高考数学深度总结：确定圆锥曲线离心率取值范围的九种策略
2017年高考选择压轴—圆锥曲线离心率范围的常见解题策略
2017年高考选择压轴—圆锥曲线离心率范围的常见解题策
略
求圆锥曲线离心率的取值范围，是解析几何中的一类典型问题。
这类问题涉及多个知识点，综合性强，方法也是多种多样，主要涉及到函数与方程的思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将他转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值思想来解决。
解这类题的关键是如何构造出不等式，今天小编给出了一些破解圆锥曲线离心率的取值范围问题的常见策略。
破解策略一、直接利用条件寻找的关系求解破解策略二、利用圆锥曲线的第一或第二定义求解破解策略三、利用圆锥取向范围（有界性）求解破解策略四、利用数形结合求解从上面叙述的几种求离心率取值范围的策略来看，我们明确要求离心率的范围关键是建立一个a、b、c的不等关系，利用椭圆与双曲线中的关系，及本身离心率的限制范围，最终求出离心率的范围。
高中数学常见题型解法归纳-离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳-离心率取值范围的常见求法
高中数学常见题型解法归纳 - 离心率取值范围的常见求法
【知识要点】
1、求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点.
2、椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率,对于这三种圆锥曲线的离心率的范围要清楚，自己求出的离心率的范围必须和这个范围求交集.
3、求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：（1）利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；（2）直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；（3）利用函数的思想分析解答.
【方法讲评】
先求出曲线的变量或
如果椭圆上存在点，使【例1】设椭圆的左右焦点分别为，
,
，求离心率的取值范围.
从而，且
所以
【点评】（1）本题主要椭圆中的满足建立了关于离心率的不等式.(2)求离心率的取值范围，注意圆锥曲线离心率法范围，椭圆的离心率，双曲线的离心率，求出离心率的取值范围后，必须和它本身的范围求交集，以免扩大范围，出现错解.
【反馈检测1】双曲线在右支上存在与右焦点、左准线长等距离的点，求离心率的取值范围.
的不等关系，再转化为离心率的不等式，解不等式
【例2】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是．
【点评】本题就是直接根据“直线与双曲线的右支有且只有一个交点”得到关于的不等式，再转化成关于的二次不等式，解二次不等式即得离心率的取值范围.
【反馈检测2】过双曲线的右焦点作实轴所在直线的垂线，交双曲线于，两点，设双曲线的左顶点为，若点在以为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率的取值范围为( ) A． B． C． D．。
高三数学备考冲刺140分问题求圆锥曲线离心率或离心率范围含解析
问题33求圆锥曲线离心率或离心率范围一、考情分析离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳. 二、经验分享离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c的运用 三、知识拓展1.在求椭圆()222210x y a b a b+=>>离心率范围时常用的不等关系：,x a y b ≤≤，a c FP a c -≤≤+，b OP a ≤≤（P 为椭圆上一点）2.在双曲线()222210,0x y a b a b +=>>中，c e a == 四、题型分析(一) 借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值 等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用,,a b c 进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率 的范围.【例1】已知两定点()1,0A -和()1,0B ,动点(),P x y 在直线:3l y x =+上移动,椭圆C 以,A B 为焦点且经过点P ,则椭圆C 的离心率的最大值为（ ）A D【答案】A【解析】()1,0A -关于直线:3l y x =+的对称点为()3,2A '-,连接A B '交直线l 于点P ,则椭圆C 的长轴长的最小值为25A B '=,所以椭圆C 的离心率的最大值为1555c a ==,故选A. 【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值【小试牛刀】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=,若在椭圆1C 上存在点P,使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直,则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1[,1)2B ．23[,]C ．2[,1)D ．3[,1) 【答案】C【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角APB ∠最小,若椭圆1C 上存在点P 令切线互相垂直,则只需090APB ∠≤,即045APO α=∠≤, ∴02sin sin 452b a α=≤=解得222a c ≤,∴212e ≥,即22e ≥,而01e <<, ∴212e ≤<,即2,1)2e ∈. (二) 借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,∆的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.【例2】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点,若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】26[【解析】左焦点为1F .连结11,AF BF 可得四边形1AF BF 是矩形,所以AO OF OB c ===.所以2AB c =又,AF BF ⊥所以. 2sin ,2cos AF c BF c αα==.又因为1AF BF =,12AF AF a +=.所以2sin 2cos 2c c a αα+=.即11sin cos 2)4c a πααα==++.因为,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以62)224πα≤+≤所以262326c a =≤≤=.故填26[23.【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=,然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ） A. 132⎛⎝⎭ B. 322⎝⎭ C. 134⎛ ⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】由题意， ,D B 关于原点对称，设()()()0000,,,,,D x y B x y A x y --， AD AB k k ∴⋅=22220222220002222000011x x b b a a y y y y y y b x x x x x x x x a⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⨯===--+--， 2222321,,43b c a a ⎛⎫∴-=-∈-- ⎪⎝⎭ 221113,,432c e a ⎛⎛⎫∴∈∴∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故选A.(三) 借助函数的值域求解范围根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.【例3】已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点,则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（ ） A ．2(,1)2 B ．2(0,)2C ．(0,1)D ．1(0,)2【答案】A【解析】∵椭圆221:12x y C m n-=+,∴212a m =+,21b n =-,212c m n =++,212122m n n e m m ++==+++,∵双曲线222:1x y C m n+=,22a m =,22b n =-,22c m n =-,∴由条件有2m n m n ++=-,则1n =-,∴21112e m =-+,由0m >,有22m +>,1122m <+,1122m ->-+,∴11122m ->+,即2112e >,而101e <<,∴1212e <<. 【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式21112e m =-+,进而根据m 的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.【小试牛刀】已知二次曲线2214x y m+=,则当[]2,1m ∈--时,该曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．2322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．26,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．56,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．36,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由当[]2,1m ∈--时,二次曲线为双曲线,双曲线2214x y m +=即为2214x y m-=-,且224,a b m ==-,则24c m =-,即有456,222c m e a ⎡⎤-==∈⎢⎥⎣⎦,故选C.(四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆()2222100x y a b a b+=>>，中,a x a -≤≤,P 是椭圆上任意一点,则1a c PF a c -≤≤+等.【例4】设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为（ ）A ．12 B ．13 C ．22 D ．33【答案】D【解析】设),(00y x P ,由圆锥曲线的共同特征可得()2202200212)(c x e a ex a ex a PF PF =-=-+=,所以222222a e c a x ≤-=,即22222212e e a c a ≤-=-,所以312≥e ,又01e <<,解得133<≤e ,所以离心率的最小值为33,故选D ． 【点评】P 为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把212||||2PF PF c ⋅=转化成基本量a ,c ,e 与0x 的关系式,结合椭圆的范围,即可得到e 的不等式,从而求出其最小值． 【小试牛刀】【天津市南开区2019届高三上数学期末】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M 在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为A ．B ．C ．2D ．【答案】A【分析】先由双曲线的定义得到，再由点M 在双曲线左支上，即可得出结果. 【解析】由双曲线的定义可得，根据点M 在双曲线的左支上，可得，，双曲线离心率的最大值为，故选A ． 四、迁移运用1．【湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟】两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D2．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即，所以，所以，故选A3．【江西省高安中学2019届高三上学期期中】如图，点在以为焦点的双曲线上，过作轴的垂线，垂足为，若四边形为菱形，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】解：由题意得：四边形的边长为2c, 连接,由对称性可知, ||=||=2c,则三角形为等边三角形.过点P作PH⊥x轴于点H, 则∠=60，||=2c,在直角三角形中, ||=, ||=,则P(2c,), 连接, 则||=.由双曲线的定义知,2a=||-||=-2c=,所以双曲线的离心率为e===，故选C.4．【宁夏银川一中2019届高三第一次模拟】双曲线和直线，若过的左焦点和点的直线与平行，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】过的左焦点和点的直线可写为：，即与平行又本题正确选项：5．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，则，，根据双曲线的定义，得，即，解之得：；因为，所以三角形是以为直角的直角三角形，所以，因此；在三角形中，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选A6．【广东省韶关市2019届高三1月调研】设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】圆是以原点为圆心，以为半径的圆，则，从而有，∴|M|＝c，c，，由双曲线的定义得，得离心率为，故选：B.7．【广东省华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考】设，分别是椭圆的左、右焦点，若在直线其中上存在点P，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆离心率的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，，设点，则由中点公式可得线段的中点，线段的斜率与的斜率之积等于，即，，，，，或舍去，．又椭圆的离心率，故，故选：C．8．【陕西省西安市西北工业大学附属中学2019届第一次适应性训练】设，是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角为，则C的离心率为A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足，不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知所以，，，,,为△最小边,△的最小内角，根据余弦定理，，即，，所以．故选：C．9．【北京市丰台区2019届高三上学期期末】已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为A．2 B． C． D．【答案】D【解析】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，即椭圆的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；即通径为，又因为c=2解得a=4所以离心率故选D.10．【四川省绵阳市2019上学期期末】若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得的渐近线方程为，由得的渐近线方程为，因为双曲线与双曲线有公共点，所以只需，即，即，即，解得.故选C11．【河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检】已知直线与双曲线的斜率为正的渐近线交于点，曲线的左、右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（）A．4或B．C．D．【答案】D【解析】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则由已知可得当时，则故舍去，综上故选D12．【贵州省贵阳市普通中学2019届高三年级第一学期期末】已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，，是钝角三角形，是钝角，即有，为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，，，即，由，可得，解得或，舍去，则双曲线的离心率的范围是．故选：D．13．【山东省临沂市2019届高三2月教学质量检测】点A、B分别为椭圆的左、右顶点，F为右焦点，C为短轴上不同于原点O的一点，D为OC的中点，直线AD与BC交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意如图：MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MF OC，同理MF OD，∴①，，②①②得到：===,∴2（a﹣c）＝c+a，∴a＝3c，∴e．故选：B．14．【吉林省长春市2019届高三质量监测（二)】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和轴相交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】由题意，取双曲线的一条渐近线，即，则过右焦点与渐近线垂直的直线方程为，即，又由焦点到渐近线的距离为，又由，所以，即，又由原点到的距离为，在直角中，由射影定理得，即，又由，整理得，所以，故选B.15．【2019年四川省达州市一诊】已知椭圆的左右焦点分别为、，抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为A． B．或C． D．或【答案】D【解析】作抛物线的准线l，则直线l过点，过点P作PE垂直于直线l，垂足为点E，由抛物线的定义知，易知，轴，则，，设，则，由椭圆定义可知，，在中，由余弦定理可得，整理得，解得或．当时，；当时，离心率为．综上所述，椭圆C的离心率为或．故选：D．16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知椭圆：，过左焦点作斜率为1的直线与交于，两点，若线段的中垂线与轴交于（为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，则中点.直线的方程为，与椭圆联立得，所以.可得.所以，因为，即，所以，，故选B.17．【浙江省名校新高考研究联盟（Z20)2019届高三第一次联考】已知，是椭圆与的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足，，则该椭圆的离心率是A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得：，，可得，，，，，，,可得，可得．故选B．18．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟】已知椭圆的左右焦点分别为，为坐标原点，为椭圆上一点，且，直线交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】结合题意，可知，故，结合，可知故，设，所以，，所以，故选D。
高中数学圆锥曲线中离心率的14种求解方法
圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，其中离心率的求解是常考知识点之一。
本文将介绍圆锥曲线中离心率的14种求解方法，包括定义法、两点法、点差法、判别式法、参数方程法、切线法、弦长公式法、基本不等式法等。
每种方法都有其适用条件和优缺点，同学们可以根据具体情况选择合适的方法进行解题。
方法一：定义法定义法是通过利用圆锥曲线的定义来求解离心率的。
对于椭圆和双曲线，可以利用椭圆和双曲线的中心和对称性，以及长度的不减性来求解离心率的范围。
这种方法适用于简单的情况，但在复杂的情况下需要结合其他方法进行求解。
方法二：两点法两点法适用于求解椭圆的离心率。
当焦点在x 轴上时，设左、右两个顶点分别为A1、A2，焦距为F1、F2，通过求出丨FA1丨-丨FA2丨来求出离心率e 的范围。
当焦点在y 轴上时，同样利用左右顶点及中心来解题。
这种方法简单直观，但需要学生掌握椭圆的性质。
方法三：点差法点差法适用于求解圆锥曲线的离心率的范围。
通过将圆锥曲线上两个点的坐标进行差分，得到关于离心率的方程，从而求解离心率的值或范围。
这种方法需要学生具有一定的技巧和经验，但对于一些较为复杂的问题，能够得到事半功倍的效果。
方法四：判别式法对于双曲线和抛物线，判别式法是一种常用的求解离心率的简便方法。
通过将圆锥曲线的方程化简为二次方程或一元二次方程，利用判别式小于零得到离心率的范围。
这种方法简单易行，但需要学生具有一定的数学基础和解题技巧。
方法五：参数方程法对于一些较为复杂的圆锥曲线，可以使用参数方程来求解离心率的值或范围。
通过将圆锥曲线转化为参数方程的形式，利用参数的几何意义或结合不等式进行求解。
这种方法能够解决一些较为困难的问题，但需要学生掌握参数方程的相关知识和技巧。
方法六：利用切线法求椭圆离心率根据椭圆的性质，椭圆的左、右焦点到相应准线的距离称为离心率；若过椭圆上某点作坐标轴的垂线，与以该点为起点的直角三角形相似，则此直角三角形的另一顶点在焦点上，此定点即为椭圆的上下顶点；而椭圆上的点到左右顶点的距离之和为定值（2a）。
圆锥曲线中离心率取值范围的求解策略
I教学一得iJiaoXuel■YiDe参数的范围何题是数学中的一大类问题，是高考中的常见题型，圆锥曲 线中离心率取值范围问题更是高考中 解析几何试题的一个备受青睐的考点，其求解策略的关键是建立目标参数的不等式，而建立目标参数不等式的方法一般有：利用圆锥曲线定义、圆锥曲线 的几何性质、题设指定条件、函数的 有界性等。
下面,我就圆锥曲线中离心 率取值范围的求解策略作一些探讨和归纳策略一:利用圆锥曲线的定义例1:若双曲线a b〇)上横坐标为|的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离 心率的取值范围是（夂A.(1,2)B.(2，+ 〇〇)C.(1,5；)D.(5, + 〇〇!【解析】：•••e%〇-a=e X+ ^-o^3e3—5e—2 >0，.’■:e>2 或 e<务(會去)s/.eG(2，+〇〇 )，故选 B。
例 2:双曲线a b的心支L存-点，它到^焦点及左准 线的距离相等，则双曲线离心率的取值 雜围是（A.(1,V T)B.)c. (1,V^+1)D. [V T+\, +〇〇 )【解析】V e^f«=*.a+^=>(e-l—i-ac c=> —+a^(e^l)a,e-1 ^1+ — =1+ —c'c e1^0=> 1—S^%^r^I+ \>2 .而双曲线的离心率e>1，/.e e(1，#+1 )，故选c.【点评】:例1、例2均是利用定义及 焦半径公式列出方程。
例1根据题设到 右焦点的距离大于它到.左准线的距离建 立不等式;例2是根据&的范围将等式 转化为不等式，从而求解。
策略二:利用圆锥曲线的几何性质例己知巧、Fs是椭圆的两个焦点，满足M厂X=()的点财总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（)&刘梅A.(0,1)B.(0士C .(0, )D,【解析】：由题，M的轨迹为以焦距为直径的圆,由财总在椭圆内部，知：c<b=>.c%〈.b1=(^-e2=>e2<^，又_(0，1)，所以《£(0，^^)，故选（:.,【点评】:利用圆的几何性质判定点M轨迹为圆，再利用椭圆和圆的几何性质建立不等式~例知已知双曲线冬-‘=i(a>〇,a b/>>〇)的右焦点为心若过点^且倾斜角貴60°的直线与双丨丨丨丨线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（}。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
浅谈圆锥曲线离心率范围问题常见的几种求解策略
浅谈圆锥曲线离心率范围问题常见的几种求解策略求圆锥曲线中的离心率范围是同学们在圆锥曲线学习中经常遇到的一类问题。
面对此类问题，同学们往往束手无策，难以顺利解决。
下面结合几个实例谈谈这类问题的求解策略，以供参考。
一、建立函数关系式求解根据题设条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，然后利用求函数值域的方法求解离心率的范围。
例1 已知椭圆=1(a＞b＞0)上一点A 关于原点O 的对称点为B，F 为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则椭圆离心率的取值范围是____。
图1解：如图1，左焦点为F1，连接AF1、BF1，AF ⊥BF，可得四边形 AF1BF 是矩形，所以AO=OF=OB=c，AB=2c。
因此，AF=2csinα，BF=2ccosα。
又因为AF1=BF，AF1+AF=2a，所以2csinα+2ccosα=2a。
也即。
因故填。
点评：由已知条件建立关于a，c 的一个方程，用参数α表示离心率e，从而建立以α为变量的三角函数，然后求三角函数的值域，从而求出椭圆离心率的取值范围。
二、利用判别式求解根据题中条件隐含的一元二次方程的存在性，利用判别式建立不等式关系，来求离心率的取值范围。
例2 设双曲线C：-y2=1(a＞0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B，求双曲线C 的离心率e 的取值范围。
点评：将圆锥曲线方程和直线方程联立，消去一个变量后得到一个关于另一个变量的方程，由已知可得此方程有两个不相等的实数根，利用二次方程的判别式可得到参数的取值范围，再找出e 与这个参数之间的关系即可。
三、利用已知的不等关系求解根据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，利用已知的不等关系，将问题转化为求解不等式。
点评：解决本题的关键是如何建立k 与e之间的关系，然后再利用k 的取值范围来解e的取值范围，同时还要注意椭圆离心率e 小于1。
故所求离心率e的取值范围是。
四、利用圆锥曲线的取值范围建立不等关系求解例4 设椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，求离心率e 的取值范围。
圆锥曲线离心率取值范围的几种求解策略
ｃ．ｆｏ，孚］
。．巨＋ｏ］
分析由题意可知，垂足的轨迹是以焦距为直径
的圆，且此圆始终在椭圆的内部，则ｃ＜ｂ，
设么ｆＰＥ＝口（０＜口≤万），则在△尸ＥＥ中，由余
弦定理得
．・．ｃ２＜ｂ２＝口２～ｃ２≥２ｃ２＜口２≥Ｐ２＜去，又Ｐ∈（０，１），
ｃｏ。口：！！暨！！！丝！二１ ５型２ ２ Ｉ朋Ｈ矾Ｉ
．厉
（当点Ｐ为双曲线右顶点时取等号）．・．ｅ２≤９，
的关系，无疑是解决此类问题最好的一种方法，也 是解决数学问题的重要途径．
圆锥曲线离心率取值范围的问题，对解题能力
的要求较高，解题的策略多样，在求解过程中，应 着眼于“确定关于离心率ｅ的不等式”这一关键所在，
认真分析题意，挖掘其内含，运用创造性的思维，
Ａ．（√２，２）
Ｂ．（４２，４５）
Ｃ．（２，５）Ｄ．（２，垢）
可知点Ｐ在双曲线右支上．由Ｉ明Ｉ－Ｉ丝｜－２ａ及 ｌ鹧｜＝２Ｉ鸩Ｉ解得ｌ啊Ｉ＝４ａ，Ｉ嘎Ｉ－２ａ．设ｅ（Ｘｏ，Ｙｏ），
则由焦半径公式得Ｉ尸Ｅ｜＿ｅｘｏ一口＝２ａｊｘｏ＝一３ａ．・．・ 点Ｐ在双曲线右支上，．・．ｘｏ≥口，即３ａ≥口，解得
１＜ｅ≤３，故选Ｂ．
事一矿ｙ２＝ｌ（口＞０，６＞ｏ）上横坐标为孚的点到右
焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心
率的取值范围是
题意得￡‰一口：．％＋竺，．－．（Ｐ—１）‰：！二＋口，・．・‰≥口，
．・．—ａ—ｚ＋口≥（ｅ－１）口，即Ｐ２—２ｅ－ｌ≤０，解得：ｌ一√ｊ≤Ｐ
Ｃ
Ａ．（１，２） Ｂ．（２，＋∞） ｃ．（１，５）Ｄ．（５，＋∞）
依题意得Ｐ：：尘掣：１＋（１＋三）ｚ，
分析（应用基本不等式的性质）
高考数学离心率的求值或取值范围问题解题模板
考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念.
【方法点评】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，
数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线 代入双曲线 方程中即可得出点 的坐标，再由矩形的几何性质可得 ，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.
离心率的求值或取值范围问题解题模版
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点，有关离心率的试题，究其原因，一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想，离心率问题综合性较强，灵活多变，能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力，能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容，具有数学的实用性和美学价值，也是以后进一步学习的基础.
因为 为等边三角形，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为在 中， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
方法四借助题目中给出的不等信息
万能模板
内容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立， 的范围等；
第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
【详解】解：因为过 作垂直于 轴的直线与椭圆交于 两点（ 在 轴上方），
所以 为椭圆的一条通径，
所以 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ，即： ，
整理得： ，
所以 .
故选：C.
方法三借助平面几何图形中的不等关系
谈谈解答圆锥曲线离心率问题的技巧
考点透视圆锥曲线离心率问题的难度一般不大.一般地，我们可以直接根据圆锥曲线的离心率公式e =ca 求解，也可根据a 、b 、c 之间的关系得e心率.因此，我们需重点研究椭圆和双曲线方程（抛物线的离心率为1）中参数a 、b 、c 三者之间的关系或关系式，才能快速求得圆锥曲线的离心率.一、利用坐标法求离心率我们知道，圆锥曲线的焦半径、半焦距、长半轴长、短半轴长、虚半轴长、实半轴长均可用圆锥曲线方程中的参数a 、b 、c 表示.在运用坐标法求圆锥曲线的离心率时，可在圆锥曲线所在的平面画出直角坐标系，用参数a 、b 、c 表示各个点的坐标、直线的方程、曲线的方程，根据题意即可建立关于参数a 、b 、c 的关系式，从而求得离心率的大小.例1.如图所示，已知F 1,F 2是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为ΔPF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为（）.A.23B.12C.13D.14解：由题意可得点P (2c ,3c )，A (-a ,0)，由图可知k PA =y P x P -x A =3c 2c +a得e =c a =14，所以此题选D.我们根据椭圆方程中参数a 、b 、c 的几何意义和等腰三角形的性质求得P 、A 两点的坐标，即可根据直线的斜率公式建立关于参数a 、c 的等式，就能利用坐标法快速求得离心率.二、构造焦点三角形求离心率焦点三角形是以圆锥曲线的两个焦点和曲线上一点为顶点的三角形.在求圆锥曲线的离心率时，可根据题意构造出焦点三角形，利用三角形的性质、正余弦定理、勾股定理、焦半径公式来建立a 、b 、c 的关系式，求得圆锥曲线的离心率.例2.若F 1,F 2为椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β，则椭圆的离心率e =_____.解：由正弦定理可得|PF 2|+|PF 1|sin α+sin β=|F 1F 2|sin(α+β)，|PF 2|sin α=|PF 1|sin β=|F 1F 2|sin(α+β)，所以e =2c 2a =c a =|F 1F 2||PF 2+PF 1|=sin(α+β)sin α+sin β.双曲线的焦点三角形与半焦距c 有紧密联系，焦点三角形的一条边为双曲线的焦距，另外两条边可以用双曲线的焦半径公式表示，或用内角的三角函数式表示，这样便可根据正余弦定理、勾股定理来建立关于参数a 、b 、c 的关系式，从而求得双曲线的离心率.三、利用圆锥曲线的定义求离心率圆锥曲线的定义是解答圆锥曲线问题的重要依据.在求圆锥曲线的离心率时，可根据椭圆、双曲线的定义，建立关于a 、c 的关系，如|F 1F 2|=2c ，||||PF 2-||PF 1=2a||PF 2+||PF 1=2a .再根据圆锥曲线的离心率公式进行计算.例3.椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两点为F 1,F 2，以F 1F 2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率e =_____.解：设B 为椭圆与正三角形的交点，可得|F 1F 2|=2c ，因为|BF 2|=c ,|BF 1|=3c ，由椭圆的定义可得|BF 1|+|BF 2|=2a ,所以c +3c =2a ,e =ca=3-1.运用定义法，可有效地简化运算，提升解题的效率.从定义出发，寻找解题的思路，往往能够解答许多复杂的问题.但在解题中，圆锥曲线的定义往往会被很多同学所忽视.相比较而言，定义法的适用范围较广，而坐标法较为简单，构造焦点三角形法则较为复杂.同学们在求圆锥曲线的离心率时，要熟练运用圆锥曲线的定义、方程、性质、图形，根据解题需求选用合适的方法进行求解.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）40Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高考必考的求圆锥曲线的离心率或取值范围问题
《中学生数理化》特别奉献编者的话：高考是•种竞技，考验的是平时的努力。
要想在高考中取得优异成绩，贵在 平时的训练，平日从严，高考坦然。
练习就是高考，高考就是练习！面对即将到来的高考， 在明确命题规律的基础上，平时的训练要有针对性，要学会总结。
高考必考的求圆铀线的离心率或取值輻问题§求圆锥曲线的离心率或取值范围问题是一类 较为常见的问题，历年高考试题中也常出现此类 问题。
特别是在处理离心率的取值范围问题时， 不少同学无从下手，不知道确定参数范围的函数 关系或不等关系从何而来。
下面通过*些实例介 绍圆锥曲线的离心率的求法，及离心率取值范围 问题形成的几个背景及相应的解法，期望对同学 们的学习有所帮助。
一、求离心率的值关键是找到含有a 、b 、c (或a 、b 、c 中的两 个)的一个不等式，可借助图形、圆锥曲线定义 或常见结论等知识寻求解决问题的突破口。
例1在直角坐标系.幼中，双曲线G ：吕耳=1 (a>0,6>0)的渐近线与抛物线C 2^2 3=2py(p>0)交于0, A,B.若4/18(7的垂心为0的焦点，则G 的离心率 为_______。
(参考答案：丫=丸:2. 利用己知变量的范围。
利用题中给出的某个已知变量的范围，或由已知条件求出某个变量的范围， 然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，进而 求解。
” ”例4己知椭圆p+p=l(a>6>0) ±有一点4,它关于原点的对称点为B,点F 为椭圆的右焦点，且满足丄 BF,设§BF=a ，且砖隔，刽'则该椭圆的离心率e的取值范围为()。
A.卜尹，马]B.|竽，纠C. J-Z3-1, |D. [a /3- 1 > j(参考答■案：C)3. 利用图形的位置关系。
，，例5斜率为2的直线/过双曲线-T-jJ=l(a >0,6>0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范是()。
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
求解圆锥曲线离心率范围问题的三种思路
圆锥曲线的离心率是一个非负实数，表示椭圆或双曲线在长轴与短轴之间的偏离程度。
下面是三种思路来求解圆锥曲线离心率范围的问题：
1. 几何定义法：
根据圆锥曲线的定义，可以通过几何性质来求解其离心率范围。
对于椭圆，其离心率范围是0到1，即0≤e<1；对于双曲线，其离心率范围大于1，即e>1。
这种方法是直观和简单的，适用于初步了解圆锥曲线的性质。
2. 参数方程法：
圆锥曲线可以用参数方程表示，形式为x=f(t)，y=g(t)，其中
t是参数。
通过参数方程可以计算圆锥曲线上的点与焦点的距离，并据此确定离心率的范围。
具体步骤是：首先计算离焦点的距离d1，再计算离顶点的距离d2，最后求取d1/d2的范围。
如果d1/d2 < 1，则表示点离焦点的距离小于离顶点的距离，
即离心率小于1；如果d1/d2 > 1，则表示点离焦点的距离大于
离顶点的距离，即离心率大于1。
3. 方程法：
对于标准的圆锥曲线方程，可以通过方程进行计算来求解离
心率的范围。
以椭圆为例，标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
根据离心率的定义，可以推导出离心率e与半长轴a和半短轴b之间的关系，即e
= √(a^2 - b^2)/a。
根据这个公式，可以计算出离心率e的范围。
综上所述，这是三种常见的思路用来求解圆锥曲线离心率范围的问题。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和所给的条件。
高考数学深度总结：求离心率取值范围借助的几种_不等关系_谢创
数学教学通讯（教师版）数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱：sxjk@求离心率取值范围借助的几种“不等关系”谢创江苏盱眙中学211700摘要：离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，它常与“定义”、“焦点三角形”、“方程”、“不等式”等联系在一起，因此求离心率及其取值范围，综合性强，所用方法灵活，是解析几何复习的一个重点.关键词：离心率范围；求解;一题多解；不等关系引例（2008福建卷11）双曲线x 2a 2－y2b 2=1（a>0，b>0）的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且PF 1=2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为（）A.（1，3）B.（1，3］C.（3，+∞）D.［3，+∞）解析：法一：利用双曲线性质“若点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2=1上，则x ≥a ”，构造不等式求解.PF 1=2PF 2，即ex 0+a=2（ex 0－a ），解得x 0=3ae.又x 0≥a ，所以1<e ≤3.法二：根据余弦函数的有界性求解.cos θ=PF 12+PF 22-F 1F 222PF 1PF 2=（4a ）2+（2a ）2－（2c ）22·4a ·2a =5－e 24∈［－1，1］.法三：根据双曲线焦点三角形的面积公式b 2cot θ2，并结合正弦函数的有界性求解.S △F 1PF 2=b 2cotθ2=12×4a ×2a ×sin θ，所以sin 2θ2=b 28a 2.所以b 2a2≤8.又e 2=1+b2a 2≤9，所以1<e ≤3.法四：利用平面几何性质“三角形两边之和大于第三边”构造不等式求解.因为PF 1－PF 2=2a ，PF 1=2PF 2，所以PF 1=4a ，PF 2=2a.由三角形性质PF 1+PF 2≥F 1F 2，得4a+2a ≥2c ，解得1<e ≤3.法五：PF 1≥c+a.点评：法一是利用双曲线性质求解，计算量大；法二、法三都是以焦点三角形为模型，利用正，余弦函数的有界性求解，是解圆锥曲线最值问题常用方法之一.法四、法五以形助数，快速求解，属于“小题巧做”，是非常规解法.襛利用曲线上本身点的坐标的取值范围例1若椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）上存在一点P ，使∠OPA=90°，其中O 为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围.解析：设P （x 0，y 0），则PO 2+PA 2=OA 2，所以x 20+y 20+（x 0－a ）2+y 20=a 2，所以x 20+y 20－ax 0=0.（1）又因为x 20a 2+y 20b 2=1，（2）由（1）（2）得x 0=ab 2a 2-b 2（x 0=a 舍）.又因为0<x 0<a ，所以0<ab 2a 2-b 2<a ，所以2%姨2<e<1.点评：本题中∠OPA=90°这个条件很特殊，即可以运用勾股定理，也可以运用圆的性质列出关于点P 的方程，然后借助椭圆上点本身的坐标范围，列出关于a ，b ，c 的不等式，求出e 的取值范围.襛利用三角函数的有界性上例也可以设椭圆的参数方程，解答如下.解析：设P （a cos θ，b sin θ），因为∠OPA=90°，所以O姨P ⊥A 姨P.所以a cos θ（a cos θ－a ）+b sin θ·b sin θ=0.所以（a 2－b 2）cos 2θ－a 2cos θ+b 2=0.所以cos θ=1或cos θ=b 2a 2-b 2.当cos θ=1时，A 与P 重合，不合题意.所以-1<b 2a 2-b 2<1，所以2%姨2<e<1.点评：设椭圆的参数方程，可以很好地减少变量，由原来的两个变量x ，y ，减少到一个变量θ，并且将其问题“转化”为三角问题.襛利用已知条件的不等关系例2已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的两焦点为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过右焦点F 2，与椭圆交于A ，B ，与y 轴交于C ，B 为C ，F 2的中点，若k ≤25%姨5，求椭圆离心率的取值范围.解析：因为y=k （x －c ），F （c ，0），所以c （0，－kc ）.又因为B 为CF 2的中点，所以B ⊥c 2，－kc 2⊥在椭圆上，即c 24a 2+k 2c 24b 2=1，所以k 2=（a 2－c 2）（4a 2－c 2）a 2c2≤45，所以5e 4－中等教育￡试题研究＞解题技巧４５数学教学通讯（教师版）数学教学通讯（中等教育）投稿邮箱：sxjk@试题研究＞解题技巧29e 2+20≤0，所以（5e 2－4）（e 2－5）≤0，所以e 2∈∈45，55.又因为e ∈（0，1），所以e ∈∈25%姨5，1姨.点评：本题主要针对已知条件|k|≤25%姨5这个不等关系，借助图形关系，找出a ，b ，c 与k 的等价关系，最后根据k 2≥0这个不等关系，得出离心率的取值范围.襛利用实数性质（非负数）建立关于e 的不等式例3椭圆中心是原点，焦点在x 轴上，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ，求椭圆离心率e 的取值范围.y O xF P QB ·F ′图1解析：x 2a 2+y 2b 2=1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当斜率存在时，y=k （x+c ），两式联立，消去y ，得（a 2k 2+b 2）x 2+2a 2k 2cx+a 2k 2c 2－a 2b 2=0，x 1x 2=a 2k 2c 2-a 2b 2a 2k 2+b 2，y 1y 2=k （x 1+c ）（x 2+c ）=k 2b 2（c 2－a 2）a 2k 2+b.因为OP ⊥OQ ，x 1x 2+y 1y 2=0，a 2k 2c 2-a 2b 2a 2k 2+b 2+k 2b 2（c 2－a 2）a 2k 2+b2=0圯k 2=a 2b2a 2c 2+b 2c 2-a 2b2≥0，所以c 4－3a 2c 2+a 4<0，所以e 4－3e 2+1<0，所以3－5%姨2<e 2<1，所以5%姨－12<e<1.当k 不存在时，将x=－c 代入b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，得y 2=b 4a 2，所以y=±b 2a ，所以c=b 2a ，所以e=5%姨－12.综上，e ∈∈5%姨－12，1姨（注：设l ：x=my －c ，避免斜率不存在的讨论，m 2=c 2a 2-b 4b 4+c 2b 2≥0）.点评：借助过焦点和垂直这两个条件，设出直线方程，联立方程，借助垂直列出a ，b ，c 与k 的关系式，最后根据k 2≥0求出离心率的范围.襛利用椭圆本身的几何性质例4（2009年高考重庆卷文科第15题）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F 1（－c ，0），F 2（c ，0），若椭圆上存在点P ，使asin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为_________.解析：因为PF 1sin ∠PF 1F 2=PF 2sin ∠PF 1F 2=F 1F 2sin ∠PF 1F 2=PF 1+PF 2sin ∠PF 2F+sin ∠PF 1F，又因为asin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，所以PF 2=2a2c+a.因为PF 2∈（a －c ，a+c ）（关键处），即c 2+2c －a 2>0，所以e 2+2e －1>0，所以e ∈（2%姨－1，1）.例5（2010四川理数（9））椭圆x 2a 2+y 2b 2的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（）A.∠0，2%姨22B.∠0，122C.［2%姨-1，1）%%%D.∈12，1姨解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即F 点到P 点与A 点的距离相等，而FA ＝a2c-c=b 2c ，PF ∈［a －c ，a ＋c ］，于是b 2c ∈［a －c ，a ＋c ］，即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2，所以ac-c 2≤a 2-c 2，a 2-c 2≤ac+c22，所以ca≤1，c a ≤-1或c a ≥122222222222222.又e ∈（0，1），故e ∈∈12，1姨.点评：此两例都是借助椭圆本身的几何性质，焦半径的范围［a －c ，a+c ］来解决问题.襛借助一元二次函数对称轴与区间的位置关系例6已知椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0），若椭圆上的点到点P （0，3b ）距离的最大值是4b ，求椭圆的离心率的取值范围.解析：设A （x ，y ）是椭圆上的任意一点，则PA 2=x 2+（y －3b ）2=a 2－a 2b2y 2+（y －3b ）2=-c 2b2y 2－6by+a 2+9b 2（－b ≤y ≤b ）.因为y 0=－-3b 3c 2<0，所以当－3b 3c 2<－b 时，即3b 2>c 2，解得e 2<34，所以e ∈∠0，3%姨2姨，此时恰好当y=－b 时，PA 取得最大值4b ，符合题意.当－3b 3c 2∈［－b ，b ］时，则当y=－3b 3c 2时，PA 取得最大值9b 4c2+a 2+9b 2%姨，又最大值为4b ，故解得3b 2=c 2，即e=2%姨2.综上所述，当椭圆上的点到点P （0，3b ）距离的最大值是4b 时，其离心率的取值范围是∠0，3%姨25.点评：本题将圆锥曲线与一元二次函数“动轴定区间”问题有机地联系在了一起，借助讨论其对称轴与区间的位置关系，列出不等式.从以上几例可以看出，求离心率范围所借助的不等关系种类多样，这需要教师在平时的教学过程中引导学生对于不等关系多注意，在解决此类问题要善于联想.同时，笔者发现借助不同的不等关系，对于解题的繁简度也不尽相同，这就需要学生们对于题目多总结、类比，从而在面对此类题目时做到“有的放矢”，达到事半功倍的效果.４６。
圆锥曲线中离心率取值范围的求解(典型例题讲解)
圆锥曲线中离心率取值范围的求解范围问题是数学中的一大类问题，在高考试题中占有很大的比重，圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点，其求解策略的关键是建立目标的不等式，建立不等式的方法一般有：利用曲线定义，曲线的几何性质，题设指定条件等． 策略一：利用曲线的定义例1若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2) Ｂ．(2,)+∞ Ｃ．(1,5) Ｄ．(5,)+∞例2双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．Ｂ．)+∞Ｃ．1]Ｄ．1,)+∞策略二：利用曲线的几何性质例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2Ｃ．Ｄ． 例4已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,2] Ｂ．(1,2) Ｃ．[2,)+∞ 策略三：利用题设指定条件例5椭圆22221x y a b+=的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ．若122MN F F ≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．1(0,]2Ｂ．(0,2 Ｃ．1[,1)2Ｄ．,1)2 例6设12、F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在其右准线上存在点P ，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．(0,2Ｂ．(0,3Ｃ．[2Ｄ．,1)3 例7已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是例8双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ）Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,)+∞ Ｄ．[3,)+∞策略六：利用二次函数的性质例9设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）Ａ．2) Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．例10、已知12,F F 是椭圆的左右焦点，椭圆上存在一点P ，使01260F PF ∠=，求椭圆的离心率e 的取值范围。
2025高考数学总复习离心率的范围问题
由题意知 a＝1，b＝ 1－m2，c＝m，
椭圆E上存在点P满足|OP|＝m，等价于以O为原点，以c为半径的圆与
椭圆有交点，得c≥b，
所以
c2≥b2＝a2－c2，解得ac22≥12，所以
e＝ac≥
2 2.
又
0<e<1，所以椭圆
E
的离心率的取值范围为
22，1.
(2)已知 P 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上一点，F1，F2 为椭圆焦点，且|PF1|
题型二 利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例 2 (1)(2023·张掖模拟)若椭圆 E：x2＋1－y2m2＝1(0<m<1)上存在点 P，
满足|OP|＝m(O 为坐标原点)，则椭圆 E 的离心率的取值范围为
A.0，12
C.0，
2
2
B.12，1
√
D.
22，1
设椭圆E的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，
该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，
若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是
A.(1，＋∞) C.(2,1＋ 2)
√B.(1,2)
D.(1,1＋ 2)
由题意可知|AE|＝|BE|，即△ABE为等腰三角形， ∵△ABE是锐角三角形， ∴∠AEB<90°，∴∠AEF<45°， 将 x＝－c 代入ax22－by22＝1，可得 y＝±ba2， 故在 Rt△AFE 中，|AF|＝ba2，|FE|＝a＋c， ∵∠AEF<45°，
第八章
§8.7 离心率的范围问题
重点解读
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知 特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘 应用也可使问题求解更简洁.
求圆锥曲线的离心率的值或取值范围问题第一中学【高考】数学
b tan 60 3,e 1 ( b )2 2
a
a
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
小结：从以上例题的求解过程，我们可以体会到求圆锥曲 线的离心率或取值范围，解题的关键是将问题中的几何条件 用坐标表示或转化为代数条件，然后构造方程或不等式求解 ，这是平面解析几何的基本思想。在求解圆锥曲线离心率的 值或取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立等量 关系或不等关系，记住一些常见结论、不等关系。当然，这 类问题的题型不止今天讲的这几种，还有其他的，我今天讲 这几道例题只是起一个抛砖引玉的作用，希望同学们在今后 做题时不断总结归纳，选择简便的方法解题，尤其注意数形 结合的数学思想在解题中的应用。
∵ 的值，再求2出离心率；
∴
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
a a a 圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
2 e 5 ∴ ，故选 B. 圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
2 2
y2 b2
1(a
0,b
0)右支上
任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，e是双曲线
的离心率，则PF1 ex0 a c a, PF2 ex0 a c a.
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
B
圆锥曲线中求离心率的值或取值范围
B
16.每一个人要有做一代豪杰的雄心斗志!应当做个开创一代的人。 ④20世纪90年代以来，“新经济”、互联网经济不断发展； 18、人少言寡语不一定大智大勇，谈笑风生不一定是不严肃。 导读：本文是关于名人名言励志语录的文章，如果觉得很不错，欢迎点评和分享！ 31、痛过之后就不会觉得痛了，有的只会是一颗冷漠的心。
高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳
2012届高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳（18）一、直接根据题意建立,a c 不等关系求解.例1：若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)解析 由题意可知2233()()22a a a e a c c ->+即331122e e ->+解得2e >故选B.练习1椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．1(0]2，Ｂ．2(0]2，Ｃ．1[1)2，Ｄ．2[1)2， 解析 由题意得2222a c c≤⨯∴22e ≥故选D.二、借助平面几何关系建立,a c 不等关系求解例2：设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．2(0]，B ．3(0]，C ．2[1)， D.3[1)，分析 通过题设条件可得22PF c =，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？解析：∵线段1PF 的中垂线过点2F ， ∴22PF c =，又点P 在右准线上，∴22a PF c c≥- 即22a c c c≥-∴33c a ≥∴313e ≤<，故选D. 点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.三、利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解.例3：双曲线2222-1x y a b=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.练习1已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )A 43B 53C 2D 73∵|PF 1|=4PF 2|,∴|PF 1||PF 2|=3|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即23a c a ≥-∴53a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为513e <≤，故选B. 练习2已知1F ，2F 分别为22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A (1,2]B (1,3]C [2,3]D [3,)+∞解析2221222222(2)442448PF a PF a PF a a a a PF PF PF +==++≥=，欲使最小值为8a ，需右支上存在一点P ，使22PF a =，而2PF c a ≥-即2a c a ≥-所以13e <≤.例5：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP 垂直于PA ，求椭圆的离心率e 的取值范围。
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０ ）的左、 右焦点， Ｐ是椭圆上一点， Ｐ Ｆ ０ ʎ ， ∠Ｆ １ ２ ＝９ 求椭圆的离心率 ｅ 的取值范围． 解析： ㊀设｜ Ｐ Ｆ ＝ｍ ， ｜ Ｐ Ｆ ＝ｎ ， 由 ｍ ＋ｎ １｜ ２｜
２ ２ ２ ２ ２ ａ 两边平方得 ４ ａ ＝ｍ ＋ｎ ＋ ２ ｍ ｎ ＝２ ｍ ＋ｎ ＋
基本不等式是处理和构造不等式的一种有效手 段， 也是探求圆锥曲线离心率取值范围的常用依据． 例１ ㊀ 已知 Ｆ 、 Ｆ １ ２ 是椭圆
２ ２ ｘ ｙ ＋ （ ａ＞ｂ＞ ２ ２ ＝１ ａ ｂ
、 Ｆ ， 左准线为 ｌ ， 在双曲线的左 左、 右焦点分别为 Ｆ １ ２ 支上存在一点 Ｐ ， 使 ｜Ｐ Ｆ 是 Ｐ到 ｌ 的距离 ｄ与 １｜ ｜ Ｐ Ｆ 的等比中项， 求双曲线的离心率 ｅ 的取值范 ２｜ 围．
１ ２ ２ 槡 （ 舍去） ， 又因为 ０＜ ｅ 槡 或 ｅ － ２ ２ ２
２ ０ ２ ｅ＜１ ， 所以槡 ｅ＜１ ． ２ 变式 ㊀ 已知椭圆
２ ２
中学数学研究㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２ ０ １ ３年第 ２期（ 上）
４ ２２ －ａ ｃ ｂ ２ ２ ４ ２２ ０ ， 解得 ｔ ＝ ， 因为 ｔ ， 所以 ｂ －ａ ｃ ０ ２ ２ ａｂ ４ ２２ ４ ４ ２ ０ ， 则ａ － ３ ａ ｃ ＋ｃ ３ ｅ ＋ １ ， 结合 ｅ＞ ０ ｅ － ０
２ ２ ２ ２ ２ ２
三、 借助数形结合思想探求离心率的取 值范围
华罗庚先生曾指出： “ 数缺形时少直观， 形少数 时难入微； 数形结合百般好， 隔裂分家万事休” ． 图 形的直观形和形象性有时能帮助我们探求某些数量 之间的关系， 为我们提供意想不到的解题信息， 从而 起到事半功倍的解题效果． 例３ ㊀ 题目同例 １ ． 解析： ㊀ 作出符合题意的图形（ 此处略） ， 由于 Ｐ Ｆ ０ ʎ ， 观察图形可知， 点 Ｐ是以线段 Ｆ Ｆ ∠Ｆ １ ２ ＝９ １ ２
｜ Ｐ Ｆ １｜ ＝ ｄ
｜ Ｐ Ｆ ２｜ ＝ｅ 得｜ Ｐ Ｆ ＝ｅ ｜ Ｐ Ｆ ， 又｜ Ｐ Ｆ ＝２ ａ＋ ２｜ １｜ ２｜ ｜ Ｐ Ｆ １｜ ２ ａ ２ ｅ ａ ， 所以 ｜ Ｐ Ｆ ＝ ， ｜ Ｐ Ｆ ＝ ． 又由 ｜ Ｐ Ｆ １｜ １｜ ２｜ ｅ －１ ｅ －１ Ｆ ＋ ｜Ｐ Ｆ Ｆ ， 即 三角形的性质可得 ｜Ｐ ｜Ｆ １｜ ２｜ １ ２｜ ２ ａ ２ ｅ ａ ｅ ＋１ ＋ ｃ ２ ２ ， ２ ｅ １－ ｅ １＋ 槡 槡 ｅ －１ ｅ －１ ｅ －１ 又因为 ｅ＞１ ， 所以 １ ＜ｅ ２ ． １＋槡 点评： ㊀ 不等关系“ ｜ Ｐ Ｆ ＋ ｜ Ｐ Ｆ Ｆ Ｆ ” ｜ １｜ ２｜ １ ２｜ Ｐ在双曲线的左顶点处． 中等号成立时，
２ ２ ｙ ｘ （ ａ＞ｂ＞０ ） 和圆 ２ ＋ ２ ＝１ ａ ｂ
２ ｘ＋ ｙ ＝ ｂ ＋ｃ （ ｃ 为椭圆的半焦距） 有四个不同 ２
(
)
５＋１ １解得 ｅ ． 槡 ２ 点评： ㊀ 在求解此类问题时经常用到的结论还
２ 有｜ ａ ｜ ， ａ ０ ０等．
的交点， 求椭圆的离心率 ｅ 的 取值范围． 解析： ㊀ 由已知， 可作出 符合题意的图形 （ 如 图） ． 观 察图形可知， 要使椭圆与圆有 四个不同的交点， 只需要满足 ｂ＜ ｂ ＋ｃ＜ａ ， 即有 ２
２ ０ １ ３年第 ２期（ 上） ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Fra bibliotek㊀㊀㊀中学数学研究
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确定圆锥曲线离心率取值范围的九种策略
四川省资阳市外国语实验学校 ㊀（ ６ ４ １ ３ ０ ０ ）㊀ 蔡勇全
㊀㊀ 确定圆锥曲线离心率的取值范围是近几年高 考考查的热点， 此类问题涉及的知识面广、 综合性 强、 解法灵活多样， 较好地考察了学生的思维能力和 、 ｂ 、 ｃ 运算能力， 求解此类问题的关键是构建关于 ａ 的齐次不等式或关于 ｅ 的不等式， 本文结合实例略 谈探求圆锥曲线离心率取值范围的九种策略， 供大 家参考．
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ （ ｍ ＋ｎ ） ＝２ （ ｍ ＋ｎ ） ， 即４ ａ ｃ ８ ｅ 槡 或 ｅ ２ ２ ２ 舍去） ， 又因为 ０ ＜ｅ＜１ ， 所以槡 ｅ＜１ ． －槡 （ ２ ２ 变式 ㊀ 已知 Ｆ 、 Ｆ １ ２是椭圆 ｘ ｙ １ （ ａ＞ｂ＞ ２＋ ２ ＝ ａ ｂ
２ ２
０ ）的 左、右 焦 点，若 椭 圆 上 恒 存 在 一 点 Ｐ ，使 Ｐ Ｆ ２ ０ ʎ ， 求椭圆的离心率 ｅ 的取值范围． ∠Ｆ １ ２ ＝１ 解析： ㊀ 设 ｜Ｐ Ｆ ＝ｍ ，｜Ｐ Ｆ ＝ｎ ，则 在 １｜ ２｜ Ｐ Ｆ Ｆ ｃ ＝ ｍ ＋ｎ － Δ １ ２ 中， 由 余 弦 定 理 得 ４ ２ ｍ ｎ ｃ ｏ ｓ １ ２ ０ ʎ＝（ ｍ＋ｎ ） －ｍ ｎ＝４ ａ －ｍ ｎ ， 故４ ａ－ ｍ ＋ｎ ＝ａ ２ ２ ２ ２ ４ ｃ ＝ｍ ｎ ， 所以 ３ ａ ｃ ， 解得 ｅ ４ ２
２ ２ ２ 为直径的圆与椭圆的交点， 故ｃ ｂ ｃ ｂ ＝ａ － ２ ２ ｃ ｅ
(
)
２
３ ３ ３ 槡 或ｅ 舍去） ， 又因为 ０ ＜ｅ＜１ ， 所以槡 －槡 （ ２ ２ ２ ｅ＜１ ． 点评： ㊀ 挖掘题目中蕴含的制约关系， 将题设 中的等量关系通过基本不等式转化为不等关系， 是 探求圆锥曲线离心率取值范围的重要方法之一．
二、 借助平面几何知识探求离心率的取值范 围
椭圆或双曲线上任意一点与它的两个焦点可能 构成一个三角形， 常常利用“ 三角形两边之和大于 第三边”产生的不等关系来确定离心率的取值范 围． 例２ ㊀ 已知双曲线
２ ２ ｘ ｙ － １ （ ａ＞０ ， ｂ＞０ ） 的 ２ ２ ＝ ａ ｂ
一、 借助基本不等式探求离心率的取值 范围
２ ２ ２ ａ －ｃ ＜４ ｃ ， ２ ２ ２ ２ ２ ２
五、 借助函数思想探求离心率的取值范围
若题设中含有除离心率 ｅ 以外的其他参数， 在 探求离心率的取值范围时， 一种思路是把 ｅ 表示为 图 关于其他参数的函数并通过研究函数的值域达到探 求离心率 ｅ 取值范围的目的； 另一种思路是把其他 的函数并通过研究函数的定义域 参数表示为关于 ｅ 达到探求离心率取值范围的目的． 例５ ㊀（ ２ ０ ０ ８年全国高考题）设 ａ＞１ ， 则双曲 线