双线性变换法
计算双线性变换的简便算法
计算双线性变换的简便算法
双线性变换是一种简单而有效的图像缩放技术，它在许多领域中都得到了应用，已被广泛用于图像处理，模拟技术，多媒体等。
它的基本原理就是，在将一幅图像的尺寸缩放时，维持图像中每一个像素点的相对位置不变，以保持图像整体的结构稳定。
双线性变换是采用四点插值方法来进行双线性插值，原图像上的所有像素点都
会被拆分成四个小一点，称为方块点（标杆点），每个标杆点背后的灰度值就是要插值的结果。
在做双线性变换插值时，将被放大的图像上的每一点像素都向它背后的四个标杆点中选取四个像素值，然后用它们的灰度值的加权平均值（居中插值）来得到新像素的颜色值。
由于此算法比较简便，效率也比较高，它比双三次插值计算速度更快，为了满
足多媒体应用的要求，双线性变换算法主要应用在视频处理，它可以精确缩放图像，从而更好地节省计算资源，帮助提高多媒体应用的性能和用户体验。
双线性变换算法是一种高效而可靠的图像处理和数据建模技术，可实现图像的
精准缩放处理，节省空间和计算资源，优化用户体验。
这种技术作为一种图像处理算法，目前已经得到广泛的应用，能有效满足移动互联网的多媒体要求，进一步拓展活跃用户流量，增强用户留存和提升营销成效。
双线性变换法的原理
双线性变换法的原理
双线性变换法是一种通过将问题转化成一对线性方程组求解的方法，常用于解决二元二次方程或二元二次函数的问题。
其原理可以归纳如下：
1. 假设我们要解决一个二元二次方程或二元二次函数的问题，形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0（或f(x, y) = 0）。
2. 首先，对于该方程的每一项，我们引入一个新的变量u和v，并将该项表示为一个新的线性方程。
例如，对于ax²，我们将
其表示为au²。
3. 在引入新的变量后，我们得到了一组新的线性方程，形式为Aui + Bvi + Ci + Di + Ei + F = 0，其中i表示第i个线性方程。
4. 接下来，我们要构造一组满足上述线性方程的两个二次式，即f(u, v) = 0。
这里，我们选择f(u, v) = Au² + Buv + Cv² + Du
+ Ev + F。
5. 由于方程组中的每一个线性方程都对应一个二次式，我们可以得到关于u和v的二元二次方程。
我们需要求解这个二元二次方程，从而得到u和v的值。
6. 一旦找到了u和v的值，我们可以将其代入到原方程中，得到x和y的值，从而解决了原始的二元二次方程或二元二次函数问题。
双线性变换法的核心思想是通过引入新的变量，将一个二次式转化为一组线性方程，从而将原问题转化为一对线性方程组，利用线性方程组的解法来求解原问题。
这种方法的优势在于可以利用线性方程组求解的方法解决二次方程或二次函数的问题，而线性方程组求解的方法已经非常成熟和广泛应用。
用双线性变换法设计滤波器
用双线性变换法设计滤波器双线性变换法（bilinear transformation）是一种在频率域中设计数字滤波器的方法。
它将连续时间域的滤波器设计问题转换为离散时间域中的滤波器设计问题，通过对非线性的差分方程进行线性变换，从而得到数字滤波器的解。
这种方法的基本思想是利用双线性变换将连续时间域的滤波器转换为离散时间域的滤波器。
为了理解双线性变换法的原理和过程，我们需要从一些基本概念开始。
1. 连续时间域滤波器设计：连续时间域的滤波器常用传递函数或者差分方程进行描述。
传递函数形式是s域（Laplace变换域）的函数，差分方程形式是z域（Z变换域）的函数。
2.离散时间域滤波器设计：离散时间域的滤波器常用差分方程进行描述，形式是z域（Z变换域）的函数。
在滤波器设计中，我们希望将连续时间域的滤波器转换为离散时间域的滤波器，以在实际中应用。
双线性变换法就是一种实现这一转换的方法。
具体来说，双线性变换法通过将s域中的传递函数或者差分方程进行线性变换，得到z域中对应的离散时间域的传递函数或者差分方程。
这一变换可以通过以下步骤实现：1.预变换：将连续时间域的传递函数或者差分方程转换为z域的表达式。
在预变换中，我们通常将s域中的传递函数或者差分方程进行预处理，以适应z域中变换的需求。
2.双线性变换：将预处理后的s域表达式进行双线性变换，得到z域中的离散时间域传递函数或者差分方程。
在双线性变换中，我们通过将s域中的变量s替换为z域的变量z来实现。
这样一来，我们就得到了离散时间域的滤波器表达式。
3.后处理：对双线性变换得到的离散时间域表达式进行后处理，以满足具体的滤波器设计需求。
后处理可能包括对滤波器进行归一化、进行频率响应调整等操作。
通过以上步骤，我们可以将连续时间域的滤波器设计转换为离散时间域的滤波器设计，从而实现在实际中应用滤波器的目的。
需要注意的是，双线性变换法虽然是一种常用的滤波器设计方法，但也存在一些限制和问题。
双线性变换法
双线性变换法双线性变换法(bilinear transofrmation method)是一种通过变换以分析和解决非线性系统的复杂方法。
它最初由Collins，Mitroff和Zinnes提出，其主要特点是将非线性系统转化为线性系统来进行分析。
它把一个非线性系统映射到一个线性系统可以使一些复杂的非线性图像变成简单的线性图像，从而形成简单的表达式来解决复杂的问题。
一、双线性变换法定义双线性变换法是指通过线性常数和相关系数，将一维和多维数据变换为更简单的线性形式，以模拟复杂的非线性系统的运算的一种变换方法。
二、双线性变换法的应用（1）控制论领域。
双线性变换可以将复杂的非线性系统转变为简单的线性系统，使得这些复杂的系统容易控制。
（2）视觉领域。
双线性变换可以解决计算机视觉中的误差传播问题，将非线性的图像识别问题转变为简单的线性问题来处理；另外，在图像处理领域用双线性变换可以实现图像的变换，从而实现复杂的图像变换；（3）机器学习领域。
双线性变换可以将非线性的机器学习问题变换为线性的问题，让算法可以更加简单有效地解决复杂的机器学习问题。
三、双线性变换法的局限性（1）双线性变换法还有一些困难。
例如，当非线性系统出现很多两个变量或多个变量间有联系时，双线性变换也会受到很大影响。
（2）双线性变换法也会遇到数值不稳定的问题，在遇到非线性系统的情况下，很多变量的变化对结果的影响会变得很大，因此会产生数值不稳定的现象。
（3）双线性变换只是一种模拟，它并不能完全模拟出非线性系统的真实行为，因此很多时候双线性变换的结果可能不太准确。
双线性变换法是一种实用性很强的方法，它可以帮助我们更准确地分析和解决非线性系统问题，它也应用于控制论、视觉和机器学习等领域，但由于它有一些限制，如数值不稳定性和无法完全模拟非线性系统，因此我们需要更加谨慎地运用双线性变换法来真正发挥它的优势。
双线性变换法
脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z ＝e sT的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。
由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。
图双线性变换的映射关系平面jΩ轴上的-一段上，可通过以下的正切变换实为了将s平面的jΩ轴压缩到s1现：这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。
经过这样的频率变换，当Ω由时1Ω由即映射了整个jΩ轴。
将这一关系解析延拓至整个s平面，则得到s平面平面的映射关系：平面通过标准变换关系映射到z平面，即令通常取C=2/T再将s1最后得S平面与Z平面的单值映射关系：现在我们再来看一看常数C的取值方法：双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应终止于折迭频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。
上面讲到，用不同的方法确定待定常数C，可以使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同频率点有对应关系。
也就是说，常数C可以调节频带间的对应关系。
确定C的常用方法有两种：①保证模拟滤波器的低频特性逼近数字滤波器的低频特性。
此时两者在低频处有确切的对应关系，即因为Ω和ω都比较小，所以有另外，根据归一化数字频率ω与模拟频率Ω的关系，，所以有Ω=cΩT/2，所以，c=2/T②保证数字滤波器的某一特定频率，如截止频率，与模拟滤波器的某一待定频率Ω严格对应，即c当截止频率较低时，有所以一般取。
，现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始所提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：①当时，代入①即S的虚轴映射到Z平面正好是单位圆。
双线性变换法
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失 真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 （多对一）的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向，将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于，的这再混种将叠映压 失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系：
Ω
ω
∞
π
0
0
-∞
-π
12
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
7
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率
（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应，即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定 的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2
双线性变换法公式
双线性变换法（Bilinear Interpolation）是在图像处理中常用的一种插值方法。
公式如下：
f(x,y) = (1-x)(1-y)f(0,0) + (1-x)yf(0,1) + x(1-y)f(1,0) + xyf(1,1)
其中x,y 为目标像素坐标在原图像坐标系中的坐标值，f(0,0),f(0,1),f(1,0),f(1,1) 分别表示目标像素周围4 个像素点的灰度值。
双线性变换法是一种通过线性变换来求解目标像素点灰度值的方法。
它通过对图像进行缩放或旋转时，对于输出图像中缺失的像素点进行插值，来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
双线性变换法是一种非常高效的插值方法，其计算量与像素点数量无关。
另外，它还具有较高的精度和较低的计算复杂度。
它在图像处理、图像识别、图像分析、图像压缩等领域有着广泛的应用。
双线性变换法是一种双线性插值法，它基于线性插值法，通过对目标像素周围4个像素点的灰度值进行线性变换来求出目标像素点的灰度值。
其优点是插值效果好，像素质量高，图像变形较小。
双线性变换法在图像缩放、旋转、矫正等操作中都有着广泛的应用。
它在图像处理中常用来解决图像变形导致的像素点缺失问题。
此外还可以用于从低分辨率的图像中重建高
分辨率图像，并且在视频处理中也有着广泛的应用。
数字信号处理04-课件 第四节：双线性变换法 2_62
-90 0.90 0.93 0.94 0.95
解： (1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2 。
ωp
=
2 T
tan( Ωp 2
)
=
0.3249,
ωs
=
2 T
tan( Ωs 2
)
= 1.3764,
Ap≤2dB, As≥15dB
ωi
=
2 T
tan( Ωi 2
)
(2) 设计BW型模拟低通滤波器
N
≥
lg
(110000..11AAps
−1) −1
Ωp1=0.90π rad, Ωp2=0.95π rad, Ap≤1dB, Ωs1=0.93π rad, Ωs2=0.94π rad, As≥10dB
解： (2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标
B = ωs2 − ωs1 = 2 ω0 = ωs1ωs2 = 9.9499
ωp
=
max{ Bωp1
H BS (s) = H L (s ) s = Bs
=
s 4 + 198s 2 + 9801
s 4 + 4.899s3 + 210s 2 + 485s + 9801
s2 +ω02
脉冲响应不变法不能设计数字带阻滤波器，故采用双线性变换法。
(5) 由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器
H (z)
=
H (s)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s=
2 T
1− 1+
z z
−1 −1
= 0.9522 + 3.7327z −1 + 5.5624z −2 + 3.7327z −3 + 0.9522z −4 1 + 3.8241z −1 + 5.5601z −2 + 3.6412z −3 + 0.9067z −4
双线性变换法
—计算机控制系统—
显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图 3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。
图3-6 后向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
—计算机控制系统—
图3-7 梯形规则数值积分
—计算机控制系统—
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得
D(z) C(z) 1 R(z) 2 z 1 T z 1
T
—计算机控制系统—
(3-8) (3-9) (3-10)
—计算机控制系统—
代入式（3-9）得
C(k) C(k 1) Tr(k)
对上式进行z变换，经整理为
D(z) C(z) Tz R(z) z 1
(3-11)
比较式（3-11）与式（3-8），得s和z的置换公式为
s z 1 Tz
(3-12)
推广而言，后向差分的离散化公式为
D(z)
D(s)
|s
z
1
Tz
因为
s z 1
Tz
则
z 1 1 1 Ts
2 2 1 Ts
当 s j 时，可得
z1 1 22
—计算机控制系统—
(3-13)
四、双线性变换法（Tustin变换法）
1、离散化公式
图3-7中曲线r(t)以下的积分面积
所以，采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。
—计算机控制系统—
前向差分法的特点总结如下：
1、直接代换，具有串联性，变换 方便；
2、整个s左半平面映射到z平面z=1 以左的区域，故D(s)与D(z)不具有 相同的稳定性；
3 、 因 为 D(s)|s=0=D(z)|z=1 ， 故 稳 态 增益维持不变；
双线性变换法
z1 e(0.1 j0.995)T 0.493 j0.759
z2 e(0.1 j0.995)T 0.493 j0.759
根据公式（3-20），得
D(z)
k(z 1)2
z2 0.985z 0.819
—计算机控制系统—
由 D(s) s0 D(z) z1 可得
处
的d幅
值2 arDc(tazn)等T
T
2
于
图3-9 双线性变换的频率畸变
—计算机控制系统—
由图3-9可见，双线性变换将s域0~∞频段均压缩到z域的有限区间0~π ， 在系统校正装置的设计过程中，当D(z)用取代D(s)时，如果要保证在某 个特征频率ω 1处离散后，D( j1 D(e j1T ) ，则必需进行频率预修正。进 行预修正的步骤如下：
4、当采样周期T较小时，等效精 度较好。
三、后向差分法
设模拟控制器传递函数为
图3-5 前向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
D(s) C(s) 1 R(s) s
转换成微分方程
dc(t) r(t) dt
以一阶后向差分近似微分，得
dc(t) C(kT) c(k 1)T
dt
—计算机控制系统—
显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图 3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。
图3-6 后向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
—计算机控制系统—
图3-7 梯形规则数值积分
—计算机控制系统—
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得
D(z) C(z) 1 R(z) 2 z 1 T z 1
第—三计算章机控1-制--系-3统—
双线性变换法公式
双线性变换法公式
B(u,v) = ∑(i=1 to n) ∑(j=1 to m) a(i,j)u(i)v(j)
其中B(u,v)是变换的结果，u和v分别是V和W中的向量，n和m分别是V和W的维数，a(i,j)是双线性变换的系数。
下面以一个具体的例子来说明双线性变换法的应用。
假设我们有两个向量空间V和W，分别由基向量{e1,e2}和{f1,f2}生成。
双线性变换B：VxW---->U定义如下：
B(e1,f1)=a11,B(e1,f2)=a12
B(e2,f1)=a21,B(e2,f2)=a22
我们希望计算B(u,v)的值，其中u=δ1e1+δ2e2，v=ε1f1+ε2f2
根据双线性变换的公式，我们有：
B(u,v)=B(δ1e1+δ2e2,ε1f1+ε2f2)
=δ1ε1B(e1,f1)+δ1ε2B(e1,f2)+δ2ε1B(e2,f1)+δ2ε2B(e2,f2) =δ1ε1a11+δ1ε2a12+δ2ε1a21+δ2ε2a22
通过这个公式，我们可以计算出B(u,v)的值，其中a11，a12，a21，a22是双线性变换的系数。
这就是双线性变换法的基本思想。
总之，双线性变换法是代数数学中一种重要的解题方法，通过使用双线性变换的公式和性质，可以把复杂的问题转化为简单的计算过程，从而求解出问题的答案。
在实际应用中，双线性变换法具有广泛的应用领域，并且被广泛地运用到各种数学问题的求解中。
6.3-双线性变换法
设计思想 设计方法 频率预畸变
典型例题1一Fra bibliotek设计思想1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域 的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响 应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来 设计高通和带阻滤波器。
原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系
，
二、“双线性变换法”设计方法
① 通过正切变换： 将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的 ② 通过Z变换： 内。
将Ω 1映射到Z平面的单位圆上。
③ 将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面 的映射关系：
4
④ 将S1平面按 z
e
s1T
映射到Z平面得到：
2 1 z s T 1 z 1
1
或
2 s z T 2 s T
5
三、双线性变换的频率对应关系 双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了 模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即： 可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关 系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这
2 tg ( ) T 2
频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原 型Ha(s) 确定 函数： ；最后求得数字系统
7
脉冲响应不变法的映射过程图示
2
2、双线性变换法的改进： 为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面 的映射。
， ； ① 将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域 T T ② 通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。
双线性变换的映射过程图示
3
3、双线性变换法的基本思路： 从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。
数字信号处理-双线性变换法
(2)2 cosh1(s/c) 5.5338 0.50885
1
1 =
cosh1
1 101.51
cosh1(tan0.15 /tan.2)
=
3.016 = cosh1(1.0196/0.65) 1.0207
cosh1
3.0783
取 N=4，与脉冲不变法相同。
= 1 + 1+ 2 =1.9652+2.205=4.1702
这样模拟滤波器的设计指标为
通带截止频率p =0.65，通带最大衰减p ≤1dB； 阻带边缘频率s =1.019，阻带最小衰减பைடு நூலகம்s ≥15dB； 1 ）求 N 、 c 10lg|H (jp)|2 ≥ 1 ， lg|H (jp)|2 ≥ 0.1，
|H (j 2 tan(0.1))|2 ≥ 10-0.1 ； 10lg|H (js)|2 ≥ 15 ， |H (j 2 tan(0.15))|2 ≥10-1.5。 lg|H (js)| 2 ≥ 1.5，
j j/2 j/2) (e e 2 2 j2 = 1 =j tan 2 T T j /2 j /2 +e ) 2 (e
2 + j = j tan 2 T
比较(6.4-8)等式两边，得到
(6.4-8)
=0
2 = tan 2 T
(6.4-9)
由(6.4-8)看到双线性变换法的映射关系使s平面的虚轴 映射为z平面的单位圆。 而(6.4-9)式频率正切变换关系 实现了频率压缩，使模拟域从~的变化，压缩为 数字域频率 从 ~ 变化。
函数H(z)。
与脉冲不变法一样，设计过程中除了的第一步求数字临 界频率{k}时，要用到取样间隔T或取样频率 fs 以外， 最后的结果与其它各步骤中T 或 f s的取值无关。所以为
双线性变换法
二、性能分析4
• 6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后， 仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段 边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变， 可通过频率预畸变加以校正。
例1
• 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后 得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原 有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通 过双线性变换成为数字微分器。
双线性变换法
• 冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器 在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生 频率响应的混叠失真。这是由于从S平面->Z平 面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一 缺点，我们采用双线性变换法
2
一、变换原理 1、定义
• 双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响 应与AF的频率响应相似的一种变换法。
（3）变换常数C的选择1
• 调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关 系。 • （a）使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。
T 1T 1T 1T T tan( ) 2 2 2 2 1T 由 C tan( )C 2 2 2 C T
• 看出在低频处，AF的低频特性近似等于DF的低 频特性。
（3）变换常数C的选择2
（b)利用DF 的某一特定频率（例截止频率 c ) 与AF的某一特定频率 c 严格相对应。 cT 即： c C tan( ) 2 cT 2f c c c ctg ( ) c ctg 2 2 fs f c c cot( ) fs 看出：此方法优点：是在特定AF和特定DF 处， 频率响应是严格相等的， 它可以较准确地控制截止频率的位置。
) |在低频处
ze
s1T
（1）频率压缩
IIR双线性变换法
Ak(eskTz1)n
n
n0 k1
N
Ak
k1 n0
(eskTz1)n kN11eAskkTz1
回顾
为使滤波器增益不随T 变化，令：
h(n)Tha(nT)
则有:
H(z)
N TAk k11eskTz1
此时:
H (e j ) k H a jT j2 T k H a jT H a j
H a (s ) B A ( (s s ) ) B A ( ( 1 1 ) )s s N N B A ( (2 2 ) )s s N N 1 1 ...... B A ( (N N ) )s s B A ( (N N 1 1 ) )
④[B,A]=butter(N,Wc,’ftype’)
数字滤波器
H (z ) B A ( (z z ) ) B A ( ( 1 1 ) ) B A ( ( 2 2 ) )z z 1 1 . .. .. . B A ( (N N ) )z z ( (N N 1 1 ) ) B A ( (N N 1 1 ) )z z N N
回顾
例 2 —— P182 【例6.3.2】
【例 6.3.2】设计一个数字低通滤波器， 指标如下：
p 0.2 p 1dB 与的关系
s 0.35 s 10dB
= T
【解】
首先将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标，即：
p
p
T
0.2 rad/s
T
s
s
T
0.35 rad/s
T
Rp 1dB Rs 10dB
回顾
（1）设计模拟低通滤波器
已知：Ap 、As 、Ωs、Ωp 要求：确定滤波器阶次N和截止频率Ωc。
双线性变换法公式
双线性变换法公式
z=x*B*y^T
其中，^T表示矩阵的转置运算符。
x和y是输入向量，z是输出向量。
*表示矩阵的乘法运算符。
1.将输入向量x和y表示为列矩阵形式：
x = [x1, x2, ..., xn]^T
y = [y1, y2, ..., ym]^T
2.将输出向量z表示为列矩阵形式：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
3. 对于输出向量z的每一个元素zi，都可以通过如下的内积运算来
进行计算：
zi = x^T * Bi * y
其中，Bi是B的第i行。
4. 将所有的zi组合起来形成输出向量z：
z = [z1, z2, ..., zk]^T
双线性变换法的优点是可以灵活地定义不同的变换。
通过选择不同的
双线性变换矩阵B，可以实现各种不同的变换操作，如旋转、缩放、平移等。
这使得双线性变换法在图形学中被广泛应用，可以用来实现图像的几
何变换、纹理映射、颜色合成等功能。
然而，双线性变换法也存在一些限制。
由于双线性变换法只能处理线性变换，无法处理非线性变换。
此外，双线性变换矩阵B的大小会直接影响计算的复杂性，特别是在高维空间中，矩阵的大小可能会非常庞大，导致计算量很大。
因此，在实际应用中，需要根据具体的情况来选择合适的变换方法。
总之，双线性变换法是一种通过对输入空间和输出空间中的向量进行适当的线性变换来实现其中一种特定的变换的方法。
通过选择不同的双线性变换矩阵，可以实现各种不同的变换操作，具有广泛的应用前景。
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第一步，将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟
滤波器的频率指标{wk} wk 2tan(Wk )
T2 第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s) 第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
2、双线性变换法的设计方法
w 2 tan(W)
T2
设计模拟
双线性变换
Wp,Ws
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
H(z) H(s) s21z1 T 1z1
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满
足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与
脉冲响应不变法设计的DF比较。
解：设双线性变换中的参数为T
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
w p , w s Ap=0.3945dB As= 15.0000dB
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
[,]
[πT/,πT/]
w' p/T
w
p/T
Ww'T
W
模拟频率与数字 频率的关系为：
w 2 tan(W)
T2
W2arctan(wT)
2
1、双线性变换法的基本原理
s域到z域的映射关系
w
2
W
tan( )
T2
jw
j2 T
tanW( )
2
j2 T
sinW( )
2
cosW( )
jW
jW
2 T
e2
jW
e 2
解：
(3) 用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器
H(z)
H(s)
s 2 T
1z1 1z1
s2
0.3423 0.8275s0.3423sT211zz11
0.1587 0.3155 z10.1587 z2
10.6026 z10.2337 z2
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
双线性变换法
主要内容
一、双线性变换法的基本原理 二、双线性变换法的设计方法
重点与难点
重点 1、双线性变换法的基本原理 2、双线性变换法的设计方法
难点 1、双线性变换法的基本原理
问题的提出
频率
Wp,Ws 变换
设计模拟
AF到DF
wp,ws 滤波器 H(s)
H(z)
的转换
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
3dB
Amplitude
0.7
脉冲响应不变法
脉冲响应不变法
存在频谱混叠，所设计的
DF不满足给定指标。
双线性变换法
双线性变换法不存在频
谱混叠，所设计的DF满足
给定指标。
0
0
1/3
1
Normalized frequency
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计
满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
✓ 结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。
为简单起见，一般取T=2
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计
满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
解： 双线性变换法设计的DF的系统函数为：
H双(z)0.13 660.206.9376z6z11
满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
解：(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器
H(s)
1 sT 1
2tan(Wp /2)
s
2 T
1 1
z1 z1
H (z)
taW np/(2)1 (z1)
0.3660.36z61
1taW np/(2)(taWp n/2()1)z1 10.269z71
1、双线性变换法的基本原理
稳定性分析
(2/T)2 w2 z (2/T)2 w2
1) <0, |z|<1 S域左半平面映射到z域单位圆内 2) 0, |z|=1 S域虚轴映射到z域单位圆上
3) >0, |z|>1 S域右半平面映射到z域单位圆外
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
1、双线性变换法的基本原理
%determine the DF filter [numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs) %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); plot(w/pi,20*log10(abs(h))); axis([0 1 -50 0]);grid; xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws];h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为：
1eWp H脉(z)1eWp z1
1 eπ/3 1 eπ/3 z 1
令z=ejW ，可分别获得两者的幅度响应。
例1: 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设
计满足指标Wp=p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波
器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
1
jW
2
2 T
1 1
e jW e jW
e 2 e 2
jw
2 T
1ejW 1ejW
s jw z ejW
2 1 z1 s
T 1 z1
z 2/T s 2/T s
双线性变换
1、双线性变换法的基本原理
稳定性分析
2 1 z1 s T 1 z1
z2Ts 2 T s
令s= +jw，则有：
z
(2/T)2 w2 (2/T)2 w2
并与脉冲响应不变法设计的DF比较。
H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现
Wp=pi/3; b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[1 1]; a=[1 -exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1]; w=linspace(0,pi,512); h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w); plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)) ); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Amplitude'); set(gca,'ytick',[0 0.7 1]); set(gca,'xtick',[0 Wp/pi 1]); grid;
数字频率W 变换到模拟频率w
w 2 tan(Ω)
T2
w
2 T
tan(W/
2)
ws
wp
W
Wp
Ws p
1、双线性变换法的基本原理
双线性变换法的优缺点
➢ 优点：无混叠 ➢ 缺点：幅度响应不是 常数时会产生幅度失真
w
w
2 T
tan(W/
2)
ws
H ( jw)
wp
H(e jW )
W
p
W
Wp
Ws
2、双线性变换法的设计方法
(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标
wpmaxwB {p2w1 pw 102,
Bwp2 }0.3714 wp22w02
3-dB cutoff frequency [N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s') %determine the AF-BW filter [numa,dena]=butter(N,wc,'s')
例2：利用BW模拟滤波器及双线性变换法设计一低通
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
DF，满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance
%DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T; %determine the order of AF filter and the
例4：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器
Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。
解: 模拟带阻指标
wp1=6rad, wp2=13rad, ws1=9rad, ws2=1rad1,Ap1dB, As 10dB