2015中考数学考前100天复习一元二次方程
2015年中考数学考点专项二：方程与不等式 一元二次方程
专项二
方程与不等式
2015年考点：一元二次方程
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知识点:配方法的应用专项二来自方程与不等式2015年考点：一元二次方程
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知识点:解一元二次方程：因式分解法
专项二
方程与不等式
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知识点:估算一元二次方程的近似解
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知识点:解一元二次方程：直接开方法
专项二
方程与不等式
2015年考点：一元二次方程
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知识点:解一元二次方程：配方法
专项二
方程与不等式
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知识点:根与系数的关系
专项二
方程与不等式
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专项二
方程与不等式
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知识点:解一元二次方程：公式法
专项二
方程与不等式
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知识点:一元二次方程的一般形式
专项二
方程与不等式
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知识点:一元二次方程的解
专项二
方程与不等式
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知识点:一元二次方程的定义
专项二
方程与不等式
2015年考点：一元二次方程
中考数学一轮复习《一元二次方程》知识要点及专题练习
中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。
其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。
(1)直接开方法。
适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。
(2)配方法。
套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b 2，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。
(3)公式法。
当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：a ac b b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
①b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。
a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。
ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。
定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。
(4)因式分解法。
主要用提公因式法、平方差公式。
3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第6课时一元二次方程及其应用
第6课时一元二次方程及其应用【复习目标】1．了解一元二次方程的定义及一般形式．2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．3．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．4．了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．【知识梳理】1．－元二次方程的定义：只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．3．一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的根为________．(2)配方法的步骤：移项，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．(3)求根公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac_______0时，x＝________．(4)因式分解法：如果一元二次方程可化为a(x－x1)(x－x2)＝0的形式，那么方程的解为________．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________．(1)当△>0时，方程有两个_______的实数根．(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根．(3)当△<0时，方程没有实数根．5．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________．6．列一元二次方程解增长率问题可简化为a(1±x)2＝b，其中a为变化前的基础，b为变化后的结果，x为变化率，但要注意：增长率没有单位，且对于连续变化的问题都是以前一个时间段为基础，如2月份产量是在1月份基础上变化的，而不是以任意一个月份为基础的．【考点例析】考点一 一元二次方程根的意义例1已知1是关于x 的一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定提示 由方程根的意义，把x ＝1代入方程，得到与m 有关的方程，解之即可． 考点二 一元二次方程的解法例2 解下列方程：(1) (x －3)2－9＝0；(2) x 2－2x ＝5；(3) x 2－4x ＋2＝0；(4) 2（x －3）＝3x （x －3)．提示 观察方程的特点可发现：(1)可用直接开平方法；(2)用配方法或公式法；(3)可用公式法；(4)方程都有共同的因式(x －3)，故可用因式分解法．考点三 一元二次方程根的判别式例3 如果关于x 的一元二次方程kx 2－2110k x ++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ( )A ． k<12B ．k<12且k ≠0 C ．－12≤k<12 D ．－12≤k<12且k ≠0 提示 解决本题时需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k ≠0，二是由二次根式的意义知2k ＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()22140x k +->，三者缺一不可．考点四 一元二次方程根与系数的关系例4已知一元二次方程x 2－3x －1＝0的两个根分别是x 1、x 2，则x 21x 2＋x 1x 22的值为 ( )A ．－3B ．3C ．－6D ．6提示由于x21x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)，此时根据一元二次方程根与系数的关系分别求得x1x2、x1＋x2的值，从而解决问题．例5 (2012．南充)关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的两个实数根分别为x1、x2．(1)求m的取值范围；(2)若2（x1＋x2）＋x1x2＋10＝0，求m的值．提示(1)因为一元二次方程有两个实数根，所以△≥0，从而解出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系，可以用含有m的代数式分别表示出x1＋x2及x1x2，代入2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0即可求出m的值．考点五一元二次方程的应用例6据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5 000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7 200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下面的问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？提示(1)设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为5000(1＋x)万人次，2011年公民出境旅游总人数为5000(1＋x)2万人次．根据题意列方程求解；(2)2012年我国公民出境旅游总人数约7 200(1＋x)万人次．例7某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车时，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元／辆；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元．(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为万元；(2)如果汽车的售价为28万元／辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车（盈利＝销售利润＋返利）?提示用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，根据“盈利＝销售利润＋返利”列出方程求解．【反馈练习】1．方程（x－1）(x＋2)＝0的两根为( )A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－22．已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k>43且k≠2 B．k≥43且k≠2C．k>43且k≠2 D．k≥43且k≠23．湛江市2009年平均房价为每平方米4000元，连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5 500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．5500(1＋x)2＝4000 B．5500(1－x)2＝4000C．4 00(1－x)2＝5500 D．4000(1＋x)2＝55004．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为x＝2，则这个方程的另一个根是________．5．已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两根，则11m n+=_______．6．解方程：－x2－2x＝2x＋1．7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？。
中考数学专题复习(一)一元二次方程
专题一：一元二次方程知识要点扫描归纳一 基本概念二、一元二次方程的解法 1．直接开方法（1）用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.如果一个一元二次方程，左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解. 2．配方法（1）用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解题方法.是中学数学中常用的数学方法.（2）配方的关键步骤是：在方程两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方.理论根据是：222)(2b a b ab a ±=+±（3）配方的结果是使方程的一边化为一个完全平方式，另一边为非负实数，再利用直接开平方法求解. 3．公式法（1）用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法.（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 求根公式是：aac b b x 242-±-=（3）在解一元二次方程时，先把方程化为一般开式，确定c b a ,,的值，在042≥-ac b 的情况下：代入求根公式即可求解. 4.因式分解法1． 对于在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用因式分解法来解这个方程。
2． 理论依据：两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零。
例如：如果0)5)(1(=+-x x ，那么x －1=0或x ＋5=0。
因式分解法简便易行，是解一元二次方程的最常用的方法。
3． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程的右边化为零；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积； （3）令每个因式分别为零，得两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
4．形如()002≠=+a bx ax 的方程，可用提公因式法求方程的根：()0021≠-==a abx x ，。
5．形如()()022=+-+n bx m ax )(22b a ≠的方程，可用平方差公式把左边分解。
2015年河北中考数学总复习课件(第7课时_一元二次方程)
将 x＝－1 代入方程解出 m＝1， 再将 m＝1 代入方程中并解这个一元二次方程即可．
解 析
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冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
考 点 聚 焦
考点1 一元二次方程的概念
ax2＋bx＋c＝0 a≠0)． 一元二次方程的一般形式为_______________(
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考点聚焦
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考点聚焦
冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
例 4 解下列一元二次方程： (1)[2014· 遂宁] x2＋2x－3＝0； (2)2(x－3)＝3x(x－3)．
解：(1)∵x2＋2x－3＝0， ∴(x＋3)(x－1)＝0， ∴x1＝1，x2＝－3. (2)∵2(x－3)＝3x(x－3)， ∴2(x－3)－3x(x－3)＝0， ∴(x－3)(2－3x)＝0， 2 ∴x1＝ ，x2＝3. 3
考点聚焦 冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
课 前 热 身
1．下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 ( C ) 1 2 A．x ＋ 2＝0 x B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0 解 析 根据一元二次方程的定义：只含有一个
未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元 二次方程．
解 析
方程的一般形式为 2x2－2x＋2＝0，故选 B.
冀考解读
课前热身
考点聚焦
冀考探究
第7课时┃ 一元二次方程
例 2 [2014· 菏泽] 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ax＋b ＝0 有一个非零根－ b， 则 a－b 的值为 ( A ) A．1 B．－1 C．0 D．－2
【中考夺分天天练】2015年中考数学(安徽)九年级总复习课件：第7讲+一元二次方程及其应用(沪科版)
第7讲┃一元二次方程及其应用
2．[2011·安徽] 一元二次方程 x x－2＝2－x 的根是( D )
A．－1 B．2C．1 和 2 D．－1 和 2
第7讲┃一元二次方程及其应用
3．[ 2013·芜湖二十七中一模] 解方程：(x＋1)·(x－3)＝6. 解：去括号，得 x2－2x－3＝6， 移项，得 x －2x＝9 ， 配方，得 x －2x＋1 ＝10，即(x －1) ＝10， 开平方，得 x－1＝± 10 ， x1＝1＋ 10 ，x 2＝1－ 10.
第7讲
一元二次方程及其应用
┃考点梳理与跟踪练习 ┃ 核心考点一 相关知识
定义 一般 形式
一 个未知数，并且未知数的最高次数是____ 2 的整式方程， 含有____
一元二次方程的解法
叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(注意：要强调a≠0)
第7讲┃一元二次方程及其应用
直接 开平 解 法 方法
第7讲┃一元二次方程及其应用
销售利润 问题 面积问题
(1)毛利润＝售出总额－进货总额．
(2)纯利润＝售出总额－进货总额－其他费用．
(3)利润率＝利润÷进货价 几何图形面积公式
第7讲┃一元二次方程及其应用
经典示例
例4 天山旅行社为吸引顾客组团去黄山风景区旅游，推
出了如下收费标准(如图7－1所示)：
求出人数是解答本题的最终目标． 第7讲┃一元二次方程及其应用
核心练习
7．[2013·淮北五校联考模拟 ] 为了美化环境，淮北市加 大对绿化的投资.2010年用于绿化投资100万元，2011年至2012 年用于绿化投资共 260 万元，求这两年绿化投资的年平均增长 率．设这两年绿化投资的年平均增长率为 x ，根据题意所列方 程为( D )
【名师面对面】2015中考数学总复习 第2章 第8讲 一元二次方程课件
【解析】第1题由Δ＝b2－4ac计算，根据计算结果判断方程根 的情况；第2题先根据判别式的意义得到Δ＝(－3)2－4m＞0，
转化为不等式的问题．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的
判别式Δ＝b2－4ac. 1．b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 2．b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个 ________实数根； 3．b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝
公式法
2 ax ＋ c＝ 0(a ≠ 0) ，当 ③ ：一元二次方程 ＋ bx
b2－ 4ac ≥ 0 时， x＝ ________.
2 ( ) ax ＞ 0) 的两个根分别是 ． 2014· 济宁 若一元二次方程 ＝ b(ab
b 4 ． m ＋ 1 与 2m －4 ，则 a ＝____ 5．解方程：
2 1 玉林)x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x － mx ＋m ． (2014·
1 1 是否存在实数 m 使 x ＋ x ＝ 0 成立？ －2 ＝ 0 的两个实数根 ， 1 2 则正确的结论是 ( A ) A ＝ 0 时成立 ．m C ＝ 0或 2 时成立 ．m B ．m ＝ 2 时成立 D ． 不存在
1．求字母系数时，可以先表示出x1＋x2，x1x2后，再整体代 入，转化为方程再求解． 2. 一元二次方程根与系数的关系研究条件是①a≠0，
②b2－4ac≥0.因此，求出解后需检验是否满足这两个条件．
一元二次方程的实际应用
1 ) ． (2014· ， 天津要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都
中考数学真题分类汇编一元二次方程根与系数的关系解析
2015中考数学真题分类汇编：一元二次方程根及系数的关系一．选择题（共10小题）1．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣32．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．23．（2015•黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．124．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣35．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（2015•广西）已知实数x1，x2满意x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=07．（2014•防城港）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在8．（2014•呼和浩特）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2推断正确的是（）A．x1+x2＞1，x1•x2＞0B．x1+x2＜0，x1•x2＞0C．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0D．x1+x2及x1•x2的符号都不确定9．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a 的值是（）A．﹣1或5 B．1 C．5 D．﹣110．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1二．填空题（共10小题）11．（2015•荆州）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n 的值为．12．（2015•日照）假如m，n是两个不相等的实数，且满意m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= ．13．（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满意+=3，则k的值是．14．（2015•凉山州）已知实数m，n满意3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则= ．15．（2015•六盘水）已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是．16．（2015•成都）假如关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（写出全部正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．17．（2015•西宁）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为．18．（2015•赤峰）若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab= ．19．（2014•雅安）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m= ．20．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是．三．解答题（共10小题）21．（2014•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）务实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．22．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．23．（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m ﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的最大值．24．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）务实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，恳求出k的值；若不存在，请说明理由．25．（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）推断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于随意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．26．（2013•菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2﹣x1﹣2，推断y是否为变量k的函数？假如是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．27．（2012•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．（2012•内江）假如方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请依据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满意a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满意a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．30．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）假如x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．2015中考数学分化真题分类汇编：一元二次方程根及系数的关系参考答案及试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3考点：根及系数的关系．专题：计算题．分析：依据根及系数的关系求解．解答：解：x1•x2=﹣3．故选D．点评：本题考察了根及系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．2．（2015•枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2考点：根及系数的关系．分析：依据根及系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，解得：m=﹣2，n=﹣8，∴m+n=﹣10，故选A．点评：本题考察了根及系数的关系的应用，能依据根及系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．3．（2015•黔东南州）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6 B．8 C．10 D．12考点：根及系数的关系．分析：依据根及系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=﹣3，再变形x12+x22得到（x1+x2）2﹣2x1•x2，然后利用代入计算即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=22﹣2×（﹣3）=10．故选C．点评：本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根及系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（2015•衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3考点：根及系数的关系．分析：依据一元二次方程根及系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．解答：解：设一元二次方程的另一根为x1，则依据一元二次方程根及系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．点评：本题考察了一元二次方程根及系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．5．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：根及系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：①依据题意，以及根及系数的关系，可知两个整数根都是负数；②依据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采纳举例反证的方法解决，据此即可得解．解答：解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n ＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，4m2﹣8n=m2﹣2n≥0，4n2﹣8m=n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③∵y1+y2=﹣2n，y1•y2=2m，∴2m﹣2n=y1+y2+y1•y2，∵y1及y2都是负整数，不妨令y1=﹣3，y2=﹣5，则：2m﹣2n=﹣8+15=7，不在﹣1及1之间，③错误，其中正确的结论的个数是2，故选C．点评：本题主要考察了根及系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考察了举例反证法，有肯定的难度，留意总结．6．（2015•广西）已知实数x1，x2满意x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0考点：根及系数的关系．分析：依据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进展推断即可．解答：解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，故选：A．点评：本题考察的是一元二次方程根及系数的关系，驾驭以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0是详细点关键．7．（2014•防城港）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根及系数的关系．分析：先由一元二次方程根及系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进展检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A．点评：本题主要考察了一元二次方程根及系数的关系：假如x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．8．（2014•呼和浩特）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2推断正确的是（）A．x1+x2＞1，x1•x2＞0B．x1+x2＜0，x1•x2＞0C．0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0D．x1+x2及x1•x2的符号都不确定考点：根及系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：依据点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出a＞0，c＞0，再点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，得出b＜0，c+1＞0，再依据x1•x2=，x1+x2=﹣，即可得出答案．解答：解：∵点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，∴a＞0，c＞0，ac=1，即a=，∵点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，即第二象限上，∴b＜0，c+1＞0，b（c+1）=﹣1，即b=﹣，∴x1•x2=＞0，x1+x2=﹣=，∴0＜x1+x2＜1，故选：C．点评：本题考察了根及系数的关系，驾驭根及系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．9．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）A．﹣1或5 B．1 C．5 D．﹣1考点：根及系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，依据根及系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满意△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根及系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了一元二次方程的根的判别式．10．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根及系数的关系．专题：计算题．分析：先依据根及系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进展推断．解答：解：依据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D．点评：本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根及系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．二．填空题（共10小题）11．（2015•荆州）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为0 ．考点：根及系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根及系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．解答：解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，故答案为：0点评：此题考察了根及系数的关系，以及一元二次方程的解，娴熟驾驭根及系数的关系是解本题的关键．12．（2015•日照）假如m，n是两个不相等的实数，且满意m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015= 2026 ．考点：根及系数的关系．分析：由于m，n是两个不相等的实数，且满意m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则依据根及系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解答：解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满意m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则依据根及系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考察一元二次方程根及系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根及系数的关系式求值．13．（2015•内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满意+=3，则k的值是 2 ．考点：根及系数的关系．分析：找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根及系数的关系求出两根之和及两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和及两根之积代入，即可求出所求式子的值．解答：解：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=k，+===3，解得：k=2，故答案为：2．点评：此题考察了一元二次方程根及系数的关系，对所求的代数式进展正确的变形是解决本题的关键．14．（2015•凉山州）已知实数m，n满意3m2+6m﹣5=0，3n2+6n﹣5=0，且m≠n，则= ﹣．考点：根及系数的关系．分析：由m≠n时，得到m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两个不等的根，依据根及系数的关系进展求解．解答：解：∵m≠n时，则m，n是方程3x2﹣6x﹣5=0的两个不相等的根，∴m+n=2，mn=﹣．∴原式====﹣，故答案为：﹣．点评：本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根及系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2015•六盘水）已知x1=3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根x2是 1 ．考点：根及系数的关系．分析：依据根及系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．解答：解：设方程的另一个根是x2，则：3+x2=4，解得x=1，故另一个根是1．故答案为1．点评：本题考察的是一元二次方程的解，依据根及系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．16．（2015•成都）假如关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是②③（写出全部正确说法的序号）①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．考点：根及系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．专题：新定义．分析：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴得到抛物线的对称轴x===，于是求出x1=，故④错误．解答：解：①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，∴方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②∵（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，∴=﹣1，或=﹣4，∴m+n=0，4m+n=0，∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上，∴pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，∴x2=2x1，故③正确；④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，∴设x1=2x2，∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴抛物线的对称轴x===，∴x1+x2=5，∴x1+2x1=5，∴x1=，故④错误．故答案为：②③．点评：本题考察了根及系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．17．（2015•西宁）若矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为16 ．考点：根及系数的关系；矩形的性质．分析：设矩形的长和宽分别为x、y，由矩形的长和宽是方程2x2﹣16x+m=0（0＜m≤32）的两个根，依据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根及系数的关系得到x+y=8；xy=，然后利用矩形的性质易求得到它的周长．解答：解：设矩形的长和宽分别为x、y，依据题意得x+y=8；所以矩形的周长=2（x+y）=16．故答案为：16．点评：本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根及系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了矩形的性质．18．（2015•赤峰）若关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别为2和b，则ab= 4 ．考点：根及系数的关系．分析：依据根及系数的关系得到，通过解该方程组可以求得a、b的值．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（a+5）x+8a=0的两个实数根分别是2、b，∴由韦达定理，得，解得，．∴ab=1×4=4．故答案是：4．点评：本题考察了根及系数的关系．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．19．（2014•雅安）关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m= 0 ．考点：根及系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：依据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2及x1x2的值，再依据x12+x22=3，即可求出m的值．解答：解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m﹣1，x1x2=m2﹣1，∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2﹣1）=3，解得：m1=0，m2=2，∵方程有两实数根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，即m≤∴m2=2（不合题意，舍去），∴m=0；故答案为：0．点评：本题考察了根及系数的关系及根的判别式，难度适中，关键驾驭x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．20．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是﹣2或﹣．考点：根及系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种状况进展探讨：①假如x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②假如x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再依据判别式进展检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①假如x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②假如x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考察了一元二次方程的根及系数的关系，根的判别式，留意在利用根及系数的关系时，需用判别式进展检验．三．解答题（共10小题）21．（2014•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）务实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．考点：根及系数的关系；根的判别式．专题：代数综合题．分析：（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac ＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；（2）依据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2x+1=0，依据根及系数的关系，可得x1+x2=2，x1x2=1，再将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=8﹣4m＞0，解得m＜2，故整数m的最大值为1；（2）∵m=1，∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1=0，∴x1+x2=2，x1x2=1，∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．点评：此题考察了一元二次方程根及系数的关系及根的判别式．此题难度不大，解题的关键是驾驭一元二次方程根的状况及判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．驾驭根及系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．22．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根及系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种状况分类探讨即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考察了根及系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别及系数的关系．23．（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m ﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的最大值．考点：根及系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．专题：代数综合题．分析：（1）首先依据根的判别式求出m的取值范围，利用根及系数的关系，求出符合条件的m的值；（2）把利用根及系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m 的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．点评：此题考察根及系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac 来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根及系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．24．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）务实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，恳求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：根及系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）依据已知一元二次方程的根的状况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根及系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．（2）假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：本题综合考察了根的判别式和根及系数的关系，在解不等式时肯定要留意数值的正负及不等号的改变关系．25．（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）推断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于随意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．考点：根及系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．专题：压轴题；阅读型；新定义．分析：（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；（2）由条件x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后依据公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．解答：解：（1）不是，解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n，当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0时，m=﹣，∴c=﹣b2．∵是偶系二次方程，当b=3时，c=﹣×32．∴可设c=﹣b2．对于随意一个整数b，c=﹣b2时，△=b2﹣4ac，=4b2．x=，∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．点评：本题考察了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根及系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本题时依据条件特征建立模型是关键．26．（2013•菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设y=x2﹣x1﹣2，推断y是否为变量k的函数？假如是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．考点：根及系数的关系；根的判别式．专题：证明题．分析：（1）依据一元二次方程的定义得到k≠0，再计算出判别式得到△=（2k﹣1）2，依据k为整数和非负数的性质得到△＞0，则依据判别式的意义即可得到结论；（2）依据根及系数的关系得x1+x2=，x1•x2=，则依据完全平方公式变形得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=﹣==（2﹣）2，由于k为整数，则2﹣＞0，所以x2﹣x1=2﹣，则y=2﹣﹣2=﹣．解答：（1）证明：依据题意得k≠0，∵△=（4k+1）2﹣4k（3k+3）=4k2﹣4k+1=（2k﹣1）2，而k为整数，∴2k﹣1≠0，∴（2k﹣1）2＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：y是变量k的函数．∵x1+x2=，x1•x2=，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=﹣==（2﹣）2，∵k为整数，∴2﹣＞0，而x1＜x2，∴x2﹣x1=2﹣，∴y=2﹣﹣2=﹣（k≠0的整数），∴y是变量k的函数．点评：本题考察了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根及系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考察了一元二次方程的根的判别式．27．（2012•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．考点：根及系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：（1）找出一元二次方程中的a，b及c，表示出b2﹣4ac，然后推断出b2﹣4ac大于0，即可得到原方程有两个不相等的实数根；（2）利用根及系数的关系表示出两根之和及两根之积，推断出两根之积小于0，得到两根异号，分两种状况考虑：若x1＞0，x2＜0，利用肯定值的代数意义化简已知的等式，将表示出的两根之和代入，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出方程，求出方程的解即可；若x1＜0，x2＞0，同理求出m的值及方程的解．解答：解：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣）2+，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1﹣，x2=1+．点评：此题考察了一元二次方程根的判别式，以及根及系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．28．（2012•怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根及系数的关系；根的判别式．分析：依据根及系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；依据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）依据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根及系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考察了根及系数的关系、根的判别式．留意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2012•内江）假如方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请依据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满意a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满意a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．考点：根及系数的关系；根的判别式．分析：（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，得出+=﹣，•=，再依据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．（2）依据a、b满意a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x ﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．（3）依据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再依据c2﹣4•≥0，即可求出c的最小值．解答：解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，则：+==﹣，•==，若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，则这个一元二次方程是：x2+x+=0；（2）∵a、b满意a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，当a≠b时，a+b=15，ab=﹣5，。
2015年广西中考数学总复习课件第8课时 一元二次方程(共42张PPT)
2
2
，x 2 ＝
第8课时
一元二次方程
方法二：由p ＝(x－3)(x－2)＝x －5x＋6＝
5 5 2 2 1 － ＝x－ － ， 2 4 2
2
2
5 2 2 x － 5x ＋ 2 ＋6
5 1 1 1 5 2 2 2 得 x－ ＝p ＋ ，无论p取何值，p ＋ ≥ ，因此x＝ ± 2 4 4 4 2
A．m≠1 B．m≠0 C．m≠±1 D．m＝Fra bibliotek1第8课时
一元二次方程
3．方程 x2－25＝0 的解是( C )
A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝25 C．x1＝5，x2＝－5 D．x1＝25，x2＝－25
4．在下列方程中，有实数根的是( A )
A．x2＋3x＋1＝0 B. 4x＋1＝－1 C．x ＋2x＋3＝0
2 2 ________ ，另一个根为_______
10．解方程：x2－2x＋2＝x.
x1 ＝1，x2 ＝2
第8课时
一元二次方程
┃考向互动探究┃
类型题展示 ► 类型之一 一元二次方程的定义和解法
例 1
[2014·白银] 若一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0
的一个根为 x＝0，则 a＝________．
2
第8课时
一元二次方程
►
类型之二
一元二次方程根与系数的关系
2
例2
已知关于 x 的一元二次方程 x ＋4(m＋1)x＋2m－1＝0，
求证：不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． 证明：Δ ＝16(m＋1) －4(2m－1) ＝16m2＋24m＋20
2015中考-提高篇-21-一元二次方程 - 学生版
5.（2014 北京，17，5 分）已知关于 x 的方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0（m≠0）. （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值.
三、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.（2014 四川攀枝花，8，3 分）若方程 x2+x－1=0 的两实根为 α、β，那么下列说法不正确 的是( ．．． A．α+β=－1 B．αβ=－1 C．α2+β2=3 D．
2 2
2
8.(2014 湖北十堰，21，7 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2
2
2 m 1 x
m2 1
0．
(1)若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； (2)若方程两实数根分别为 x1 ， x2 ，且满足 x1
x2
2
16 x1 x2 ，求实数 m 的值．
四、一元二次方程的应用 1.（2014 辽宁沈阳，21，10 分）某公今年销售一种产品，1 月份获得利润 20 万元，由于产品畅销，利润逐月增 加，3 月份的利润比 2 月份的利润增加 4.8 万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.
一、一元二次方程、一元二次方程的根、一元二次方程的解法
1.（2014 山东菏泽，6，3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 ax b ＝0 有一个非零根 b ，则 a b 的值为( A．1 B．－1 C．0 D．－2 )
2.(2014 湖北襄阳，16，3 分)若正数 a 是一个一元二次方程 x2－5x＋m＝0 的一个根，－a 是一元二次方程 x2＋5x－m ＝0 的一个根，则 a 的值是___________. 3.(2014 江苏苏州，7，3 分)下列关于 x 的方程有实数根的是( ) 2 2 A.x -x+1=0 B.x +x+1=0 C.(x-1)(x+2)=0 D.(x-1)2+1=0 4.（2014 湖北荆州，5，3 分）已知 α 是一元二次方程 x2－x－1＝0 较大的根，则下面对 α 的估计正确的是( A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3
2015年河北中考数学总复习课件(第8课时_一元二次方程与实际问题)
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第8课时┃ 一元二次方程与实际问题
变式题 对原价为 289 元的某种药品进行连续两次降价后 为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正 确的是 ( C ) A．289(1－2x)＝256 B．256(1－x)2＝289 C．289(1－x)2＝256 D．256(1－2x)＝289
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第8课时┃ 一元二次方程与实际问题
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探究一 一元二次方程与平均增长率
命题角度： 用一元二次方程解决增长率问题．
例 1 [2014· 桂林] 电动自行车已成为市民日常出行的首选 工具． 据某市品牌电动自行车经销商 1 至 3 月份统计， 该品牌电 动自行车 1 月份销售 150 辆，3 月销售 216 辆． (1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为 2300 元，售价为 2800 元， 则该经销商 1 月至 3 月共盈利多少元？
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第8课时┃ 一元二次方程与实际问题
2．如图 8－1，用 13 m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为 20 m2 的长方形，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边 长为 x m，可得方程 ( B )
A．x(13－x)＝20 1 C．x(13－ x)＝20 2
图 8－1 x B. (13－x)＝20 2 x D. (13－2x)＝20 2
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第8课时┃ 一元二次方程与实际问题
考 点 聚 焦
考点1 由实际问题抽象出一元二次方程
备战中考数学—一元二次方程的综合压轴题专题复习及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216k k k -+-的值． 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．【详解】解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩＝＝＝ ， 由条件，知12121211x x x x x x ++==3， 即33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178k ≤， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使2216k k k -+-无意义. 综上，代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=13．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x 千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12，整理得：x 2﹣65x ﹣750=0，（x ﹣75）（x+10）=0，解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =- 92m ≥- 3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.5．阅读下面的例题，范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．【答案】x 1=4，x 2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，故原方程的根是x1=4，x2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯. 答：该店应按原售价的九折出售.8．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0 y +1=0解得：x =1，y =﹣1∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得：a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．9．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：∵（a b-）2=a﹣2ab+b≥0∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为．当x＜0时，x+1x的最大值为；（2）若y=27101x xx+++，（x＞﹣1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b ab a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，1x-＞0，则也可以按公式a+b ab a=b时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．10．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。
2015中考数学冲刺复习一元二次方程全面版
B C第Βιβλιοθήκη 课时 一元二次方程提高题第7课时 一元二次方程
拔高题
第7课时 一元二次方程课时作业
一、选择题
B B
D D
B
第7课时 一元二次方程课时作业
二、填空题 1
4
第7课时 一元二次方程课时作业
-1
第7课时 一元二次方程课时作业
三、解答题
第7课时 一元二次方程课时作业
第7课时 一元二次方程课时作业
④理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数 字系数的一元二次方程．
⑤能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
不等式 与不等 式组
①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质 ．
②会解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集 ；会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定 解集．
数学
第7课时 一元二次方程
第7课时 一元二次方程
• 最新广东省初中毕业生数学学科学业考试大纲：
分类
考点说明
①能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画 现实世界数量关系的有效模型．
方程与方 程组
②掌握等式的基本性 质③会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一 次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）
第7课时 一元二次方程课时作业
谢谢！
结束
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
2015中考数学一轮复习一元二次方程复习指导
一元二次方程复习指导一元二次方程同以前学习的一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等一样,也是解决现实问题的有效手段 •通过本章复习，能较为熟练的掌握一元二次方程的解法，学会把实际问题 转化为数学问题（设元、列方程），建立二次方程模型，解决实际问题，提升分析和解决问题的能力•一、知识网络直接开方法1、 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个 有效的数学模型•2、 了解一元二次方程及其相关概念，会用直接开方法、配方法、公式法、分解因式法解简单的一元 二次方程（数字系数），并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想3、 能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一 步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力4、 理解一元二次方程的根的判别式，会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况；5、掌握一元二次方程根与系数的关系式，会进行简单的运用四、 知识要点回顾（1 ）一元二次方程基本概念、解法； （2） —元二次方程的根的判别式； （3）一元二次方程的根与系 数的关系（又称韦达定理）；（4）一元二次方程的根的判别式与根与系数关系综合应用； （5）一元二次方程的应用•五、 中考考点点击一元二次方程是历年中考的重点内容•对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加 了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.考试题型以填空、选择，解答题为主 •分值一般为10- 15分.下面举例说明“一元二次方程” 一章内容的主要考点.考点一 一元二次方程的基本概念基础知识链接：(1)注意一元二次方程定义中的三个条件(只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2,「实际蒯亠亠、〔点难点 分析抽象抽象出方程模型；关键历和体配方法元隔法及其应用；难点是从对实际问 方:验 —► 公式法的形成与应用过程中， 次方的数量关系中寻求相等关系，从而 的体会方程是刻画现实世界的一个有效的关是一兀 程 在经三、 课程目标整式方程)，是判断一个方程是否为一元二次方程的依据；(2) 一般地,确定a、b、c的值,要先把一元二次方程化为一般形式ax2+ bx+ c= 0( a* 0);(3) 设x o是方程ax2+bx+c=0 的根，贝U ax2o+bx o+c=O.2 2例1 关于x的一元二次方程(a-1) x +x+a -1=0的一个根是0,贝U a的值为().1A. 1B.—1C. 1 或一1D.-2分析：一元二次方程ax2+ bx+ c = 0(a* 0)有一个根为0，则其常数项c=0.解：由题设知a —1 * 0,且a2-1=0 .解得a=—1 .故选B.评注：在一元二次方程ax2+bx+c=0的定义中，要特别注意a*0的条件.在含有字母的一元二次方程的试题中，往往在a*0设下陷阱，要特别引起注意.考点二一元二次方程的解法基础知识链接：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.例2解方程x(x -1)=2 .有学生给出如下解法：x(x -1)=2=1 X 2= ( -1 )X( -2),••• ?=1，或尸2，或尸-1，或产-2,x-1=2; x-1=1; X-1--2; X-1--1.解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得x=2或x=-1.x=2 或x=- -1 .请问：这个解法对吗？试说明你的理由.解：对于这个特定的已知方程，解法是对的.理由是：一元二次方程有实数根的话，可能有两个相等的实数根或两个不相等的实数根.该学生考虑了两因数X、x -1各种可能的情况，并且已经将两个实数根都求出来了，所以是对的.评注：解方程x(x-1)=2，固然可以运用因式分解的常规方法，然而命题者却突破常规思维模式，运用分类讨论和转化的思想求解，意在考查学生的创新思维能力考点三一元二次方程根的判别式基础知识链接：一元二次方程ax2+ bx+ c = 0 (a* 0)根的判别式为b2—4ac.利用"b2—4ac”不解方程可以判别方程根的情况：①当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac<O时，方程没有实数根.也可以根据根的情况确定未知系数的取值范围.例3已知关于x 的一元二次方程 (m — 2)2x 2 - (2m 1)x 1 = 0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是人3A . m —4223解：依题意得(2m +1) — 4( m 2) =20m 15 > 0,解得m>—;又二次项的系数m 2丰0,即m^ 2 .于是m 的43取值范围是m •且m = 2 .故选C.4评注：解答本例时，常常容易忽视二次项的系数不为 0的隐含条件.考点四可化为一元二次方程的分式方程的解法基础知识链接：解分式方程的一般方法是通过去分母将分式方程转化为整式方程•解分式方程的步骤 有三，即去分母，化分式方程为整式方程；解这个整式方程；验根.去分母的关键是找出各分母的最简公分母•验根的方法是把变形后整式方程的根代入到最简公分母或 原方程中去检验. 例4解方程：二631 .X 2 -1 X -1分析：本例最简公分母是 X 2-1 •根据等式的性质，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程, 求出的解一般代入最简公分母进行检验，使最简公分母为0的根便是增根.解：去分母，得 6-3( x +1)=x 2 -1，即 x 2 +3x -4=0 . 解得 x 1=1, x 2 =-4 .经检验，x 1 =1是增根.故原方程的根是 x 2 =-4 .评注：解分式方程验根是必不可少的步骤，因为在去分母的过程中，扩大了未知数的取值范围. 考点五一元二次方程的应用基础知识链接：建立方程模型解决实际问题，首先要把实际问题转化为数学问题 (设元、列方程)，然后通过解决数学问题达到解决实际问题 (列方程、写出答案)的目的.在这个过程中，列方程起着关键的作用.列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：①审题；②设元 (未知数)；③找出等量关系；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦作答.例5今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便.例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用1-小时.已知第840公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多分析：由方程有两个不相等的实数根，知其判别式大于0.六次提速后比第五次提速后的平均时速快了分析：根据行程问题的等量关系，不难发现本例的等量关系是：第五次提速后特快列车运行全程所用时间-第六次提速后特快列车运行全程所用时间=17小时. 8解：设第五次提速后的平均速度是 x 公里/时，则第六次提速后的平均速度是(x +40)公里/时•根据题意，得1 5 0 0 1500 _15 x x 408去分母，整理得 x +40x - 32000-0. 解得 x i -160, X 2-— 200.经检验，X i -160, x ?--200都是原方程的解，但 X 2-— 200 v 0,不合题意，舍去.••• x -160, x+40-200.答：第五次提速后的平均时速为160公里/时，第六次提速后的平均时速为 200公里/时.评注：我国铁路实现了第六次大提速，不仅给旅客的出行带来了更大的方便，更重要的是提高了国民 经济建设的速度，是社会的热点问题之一.以社会热点问题为背景，编拟方程应用题，是历年中考的亮点 之一.例6为响应承办“绿色奥运”的号召，某班组织部分同学义务植树 180棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的人数比原计划增加了 50%,结果每人比原计划少栽了 2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？分析：设原计划有x 人参加植树活动，实际参加植树活动的有(x+50 %x)人，共植树180棵.于是原计划每人植树 型 棵，实际每人植树棵.等量关系是：原计划每人植树棵数-实际每人植树棵数xx + 0.5x=2棵.解：设原计划有x 人参加植树活动，根据题意得180一 180=2 .x x+0.5x解这个方程，得x =30 .答：实际参加这次植树活动的人数为45人.评注：在列方程解应用题的过程中，审题是解决问题的基础，找出相等关系是解决问题的关键，灵活 设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据具体情况把握好解题的每一步.少. 经检验，x =30是原方程的解且符合题意.此时,x 0.5x =30 0.5 30 =45.一元二次方程是初中数学的重要内容，除了以上考点之外，常与函数、三角、几何等内容相结合，形成综合性试题，限于篇幅，本文就不一一赘述了.。
火线100天(河北专版)中考数学一轮复习 第7讲 一元二次方程-人教版初中九年级全册数学试题
第7讲一元二次方程命题点年份题号考查内容考查频次考查方向一元二次方程的解法2014 21考查配方法解一元二次方程、平方根的定义、一元二次方程求根公式解答题1个高频考点常与其他知识相结合，预计2016年仍是与其他知识结合考查一元二次方程根的判别式2015 12一元二次方程根的判别式与不等式相结合选择题1个首次出现该知识点，应引起重视一元二次方程的应用2013 25(4)通过解一元二次方程，计算运营指数达到某一值时，运输次数和平均速度的变化值解答题1问常与二次函数相结合，预计2016年考查的可能性不大一元二次方程的概念只含有①________个未知数，未知数的最高次数是②________，像这样的③________方程叫一元二次方程．其一般形式是④____________．一元二次方程的解法直接开平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程.配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的⑤________式，右边是一个非负常数.公式法求根公式为⑥________________，适用于所有的一元二次方程. 因式 分解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为⑦______；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.一元二次方程的应用(1)列一元二次方程解应用题的步骤：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥作结论． (2)一元二次方程应用问题常见的等量关系： ①增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；②利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；③利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价．一元二次方程根的判别式(1)根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由⑧________来判定，我们将⑨________称为根的判别式．(2)判别式与根的关系： ①当b 2－4ac>0方程有⑩________的实数根； ②当b 2－4ac<0方程没有实数根；③当b 2－4ac ＝0方程有○11________的实数根． 【易错提示】 一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0.利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法称为让根回家．命题点1 一元二次方程的解法(2014·某某)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac ＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－c a，……第一步x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，……第二步(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2，……第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，……第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.……第五步(1)嘉淇的解法从第________步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac ＞0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式是________________．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 【解答】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，需除以二次项系数之后再配方，这里可与二次函数的配方进行比较．1．(2014·某某改编)已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－22．(2014·某某路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为（ ） A ．(x ＋2)2＝9 B ．(x －2)2＝9 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＝13．(2015·某某)方程x 2＋x ＝0的解是________________． 4．用公式法解方程：(1)(2014·某某)x 2＋2x －3＝0；(2)(2014·某某改编)x 2＋22x －6＝0；(3)(2013·滨州改编)2x 2－3x ＋1＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式(2015·某某)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值X围是（）A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥1注意有实数根与有两个不相等的实数根的区别．1. (2015·某某裕华区模拟)一元二次方程 x2＋2x－c＝0中，c＞0，该方程的解的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能确定2．(2015·某某)如果方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是________．3．(2015·某某)关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值X围．4．(2015·某某)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)命题点3 一元二次方程的应用(2014·某某)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量将减少10个；定价每减少1元，销售量将增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2 000元，则应进货多少个？定价为多少元？ 【解答】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．1．(2014·百银)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列方程为（ ） A ．x(5＋x)＝6 B ．x(5－x)＝6 C ．x(10－x)＝6 D ．x(10－2x)＝62．，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）C ．1.4(1＋x)2(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.1．(2015·某某二模)若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋2x －2＝0有实数根，则a 的取值X 围是（ ） A ．a ＞12B ．a ≥12C ．a ＞12且a≠1D ．a ≥12且a ≠12．(2014·某某一模)方程(x ＋1)(x －3)＝5的解是（ ） A ．x 1＝1，x 2＝－3 B ．x 1＝4，x 2＝－2 C ．x 1＝－1，x 2＝3 D ．x 1＝－4，x 2＝23．(2014·某某)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－24．(2015·某某新华区质检)某工厂2014年的生产总值比2013年增长了12%，由于排污设备需要改造升级，预计今年比2014年增长7%，若这两年生产总值年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．12%＋7%＝xB ．(1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x)C．12%＋7%＝2xD．(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x)25．(2014·某某)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．(3＋x)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝156．(2014·某某)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝________．7. (2015·某某改编)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为________．8．(2013·某某)定义运算“★”：对于任意实数a、b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是________．9．(2014·某某)如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程________________．10．解方程：(1)(2014·某某)3x(x－2)＝2(2－x)；(2)(2013·某某)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.11. (2015·某某路北二模)已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根．(1)求m的值及方程的另一个根；(2)若7－x≥1＋m(x－3)，求x的取值X围．12．(2014·某某)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；，求可变成本平均每年增长的百分率x.13．(2013·某某)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，”他的说法对吗？请说明理由．14．(2015·某某)水果店X阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，X阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，X阿姨需将每斤的售价降低多少元？15. (2015·某某新华区质检) 已知关于x的方程(k－1)x2＋2x＋1＝0有实数解，则k的取值X围是（）A．k＞2B．k≥2C．k≤2D．k≤2且k≠116．(2014·某某改编)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m.(1)若花园的面积为192 m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，若花园的面积为195平方米，能否将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)．参考答案 考点解读考点1 ①1 ②2 ③整式 ④ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)考点2 ⑤完全平方 ⑥x＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0) ⑦0考点4 ⑧b 2－4ac ⑨b 2－4ac ⑩两个不相等 ○11两个相等 各个击破例1 (1)四 x ＝－b ±b 2－4ac2a(2)方程x 2－2x －24＝0变形，得x 2－2x ＝24，x 2－2x ＋1＝24＋1，(x －1)2＝25，x －1＝±5，x ＝1±5， 所以x 1＝－4，x 2＝6.题组训练 1.C 2.A 1＝0，x 2＝－14.(1)x 1＝1，x 2＝－3. (2)x 1＝2，x 2＝－3 2. (3)x 1＝1，x 2＝12.例2 B题组训练 1.B 2－4ac ＝32－4×2×(－m)＞0，解得m ＞－98.∴m 的取值X 围是m ＞－98.4.(1)化简方程，得x 2－5x ＋(4－p 2)＝0.∴Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2. ∵p 为实数， ∴9＋4p 2＞0.∴方程有两个不相等的实数根．(2)当p 为0、2、－2时，方程有正数解．例3 设每个商品的定价是x 元，由题意，，得x 2－110x ＋3 000＝0. 解得x 1＝50，x 2＝60.当x ＝50时，进货180－10(x －52)＝200(个)，不符合题意，舍去． 当x ＝60时，180－10(x －52)＝100(个)． 答：当该商品每个单价为60元时，进货100个． 题组训练 1.B 2.C 整合集训1．D 2.B 3.A 4.D 5.A 6.1 7.13 8.－1或4 9.(30－2x)(20－x)＝78×610.(1)3x(x －2)－2(2－x)＝0，3x(x －2)＋2(x －2)＝0，(3x ＋2)(x －2)＝0，x 1＝－23，x 2＝2.(2)原方程可化为x 2－6x ＋8＝0.∴(x－3)2＝1. ∴x－3＝±1. ∴x 1＝2，x 2＝4.11.(1)把x ＝2代入x 2＋3x ＋m －2＝0，得4＋6＋m －2＝0. ∴m＝－8. 方程化为x 2＋31＝2，x 2＝－5.∴m＝－8，另一个根为－5.(2)7－x≥1－8(x －3)，解得x≥187.12.(1)(1＋x)2(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.13.(1)设其中一个正方形的边长为x cm ，由题意得x 2＋(10－x)2＝58. 解得x 1＝3，x 2＝7.4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)． 答：小林应剪成12 cm 和28 cm 的两段．(2)假设能围成．由(1)，得x 2＋(10－x)22－10x ＋26＝0.因为Δ＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的． 14.(1)(100＋200x) (2)根据题意，1＝0.5, x 2＝1. ∵每天至少售出260斤， ∴x ＝1.答：X 阿姨需将每斤的售价降低1元． 15.C16.(1)∵AB＝x m ，则BC ＝(28－x) m ， ∴x 1＝12，x 2＝16. ∴x 的值为12 m 或16 m ．1＝15，x 2＝13.当x ＝15时，28－x ＝13＜15，不能将这棵树围在花园内；当x ＝13时，28－x ＝15，能将这棵树围在花园内． 综上，能将这棵树围在花园内．。
火线100天(安徽专版)中考数学一轮复习 第二单元 方程
第6讲一元二次方程命题点年份(2013～2015)题序题型分值考查方向一元二次方程的应用2015 6 选择题 4近5年考查两次，另外3年考查的是其解法，2013和2015两年考查的是增长率问题.2013 7 选择题 4一元二次方程的解法思想和思路解一元二次方程的基本思想是①____；解一元二次方程的常规思路是将二次方程转化为②________.主要解法(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)③______；(4)公式法．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为：④________________.一元二次方程的应用一元二次方程的应用题解题步骤(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；(6)答：写出答案.1．在解一元二次方程时，要注意每一种解法的特点，灵活地选用合适的解法．在利用求根公式时，要注意前提条件b2－4ac≥0.2．用一元二次方程解决实际问题时，应把实际问题转化为数学模型，建立方程求解，分析等量关系，可借助画线段、表格等方法，同时应掌握一些常见的等量关系，如平均增长率问题、工程问题、利润问题等．对于一元二次方程的根要根据实际情况进行取舍．命题点1 一元二次方程的解法(2012·安徽)解方程：x2－2x＝2x＋1.【思路点拨】分析该一元二次方程的特点，先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．【解答】解一元二次方程通常就是四种方法，即直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法．只要方程有实数根，配方法和公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．1．(2015·滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为( )A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝192．(2015·聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是________．3．(2015·丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写________________________________________________________________________．4．(2015·大连)解方程：x2－6x－4＝0.命题点2 一元二次方程的应用(2015·蜀山二模)“大湖名城·创新高地·中国合肥”，为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：(1)如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；(2)如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3 150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【思路点拨】根据题中条件容易判断出参加的人数为30人以上，等量关系为：人均价格×参加人数＝3 150，而人均费用代数式可表示为：[100－2(x－30)]．从而可以列出方程，所求出的解需要根据人均费用不能低于80来判断是否符合题意．【解答】列方程解决实际问题的关键是要找到等量关系，在寻找等量关系时有时要借助示意图，图表等，在得到方程的解后，需要检验它是否符合实际意义．1．(2015·安徽)我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )A．1.4(1＋x)＝4.5B．1.4(1＋2x)＝4.5C．1.4(1＋x)2＝4.5D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.52．(2015·济南)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cmC．14 cm D．16 cm3．(2015·达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利 1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为________________________．1．(2015·随州)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋92．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( )A．1 B．2C．1或2 D．03．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．x＝－1 B．x＝2C．x＝1和x＝2 D．x＝－1和x＝24．(2013·安徽)目前我们已经建立了比较完整的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( ) A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝3895．(2015·烟台)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( )A．2或－1 B．0或1C．2 D．－16．(2015·佛山)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7 mB．8 mC．9 mD．10 m7．(2015·厦门)方程x2＋x＝0的解是____________．8．(2014·广州)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的解为____________．9．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________支．10．解方程：(1)(2015·广东)x2－3x＋2＝0；(2)(2015·兰州)x2－1＝2(x＋1)．11．(2015·自贡)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．12．(2014·合肥三十八中模拟)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？13．(2015·长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？参考答案 考点解读①降次 ②一次方程 ③配方法 ④x＝－b ±b 2－4ac2a各个击破例1 原方程化为：x 2－4x －1＝0.配方，得x 2－4x ＋4－1－4＝0.整理，得(x －2)2＝5.∴x－2＝±5，即x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. 题组训练 1.D2.x ＝0或x ＝23.x ＋3＝0(或x －1＝0)4.移项，得x 2－6x ＝4，配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9，即(x －3)2＝13.所以，x －3＝±13，因此，原方程的解为x 1＝3＋13，x 2＝3－13. 例2 ∵100×30＝3 000＜3 150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九(1)班共有x 人去旅游，则人均费用为[100－2(x －30)]元，由题意得： x[100－2(x －30)]＝3 150.整理得x 2－80x ＋1 575＝0，解得x 1＝35，x 2＝45.当x ＝35时，人均旅游费用为100－2(35－30)＝90>80，符合题意．当x ＝45时，人均旅游费用为100－2(45－30)＝70<80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学游活动． 题组训练1.C2.D3.(40－x)(20＋2x)＝1 200 整合集训1．D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.x 1＝0，x 2＝－1 8.x 1＝1，x 2＝12 9.510.(1)Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×2＝1， ∴x ＝3±12×1＝3±12，∴x 1＝1，x 2＝2.(2)原方程可以化为：(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0， 左边分解因式，得(x ＋1)(x －3)＝0， ∴x ＋1＝0或x －3＝0.因此，原方程的解为x 1＝－1，x 2＝3. 11.设垂直于墙的一边为x 米，得： x(58－2x)＝200.解得x 1＝25，x 2＝4. ∴另一边为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米． 12.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意，得 1＋x ＋x(1＋x)＝64.解得x 1＝7，x 2＝－9(不合题意，舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． (2)7×64＝448(人)．答：第三轮将有448人被传染．13.(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，由题意，得10(1＋x)2＝12.1，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(舍)．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%. (2)6月：12.1×1.1＝13.31(万件)． ∵21×0.6＝12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． ∵22<13.310.6<23，∴至少还需增加2名业务员．。
【火线100天】2015中考数学 第9讲 一元二次方程
第9讲一元二次方程考点1一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①个未知数，且未知数的最高次数是②的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③，主要方法有：直接开平方法、④法、公式法、⑤法等. 考点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为⑥.判别式与根的关系(1)b2-4ac＞0⇔一元二次方程⑦的实数根；(2)b2-4ac=0⇔一元二次方程⑧的实数根；(3)b2-4ac＜0⇔一元二次方程⑨实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1、x2，则x1+x2=-ba,x1·x2=ca.【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2-4ac≥0.考点3一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的.在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.1.已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解.2.解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法.命题点1 一元二次方程的解法例1 (2014·某某)解方程：x 2+4x-1=0. 【思路点拨】可以运用配方法或求根公式法求解.【解答】方法归纳：解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松.1.(2014·甘孜)一元二次方程x 2+px-2＝0的一个根为2，则p 的值为( )A.1B.2 C2.(2014·某某)一元二次方程x 2-x-2=0的解是( )1=1,x 21=1,x 2=-21=-1,x 2=-1=-1,x 2=23.(2013·某某)一元二次方程x 2-3x=0的根是.4.(2013·某某)解方程：x 2+3x-2＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例2 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值X 围；(2)如果此方程的两个实数根为x 1，x 2，且满足11x +21x =-23，求a 的值. 【思路点拨】(1)由“一元二次方程有两个不相等的实数根”可知Δ>0，然后解不等式可以求出a 的取值X 围；(2)通过把题中条件11x +21x =-23变形，构造出整体“x 1x 2”与“x 1+x 2”，然后利用根与系数的关系得到一个分式方程求得a 的值.【解答】方法归纳：利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根.1.(2014·某某)一元二次方程x 2-2x+m=0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A.m>1B.m=1 C ≤12.(2014·某某)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根，则x 1x 2等于( )A.-4B.-1 C3.(2014·某某)如果关于x 的方程x 2-2x+k ＝0(k 为常数)有两个不相等的实数根，那么k 的取值X 围是.4.(2013·某某)设x 1，x 2是方程2x 2-3x-3=0的两个实数根，则12x x +21x x 的值为. 命题点3 一元二次方程的应用例3 (2014·某某)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.【思路点拨】根据“第3年的可变成本=第1年的可变成本×(1+增长率)2”，结合题中已知数据即可得到关于增长率的方程，求解即可.【解答】方法归纳：列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义.增长率问题：基本数量关系：若基数为a ，末数为b ，增长率(下降率)为x ，时间间隔为n ，则有关系式a(1±x)n =b.1.(2014·某某)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=62.(2013·某某)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%.3.(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？1.(2013·某某)已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )A.1B.-1 C2.(2014·某某)若关于x的一元二次方程的两根为x1=1，x2=2，则这个方程是( )22-3x+2=022+3x+2=03.(2014·某某)一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( )4.(2014·某某)一元二次方程x22的根是( )2=0，x221=x222x2212x25.(2013·六盘水)已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值X围是( )A.k＜-2B.k＜2C.k＞2D.k＜2且k≠16.(2014·某某)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )A.144(1-x)2=100B.100(1-x)2=144C.144(1+x)2=100D.100(1+x)2=1447.(2014·某某)方程x2-3x+2=0的根是.8.(2014·某某)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=.9.(2014·某某)方程x2+2kx+k2-2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为.10.(2014·莱芜)若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数.则k＝.11.(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m.12.(2014·某某)如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程.13.解方程：(1)(2014·某某)3x(x-2)=2(2-x)；(2)(2014·某某)解方程：x2-5x-6=0.14.(2014·某某)已知关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+14=0有两个相等的实数根，求k的值.15.(2014·某某)学校去年年底的绿化面积为5 000平方米，预计明年年底增加到7 200平方米，求这两年的平均增长率.16.(2014·某某)已知关于x 的一元二次方程x 2-22x+m=0,有两个不相等的实数根. (1)某某数m 的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x 1，x 2,求代数式x 12+x 22-x 1x 2的值.17.(2014·威海)方程x 2-(m+6)x+m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A.-2或3B.3 C18.(2014·某某)已知α是一元二次方程x 2-x-1＝0较大的根，则下面对α的估计正确的是( )A.0＜α＜1B.1＜αC.1.5＜α＜2D.2＜α＜319.(2013·某某)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个符合题意的一元二次方程.20.(2013·某某)关于x 的一元二次方程(a-6)x 2-8x+9=0有实根.(1)求a 的最大整数值；(2)当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2-2327811x x x --+的值.21.(2014·株洲)已知关于x 的一元二次方程(a+c)x 2+2bx+(a-c)=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 的三边的长.(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.参考答案考点解读①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解 ⑥b 2-4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有各个击破例1方法一(配方法)：配方，得(x+2)2=5，两边开平方，得x=，∴x 1，x 2方法二(求根公式法)：∵a=1,b=4,c=-1，∴Δ=42-4×1×(-1)=20>0.∴=-2∴x 1，x 2题组训练1.C 2.D3.x 1=0,x 2=34.∵a=1,b=3,c=-2，∴Δ=32-4×1×(-2)=17.∴x.∴x 1=32-+,x 2=32-.例2(1)Δ=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a.∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.即4+4a ＞0，解得a>-1，∴a 的取值X 围为a>-1.(2)由题意得x 1+x 2=2，x 1·x 2=-a. ∵11x +21x =1212x x x x +=2a -=-23.∴a=3.题组训练1.D 2.C 3.k ＜14.-72例3(1)2.6(1+x)2.(2)根据题意，得4+2.6(1+x)2=7.146.解得x1＝0.1=10%，x2＝-2.1(不合题意，舍去).答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.题组训练1.B2.20%3.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1+x+x(1+x)＝64.解得x1=7，x2=-9(不合题意，舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64＝448(人).答：又有448人被传染.整合集训1.A2.B3.D4.C5.D6.D7.x1=1，x2=28.19.110.-111.1212.(30-2x)(20-x)=78×6或x2-35x+66=013.(1)3x(x-2)-2(2-x)=0.3x(x-2)+2(x-2)=0.(3x+2)(x-2)=0.3x+2=0或x-2=0.即x1=23-,x2=2.(2)∵a=1,b=-5,c=-6，∴Δ=(-5)2-4×1×(-6)=49>0.∴x=5492±=572±，∴x1=6或x2=-1.14.∵关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+14=0有两个相等的实数根，∴()()211410,410.k kk⎧∆=----⨯=⎪⎨⎪-≠⎩［］解得k=2.∴当关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+14=0有两个相等的实数根时，k=2.15.设这两年的平均增长率为x，依题意，得5 000(1+x)2=7 200.解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).答：这两年的平均增长率为20%.16.（1）由题意，得Δ＞0，即(-22)2-4m＞0，解得m＜2.∴m的最大整数值为m=1.(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x2-22x+m=0得x2-22x+1=0，根据根与系数的关系：x1+x2=22，x1x2=1，∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=(22)2-3×1=5.17.C18.C19.答案不唯一，如：x2-5x+6=020.(1)∵关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根，∴a-6≠0，Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a=7时，原一元二次方程变为x2-8x+9=0.解得x1=4+7，x2=4-7.②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根，∴x2-8x=-9.∴原式=2x2-327911x--+=2x2-16x+72=2(x2-8x)+72=2×(-9)+72=-292.21.(1)把x=-1代入方程得2a-2b=0，即a=b，∴△ABC是等腰三角形.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，即b2+c2=a2，∴△ABC是直角三角形.(3)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c.∴原方程变为：2ax2+2ax=0. ∵a≠0，∴x2+x=0.∴x1=0，x2=-1.。
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2015中考数学考前100天复习一元二次方程考点扫描考点1 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有① 个未知数，且未知数的最高次数是② 的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是ax2+bx+c=0(a ≠0).一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是③ ，主要方法有：直接开平方法、④ 法、公式法、⑤ 法等.考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式为⑥ . 判别式与根的关系(1)b 2-4ac ＞0⇔一元二次方程⑦ 的实数根； (2)b 2-4ac=0一元二次方程⑧ 的实数根； (3)b 2-4ac ＜0一元二次方程⑨ 实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别是x 1、x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=ca. 【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b 2-4ac ≥0.考点3 一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的.在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 方法技巧1.已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；⇔⇔也可以利用根与系数的关系求解.2.解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法. 各个击破命题点1 一元二次方程的解法例1 (2014·徐州)解方程：x2+4x-1=0.【思路点拨】可以运用配方法或求根公式法求解.【解答】方法归纳：解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松.题组训练1.(2014·甘孜)一元二次方程x2+px-2＝0的一个根为2，则p的值为( )A.1B.2C.-1D.-22.(2014·云南)一元二次方程x2-x-2=0的解是( )A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=-2C.x1=-1,x2=-2 D.x1=-1,x2=23.(2013·陕西)一元二次方程x2-3x=0的根是 .4.(2013·无锡)解方程：x2+3x-2＝0.命题点2 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系 例2 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x-a=0.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； (2)如果此方程的两个实数根为x 1，x 2，且满足11x +21x =-23，求a 的值.【思路点拨】(1)由“一元二次方程有两个不相等的实数根”可知Δ>0，然后解不等式可以求出a 的取值范围； (2)通过把题中条件11x +21x =-23变形，构造出整体“x 1x 2”与“x 1+x 2”，然后利用根与系数的关系得到一个分式方程求得a 的值. 【解答】方法归纳：利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根. 题组训练1.(2014·益阳)一元二次方程x 2-2x+m=0总有实数根，则m 应满足的条件是( )A.m>1B.m=1C.m<1D.m ≤1 2.(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-4x+1=0的两个实数根，则x 1x 2等于( )A.-4B.-1C.1D.43.(2014·上海)如果关于x 的方程x 2-2x+k ＝0(k 为常数)有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 .4.(2013·攀枝花)设x 1，x 2是方程2x 2-3x-3=0的两个实数根，则12x x +21x x 的值为 . 命题点3 一元二次方程的应用例3 (2014·南京)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为 万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.【思路点拨】根据“第3年的可变成本=第1年的可变成本×(1+增长率)2”，结合题中已知数据即可得到关于增长率的方程，求解即可. 【解答】方法归纳：列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义.增长率问题：基本数量关系：若基数为a ，末数为b ，增长率(下降率)为x ，时间间隔为n ，则有关系式a(1±x)n =b. 题组训练1.(2014·白银)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A.x(5+x)=6B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6D.x(10-2x)=62.(2013·哈尔滨)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为20%.3.(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？整合集训基础过关1.(2013·安顺)已知关于x的方程x2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k的值为( )A.1B.-1C.2D.-22.(2014·宜宾)若关于x的一元二次方程的两根为x1=1，x2=2，则这个方程是( )A.x2+3x-2=0B.x2-3x+2=0C.x2-2x+3=0D.x2+3x+2=03.(2014·自贡)一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.(2014·淄博)一元二次方程x2+22x-6=0的根是( )A.x1=x2=2 B.x1=0，x2=-22C.x1=2，x2=-32 D.x1=-2，x2=325.(2013·六盘水)已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A.k＜-2B.k＜2C.k＞2D.k＜2且k≠16.(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( )A.144(1-x)2=100B.100(1-x)2=144C.144(1+x)2=100D.100(1+x)2=1447.(2014·岳阳)方程x2-3x+2=0的根是 .8.(2014·白银)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= .9.(2014·德州)方程x2+2kx+k2-2k+1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为 .10.(2014·莱芜)若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数.则k＝ .11.(2014·宿迁)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m.12.(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m、宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程 .13.解方程：(1)(2014·自贡)3x(x-2)=2(2-x)；(2)(2014·无锡)解方程：x2-5x-6=0.14.(2014·扬州)已知关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+14=0有两个相等的实数根，求k的值.15.(2014·衡阳)学校去年年底的绿化面积为5 000平方米，预计明年年底增加到7 200平方米，求这两年的平均增长率.16.(2014·南充)已知关于x的一元二次方程x2-22x+m=0,有两个不相等的实数根.(1)求实数m的最大整数值；(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2,求代数式x12+x22-x1x2的值.能力提升17.(2014·威海)方程x2-(m+6)x+m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1+x2＝x1x2，则m的值是( )A.-2或3B.3C.-2D.-3或218.(2014·荆门)已知α是一元二次方程x 2-x-1＝0较大的根，则下面对α的估计正确的是( )A.0＜α＜1B.1＜α＜1.5C.1.5＜α＜2D.2＜α＜319.(2013·江西)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC =3，请写出一个符合题意的一元二次方程 .20.(2013·淄博)关于x 的一元二次方程(a-6)x 2-8x+9=0有实根. (1)求a 的最大整数值；(2)当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2-2327811x x x --+的值.21.(2014·株洲)已知关于x 的一元二次方程(a+c)x 2+2bx+(a-c)=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 的三边的长.(1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； (3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.参考答案 考点解读①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解 ⑥b 2-4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有 各个击破例1 方法一(配方法)：配方，得(x+2)2=5， 两边开平方，得x=±5-2， ∴x 1=-2，x 2=--2. 方法二(求根公式法)： ∵a=1,b=4,c=-1， ∴Δ=42-4×1×(-1)=20>0. ∴x=4252-±=-2±， ∴x 1=-2，x 2=--2. 题组训练 1.C 2.D 3.x 1=0,x 2=3 4.∵a=1,b=3,c=-2， ∴Δ=32-4×1×(-2)=17. ∴x ＝3172-±. ∴x 1=3172-+,x 2=3172--. 例2 (1)Δ=(-2)2-4×1×(-a)=4+4a. ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0. 即4+4a ＞0，解得a>-1， ∴a 的取值范围为a>-1.55555(2)由题意得x 1+x 2=2，x 1·x 2=-a. ∵11x +21x =1212x x x x +=2a -=-23.∴a=3.题组训练 1.D 2.C 3.k ＜1 4.-72例3 (1)2.6(1+x)2. (2)根据题意，得 4+2.6(1+x)2=7.146.解得x 1＝0.1=10%，x 2＝-2.1(不合题意，舍去). 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%. 题组训练 1.B 2.20%3.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意，得 1+x+x(1+x)＝64.解得x 1=7，x 2=-9(不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人. (2)7×64＝448(人). 答：又有448人被传染. 整合集训1.A2.B3.D4.C5.D6.D7.x 1=1，x 2=28.19.1 10.-1 11.12 12.(30-2x)(20-x)=78×6或x 2-35x+66=0 13.(1)3x(x-2)-2(2-x)=0. 3x(x-2)+2(x-2)=0. (3x+2)(x-2)=0. 3x+2=0或x-2=0.即x1=23-,x2=2.(2)∵a=1,b=-5,c=-6，∴Δ=(-5)2-4×1×(-6)=49>0.∴x=5492±=572±，∴x1=6或x2=-1.14.∵关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+14=0有两个相等的实数根，∴()()211410,410.k kk⎧∆=----⨯=⎪⎨⎪-≠⎩［］解得k=2.∴当关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x+14=0有两个相等的实数根时，k=2.15.设这两年的平均增长率为x，依题意，得5 000(1+x)2=7 200.解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).答：这两年的平均增长率为20%.16.（1）由题意，得Δ＞0，即(-22)2-4m＞0，解得m＜2.∴m的最大整数值为m=1.(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x2-22x+m=0得x2-22x+1=0，根据根与系数的关系：x1+x2=22，x1x2=1，∴x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=(22)2-3×1=5.17.C 18.C 19.答案不唯一，如：x2-5x+6=020.(1)∵关于x的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0有实根，∴a-6≠0，Δ=(-8)2-4×(a-6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a=7时，原一元二次方程变为x2-8x+9=0.解得x1=4+7，x2=4-7.②∵x是一元二次方程x2-8x+9=0的根，∴x2-8x=-9.∴原式=2x2-327911x--+=2x2-16x+72=2(x2-8x)+72=2×(-9)+72=-292.21.(1)把x=-1代入方程得2a-2b=0，即a=b，∴△ABC是等腰三角形.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0，即b2+c2=a2，∴△ABC是直角三角形.(3)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c.∴原方程变为：2ax2+2ax=0.∵a≠0，∴x2+x=0.∴x1=0，x2=-1.。