最新高三教案-2018年高中总复习第一轮数学第八章8.1椭
苏教版版高考数学一轮复习第八章平面解析几何椭圆及其性质教学案
１．椭圆的定义（１）平面内与两个定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（２）集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a，c为常数且a>0，c>0．１当２a>|F１F２|时，M点的轨迹为椭圆；２当２a＝|F１F２|时，M点的轨迹为线段F１F２；３当２a<|F１F２|时，M点的轨迹不存在．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0），B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a），B１（—b,0），B２（b,0）离心率e＝错误!，且e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２错误１．点P（x0，y0）和椭圆的位置关系（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!＜１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!＞１．２．焦点三角形如图，椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫做焦点三角形．设r１＝|PF１|，r２＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）中：（１）当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；（２）S＝b２tan 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）a—c≤|PF１|≤a＋c.（４）|PF１|＝a＋ex0，|PF２|＝a—ex0.３．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a２＝b２＋c２.４．已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.５．椭圆中点弦的斜率公式若M（x0，y0）是椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有k AB·k OM ＝—错误!，即k AB＝—错误!.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!|y１—y２|＝错误!（k为直线的斜率）．一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距）．（）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（４）关于x，y的方程mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（）[答案]（１）×（２）√（３）×（４）√二、教材改编１．若F１（—３,0），F２（３,0），点P到F１，F２距离之和为１0，则P点的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１A[设点P的坐标为（x，y），因为|PF１|＋|PF２|＝１0>|F１F２|＝6，所以点P的轨迹是以F１，F２为焦点的椭圆，其中a＝５，c＝３，b＝错误!＝４，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．故选Ａ．]２．设椭圆的两个焦点分别为F１，F２，过点F２作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F１PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．２—错误!Ｄ．错误!—１D[法一：设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），依题意，显然有|PF２|＝|F１F２|，则错误!＝２c，即错误!＝２c，即e２＋２e—１＝0，又0<e<１，解得e＝错误!—１．故选Ｄ．法二：因为△F１PF２为等腰直角三角形，所以|PF２|＝|F１F２|＝２c，|PF１|＝２错误!c.因为|PF１|＋|PF|＝２a，所以２错误!c＋２c＝２a，所以e＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．]２３．若方程错误!＋错误!＝１表示椭圆，则k的取值范围是．（３,４）∪（４,５）[由已知得错误!解得３＜k＜５且k≠４．]４．已知椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率为错误!，则椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为椭圆的一个焦点为F（１,0），离心率e＝错误!，所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]第１课时椭圆及其性质考点１椭圆的定义及应用椭圆定义的应用主要有两个方面一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．（１）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF１F２＝４５°，则△AF１F２的面积为（）Ａ．7 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）A（２）C[（１）由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|（定值）．又|MO|＞|FO|，∴点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选Ａ．（２）由题意得a＝３，b＝错误!，c＝错误!，∴|F１F２|＝２错误!，|AF１|＋|AF２|＝6．∵|AF２|２＝|AF１|２＋|F１F２|２—２|AF１|·|F１F２|cos ４５°＝|AF１|２—４|AF１|＋8，∴（6—|AF１|）２＝|AF１|２—４|AF１|＋8．∴|AF１|＝错误!，∴S△AF１F２＝错误!×错误!×２错误!×错误!＝错误!.]本例（１）应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例（２）把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF１|，从而求得△AF１F２的面积．[教师备选例题]设F１，F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|—|PF１|的最小值为．—５[由椭圆的方程可知F２（３,0），由椭圆的定义可得|PF１|＝２a—|PF２|.∴|PM|—|PF１|＝|PM|—（２a—|PF２|）＝|PM|＋|PF２|—２a≥|MF２|—２a，当且仅当M，P，F２三点共线时取得等号，又|MF２|＝错误!＝５,２a＝１0，∴|PM|—|PF１|≥５—１0＝—５，即|PM|—|PF１|的最小值为—５．]已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF１⊥PF２，若△PF１F２的面积为9，则b＝ .３[设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，所以S△PF１F２＝错误! r１r２＝b２＝9，所以b＝３．]考点２椭圆的标准方程定义法先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a２，b２的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程．特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件２a＞|F１F２|.１．在△ABC中，A（—４,0），B（４,0），△ABC的周长是１8，则顶点C的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｂ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｃ．错误!＋错误!＝１（y≠0）Ｄ．错误!＋错误!＝１（y≠0）A[由|AC|＋|BC|＝１8—8＝１0＞8知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆（A，B，C不共线）．设其方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），则a＝５，c＝４，从而b＝３．由A，B，C不共线知y≠0．故顶点C的轨迹方程是错误!＋错误!＝１（y≠0）．]２．已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１D[设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，又|C１C２|＝8＜１6，∴动圆圆心M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，则a＝8，c＝４，∴b２＝４8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．]利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制．待定系数法利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）的形式．１．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点错误!，（错误!，错误!），则椭圆方程为．错误!＋错误!＝１[设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m，n＞0，m≠n）．由错误!解得m＝错误!，n＝错误!.∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．]２．过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为．错误!＋错误!＝１[法一：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二：∵所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．∵c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，∴错误!＋错误!＝１，则错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，∴所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]３．设F１，F２分别是椭圆E：x２＋错误!＝１（0＜b＜１）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点．若|AF１|＝３|F１B|，AF２⊥x轴，则椭圆E的方程为．x２＋错误!y２＝１[不妨设点A在第一象限，如图所示．∵AF２⊥x轴，∴A（c，b２）（其中c２＝１—b２,0＜b＜１，c＞0）．又∵|AF１|＝３|F１B|，∴由错误!＝３错误!得B错误!，代入x２＋错误!＝１得错误!＋错误!＝１．又c２＝１—b２，∴b２＝错误!.故椭圆E的方程为x２＋错误!y２＝１．]（１）已知椭圆上两点，常设方程为mx２＋ny２＝１（m＞0，n＞0，m≠n）；（２）椭圆的通径（过焦点且与长轴垂直的弦）长为错误!.考点３椭圆的几何性质椭圆的长轴、短轴、焦距求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析．（１）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，焦距为４，则m等于（）Ａ．8 Ｂ．7Ｃ．6 Ｄ．５（２）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为．（１）A（２）错误!＋错误!＝１[（１）因为椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在x轴上，所以错误!解得6<m<１0．因为焦距为４，所以c２＝m—２—１0＋m＝４，解得m＝8．（２）椭圆长轴长为6，即２a＝6，得a＝３，∵两焦点恰好将长轴三等分，∴２c＝错误!×２a＝２，得c＝１，因此，b２＝a２—c２＝9—１＝8，所以此椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．]求离心率的值（或范围）求椭圆的离心率，常见的有三种方法一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为错误!的直线上，△PF１F２为等腰三角形，∠F１F２P＝１２0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）椭圆C的两个焦点分别是F１，F２，若C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，则椭圆C的离心率e的取值范围是．（１）D（２）错误![（１）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F１F２|＝２c，∵△PF １F２为等腰三角形，且∠F１F２P＝１２0°，∴|PF２|＝|F１F２|＝２c.∵|OF２|＝c，∴点P坐标为（c＋２c cos 60°，２c sin 60°），即点P（２c，错误!c）．∵点P在过点A，且斜率为错误!的直线上，∴错误!＝错误!，解得错误!＝错误!，∴e＝错误!，故选Ｄ．（２）因为椭圆C上的点P满足|PF１|＝错误!|F１F２|，所以|PF１|＝错误!×２c＝３c.由a—c≤|PF１|≤a＋c，解得错误!≤错误!≤错误!. 所以椭圆C的离心率e的取值范围是错误!.]本例（２）在求解时运用了隐含条件“a—c≤|PF１|≤a＋c”．特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．１．（２0１9·昌平二模）嫦娥四号月球探测器于１２月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.１２日下午４点４３分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道３所示，其近月点与月球表面距离为１00公里，远月点与月球表面距离为４00公里．已知月球的直径为３４76公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[如图，F为月球的球心，月球半径为：错误!×３４76＝１7３8，依题意，|AF|＝１00＋１7３8＝１8３8，|BF|＝４00＋１7３8＝２１３8．∴２a＝１8３8＋２１３8，即a＝１988，∴a＋c＝２１３8, c＝２１３8—１988＝１５0，故椭圆的离心率为：e＝错误!＝错误!≈错误!，选Ｂ．]２．已知F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF１⊥PF２，则该椭圆的离心率的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!B[∵F１，F２是椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右两个焦点，∴0<e<１，F１（—c,0），F（c,0），c２＝a２—b２.设点P（x，y），由PF１⊥PF２，得（x＋c，y）·（x—c，y）＝0，化简得x２＋y ２２＝c２.联立方程组错误!整理得，x２＝（２c２—a２）·错误!≥0，解得e≥错误!.又0<e<１，∴错误!≤e<１．]与椭圆性质有关的最值或范围问题与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法（１）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．（２）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．（３）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．（１）（２0１7·全国卷Ⅰ）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）Ａ．（0,１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）Ｃ．（0,１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（２）（２0１9·烟台模拟）若点O和点F分别为椭圆错误!＋错误!＝１的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则错误!·错误!的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．6 Ｄ．8（１）A（２）C[（１）由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．１如图１，当焦点在x轴，即m＜３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴0＜m≤１．图１图２２如图２，当焦点在y轴，即m＞３时，a＝错误!，b＝错误!，tan α＝错误!≥tan 60°＝错误!，∴m≥9．综上，m的取值范围（0,１]∪[9，＋∞），故选Ａ．（２）由题意知，O（0,0），F（—１,0），设P（x，y），则错误!＝（x，y），错误!＝（x＋１，y），∴错误!·错误!＝x（x＋１）＋y２＝x２＋y２＋x.又∵错误!＋错误!＝１，∴y２＝３—错误!x２，∴错误!·错误!＝错误!x２＋x＋３＝错误!（x＋２）２＋２．∵—２≤x≤２，∴当x＝２时，错误!·错误!有最大值6．]本例（１）的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例（２）的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x（y）的有界性解模的思路．[教师备选例题]１．（２0１9·深圳模拟）设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２，P 是C上的点，PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[法一：（直接法）如图，在Rt△PF２F１中，∠PF１F２＝３0°，|F１F２|＝２c，∴|PF１|＝错误!＝错误!，|PF２|＝２c·tan ３0°＝错误!.∵|PF１|＋|PF２|＝２a，即错误!＋错误!＝２a，可得错误!c＝a.∴e＝错误!＝错误!.法二：（特殊值法）在Rt△PF２F１中，令|PF２|＝１，∵∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２，|F１F２|＝错误!.∴e＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．]２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为．４[由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆方程为错误!＋错误!＝１．设P点坐标为（x0，y0）．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.则当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．]３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>c>0，a２＝b２＋c２）的左、右焦点分别为F１，F２，若以F为圆心，b—c为半径作圆F２，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!２（a—c），则椭圆的离心率e的取值范围是．错误![因为|PT|＝错误!（b>c），而|PF２|的最小值为a—c，所以|PT|的最小值为错误!.依题意，有错误!≥错误!（a—c），所以（a—c）２≥４（b—c）２，所以a—c≥２（b—c），所以a＋c≥２b，所以（a＋c）２≥４（a２—c２），所以５c２＋２ac—３a２≥0，所以５e２＋２e—３≥0．１又b>c，所以b２>c２，所以a２—c２>c２，所以２e２<１．２联立１２，得错误!≤e<错误!.]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为１，则椭圆长轴长的最小值为（）Ａ．１Ｂ．错误!Ｃ．２Ｄ．２错误!D[设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以错误!×２cb＝１，bc＝１，而２a＝２错误!≥２错误!＝２错误!（当且仅当b＝c＝１时取等号）．即长轴长２a的最小值为２错误!.]。
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
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A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
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4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
第十六页，共27页。
【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
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5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
最新-2018届高考数学一轮复习 第8章第五节 椭圆课件 文 精品
其中 A，B 为不相等的正常数或由已知条件 设椭圆系(如xa22＋yb22＝λ，λ＞0)来求解，以避 免讨论和繁琐的计算．
例1 (1)求两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)， 并且经过点(－32，52)的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴 长的 3 倍，并且过点 P(3,0)，求椭圆的方程； (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，
∴O→A＋O→B＝(2xM,2yM)＝(1200kk2＋2m6，－ 101k22＋km6)， 即 N 点的坐标为(1200kk2＋2m6，－ 101k22＋km6)． 由 N 点在椭圆上， 则15×(1200kk2＋2m6)2＋13×(1－0k122＋km6)2＝m22， 即 5k4－2k2－3＝0，∴k2＝1 或 k2＝－35(舍去)． 故存在 k＝±1，使对任意 m＞0，
答案：(3,4)∪(4,5) 3．椭圆xm2＋1y52 ＝1 的焦距等于 2，则 m 的值是________． 答案：16或14
4．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴 长、离心率依次是________．
答案：10,6，45
考点探究·挑战高考
考点突破
椭圆的定义及标准方程
椭圆标准方程的求法 (1)定义法； (2)待定系数法．若已知焦点的位置可惟一 确定标准方程；若焦点位置不确定，可采 用分类讨论法来确定方程的形式，也可以 直接设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1，
轴
对称轴：_x_轴__、__y_轴___，长轴长：_A__1A__2＝__2_a___， 短轴长：_B__1B__2＝__2_b___
条
{M|MF1＋MF2＝2a，(2a>F1F2)}
件
{M|MdF1 1＝MdF2 2＝e(0<e<1)}
高三理科数学一轮总复习第八章 直线和圆的方程
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1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.
本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
l的倾斜角为2θ，tan2θ＝ ＝＝.
2018版高考一轮总复习数学理课件 第8章 平面解析几何 8-5 板块一 知识梳理 自主学习 精品
1 因为其焦点在 y轴上，所以 a ＝ ， b2＝ 1， m 依题意知 1 1 ＝ 2，解得 m＝ . 4 m
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1
椭圆的定义及标准方程
[2017· 北京东城模拟] 过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点 )
F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦 点F2构成的△ABF2的周长为( A．2 C．8 B．4 D．2 2
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2 |＝2a}，|F1 F2|＝2 c，其中 a>0，c>0，且a，c为常数：
a >c (1)若______ ，则集合P为椭圆；
(2)若______ a＝c ，则集合P为线段；
a <c (3)若______ ，则集合P为空集．
考点2
椭圆的标准方程和几何性质
[ 必会结论] 椭圆的常用性质 x2 y2 (1)设椭圆 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当x a b ＝0时，|OP|有最小值b， P点在短轴端点处；当 x＝± a 时， |OP|有最大值a， P点在长轴端点处． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角 三角形，其中a为斜边，a2＝b2＋ c2. (3)已知过焦点 F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
二、小题快练 x2 y2 1．[2015· 广东高考] 已知椭圆 ＋ 2 ＝1(m>0)的左焦点 25 m 为F1 (－4,0)，则m＝ ( A．2 C．4 B ．3 D ．9 )
解析
由左焦点为 F1(－ 4,0)知 c＝ 4.又 a＝ 5，∴25－ m2＝
16，解得 m＝3或－ 3.又 m>0，故 m＝ 3.
【变式训练1】
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.4
考向二 圆的切线与弦长问题[互动讲练型] [例 2] (2016·课标全国Ⅲ，16,5 分)已知直线 l：mx＋y＋3m － 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的 垂线与 x 轴交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
a＋12＋a－3－22＝ 2a2－8a＋26＝ 2a－22＋18.所以当 a ＝ 2 时 ， d 取 最 小 值 18 ＝ 3 2 ， 此 时 切 线 长 最 小 ， 为
3 22－ 22＝ 16＝4，所以选 C. 答案：C
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
4．(2017·揭阳一模)已知直线 x＋y－k＝0(k＞0)与圆 x2＋y2 ＝4 交于不同的两点 A，B，O 为坐标原点，且|O→A＋O→B|≥ 33|A→B |，则 k 的取值范围是( )
第二十七页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[悟·技法]—— 圆与圆的位置关系的求解策略
(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两 圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长， 只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直 线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
＋1＝0 垂直，则其斜率为 1，故直线 l 的方程为 y＝x＋3.选 D. 答案：D
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
2．(2016·课标全国Ⅱ，4,5 分)圆 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 的 圆心到直线 ax＋y－1＝0 的距离为 1，则 a＝( )
A．－43 B．－34 C. 3 D．2
最新-2018版高三数学一轮83圆锥曲线复习学案精品
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标：
顶点 性
y≤ -a 或 y≥ a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点坐标：
渐近线
离心率 质
实虚轴
线段
叫做双曲线的实轴，它的长
叫做双曲线的虚轴，它的长
的实半轴长，：离心率越大，双曲线的“开口”越大。 3．等轴双曲线
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方 y2 2 px( p 0) y2
程
2 px( p 0) x2
2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
图
形
性对
称 x轴
x轴
轴
y轴
y轴
焦
点 质坐
标
p F ( ,0)
2
准
线
p
x
方
2
程
焦
p
半 | PF | x0
径
2
范
x0
围
顶
O (0,0)
点
离
心
e1
率
e
【要点名师解析】
1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线
C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解
建立了如下关系：
（ 1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（ 2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线
叫做方程的曲线。
注：如果中满足第（ 2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点
（ 3）理解数形结合的思想。
2．热点提示
（ 1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；双曲线与其他圆
锥曲线的交汇命题是热点。
高中数学教案——椭圆及其标准方程 第一课时
课题：8．1椭圆及其标准方程（一）教学目的：1．理解椭圆的定义明确焦点、焦距的概念2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程3．能由椭圆定义推导椭圆的方程4．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次，即在对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，了解它们与其他知识联系的基础上，通过训练形成技能，并能作简单的应用根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，本节课从知识、能力和情感三个层面确定了相应的教学目标椭圆的定义是一种发生性定义，是通过描述椭圆形成过程进行定义的 作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点 同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识 但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受 所以，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础 教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础 根据本节教材的重点、难点，课时拟作如下安排：第一课时，椭圆的定义及标准方程的推导；第二课时，椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程；第三课时，以椭圆为载体的动点轨迹方程的探求 教学过程：一、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 二、讲解新课： 1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆） 由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程 理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)三、讲解范例：例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+b x a y )0(>>b a 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c6410222=-=-=∴c a b所以所求标准方程为161022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程 四、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） .838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ） Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ） 参考答案： 1.A2.C3.A4.1353622=+x y 5.Ｂ五、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 022>>c a ；②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c 的几何意义 六、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④9422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，,2,3===c b a 2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为答案：4);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围答案：0<<k4 化简方程：)3()3(2222=-++++y x y x答案：1251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______ 答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y七、板书设计（略）八、课后记：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+）(2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：125y 16x 22=+。
高三数学一轮复习椭圆教案
第一讲 椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数()1222||a a F F >的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F +=>．注：①若122||a F F <，则点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线； ②若122||a F F =，则这样的点不存在．（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距 离的比是常数()01e ∈，，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫 做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()101M lMF e e d →=<<．（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：①()()()222210x m y n a b ab--+=>>；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） ②()()()222210y n x m a b a b --+=>>．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） （2）椭圆的参数方程：①()2222cos 10sin x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔+=>>⎨=⎩；注：ϕ角不是NOM ∠．②()()()2222cos 10sin x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔+=>>⎨=+⎩． Ｐ ＰＦ１Ｆ２Ｆ（3）椭圆的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF -+-=>-．（三）性质：对于椭圆()222210x y a b a b+=>>而言，①范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在x a y b =±=±，组成的矩形中．②对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，，2(0)(0)B b B b -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，共有六个特殊点．21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．④离心率：椭圆焦距与长轴长之比)01c e e e a =⇔=<<． 注：椭圆形状与e 的关系：01be a→→， ，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例；10be a→→， ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．⑤椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c =：；对于12222=+bx a y ，下准线21a l y c =-：；上准线22a l y c =：．⑥焦准距：焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）． ⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为22b a．⑧焦半径公式：焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： 10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）； 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）； （规律：左加右减，上减下加．）⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；2cos 2tan2cos2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？） （四）椭圆系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）ＰＦ１Ｆ２αβγ（1）共焦点的椭圆系：()22221x y k c k k c +=>-；注：若20k c <<，则表示共焦点的双曲线系．（2）离心率相同的椭圆系：()22220x y a b λλ+=>．注：若()22220x y a bλλ-=≠，则表示共渐进线的双曲线系．三、精典例析 （一）活用定义例1：椭圆13610022=+y x 上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离．解析：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ， 根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：810=e ； 再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 ． 例2：方程2x y =++表示什么曲线？解析：设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为2， 故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的椭圆．例3：定点()()22110A F ，，，是2218x y C m +=：的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点． （1）求2PA PF +的范围； （2）求23PA PF +的最小值．解析：∵()210F ，是2218x y C m +=：的焦点，∴22198x y C +=：．（1）211266PA PF PA a PF PA PF ⎡+=+-=+-∈-⎣．（2）237PA PF PA PD AH +=+≥=．引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于双曲线、抛物线． 例4：求过定点()12M ，，以y 轴为准线、离心率为12e =的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．解析：设()()00P x y F x y ，，，，则：0y y =，001322x x x x x -=⇒=()2213112224x y ⎛⎫=⇔-+-= ⎪⎝⎭， 故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是()22311224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．（二）焦半径公式例5：椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点()3P y ，到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．解析：由椭圆的焦半径公式，得：3 6.5153 3.52a e a e a e +=⎧⇒==⎨-=⎩，，解得： 22257524c b a c ==-=，． 故所求椭圆方程为：22412575x y +=． 例6：已知Ｐ为椭圆221259x y +=上的点，且Ｐ与12F F 、的连线互相垂直，求Ｐ． 解析：由题意，得：+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ，∴Ｐ的坐标为9999()())4444⎫--⎪⎪⎝⎭，，，，． 例7：椭圆22143x y +=上能否找到一点M ，使得M 到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？解析：椭圆22143x y +=的左准线是4l x =-：，若存在，设()00M x y ，，则：()()()2000044a ex a ex x x +-=+⇒=-或0125x =-， ∵02x ≤，故不存在符合条件的点．例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．解析：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则：11222222OO PF PF a PF a ==-=-，∴两圆半径之差等于圆心距．故以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．（三）焦点三角形曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．例9：证明：椭圆的焦点三角形中，2cos2tan 2cos 2S b e αβγαβ∆+==-；． 解析：在12F F P ∆中，()()222212121212122cos 21cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF γγ=+-=+-+，∴21221cos b PF PF γ=+，∴22121sin sin tan 21cos 2S PF PF b b γγγγ∆===+； 在12F F P ∆中，12211212sin sin sin sin sin sin F F PF PF F F PF PF γαβγαβ+==⇒=+， ∴()cossin sin 2sin sin sin sin cos 2c e a αβαβγαβαβαβ++====-++． 例10：已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，Ｐ为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点Ｐ在第三象限，且1223PF F π∠=，求12tan F PF ∠． Ｆ１Ｆ２αβγP解析：（1）∵12F F 是1PF 和2PF 的等差中项． ∴121224PF PF F F +==， ∴42=a ，∴b =13422=+yx ． （２）设12F PF θ∠=，则213PF F πθ∠=-，∵)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F ，∴)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F ．∴25sin cos )sin θθθ=⇒=+∴sin 1cos 5θθ=+，故232tan =θ，1225tan tan 3125F PF θ∠===-． （四）对称问题例11：在直线40l x y +-=：任取一点，过Ｍ且以2211612x y +=的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆．解析：法1：待求椭圆的2c =，其焦点()()122020F F -，、，在直线40l x y +-=：的同侧，2F 关于直线40l x y +-=：的对称点为()242F ，1212122a MF MF F M MF F F ''=+=+≥，∴Ｍ为直线12320F F x y '-+=：与40l x y +-=：的 焦点时，所作椭圆的长轴长最短；320534022x y M x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩，，此时，12F F '= 故待求椭圆为：221106x y +=． 法2：设待求椭圆为：22221x y a b+=，则40l x y +-=：与椭圆相切于Ｍ点时，椭圆的长轴长最短，()()22222222224081601x y a b x a x b a x y ab +-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∵40l x y +-=：与椭圆相切， ∴22016a b ∆=⇒+=，又∵224a b -=，∴22106a b ==，，故待求椭圆为：221106x y +=，此时，52x =，即5322M ⎛⎫⎪⎝⎭，． 例12：已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称，求ｍ的取值范围．解析：法1：∵点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称， ∴14PQ k =-，设14PQ l y x b =-+：，则： 22221413816480143y x b x bx b x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 21304b ∆>⇒<，21212816481313b b x x x x -+==，， ∴12122242241313x x b by y b b ++=-+=-+=； ∵PQ 的中点4121313b b M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线4l y x m =+：上， ∴12213413134b b m b m ⎛⎫=⋅-+⇒=- ⎪⎝⎭；∴21313441313m m ⎛⎫⎛⎫-<⇔∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故ｍ的取值范围是1313⎛-⎝⎭，． 法2：设()()1122P x y Q x y ，、，，PQ 的中点()M x y ，，则：2211222212121212143313134344422x y x y y y x x y x x x y y x x x y y y⎧+=⎪⎪-⎪+=⇒=-⇔-=-⇒=⎨-⎪+=⎪⎪+=⎩， ∴PQ 的中点()M x y ，在3y x =上，则：()334y xM m m y x m=⎧⇒--⎨=+⎩，， ∵PQ 的中点()3M m m --，在椭圆22143x y +=内， ∴()()22314313m m m --+<⇒<．故ｍ的取值范围是⎛ ⎝⎭．（五）范围（最值）问题例13：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴的正半轴交于Ａ，Ｏ是原点，若椭圆上存在一点Ｍ，使0MA OM ⋅=，求椭圆离心率的取值范围．解析：()0A a ，，设()cos sin 02M a b πϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，， ∵0MA OM ⋅=， ∴1cos sin cos sin -=⋅-ϕϕϕϕa b a a b ，∴222cos (1cos )cos 1110sin 1cos 1cos 2b a ϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫===-∈ ⎪++⎝⎭，．故12e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 例14：已知Ｂ是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的上顶点，Ｐ是椭圆上的动点，求BP 的最大值．解析：设()()cos sin 02P a b θθθπ≤≤，，则：()()()2222222222422222222cos sin 1sin sin 2sin sin 2sin sin BP a b b a b b b b a c b b a c c c θθθθθθθθ=+-=-+-+⎛⎫=--++=-++ ⎪⎝⎭ （1）若2201b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c =；（2）若2210b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．综上，若22012b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c=；若22102b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．（六）直线与椭圆相交问题例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点()()00F c c >，的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3）设()1AP AQ λλ=>，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=-．解析：（1）设椭圆的方程为(22221x y a a b+=>，则：222222()a c a c a c c c ⎧-=⎪⇒==⎨=-⎪⎩， 故椭圆的方程为22162x y +=，离心率e =．（2）解：(30)A ，，设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，1122()()P x y Q x y ，，，，则：222222(3)(31)182760162y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴212(23)0k k ∆=->⇒<< 又 2212122218276.3131k k x x x x k k -+==++，，∵1122(3)(3)y k x y k x =-=-，，∴2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，∴22121212[3()9]051x x k x x x x k k ⎛+-++=⇒=⇒= ⎝⎭． 故直线PQ的方程为30x --=或30x +-=． （3）证明：1122(3,),(3,).AP x y AQ x y =-=-由已知得方程组()12122211222223(3)5111262162x x y yx y x x y λλλλλ-=-⎧⎪=⎪-⎪⇒=>⎨+=⎪⎪+=⎪⎩， ∵11(20)()F M x y -，，，， ∴()11211211(2)(3)1()()22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=-，，，，， 2221(2)()2FQ x y y λλ-=-=，，， ∴FM FQ λ=-．例16：椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x轴上，离心率e =()10C -，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足()2CA BC λλ=≥．（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率()0k k ≠表示三角形OAB ∆的面积； （2）若λ为常数，当三角形OAB ∆的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．解析：设椭圆方程为：()012222>>=+b a by a x ，∵32==a ce ，222c b a +=，∴223b a =， 故椭圆方程为：22233b y x =+．（1）直线)1(+=x k y l ：交椭圆于()()1122A x y B x y ，，，，则：()222222221(31)633033y k x k x k x k b x y b⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴2220(31)0k b b ∆>⇒-+>，且2122631k x x k +=-+；① 221223331k b x x k -=+；②∵BC CA λ=，∴ 121122121(1)(1)(1)x x x y x y y y λλλ+=-+⎧+=---⇒⎨=-⎩，，；③∴121121212221++=+=-=∆x k y y y S OABλλ， 由①③知：)13)(1(2122+-=+k x λ，∴)0(13112≠+⋅-+=∆k k k S OAB λλ． （2））（23211113111≥⋅-+≤+⋅-+=∆λλλλλkk S OAB ， 当且仅当kk 13=时，即33±=k 时，S 取得最大值．当33±=k 时，代入①②中，得：222)1(13-+=λλb ， 故所求为()2222132(1)x y k λλ++=≥-．（七）定点（值）问题例17：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，且满足0OA OB ⋅=（Ｏ为坐标原点）．证明：满足上述条件的椭圆过定点22⎛ ⎝⎭，．解析：设椭圆的方程为：()()()2211222210x y a b A x y B x y a b+=>>，，，，，则：()()()22222222221021010x y a b x a x a b x y a b a b+-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=>>⎪⎩， ∴2201a b ∆>⇒+>，且()2221212222212a b a x x x x a b a b-+==++，，∵0OA OB ⋅=，∴()()121212120110x x y y x x x x +=⇔+--=，∴2222222221a b a b a b ⎝⎭⎝⎭+=⇔+=．故椭圆过定点⎝⎭．（八）综合应用例18：过椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的中心的弦ＡＢ与x 轴所夹的锐角为α，将坐标平面沿x轴折成直二面角，求ＡＢ连线与x 轴成角．解析：作BC Ox 交椭圆于Ｃ，则BC 关于y 轴对称，AC 关于x 轴对称；翻折后，2ADC π∠=，据三垂线定理，知：BC AC ⊥，则ＡＢ连线与x 轴成角就等于ABC ∠；∵2cos BC OA α=，sin AC OA α=，∴tan tan 2AC ABC BCα∠==， 故ＡＢ连线与x 轴成角为arctan tan 2α⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 四、课后反思．。
2018版高中数学一轮全程复习(课件)第八章 解析几何 8.9.3
——[悟·技法]—— 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点， 再证明该定点与变量无关．
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
——[通·一类]—— 3．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：y＝x42与
直线 l：y＝kx＋a(a＞0)交于 M，N 两点． (1)当 k＝0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在PM＝∠OPN，所以点 P(0，－a)符合题意．
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第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十四 分。
＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十四分。
由①，得 3＋4k2－m2＞0， 当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)， 与已知矛盾． 当 m2＝－27k时，l 的方程为 y＝kx－27，直线过定点27，0 ∴直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
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(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线 MH 的方程为 y－t＝2ptx，即 x＝2pt(y－t)． 代入 y2＝2px 得 y2－4ty＋4t2＝0，解得 y1＝y2＝2t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有共 他公共点．
从而|AN|＝|2－xN|＝2＋y0x－0 1. 所以|AN|·|BM|＝2＋y0x－0 1·1＋x02－y02 ＝x20＋4yx200＋y04－x0xy00－－24yx00＋－28y0＋4 ＝4xx00yy00－－4x0x－0－28y0y＋0＋28 ＝4. 当 x0＝0 时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2， 所以|AN|·|BM|＝4. 综上，|AN|·|BM|为定值．
【学海导航】高考数学第一轮总复习-8
过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2， 且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示， 求线段MN的中点P的轨迹方程．
解：(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜率为 k1， 则 k1≠0，因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－k11， l1 的方程为 y－b＝k1(x－a)，① l2 的方程为 y－b＝－k11(x－a)．②
点评：在一些很难找到形成曲线的动点 P(x， y)的坐标 x，y 所满足的关系式的情况下，往往借 助第三个变量 t，建立 t 和 x，t 和 y 的关系式 x＝φ(t)， y＝φ(t)，再通过一些条件消掉 t 就间接找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x，y)所形成的 曲线的普通方程．
以下同解法1.
1. 求轨迹方程是解析几何的基本内容，必 须理解各种方法在什么情况下使用.常用方法： 定义法、直接法、代入法、参数法.在解题时考 虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序.
2. 求轨迹方程与求轨迹是有不同要求的， 若是求轨迹则一般先求出方程，然后说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、 位置、大小都需说明、讨论清楚.
7 12
21 ; 6
解法2：设点P的坐标为(x，y).
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以
x12
y12 4
1④,
x22
y22 4
1⑤.
由④-⑤得
x12
-
x22
1 4
( y12
-
y22 )
0,
所以
(
x1
-
x2
)(
x1
x2
)
1 4
(
y1
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高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第二课时)大纲人教版必修
椭圆及其标准方程〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.求椭圆的标准方程.2.求符合某种条件的点的轨迹方程.〔二〕能力训练要求1.使学生掌握确定椭圆标准方程中的参数a 、b 的方法.2.使学生在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程.〔三〕德育渗透目标使学生通过求曲线的方程，学会分析问题，从具体问题中寻求关系建立数学模型，为解决问题的能力提高奠定基础.●教学重点求椭圆的方程.●教学难点待定系数法的应用.●教学方法指导学生自学法这部分内容，在学生准确掌握了定义，标准方程，思考过上节课后预习提纲中的问题的基础上，教师再帮助学生排除障碍后学生完全可以自学掌握，通过这种自学过程，逐步提高学生的自学能力.●教具准备投影片三X第一X ：P 93例1〔记作§8.1.2 A 〕第二X ：P 94例2〔记作§8.1.2 B 〕第三X ：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.〔记作§8.1.2 C 〕●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的? ［生］平面内与两个定点 F 1、F 2的距离和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点的轨迹叫做椭圆. ［师］这两个定点叫做椭圆的〔教师拉长语气，等待学生作答〕［生］焦点［师］两个焦点的距离叫做椭圆的——［生］焦距［师］椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？ ［生］)0(1),0(122222222>>=+>>=+b a bx a y b a b y a x 〔教师板书，学生作答〕［生］方程所表示的椭圆，其对称轴合于坐标轴.［师］参数a 、b 、c 的关系是怎样的？［生］c 2=a 2-b 2［师］关系式中的三个数都是正数，知道两个可求出第三个，要注意关系式的活用.［师］现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？［生］不需要.［师］那怎样求呢？［生］设标准方程，确定a、b的值.［师］怎样确定呢？［生］根据题设条件及c2=a2-b2确定［师］好，下面我们来看几个例子.Ⅱ.讲授新课［师］〔打出投影片8.1.2 A，读题〕分析指导：请看题中给了我们什么信息？这些信息有什么作用？又怎样应用这些信息呢？一般地，数学题中不会有干扰信息〔或无用信息〕如果题目做完了，还有余下的信息〔或条件〕没有被用，那么，这题做得一般是错误的.对于①小题，实质上是给了我们焦距及动点到两个定点的距离和.对于②小题，为了解决问题，同样我们需要知道a、b、c中三者中的两个，题中告诉了我们2c〔焦距〕，未明确告给我们2a,但告诉我们椭圆上一个点的坐标，因为椭圆是动点与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，就是说椭圆上任意一个点与给定的两个点的距离和是定值，因为这个点既然在椭圆上，那么它与两个定点的距离和就是2a，这样问题得以解决.［师］下面请同学们看课本，进一步熟悉此题的求解过程，并思考求椭圆的标准方程的关键是什么？怎样表述？〔给学生留出一些时间看书并讨论这两个问题〕［师］好，同学们看了解题过程并进行了讨论，那么谁来谈一下，求椭圆标准方程的方法和步骤.［生］首先，根据题意设出标准方程，其次根据条件确定a、b的值，第三写出椭圆的标准方程.［师］既然是求标准方程，那么设出标准方程不就行了吗？为什么还要根据题意设出标准方程呢？［生］椭圆的标准方程有两种形式，焦点位置不同，其标准方程形式也不一样，根据题意设出标准方程，其实质就是根据焦点的位置，设出标准方程.［师］如果题中未告诉焦点的位置，应该如何去设标准方程呢？［生］如果题中未告诉焦点的位置，那么要根据题意判断能否确定椭圆的焦点位置，假设能，那么设出相应的标准方程即可，假设不能，那么椭圆的焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，这种情况下，椭圆的标准方程就有两种形式，哪一种也不能丢.［师］很好，下面我们再来看一个例子.〔打出投影片8.1.2 B，请一名同学读题〕分析指导：这是一道求动点的轨迹方程的题目，一般地，要用坐标法“三步曲〞：建系、设点；写出代数关系式；化简，但据题意给出的信息，由于△ABC的周长等于16，|BC|=6，可知点A到B、C两点的距离和是常数10，即|AB+BC|=16-6=10，因此点A的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，据此可建立适当的坐标系，求出椭圆的标准方程，所谓“适当〞是指：求出的方程形式结构简单明了，既然我们清楚了轨迹类型，建系之后，就没有必要再用坐标法求动点轨迹方程了，尽可设出方程再依据题设条件确定方程中待定的系数a、b就行了，下面请同学们自己看课本.(给学生几分钟时间，让他们看课本)［师］题解过程中，BC、AB、AC的长度都加了绝对值号，这是不是必要的，为什么？［生］完全有必要，因为解析几何中的线段都是有向线段，表示其长度必须加绝对值号.注意①：解析几何中表示线段长度或两点间距离时，必须在字母的两边加绝对值号. 〔教师板书：注意①〕［师］在求出的方程后面附加了一个条件y ≠0，不附加此条件不行吗？［生］不行，没有此条件，点A 的纵坐标就可以是0，点A 的纵坐标为0时，A 、B 、C 三点就在一条直线上了，不能构成三角形.因此，求出方程之后，要注意须附加y ≠0这个条件.［师］很好，请同学们注意求出曲线的方程之后，要检查一下方程曲线上的点是否都符合题意，如果有不合题意的点，就在所得方程后注明限制条件.〔教师板书，注意②〕［师］再一点，由此题可以看出求满足条件的点的轨迹方程时，假设清楚轨迹类型时可设出其方程，确定方程中参数即可；假设不清楚轨迹类型，再用坐标法.〔教师板书：注意③〕［师］下面，我们来做几个练习题.Ⅲ.课堂练习P 96练习2，32.如果椭圆上13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是.答案：143.写出适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)a =4,b =1，焦点在x 轴上.(2)a =4,c =5，焦点在y 轴上.(3)a +b =10,c =25答案：〔1〕11622=+y x (2)11622=+x y (3)11636116362222=+=+x y y x 或 Ⅳ.课时小结本节课我们讨论学习了求椭圆标准方程的方法，应该注意，求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.另外，求满足条件的点的轨迹方程时，假设不清楚轨迹类型用坐标法，假设清楚轨迹类型那么建立适当的坐标系设出其方程再确定方程中的参数即可.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 96习题8 1、2、3、4、5〔二〕1.预习内容：课本P 95例32.预习提纲：〔1〕点的轨迹方程与点的轨迹有什么不同？〔2〕求满足条件的点的轨迹时需要先干什么？〔3〕点M的轨迹类型清楚吗？此题是如何求点M的轨迹方程的？。
高三数学一轮复习第1讲椭圆教案
第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
2018卓越学案高考理科数学新课标一轮复习课件：第8章 立体几何 第1讲 精品
二、填空题 4．(必修 2 P19 练习 T3 改编)利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形；②圆的直观图是圆；③平行四边形 的直观图是平行四边形；④矩形的直观图可能是正方形；⑤菱形 的直观图是菱形． 则正确结论的序号为__① ___③___． 解析：①三角形的直观图一定是三角形，正确；②圆的直观图是 椭圆，错误；③平行四边形的直观图一定是平行四边形，正确； ④矩形的直观图不可能是正方形，错误；⑤菱形的直观图其边长 不相等，错误，故正确的有①③.
由斜二测画法知
S
＝ 直观
2 4S
＝ 原图
2 4 ×8
3＝2
6，故选 B.
3．(必修 2 P21A 组 T2(4)改编)如图是某几何体的三视图，则其几何
体是由下列哪两种几何体组合而成( C )
A．两个长方体
B．两个圆柱
C．一个长方体和一个圆柱 D．一个球和一个长方形
解析：由三视图可知，该几何体是由上部分为一圆柱，下部分为 一长方体组合而成，故选 C.
5．(必修
2
P21A
组
T5
改编)一个几何体的三视图如图所示(单位： 20π
4．三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的
正前方、正左方、 正上方 观察几何体画出的轮廓线．
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐， 宽相等 ．
②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画 虚线．
1．由三视图还原几何体的方法
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
解析：该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是 一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最 上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选 B.
2018高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第五节 椭圆教案 文
考点二 椭圆的定义及其应用
[典例引领]
1．设 P 是椭圆2x52＋y92＝1 上一点，M，N 分别是两圆：(x＋
4)2＋y2＝1 和(x－4)2＋y2＝1 上的点，则|PM|＋|PN|的最
小值、最大值分别为
()
A．9,12
B．8,11 C．8,12
D．10,12
解析： 如图所示，因为两个圆心恰好是椭
3．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为12，
则椭圆的标准方程为________．
解析：设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． 因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e＝12，
c＝1， 所以ac＝12，
a2＝b2＋c2，
解得ab＝2＝23c，＝2，
[题点全练] 角度一：求离心率的值或范围 1．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系
xOy 中，F 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右 焦点，直线 y＝b2与椭圆交于 B，C 两点，且∠BFC＝90°， 则该椭圆的离心率是________．
b2 解析：将 y＝b2代入椭圆的标准方程，得xa22＋b42＝1，
故―F1→P ·―F2→A 的最大值为323．
答案：B
2．若方程5－x2k＋k－y2 3＝1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 ________．
5－k>0， 解析：由已知得k－3>0，
5－k≠k－3.
解得 3<k<5 且 k≠4． 答案：(3,4)∪(4,5)
考点一 椭圆的标准方程 [题组练透]
圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|
＝ 10，易知 |PM|＋ |PN|＝ (|PM|＋ |MF1|)＋
人教A版高中数学高三一轮第八章平面解析几何85椭圆【教案】
高三一轮第八章平面解析几何8.5 椭圆【教学目标】1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2.了解椭圆的简单应用．3.理解数形结合思想.【重点难点】1.教学重点：掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】b 2＝9.∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D.答案 D知识梳理：知识点1 椭圆的定义1．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则M 点的轨迹为椭圆； (2)若a ＝c ，则M 点的轨迹为线段F 1F 2； (3)若a <c ，则M 点不存在．知识点2 椭圆的标准方程和几何性质程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，B 1(－b,0)，心率 e ＝ca，且e ∈(0,1) 轴 长轴A 1A 2的长为2a短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c关系 a 2＝b 2＋c 21．必会结论;(1)点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的关系【解析】 由题意，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a .由于AB ∥y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝⎛⎭⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎫2c ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b42a2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)，又e ＝ca ，且e ∈(0,1)，∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．【答案】33跟踪训练：1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.33 B.36 C.13D.16【解析】 如图，设PF 1的中点为M ，连接PF 2. 因为O 为F 1F 2的中点，所以OM 为△PF 1F 2的中位线． 所以OM ∥PF 2，所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|.由勾股定理得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|，由椭圆定义得2a ＝|PF 1|及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。
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第八章圆锥曲线的方程
网络体系总览
考点目标定位
1.椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程.
2.双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质.
3.抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质.
复习方略指南
本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程,简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：
1.注重双基保持稳定
圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.
2.全面考查重点突出
试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.
3.考查能力探究创新
试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.
在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.
学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题.为此建议在学习中做到：
1.搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；
2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；
3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识；
4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思
想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法）.
8.1 椭圆
巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.椭圆的两种定义 (1)符号语言
(2)文字语言形式 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=
a
c
(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.
3.椭圆的参数方程
椭圆22a x +22
b y =1(a>b>0)的参数方程是⎩⎨⎧==θ
θsin ,cos b y a x (θ为参数).
4.焦半径公式
设P(x 0,y 0)为椭圆上的一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF 1|=a+ex 0,|PF 2|=a-ex 0. 二、点击双基
1.(2005广东高考)若焦点在x 轴上的椭圆22x +m
y 2=1的离心率是21
，则m 等于( )
A.3
B.
23 C.38 D.3
2
解析：∵焦点在x 轴上，∴a=2,b=m . ∴c=22b a -=m -2. 由e=a c =2
2m -=21
,得m=23. 答案：B
2.(经典回放)已知F 1、F 2是椭圆162x +9
2
y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两
点，则△MNF 2的周长为( )
A.8
B.16
C.25
D.32 解析：利用椭圆的定义易知B 正确. 答案：B
3.(2004湖北高考)已知椭圆162x +9
2
y =1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,若P 、F 1、
F 2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到x 轴的距离为（ ） A.
59 B.3 C.7
7
9 D.49
解析：由条件知a=4,b=3,得c=7.
又因b=3>7，所以易判断∠F 1PF 2不可能为90°.只能是∠PF 1F 2或∠PF 2F 1为直角. 将x P =7代入方程，则|y P |=
4
9
. 答案：D
4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是_________________.
解析：椭圆方程化为22x +k
y 22=1.
焦点在y 轴上,则k
2
>2,即k<1. 又k>0,∴0<k<1. 答案：0＜k ＜1
5.点P 在椭圆252x +9
2
y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐
标是__________________________. 解析：利用第二定义.
答案：
12
25 诱思·实例点拨
【例1】 已知Ｆ1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥Ｆ1A ，ＰO ∥AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率. 剖析：求椭圆的离心率，即求
a
c
,只需求a 、c 的值或a 、c 用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a 、c 用同一量表示，由PF 1⊥F 1A,PO ∥AB 易得b=c,a=2b.
解：设椭圆方程为22a x +22
b
y =1(a ＞b ＞0),F 1(-c,0),c 2=a 2-b 2,
则P(-c,b 22
1a
c -),即P(-c,a b 2).
∵AB ∥PO,∴k AB =k OP ,
即-a b =ac
b 2
-∴b=c.
又∵a=22c b +=2b, ∴e=
a c =
b b 2=2
2. 讲评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.
【例2】 如图，设E:22a x +22
b
y =1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1与F 2，且P ∈E,∠F 1PF 2=2θ.
求证：△PF 1F 2的面积S=b 2tan θ.
剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则S=2
1
r 1r 2sin2θ.若能消去r 1r 2,问题即获解决.
证明：设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2, 则S=
2
1
r 1r 2sin2θ,又|F 1F 2|=2c, 由余弦定理有
(2c)2=r 12+r 22-2r 1r 2cos2θ=(r 1+r 2)2-2r 1r 2-2r 1r 2cos2θ=(2a)2-2r 1r 2(1+cos2θ), 于是2r 1r 2(1+cos2θ)=4a 2-4c 2=4b 2.
所以r 1r 2=θ
2cos 122
+b .
这样即有S=21·θ
2cos 122+b sin2θ=b 2
θθθ2cos 2cos sin 2=b 2tan θ.
讲评：涉及椭圆中焦半径或过焦点弦问题，要综合椭圆两个定义，合理代换解题，此类问题较为常见.
【例3】 已知椭圆22a x +22
b
y =1(a>b>0且b ∈Z)的焦点为F(5,0),右准线为l ，A 为椭圆的上
顶点，且短轴长与点A 到直线l 的距离之比为9
5
4. (1)求椭圆的方程；
(2)设P(0,3)，若点M 、N 在椭圆上，且PM =λPN ，求实数λ的取值范围.
解：(1)因为椭圆22a x +22
b
y =1(a>b>0)的焦点为F(5,0)，所以a 2=b 2+5.
又
c
a b 22=9
54，即2a b =92.
又b ∈Z ，所以b=2,a=3.所以椭圆的方程为92x +4
2
y =1.
(2)设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)，由=λ，得x 1=λx 2,y 1-3=λ(y 2-3). 因为点M 、N 都在椭圆上，所以
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-+,149
,14
)33(9)(2
2222
222y x y x λλλ
消去x 2,得y 2=
λ
λ65
13-. 因为-2≤y 2≤2,所以-2≤λ
λ65
13-≤2. 解得λ∈［
5
1
,5］. 讲评：求椭圆常有两种方法，一是第一定义法；二是第二定义法.椭圆问题和向量的知识交汇是近年新方向，因向量和坐标密切相关，二者综合，应注重数形结合分析.。