最新华南理工大学版微积分下课件19
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华南理工大学版微积分下课件19
第六节高斯公式和斯托克斯公式
一、高斯公式
定理1：设空间闭区域«Skip Record If...»是由分片光滑的闭曲面
«Skip Record If...»所围成，函数
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上具有一阶连续偏导数，则有
«Skip Record If...»
或
«Skip Record If...»
这里«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的整个边界曲面的外侧，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上
点«Skip Record If...»出的法向量的方向余弦。
证明：我们只需证明三个等式
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
证明等式最重要的是处理好积分区域！
证明«Skip Record If...»（如图1）
例1：计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为椭球面
«Skip Record If...»的内侧。
解：利用高斯公式
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例2:计算曲面积分«Skip Record If...»，其中积分曲面«Skip Record If...»
为«Skip Record If...»，并取下侧。（00华）
解：做辅助曲面«Skip Record If...»并取上侧，利用高斯公式
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
点评：高斯公式可以用来简化第二类曲面积分的计算，首先
利用高斯公式时一定要注意积分曲面必须是封闭的，否则要
做辅助曲面，如例2；其次要注意积分曲面所选定的侧，如
例1中的负号就是因为积分曲面选定的内侧；
例3：设函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在闭区域«Skip Record If...»具有一阶及二
阶连续的偏导数，证明：
«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...»为闭区域«Skip Record If...»的整个边界曲面，«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»沿«Skip Record If...»
的外法向量的方向导数，符号«Skip Record If...»。
证明：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
二、斯托克斯公式
定理2：设«Skip Record If...»为分段光滑的空间有向闭曲线，
«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为边界
的分片光滑有向曲面，«Skip Record If...»的正向与«Skip Record If...»的侧符合右手规则，函
数
«Skip Record If...»
在包含曲面«Skip Record If...»在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，
则有
«Skip Record If...»
或
«Skip Record If...»
证明：我们分别证明以下三式（如图2）
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»。
设«Skip Record If...»与平行«Skip Record If...»轴的直线的交点不多于一点，即«Skip Record If...»的方程可记
为«Skip Record If...»。并取上侧
«Skip Record If...»
因为«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»面上的投影为«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»（这步由格林公式得出，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的
边界）
如果«Skip Record If...»从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»从«Skip Record If...»变到«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
注：闭曲线«Skip Record If...»对应的曲面«Skip Record If...»不是唯一的。
例4：计算«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为椭圆
«Skip Record If...»，若从«Skip Record If...»轴正向看去，这椭