初中数学华东师大版九年级上册教学课件 23.4中位线

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中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P 是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．求证∠1＝∠2．
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
E H D G F C
A
证明:连接DE、EF，因为
AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC（三角形的中位线平 行于第三边并且等于第三边的一 半）。 同理EF ∥AB。 所以四边形ADEF是平行四边形。
D B
F
E
因此AE、DF互相平分。（平行四 C边形的对角线互相平分）
定理应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开, M 在没有任何测量工具的情况下,小 明通过学习,估测出了A,B两地之 间的距离:先在AB外选一点C,然后 C N 步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN 的长,由此他就知道了A,B间的距 离.你能说出其中的道理吗? 其中的道理是: 连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
如图，l1 // l2 ， 线段 AB//CD//EF, 且 点 A 、 C 、 E 在 l1 上， B 、 D 、 F 在 l2 上，则 AB 、 CD、EF的长短相等吗？为什么？
E C A
l1
F
D
B
l2
夹在两平行线间的平行线段相等。
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2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
∟
∟
∟
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A E F D
B
M
N
C
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
A
概念对比
E D
A
D
中线DC
中位线DE
B C B C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点； 三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点 是三角形的顶点。
想一想
的中点,则DE与BC存在何种关系?
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问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
得CF=AD , CF//AB
A
又可得CF=BD,CF//BD
1 1 所以四边形BCFD是平行四边形
D
E
则有DE//BC,DE=
2
DF=
2
BC
F C
B
解题分析 3.
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∵AE=EC ∴四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴CF∥BD，CF=BD ∴四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 1 又DE= 2 DF
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
E C A
l1
它与点与点的距离、 点到直线的距离的 联系与区别
F
D
B
l2
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD 、EF都垂直与 l2 ，垂足分别为 B、D 、F，则 AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
①若∠ADE=65°，则∠B= 65 度，为什么？ ②若BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？ E ③ 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， 则△DEF的周长=______ 9cm
④ 若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____ 12 ⑤ 图中有_____ 3 个平行四边形 6 C ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
1 ∴DE∥BC且DE= 2 BC
B B A E D
A
E
C
D
F
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
E
D
B 途用
C
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE) 1 DE// BC 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
A
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 AB、AC的中点
答： 四边形EFGH为平行四边形。 证明：如图，连接AC ∵EF是△ABC的中位线 EF// 1 AC 2 1 同理得： GH// AC 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
B
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？ 要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
巩固练习
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
A
D B
DE和边BC关系
位置关系： DE∥BC
E
C
1 数量关系： DE= BC. 2
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如图：在△ABC中，D是AB的中点，E 是AC的中点. 1 则有： DE∥BC, DE= BC.
2
A E
D B
C
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解题分析2: 延长DE到F,使EF=DE , 连接CF 易证△ADE≌△CFE，
A
D B F E C
2.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选 一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点 的实际距离？根据是什么？ A
C
B
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课堂检测:
1.如图,在△ABC中, BC>AC,点D在BC边上, 且DC=AC, ∠ACB的平分线CF交AD于F ,点E 是AB的中点,连接EF,求证:EF是△ABD的中位 线.
D
B
F
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线 互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC. 求证：AE与DF互相平分.
23.4 三角形的中位线
新课导入
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
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