【重点推荐】2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业
2019-2020学年高中数学人教版选修1-1习题：第二章2.3-2.3.1抛物线及其标准方程 Word版含答案
第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A 级 基础巩固一、选择题1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝83y B ．x 2＝－83y C ．y 2＝－83xD ．y 2＝83x解析：由准线方程为y ＝23，知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .答案：B2．已知抛物线y －2 016x 2＝0，则它的焦点坐标是( ) A ．(504，0) B.⎝⎛⎭⎪⎫18 064，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，18 064 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，1504 解析：抛物线的标准方程为x 2＝12 016y ，故其焦点为(0，18 064)． 答案：C3．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C4．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆过定点( ) A ．(4，0) B ．(2，0) C ．(0，2)D ．(0，4)解析：由题意易知直线x ＋2＝0为抛物线y 2＝8x 的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点． 答案：B5．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2，|BF |＝x 2＋p 2， |CF |＝x 3＋p 2.因为|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，所以2⎝⎛⎭⎪⎫x2＋p 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋p 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故x 1，x 2，x 3成等差数列．故选A.答案：A 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是________． 解析：由抛物线的定义知点A ，B 到准线的距离之和是5，则AB 的中点到准线的距离为52，故AB 中点的横坐标为x ＝52－12＝2.答案：27．抛物线过原点，焦点在y 轴上，其上一点P (m ，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是________． 解析：由题意，知抛物线开口向上，且1＋p 2＝5，所以p ＝8，即抛物线的标准方程是x 2＝16y . 答案：x 2＝16y8．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________． 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，在△MNF 中，∠FMN ＝90°，得|FN |＝2p . 答案：2p 三、解答题9．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x －2y －4＝0上．解：(1)当焦点在x 轴上时，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)．把(－3，2)代入，得22＝－2p ×(－3)，解得p ＝23.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x .当焦点在y 轴上时，设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)． 把(－3，2)代入，得(－3)2＝4p ，解得p ＝94.所以所求抛物线的标准方程为x2＝92 y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则－p2＝－2，所以p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y.10．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.B级能力提升1．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝112x2或y＝－136x2解析：当a＞0时，抛物线开口向上，准线方程为y＝－14a，则点M到准线的距离为3＋14a＝6，解得a＝112，抛物线方程为y＝112x2.当a＜0时，开口向下，准线方程为y＝－14a，点M到准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a＝6，解得a＝－136，抛物线方程为y＝－136x2.答案：D2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为________．解析：由已知得抛物线的焦点为F(1，0)，由抛物线的定义知：动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，由点到直线的距离公式得：d＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2，所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.答案：23．抛物线y2＝2px(p＞0)且一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为513，求此抛物线方程．解：设抛物线y2＝2px(p＞0)的内接直角三角形为AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p )．因为|OA |2＋|OB |2＝|AB |2，且|AB |＝513，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p24＋p2＋(64p 2＋16p 2)＝325.所以p ＝2，所以所求的抛物线方程为y 2＝4x .。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2_3_2_1抛物线的简单几何性质课件新人教A版
又因为点M在抛物线上,所以( 3 )2=-2p(-2 3 ),即
p= 3 .因此所求方程是x2=- 3 y.
4 2
答案:x2=-
3 y 2
类型一
抛物线的性质及其应用
【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的 焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
k x
3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直
的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 ( )
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
B.y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
【解析】选C.设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4,可
得抛物线方程.
4.抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,
(
A. 1
2Hale Waihona Puke )B.1C. 3
2
D.2
(2)已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+
小值为________.
1 2 y +4的最 2
【解题指南】(1)P是两条曲线的交点,先利用抛物线方
程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y= k .
x
(2)将z表示为关于x的二次函数求解,注意x的取值范围.
D. ( 79 , 29 )
8 16
【解析】选B.因为抛物线方程为y=
1 4
x2,所以焦点为
F(0,1),准线为l:y=-1,设所求点的坐标为P(x,y),作 PQ⊥l于Q.根据抛物线定义可知P到准线的距离等于PQ的
长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=±4,故
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线
第2课时 抛物线几何性质的应用 学习目标 1.进一步加深对抛物线几何特性的认识.2.掌握解决直线与抛物线相关综合问题的基本方法．知识点 直线与抛物线的位置关系思考 直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？答案 不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交．梳理 (1)直线与抛物线的位置关系有相交、相切、相离，直线与抛物线的公共点个数与由它们的方程组成的方程组的解的个数一致．(2)由方程y ＝kx ＋b 与y 2＝2px 联立，消去y 得k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0.当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，则直线与抛物线无公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或与对称轴重合，此时直线与抛物线有一个公共点．1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × )2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝x 1＋x 2＋p .( × )3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )类型一 直线与抛物线的位置关系例1 已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ，问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)．①若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ>0，即k 2≠0且16(1－k 2)>0，解得k ∈(－1,0)∪(0,1)，所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点．②若直线与抛物线有一个交点，则k 2＝0或当k 2≠0时，Δ＝0，解得k ＝0或k ＝±1，所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点．③若直线与抛物线无交点，则k 2≠0且Δ<0.解得k >1或k <－1，所以当k >1或k <－1时，直线l 和抛物线C 无交点．反思与感悟 直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得，k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练1 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 C解析 准线方程为x ＝－2，Q (－2,0)．由题意知，直线的斜率存在，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，消去y ， 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，由Δ≥0，得－1≤k <0或0<k ≤1，综上，k 的取值范围是[－1,1]．类型二 直线与抛物线的相交弦问题例2 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题解 方法一 由题意可知直线方程的斜率存在，设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，消去x ，得ky 2－6y －24k ＋6＝0.当k ＝0时，y ＝1显然不成立．当k ≠0时，Δ＝62－4k (－24k ＋6)>0.①设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24k k . ∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k ＝3，满足①式． ∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22，∴|P 1P 2|＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋19×22－4×－22＝22303. 方法二 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．则y 21＝6x 1，y 22＝6x 2，∴y 21－y 22＝6(x 1－x 2)，又y 1＋y 2＝2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴所求直线的斜率k ＝3，所求直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －11，y 2＝6x ，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋19×22－4×－22＝22303. 反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线的方程．考点 直线与抛物线的位置关系题点 由抛物线弦长求解相关问题解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝ax ，消去y ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0， 由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32.又∵x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4， ∴|AB |＝1＋22[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝35，即5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45， ∴a ＝4或a ＝－36，满足Δ>0.∴所求抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .类型三 抛物线中的定点(定值)问题例3 已知点A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB .(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)解 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2.因为OA ⊥OB ，所以k OA ·k OB ＝－1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0. 因为y 1≠0，y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以x 1x 2＝4p 2.(2)证明 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2， 所以k AB ＝2p y 1＋y 2， 故直线AB 的方程为y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)， 所以y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， 即y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.因为y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2，所以y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2， 所以y ＝2p y 1＋y 2(x －2p )， 即直线AB 过定点(2p,0)．反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题证明 设k AB ＝k (k ≠0)．∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，即直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －4＋2，y 2＝x ， 消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k )x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解，∴4x B ＝16k 2－16k ＋4k2， 即x B ＝4k 2－4k ＋1k2. 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2. ∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8k k 2＝－14. ∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 B解析 当斜率不存在时，过P (0,1)的直线是y 轴，与抛物线y 2＝x 只有一个公共点． 当斜率存在时，设直线为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝kx ＋1，消去y ， 得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －1)2－4k 2＝0，得k ＝14. 所以与抛物线只有一个交点的直线共有3条．2．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( )A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，设C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 ∵点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线x ＝－p 2上，∴－p 2＝－2，p ＝4，∴抛物线C ：y 2＝8x .设直线AB 的方程为x ＝k (y －3)－2(k ≠0)，①将①与y 2＝8x 联立，得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0，②令Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，解得k ＝2或k ＝－12. 当k ＝－12时，切点在第四象限，与题意不符，舍去． 将k ＝2代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)． 又F (2,0)，∴k BF ＝43.故选D. 4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 (4,2)解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4y －8＝0， y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝y 1＋y 2＋4＝8，∴中点坐标为(4,2)．5．过点P (2,1)作抛物线y 2＝4x 的弦AB ，若弦恰被P 点平分．(1)求弦AB 所在的直线方程(用一般式表示)；(2)求弦长|AB |.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，由于直线的斜率存在，故斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2， 从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝2x －3，消去y 得，4x 2－16x ＋9＝0， 因为Δ>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝94， 于是|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝5×16－9＝35.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．一、选择题1．过抛物线y ＝2x 2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A ．2B.12C.14D ．1 考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 B解析 抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，当y ＝18时，x ＝±14，∴过抛物线y ＝2x 2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为12. 2．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 D解析 设直线方程为2x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋m ＝0，y ＝x2消去y ， 得x 2－2x －m ＝0，Δ＝4＋4m ＝0，∴m ＝－1，∴直线方程为2x －y －1＝0.3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3考点 直线与抛物线的位置关系题点 求抛物线中的直线方程答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ， 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0. Δ＝(4k ＋8)2－16k 2>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4， ∴k ＝2或－1，经判别式检验知k ＝2符合题意．4．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2与抛物线D ：y 2＝20x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的面积是( )A ．5πB．9πC．16πD．25π考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 D解析 抛物线D ：y 2＝20x 的准线方程为x ＝－5.圆C 的圆心(－2,0)到准线的距离d ＝3.又由|AB |＝8，∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝25， 故圆C 的面积S ＝πr 2＝25π，故选D.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和为2，不符合题意， 故设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，由题意得2k 2＋2k 2＝5， 则k 2＝43，所以这样的直线有且仅有2条． 6．已知点A (1,2)是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k (x ＋1)的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是( )A.22B. 2C.322 D ．23 2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 将点(1,2)代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为(1,0)． 将点(1,2)代入y ＝k (x ＋1)中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，∴抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝ 2. 7．已知点A (0，－3)，B (2,3)，点P 在x 2＝y 上，当△PAB 的面积最小时，点P 的坐标是( )A ．(1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，49 D ．(2,4) 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 ∵A (0，－3)，B (2,3)，k AB ＝3，∴直线AB 的方程y ＝3x －3.设直线y ＝3x ＋t 是抛物线的切线，∴△PAB 高的最小值是两直线之间的距离．把直线y ＝3x ＋t 代入x 2＝y ，化简得x 2－3x －t ＝0， 由Δ＝0，得t ＝－94，此时x ＝32，y ＝94， ∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94. 8．已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( ) A.13B.23C ．22D.223考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为m ：x ＝－2.直线y ＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点P (－2,0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥m 于点M ，BN ⊥m 于点N .由|AM |＝2|BN |，得点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |， ∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1，∴点B 的坐标为(1,22)．把B (1,22)代入直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)，解得k ＝223，故选D. 二、填空题9．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 0或1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 当k ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝(4k －8)2－16k 2＝0，得k ＝1，∴k ＝0或1.10．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为π4的直线l ，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |的长是________．考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 16解析 由y 2＝8x ，得其焦点F (2,0)，则过抛物线y 2＝8x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线l 的方程为y ＝1×(x －2)，即x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，x －y －2＝0，得x 2－12x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋12·122－4×4＝16.11.如图，直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为______．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 48解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，y 2＝4x ，消去y ，得x 2－10x ＋9＝0， 设B ，A 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，y 1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝9，y 2＝6，∴|AP |＝10，|BQ |＝2，|PQ |＝8，∴梯形APQB 的面积为48.三、解答题12．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求点B 的坐标． 考点 抛物线的简单几何性质的综合运用题点 抛物线的简单几何性质的综合运用解 (1)设N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x,0)， ∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2. 由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1，∵|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32. ∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)， ∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3. 又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1， 即4x 3－4x 1x 23－x 21－6x 3－x 1＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1.∵点B 在抛物线上，∴B (1,2)或B (1，－2)．13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的一点M (2，y 0)到焦点F 的距离等于3.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点D (3,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求△ABF 面积的最小值． 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题解 (1)抛物线的准线方程为x ＝－p 2， ∴M (2，y 0)到焦点的距离为2＋p 2＝3， ∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设AB 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x ＝my ＋3，得y 2－4my －12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－12，∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝16m 2＋48， ∴S △ABF ＝12|FD ||y 1|＋12|FD ||y 2|＝|y 1|＋|y 2| ＝|y 1－y 2|＝16m 2＋48≥43，∴当m ＝0时，S △ABF 取得最小值4 3.四、探究与拓展14.如图，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线依次交抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是( )A ．8B ．4C ．2D ．1考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 D解析 方法一 特殊化(只要考查直线y ＝1时的情形)．方法二 抛物线焦点为F (0,1)，由题意知，直线的斜率存在，设直线为y ＝kx ＋1，与x 2＝4y 联立得y 2－(4k 2＋2)y ＋1＝0，由于|AB |＝|AF |－1＝y A ，|CD |＝|DF |－1＝y D ，所以|AB |·|CD |＝y A y D ＝1.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2,0)．。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用
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2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用1。
直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2,则k= ( )A。
2或-2 B。
—1 C.2 D.3【解析】选C。
由得k2x2—4(k+2）x+4=0,则=4，即k=2或k=-1，又由Δ=16（k+2）2—16k2〉0,知k=2.2。
已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FA｜—|FB｜|的值等于（)A.4B.8C.8D.16【解析】选C。
依题意F(2，0），所以直线方程为y=x—2，由消去y得x2—12x+4=0。
设A（x1，y1），B(x2，y2）,则｜|FA｜—｜FB||=｜(x1+2)—（x2+2）|=|x1-x2｜===8.3.若函数f（x)=log2（x+1)—1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=________.【解析】由f(x)=log2(x+1)—1=0，知x=1，抛物线x=ay2焦点的坐标是F，由题设条件知=1，所以a=。
2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方
(1)解法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20， ∵双曲线经过点(3 2，2)， ∴1a82 －b42＝1. 由①②得 a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1．
解法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1．
〔跟踪练习 2〕 (2016·全国卷Ⅰ理，5)已知方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表示双曲线
焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是
A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1， 3) D．(0， 3)
[解析] 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又 点间的距离为 4，得 m2＋n＋3m2－n＝4，且 m2＝1，所以－1<n<
a2＋b2＝c2
其中在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为
______________．
3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆 定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0，所以令 a2－c2＝b2(b>0)
ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1(a>b>0)
双曲线
定义|MF1|－|MF2|＝ 因为 0<a<c，所以令 c2－
[解析] 如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线
为y轴建立坐标系，则
B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2 3)．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质讲义含解析新人教A版选修1_10417119.doc
2.3.2 抛物线的简单几何性质预习课本P60～63，思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？[新知初探]抛物线的简单几何性质[点睛] 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线x 2＝2py (p >0)有一条对称轴为y 轴( ) (2)抛物线y ＝－18x 2的准线方程是x ＝132( )答案：(1)√ (2)×2．设点A 为抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，且|AB |＝1，则点A 的横坐标为( ) A ．2 B ．0 C ．2或0 D ．－2或2答案：B3．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64答案：B4．若双曲线x 23－16y 2p2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.答案：4[典例] y 2＝4相交的公共弦长为23，求抛物线的方程．[解] 设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，抛物线与圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝2 3.由对称性，知y 2＝－y 1，代入上式，得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4，得x 1＝±1，所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，可得p ＝32.于是所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程． 1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 解析：选C 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)． 又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2＝±36x .故选C. 2．已知点M (x ，y )在抛物线y 2＝8x 上，则f (x ，y )＝x 2－y 2＋12x ＋9的取值范围为________．解析：f (x ，y )＝x 2－8x ＋12x ＋9＝(x ＋2)2＋5，又x ∈[0，＋∞)，所以当x ＝0时，f (x ，y )取得最小值9.所以f (x ，y )的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)[典例] 过抛物线A ，B 两点，且A ，B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C 的方程．[解] 由于抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，故可设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2， ∴－p 2＝－4，由p >0，可得p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 由抛物线的定义知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8.2．已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6，∴x 1＋x 2＝6－p . ①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p ，代入①式得3p ＝6－p ，∴p ＝32.∴所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .[典例] OA ⊥OB .[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∵OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴OA ―→⊥OB ―→，即OA ⊥OB .过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解：显然，直线斜率k 存在，设其方程为y －2＝k (x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋，y 2＝4x ，消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0.①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，16－4k ＋12k ＝0，得k ＝13或k ＝－1.所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y ＝2，x －3y ＋9＝0，x ＋y ＋1＝0.层级一 学业水平达标1．以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y解析：选C 依题意设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则2p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．若直线y ＝2x ＋p2与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，则|AB |等于( )A ．5pB ．10pC ．11pD ．12p解析：选B 将直线方程代入抛物线方程， 可得x 2－4px －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4p ，∴y 1＋y 2＝9p . ∵直线过抛物线的焦点， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝10p .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±2 2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A (x ，y )，则y 2＝4x ，① 又OA ―→＝(x ，y )，AF ―→＝(1－x ，－y )， 所以OA ―→·AF ―→＝x －x 2－y 2＝－4.② 由①②可解得x ＝1，y ＝±2.4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)， 即y ＝－2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2－4x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1. ∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋－＝5×12＝215.5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938C.6332D.94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x ，整理，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝6，x 1＋x 22＝3， ∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2.∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2)7．已知A (2,0)，B 为抛物线y 2＝x 上的一点，则|AB |的最小值为________． 解析：设点B (x ，y )，则x ＝y 2≥0，所以|AB |＝x －2＋y 2＝x －2＋x ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74.所以当x ＝32时，|AB |取得最小值，且|AB |min＝72. 答案：728．已知AB 是抛物线2x 2＝y 的焦点弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标为________． 解析：设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′.由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2.又|PQ |＝y 0＋18，所以y 0＋18＝2，解得y 0＝158.答案：1589．已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，直线l ：x ＝a2，∴A ，B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－a ， ∴|AB |＝2|a |. ∵△OAB 的面积为4，∴12·a2·2|a |＝4，∴a ＝±2 2. ∴抛物线方程为y 2＝±42x .10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)若点B (0,2)，求过点B 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程． 解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (2，－4)， 可得16＝4p ，解得p ＝4. 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ， 其准线方程为x ＝－2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0符合题意． ②当直线l 的斜率为0时，y ＝2符合题意． ③当直线l 的斜率存在且不为0时， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x 得ky 2－8y ＋16＝0.由Δ＝64－64k ＝0，得k ＝1，故直线l 的方程为y ＝x ＋2，即x －y ＋2＝0. 综上直线l 的方程为x ＝0或y ＝2或x －y ＋2＝0.层级二 应试能力达标1．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．2．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7.又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B.3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：选B 易知抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p2，代入y 2＝2px 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 22＝p ＝2(y 1，y 2分别为点A ，B 的纵坐标)，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1.4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ―→·MB ―→＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2D ．2解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2＝8x ，得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2＋k 2，x 1x 2＝4.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝kx 1－，y 2＝k x 2－⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ， ②y 1y 2＝k 2[x 1x 2－x 1＋x 2＋4]. ③∵MA ―→·MB ―→＝0，∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0. ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0， 即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.④ 由①②③④解得k ＝2.故选D 项．5．已知抛物线y 2＝12x ，则弦长为定值1的焦点弦有________条．解析：因为通径的长2p 为焦点弦长的最小值，所以给定弦长a ，若a >2p ，则焦点弦存在两条；若a ＝2p ，则焦点弦存在一条；若a <2p ，则焦点弦不存在．由y 2＝12x 知p ＝14，则通径长2p ＝12，因为1>12，所以弦长为定值1的焦点弦有2条．答案：26．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －3消去y 得x2－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6.所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，所以|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面积S ＝10＋22×8＝48.答案：487．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值． 解：(1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12，∴x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.∵|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·4k 2＋8 ＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m2|y 3－y 4|＝1＋1m2·y 3＋y 42－4y 3y 4＝m 2＋2m 2＋1m 2.由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于 |AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋22＝m 2＋2m 2＋m 4.化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：选B 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝ca ＝53. 2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析：选C 由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．3．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1解析：选A ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：选C ∵e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝14，∴b a ＝12， 则C 的渐近线方程为y ＝±12x .5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点， 故||PF 1|－|PF 2||＝4， 而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.6．已知直线y ＝kx －k (k 为实数)及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线没有公共点解析：选C 因为直线y ＝kx －k 恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，所以当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．7．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上，则PF 1―→·PF 2―→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：选C 由渐近线方程为y ＝x ，知双曲线是等轴双曲线， ∴双曲线方程是x 2－y 2＝2，于是两焦点分别是F 1(－2,0)和F 2(2,0)，且P (3，1)或P (3，－1)．不妨取点P (3，1)， 则PF 1―→＝(－2－3，－1)，PF 2―→＝(2－3，－1)． ∴PF 1―→·PF 2―→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1) ＝－(2＋3)(2－3)＋1＝0.8．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2， 所以a 2∈(0,1)∪(1,2)． 另一方面e ＝1a2＋1，则a 2＝1e 2－1， 从而e ∈⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． 9．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为坐标原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)， 由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9， 化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， 则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．11.我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选A 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知，得A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)， 则BF ―→＝(－c ，－b )，BA ―→＝(a ，－b )． ∵离心率e ＝c a ＝5－12，∴c ＝5－12a ，b ＝a 2－c 2 ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a ， ∴BF ―→·BA ―→＝b 2－ac ＝0，∴∠ABF ＝90°.12．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223解析：选D 将y ＝k (x ＋2)代入y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 设A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8－4k2k2，x 1x 2＝4，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由|FA |＝2|FB |及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2)， 即x 1＝2＋2x 2，代入x 1x 2＝4， 整理得x 22＋x 2－2＝0， 解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)． 所以x 1＝4，8－4k 2k 2＝5，解得k 2＝89，又因为k >0，所以k ＝223.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)， 故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：x 216＋y 212＝114．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线x ＝14y 2的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线x ＝14y 2的方程化为标准形式为y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)，则得a 2＋b 2＝1，又e ＝c a ＝5，易求得a 2＝15，b 2＝45，所以该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案：5x 2－54y 2＝115．已知二次曲线x 24＋y 2m＝1，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2，－1]，∴曲线方程化为x 24－y 2－m＝1，曲线为双曲线，∴e ＝4－m 2.∵m ∈[－2，－1]，∴52≤e ≤62. 答案：52，6216．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10， |PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ， 此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|， 故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2| ＝10＋－2＋42＝15.答案：15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知椭圆x 24＋y 29＝1及直线l ：y ＝32x ＋m ，(1)当直线l 与该椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线l 被此椭圆截得的弦长的最大值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋m ，x 24＋y29＝1，消去y ，并整理得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.①Δ＝36m 2－36(2m 2－18)＝－36(m 2－18)． ∵直线l 与椭圆有公共点，∴Δ≥0，据此可解得－3 2≤m ≤3 2. 故所求实数m 的取值范围为[－3 2，3 2 ]． (2)设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由①得：x 1＋x 2＝－6m 9，x 1x 2＝2m 2－189，故|AB |＝1＋k 2· x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 92－4×2m 2－189＝133· －m 2＋18， 当m ＝0时，直线l 被椭圆截得的弦长的最大值为26.19．(本小题满分12分)双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若直线l 的斜率存在，且(F 1A ―→＋F 1B ―→)·AB ―→＝0，求l 的斜率． 解：(1)设A (x A ，y A )．由题意得F 2(c,0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4， 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由题意知F 1(－2,0)，F 2(2,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k x －得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.因为l 与双曲线交于两点， 所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A ―→F 1A ―→＋F 1B ―→)·AB ―→＝0即F 1M ―→·AB ―→＝0， 知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 而x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6kk 2－3， kF 1M ＝3k 2k 2－3，所以3k 2k 2－3·k ＝－1，解得k 2＝35， 故l 的斜率为±155. 20．(本小题满分12分)已知动圆C 过定点F (0,1)，且与直线l 1：y ＝－1相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)已知直线l 2交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，求|PQ |的最大值． 解：(1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，所以点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意易知直线l 2的斜率存在， 又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线l 2的斜率为0时，|PQ |＝4 2. 当直线l 2的斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)， 即得k ＝x 1＋x 24＝t2， 则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， 则|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－t 2－＝－t2＋t 2≤6，当且仅当t ＝±2时取等号．所以|PQ |的最大值为6.21.(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝63，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由．解：(1)直线AB 的方程为：bx －ay －ab ＝0.依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在这样的k 值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＋3y 2－3＝0，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ∴Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0.①设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－12k 1＋3k2，x 1x 2＝91＋3k 2.②而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1＋1·y 2x 2＋1＝－1. 即y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0.③将②式代入③整理解得k ＝76.经验证k ＝76使①成立．综上可知，存在k ＝76，使得以CD 为直径的圆过点E .22．(本小题满分12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC ―→与BD ―→同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)． 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点， 所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ， 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1.②联立①②，得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 因AC ―→与BD ―→同向，且|AC |＝|BD |，所以AC ―→＝BD ―→，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根， 所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k2＋8k22＋4×649＋8k2， 即16(k 2＋1)＝162k 2＋＋8k22， 所以(9＋8k 2)2＝16×9， 解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选修1_1
圆锥曲线与方程
2.3 抛物线
2.3.2 抛物线的简单几何性质
1
自 主 预 习 ·探 新 知
2
互 动 探 究 ·攻 重 难
3
课 堂 达 标 ·固 基 础
4
课 时 作 业 ·练 素 能
自主预习·探新知
大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与 椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？
p2 (3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝ ___4___，y1·y2＝___－__p_2__.
1．顶点在原点，对称轴是y轴，且通径为2的抛物线的标准方程为( A )
A．x2＝±2y
B．x2＝±y
C．y2＝±x
D．y2＝±2x
[解析] 由题意，设标准方程为x2＝±2py(p>0)，
___y_＝__p2___
离心率
e＝__1___
2.焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l. (1)以AB为直径的圆必与准线l___相__切___； (2)|AB|＝____2_(_x_0＋ __p2_)_____＝x1＋x2＋p；
命题方向 2
抛物线的焦点弦与焦半径问题
1．抛物线上任意一点(x0，y0)与焦点的连线称为焦半径，通常转化为点到准 线的距离．过焦点与抛物线相交的线段称为焦点弦．抛物线焦点弦的主要性质： 抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 Fp2，0的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝p42， y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样对于抛物线 y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py， 也可得到类似的性质．
2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版
[解] 圆 F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心 F1(－5，0)，半径 r1＝1. 圆 F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心 F2(5，0)，半径 r2＝4. 设动圆 M 的半径为 R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 a＝32，c
1．(1)已知定点 F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件 的动点 P 的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选 A.]
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.② 由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程新人教A版选修
[问题1] 画出的曲线是什么形状？ [提示1] 抛物线． [问题2] 点D在移动过程中，满足什么条件？ [提示2] 点D到直线EF的距离|DA|等于DC. [问题3] 到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹方程是什 么？ [提示3] 抛物线．
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F)_距__离__相__等__的 点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦__点__，直线l叫做抛 物线的_准__线___．
解析： (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其焦点为 p2，0，根据题意有p2＝3，故 p＝6，
因此，标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其准线方程为 x＝ －52，由题意有－p2＝－52，故 p＝5， 因此，标准方程为 y2＝10x.
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求抛物线的焦点坐标及准线方程
求下列抛物线的焦点坐标和准线 方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)． [思路点拨] (1)是标准形式，可直接求出焦点坐标和准线 方程； (2)(3)需先将方程化为标准形式，再对应写出焦点坐标和 准线方程．
(1)因为 p＝7，所以焦点坐标是－72，0，准 线方程是 x＝72.
1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方 程．
(1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
解析： (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是 32，0，准线方程为 x＝－32.
(2)将 2y2－5x＝0 变形为 y2＝52x. ∴2p＝52，p＝54，开口向右． ∴焦点为58，0，准线方程为 x＝－58. (3)抛物线方程 y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay， 当 a＞0 时，则 2p＝1a， 解得 p＝21a，p2＝41a，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的几何性质b11b高二11数学
物线上任一点 A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公 式如表所示：
标准 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
方程 (p＞0) (p＞0) (p＞0) (p＞0)
焦半 径|AF|
|AF|＝ x0＋p2
|AF|＝ p2－x0
|AF|＝ y0＋p2
|AF|＝ p2－y0
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4．抛物线 y2＝4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 3， 则焦点到 AB 的距离为________． 解析：不妨设 A(x，2 3)，则(2 3)2＝4x.所以 x＝3，所以 AB 的方程为 x＝3，抛物线的焦点为(1，0)．所以焦点到 AB 的距离为y2＝2x 上任一点，则 P 到直线 x－y＋3 ＝0 的距离为 d＝|x0－y20＋3|＝y220－y20＋3＝|（y0－21）2 2＋5|， 当 y0＝1 时，dmin＝252＝542， 所以点 P 的坐标是12，1.
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有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用 抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化， 数形结合，以几何意义解决之；二是利用抛物线的标准方 程，进行消元代换，获得有关距离的含变量的代数关系式， 以目标函数最值的求法解决之．
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焦点弦问题 已知直线 l 经过抛物线 y2＝6x 的焦点 F，且与抛物 线相交于 A，B 两点．若直线 l 的倾斜角为 60°，求|AB| 的值．
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【解】 因为直线 l 的倾斜角为 60°， 所以其斜率 k＝tan 60°＝ 3. 又 F32，0， 所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.1抛物线的标准方程B版-1获奖公开课优质课件
则焦点坐标为p2，0，准线为x＝－p2， 则焦点到准线的距离是－p2－p2＝p＝3， 因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x.
抛物线定义的应用
[例 2] 已知抛物线的方程为 x2＝8y，F 是焦点，点 A(－2,4)， 在此抛物线上求一点 P，使|PF|＋|PA|的值最小．
[思路点拨] 把|PF|转化为点P到准线的距离 → 画出草图 → 数形结合 → 求出点P的坐标
即2p＝136，2p1＝94.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝136x或x2＝－94y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y或y2＝－60x.
[一点通] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知 抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即 可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦 点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上 的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为
M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准
线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不
能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．
2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的
标准方程形式，规律是：焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即
[一点通] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点 和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要 注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应 用，例如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点 与直线上点的连线中垂线段最短等．
2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程课时作
2.3.1 抛物线及其标准方程【基础巩固】1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )(A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线解析:因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为( B )(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(-1,0)解析:因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为(,0),即(2,0).故选B.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( D )(A)y=-3x2 (B)y2=9x(C)y2=-9x或y=3x2(D)y=-3x2或y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选D.4.(2018·南昌高二月考)已知P(8,a)在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.5.(2017·海南高二期中)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是( D )(A)y2=12x (B)y2=-12x(C)x2=-12y (D)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选D.6.(2016·泉州南安三中期中)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )(A)(B)3 (C)(D)解析:依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|==.故选A.7. (2018·贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,解得x=±.所以水面宽为2米.答案:28.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p>0),因为M到焦点的距离为5,所以3+=5,所以p=4.所以抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.所以m=±2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.【能力提升】9.(2018·杭州高二质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( C )(A)(B)(C)3 (D)2解析:过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.10.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为( D )(A)12 (B)24 (C)16 (D)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,+≥32.所以+的最小值为32.故选D.11.(2018·成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.解析:如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.答案:-112.(2017·孝感高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线是直线l:x=-2,焦点是F.(1)求抛物线C的方程;(2)若l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,且M到焦点F的距离为8,求△AFM的面积S.解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,所以抛物线C的方程是y2=8x.(2)由已知得A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,设抛物线上的点M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x0+=x0+2=8,所以x0=6,代入y2=8x,得=8×6=48,所以|y0|=4,所以S=|AF||y0|=×4×4=8.【探究创新】13.(2018·沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是.解析:抛物线焦点F(1,0),由题意0<a<1,且∠AFB=90°并被x轴平分,所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,即b2==c2-a2,即c2=+a2=,所以e2===1+, 因为0<a<1,所以e2>5,故e>.答案:(,+∞)。
2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程章末小结讲义(含解析)湘教版
第2章 圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的标准方程求椭圆、双曲线、抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般要先确定焦点的位置，再确定参数，当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：①椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )；②双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；③抛物线方程为x 2＝2py (p ≠0)或y 2＝2px (p ≠0)．2．椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率常用以下两种方法：(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．3．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何的角度看，直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行或重合．(2)从代数的角度看，可通过将表示直线的方程与曲线的方程组成方程组，消元后利用所得形如一元二次方程根的情况来判断．4．求曲线的方程求曲线方程的常用方法有：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x ，y )，根据几何条件直接寻求x ，y 之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x ，y 来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x ，y 之间的关系式．(3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x ，y )，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．[例1] 设圆(x －OA 中点B 的轨迹方程．[解] 法一(直接法)：设B 点坐标为(x ，y )， 由题意，得|OB |2＋|BC |2＝|OC |2，如图所示， 即x 2＋y 2＋[(x －1)2＋y 2]＝1，即OA 中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法二(几何法)：设B 点坐标为(x ，y )，由题意知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 如法一中图，则|MB |＝12|OC |＝12，故B 点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法三(代入法)：设A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12，y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y .又因为(x 1－1)2＋y 21＝1，所以(2x －1)2＋(2y )2＝1.即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)．法四(交点法)：设直线OA 的方程为y ＝kx ，当k ＝0时，B 为(1,0)；当k ≠0时，直线BC 的方程为：y ＝－1k(x －1)，直线OA ，BC 的方程联立消去k 即得其交点轨迹方程：y 2＋x (x －1)＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(x ≠0,1)，显然B (1,0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(去掉原点)为所求．(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述．(2)要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．1．求与圆x 2＋y 2＝1外切，且和x 轴相切的动圆圆心M 的轨迹方程． 解：设两圆的切点为A ，M 的坐标为(x ，y )，圆M 与x 轴相切于点N ，∴|AM |＝|MN |， |MO |－1＝|MN |＝|y |. ∴x 2＋y 2－1＝|y |. 化简得：x 2＝2|y |＋1.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2＝2|y |＋1.2．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，点P 分AB 之比为AP ∶PB ＝2∶1，求点P 的轨迹方程．解：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 的坐标为(x 0，y 0)， 由题意得AP ―→＝2PB ―→，即(x －4，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝2x 0－2x ，y ＝2y 0－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －42，y 0＝3y2，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －422＋9y 24＝4， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.∴所求轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋y 2＝169.[例2] 12P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝123，求双曲线的标准方程．[解] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝c a＝2，∴c ＝2a . 由双曲线的定义，得 ||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60° ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)， 即4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.① 又S △PF 1F 2＝123，∴12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123， 即|PF 1||PF 2|＝48.② 由①②，得c 2＝16，c ＝4， 则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12， ∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.(1)圆锥曲线的定义是标准方程和几何性质的根源，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．(2)应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B4．抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A[例3] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．[解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)， 由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2， 解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线方程联立，组成方程组，消去一个未知数，转化为关于x (或y )的一元二次方程，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2(或y 1＋y 2，y 1y 2)进而解决了与“距离”“中点”等有关的问题．5．设抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋k 所得弦长|AB |＝3 5. (1)求k 的值；(2)以弦AB 为底边，x 轴上的P 点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P 的坐标． 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋k ，y 2＝4x ，得4x 2＋4(k －1)x ＋k 2＝0，Δ＝16(k －1)2－16k 2＞0，∴k ＜12.又由根与系数的关系有x 1＋x 2＝1－k ，x 1x 2＝k 24，∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋22·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·1－2k ， 即－2k ＝35，∴k ＝－4.(2)设x 轴上点P (x,0)，P 到AB 的距离为d ， 则d ＝|2x －0－4|5＝|2x －4|5，S △PAB ＝12·35·|2x －4|5＝39， ∴|2x －4|＝26，∴x ＝15或x ＝－11. ∴P 点坐标为(15,0)或(－11,0).[例4] (2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．[解析] (1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上． 因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22.则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋m －x 1＋x 2x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l过定点(2，－1)．(1)圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，可以通过直接计算求解，也可用“特例法”和“相关系数法”．(2)圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值问题；一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题，这两类问题的解决往往要通过回归定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及数形结合、设参、转化代换等途径来解决．6．设椭圆x 29＋y 24＝1上的动点P (x ，y )，点A (a,0)(0＜a ＜3)．若|AP |的最小值为1，求a 的值．解：|AP |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9a 52－4a25＋4.因为x 29＝1－y 24，所以x 29≤1,0≤|x |≤3. (1)当0＜9a 5≤3，即0＜a ≤53时，x ＝9a 5，|AP |2取最小值4－4a25＝1.解得a ＝152.因为152＞53，所以a 不存在． (2)当9a 5＞3，即53＜a ＜3时，x ＝3，|AP |2取最小值59⎝ ⎛⎭⎪⎫3－9a 52＋4－4a25＝1.解得a ＝2或a ＝4(舍)．所以，当a ＝2时，|AP |的最小值为1.7．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .证明：如图所示．∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根， ∴y 1y 2＝－p 2，∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2，故直线CO 的斜率k ＝y 2－p 2＝－2y 2p ＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率， ∴直线AC 经过原点O .(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )A.133B.53C.23D.59解析：根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆的离心率e ＝c a ＝53. 答案：B2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：由x 2＋ky 2＝2，得x 22＋y 22k＝1，又∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴2k＞2，即0＜k ＜1.答案：D3．若抛物线x 2＝2ay 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点为(0，－1)，∴a2＝－1，即a ＝－2. 答案：A4．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由于θ∈R ，对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．答案：C5．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12， 从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3， 由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B. 答案：B6．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0.因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2.所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，则双曲线的离心率为( )25C.10D. 2解析：设双曲线右焦点为M ，∵OE ⊥PF ，∴在直角三角形OEF 中，|EF |＝ c 2－a 24.又OE ―→＝12(OF ―→＋OP ―→)，∴E 是PF 的中点．∴|PF |＝2c 2－a 24，|PM |＝a .又|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a .∴离心率e ＝c a ＝102. 答案：A8．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)， 由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9， 化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.答案：A9．已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，若|PF 1|＝7，则△PF 1F 2最大内角的余弦值为( )A ．－17B.1711713解析：由双曲线定义知|PF 2|＝|PF 1|±2a . 所以|PF 2|＝13或|PF 2|＝1<c －a ＝2(舍去) 又|F 1F 2|＝10，所以△PF 1F 2的最大内角为∠PF 1F 2， cos ∠PF 1F 2＝102＋72－1322×10×7＝－17.答案：A10．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫62，2 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞) 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a 2≠0⇒a 2≠1，且此时Δ＝4a 2(2－a 2)>0⇒a 2<2，所以a 2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面e ＝1a2＋1，则a 2＝1e 2－1，从而e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)． 答案：D11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5.∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B12．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：如图所示，由题意得A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设E (0，m )，由PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m a －ca.① 又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m a ＋c2a.② 由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，∴e ＝c a ＝13.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 2A |＝|AB |＝6，则|F 2B |＝________.解析：由椭圆定义知|F 1A |＋|F 2A |＝|F 1B |＋|F 2B |＝2a ＝10，所以|F 1A |＝10－|F 2A |＝4，|F 1B |＝|AB |－|F 1A |＝2，故|F 2B |＝10－|F 1B |＝8.答案：814．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________．解析：设抛物线焦点为F ，则|PM |＝|PF |－12，∴|PA |＋|PM |＝|PA |＋|PF |－12.∴当且仅当A ，P ，F 共线时|PA |＋|PF |取最小值为|AF |＝5，∴|PA |＋|PM |最小值为92.答案：9215．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于点P ，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋－2＋42＝15.答案：1516．已知动点P 与双曲线x 2－y 2＝1的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－13，则动点P 的轨迹方程为____________．解析：∵x 2－y 2＝1，∴c ＝ 2.设|PF 1|＋|PF 2|＝2a (常数a >0)，2a >2c ＝22， ∴a > 2. 由余弦定理有cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝PF 1|＋|PF 22－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝2a 2－4|PF 1||PF 2|－1， ∵|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时， |PF 1||PF 2|取得最大值a 2.此时cos ∠F 1PF 2取得最小值2a 2－4a2－1. 由题意2a 2－4a 2－1＝－13，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝3－2＝1. ∴P 点的轨迹方程为x 23＋y 2＝1.答案：x 23＋y 2＝1三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ―→＝2MP ―→，PM ―→⊥PF ―→，当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ―→＝2MP ―→，故P 为MN 中点． 又∵PM ―→⊥PF ―→，P 在y 轴上，F 为(1,0)， 故M 在x 轴的负方向上．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，(x >0)．∴PM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2.∵PM ―→⊥PF ―→，∴PM ―→·PF ―→＝0，即－x ＋y 24＝0.∴y 2＝4x (x >0)是轨迹C 的方程．18．(本小题满分12分)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长为a ＝1，焦半距为c ＝2，所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3.又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0， 即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6. 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.19．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ， 即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，得2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及a 2－b 2＝c 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15， 解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.22．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM ―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)． 由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q(－3，t )，P (m ，n )， 则O Q ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )， O Q ―→·PF ―→＝3＋3m －tn ，OP ―→＝(m ，n )，P Q ―→＝(－3－m ，t －n )． 由OP ―→·P Q ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0，即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ，所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .。
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2.3.2 抛物线的简单几何性质
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( C )
(A)直线与抛物线有一个公共点
(B)直线与抛物线有两个公共点
(C)直线与抛物线有一个或两个公共点
(D)直线与抛物线可能没有公共点
解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),
所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )
(A)8 (B)16 (C)32 (D)64
解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
直线的方程为y=x-2,
代入y2=8x,得(x-2)2=8x,
即x2-12x+4=0,
所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )
(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|
(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|
(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2
解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,
|FP3|=x3+.
因为2x2=x1+x3,
所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),
即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.
故选C.
4.(2018·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
(A)(B)(C)(D)3
解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.
5.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k 等于( D )
(A)(B)1 (C)(D)2
解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.
6.(2018·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B 在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于( A )
(A)90° (B)45° (C)60° (D)120°
解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
所以∠AA1F=∠AFA1,
又∠AA1F=∠A1FO,
所以∠AFA1=∠A1FO,
同理∠BFB1=∠B1FO,
于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.
故∠A1FB1=90°.
故选A.
7.(2018·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.
解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①
由
消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,
所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),
所以k=8.代入①得y=8x-15.
答案:y=8x-15
8.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.
解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),
则直线方程为y=-x+p.
设直线交抛物线于
A(x1,y1),B(x2,y2),
过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,
则由抛物线定义得
|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,
即x1+x2+p=8.①
又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,
由
消去y得x2-3px+=0.
所以x1+x2=3p,②
将②代入①,得p=2.
所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.
【能力提升】
9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点
M(-1,m),若·=0,则m等于( B )
(A)(B)(C)(D)0
解析:由可得8x2-20x+8=0,
解得x=2或x=,
则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),
由·=0,
可得(3,2-m)·(,--m)=0.
化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.
10.(2018·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )
(A)2 (B)3 (C)(D)
解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),
直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,
故ab=-m,
由·=2得a2b2+ab=2,
故ab=-2或ab=1(舍去),
所以m=2,
所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,
△AFO的面积等于×|a|=,
所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=
|a|+||≥2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.
故选B.
11.(2018·云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.
解析:设点Q的坐标为(,y0),
由|PQ|≥|a|,得+(-a)2≥a2,
整理得(+16-8a)≥0,
因为≥0,
所以+16-8a≥0,
即a≤2+恒成立.
而2+的最小值为2,
所以a≤2.
答案:(-∞,2]
12. (2018·湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.
(1)求点M到其准线的距离;
(2)求证:直线AB的斜率为定值.
(1)解:因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,
所以32=4a,a=,
所以M(,3).
因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
所以点M到其准线的距离为-(-1)=.
(2)证明:由题知直线MA,MB的斜率存在且不为0,
设直线MA的方程为y-3=k(x-),
由得y2-y+-9=0.
所以y A+3=,
所以y A=-3.
因为直线AM,BM的斜率互为相反数,
所以直线BM的方程为y-3=-k(x-).
同理可得y B=-3.(只需将y A=-3中的k换为-k)
所以k AB=====-.
所以直线AB的斜率为定值-.
【探究创新】
13.(2018·枣庄高二月考)设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为.
解析:设Q(x,y),其中x2=4y.
又圆心C(0,6),
则|QC|==
=(y≥0).
当y=4时,|QC|min=2,
所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.
答案:。