）,y=d x的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即

c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。

（二）对数与对数函数

1、对数的概念

（1 ）对数的定义

如果 a x N (a 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底，N的对数，记作 x log a N，其中 a

叫做对数的底数，N 叫做真数。

（2 ）几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N

常用对数底数为 10

lg N

自然对数底数为 e ln N

2、对数的性质与运算法则

（ 1 ）对数的性质（a 0,且a 1 ）：①log a1 0 ，② log a a 1，③a log a N N ，④log a a N N 。

（2 ）对数的重要公式：

N

①换底公式：log b N log

a (a,b均为大于零且不等于 1,N 0) ； log a b

② log a b1 a

。

log b

（3 ）对数的运算法则：

如果 a 0,且a 1 ，M 0, N 0 那么

① log a (MN ) log a M log a N ；

② log a M

log a M log a N ；N

③ log a M n n log a M ( n R) ；

④ log a m b n n

log a b 。m

3、对数函数的图象与性质

a 10 a 1

图

象

性

（ 1 ）定义域：（ 0,+）

质

（2）值域： R

（3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1 ， 0 ）

（ 4）当

0 x

时，

y ( ,0)

；（ 4 ）当

x 1

时，

y ( ,0)

；1

当 x 1 时，y (0, ) 当 0 x 1时，y (0, ) （ 5）在（ 0,+ ）上为增函数（ 5 ）在（ 0,+ ）上为减函数注：确定图中各函数的底数 a ， b ， c， d 与 1 的大小关系

提示：作一直线y=1 ，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

4 、反函数

指数函数 y=a x与对数函数 y=log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称。

（三）幂函数

1 、幂函数的定义

形如 y=x α（ a ∈ R）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2 、幂函数的图象

1

注：在上图第一象限中如何确定y=x 3， y=x 2，y=x ，y x 2 ，y=x -1方法：可画出 x=x 0；

1

当 x0 >1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ，y x2， y=x -1；

1

当 0

y=x y=x 2 y=x 3 1 y=x -1

y x2

定义域R R R [0 ，）

R且 x 0

x | x

值域R [0 ，）R [0 ，）R且

y 0

y | y

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增x ∈[0 ，）时，增；增增x ∈ (0,+ )时，减；

x ∈ (- ,0) 时，减

x ∈( ,0] 时，减

定点（1，1）