用双线性变换法设计IIR
数字信号处理实验三 ——用双线性变换法设计IIR数字滤波器
1 T j T
z
2
1 T
j
2 T
1
2
2
1 j T
z
2 1
1 j T
2
1 T j T
z
2
1 T
j
2 T
1
2
2
j
j Im[z]
-1
1 Re[z]
0
0
s平面
z平面
（2）整个左半平面映射成单 位圆的内部，因此这是一个 稳定的变换。 （3）虚轴以一一对应的方式 映射成单位圆，因此在频域 中不会出现混叠。
实验原理及方法
由于幅度为1，把ω 看做Ω 的函数求解，得到：
1 j T
0 z
2 e j
1 j T
2
2 tan1
T 2
2 T
tan
2
这说明Ω和ω的关系是非线性的，但是没出现混叠。在把Ω变换为
ω时产生了非线性畸变。为了克服它带来的问题，通常要使Ω按上式预
把给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的 性能指标
根据转换后的性能指标，通过滤波器阶数选择函数， 来确定滤波器的最小阶数N和固有频率Wn
由最小阶数N得到低通滤波器原型 由固有频率Wn把模拟低通滤波器原型转换为低通、高
双线性变换法设计IIR数字滤波器通信专业
双线性变换法设计IIR 数字滤波器一、 实验目的1) 熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理和方法。
2) 掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法。
3) 观察对心电 图信号的实际滤波作用，获得数字滤波的感性认识。
二、 实验原理在滤波器的设计过程中，逼近是一个重要的环节，所谓逼近就是根据性能指标的要求，对理想特性进行逼近，以求得一个因果、稳定且可实现的传递函数。
目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟，它不仅具有简单而严格的设计公式，而且设计参数已经表格化了。
借助模拟滤波器的逼近方法，用模拟域到数字域的某种变换,完成数字滤波器的逼进,这是一类简单而行之有效的方法。
双线性变换法采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T~/T 之间，再用z=e 转换Z 平面上。
也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S1平面的-/T~/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=e 将此横带变换到整个Z 平面上去。
这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，影射关系如图7-1所示。
图 7-1 双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切实现) 2tan(21T T Ω=Ω （7-1）式中T 仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T 经过0变化到-π/T 时，Ω由-∞+∞-变化到经过0,也即映射了整个j Ω轴。
将式（7-1）写成Tj T j T j T j eee e T j 11112/2/2Ω-ΩΩ-Ω+-=Ω (7-2)将此关系到解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s1，则得T s Ts ee T Ts Teee e T s T s T s T s T s 111111112)2tanh(2212/2/2/2/--+-⋅==+-⋅=-- (7-3) 再将s1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面： Ts e1z =(7-4)从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为11112--+-⋅=z z T s (7-5) sTsT s T s T z -+=-+=222121 (7-6)式（7-5）与式（7-6）是s 平面与z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双母性变换。
实验十二 用双线性变换法设计IIR数字滤波器
用双线性变换法设计IIR数字滤波器[实验目的]熟悉模拟巴特沃茨滤波器设计和用双线性变换法设计IIR数字滤波器的方法。
[实验原理]利用双线性变换设计IIR数字滤波器，首先要设计出满足指标要求的模拟滤波器的传递函数Ha(S),然后由Ha(S)通过双线性可得所要设计的IIR数字滤波器的系统函数H(Z)。
[实验内容及要求]用双线性变换法设计IIR滤波器是IIR滤波器设计的经典方法，首先根据模拟滤波器的指标设计出来相应的模拟滤波器，然后将设计好的模拟滤波器转换为满足给定技术指标的数字滤波器。
在MATLAB的数字信号处理工具箱中提供了相应的设计函数，常用的有：1、butterworth数字和模拟2、零极点增益模型到传递函数模型的转换函数3、低通到低通模拟滤波器的转换函数4、双线性变换函数5、Butterworth数字和模拟滤波器设计函数6、计算butterworth低通原型模拟滤波器的极点和增益函数7、计算离散时间系统的频率响应函数用双线性变换法设计BUTTERWORTH低通IIR数字滤波器，要求使用buttord，butter，biliner。
滤波器技术指标：取样频率1HZ，通带内临界频率0.2HZ，通带内衰减小于1db，阻带临界频率0.3HZ，阻带内衰减大于25DB。
解：wp=0.2*2*pi;ws=0.3*2*pi;rp=1;rs=25;fs=1;ts=1/fs;wp2=2*fs*tan(wp/2*ts);ws2=2*fs*tan(ws/2*ts);[n,wn]=buttord(wp2,ws2,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n)[bap,aap]=zp2tf(z,p,k)[b,a]=lp2lp(bap,aap,wn)[bz,az]=bilinear(b,a,fs);[h,w]=freqz(bz,az);subplot(2,1,1);plot(w/pi,abs(h));grid onxlabel('频率');ylabel('幅度');subplot(2,1,2);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));grid onxlabel('频率');ylabel('幅度');n = 6wn = 1.7043z =[]p =-0.2588 + 0.9659i-0.2588 - 0.9659i-0.7071 + 0.7071i-0.7071 - 0.7071i-0.9659 + 0.2588i-0.9659 - 0.2588ik =1bap =0 0 0 0 0 0 1 aap =1.0000 3.8637 7.4641 9.1416 7.4641 3.8637 1.0000 b =24.5076a =1.0000 6.5850 21.6809 45.2558 62.976555.5591 24.5076频率幅度频率幅度。
实验用双线性变换法设计IIR数字滤波器
实验三：用双线性变换法设计IIR 数字滤波器（设计性 4学时）一.实验目的：(1）熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理与方法。
(2）掌握数字滤波器的计算机仿真方法。
(3）通过观察对实际心电图信号的滤波作用，获得数字滤波的感性知识。
二.实验内容及步骤:(1) 用双线性变换法设计一个巴特沃斯低通IIR 数字滤波器，设计指标参数为：在通带内频率低于0.2pi 时,最大衰减小于1dB;在阻带内[0.3pi , pi] 频率区间上，,最小衰减大于15dB ；(2) 以 0.02pi 为采样间隔，打印出数字滤波器在频率区间[ 0, 0.5pi]上的幅频响应特性曲线；(3) 用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列(在本实验后面给出)进行仿真滤波处理，并分别打印出滤波前后的心电图波形图，观察总结滤波作用与效果。
（4）采用不同阶数的Butterworth 低通滤波器，比较滤波效果。
三.实验步骤：（1）复习有关巴特沃斯模拟滤波器设计和用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的内容，按照教材例6.4.2，用双线性变换法设计数字滤波器系统函数H （z ）。
方法一：教材例6.4.2种已求出满足本实验要求的数字滤波器系统函数：方法二：根据设计指标，调用MATLAB 信号处理工具箱函数buttord 和butter ，也可得到H （z ）。
（2）编写滤波器仿真程序，计算H(z)对心电图信号采样序列x(n)的相应序列y(n)。
（3）在通过计算机上运行仿真滤波程序，并调用通用绘图子程序，完成实验内容（2）和（3）。
本实验要用的MATLAB 绘图函数参阅教材。
四.,思考题:用双线性变换法设计数字滤波器过程中,变换公式： s=11z1z 1T 2--+-中T 的取值,对设计结果有无影响? 为什么? 五.实验报告要求（1）简述实验目的及原理；（2）由所打印的特性曲线及设计过程简述双线性变换法的特点；（3）对比滤波前后的心电图信号波形,说明数字滤波器的滤波过程与滤波作用；(4) 简要回答思考题.六:心电图信号采样序列 x(n)：人体心电图信号在测量过程中往往受到工业高频干扰，所以必须经过低通滤波处理后，才能作为判断心脏功能的有用信息。
数字信号处理课程设计用双线性变换法设计IIR滤波器
目录一、摘要 (3)二、设计思想 (3)2.1 IIR数字滤波器设计思路 (3)2.2设计IIR数字滤波器的两种方法 (4)2.3双线性变换法的基本原理 (5)2.4用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤 (6)三、程序源代码和运行结果 (6)3.1低通滤波器 (6)3.2高通滤波器 (9)3.3带通滤波器 (12)3.4带阻滤波器 (14)四、网络结构图 (17)五、心得体会 (19)参考文献 (19)一、摘要数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。
数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。
数字滤波器按单位脉冲响应的性质可分为无限长单位脉冲响应滤波器IIR和有限长单位脉冲响应滤波器(FIR)两种。
本文介绍IIR数字滤波器的设计。
二、设计思想2.1 IIR数字滤波器设计思路IIR 数字滤波器可用一个n阶差分方程表示y(n)=Σb r x(n-r)+Σa k y(n-k)或用它的Z域系统函数:对照模拟滤波器的传递函数:不难看出,数字滤波器与模拟滤波器的设计思路相仿,其设计实质也是寻找一组系数{b,a},去逼近所要求的频率响应,使其在性能上满足预定的技术要求;不同的是模拟滤波器的设计是在S平面上用数学逼近法去寻找近似的所需特性H(S),而数字滤波器则是在Z平面寻找合适的H(z)。
IIR数字滤波器的单位响应是无限长的,而模拟滤波器一般都具有无限长的单位脉冲响应,因此与模拟滤波器相匹配。
双线性变换法设计IIR数字滤波器matlab
实验四双线性变换法设计IIR数字滤波器一、实验目的1.掌握利用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理和具体方法。
2.深入理解利用双线性变换法设计IIR数字滤波器的优缺点及使用范围。
二、实验内容1.利用巴特沃思模拟滤波器,通过双线性变换法设计巴特沃思数字滤波器,数字滤波器的技术指标为采样周期为T=1。
程序代码T=2; %设置采样周期为2fs=1/T; %采样频率为周期倒数Wp=0.25*pi/T;Ws=0.35*pi/T; %设置归一化通带和阻带截止频率Ap=20*log10(1/0.9);As=20*log10(1/0.18); %设置通带最大和最小衰减[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %调用butter函数确定巴特沃斯滤波器阶数[B,A]=butter(N,Wc,'s'); %调用butter函数设计巴特沃斯滤波器W=linspace(0,pi,400*pi); %指定一段频率值hf=freqs(B,A,W); %计算模拟滤波器的幅频响应subplot(2,1,1);plot(W/pi,abs(hf)/abs(hf(1))); %绘出巴特沃斯模拟滤波器的幅频特性曲线grid on;title('巴特沃斯模拟滤波器');xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Magnitude');[D,C]= bilinear (B,A,fs); %调用双线性变换法Hz=freqz(D,C,W); %返回频率响应subplot(2,1,2);plot(W/pi,abs(Hz)/abs(Hz(1))); %绘出巴特沃斯数字低通滤波器的幅频特性曲线grid on;title('巴特沃斯数字滤波器');xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Magnitude');进行试验输出图像：实验分析通过查workspace 可以得出脉冲响应为：滤波器幅度响应： 滤波器相位响应：2. 利用巴特沃思模拟滤波器，通过双线性变换法设计数字带阻滤波器，数字滤波器的技术指标为00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.51巴特沃斯模拟滤波器Frequency/HzM a g n i t u d e00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.511.5巴特沃斯数字滤波器Frequency/HzM a g n i t u d e采样周期为T=1。
数字信号处理实验三 ——用双线性变换法设计IIR数字滤波器
实验内容及步骤
5、设计一个CB型带通DF，满足：通带边界频率为100Hz～500Hz， 通带衰耗小于3dB，过渡带宽20Hz，阻带衰耗大于15dB，取样频率 fs=2000Hz。写出其模拟滤波器方程及数字滤波器方程。
6、人体心电图信号在测量过程中往往受到工业高频干扰，所以必须 经过低通滤波处理后，才能作为判断心脏功能的有用信息。下面程序 中给出一实际心电图信号采样序列样本x(n)，其中存在高频干扰。在 实验中，以x(n)作为输入序列，滤除其中的干扰成分。我们用双线性 变换法设计一个巴特沃斯低通IIR数字滤波器对上述信号进行处理。 直接运行程序，结果输出滤波器幅频特性曲线图，有噪声的心电图采 集信号波形图和经过三级二阶滤波器后的心电图信号波形图，可以看 出低通滤波器除信号中高频噪声的滤波效果。
实验原理及方法
为了克服冲激响应不变法产生的频率混叠现象，这是从S 平面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的，为了 克服这一缺点，产生了双线性变换法。
j
j Im[z]
-1
1 Re[z]
0
0
s平面
z平面
实验原理及方法
双线性变换法的映射函数：
s
2 T
1 1
z 1 z 1
1 sT
实验三 用双线性变换法设计 IIR数字滤波器
测控技术与仪器研究室 指导教师：林晓钢
实验目的
1. 掌握用双线性变换法设计IIR DF的原理 及具体设计方法，熟悉用双线性变换法设 计IIR DF的计算机编程。
2. 观察用双线性变换法设计的DF的频响特 性，了解双线性变换法的特点。
3. 熟悉用双线性变换法设计BW和CB型DF的 全过程。
[b,a]=butter(n,wc)：当wc为具有两个元素的矢量wc=[w1, w2]时， 它设计2N阶带通滤波器，3dB通带为w1< w<w2 ，以π为单位。
3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器数字信号处理
z变换的定义
X(s)
x
s
(nTs
)e
sTdt
[
xs (nTs )(t nTs )]esTdt
n
xs (nTs )
[(t
nTs )]esTdt
n
xs (nTs )esnTs X(esTs ) n
z变换的定义
令z= esTs则xs(nTs)的拉普拉斯变换式就可以
3.4用双线性z变化法设计IIR数字低 通滤波器
例：试用双线性z变换法设计一低通数字滤波器， 给定技术指标是 fp=100Hz， αp=3dB， fs=300Hz，αs =20dB , 抽样频率Fs=1000Hz
解: 首先应得到角频率ω，因为2π对应Fs， 所以ωp=2πfp/Fs=2π*0.1=0.2π, ωs=0.6π
P s
1
( 2 z 1) 1 z 1
p
2 Ts
tan( p
/ 2)
Ts z 1
tan(p / 2) z 1
3.4用双线性z变化法设计IIR数字低 通滤波器
因此，无论是在设计模拟滤波器还是由模拟 滤波器转换为数字滤波器的过程，系数 2/Ts均 被约掉，因此，
s z 1 z 1
则相应地 z 1 s
e j/ 2 ) e j/ 2 )
j2 Ts
sin( / 2) cos(/ 2)
3.4用双线性z变化法设计IIR数字 低通滤波器
2 tan(/ 2)
2arctan(
给出Ts 了Ω与ω的映射关系
Ts
/
2)
(1)
这样，当给定了数字滤波器的技术指标ωp，
ωs，αp，αs后，依据式（1）有
用双线性变换法设计IIR
实验三 用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。
2、掌握双线性变换法设计IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性法设计低通、带通和高通IIR 滤波器的计算机程序。
3、观察用双线性变换法设计的滤波器的品与特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。
4、熟悉用双线性变换法涉及数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的全过程。
5、了解多项式呈几何多项式乘方运算的计算机变成方法。
二、实验原理与方法从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器具有四种方法：微分—差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配Z 变换法：在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。
脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数)(s H 计算系统冲激响应)(t h ：对)(t h 进行等间隔取样得到)()(nT h t h =,由)(t h 获得数字滤波器的系统响应)(z H 。
这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲激响应在采样个点上完全一致。
而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。
脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换式现行的，其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。
为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混淆，提出了双线性变换法，它依靠双线性变换式：ss z z z s -+=+-=--11,1111 其中，jwre z j s =Ω+=,σ 建立起s 平面和z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系：Ω==Ωarctg w w tg 2),2( （3—1）由上面的关系式可知,当∞>-Ω时，w 中止在折叠频率π=w 处，整个Ωj 周单值的对应于单位圆的一周。
因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。
实验六 用双线性变换法设计IIR数字滤波器
实验六用双线性变换法设计IIR数字滤波器一、实验目的学会运用MATLAB设计数字低通、带通、高通、带阻滤波器的设计方法。
二、实验涉及的matlab子函数bilinear功能：双线性变换——将s域映射到z域。
调用格式：[numd,dend]= bilinear (num,den,Fs)，将模拟域系统函数转换为数字域的系统函数，Fs为采样频率。
三、实验原理下面举例说明用双线性变换法设计各种数字滤波器的过程。
例1、采用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字低通滤波器，要求：wp=0.25*pi，rp=1db，ws=0.4*pi，as=15db，滤波器采样频率Fs=100hz。
MATLAB源程序为：%数字滤波器指标wpd=0.25*pi; %滤波器的通带截止频率wsd=0.4*pi; %滤波器的阻带截止频率Rp=1;As=15; %输入滤波器的通阻带衰减指标%转换为模拟原型滤波器指标Fs=100;T=1/Fs;wp=(2/T)*tan(wpd/2);ws=(2/T)*tan(wsd/2);%模拟原型滤波器计算[n,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s') %计算阶数n和截止频率[z0,p0,k0]=buttap(n); %归一化切比雪夫1型原型设计ba=k0*poly(z0); %求原型滤波器系数baa=poly(p0); %求原型滤波器系数a[ba1,aa1]=lp2lp(ba,aa,wc);%变换为模拟低通滤波器%用双线性变换法计算数字滤波器系数[bd,ad]=bilinear(ba1,aa1,Fs) %双线性变换%求数字系统的频率特性[H,w]=freqz(bd,ad);dbH=20*log10(abs(H)/max(abs(H))); %化为分贝值subplot(2,2,1),plot(w,abs(H));ylabel('|H|');title('幅度响应');axis([0,pi,0,1.1]);grid subplot(2,2,2),plot(w,angle(H));ylabel('\phi');title('相位响应');axis([0,pi,-4,4]);grid subplot(2,2,3),plot(w,dbH);title('幅度响应(dB)'); ylabel('dB');xlabel('频率');axis([0,pi,-40,5]);grid subplot(2,2,4),zplane(bd,ad); axis([-1.1,1.1,-1.1,1.1]);title('零极图');运行结果为： n = 5wc = 103.2016bd = 0.0072 0.0362 0.0725 0.0725 0.0362 0.0072 ad = 1.0000 -1.9434 1.9680 -1.0702 0.3166 -0.0392 则所求滤波器的系统函数为54321-5432-10.0392z 166z 3.01.0702z z 68.911.9434z 1z 072.00z 362.00z 725.00z 725.000.0362z 0.0072H(z)---------+-+-+++++=|H |幅度响应φ相位响应幅度响应(dB)d B频率-1-0.500.51Real PartI m a g i n a r y P a r t零极图例2、采用双线性变换法设计一个椭圆数字高通滤波器，要求通带250hz ，1db ，阻带150hz ，20db ，滤波器采样频率为Fs=1000hz 。
K2.25-双线性变换法设计IIR滤波器
2 T {bf [(k 1)T ]] bf (kT )]}
2
4
双线性变换法设计IIR滤波器
该式是个一阶差分方程，两边取z变换：
Y ( z )(1 z 1 ) a T Y ( z )(1 z 1 ) b T F ( z )(1 z 1 )
2
2bT 2 z 1
(z 1) aT (z 1)
b 2 ( z 1) a
2
T z 1
与连续系统函数对比
Ha (s)
s
b
a
s 2 ( z 1), z 1 sT 2
T z 1
1 sT 2
5
双线性变换法设计IIR滤波器
双线性变换法：通过s和z的映射关系，可以直接由模
双线性变换法的基本思路：将连续系统微分方程通 过数值积分近似，导出相近的差分方程，从而完成 离散系统的设计。
假设一个连续的一阶系统，其微分方程是
y(t) ay(t) bf (t)
则其系统函数为
Ha (s)
s
b
a
2
双线性变换法设计IIR滤波器
将y(t)用 y′(t) 的积分表示
y(t)
t t0
双线性变换法设计IIR滤波器
知识点K2.25
双线性变换法设计IIR滤波器
主要内容：
双线性变换法设计IIR滤波器
基本要求：
掌握双线性变换法设计IIR滤波器
1
双线性变换法设计IIR滤波器 K2.25 双线性变换法设计IIR滤波器 冲激响应不变法s域和z域的映射具有多值性，出现频谱 混叠，只适用于低通或带限的高通、带通情况。
3
实验五双线性变换法设计IIR数字滤波器
实验五、双线性变换法设计IIR 数字滤波器一、实验目的：1、熟悉用双线性变换法设计IIR 数字滤波器的原理与方法。
2、掌握数字滤波器的计算机仿真方法。
3、熟悉Batterworth滤波器设计方法及特点二、实验原理（一）、IIR数字滤波器的设计步骤：① 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；② 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；③ 跟据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器；④ 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。
在MATLAB中，经典法设计IIR数字滤波器主要采用以下步骤：IIR数字滤波器设计步骤（二）、用模拟滤波器设计数字滤波器的方法1、冲激响应不变法：冲激响应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h(n) 对应于模拟滤波器h(t) 的等间隔抽样。
优点：时域逼近良好；保持线性关系。
缺点：频域响应混叠。
只适用于限带低通滤波器和带通滤波器S平面Z平面2、双线性变换法优点：克服了频域混叠 缺点：高频时会引起畸变1）冲激响应不变法impinvar格式：[BZ,AZ]= impinvar （B,A,Fs ）功能：把具有[B,A]模拟滤波器传递函数模型转换为采样频率为Fs 的数字滤波器的传递函数模型[BZ,AZ]，Fs 默认值为1。
例：一个4阶的Butterworth 模拟低通滤波器的系统函数如下：12251)(234++++=s s s s s H a试用冲激响应不变法求出Butterworth 模拟低通数字滤波器的系统函数。
num=1;den=[1,sqrt(5),2,sqrt(2),1]; [num1,den1]=impinvar(num,den) 2）双线性变换法bilinear格式一：[Zd,Pd,Kd]= bilinear(Z,P,K,Fs)功能：把模拟滤波器的零极点模型转换成数字滤波器的零极点模型，Fs 是采样频率 格式二：[numd,dend]= bilinear(num,den,Fs)功能：把模拟滤波器的传递函数模型转换为数字滤波器的传递函数模型。
双线性变换法IIR数字滤波器设计
双线性变换法IIR 数字滤波器设计一、实验目的1、掌握用双线性变换法设计低通IIR 数字滤波器的基本原理和算法。
2、掌握用双线性变换法设计高通和带通IIR 数字滤波器的基本原理和算法。
3、进一步了解数字滤波器和模拟滤波器的频率响应特性。
二、实验原理与计算方法１、双线性变换法设计IIR 低通数字滤波器的基本原理和算法双线性变换法设计数字滤波器，采用了二次映射的方法，就是先将整个s 平面压缩到s 1平面的一个Tj Tj ππ~-的横形条带范围内，然后再将这个条带映射到z 平面上，就能建立s 平面到z 平面的一一对应关系。
对于低通数字滤波器，映射关系为zzT z z T s ++-=+-=--11211211 (1) 其中T 为抽样周期。
用双线性变换法设计低通IIR 数字滤波器的基本步骤，首先根据设计要求确定相应的模拟滤波器的传递函数)(s H a ，再应用(1)式得数字滤波器的传递函数)(z Hzz T s a s H z H ++-==112)()( (2)通常可以给定的参数为：低通数字滤波器通带边界频率p p f πΩ21=、阻带边界频率s s f πΩ21=和对应的通带衰减函数p α、阻带衰减函数s α。
s 1平面中的模拟角频率1Ω与数字角频率ω的关系为线性关系T 1Ωω=，在计算模拟滤波器的阶数N 、极点s i 和传递函数)(s H a 之前，应作预畸变处理22tan 22tan 21T f TT TπΩΩ== (3)模拟滤波器的阶数N 、极点s i 和传递函数)(s H a 的计算方法与冲激响应不变法相同，可以采用Butterworth 逼近或Chebyshev 逼近。
２、双线性变换法设计IIR 高通、带通、带阻数字滤波器的基本原理和算法由于双线性变换法获得的数字滤波器频率响应特性中不会出现混叠现象，因此可以适用于高通、带通和带阻滤波器的设计。
IIR 数字滤波器的设计通常要借助于模拟低通滤波器的设计，由原型低通滤波器到其他形式（高通、带通、带阻）IIR 数字滤波器的频带变换有模拟频带变换法和数字频带变换法。
(完整word版)用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器课程设计
V=课程设计报告书姓名:班级：学号:时间:设计题目用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器设计要求1. 通过实验加深对双线性变换法设计IIR滤波器基本方法的了解.2. 了解MATLAB有关双线性变换法的子函数。
3．掌握用双线性变换法设计数字低通滤波器的方法。
本次课程设计是采用双线性变换法基于MATLAB设计一个IIR数字低通滤波器, 其中要求通带截止频率为ωp=0.25π;通带最大衰减Rp=1dB;阻带最小衰减As=15dB;阻带截止频率ωs=0.4π;滤波器采样频率Fs=100Hz.设计过程摘要: 根据IIR滤波器的特点, 在MATLAB坏境下用双线性变换法设计IIR数字滤波器。
利用MATLAB设计滤波器, 可以随时对比设计要求和滤波器特性调整参数, 直观简便, 极大的减轻了工作量, 有利于滤波器设计的最优化。
1.关键词：双线性变换法 , 数字滤波器 , MATLAB , IIR2.设计原理与步骤1.1设计原理滤波器的种类很多, 从功能上可分为低通、高通、带通和带阻滤波器, 每一种又有模拟滤波器和数字滤波器两种形式。
如果滤波器的输人和输出都是离散时间信号, 则该滤波器的冲击响应也必然是离散的, 这种滤波器称之为数字滤波器。
数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统, 通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。
数字滤波器也是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置, 其输入、输出均为数字信号, 实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
IIR数字滤波器采用递归型结构, 即结构上带有反馈环路。
IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成, 可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式, 都具有反馈回路。
数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性, 可分为两种, 即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。
IIR 数字滤波器的特征是, 具有无限持续时间冲激响应, 需要用递归模型来实现, 其差分方程为：（1-1）（1-2）设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z), 使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标, 即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。
设计IIR滤波器的双线性变换法
s
e j2
2e j e j2
cos0
1
1
j
cos0 cos sin
j
此式表明：Z平面单位圆变换到了S平面的虚轴
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设计IIR数字滤波器的频率变换法
模拟低通与数字带通的频率变换关系：
,
c
1 1
z z
1 1
1
p3
2
p2
2
p
1
p
0.32491 1
z z
1 1
(1 z 1 )3
1.859208 3.3358z 1 2.241976z 2 0.57016z 3
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典型例题
例2：设计一个巴特沃思型数字高通滤波器，3dB数字截
解：① 3阶巴特沃思型归一化模拟低通原型的系统函数为：
HaL ( p)
p3
1 2p2 2p 1
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典型例题
② 频率预畸变
c
tg c
2
tg(0.1 ) 0.3249(rad/s)
∴ 数字高通滤波器的系统函数为：
H
(z)
HaL (
p)
p
最小衰减 As 15dB。
解：① 进行频率预畸变，求 p、s 。
p
tg(
p
2
)
tg0.125
0.4142136
s
tg(s
2
)
双线性法设计IIR滤波器
O 引言滤波器从广义上来说对特定的频点或频点以外的频率进行有效滤波的电路，这种电路保留输入信号中的有用信息，滤除不需要的信息，从而达到信号的检测、提取、识别等不同的目的。
如果处理的信号是时域离散信号，那么相应的处理系统就称为数字滤波器，由于在实际工作中被处理的信号都是幅度量化的数字信号，因此，数字滤波器实际上是用有限精度的算法实现一个线性时不变的时域离散系统。
目前，数字滤波器的应用越来越广泛，它已深入到很多领域，如图象处理、医学生物信息处理、地质信号处理和模式识别处理等。
数字滤波器的种类很多，分类方法也不同，可以从功能上分类，也可以从实现方法上及设计方法上来分类等等。
滤波器在功能上总的可分为四类，即低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)、带阻(BS)滤波器等，从实现方法上，由有限长冲激响应的数字滤波器被称为FIR滤波器，具有无限长冲激响应的数字滤波器称作IIR滤波器。
1 IIR滤波器的设计1．1 双线性变换法的基本原理本文中用的是双线性变换法，因此这里简单介绍一下。
双线性变换法的S域与Z域间的变换关系为：由式(1)可以看出，z和s之间可以直接代换，由于这是一非线性变换，需考察一下是否能把jΩ映射成单位圆，以及是否能将s域左半平面映射到单位圆内部。
对于5平面上的虚轴jΩ，用s=jΩ代入式(1)得：可见：上式表明S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)经映射后确已成为z平面上的单位圆，但Ω与为非线性关系，因此，通过双线性变换后两个滤波器的频率特性形状不能保持相同，双线性变换不存在混迭效应。
对于s域的左半平面，用s=σ+jΩ入式(1)，得到：此式表明，当σ<0，有|z|<1，因而s平面的左半平面被映射在单位圆内部，这意味着稳定的模拟滤波器经双线性变换可以映射成稳定的数字滤波器。
1．2 IIR滤波器的设计IIR数字滤波器的设计借助模拟滤波器原型，再将模拟滤波器转换成数字滤波器，这些过程已经成为一整套成熟的设计程序。
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实验三 用双线性变换法设计IIR 滤波器一、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法。
2、掌握双线性变换法设计IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性法设计低通、带通和高通IIR 滤波器的计算机程序。
3、观察用双线性变换法设计的滤波器的品与特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。
4、熟悉用双线性变换法涉及数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的全过程。
5、了解多项式呈几何多项式乘方运算的计算机变成方法。
二、实验原理与方法从模拟滤波器设计IIR 数字滤波器具有四种方法：微分—差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变换法、匹配Z 变换法：在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。
脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数)(s H 计算系统冲激响应)(t h ：对)(t h 进行等间隔取样得到)()(nT h t h =,由)(t h 获得数字滤波器的系统响应)(z H 。
这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲激响应在采样个点上完全一致。
而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。
脉冲响应不变法一个重要的特点是频率坐标的变换式现行的，其缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。
为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混淆，提出了双线性变换法，它依靠双线性变换式：ss z z z s -+=+-=--11,1111 其中，jwre z j s =Ω+=,σ 建立起s 平面和z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系：Ω==Ωarctg w w tg 2),2( （3—1）由上面的关系式可知,当∞>-Ω时，w 中止在折叠频率π=w 处，整个Ωj 周单值的对应于单位圆的一周。
因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。
从式（3—1）还可以看出，两者的频率不是线性关系。
这种非线性关系似的通带截止频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。
这种频率的畸变可以通过预畸来矫正。
用双线性变换法设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经过式（3—1）的频率预畸，球的响应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递参数，最后通过双线性变换式求得数字滤波器的传递函数。
这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。
参考模拟滤波器的设计，可以按照一般模拟滤波器的设计方法，利用已经成熟的一整套计算公式和大量的归一化设计表格和曲线，这些公式、表格主要是用于归一化低通原型的。
通过原型变换，可以完成实际的低通、带通和高通滤波器的设计。
在用双线性变换法设计滤波器的过程中，我们业可以通过原型变换，直接求得归一化参考模拟滤波器原型参数，从而使得设计更加简化。
下表是IIR 低通、带通、高通滤波器设计双线性原型变换公式的总结。
在本实验中，我们只涉及Butterworth 和Chebyshev 种滤波器的设计，相应的这两种参考滤波器的设计公式如下表综上所述，以巴特沃斯低通数字滤波器设计为例，可以将双向法设计滤波器的步骤归纳如下：1、确定数字滤波器的性能指标。
这些指标包括：通带、阻带临界频率p f 、s f ；通带内的最大衰减p α；阻带内的最小衰减s α；采样周期T 。
2、确定相应的数字频率，T f T f s s p p πωπω2,2==。
3、计算经过频率预畸的相应参考模拟低通原型的频率)2(),2(ss pp tg tg ωω=Ω=Ω。
4、计算低通原型阶数N ，计算3db 归一化频率c Ω，从而求得低通原型的传递函数)(s H a 。
5、用上表中所列变换公式1111--+-=z z s ，代入)(s H a ，求得数字滤波器传递函数)(z H =1111|)(--+-=z z s a s H 。
6、分析滤波器频域特性，检查其指标是否满足要求。
三、实验内容及步骤（一）编制实验用主程序及子程序1、实验前复习数字信号处理课程中滤波器设计有关内容的知识，认真阅读本实验的原理部分，读懂滤波器相关算法。
2、编制一个双线性变换法设计IIR 数字Butterworth 和Chebyshev 滤波器的通用程序。
采样周期、通带和阻带临界频率以及相应的衰减等参数在程序运行时输入；根据这些输入参数，计算阶数N 、传递函数)(s H a ；输出)(s H a 分子分母系数；绘制)(jwe H 幅频特性曲线，绘制点数为50，（0—π）。
（二）上机实验内容 1、采样频率为1HZ ，设计一个Chebyshev 高通数字滤波器其中通带临界频率fp=0.3HZ,通带内衰减小于0.8db(p α=0.8db),阻带临界频率fs=0.2HZ,阻带内衰减大于20db(s α=20db)。
求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输出它的幅频特性，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。
高通数字滤波器的设计f=1 fp=3/10; fs=2/10; Rp=0.8; Rs=20; [n,Wn]=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs); [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn,'high'); freqz(b,a,512,1)[n,Wn]=cheb1ord(0.3,0.2,0.8,20) n =4Wn=0.3000[b,a]=cheby1(n,1,Wn)b =0.0084 0.0335 0.0502 0.0335 0.0084a = 1.0000 -2.3741 2.7057 -1.5917 0.4103>> freqz(b,a,512,1);2、采样频率为1HZ ，设计一个数字低通滤波器，要求其通带临界频率fp=0.2HZ ，通带内衰减小于1db(db p 1=α),阻带临界频率fs=0.3HZ,阻带内衰减25db(db s 25=α)。
求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输出它的幅频特性曲线。
低通数字滤波器的设计f=1 fp=2/10; fs=3/10; Rp=1; Rs=25; [n,Wn]=cheb1ord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs); [b,a]=cheby1(n,Rp,Wn); freqz(b,a,512,1) b,a,n,Wn[n,Wn]=cheb1ord(0.2,0.3,1,25) n =5 Wn =0.2000>> [b,a]=cheby1(n,1,Wn)b= 0.0003 0.0015 0.0029 0.0029 0.0015 0.0003a =1.0000 -3.9634 6.6990 -5.9815 2.8111 -0.5558>> freqz(b,a,512,1);3、设计butterworth 带通数字滤波器，其上下边带1db 处的通带临界频率分别为20kHz 和30kHz(fp1=20kHz,fp2=30kHz,db p 1=α)，当频率低于15kHz 时，衰减要大于40db(fs=15kHz,db s 40=α),采样周期为10s μ，求这个数字滤波器的传递函数H(z)，输出它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。
带通数字滤波器的设计f=10^5; fs=[15000,35000]; fp=[20000,30000]; Rs=40; Rp=1; [n,Wn]=buttord(2*fp/f,2*fs/f,Rp,Rs); [b,a]=butter(n,Wn); freqz(b,a,512,1); b,a,n,Wnb = 0.0002 0 -0.0014 0 0.0042 0 -0.0071 00.0071 0 -0.0042 0 0.0014 0 -0.0002a =1.0000 0.0000 3.7738 -0.0000 6.5614 -0.0000 6.6518 -0.00004.2030 -0.0000 1.6437 -0.0000 0.3666 -0.0000 0.0359n = 7Wn =0.3854 0.6146四．思考题1.双线性变换和脉冲响应不变法相比较，有哪些优点和缺点？为什么？答：双线性变换比起脉冲响应不变法来，其主要优点是s平面与z平面式单值的一一对应关系。
整个jΩ轴是单值的对应于单位圆一周，即Ω=tg(。
当Ω→时，ω终止于折叠频率ω=处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。
但双线性不换法的优点是靠频谱的严重非线性关系而得到的，这种Ω与ω的非线性关系使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变。
例如，如果模拟滤波器是最平延迟滤波器，它的相位与频率是直线关系。
但是，通过双线性变换后，所得的数字滤波器就不再保持相位与频率的直线关系了，因而这个数字滤波器也就不再是一个最平延迟特性的滤波器。
但因为大多数的2. 双线性变换是一种非线性变换，在实验中你观察到这种非线性关系了吗？应该怎样从哪种数字滤波器幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？答：观察到了这种非线性关系。
我们知道双线性变换是靠频率的严重非线性关系得到的，这种Ω与 的非线性关系使得数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变。
例如，如果模拟滤波器是最平时延滤波器，它的相位与频率是直线关系。
但是通过双线性变换所得到的数字滤波器就不再保持相位与频率的直线关系了，因而这个数字滤波器也就不再是一个最平时延特性的滤波器了！实验总结：1.通过实验充分掌握了脉冲响应不变法和双线性变换法，并且通过比较明白了二者之间的区别和优缺点。
2.并且运用双线性变换法设计了IIR滤波器，熟悉了双线性变换法对低通，带通，高通滤波器的设计方法。