chap6-4双线性变换法

1 H a ( s) 1 2( sT / 2) 2( sT / 2)2 ( sT / 2)3
最后，将双线性变换关系代入就得到数字滤波器的系统函数
H ( z ) H a ( s)

2 1 z 1 s T 1 z 1
c tan 2
上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系，如图67所示。
由图6-7看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之 间的变换关系接近于线性关系；但当 Ω 进一步增加时， ω增长得 越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线
性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分
将双线性变换应用于模拟滤波器，有
H ( z ) H a ( s ) s 2 1 z
1
T 1 z 1
1 1 (2 / 0.828)[(1 z 1 ) /(1 z 1 )]
1 z 1 0.2920 1 0.4159z 1
1 z 1 由上题可知，T不参与设计，即双线性变换法中用 s , 1 1 z 1 2 1 z 2 设计得到的结 设计与用 s , tan tan 1 T 1 z T 2 2 果一致。
第二次变换： 数字化
图 6-6双线性变换的映射关系
• 双线性变换法的映射规则： （1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中 介的S1平面的一条横带里。
z （2）数字化：将S1平面通过标准变换关系 变换到z平面。
e
s1T
（1）频率压缩
• 把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一条横带 里。 2 宽度为 ，从 , 采用如下变换关系： T T T T t an( ) 2 1T tan 这样满足： 2 -π/T π/T ， , 0，1 0 1 T 1T 又 s j j tan 2
如果给出的是待设计的带通滤波器的模拟域转折频率（通、
阻带截止频率）f1、f2、f3、f4和采样频率(1/T)，则 首先，利用下式计算数字滤波器的转折频率（通、阻带截 止频率）ω１、ω2、ω3 和ω4。
2 fT
再利用式
c tan 2
对频率预畸变，得到预畸变后的模拟滤波器的转折频率Ω1、Ω２、 Ω3和Ω4。这样得到的模拟滤波器Ha(s)的转折频率Ω１、Ω2、Ω3和Ω4,
也是高通滤波器; 若为带通、带阻滤波器也是如此。 在IIR数字滤波器的设计中，当强调模仿滤波器的瞬态响应 时，采用冲激响应不变法较好; 而在其余情况下，大多采用双线 性变换法。
例 6-2 设计一个一阶数字低通滤波器，3 dB截止频率为ωc =0.25π，将双线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器。
1 H a ( s) 1 ( s / c )
（1） 如果给出的是待设计的带通滤波器的数字域转折频率
（通、 阻带截止频率）ω1、ω2、ω3、ω4及采样频率(1/T)，则直 接利用式
c tan 2
计算出相应的模拟滤波器的转折频率 Ω1、Ω2、Ω3和Ω4。这样得 到的模拟滤波器 Ha(s)的转折频率Ω1、Ω2、Ω3和Ω4，经双线性变 换后就映射到数字滤波器H(z)的原转折频率ω1、ω2、ω3和ω4。
冲激响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混叠失真。 这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。
j 3 / T jIm[z]
/ T o － / T －3 / T S 平面 Z平面

－1
o
1
Re[z]
冲激响应不变法的映射关系
6.4 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 一、 变换原理
这时S 平面与Z平面之间为单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。
二、变换常数c的选择
调节c，可使AF的频率特性与DF的频率特性在不同频率 点处有对应的关系。也就是可以调节频带间的对应关 系。 • （a）使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。在低 1 频处有 当1较小时有 1T 1T tan( ) 2 2 由于 1T 1T ＝c tan( )c 1 2 2 2 c T
z
cs ，得 cs
c j z c j
因此
2 c 2
| z |
c
2
2
由此看出，当σ<0时， |z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说， S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面
映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到 Z平面的单位圆
j
上述这些步骤比用脉冲响应不变法设计滤波器要简便得多。
需要特别强调的是，若模拟滤波器 Ha(s) 为低通滤波器，应 用
1 z 1 sc 1 z 1
变换得到的数字滤波器 H(z) 也是低通滤波器； 若
1 z 1 变换得到的数字滤波器H(z) sc 1 1 z
Ha(s)为高通滤波器，应用
但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而 得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的
问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到
非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次， 这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型 的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般 典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然
经双线性变换后映射到数字滤波器 H(z)的转折频率ω1、ω2、 ω3、
ω4，并且能保证数字域频率 ω1、ω2、ω3 、ω4与给定的模拟域转折 频率f1、f２、f３、f4成线性关系。
（2） 按Ω1、Ω2、Ω3和Ω4等指标设计模拟滤波器的系统函数 Ha(s)。
1 z 1 （3）将 s c 1 代入Ha(s)，得H(z)为 1 z
H a ( jΩ ) o o

c tan 2
Ω=ω/T


H (e j )
o
1 2
34


图 6-9 双线性变换时频率的预畸变
设计流程
• 1.根据要求，设定指标。 • 2.将各分段频率临界点预畸变。 • 3.将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤 波器的性能指标。 • 4.根据设计要求，选定双线性变换常数C。 • 5.设计中间模拟滤波器的系统函数Ha(s). 1 z 1 • 6.将 S C 代入Ha(s)中，得到DF 的 1 1 z H(z).
标准变换关系 z=es1T将此横带变换到整个 Z 平面上去。这样就使 S
平面与Z平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多值变换性， 也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图6-6所示。
j
j 1
jIm[z]
/ T －1 o 1 o Re[z]

o － / T
1
S平面
S1 平面
Z平面
第一次变换： 频率压缩
所需要的数字频率上。
由图6-7看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之 间的变换关系接近于线性关系；但当 Ω 进一步增加时， ω增长得 越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线
性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分
去的现象， 从而消除了频率混叠现象。
4 3 2 1
例6-3 用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波 器，采样频率为fs=4 kHz（即采样周期为T=250 μs），其3dB 截止频率为fc=1 kHz。 三阶模拟巴特沃思滤波器为
1 H a ( s) 1 2( s / c ) 2( s / c )2 ( s / c )3
解: 首先，确定数字域截止频率ωc=2πfcT=0.5π。 第二步，根据频率的非线性关系式，确定预畸变的模拟滤
波器的截止频率
2 c 2 0.5 c tan tan T 2 T 2
2 T
第三步，将Ωc代入三阶模拟巴特沃思滤波器Ha(s)，得
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频
率响应相似的一种变换方法。为了克服多值映射这一缺点，采用
非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 -π/T ～
π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1 平面的 -π/T ～ π/T 一条横带里；第二步再通过
上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波
器也一定是稳定的。
四、 优缺点
双线性变换法与冲激响应不变法相比，其主要的优点是避
免了频率响应的混叠现象。这是因为 S平面与Z平面是单值的一
一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于 Z平面单位圆一周， 即频率轴是单值变换关系。这个关系下式所示，重写如下：
去的现象， 从而消除了频率混叠现象。
＝ 2 tan 2 T

－
o


图6-7 双线性变换法的频率变换关系




H a ( j Ω)
o
o

o
arg[ H a ( j Ω)] o o
H (e j )
o

arg[ H (e j )]

图 6-8 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频
响应会有畸变，如图 6-8 所示。
对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性 为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了
畸变， 这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也
就是将临界模拟频率事先加以畸变， 然后经变换后正好映射到
解 数字低通滤波器的截止频率为ωc=0.25π，相应的巴特沃思 模拟滤波器的 3 dB截止频率是Ωc，就有