实验五：双线性变换法的设计IIR 数字滤波器

实验五、双线性变换法设计IIR 数字滤波器

一、实验目的：

1、熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理与方法。

2、掌握数字滤波器的计算机仿真方法。

3、熟悉Batterworth 滤波器设计方法及特点 二、实验原理

（一）、IIR 数字滤波器的设计步骤：

① 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标； ② 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；

③ 跟据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器；

④ 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。

在MATLAB 中，经典法设计IIR 数字滤波器主要采用以下步骤：

IIR 数字滤波器设计步骤

（二）、用模拟滤波器设计数字滤波器的方法 1、冲激响应不变法：

冲激响应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h (n ) 对应于模拟滤波器h (t ) 的等间隔抽样。 优点：时域逼近良好；保持线性关系。

缺点：频域响应混叠。只适用于限带低通滤波器和带通滤波器

2、双线性变换法

模拟滤波器原型 buttap,cheb1ap

频率变换 模拟离散化 bilinear,impin var

IIR 数字滤波器

/T

π/T π-3/T

π3/T

π-j ΩσjIm (z)

Re(z)1

S 平面Z 平面

1S ~S ππ

-

将整个平面压缩变换到平面一个的带状区域

优点：克服了频域混叠 缺点：高频时会引起畸变

1）冲激响应不变法impinvar

格式：[BZ,AZ]= impinvar （B,A,Fs ）

功能：把具有[B,A]模拟滤波器传递函数模型转换为采样频率为Fs 的数字滤波器的传递函数模型[BZ,AZ]，Fs 默认值为1。

例：一个4阶的Butterworth 模拟低通滤波器的系统函数如下：

1

2251

)(234++++=

s s s s s H a

试用冲激响应不变法求出Butterworth 模拟低通数字滤波器的系统函数。 num=1;

den=[1,sqrt(5),2,sqrt(2),1]; [num1,den1]=impinvar(num,den) 2）双线性变换法bilinear

格式一：[Zd,Pd,Kd]= bilinear(Z,P,K,Fs)

功能：把模拟滤波器的零极点模型转换成数字滤波器的零极点模型，Fs 是采样频率 格式二：[numd,dend]= bilinear(num,den,Fs)

功能：把模拟滤波器的传递函数模型转换为数字滤波器的传递函数模型。 例：一个三阶的模拟Butterworth 模拟低通滤波器的系统函数如下：

1

231

)(23+++=

s s s s H ，试用双线性变换法求出数字Butterworth 数字低通滤波器的系统函数。

num=1;

den=[1,sqrt(3),sqrt(2),1];

[num1,den1]=bilinear(num,den,1)

3） IIR 数字滤波器的频率变换实现 步骤：

① 按一定的规则将数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标

② 根据转换后的技术指标使用滤波器阶数函数，确定滤波器的最小阶数N 和截止频率Wc ③ 利用最小阶数N 产生模拟低通原型

④ 利用截止频率Wc 把模拟低通滤波器原型转换为模拟低通、高通、带通、带阻滤波器 ⑤ 利用冲激响应不变法或双线性变换法把模拟滤波器转换为数字滤波器 表一 IIR 滤波器阶次估计

表二 模拟低通滤波器原型设计

函数名 功能说明

buttap Butterworth 模拟低通滤波器原型设计 cleb1ap Chebyshe v Ⅰ模拟低通滤波器原型设计 cheb2ap Chebyshe v Ⅱ模拟低通滤波器原型设计

ellipap

椭圆模拟低通滤波器原型设计

表三 模拟滤波器变换函数

函数名 功能说明 lp2bp 模拟低通转换为带通 lp2bs 模拟低通转换为带阻 lp2hp 模拟低通转换为高通 lp2lp

改变模拟低通的截止频率

（三）、数字滤波器的设计 1． 数字滤波器的设计参数

滤波器的4个重要的通带、阻带参数为：

p f ：通带截止频率（Hz ） s f ：阻带起始频率（Hz ）

p R ：通带内波动（dB ），即通带内所允许的最大衰减；

s R ：阻带内最小衰减

设采样速率（即奈奎斯特速率）为N f ，将上述参数中的频率参数转化为归一化角频率参数：

p ω：通带截止角频率（rad/s ） ，)2//(N p p f f =ω；

s ω：阻带起始角频率（rad/s ） ，)2//(N s s f f =ω

通过以上参数就可以进行离散滤波器的设计。 2、巴特沃斯滤波器设计

1） 巴特沃斯滤波器阶数的选择：

在已知设计参数p ω，s ω，p R ，s R 之后，可利用“buttord ”命令可求出所需要的滤波器的阶数和3dB 截止频率，其格式为：

[n ，Wn]=buttord[Wp ，Ws ，Rp ，Rs]，其中Wp ，Ws ，Rp ，Rs 分别为通带截止频率、阻带起始频率、通带内波动、阻带内最小衰减。返回值n 为滤波器的最低阶数，Wn 为3dB 截止频率。

2） 巴特沃斯滤波器系数计算：

由巴特沃斯滤波器的阶数n 以及3dB 截止频率Wn 可以计算出对应传递函数H(z)的分 子分母系数，MATLAB 提供的命令如下： (a)巴特沃斯低通滤波器系数计算：

[b ，a]=butter(n,Wn)，其中b 为H(z)的分子多项式系数，a 为H(z)的分母多项式系数