2019年高考数学二轮复习-专题六 直线、圆、圆锥曲线 6.3 直线与圆锥曲线课件 文
2019年高考数学(文科)二轮专题突破课件：专题六 直线、圆、圆锥曲线 6.2 .pdf
=1.
考情分析
高频考点
核心归纳
-4-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
题后反思1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦的问题, 以及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定 义.
2.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线, 焦点在哪个轴上,然后利用条件求a,b,p的值.
求轨迹方程 【思考】 求轨迹方程的基本策略是什么?
例3已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分 别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
命题热点一
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命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练 2 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆
中心到 l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( B )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析 不妨设直线 l 经过的椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个
焦点坐标为(c,0),
=
1,
消去 y,整理得
7x2+6cx-13c2=0,
解得 x=-173������(舍去)或 x=c.
因此可得点 P
������,
3������ 2
,进而可得|FP|=
(������ + ������)2 +
3������ 2
2
= 52������,
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=52������ − 32������=c.
专题直线与圆、圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线一、直线与方程1、倾斜角与斜率：1212tan x x y y k --==α2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x ya b+= ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ；⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ；⑷12121-=⇔⊥k k l l .4、对于直线：0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔12211221C B C B B A B A ；⑷0212121=+⇔⊥B B A A l l .5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-=6、点到直线距离公式： 2200BA CBy Ax d +++=7、两平行线间的距离公式：1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2221BA C C d +-=二、圆与方程1、圆的方程：⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r .⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22DE--，半径为r =2、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .弦长公式：222d r l -==3、两圆位置关系：21O O d =⑴外离：r R d +>；⑵外切：r R d +=；⑶相交：r R d r R +<<-； ⑷内切：r R d -=；⑸内含：r R d -<. 3、空间中两点间距离公式： ()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=三、圆锥曲线与方程关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin pAB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切。
高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题
高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。
高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。
其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。
本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。
热点题型范例 例112的距离，若2PM PN =解：的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长轴a 2知所以1.1在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB的值是多少？解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0(0，为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=．（Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=，故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥，即12120x x y y +=．而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是222所以当k 而(例2（1（2例则3.1解：(Ⅰ)依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为1422=--aa （0＜a 2＜4)， 将点（3，7）代入上式，得147922=--a a .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2，故所求双曲线方程为.12222=-y x (Ⅱ)依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ,∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-,33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3). 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16,142212kx x k k -=-于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+-=，）的面积等于 2五、圆锥曲线中的定值、定点问题例6． 设A 、B 为椭圆22143x y +=上的两个动点。
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所以∠ABM=∠ABN.
综上,∠ABM=∠ABN.
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(2)证明
BC 的中点坐标为
������2 2
,
1 2
,
可得 BC 的中垂线方程为 y-12=x2
������-
������2 2
.
由(1)可得 x1+x2=-m,
所以 AB 的中垂线方程为 x=-���2���.联立
������
=
-
������ 2
������ 2 -
������ 2
2
=3,
即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
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题后反思1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证 明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点) 的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选 择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使 用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解 题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中 要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题 解决.
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高考数学二轮复习专题六直线、圆、圆锥曲线6.1直线与圆课件文
练,重点是圆的方 程,直线与圆的位 置关系,圆与圆位 置关系中的动点 轨迹,直线与圆的 位置关系中的弦 长问题、切线问
经常以解答题的形式 题、参数的范围
出现.
等.
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直线方程的应用
【思考】 在利用已知条件设直线方程时,应注意些什么?求直线
方程的基本方法是什么?
3.求直线方程的主要方法是待定系数法.在使用待定系数法求直 线方程时,要注意方程的选择、分类讨论思想的应用.
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对点训练1圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为
1,则a=( A )
A.-43
B.-34
C. 3
D.2
解析 由x2+y2-2x-8y+13=0, 得(x-1)2+(y-4)2=4, 所以圆心坐标为(1,4). 因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,
设与C.直2x线-y+25x=+0y+或1=20x-平y-5行=的0 直线方程为 2x+y+m=0(m≠1), D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0
因为直线 2x+y+m=0 与圆 x2+y2=5 相切,即点(0,0)到直线 2x+y+m=0
的距离为 5,
所以|������| =
5
5,|m|=5.
所以
|������+4-1| =1,解得
������2+12
a=-43,故选
高三二轮复习：圆锥曲线(教师)
高三数学二轮复习——圆锥曲线的综合一、直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．二、有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．三、圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |∈[b ，a ]． ②|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]． ③|PF 1|·|PF 2|∈[b 2，a 2]． ④∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2. (2)双曲线中的最值F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O 为坐标原点，则有 ①|OP |≥a . ②|PF 1|≥c －a . (3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有： ①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|PA |＋|PF |有最小值． 小题一览例1、(2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D 解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a 2，设直线方程为y ＝b 2a 2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0， 所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18. 例2、 (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)．例3、 (2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析 利用直线PA 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA 1斜率的边界值． 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38. 同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程， 消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.例4、 (2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．答案 3解析 直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.例5、(2012·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______．答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)， 又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°， 故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0， 即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3. 又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.综合题演练：题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题例6、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为3.(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，b )，求b 的取值范围． 审题破题 (2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k 的范围；(3)寻找b 和k 的关系，利用(2)中k 的范围求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，由已知，得a ＝3，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意，知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2>0，x A ＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k 2>0，解得33<k <1.所以当33<k <1时，直线l 与双曲线的左支有两个交点．(3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k1－3k 2，所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2，所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2.设l 0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l 0的方程，得b ＝421－3k 2，∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0，∴b <－22.∴b 的取值范围是(－∞，－22)．反思归纳 求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练(2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点． (1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值． 解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0， 又点P (x 0，y 0)在切线PA 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1， 所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题例7、(2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ， 证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解 依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x . 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 2，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)， 以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2， 交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， 所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 变式训练 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0y 23＋x22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0， 整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三 圆锥曲线中的存在性问题例8、如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上． 解 (1)由e ＝c a＝22，a 2c＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)， 即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， 故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率， 由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2252＋y 2102＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳 探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论． 变式训练 已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q满足DQ →＝23DP →.(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1,1)，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使OE →＝12(OM→＋ON →)(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由． 解 (1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，点D 的坐标为D (x 0，0)， 所以DQ →＝(x －x 0，y )，DP →＝(0，y 0)， 又DQ →＝23DP →，故⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，因为P 在圆O 上，故有x 20＋y 20＝9， 所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 22＝9，即x 29＋y 24＝1，所以点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1. (2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足OE →＝12(OM →＋ON →)，则E (1,1)是线段MN 的中点，且有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1，y 1＋y22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y224＝1，两式相减，得x 1－x 2x 1＋x 29＋y 1－y 2y 1＋y 24＝0，所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，故直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.所以椭圆上存在点M ，N 满足OE →＝12(OM →＋ON →)，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.例9、抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． 规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.[2分] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[6分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2， y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·－2－－2－2|22＋－12＝45＝455.[9分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·－42－4·－4＝410. 于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝82.[12分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分． 阅卷老师提醒 最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值． 课后练习：1． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM . ∴M 为焦点，即p 2＝1，∴p ＝2.2． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为 ( ) A ．－2B ．－8116C ．1D ．0 答案 A解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即PA 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3． 设AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为 ( ) A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析 如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4． 已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|PA |＝m |PB |，则m 的最大值为( ) A ．3B ．2C.3D.2答案 C解析 据已知设P (x ，y )， 则有m ＝|PA ||PB |＝x ＋12＋y 2x －12＋y 2＝x ＋12＋2x x －12＋2x＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4xx 2＋1＝1＋4x ＋1x，据基本不等式有m ＝ 1＋4x ＋1x≤ 1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6． 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析 点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b 2a)．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. 7． 已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2， 所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A.8． 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，33C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫22，1D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1解析 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cya 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得y 2＝a 2＋c 2·2c 2－b 2c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c－c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫33，1.9． 已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15解析 由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x ＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，15.10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|PA |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，14解析 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|PA |最小．11． 斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析 如图，过A 作AA1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥l ′， 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交 A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32 解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.13．(2013·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值． 解 (1)设F (－c,0)，由c a＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有－c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3， 于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 23＋y22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则d ＝x －02＋y －22＝x 2＋y －22＝3b 2－3y 2＋y －22＝－2y ＋12＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2.∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n 2＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2.∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2＋n2＋1－1m 2＋n 222＝12， 当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n 2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。
备战2019高考数学大二轮复习 专题六 直线、圆、圆锥曲线 6.2 椭圆、双曲线、抛物线
因此
OA
的斜率与
OB
的斜率之积为������1
������1
·������2
������2
=
-44=-1,
所以 OA⊥OB.故坐标原点 O 在圆 M 上.
(2)解: 由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心 M 的坐标为(m2+2,m),圆 M 的半径 r= (������2 + 2)2 + ������2.
(2017 全国Ⅲ,理 10) (201曲8 全线国的Ⅰ离,心理率8)以及向
(2018 全国Ⅱ,理 5) (201量8 全、国直Ⅲ线,、理圆11锥) 曲线
的小综合.
复习策略
抓住考查的主要 题目类型进行训 练,重点是依据圆 锥曲线的几何性 质求离心率;根据 圆锥曲线的定义 求标准方程;圆锥 曲线与向量的小 综合;两种圆锥曲 线间的小综合;直 线与圆锥曲线的 小综合;圆锥曲线 的综合应用等.
-13-
命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练3如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛 物 O)线.当Cx20上=1,过- 点2时M作,切C线1的M切A的线斜,切率点为为- A12,.B(M为原点O时,A,B重合于
(1)求p的值; (2)当点M在C2上运动时,求线段AB的中点N的轨迹方程(当A,B重 合于点O时,中点为O).
2-3������ 2 3������ 2+2
,0
.
所以|AD|=1-32���-���32���+��� 22 = 3���6������2���+2 2.
专题直线与圆、圆锥曲线知识点.doc
1、倾斜角与斜率:k = tancr =——:y = k l x + h l .l 2 : y = k 2x + h 2^：⑴厶 //12 <=>b、H b 2-、直线与方程2、直线方程：⑴点斜式：y-y 0 = k(x-x ())⑵斜截式：y = kx+b⑶两点式：上二A =盘二21 ⑷截距式：- + ^ = 1⑸一般式：Ar+By+C = O x-x { x 2 -x { a b3、对于直线:⑵A 和人相交O k 、*; (3)/|和人重合「； (4)/,丄Ao/以=—1.・ " ・ 也=b 24、对于直线： /. : Ax+ B. y + C. = 0,[A,= 4B 、1111W ：(1)/, Hl, <=>^1 2 1: (2)/,和人相交0人民工％妨l 2\A 2x+B 2y + C 2 =012 1 ^c 2 B 2C Jy — A,B. =A 2B.⑶厶和 /7 重合 o < ； (4)/j JL /7 u> A l + B] = 0•pc? = B 2C ) _ _ _5、 两点间距离公式：|片巴| = J (兀2 —尤1)2 +S —『1)26、 点到直线距离公式：〃」警+By°+q7、 两平行线间的距离公式：一|c, - cd/): Ar+By 十G=0与厶：Ax+By+C? =0平行，贝Ud =鼻~・ " ~V A 2+ B 2二、圆与方程1、圆的方程：⑴标准方程：(x-a)2+(y-b)2 =r 2其中圆心为⑺")，半径为厂.⑵一般方程：x 2+ y 2+Dx+Ey+F = 0. 其屮圆心为半径为r = -Vo 2+E 2-4F.2 2 22、直线与圆的位置关系直线Ax 4- By+C = 0与圆(兀一a)2 + (y — b)2 = r 2的位置关系有三种:专题直线与圆、 圆锥曲线d > r <=> 相禺 <=> A < 0;= r <=> 相切 <=> A = 0;d < r <=> 相交u> A > 0.弦长公式：1 = 23-cP = Jl + fj3_X2)2_4x“3^两圆位置关系：d = O}O2\⑴外离：d>R + r；⑵外切：d = R + r；⑶相交：R-r<d<R + r；⑷内切：d = R-r •⑸内含：d < R-r.3、空间中两点间距离公式：\P}P2\ = ^x2-xy ^-(y2-yy+(z2-Zl)2 三、圆锥曲线与方程.椭圆关于抛物线焦点弦的儿个结论：设为过抛物线y2 = > 0）焦点的弦，、3（兀2，歹2），直线AB的倾斜角为&,则八、P °(1) X,X2 = —,y,y2 =-/r；⑶以4B为直径的圆与准线相切。
(高三数学二轮专题复习)直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
该直线的倾斜角的取值范围是( B )
A．0，π6
B．0，π3
C．0，π6
D．0，π3
解析：当过点 P(－2 3，－2)的直线与圆 x2＋y2＝4 相切时，设斜率为 k，
则此直线方程为 y＋2＝k(x＋2 3)，即 得|2 k32k＋－12|＝2，解得 k＝0 或 k＝ 3，
解析：抛物线y2＝4cx的焦点为(c,0)，准线方程为x＝－c， 由双曲线的定义可得，|MF1|－|MF2|＝2a， 由抛物线的定义可得|MF2|＝xM＋c＝4c－2a， 解得xM＝3c－2a，y＝4c(3c－2a)，
第一部分 专题六 解析几何
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高考总复习第二轮 ·数学(文)
代入双曲线的方程，可得3c－a22a2－4c3cb－2 2a＝1， 由 c2＝a2＋b2，e＝ac，可得(3e－2)2－4ee32－e－12＝1， 可令 e－1＝t，即 e＝1＋t， 化为 9t4＋24t3－16t－4＝0，(t＞0)， 即有(9t4－4)－8t(2－3t2)＝0， 即为(3t2－2)(3t2＋2)＋8t(3t2－2)＝0， 即有(3t2－2)(3t2＋8t＋2)＝0， 解得 t＝ 36(负的舍去)，可得离心率 e＝1＋ 36．
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A．0，
3 2
B．0，34
C． 23，1
D．34，1
第一部分 专题六 解析几何
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高考总复习第二轮 ·数学(文)
解析：设椭圆的左焦点为 F1，半焦距为 c，连接 AF1，BF1， 则四边形 AF1BF 为平行四边形， 所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4． 根据椭圆定义，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a， 所以 8＝4a，解得 a＝2． 因为点 M 到直线 l：3x－4y＝0 的距离不小于45，
【精品】备战2019高考数学(理科)大二轮复习课件：专题六直线、圆、圆锥曲线6.2
=a,
关闭
=
2 ,从而 3
������ e=������
=
6 .故选 3
A.
解析 答案
-10命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
解: (1)设 F 的坐标为(-c,0). ������ 1 ������ 1 依题意,������ = 2 , 2 -2-
试题统计 (2014 全国Ⅰ,理 4) (2014 全国Ⅰ,理 10) (2014 全国Ⅱ,理 20) (2015 全国Ⅰ,理 14) (2016 全国Ⅰ,理 5) (2016 全国Ⅱ,理 11) (2016 全国Ⅲ,理 20) (2017 全国Ⅰ,理 15) (2017 全国Ⅱ,理 9) (2017 全国Ⅲ,理 10) (2018 全国Ⅱ,理 5)
由 ①②得 p=2.
-15命题热点一 命题热点二 命题热点三
2 ������ 1
命题热点四
2 ������ 2
(2)设 N(x,y),A ������1 , 知 x= y=
������ 1 +������ 2 2
4
,B ������2 ,
4
,x1≠x2,由 N 为线段 AB 中点 ,
,③
������ 1 2 ������ 2 2
3 4
将 x=my+1 与 x (3m
2 2
-6������ +4)y +6my=0,解得 y=0 或 y=3������ 2 +4. -3������ 2 +4 -6������ 由点 B 异于点 A,可得点 B , 3������ 2 +4 3������ 2 +4
【精品】备战2019高考数学(理科)大二轮复习课件：专题六直线、圆、圆锥曲线6.1
题型
复习策略 抓住考查的主要题 目类型进行训练,重 点是圆的方程、直 线与圆的位置关 系、圆与圆的位置 关系,其中经常考查 的是圆与圆位置关 系中的动点轨迹,直 线与圆的位置关系 中的弦长问题、切 线问题、参数的取 值范围等.
-8命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
(方法二 )设圆的半径为 r,根据直线与圆相切的关系得 r=
关闭
∵圆与直线 l 有交点 ,∴圆心到直线的距离小于等于半径,即
������ 2 1+������
2 ≤ 1, ∴ a ∈ 0, 2
1+ 5 2
.∵☉C 与线段 AB 相交 ,∴a≤2,且
|������ -1| 2
≤1,即
1- 2 ≤ ������ ≤ 2 + 1, 1- 2≤a≤2,因此可得实数 a 的取值范围是 ������ ≤ 2, 1 - 2,1+ 5 1- 2 ,
2
1+ 5 2
.
解析
关闭
答案
-14命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
对点训练 3 已知圆 C:x2+y2=1,点 P 为直线 + =1 上一动点,过 点 P 向圆 C 引两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点,则直线 AB 经过定 点( ) A. , B. , 2 4 4 2 设 P(4-2m , m ), ∵ PA , PB 是圆 C 的切线, 3 3 C. ,0 D. 0, 是圆 C 与以 PC 为直径的两圆的公共弦, ∴CA ⊥PA 4 ,CB⊥PB,∴AB 4
可得以 PC 由 为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+
2 ������ 2 2 1 1
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2019年全国卷 高二数学 第04讲 直线与圆锥曲线初步
第04讲 直线与圆锥曲线初步考点1：直线与圆锥曲线的位置关系直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ），得到关于x （或y ）的方程：20ax bx c ++=（20ay by c ++=）． 方程组的解的个数与方程20ax bx c ++=的解的个数是一致的．若0a ≠2若0a =<教师备案>0a =的情况：①当直线平行于抛物线的对称轴时；②当直线平行于双曲线的渐近线时．所以直线与抛 物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．以抛物线22y px =为例，直线0Ax By C ++=，只有当0A =时，代入抛物线方程，才会转化成一次方程，此时，直 线平行于抛物线的对称轴．【例1】 ⑴已知椭圆22143x y +=，直线l ：y x m =+与椭圆有两个交点时，m 的取值范围为_______．⑵直线1y mx =+与椭圆2241x y +=有且只有一个交点，则2m =_______．⑶直线2y kx =+与椭圆2214y x +=的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2 D．以上都不对【解析】 ⑴m ；⑵ 34；⑶ D ；【点评】直线与椭圆的位置关系，只需考虑判别式即可．经典精讲 4.1直线与圆锥曲线的位置关系知识点睛提高班学案1【拓1】 已知两点514M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，544N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，给出椭圆2212x y +=，问在椭圆上是否存在点P ，使得MP NP =？ 【解析】MN 的中点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，斜率为12k =，故MN 的中垂线方程为l ：23y x =--， 根据题意知，本题即判断直线l 与椭圆有无公共点的问题．联立222312y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2924160x x ++=，此式的判别式22449160∆=-⨯⨯=， 故有且仅有一个交点．当然也可以设出P 点的坐标，直接计算．【例2】 ⑴判断下列直线与双曲线22154x y -=的位置关系：①1y x =-；②210x +=；③21y x =-；④2y x =- ⑵若过点(30)，的直线l 与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有____条． 【解析】 ⑴ ①相切；②相交（只有一个交点）；③相离；④相交．⑵ 3；<教师备案>过一个定点P 与双曲线只有一个公共点的直线的条数：（图中区域不包括边界） ①P 在双曲线上，有3条；②P 在区域⑵，有2条；③P 在渐近线上但不是原点，有2条； ④P 在区域⑴⑶，有4条；⑤P 是原点，有0条．【点评】直线与双曲线的位置关系更多时候利用数形结合．尖子班学案1【拓2】 已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(12]，B ．(12)，C ．[2)+∞，D ．(2)+∞， 【解析】 C ；目标班学案1【拓3】 直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的A ，B 两点，求实数k 的取值范围． 【解析】(2--，；【例3】 ⑴函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1⑵直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C ： ①有一个公共点；②有两个公共点；③没有公共点． 【解析】 ⑴ B ⑵ ① 当1k =或0k =时，直线l 与C 有一个公共点；②当1k <且0k ≠时，直线l 与抛物线C 有两个 公共点；③当1k >时，直线l 与抛物线C 没有公共点．【点评】 一般地，直线与抛物线相切，直线与抛物线只有一个公共点；反过来，直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线不一定是相切的（如图）因此，直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要而非充分条件．过定点(01)P ，且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线的方程为________． 【解析】0x =或1y =或112y x =+ 【思路】显然，过点(01)，且垂直于x 轴的直线，即y 轴满足题意． 设过点P 且不垂直于x 轴的直线的斜率为k ，其方程为1y kx =+．代入抛物线22y x =中得222(1)10k x k x +-+= 当0k =时，得直线与抛物线只有一个交点112⎛⎫⎪⎝⎭，，满足题意． 当0k ≠时，令224(1)40k k ∆=--=，得12k =即直线112y x =+，与抛物线也只有一个公共点．综上所述，所求直线的方程是0x =或1y =或112y x =+．【错因分析】误区一是设点斜式不能表示过P 点垂直于x 轴的直线而y 轴恰满足题意， 误区二是忽略过点P 与x 轴平行的直线．考点2：弦中点的坐标问题直线0Ax By C ++=与圆锥曲线()0f x y =，交于两点()()1122M x y N x y ，，，，将0Ax By C ++=代入()0f x y =，，消去y （或x ），得到一元二次方程20ax bx c ++=，方程的两根满足12bx x a+=-，MN 中点的横坐标即为1222x x ba +=-．【例4】 ⑴直线1y x =-被抛物线24y x =截得线段的中点坐标是 ．⑵直线3y x =-与双曲线22143x y -=交于A B ，两点，则AB 的中垂线方程为（ ） A ．210x y ++= B ．210x y --= C ．210x y +-= D ．210x y -+=⑶椭圆22142x y +=过点()11P ，的弦恰好被P 平分，则此弦所在的直线方程是__________． 【解析】 ⑴ ()32，⑵ C ；⑶ 230x y +-=；提高班学案2【拓1】 ⑴ 已知直线2x y -=与抛物线24y x =交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是______．⑵ 过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为52，则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【解析】 ⑴ ()42，⑵ B 经典精讲知识点睛4.2直线与圆锥曲线相交初步考点3：通径问题经过抛物线22y px =的焦点F ，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于M N ，两点，线段MN 叫做抛物线的通径．类似的，我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径”：过椭圆（双曲线）的焦点，作垂直于长轴（或实轴）的直线，则直线被椭圆（双曲线）截得的线段叫做椭圆（双曲线）的“通径”．⑴抛物线22y px =的通径长为2p ；⑵椭圆()222210x y a b a b +=>>的通径长为22b a ；⑶双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的通径长为22b a<教师备案> 椭圆（抛物线）的通径是过椭圆（抛物线）焦点的弦中最短的一条．双曲线的通径是过双曲线的焦点， 同支的弦中最短的．我们来证明通径是最短的．以椭圆为例．设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，直线l 过椭圆的右焦点()0F c ，，且与椭圆交于两点A B ，，下面求AB 的最小值． 当AB 是通径时，不难算出22b AB a=．当AB 非通径时，直线l 的斜率存在，不妨设l 的方程为()y k x c =-，代入椭圆方程化简得()2222222222220ba k x a k cx a k c ab +-+-=，设()()1122A x y B x y ，，，，则22122222a k cx x b a k +=+． 又由前面椭圆一讲知，12AF a ex BF a ex =-=-，，其中e 为椭圆的离心率，则()22222221222222222222222c a k c c a k c b AB AF BF a e x x a a a a b a k a b a k a a=+=-+=-⋅=-⋅>-=++． 双曲线和抛物线类似可证．双曲线需要注意焦点弦所在直线的斜率范围，保证焦点弦在双曲线的同支上．【例5】 ⑴已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为（ ）AB ．65 CD ．56⑵设过椭圆2212516x y+=的左焦点F 的弦为AB ，则（ ）A ．6AB > B ．6AB =C ．6AB <D ．都有可能⑶过抛物线的焦点且垂直于抛物线轴的直线交抛物线于P 、Q 两点，抛物线的准线交抛物线的轴于点M ，则PMQ ∠一定是（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或钝角 【解析】 ⑴B ⑵ A ⑶B 经典精讲知识点睛考点4：求圆锥曲线的弦长连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．①求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求； ②另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被抛物线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为如果12x x，是一元二次方程20ax bx c++=的两个根，则12x x -==0∆>）． ③当抛物线的标准方程为()220y px p =>时，直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于C 、D 两点，则弦长121222p pCD x x x x p =+++=++．<教师备案>圆锥曲线求弦长时，都有一定的计算量，求弦长的方式基本上类似，其中以抛物线的计算相对较为简单， 预习阶段就主要讲抛物线，外加一道椭圆的题。
2019年高考数学二轮复习 专题六 直线、圆、圆锥曲线 专题能力训练17 直线与圆锥曲线 文
专题能力训练17 直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N 在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.32.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2C.2D.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.5.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0<),使得当过点E的直线l与曲线C相交于M,N两点时,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.二、思维提升训练9.(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C :=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.10.已知椭圆E :=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O 且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E :=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.2(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.3专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M (3,2).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为=2.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在△AMK中,由,得,解得x=2t,则cos∠NBK=,∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k=tan 60°=,故直线方程为y=(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-(x-1),故选C.4.解析双曲线的渐近线为y=±x.由得A.4由得B.∵F为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1,即=-1,解得,∴,即可得e=.5.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得5因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.6.(1)解设椭圆C 的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C 的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM =,故直线DE的斜率k DE =-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E =-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E =-n.又S△BDE =|BD|·|y E |=|BD|·|n|,S△BDN =|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.6所以M 的方程为=1.(2)由解得因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD 面积的最大值为.8.解 (1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由已知可得△ADB 的面积的最大值为·2a·b=ab=.①∵F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1.②由①②可得a=,b=1,故椭圆C 的方程为+y2=1.(2)过点E取两条分别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,则,即,解得x0=,7∴E 若存在必为,定值为3.证明如下:设过点E的直线方程为x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-=-,y1y2=-,====3.综上得定点为E,定值为3.二、思维提升训练9.证明 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k 得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||=8==2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.10.(1)解由已知,a=2b.又椭圆=1(a>b>0)过点P,故=1,解得b2=1.所以椭圆E 的方程是+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0, ①方程①的判别式为Δ=4(2-m2).由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M 点坐标为,直线OM方程为y=-x.由方程组得C,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2).所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.解 (1)设椭圆的半焦距为c.9因为椭圆E 的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E 的标准方程是=1. (2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1), ①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.由解得x0=,y0=无解.因此点P 的坐标为.10。
备战近年高考数学大二轮复习专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练16直线与圆理(2021年整理)
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专题能力训练16 直线与圆一、能力突破训练1。
已知圆E经过三点A（0,1),B(2，0)，C(0，—1)，且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为（)A。
+y2=B。
+y2=C.+y2=D.+y2=2。
若直线x-2y—3=0与圆C:(x-2）2+(y+3)2=9交于E，F两点,则△ECF的面积为（)A. B。
2C。
D。
3。
（2018全国Ⅲ，理6)已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A.[2,6］B。
[4,8］C.[，3]D.［2，3]4。
已知实数a，b满足a2+b2—4a+3=0，函数f（x)=a sin x+b cos x+1的最大值记为φ（a,b)，则φ(a，b）的最小值是(）A.1B.2C.+1D.35。
已知两条直线l1：x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a= 。
6。
已知圆（x-a）2+(y—b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为。
7.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为。