数学：3.1.3空间向量的数量积运算-PPT课件2

如图 OA、O不B共线，
A P t A B ( t R ) ， 则 可 以 用 O A 、 O B 表 示 O P 如 下 ： O
O P O A A P O A tA B O A t(O B O A )
(1 t)O A tO B
B
结论：设O为平面上任一点，则A、P、 P
B三点共线 O P ( 1 t)O A tO B 或：令x=1-t，y=t，则A、P、B三点共线 A
⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方 法及运算律；
⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解 决立体几何中的一些简单问题． 一、证垂直 二、求长度 三、求夹角 四、求投影
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义 如图，已知两个 量a,非 b.在零空向间任取 O， 一点
作OAa,OBb,则角 AO叫 B 做向a与 量 b的夹角，
（x，y），使 g=xm+yn, l·g=xl·m+yl·n
∵ l·m=0,l·n=0 ∴ l·g=0 ∴ l⊥g ∴ l⊥g
这就证明了直线l垂直于平面内的 任一条直线，所以l⊥
三、典型例题
（教材P91例2）利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
bC
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
复习回顾:
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量． a 平行于 b 记作 a // b ．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量. 2.共线向量定理： 空间任意两个向量
a
、b（
记作a： b,即 ab abcosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的投影 4)空间向量的数量积性质
对于非零向量a , b ，有：
1) a e a cos a , e
注意：
2) a b a b 0
2
3) a a a
①性质2）是证明两向量垂直的依据；
b
≠ 0 ） ，
a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
a
l
•
A•
•
B
P
注:我们把非零 向量 a 叫做直线
O
l 的方向向量.
⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t R ,使 AP t a .
∴ 点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 AP t a ①
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA
O P x O A y O B ( 其 中 x y 1 )
特别地，若P为A,B中点,则OP1 OAOB 2
平面向量基本定理：
如果是 e1 ，e 2 同一平面内两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只
有一对实数1， 2，使a1e12e2
a b
P bC A aB
二.共面向量:
A
E
F
B
D
C
三、典型例题-------证垂直
（教材P91例3）已知m,n是平面内的两条相交直 线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n， 求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l
与平面内任意直线g垂直。
l
g m
lm gn n
l
g m
lm gn n
Байду номын сангаас证明：在内作不与m、n重合的任一 条直线g,在l、m、n、g上取非零向 量l、m、n、g，因m与n相交，得向量 m、n不平行，由共面向量定理 可知，存在唯一的有序实数对
②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a)b (ab)
2) ab ba (交换律） 3）a(bc) abac (分配律）
注意：（教材P90思考） 数量积不满足消去率和结合律
（ ab)ca(bc)
二、 课堂练习
3.如图：已知A 空B间 C 的D 四 每边 条形 边和等 对1于 角 ，线 E 点 、 F长 分别 A是 B 、 AD 的中点。 计算 （ 1） E： F BA(2)EF BD(3)EF DC(4)EF AC
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA 证明：在 a上取非零向量 a
P
而 PO , PO a PO a 0
O A a 又 OA a, OA a 0
又 PO , OA 相交，得 PO , OA不平行，由共面向量
定理可知，存在唯一的 有序实数对 x, y , 使
p
P
A aB
C
p
P
b
Aa B
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
存在有序实数对x,y使 A PxA ByA C
或对空间任一点O,有 O P O A x A B yA C
O P m O A n O B t O C , ( m n t 1 )
可证明或判断四点共面
⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
3.1.3 空间向量的数 量积运算
复习回顾:
一、共线向量：
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向
量． a 平行于 b 记作 a // b ．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量. 2.共线向量定理：空间任意两个向量
a
、b（
b
≠
0
），
记作a,： b a
A
a
B O
b
b
范围 0： a,b在这个规定下量 ，的 两夹 个角 向就
被唯一确定了 a,， b＝并 b,a且
如果 a,b,则称 a与b互相垂直， a 并 b 记作
2
2）两个向量的数量积
设OAa,则有向线O段 A的长度叫做a向 的量 长度或,记模作a：
已知空间两个a,向 b，量 则a b cosa,b叫做向a量 ,b的数量积
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t a ② ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB a
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.