最新华南理工大学版微积分下课件19
高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (25).
如果当各小段长度的最大值 0时 ,
n
P(i ,i )xi的极限总存在, 则称此极限为函数
i 1
P( x, y)在有向曲线弧 L上 对坐标x的曲线积分,
或称 第二型曲线积分.记作 P( x, y)dx,即 L
n
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P(i
,i
)xi
n
类似地定义 Q( x, y)dy L
1 23
化成参数式方程为 x 1 t, y 1 2t,z 1 3t A点对应 t 0, B点对应 t 1,于是
xdx ydy ( x y 1)dz
01(1 t)dt (1 2t)2dt (1 3t )3dt
1
0 (6 14t)dt 13
17
例3 计算 x2dx ( y x)dy, 其中 L
n
P( x,
y, z)dx
lim
0
i 1
P(i
,i ,
i
)xi
n
Q(
x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
,
i
)yi
n
R( x,
y, z)dz
lim
0
i 1
R(i ,i , i )zi
8
6. 性质
y L L2
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L1 O
x
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
(1) L是上半圆周 y a2 x2 , 反时针方向;
(2) L是x轴上由点 A(a,0) 到点B(a,0) 的线段.
解 (1)中L的参数方程为
华南理工大学版微积分下课件19
第六节 高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβαcos cos cos这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上 点()z y x ,,出的法向量的方向余弦。
证明：我们只需证明三个等式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Pdydz dv x P ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Qdzdx dv y Q ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R证明等式最重要的是处理好积分区域！ 证明⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R（如图1） 例1：计算⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2222，其中∑为椭球面12222=++z y x 的内侧。
解：利用高斯公式⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy2222=()⎰⎰⎰∑++-dxdydz x z y 2222()()⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+-=++-=123222222121212222222222221342122y x y x y x y x dxdy y x y x y x dzz y xdxdy()⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=123223201232212dr r r r r d πθ ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2423sin cos sin 32cos sin 22ππdt t t t t tr ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2053sin 322sin 32sin 322ππdt t t t πππ5225332232543223232322-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 例2:计算曲面积分⎰⎰∑++xdzdx ydydz dxdy e z ，其中积分曲面∑为)20(22≤≤+=z y x z ，并取下侧。
华南理工大学版微积分下课件18-推荐下载
第五节 对坐标的曲面积分
问题：怎样计算不可压缩流体流过某曲面的流量？
计算自来水的流量，设水速为 v ，水管的截面积为 S ，则流
量为 vS 。（截面与速度方向垂直）（如图 1）
若考虑的截面不与速度垂直其面积为
量还是：
vS
vA cosv
,
n
Avn
有向曲面：我们考虑一般曲面 z zx , y，取定了法向量即选
1
xy 1 x2 y 2 dxdy xy 1 x2 y 2 dxdy
Dxy
22
0
2 xy 1 x2 y 2 dxdy
Dxy
d
1
0
r
cos
Dxy
r
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
高等数学(微积分)ppt课件
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
微积分下册总复习 ppt课件
在某一邻域U (P0 )内恒能唯一确定一个具有连续
偏导数的 z f ( x, y)，它满足 z0 f ( x0 , y0 ),
并有
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
ppt课件
10
(2) 方程组情形
隐函数的个数=方程的个数
隐函数的自变量个数=总自变量个数
方程的个数
ppt课件
11
* 5. 多元函数微分学的几何应用
(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)
(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)
* 6. 方向导数与梯度
方向导数 梯度
f lim f(P)f(P0).
l P0
PP0
P0P与l同向
PP0g rafd P 0源自x',fy'P 0.
f
l
(gradf) .
l P0
18
性质4(比较性质) 设 f(x ,y ) g (x ,y )(,x,y)D, (保序性)
则
f(x, y)d g(x, y)d
D
D
特殊地 f (x, y)d f(x,y)d
D
D
性质5(估值性质) 设 m f(x,y)M ,
σ为D的面积, 则
m f(x,y)dM
D
ppt课件
19
性质6(二重积分中值定理) 设f (x, y)在闭区
f (x, y)d
D
2 π ()
0d0 f(rco ,rssi)r n d r
r()
D
θ
o
A
极坐标系下区域的面积 rdrd.
D
ppt课件
28
三重积分
1、三重积分的定义
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
高等数学微积分下华南理工大学
应用问题建立微分方程的方法: 方法大体有两种
第一种方法
直接利用物理定律或几何条件列出方程, 常见的物理定律有力学、热学、光学、电学 的定律;
第二种方法
取小元素分析, 然后利用物理定律列出 方程(类似于定积分应用中的元素法).
6
例 衰变问题. 衰变速度与未衰变原子含量M成
正比,已知M t0 M0,求衰变过程中铀含量 M (t) 随时间 t 变化的规律.
解 衰变速度 dM , 由题设条件得 dt
dM M ( 0衰变系数)
dt
dM dt
M
负号是由于当 t 增加时M单调减少
dM M 代入M
dt, ln M t lnC, 即 t0 M0 , 得 M0 Ce0 C
M
Cet 通解
,
特解 M M0et 衰变规律
7
例 求游船上的传染病人数.
得 dy ky(800 y), 其中k > 0为比例常数.
dt
分离变量
dy kdt,
y(800 y)
11
dy kdt, y(800 y)
初始条件 y(0) 1, y(12) 3
即
1 1 1 dy kdt,
800 y 800 y
两边积分,得 1 [ln 800
y
ln(800
这种解方程的方法称为分离变量法.
3
例1 求解微分方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量，dy 2xdx, y
两端积分，
dy y
2
xdx,
ln y x2 lnC
y Ce x2为所求通解.
4
例2
求解初值问题
dx
yx
xydy 0 2
《微积分》PPT课件
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y － 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (22)
2d xd y
Dxy
d
2
a
1 a
a
6
0
0
a 4 r r dr
2 2
2 a
2
2
( 6 2 5 5 1)
10
二、质心
(1) 平面薄片的质心
设xOy平面上有n个质点,它们分别位于 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) , ( x n , y n )处 , 质量分别为
y2
D
O
x
x
2
I o ( x 2 y 2 ) ( x , y )d
D
18
(2) 物体的转动惯量 设物体占有空间区域 , 有连续的密度函数 z ( x , y , z ), 则转动惯量为
I x ( y z ) ( x , y , z )dv
2 2
O
I y ( x 2 z 2 ) ( x , y , z )dv
用元素法求薄片对z轴上的单位质点的引力
z M ( 0 ,0 , a ) 0
引力在三个坐标轴上的投影 F x , F y , Fz 元素. 薄片中 d 的部分对该质点的引力 x 的大小近似地为 d F k 1 ( x , y )d
F k m1 m 2 r
2
O
D
d
y
r2
( x , y ,0 )
2 2 2
d xd y
y
r a cos
A 4 1 z z d xd y
2 x 2 y D1
4
a a x y
2 2
d xd y 2
r dr
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
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华南理工大学版微积分下课件19
第六节高斯公式和斯托克斯公式
一、高斯公式
定理1：设空间闭区域«Skip Record If...»是由分片光滑的闭曲面
«Skip Record If...»所围成，函数
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有一阶连续偏导数，则有
«Skip Record If...»
或
«Skip Record If...»
这里«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的整个边界曲面的外侧，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上
点«Skip Record If...»出的法向量的方向余弦。
证明：我们只需证明三个等式
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
证明等式最重要的是处理好积分区域！
证明«Skip Record If...»（如图1）
例1：计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为椭球面
«Skip Record If...»的内侧。
解：利用高斯公式
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例2:计算曲面积分«Skip Record If...»，其中积分曲面«Skip Record If...»
为«Skip Record If...»，并取下侧。
（00华）
解：做辅助曲面«Skip Record If...»并取上侧，利用高斯公式
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
点评：高斯公式可以用来简化第二类曲面积分的计算，首先
利用高斯公式时一定要注意积分曲面必须是封闭的，否则要
做辅助曲面，如例2；其次要注意积分曲面所选定的侧，如
例1中的负号就是因为积分曲面选定的内侧；
例3：设函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在闭区域«Skip Record If...»具有一阶及二
阶连续的偏导数，证明：
«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...»为闭区域«Skip Record If...»的整个边界曲面，«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»沿«Skip Record If...»
的外法向量的方向导数，符号«Skip Record If...»。
证明：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
二、斯托克斯公式
定理2：设«Skip Record If...»为分段光滑的空间有向闭曲线，
«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为边界
的分片光滑有向曲面，«Skip Record If...»的正向与«Skip Record If...»的侧符合右手规则，函
数
«Skip Record If...»
在包含曲面«Skip Record If...»在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，
则有
«Skip Record If...»
或
«Skip Record If...»
证明：我们分别证明以下三式（如图2）
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。
设«Skip Record If...»与平行«Skip Record If...»轴的直线的交点不多于一点，即«Skip Record If...»的方程可记
为«Skip Record If...»。
并取上侧
«Skip Record If...»
因为«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影为«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»（这步由格林公式得出，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的
边界）
如果«Skip Record If...»从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
注：闭曲线«Skip Record If...»对应的曲面«Skip Record If...»不是唯一的。
例4：计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为椭圆
«Skip Record If...»，若从«Skip Record If...»轴正向看去，这椭
圆取逆时针方向。
解：利用斯托克斯公式计算，曲线«Skip Record If...»所围成的曲面«Skip Record If...»为
«Skip Record If...»
利用右手准则应取上侧，所以曲面对应的法向量为
«Skip Record If...»
其单位向量为«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»。