高考备考指南理科数学试题第11章第2讲排列与组合

第十一章 第2讲
[A 级 基础达标]
1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
【答案】D
【解析】共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，
或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 2
4＝66种．
2．(2018年蚌埠模拟)下列等式中，错误的是( )
A ．(n ＋1)A m n ＝A m ＋
1
n ＋1
B ．n ！
n (n －1)＝(n －2)!
C ．C m
n ＝A m n n ！
D ．1n －m
A m ＋1
n ＝A m n 【答案】C 【解析】对于
A ，(n ＋1)A m n ＝(n ＋1)·n ！(n －m )！＝(n ＋1)！(n －m )！＝(n ＋1)！
[(n ＋1)－(m ＋1)]！
＝A m ＋1n ＋1，
A 正确；对于
B ，n ！
n (n －1)＝n ×(n －1)×(n －2)…3×2×1n (n －1)＝(n －2)！，B 正确；对于C ，C m
n ＝
A m n m ！≠A m n
n ！，所以C 错误；对于D ，
1
n －m A m ＋1n
＝1
n －m •n ！(n －m －1)！＝n ！
(n －m )！
＝A m n ，
D 正确．故选C ．
3．(2018年重庆模拟)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借阅四大名著(每种名著均有若干本)，已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为( )
A ．72
B ．60
C ．54
D ．48
【答案】B
【解析】根据题意，分2种情况讨论：①若剩下的4人中有人借阅《三国演义》，将4人全排列，对应借阅四大名著即可，此时有A 44＝24种借阅方法．②若剩下的4人中没有人
借阅《三国演义》，将4人分成三组，再将三组全排列，对应借阅剩下的三大名著，有C 24A 3
3
＝36种．故有24＋36＝60种不同的借阅方案．
4．(2018年烟台模拟)用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为________．
【答案】136
【解析】由题意，末尾是0或5.末尾是0时，没有重复数字且能被5整除的三位数有
A 29＝72个；末尾是5时，没有重复数字且被5整除的三位数有C 18C 18＝64个．所以用0到9
这10个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的三位数有72＋64＝136个．
5．高二全体师生今秋开学前在新校区体验周活动中有优异的表现，学校拟对高二年级进行表彰．
(1)若要表彰3个优秀班级，规定从6个文科班中选一个，从14个理科班中选两个，有多少种不同的选法？
(2)若5名学生代表和3位班主任老师排成一排合影留念，规定这3位老师不排两端，且老师顺序固定不变，那么不同的站法有多少种？
【解析】(1)从6个文科班中选一个有C 16种选法，从14个理科班中选两个有C 2
14种选法，共有C 16C 2
14＝546种不同的选法．
(2)先选2名学生排在两端，剩下的学生和老师全排有A 25A 6
6＝14 400种，因为老师的顺
序有A 33＝6种，故不同的站法有14 4006
＝2400种． [B 组 能力提升]
6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．48种
【答案】C
【解析】丙、丁不能相邻着舰，则将剩余3机先排列，再将丙、丁进行“插空”．由于甲、乙“捆绑”视作一整体，剩余3机实际排列方法共2×2＝4种．有三个“空”供丙、丁选择，即A 23＝6种．由分步乘法计数原理，共有4×6＝24种着舰方法．
7．设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )
A ．60
B ．90
C ．120
D ．130 【答案】D
【解析】因为x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少2个为0，至多4个为0.①x i(i＝1,2,3,4,5)中4个0,1个为－1或1，A有2C15＝10个元素；
②x i中3个0,2个为－1或1，A有C25×2×2＝40个元素；③x i中2个0,3个为－1或1，A 有C35×2×2×2＝80个元素．从而集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．8．(2018年张家界校级月考)某校一高三数学老师电话号码是13××××02420，同事急事找他，却忘了他电话号码后五位数字，但记得有2个0,2个2及1个4.若随意试打他的电话(前六位没错)，则拨错号码的次数最多为()
A．15次B．29次
C．30次D．60次
【答案】B
【解析】根据题意，电话号码的后五位由2个0,2个2及1个4组成，分3步分析电话号码最后五位的所有的情况数目：①在5个位置中任选2个安排2个0，有C25＝10种情况；
②在剩下的3个位置中任选2个安排2个2，有C23＝3种情况；③将4安排在最后的1个位置，有1种情况．由分步乘法计数原理知电话号码的最后五位有10×3×1＝30种情况，只有一种情况是正确的，则他拨错号码最多30－1＝29次．故选B．
9．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________．(用数字作答)
【答案】60
【解析】若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C12C13A33＝36(种)；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C12A22A23＝24(种)．故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60(种)．10．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？
【解析】①从集合B中取元素2时，确定C13A33(个)点；
②当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C13×1＝C13(个)；
③当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有C12A33(个)．
所以由分类加法计数原理，共确定C13A33＋C13＋C12A33＝33(个)不同点．。