江苏省宿迁市宿豫中学届高考数学(二轮复习)专题检测：以函数为背景的创新题型.docx

高中数学学习材料唐玲出品13 以函数为背景的创新题型1．设D ＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y )≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t (t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f (t )的图象的大致形状为________．答案 ③ 解析如图，平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除④；当t ＝－12时，S >14S max ，排除①②.2．设函数f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤k (k >0)，则称f (x )与g (x )在[a ，b ]上是“k 度和谐函数”，[a ，b ]称为“k度密切区间”．设函数f (x )＝ln x 与g (x )＝mx －1x 在[1e ，e]上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是________． 答案 [－1，e ＋1]解析 设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx －1x＝－m ＋1x＋ln x ，h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，故当x ∈[1e ，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，函数h (x )单调递增． 所以函数h (x )的最小值为h (1)＝－m ＋1，而h (1e )＝－m ＋e －1，h (e)＝－m ＋1e＋1，显然e －1>1e ＋1，所以h (1e)>h (e)，故函数h (x )的最大值为h (1e)＝－m ＋e －1.故函数h (x )在[1e ，e]上的值域为[－m ＋1，－m ＋e －1]．由题意，得|h (x )|≤e ，即－e ≤h (x )≤e ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－e ，－m ＋e －1≤e ，解得－1≤m ≤1＋e.3．(2014·苏州模拟)对于函数f (x )，若任意的a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是________．答案 [12，2]解析 因为对任意的实数x 1，x 2，x 3∈R ， 都存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形， 故f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立．由f (x )＝e x＋t e x ＋1＝1＋t －1e x ＋1，设e x＋1＝m (m >1)，则原函数可化为f (m )＝1＋t －1m(m >1)，当t >1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递减，所以f (m )∈(1，t )，此时2<f (x 1)＋f (x 2)<2t,1<f (x 3)<t ，要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，需t ≤2，所以1<t ≤2；当t ＝1时，f (x )＝1，显然满足题意； 当t <1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递增， 所以y ∈(t,1)，此时2t <f (x 1)＋f (x 2)<2，t <f (x 3)<1， 要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，需满足2t ≥1，所以12≤t <1.综上t ∈[12，2]．4．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有________对． 答案 2解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)的图象及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对．5．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝lgx －2x的零点，则[x 0]＝________.答案 2解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.6．(2014·辽宁改编)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为________．答案 14解析 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<12x ，取y ＝1，则|f (x )－f (1)|<12|x －1|，即|f (x )|<12(1－x )．∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<14.不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝14，要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥14.∴k 的最小值为14.7．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“垂直双点集”．给出下列四个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x}；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}．其中是“垂直双点集”的序号是________．答案 ②④解析 对于①，y ＝1x是以x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”．对于②，M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图1所示，在曲线y ＝sin x ＋1上，对任意的点B (x 1，y 1)∈M ，总存在点C (x 2，y 2)∈M ，使得OB ⊥OC ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，故M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直双点集”．对于③，M＝{(x，y)|y＝log2x}，如图2所示，在曲线y＝log2x上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”．对于④，M＝{(x，y)|y＝e x－2}，如图3所示，在曲线y＝e x－2上，对任意(x1，y1)∈M，总存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，例如取(0，－1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义．8．如图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.现给出以下命题：①f(2)＝0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；④f(x)为偶函数．其中真命题为________(写出所有真命题的序号)．答案①②③解析如图所示．①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．9．对于函数f (x )，若存在区间M ＝[a ，b ](其中a <b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①f (x )＝(x －1)2；②f (x )＝|2x －1|；③f (x )＝cos π2x ；④f (x )＝e x.其中存在“稳定区间”的函数有________．(填出所有满足条件的函数序号) 答案 ①②③解析 据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间[a ，b ]内的定义域与值域相等． 问题可转化为已知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”，数形结合依次判断①②③均符合条件，而对于④易知由于f ′(x )＝e x，故f (x )＝e x在原点处的切线方程即为y ＝x ，故不符合条件．综上可知①②③均为存在“稳定区间”的函数．10．(2014·山东)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．答案 (210，＋∞)解析 由已知得h (x )＋4－x 22＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立．在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b10>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)．11．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2 x ，f 2(x )＝log 2 (x ＋2)，f 3(x )＝(log 2 x )2，f 4(x )＝log 2(2x )．则“同形”函数是________．答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)＝log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)＝log2(x＋2)的图象．故根据新定义得，f2(x)＝log2 (x＋2)与f4(x)＝log2 (2x)为“同形”函数．12．已知集合A＝{1,2,3，…，2n}(n∈N*)．对于A的一个子集S，若S满足性质P：“存在不大于n的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m”，则称S为理想集．对于下列命题：①当n＝10时，集合B＝{x∈A|x>9}是理想集；②当n＝10时，集合C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}是一个理想集；③当n＝1 000时，集合S是理想集，那么集合T＝{2 001－x|x∈S}也是理想集．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．答案②③解析根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并恰当构造反例，进行否定．(1)当n＝10时，A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．因而B不具有性质P，不是理想集，故①为假命题．(2)对于C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}，因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.故C具有性质P，②为真命题；(3)当n＝1 000时，则A＝{1,2,3，…，1 999,2 000}，因为T＝{2 001－x|x∈S}，任取t ＝2 001－x0∈T，其中x0∈S，S⊆A，所以x0∈{1,2,3，…，2 000}，从而1≤2 001－x0≤2 000，即t∈A，所以T⊆A.由S具有性质P，就是存在不大于1 000的正整数m，使得对S 中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m.对于上述正整数m，从集合T＝{2 001－x|x∈S}中任取一对元素t1＝2 001－x1，t2＝2 001－x2，其中x1，x2∈S，则有|t1－t2|＝|x1－x2|≠m，所以集合T＝{2 001－x|x∈S}具有性质P，③为真命题．故填②③.。