厦门大学一元微积分(翔安理工A)期中试卷-2013-11-23解答
厦门大学大上微积分(理工类)期中考试题及详解
1．求下列函数的极限：（每小题4分，共16分）（1） 021sin cos sin2x x x x →+- （2）tan sin (11)[ln(1)]x xx x x x →+-+- （3） 21lim (sincos )x x x x →∞+ （4）2211lim[()ln(1)cos ]x x x x x x x→∞++--解：（1）22002222220001sin cos lim (1sin cos )sin 2sin sin sin sin 2lim 2(lim lim )4x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x →→→→→+=+++==+= （2）tan sin sin tan sin 000(1)tan sin 2lim 2lim[ln(1)][ln(1)](11)[ln(1)]x x x x x x x x e e x xx x x x x x x x x -→→→--==+-+-+-+- 21000tan (1cos )22lim lim lim 2[ln(1)]ln(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x -→→→-====-+-+-+-（3） 001ln(sin 2cos )sin 2cos 1lim lim 2021lim (sin cos )lim (sin 2cos )t t t t t t x t t tx t t t ee e x x→→++-→∞→+=+=== （4）222211111lim[()ln(1)cos ]lim[ln(1)]lim ln(1)lim cos x x x x x x x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞→∞++--=+-++- 1200ln(1)(1)11lim 10lim 122t t t t t t t -→→+-+-=+-=+= 2．求下列数列的极限：（每小题4分，共8分）（1）1lim(123)nn nn →∞++ （2）211lim (arctanarctan )1n n n n →∞-+ 解：（1）13(123)333nn n nn ≤++≤→∞Q ，1lim(123)3nn nn →∞∴++=（2）法一、由拉格朗日定理，知11(,)1n nξ∃∈+，使得22111(arctan arctan )111n n n n n ξ-=⋅+++，211lim (arctanarctan )11n n n n →∞∴-=+ 法二、220arctan arctan111lim (arctanarctan )lim 1n x xx x n n n x +→∞→-+-=+厦门大学《高等数学》课程期中试卷试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2011.11.27高等数学A 类教学组21210(1)(221)lim 12x x x x x+--→+-++== 3．（10分）设数列{}n x 满足12x π=，1sin n n x x +=，1,2,3,...n =，（1）试证明此数列极限存在，并求出lim n n x →∞；（2）试求211lim()n x n n nx x +→∞。
厦门大学《微积分 I-1》课程期中试卷参考答案
一、计算下列极限：（每小题6分，共24分）1. 3113lim ()11x x x →--++；解：23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++212lim1x x x x →--=-+ 21211(1)(1)--==---+- 或者23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++ 2121lim 3x x x →--=22(1)113(1)⋅--==-⋅-2. sin()12lim()x x x xππ→-； 解：12lnlimsin()sin 12lim()x x x x xx x exππππ→-→-=112(1)2(1)ln[1]limlimsin (1)(1)x x x x xx x x eeππππ→→--+⋅--== 2e =或者(1)sin()2(1)sin (1)1122(1)lim()lim[1]x x x x x x x x x x x x ππππ-⋅⋅--→→--=+ 2e = 3. tan 241sin 1x xx x x x→+-+；解：tan tan 24240(1)(1sin 1)1sin 1x xx x x x x e e x x x x x x-→→-+++=+-+ 243000tan lim lim(1sin 1limxx x x x xe x x x x →→→-=⋅+++⋅220sec 12lim 3x x x →-=⋅ 220tan 22lim33x x x →=⋅=厦门大学《微积分I-1》课程期中试卷参考答案＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业试卷类型：（理工类A 卷） 考试时间：2019.11.164.求数列的极限n →∞。
解：注意到33≤≤1n =，由夹逼准则，可得3n →∞=。
二、求下列函数的导数：（本题16分,第一小题9分，第二小题7分） 1.求函数1ln(arctan 1xy x x-=++++的一阶导数； 解：22212(11(1)1()1y x x x-'=+⋅++⋅-+++211x =-+-+211x =-+ 2.求函数y =2x =处的微分2d |x y =。
厦门理工学院高数1(B)期中考试试卷参考答案(1)
1 y 1 ( x 1) 2 cos t t sin t 1 sin t t cos t
． ．
．
7. 设参数方程为
x t (1 sin t ) dy ，则 dx y t cos t
2 ln x 3
8. 若 y x 2 ln x , 则 y =
系
相应地函数增量 y 的线性主部为 0.2，则 f (1) A．0.1 B．0.5 C．-1 D. 1
( D )
第 3 页 共 7 页
得分 阅卷人
三、计算题（每题 5 分，共 25 分） ， 请把答案写在问题的 下面。
1. 求极限 lim(
x 1
1 3 ) 1 x 1 x3
解： lim
sin 2 1 x
信 级 班级 生
专业
1 sin 2 1 2 2 e x sin …………… x x
装
考
…7 分
系
第 6 页 共 7 页
4. 试求由方程 2 y x ( x y) ln( x y ) 所确定的函数 y y ( x) 的微分 dy 解： 2 y 1 (1 y) ln( x y ) ( x y )
f (0) b f (0 ) lim (e x 1) 2. …………
x 0
……6 分 …7 分
…………… 综上：当a 1, b 2时，f ( x)在x 0处可导。
第 5 页 共 7 页
2．求极限 lim
x 0
1 tan x 1 sin x etan x esin x
则dy
…7 分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得分 阅卷人
厦门大学《微积分 I-1》课程期中试卷
1， 2
1
g(1)
f (g(1)) (g(1))2
f (0) (g(1))2
3 4
3。
f (g(1))
f (0)
28
九、（本题共 10 分，第一小题 4 分，第二小题 6 分）
设函数 f (x) 在[0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且有 f (0)=0 ， f (1) f (2)=2 ， f (3)=4 。证明:
知 f (0)=1， f (0)=2 ， f (0)=3，求 g(x) 在 x 1处的一阶导数和二阶导数。
解：注意到 f (g(x)) x ,两边对 x 求导，得
f (g(x)) g(x) 1 ○1
上式两边再对 x 求导，可得
4
f (g(x)) (g(x))2 f (g(x)) g(x) 0
x t sin t
五、（本题
10
分）计算由摆线的参数方程
y
1
cos t
(0 t 2 ) 所确定的函数 y y(x) 的
一阶导数和二阶导数。
解：
dy dy dt = sin t dx dx 1 cos t
dt
d2 y d ( sin t ) dt cos t (1 cos t) sin t sin t 1 1
x0
x0
lim[b(1 sin x) a 2] lim (eax 1) 0 ，得 a b 2 0 。
x0
x0
因为 f (x) 在 x 0 上可导,所以 lim f (x) f (0) lim f (x) f (0) ，即有
x 0
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷附答案解析
2023-2024学年厦门市高一数学第二学期期中考试卷（考试时间120分钟，满分150分）考试时间：2024年4月28日考试时长120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2i i z =-，则z 对应的点Z 在复平面的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量(2,1),(1,4)a b ==- ，则23a b -=（）A ．(7,10)-B ．(1,14)C ．(7,10)-D ．(7,6)3．下列命题中正确的是（）A ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C ．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形4．在空间四边形ABCD 中，AC=BD ，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接各边中点E ，F ，G ，H ，所得四边形EFGH 的形状是（）A ．梯形B ．矩形C ．正方形D ．菱形5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为（如图所示），则旗杆的高度为（）A ．10mB ．30mC ．D ．6．在ABC 中，若sin 2sin cos C B B =，且64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则c b 的范围为（）A ．B ．)2C ．()0,2D ．)27．如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A ．B ．C ．D ．8．已知AB AC ⊥ ，||AB t = ，1||AC t= ．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且2||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值为（）A ．13B ．5-C ．5-D ．10+二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设复数12i1i z +=+，则（）A ．z 的实部为32B ．31i 22z =-C ．z 的虚部为1i2D ．1z =10．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（）A ．若sin :sin :sin 2:3:4ABC =，则ABC 是钝角三角形B ．若sin sin A B >，则a b>C ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形D ．若45A =o ，2a =，b =，则ABC 只有一解11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，BMC △，AMC ，AMB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=．以下命题正确的有（）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为AMC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C ．若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为.13．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为．14．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若a c =，sin 3,26sin 2A aB =≤≤，则ABC S - 的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin a B ．(1)若2b =，3c =，求a 的值：(2)若2a bc =，判断ABC 的形状．16．如图，在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60BAD ︒∠=，E ，F 分别为AB ，BC 上的点，且2AE EB =，2=CF FB ．(1)若DE x AB y AD =+，求x ，y 的值；(2)求AB DE ⋅的值；(3)求cos BEF ∠．17．如右图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E 是棱BC 的中点．(1)求证：BD 1∥平面C 1DE ；(2)求三棱锥D －D 1BC 的体积18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且()3sin sin 32sin A B c bC a b--=+．(1)求sin A ；(2)若ABC①已知E 为BC 的中点，求ABC 底边BC 上中线AE 长的最小值；②求内角A 的角平分线AD 长的最大值．19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅；(3)设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．1．C【分析】根据虚数单位的性质化简，再由实部、虚部符号确定复数对应点所在象限.【详解】因为2i i=1i z =---，所以z 对应的点Z 在复平面的第三象限，故选：C 2．A【分析】根据向量线性运算的坐标表示计算可得；【详解】解：因为(2,1),(1,4)a b ==-，所以()()()2322,131,47,10a b -=--=- ；故选：A 3．D【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A 不正确；对于B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B 不正确；对于C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C 不正确；对于D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D 正确.故选：D.4．D【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH 是平行四边形，再由AC=BD 即可判断四边形EFGH 的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD 可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH ，由中位线的性质及基本性质4知，EH ∥FG ，EF ∥HG ；∴四边形EFGH 是平行四边形，又AC=BD ，∴HG=12AC=12BD=EH ，∴四边形EFGH 是菱形.故选：D 5．B【分析】先根据正弦定理求出BC ，再根据直角三角形三角函数关系即可求解.【详解】如图，由题可知：在ABC 中，45A =︒，105ABC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒．sin 45BC=︒，所以22BC ==，在Rt CBD △中，3sin 6030(m)2CD BC ︒==⨯=．故选：B 6．A【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到2cos c B b =，结合64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和余弦函数的性质，即可求解.【详解】因为sin 2sin cos C B B =，由正弦定理得2cos c b B =，则2cos cB b=，又因为64ππ,B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos B <<2cos B <所以cb的范围为.故选：A.7．D【分析】对于A ，根据//MN AC 结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据//MN BE 结合线面平行的判断定理即可判断；对于C ，根据//MN BD ，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D ，根据四边形AMNB 是等腰梯形，AB 与MN 所在的直线相交，即可判断.【详解】对于A,如下图所示，易得//,//AC EF MN EF ,则//MN AC ，又MN ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故A 满足；对于B ，如下图所示，E 为所在棱的中点，连接,,EA EC EB ,易得,//AE BC AE BC =,则四边形ABCE 为平行四边形，,,,A B C E 四点共面，又易知//MN BE ，又MN ⊄平面ABC ,BE ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故B 满足；对于C,如下图所示，点D 为所在棱的中点，连接,,DA DC DB ,易得四边形ABCD 为平行四边形，,,,A B C D 四点共面，且//MN BD ,又MN ⊄平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,则//MN 平面ABC ，故C 满足；对于D ，连接,AM BN ,由条件及正方体的性质可知四边形AMNB 是等腰梯形，所以AB 与MN 所在的直线相交，故不能推出MN 与平面ABC 不平行，故D 不满足，故选：D.8．B【分析】以A 为原点，建立直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算，以及二次函数的性质，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P （x ，y ）则1(,0),(0,0)B t C t t >，可得(1,0)AB AB = ，2(0,2)||AC AC = ，所以(1,2)AP = ，即(1,2)P ，故(1,2)PB t =-- ，11,2PC t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以221455PB PC t t t t ⎛⎫⋅=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 2t t =即t 时等号成立．故选：B．9．AB【分析】根据复数除法求出z ，由复数的概念判断AC ，根据共轭复数判断B ，根据模的定义判断D.【详解】因为()()()()12i 1i 12i 122i i 31i 1i 1i 1i 222z +-+++-====+++-，所以z 的实部为32，虚部为12，31i 22z =-，102z =，故选：AB 10．ABD【分析】对于A ，利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解；对于B ，利用正弦定理的角化边即可求解；对于C ，利用向量的数量积的定义即可求解；对于D ，利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解.【详解】对于A ，因为ABC 的三个角满足sin :sin :sin 2:3:4A B C =，所以由正弦定理化简得::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，c 为最大边，由余弦定理得222222249163cos 02124a b c k k k C ab k +-+-===-<，所以C 为钝角，所以ABC 是钝角三角形，故A 正确；对于B ，由sin sin A B >及正弦定理，得22a b R R>,解得a b >，故B 正确；对于C ，因为0AC AB ⋅>，所以cos cos 0AC AB AC AB A bc A ⋅⋅==> ，所以cos 0A >，所以A 为锐角，但无法确定B 和C 是否为锐角，故C 错误；对于D ，由正弦定理得222sin 45sin B=，解得sin 1B =，因为0180B << ,所以90B = ，所以ABC 只有一解，故D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】A 选项，0MA MB MC ++=，作出辅助线，得到A ，M ，D 三点共线，同理可得M 为ABC 的重心；B 选项，设内切圆半径为r ，将面积公式代入得到0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=；C 选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D 选项，得到::3:4:5A B C S S S =，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设MD m =，MF n =，5ME t =，表示出AM ，BM ，MC ，结合三角函数得到m ，m =，进而求出余弦值；【详解】对A 选项，因为::1:1:1A B C S S S =，所以0MA MB MC ++=，取BC 的中点D ，则2MB MC MD += ，所以2MD MA =-，故A ，M ，D 三点共线，且2MA MD =，同理，取AB 中点E ，AC 中点F ，可得B ，M ，F 三点共线，C ，M ，E 三点共线，所以M 为ABC 的重心，A 正确；对B 选项，若M 为ABC 的内心，可设内切圆半径为r ，则12A S BC r =⋅，12B S AC r =⋅，12C S AB r =⋅，所以1110222BC r MA AC r MB AB r MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，B 正确；对C 选项，若45BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，M 为ABC 的外心，则75ACB ∠=︒，设ABC 的外接圆半径为R ，故290BMC BAC ∠=∠=︒，2120AMC ABC ∠=∠=︒，2150AMB ACB ∠=∠=︒，故2211sin 9022A S R R =︒=，221sin1202B S R R =︒，2211sin15024C S R R =︒=，所以::2A B C S S S =，C错误；对D 选项，若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，如图，AD BC ⊥，CE AB ⊥，BF AC ⊥，相交于点M ，又ABC A B C S S S S =++ ，31124AABC S S == ，即:3:1AM MD =，41123BABC S S == ，即:1:2MF BM =，512CABC S S =，即:5:7ME MC =，设MD m =，MF n =，5ME t =，则3AM m =，2BM n =，7MC t =，因为CAD CBF ∠=∠，sin ,sin 32n mCAD CBF m n∠=∠=，所以32n m m n =，即3m =，3cos 22m BMD n n ∠===，则()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量线性表示逐项判断.12．【详解】解：利用正弦定理可知，B 角对的边最大，因为05sin 230,51sin sin sin 2a b aBA b AB A =∴=∴===故答案为：13．2π【分析】先计算底面积，再计算体积.【详解】122R R ππ=∴=22122V R h ππππ=⨯=⨯⨯=故答案为2π【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式化简计算可得.【详解】222sin 37,23,,cos sin 229A a c b a b a c B B ac +-=∴==∴==，则sin B =2221922ABC S a a ⎫∴-=-⋅=+=-+⎪⎝⎭ []2,6,ABC a S ∈∴-V Q故答案为：922.15．(1)a =(2)等边三角形．【分析】（1）由正弦定理边化角，求出π3A =，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而b c =，从而可得答案.【详解】（1）由正弦定理，33sin sin sin sin ,sin 022a B b A B B B =⇒≠ ，故ππsin 0,223A A A ⎛⎫=∈⇒= ⎪⎝⎭，再由余弦定理得，2222212cos 2322372a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,从而a =（2）因为π3A =，所以由余弦定理得222a b c bc=+-结合2a bc =得2220b c bc +-=，进而22,b c a b a b c =⇒===，所以ABC 是等边三角形．16．(1)2,13x y ==-(2)203【分析】（1）由向量的运算法则求解（2）分解后由数量积的运算求解（3）由数量积的定义求夹角【详解】（1）23DE DA AE AB AD =+=- ，故2,13x y ==-（2）2220()1642cos 60333AB DE AB AB AD ⋅=⋅-=⨯-⨯⨯︒=（3）111,,333EB AB EF AB AD ==+4||3EB =，27||3EF =16499cos 14||||EB EFBEF EB EF +⋅∠==17．(1)见解析；(2)23.【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）利用等体积11D D BC D DBC V V --=，即可求得三棱锥D ﹣D 1BC 的体积．【详解】（1）证明：连接D 1C 交DC 1于F ，连接EF ，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面四边形DCC 1D 1为矩形，∴F 为D 1C 的中点．又E 为BC 的中点，∴EF ∥D 1B ．∴BD 1∥平面C 1DE ．（2）解：连接BD ，11D D BC D DBCV V --=又△BCD 的面积为12222S =⨯⨯=．故三棱锥D ﹣D 1BC 的体积1111221333D DBC BCD V S D D -∆==⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．(1)sin A =(2)AE，AD【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 3A =，进而求出sin A ；（2）由面积公式求出16bc =，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解AE 的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解AD 的最值.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a b c --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===，因为cos 0A >，所以π(0,)2A ∈，所以22sin 3A ==；（2）①由（1）知sin 3A =，因为ABC1n si 2bc A =，解得16bc =，由于()12AE AB AC =+ ，所以()()2222222111212183222cos 2444343433AE AB AC AB AC c b bc A c b bc bc bc bc ⎛⎫⎛⎫=++⋅=++=++≥+=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当b c =时，等号取得到，所以2323AE AE ≥⇒ ②因为AD 为角A 的角平分线，所以1sin sin 2BAD CAD A ∠=∠=，由于ADB ADC ABC S S S += ，所以111sin sin sin sin cos 2222222A A A A AD c AD b bc A bc +==，由于sin02A ≠,所以()2cos 2A AD c b bc +=，由于2212cos 2cos 1cos cos 23232A A A A =-=⇒=⇒，又16bc =，所以()63262cos216233A AD c b bc +==⨯⨯由于8b c +≥，当且仅当b c =时，等号取得到，故()83AD c b AD =+≥=，故3AD ≤，19．(1)π2A =(2)(3)2+【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.（2）由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：111122222xy yz xz +=⨯，整理得xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅111142222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（3）点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。
福建省厦门市翔安第一中学2011～2012学年高一第一学期期中考试卷数学
福建省厦门市翔安第一中学2011～2012学年高一第一学期期中考试卷数学本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中表示同一集合的是 （ )A ．(){}(){}3,2,2,3M N ==B ．{}{}4,5,5,4M N ==C ．(){}{},|1,|1M x y x y N y x y =+==+=D ．{}(){}1,2,1,2M N == 2．下列函数中，在区间),0(+∞上是增函数的是 （ ) A ．x y = B ．x y -=3 C ．xy 1= D ．42+-=xy3．函数x y -=3的定义域为( )A ．)3,0(B ．]3,0[C ．]3,(-∞D ．)3,(-∞ 4．若集合{|2}xM y y ==,2{|}N y y x ==，则MN等于( )A ．[0,)+∞B ．(0,)+∞C ．φD ．{0} 5. 函数2()22f x xx =-+([1,0]x ∈-)的最小值是 （ )A ．1B ．2C ．5D ．06．已知221(2)()3(2)x x f x x x x -≥⎧=⎨-+<⎩，则(1)(4)f f -+的值为（ ) A ．－7 B ．－8 C ．3 D ．4 7. 函数xx x f 1)(-=的图象关于 （ ）A ．y 轴对称B ．x y =对称C ．x 轴对称D ．原点对称 8。
设5.15.13.03,2,)21(===c b a ，则三个数的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．如果奇函数()f x 在区间[3,7］上是增函数且最小值为5,那么()f x 在区间[]7,3--上是 ( )Ａ．增函数且最小值为5- Ｂ．增函数且最大值为5- Ｃ．减函数且最小值为5- Ｄ．减函数且最大值为5-10.已知全集{}{}|09,|1U x x A x x a =<<=<<,若非空集合A U,则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|9a a <B ．{}|9a a ≤C ．{}|19a a <<D ．{}|19a a <≤ 11．函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围（ ）A ．(],3-∞-B ．),5(+∞C ．),5[+∞D ．}5{12．若)(x f 满足)()(x f x f -=-,且在(),0-∞上是增函数，又(2)0f -=,则0)(<x xf 的解集是（ ) A ．(2,0)(0,2)-B ．()()2,02, -∞-C ．()()+∞-∞-,22,D ．()()+∞-,20,2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2013级一元微积分(翔安理工A)期中试卷解答
一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）求极限2sin 0lim(1)x x xx x -→+；解 2l n (1)2s i ns i nlim(1)lime x xx x x x x x x x +--→→+=，而3220003lim ln(1)lim lim 6sin sin 1cos x x x x x x x x x x x x→→→+===---， 故 26sin 0lim(1)e xx xx x -→+=.（2）设()f x 在0x x =处可导，试求0000()()limx x x f x xf x x x →--；解 000000000000()()()()()()limlim x x x x x f x xf x x f x x f x x f x xf x x x x x →→--+-=-- 00000000()()lim()()()x x f x f x x f x x f x f x x x →-'=-=--.（3） 设()y y x =是由方程1sin()ln1x xy y+-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在0x =处的切线方程； 解 方程1sin()ln1x xy y+-=两边关于x 求导，得 2(1)cos()()01y y x y xy y xy x y'-+'+-⋅=+， 令0x =，由1sin ()l n 1x xyy+-=解得e y =，则2(0)e e y '=-. 于是，曲线()y y x =在0x =处的切线方程为2e (e e )y x -=-，即2(e e )e y x +-=. (4) 设1tan 2sin e(1)x xy x =++，求d d y x； 厦门大学《一元微积分（A ）》课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 理工类高数A 期中试卷（翔安） 试卷类型：（A 卷）解 1t a n 22s i n222d 112sin e sec ()(1)[cos ln(1)]d 1x x y x xx x x x x xx=⋅⋅-++⋅+++. (5) 设2()ln(1)f x x x =+，求(10)()f x ； 解：987(10)21098(1)9!(1)8!109(1)7!()1022(1)(1)2(1)fx x x x x x -⋅-⋅⨯-⋅=⋅+⨯+⨯+++ 22107x x x x x =--++++ 2．(8分)求函数22sin π,0(4)()(1),01xx x x f x x x x x ⎧>⎪-⎪=⎨+⎪≤⎪-⎩的间断点，并判断其类型.解 因为2200sin πππlim ()lim lim (4)(4)4x x x x x f x x x x x +++→→→===---，200(1)lim ()lim 01x x x x f x x -+→→+==-，所以0x =为()f x 的第一类间断点（跳跃间断点）；2222222sin πsin(2)π(2)ππlim ()limlim lim (4)(4)(4)8x x x x x x x f x x x x x x x →→→→--==-==---，所以2x =是()f x 的第一类间断点（可去间断点）；2111(1)1lim ()limlim 112x x x x x x f x x x →-→-→-+===--，于是，1x =-是()f x 的第一类间断点（可去间断点）.3．(8分)设函数()y f x =是由参数方程22e sin 10y x t t t y ⎧=+⎨-+=⎩确定，求0d d t yx =和22d d t y x =；解d 22d xt t=+，方程e sin 10y t y -+=两边对t 求导，得 d d e sin e cos 0d d yy y y t t t t⋅+-=， 故d e cos d 1e sin y y y t t t =-. 于是，d e cos e cos d 2(1e sin )(1)2(2)(1)y y y y t tx t t y t ==-+-+. 当0t =时，0x =，1y =，所以，d e d t yt ==. 由d e cos d 2(2)(1)y y t x y t =-+对x 求导，得2222d d (e cos e sin )(2)(1)e cos [2(1)()]d 1d d d 2(2)(1)22y y y y y t t y t t y t yt t xy t t ⋅--+-⋅-++-=⋅-++于是，22220d e e [21e]12e ed 224t y x =-⋅---=⋅=. 4．(8分)设()f x 具有连续的二阶导数，且(0)(0)0f f '==，(0)6f ''=，试求4(1cos )limx f x x →-；解法一： 利用泰勒公式，2222(0)()(0)(0)()3()2!f f x f f x x o x x o x '''=+++=+， 于是，224400(1cos )3(1cos )((1cos ))lim lim x x f x x o x x x →→--+-=422424003((1cos ))(1cos )34lim lim (1cos )4x x x o x x x x x →→⋅--=+⋅=-. 解法二：4320000(1cos )(1cos )sin (1cos )(1cos )sin limlim lim lim 448x x x x f x f x x f x f x xx x x x→→→→''''----=== 0(1cos )3lim 84x f x →''-==。
福建省厦门市翔安一中届高三下学期期初考试数学(理)试题 word版.pdf
厦门市翔安第一中学2012届高三年第二学期期初考试卷 数学科（理科） 考试时间： : — : 满分150 分 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
最后要将所有答案填写在答题卷上，否则不给分。
1．命题”，则（ ） A．： B．： C．： D．： 2．函数的定义域为 （ ） A． B． C． D． 3． 设，则 ”是“ （ ）A．充分而不必要条件 B．充分必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件直线与垂直，则等于A． B． C．-1D．2或-1为正方体，下面结论错误的是（ ） A．平面 B． C．平面 D．异面直线与所成的角为60° 6．函数对一切实数都满足，有3个实根，则这3个实根之和为（ ）A. 6B. 9C. 4D. 3 7. 椭圆的离心率为，点圆直线的方程是 A． B． C． D．、3.已知该三棱锥的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A．16B．32C．36D．64 9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点 和，若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 10. 如图，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧的长为，弦的长为，则函数的图像大致是 （ ） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
） 11. 若，则 ． ，其中，则=. 13．在等比数列中，，前3项和，则公比= 14．设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为 . 15．行的第个数字为 （如），则等于 。
] 三、解答题：本题有6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分13分）已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,向量，且 ． （1）求角A的大小； （2）若，试判断取得最大值时形状． 17．（本题满分13分）已知是一个公差大于0的等差数列，且满足. (Ⅰ)求数列的通项公式： （Ⅱ）等比数列满足：，若数列，求数列 的前n项和. 18．（本题满分13分）如图所示，在正三棱柱中，底面边长和侧棱都是2，D是 的中点．E是的中点．（1）求证：平面DAB；（）求二面角A—DB—C的平面角的正切值．万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足：① 与和的乘积成正比；② 当时，，并且技术改造投入比率：，其中是常数，且。
福建省厦门市翔安第一中学高三数学上学期11月月考试卷 理
厦门市翔安第一中学2012~2013学年高三11月月考试卷理科数学考试时间：120分钟 试卷总分：150分第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。
1. 已知集合||0|,{|(1)(2)0},A x x B x x x =>=-->⋃则A B= （ ）A ．RB ．{|01}x x <<C ．{|12}x x <<D ． {|12}x x x <>或2．“32<<x ”是“0)4(<-x x ”的 （ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 函数x y 2sin 212=的最小正周期是 （ ） A. π B. π2 C. π4 D. 2π 4. 要得到函数x y 2sin =的图象，只需要将函数)42sin(π+=x y 的图象（ ）A. 向右平移4π个单位 B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向左平移8π个单位5. 若(0,)by ax y x==-+∞与在上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（ ）A ．在(,)-∞+∞上是增函数B ．在(0,)+∞上是增函数C ．在()-∞+∞上是减函数D ．在(,0)-∞上是增函数，在(0,)+∞上是减函 6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2,(3)x f x f =-则的值是（ ）A ．8B ．-8C ． 18 D ．18-7. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，1,11===A A BC AB ,则1BC 与平面BD A 1所成角的正弦值为 （ ）8 ．某个命题与正整数n 有关，若*()n k k N =∈时该命题不成立，那么可推得1n k =+时该命题也不成立，现在已知当5=n 时该命题成立，那么可推得 （ ） A ．当5=n 时，该命题不成立 B ．当6=n 时，该命题成立C ．当4=n 时，该命题不成立D ．当4=n 时，该命题成立9. 已知数列{}n a 的通项公式21log ()2n n a n N n *+=∈+，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n（ ）A ．有最大值63B ．有最大值31C ．有最小值63D ．有最小值3110. 记集合31212323{1,2,3,4,5,6},{|,,,}101010a a a A M m m a a a A ===++∈，且321a a a 、、都不相等，将M 中的元素按从小到大排列，则第70个是 （ ）A ．0.264B ．0.265C ．0.431D ．0.432第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知向量a 与b 的夹角为120,||1,||3,||a b a b ︒==-则= 12．定积分dx x x )9(32+-⎰的值=13. 函数1()lnln(2)f x x x=--的减区间是 14.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，若2253sin 2sin ,2B C a b bc =-=，则A=_______15．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R ，使得对任意的x ∈R ，都有f （x+λ）=λf （x ），则称y=f （x ）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）．①若函数()y f x =是倍增系数λ=-2的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点；②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数λ=1；③函数()x f x e -=是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）；④若函数()sin(2)(0)f x x ωω=>是倍增函数，则(*)2k k N πω=∈. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
厦门大学2013年秋学期一元微积分A类期中试卷(含答案)
一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）22212lim()12xnn n n n n n n→+++++++++;解：因为22222121212121n n nn n n n n n n n n n n n++++++≤+++≤++++++++++，即22222(1)12(1)2()122(1)n n n n nn n n n n n n n n n n n++≤+++≤++++++++++.而22(1)(1)1lim lim2()2(1)2n nn n n nn n n n n→∞→∞++==++++，故222121lim()122xnn n n n n n n→+++=++++++.（2）设()f x=，求常数A与k使得当0x→时()f x与kAx是等价无穷小.解00()o s s i n l i m l i ms)k kx x xf xAx Ax→→→==11cos arcsinlim2kxx x xAx→-+=因为当0x→时，211cos~2x x-，2arcsin~x x x，故231cos arcsin~2x x x x-+，故2k=，322A=，于是，2k=，34A=.（3）求函数1(2cos)arcsin(01)1xxy x xx-=++<<+的导数。
解l n(2c o s)21e a r c1x xxyx+-=++2s i n2(2c o s)[l n(2c o s)]2c o s(1))xx xy x xx x'=+⋅+--++厦门大学《一元微积分（A）》课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业经管类高数A期中试卷试卷类型：（A卷）（4）求函数()y y x =由参数方程sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩所确定，求π2d d t yx =及222d d t y x π=。
解：d sin d 1cos y t x t =-，故π2d 1d t y x ==；22222d cos (1cos )sin 11d (1cos )1cos (1cos )y t t t x t t t --=⋅=----，故22π2d 1d t y x ==-. （5）设2()(1)cos f x x x x =++，求(10)(0)f . 解：(10)210π9π1098π()(1)cos()10(21)cos()2cos()2222fx x x x x x x ⨯=++++⨯+++⨯+， 则 (10)(0)19089f =-+=. 2、(8分)求函数22ln ||32x x y x x -⋅=-+的间断点，并判断其类型（说明理由）。
福建省厦门市翔安第一中学高二化学上学期期中试卷 理
学号_____________ 班级_________ 座号______ 姓名_____________厦门市翔安第一中学2013～2014学年第一学期高二年期中考试卷化学科 （理科）考试时间：11月8日10:10----11:40 满分100分 命题：张清疆第Ⅰ卷（40分）一、选择题（每题2分，共40分，每题有1～2个正确答案，多选不得分，少选得1分。
） 1、下列有关化学用语错误的是（ ） A ．某元素原子的轨道排布式B ．H 2O 电子式为C ． Ca 2+离子基态电子排布式为1s 22s 22p 63s 23p 6D ．钾（K ）原子的原子结构示意图为2、下列电子排布式表示基态原子的电子排布的是 ( )A 、1s 12s 1B 、1s 22s 22p 63s 23p 63d 24s 2C 、1s 22s 22p 63s 23p 64s 2D 、1s 22s 22p 63s 23p 63d 44s 23、在1至36号元素中，原子最外电子层只有1个电子的元素种类是( )A ．4 种B ．5 种C ．6 种D ．7种4、下列各组性质的递变情况错误的是( )A ．Na 、Mg 、Al 还原性依次减弱B ．P 、S 、Cl 的氢化物稳定性增强C ．N 、O 、F 第一电离能依次增大D ．Na 、K 、Rb 电负性逐渐增大 5、下列物质分子中含有π键的是( ) A ．HCHO B ．H 2O 2C ．C 2H 5OHD ．O 26、某元素原子价电子构型3d 54S 2，其应在（ ） A ．第四周期ⅡA 族 B ．第四周期ⅡB 族 C ．第四周期ⅦA 族 D ．第四周期ⅦB 族7、 下列各组粒子不能互称为等电子体的是 ( )A 、CO 和N 2B 、O 3和SO 2C 、CO 2和CS 2D 、N 2H 4和C 2H 4 8．下面有关“核外电子的运动状态”的说法，错误的是( ) A ．各原子轨道的伸展方向数按p 、d 、f 的顺序分别为3、5、7B ．在能层、能级、原子轨道伸展方向都确定时，电子运动状态就被确定了。
福建省厦门市翔安区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)
① b2 4ac 0 ； ② abc<0 ； ③abc 0；
④若点 A(a 1, y1) 、 B(a 2, y2 ) 在抛物线上，则 y1 y2 ；
⑤ am2 bm a b （m 为任意实数）．
其中结论正确的结论有
．
17．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
18．先化简，再求值：
1
1 a
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
8．抛物线 y＝x2﹣2x＋1 与坐标轴的交点个数是（ ）
A．x2 6x c 的若干组自变量 x 与函数值 y 的对应值：
x …0
试卷第 5页，共 5页
1．D
参考答案：
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180
A． y = 8 x 32 5
B． y = 8 x 32 5
C． y = 8 x 32 5
D． y = 8 x 32 5
7．某厂家 2020 年 1～5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂家 口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ）
试卷第 1页，共 5页
好落在 BC 的延长线上，则旋转角的度数为 ．
15．已知点 A(4, y1), B(0, y2 ),C(3, y3) 在函数 y x2 2x m 的图象上，则 y1, y2, y3 的大小
福建厦门市翔安一中学届高三11月月考(数学理).doc
厦门市翔安第一中学201X 届高三11月月考试卷数学科（理科）考试时间： 11月4日15：45—17：45 满分150 分第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
最后要将所有答案填写在答题卷上，否则不给分。
1．已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集U =Z ，{}1012A =-，，，，{}2B x x x ==，则BC A U ⋂为：（ ） A ．{}12-， B ．{}10-， C ．{}01， D ．{}12， 3．2)cos (sin 20=+⎰dx x a x π，则实数a 等于（ ）A ．－1B ． 1 CD4．已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，且2910a a +=，则10S 等于（ ） A ． 45 B ． 50 C ． 55 D ． 不确定 5．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x=3π对称， 则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（ ）A ．y = sin(2x +6π) B ．y = sin(2x+6π) C ．y = sin|x | D ．y = sin(2x －6π) 6．已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是（ ） A ．//CD 平面PAF B ．DF ⊥平面PAFC ．//CF 平面PABD ．CF ⊥平面PAD7. “a =1”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．已知sin =+)6(απ31，则cos()3πα-= （ ）A ．97B ．31C ．97-D ．31-9．如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知 水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系2)sin(++=ϕωx A y ，则有（ ） A ．3,125==A πω B ．2,315A πω==C ．5,125==A πω D ．2,515A πω== 10.已知3123(),,,f x x x x x x R =--∈且1223310,0,0x x x x x x +>+>+>，则12()()()f x f x f x ++ 的值（） A ．一定小于0 B ．等于0 C ．一定大于0 D ．无法确定二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中答题卷相应横线上，否则不给分。
福建省厦门市翔安第一中学11-12学年高二数学上学期年期中考试 理【会员独享】
福建省厦门市翔安一中2011~2012学年高二年上学期期中试卷理科数学科试卷本试卷 满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.1．已知{}n a 为等差数列，且有40111032=+++a a a a ，则=+76a a （ ） A ．28 B ．24 C ．20 D ．16 2．下列不等式中，解集是R 的是( )A ．x 2－2x ＋1>0B ．x 2>0C ． (1x)2＋1>0 D ．3x －2<3x3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，则角B 的值为( ) A ．π6 B ．π3 C ．π6或5π6 D ．π3或2π34．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝54，a 4＋a 6＝10，则公比q 等于( )A ．14B ．12C ．2D ．8 5．在直角坐标系内，满足不等式0≤-x y 的点(x ，y )的集合(用阴影表示)是( )6．已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的不等式是( )A ．4ab ≥1B ．1a ＋1b ≥2C ．ab ≥2D ． 1a ＋1b ≤14 7．已知点()1,3和()6,4-在直线023=--a y x 的两侧，则a 的取值范围是（ ） A ．24-<a 或7>a B ．7=a 或24 C ．247<<-a D ．724<<-a 8．在ABC ∆中，若三个内角C C B B A 222sin sin sin 3sin sin +⋅+=满足，则角A 等于（ ）A ．ο30B ．ο60C ．ο120D ．ο1509．设P 0(x 0，y 0)为圆x 2＋(y －1)2＝1上的任意一点，要使不等式x 0－y 0－c ≤0恒成立，则c 的取值范围是( )A ．[0，＋∞) B．[2－1，＋∞) C ．(－∞，2＋1] D ．[1－2，＋∞)10．某人向正东方向走了x km 后，向右转120°，然后沿新方向走了3km ，结果他离出发点恰好3 km ，那么x 的值为( )A ． 3B ．2 3C ．23或 3D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上.11．不等式0162>--+x x x 的解集为________________________________。
【高三】福建省厦门市理工学院附中届高三上学期期中考试数学理试题 Word
【高三】福建省厦门市理工学院附中届高三上学期期中考试数学理试题 Word【高三】福建省厦门市理工学院附中届高三上学期期中考试数学理试题word试卷描述：考试时间：120分钟试卷总分：150分命题者：骆毅审核者：周荣南题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题小题每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．已知集合a＝{－1，0，1}，b＝{x?＜4}，则a∩b等于【】a．{1}b．{-1，1}c．{1，0}d．{－1，0，1}2．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在r上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在r上是增函数”的充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件双曲线的顶点到其渐近线的距离等于b．c．d．4．下列函中，既是偶函又在(0，＋∞)单调递增的函是y＝x3y＝x＋1y＝－x2＋1y＝2－x△abc的顶点a(－5,0)，b(5,0)，△abc的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点c的轨迹方程是－＝1－＝1－＝1(x>3)－＝1(x>4)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是a．28＋630＋656＋1260＋12已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为b．c．d．8．函数的图像上关于y轴对称的点共有【】a．0对b．1对c．2对d．3对9．如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是,在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形,则的离心率是b．c．d．10．若函数(x)＝x＋ax＋＋c有极值点x，x，且(x1)＝x，则关于x的方程(f(x))2＋(x)＋b＝0的不同实根个数是得分二、填空题（本大题小题，每小题分，共分，把答案填在答卷11．双曲线的离心率为,则m等于12．设f(x)是周期为2的奇函，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝13．如图1－3所示，正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为1，e，f分别为线段aa1，b1c上的点，则三棱锥d1－edf的体积为14．若函数在是增函数，则的取值范围是*****.15．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：x∈r，f(x)b>0)的左、右焦点，a是椭圆c的顶点，b是直线af2与椭圆c的另一个交点，f1af2＝60°.(1)求椭圆c的离心率；(2)已知af1b的面积为40，求a，b的值．18．(本小题满分分如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1中,侧棱a1a⊥底面abcd,ab//dc,ab⊥ad,ad=cd=1,aa1=ab=2,e为棱aa1的中点.ⅰ)证明b1c1⊥ce;(ⅱ)求二面角b1-ce-c1的正弦值.本小题满分1分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为v立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率)．(1)将v表示成r的函数v(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数v(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．本小题满分分如图所示，点p(0，－1)是椭圆c：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，c的长轴是圆c：x＋y＝4的直径．l，l是过点p且互相垂直的两条直线，其中l交圆c于a，b两点，l交椭圆c于另一点d.(1)求椭圆c的方程；(2)求△abd面积取得最大值时直线l的方程．21．（本小题满分分）中，已知，曲线c的参数方程为，（为参数）.以原点为极点，的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(ⅰ)判断点p与直线的位置关系，说明理由；（ⅱ）设直线与曲线c的两个交点为a，b，求的值.（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式的解集的不等式的解集，的值；（ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值.第13题图（第9题图）f2f1bayxo第6题图福建省厦门市理工学院附中届高中三年级上学期期高中入学考试试数学理试题word版缺答案。
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一、解答题（共76分）1、计算下列各题：（每题6分，共30分）（1）求极限2sin 0lim(1)x x xx x -→+；解 2l n (1)2s i ns i nlim(1)lime x xx x x x x x x x +--→→+=，而3220003lim ln(1)lim lim 6sin sin 1cos x x x x x x x x x x x x→→→+===---， 故 26sin 0lim(1)e xx xx x -→+=.（2）设()f x 在0x x =处可导，试求0000()()limx x x f x xf x x x →--；解 000000000000()()()()()()limlim x x x x x f x xf x x f x x f x x f x xf x x x x x →→--+-=-- 00000000()()lim()()()x x f x f x x f x x f x f x x x →-'=-=--.（3） 设()y y x =是由方程1sin()ln1x xy y+-=所确定的隐函数，求曲线()y y x =在0x =处的切线方程； 解 方程1sin()ln1x xy y+-=两边关于x 求导，得 2(1)cos()()01y y x y xy y xy x y'-+'+-⋅=+， 令0x =，由1sin ()l n 1x xyy+-=解得e y =，则2(0)e e y '=-. 于是，曲线()y y x =在0x =处的切线方程为2e (e e )y x -=-，即2(e e )e y x +-=. (4) 设1tan 2sin e(1)x xy x =++，求d d y x； 厦门大学《一元微积分（A ）》课程期中试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 理工类高数A 期中试卷（翔安） 试卷类型：（A 卷）解 1t a n 22s i n222d 112sin e sec ()(1)[cos ln(1)]d 1x x y x xx x x x x xx=⋅⋅-++⋅+++. (5) 设2()ln(1)f x x x =+，求(10)()f x ； 解：987(10)21098(1)9!(1)8!109(1)7!()1022(1)(1)2(1)fx x x x x x -⋅-⋅⨯-⋅=⋅+⨯+⨯+++ 22107x x x x x =--++++ 2．(8分)求函数22sin π,0(4)()(1),01xx x x f x x x x x ⎧>⎪-⎪=⎨+⎪≤⎪-⎩的间断点，并判断其类型.解 因为2200sin πππlim ()lim lim (4)(4)4x x x x x f x x x x x +++→→→===---，200(1)lim ()lim 01x x x x f x x -+→→+==-，所以0x =为()f x 的第一类间断点（跳跃间断点）；2222222sin πsin(2)π(2)ππlim ()limlim lim (4)(4)(4)8x x x x x x x f x x x x x x x →→→→--==-==---，所以2x =是()f x 的第一类间断点（可去间断点）；2111(1)1lim ()limlim 112x x x x x x f x x x →-→-→-+===--，于是，1x =-是()f x 的第一类间断点（可去间断点）.3．(8分)设函数()y f x =是由参数方程22e sin 10y x t t t y ⎧=+⎨-+=⎩确定，求0d d t yx =和22d d t y x =；解d 22d xt t=+，方程e sin 10y t y -+=两边对t 求导，得 d d e sin e cos 0d d yy y y t t t t⋅+-=， 故d e cos d 1e sin y y y t t t =-. 于是，d e cos e cos d 2(1e sin )(1)2(2)(1)y y y y t tx t t y t ==-+-+. 当0t =时，0x =，1y =，所以，d e d t yt ==. 由d e cos d 2(2)(1)y y t x y t =-+对x 求导，得2222d d (e cos e sin )(2)(1)e cos [2(1)()]d 1d d d 2(2)(1)22y y y y y t t y t t y t yt t xy t t ⋅--+-⋅-++-=⋅-++于是，22220d e e [21e]12e ed 224t y x =-⋅---=⋅=. 4．(8分)设()f x 具有连续的二阶导数，且(0)(0)0f f '==，(0)6f ''=，试求4(1cos )limx f x x →-；解 利用泰勒公式，2222(0)()(0)(0)()3()2!f f x f f x x o x x o x '''=+++=+， 于是，224400(1cos )3(1cos )((1cos ))lim lim x x f x x o x x x →→--+-=422424003((1cos ))(1cos )34lim lim (1cos )4x x x o x x x x x →→⋅--=+⋅=-. 5．(6分)求函数32()399f x x x x =--+的单调区间和极值；解 2()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+，则当3x >或1x <-时，()0f x '>；当13x -<<时，()0f x '<.于是，()f x 在(,1)-∞-及(3,)+∞内单调增加，在(1,3)-内单调减少. ()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1)14f -=，在3x =处取得极小值，极小值为(3)18f =-.6．(8分)设102x <<，114(1)4n n n x x x --+=+（2,3,n =），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞.证明：（1）先证明：对1,2,n =，02n x <<.当1n =时，上式成立，假设n k =时，有02k x <<，则当1n k =+时， 14(1)121204424442k k k k x x x x ++<==-<-=+++.（2）证明：1,2,3,n n x x n ->=.事实上，211211114(1)4044x x x x x x x +--=-=>++，假设式子对n k =成立，即1k k x x ->，于是当1n k =+时，111114(1)4(1)12()044(4)(4)k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x --+--++--=-=>++++，即1k k x x +>.所以，数列{}n x 单调增加，且2n x <，因此极限lim n n x →∞存在，记为a .对114(1)4n n n x x x --+=+两边取极限，可得4(1)4a a a +=+，即2a =±.因为0n x >，故lim 2n n x →∞=.7．（8分）设10,0(),01e x x x f x x =⎧⎪=⎨≠⎪+⎩，试讨论()f x 在0x =处的连续性与可导性.解 1lim ()lim 01ex x xx f x ++→→==+，1lim ()lim 0101ex x xx f x --→→===++，故 0lim ()lim ()(0)0x x f x f x f +-→→===， 故()f x 在0x =处连续.10()(0)1(0)lim lim 001ex x xf x f f x +++→→-'===-+，10()(0)11(0)lim lim 10101ex x xf x f f x ---→→-'====-++， 故()f x 在0x =处不可导.二、应用题（10分）在椭圆22221x y a b+=内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该内接矩形的最大面积。
解：由对称性，可设四个顶点坐标为0(,x ±±00x >).因此，所求矩形面积为004()22b s x x x a=⋅=此问题与求函数222()()f x x a x =-在[0,]a 的最大值等价. 令23()240f x a x x '=-=，得0x =（不合题意，舍去）或者x =.因为222222122640f a x a a a ''=-=-=-<，因此()f x在x =处取得极大值，由于只有一个驻点，所以()f x 在x =处取得最大值. 故当0x =时，该内接矩形的面积最大，最大面积为2422b a s ab a ==.三、证明题（共14分）1、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()f a b =，()f b a =，证明： （1）在(,)a b 内至少存在一点c ，使得()f c c =；（2）至少存在互异的两点,(,)a b ξη∈，使得()()1f f ξη''=. 解：（1）做辅助函数()()F x f x x =-，由()f a b =，()f b a =，得 ()()F a f a a b a =-=-，()()F b f b b a b =-=-，故2()()()0F a F b b a =--<，由零点定理，在(,)a b 内至少存在一点c ，使得()0F c =，即()f c c =. （2）由拉格朗日中值定理，存在(,)a c ξ∈和(,)c b η∈，使得()()()f c f a c b f c a c a ξ--'==--，()()()f b f c a cf b c b c η--'==--，即 ()()1c b a cf f c a b cξη--''=⋅=--. 2、（6分）证明：当0x >时，ee xx ≥. 证明：因为eeln exx =，因此，只要证明：当0x >时，eln x x ≥即可.作辅助函数()eln f x x x =-，令e()10f x x'=-=，得e x =. 当e x >时，()0f x '>，则()f x 在(e,)+∞上单调增加；当e x <时，()0f x '<，则()f x 在(0,e)上单调减少，因此()eln f x x x =-在e x =取到最小值，于是，当0x >时，()eln (e)0f x x x f =-≥=，即eln x x ≥.故当0x >时，ee xx ≥.。