6.3 双线性变换法

§6.4 设计IIR滤波器的双线性变换法
设计思想 设计方法 频率预畸变 典型例题
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一、设计思想
1、脉冲响应不变法的主要缺点：对时域的采样会造成频域 的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率响 应与原来模拟滤波器的频率响应相差很大，而且不能用来 设计高通和带阻滤波器。
原因：从S平面到Z平面的映射是多值映射关系
2 1Biblioteka Baiduz
c
1
T 1 z 1
是低通还是 高通的？
p
s c
;
1 p

c s
;s
1 1
1 z 1 z
1 1
最终： p c
1 z 1 z
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典型例题
带通滤波器的幅度响应与相位响应
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p 2 T 2 tg (
p
用脉冲响应不 ) tg0.125 0.4142136 变法怎么设计？
s
tg (
s
2
2
) tg0.275 1.1708496
T
② 确定巴特沃斯型数字低通滤波器的阶次。
N lg( k sp ) lg( sp ) 2.66
∴ 取滤波器阶次 N = 3
2
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⑤ 用双线性变换式求得H(z) 。 H ( z ) H ( s) 1 z 1
s

0.0662272(1 z ) (1 0.259328 z )(1 0.6762858 z
1 1
1 z
1
1 3
0.3917468 z
2
)
滤 波 器 的 幅 度 响 应 与 相 位 响 应
，
二、“双线性变换法”设计方法
① 通过正切变换： 将S平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ1轴上的 ② 通过Z变换： 内。
将Ω 1映射到Z平面的单位圆上。
③ 将正切变换延拓到整个S平面，得到S平面到S1平面 的映射关系：
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④ 将S1平面按 z e
s1T
映射到Z平面得到：
2 或 z T 2 T
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解：
① 频率预畸变求模拟低通的截频 c和阻带下边频 s p
p tg 3.0779(rad/s)
s tg
s
2
2
12.7062(rad/s)
② 确定低通滤波器的阶次 N
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1、 k sp
10 10
0 . 1
p
1 1
0 . 1 s
0 . 00397
2、 sp
脉冲响应不变法的映射过程图示
2
2、双线性变换法的改进： 为避免频率的“混叠效应” ，分两步完成S平面到Z平面 的映射。

① 将S平面压缩到某一中介的S1平面的一条横带域 T ， ； T ② 通过标准的变换将此横带域映射到整个Z平面上去。
双线性变换的映射过程图示
3
3、双线性变换法的基本思路： 从频率响应出发，直接使数字滤波器的频率响应 逼近模拟滤波器的频率响应 ,进而求得H(z)。
频率预畸变；然后将预畸变后的频率代入归一化低通原 型Ha(s) 确定 函数： ；最后求得数字系统
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典型例题
例：利用双线性变换法设计巴特沃斯型数字低通 滤波器
设计参数：通带数字截止频率 p 0.25 ，通带内最大 衰减 Ap 0.5dB，阻带数字截止率 s 0.55 ，阻带内 最小衰减 As 15dB。 解：① 进行频率预畸变，求 p、 s 。
s
2 1 z T 1 z
1 1
s s
三、双线性变换的频率对应关系
双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了 模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即： 2
tg ( )
可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关 系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这
T
2
是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为 均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随 频率增加越来越密。
双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然 是应用最为广泛的设计IIR数字滤波器的方法。
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四、频率预畸变
为了保证各边界频率点为预先指定的频率，在确定模拟 低通滤波器系统函数之前必须按式 进行
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• 典型例题
例1：设计一个 3 阶巴特沃斯型数字高通滤波器 ，3dB数字截频为0.2π弧度，求该滤波器的系统 函数。
解：
① 3阶巴特沃斯型归一化模拟低通原型的系统函数为：
注意：这里是 模拟低通的， 应该是多少？
去归一化得到低通系统
函数： H aL ( s ) H aL ( p ) p
s c
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③ 查表得3阶巴特沃斯低通滤波器原型的系统函数。
H a (s) 1 ( s 1)( s s 1)
2
④ 求 3 dB 截止频率 c 。
c 0.588148
反归一化得：
H ( s) H a ( s / c ) 0.203451 ( s 0.588148)( s 0.588148s 0.345918)
s
p
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3、 N
lg k sp lg sp
1 . 99
∴ 取N＝2
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③ 查表得N=2时巴特沃思低通原型滤波器的系统函数
H aL ( p) 1 p 1.4142 p 1
2
④ 利用直接变换关系求数字滤波器的系统函数H(z)
H ( z ) H aL ( p) p
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§6.5 设计IIR数字滤波器的频率变换法
又称为
•
“模拟域频率变换法 频率变换的两种基本方法 ” 法一：从归一化模拟低通原型出发，先在模拟域内经频率 变换成为所需类型的模拟滤波器；然后进行双线性变换， 由S域变换到Z域，而得到所需类型的数字滤波器。
又称为
“数字域频率变换法 ” 法二：先进行双线性变换，将模拟低通原型滤波器变换成 数字低通滤波器；然后在Z域内经数字频率变换为所需类 型的数字滤波器。
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• 模拟域频率变换 法
1、归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换 设归一化模拟低通原型滤波器的系统函数为 ， p为模拟域内的拉氏变量 。 在模拟域内从低通到高通变换：即以 p-1代替 p。
2、 反归一化。即以 带入上式，得到反归一化 后的高通滤波器的传输函数H(s)。
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3、双线性变换，得数字高通滤波器的系统函数H(z)。
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由低通到高通的频率转 H aH ( s ) H aL ( ) s 用双线性变换法得到数 H ( z ) H aH ( s ) | s 1
换关系得到模拟高通：
字高通： 2 1 z
1 1
T 1 z
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例2：设计一个巴特沃斯型数字高通滤波器，通带截止频 率 p 0.2π弧度，衰减3dB。阻带下边频 ＝0.05π弧 s 度，阻带衰减 As≥48dB，求数字滤波器的系统函数。