不等式证明方法综述

令 F ( x) = 1 + 则 F ′( x) =
1 x − 1+ x ， 2 ， 故 F ′( x ) > 0 ( x > 0) ，
β =1− α， 有： f ( α x1 + β x 2 ) ≤ α f ( x1 ) + β f ( x 2 ) （或 f ( α x1 + β x 2 ) < α f ( x1 ) + β f ( x 2 )） 。
这 说 明 F ( x) = sin x −
参考文献
［１］ 同 济 大 学 数 学 教 研 室 ． 高 等 数 学 （ 第 四 版）［Ｍ］．北京：高 等 教 育 出 版 社，１９９６， １２． ［２］ 四 川 大 学 数 学 系 高 等 数 学 教 研 室 ． 《高 等数学（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出 版社，１９９５，３．
下凸的， 于是
f(x)+ f( y) x+ y ,
即 y > 0, x ≠ y ) ，
x ln x + y ln y > ( x + y ) ln ( x > 0, y > 0, x ≠ y )
x+ y 2
na
n −1
(b − a ) < b − a < nb
2 利用函数的单调性证明不等式
当 需 要 证 明 f ( x) > g ( x) 在某区间Ｉ 上成 立时， 可考虑令 F ( x ) = f ( x) − g ( x) ， 然后讨 论 F ( x) 在区间Ｉ上的单调性， 利用单调性和 给定的已知条件， 得到不等式的证明。 例２ 证明 1 + 证明：
n n
n
n −1
(b − a)
则 f ( x ) 在 [ a, b ] 上 证明：设 f ( x) = x ， 满足拉格朗日中值定理的所有条件， 由拉格 朗日中值定理， 至少有一点 ξ ∈[ a, b ] ， 使得
f (b) − f (a ) bn − an = f ′( ξ ) ， = nξ n −1 ， 即 注 b−a b−a
2 π x (0 < x < ) π 2
f ( x) = x ln x 在 (0,
2 π x， 那么 F ( x ) 在 0, 2 π 上是连续的， 因此必能取到最大值和最小
令 F ( x) = sin x − 2 2 值。 又 F ′( x) = cos x − ， 于是： 0 < x < arccos π π 2 π F ′( x ) > 0 ； arccos < x < 时， 时， F ′( x) < 0 ， π 2
x+ y 2
F ( x) = g ( x) − f ( x ) 那 就 要 设 法 证 明 F ( x )
的最 小 值 大 于 零 了 。 例３ 证明 sin x > 证明：
( x > 0, y > 0, x ≠ y ) 。
令 f ( x) = x ln x ， 由于 f ′(x) = ln x + 1, f ′′( x) = 所以 1 > 0 (x > 0) ， x + ∞) 内 是 严 格
(x > 0)
4 利用函数的凹凸性证明不等式
我们知道： f ( x ) 在开区间Ｉ内下凸（或严格下 凸）， 当 且 仅 当 ∀ x1 , x2 ∈ I ，∀α ∈ ( 0, 1 ) ，
中国科教创新导刊 Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ ６７
《高等数学》 是高校理工科的一门重点 基础课， 通过这门课程的学习， 为今后学习 计算机原理及基础、 电子技术基础、 编程原 理、 数控技术及原理、 数据库以及理工科的 各后续课程等提供必要的高等数学基础。 在高等数学传统的教学过程中， 比较重视 演绎及推理， 重视定义及概念的严密严格 性， 重视定理的严格论证， 这对培养学生的 数学素养， 提高学生的数学素质是有益的。 但是， 对于那些以应用为主要学习目的的 学生来说， 需要的往往不是定理论证的过 程， 而是它的结论。 笔者认为对于高校理工 科学生而言， 在高等数学教学中， 应注重传 授问题解决的方法， 把学生从繁杂的数学 推导中解脱出来。 为此， 本文作者结合自己 教学实际， 对高等数学中有关不等式问题 的解决方法归结如下。
意到 0 < a < ξ < b ， 所以 na n−1 < nξ n−1 < n >1， 所以 na nb n−1 ，
n −1
(b − a) < b n − a n < nb n−1 (b − a)
x− y x x−y < ln < ( x > y >0) x y y
2 2 x 在 点 x = arccos π π 2 取最大值， 并 且 F ( x ) 在 x = arccos 两侧都 π π 是严格单调的， 加 之 F (0 ) = F ( ) = 0 ， 所以 2 2 π F ( x) = sin x − x 在 0, 上最小值为０ ， 所 π 2 2 π 以有 sin x > x (0 < x < ) 。 π 2 例４ 证明 ∀ x > 0 ， ∀α ∈ ( 0, 1 ) 有
1 利用拉格朗日中值定理证明不等式
利用拉格朗日中值定理证明不等式，
f (b) − f (a) = f ′( ξ ) ， 就是合理利用等式 b−a 其 变 化 在 f ′(ξ ) 上。 值 得 指 出 的 是： 可 利 用 拉格朗日中值定理证明的不等式是有比较 明显的特征的。 例１ 设 0 < a < b ， 证明 n >1，
1+ x −1 2 1+ x
f(x) 在开区间Ｉ内上凸（或严格上
所以 F ( x) 在 [0, + ∞) 单调递增， 又 F (0 ) = 0 ， 1 所以 1 + x > 1 + x (x > 0) 。 2
∀α ∈ ( 0, 1 ) ， 凸）， 当 且 仅 当 ∀ x1 , x 2 ∈ I ， β =1−α ， 有： f (α x1 + β x2 ) ≤α f ( x1) + β f ( x2 )
２００９ ＮＯ．３０
教育教学方法
Ｃｈｉｎａ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
中国科教创新导刊
不等式证明方法综述
胡明 ( 景德镇高等专科学校数学与计算机系 江西景德镇 333000) 摘 要 ： 提高学生的应用能力是高等数学的主要任务。本文作者结合多年的教学实际，对高等数学中较为典型的不等式问题的解决方 法进行了归纳和总结，以供参考。 关键词 ： 不等式 方法 问题的解决。 中图分类号： 文献标识码： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ － ９ ７ ９ ５ （ ２ ０ ０ ９ ） １ ０ （ ｃ ） － ０ ０ ６ ７ － ０ １
x < 1 时 f ′( x ) > 0 ，
x > 1 时 f ′( x ) < 0 ， 所 以 x = 1 是 f ( x ) 的最
大值点， 又 f (1) = 0 ， 所以 f ( x ) ≤ f ( 1 ) = 0 ， 即 xα
− αx + α − 1 ≤ 0 （ ∀ x > 0 ）。
1 x > 1+ x 2
（或） f ( α x1 + β x 2 ) < α f ( x1 ) + β f ( x 2 ) 利用函数凹凸性证明不等式常常是非 常好的一种方法。 例５ 证明 x ln x + y ln y > ( x + y) ln
3 利用函数的最值 ( 极值 ) 证明不等式
当需要证明 f ( x) < g ( x) 在区间Ｉ上成立 然后设法 时。 可考虑令 F ( x) = f ( x) − g ( x) ， 证 明 F ( x) 的 最 大 值 小 于 零 。 当然， 如果令
形如 sin x − sin y ≤ x − y ；
x α − αx + α − 1 ≤ 0
证 明 ： 令 f ( x) = x α − αx + α − 1 ， 由于 所以 x = 1 是 f ( x ) 唯一 f ′( x ) = αx α −1 − α ， 的一个稳定点， 并且 0 <
等等都可以用类似的方法得到证明。