高中数学导数专题培优练习(综合问题)
高中数学导数练习题
高中数学导数练习题高中数学导数练习题在高中数学学习中，导数是一个重要的概念和工具。
它不仅在微积分中起着重要的作用，也在其他数学领域中有广泛的应用。
为了加深对导数的理解和掌握，我们可以通过练习题来提高自己的能力。
一、基础练习题1. 求函数f(x) = 3x² + 2x的导数。
解答：根据导数的定义，我们可以通过求函数的斜率来求导数。
对于f(x) = 3x²+ 2x，我们可以使用求导法则来求导数。
根据常数乘法法则和幂函数求导法则，我们可以得到f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导数。
解答：对于g(x) = sin(x) + cos(x)，我们可以使用三角函数的求导法则来求导数。
根据三角函数的导数公式，我们可以得到g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = e^x的导数。
解答：对于h(x) = e^x，我们可以使用指数函数的求导法则来求导数。
根据指数函数的导数公式，我们可以得到h'(x) = e^x。
二、应用练习题1. 求函数y = x³ - 2x² + 3x的极值点。
解答：对于函数y = x³ - 2x² + 3x，我们需要先求导数，然后令导数等于零来求得极值点。
求导得到y' = 3x² - 4x + 3。
令y' = 0，我们可以解方程得到x = 1和x = 3/2。
将这两个x值代入原函数，我们可以得到对应的y值。
所以，极值点为(1, 2)和(3/2, 9/8)。
2. 求函数y = x² - 4x的拐点。
解答：对于函数y = x² - 4x，我们需要求二阶导数，然后令二阶导数等于零来求得拐点。
求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数恒大于零，所以该函数没有拐点。
3. 求函数y = ln(x)的渐近线。
2020年高考数学大题专练导数综合问题（20题含答案详解）
2020年高考数学大题专练导数综合问题（20题含答案详解）2020年高考数学大题专练导数综合问题 1.已知函数f(x)=ax3+bx+4，当x=-2时，函数f(x)有极大值8.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(x)+mx>0在区间[1,3]上恒成立，求实数m的取值范围.2.设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m，n∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值-ln 2，求m＋n的最小值．3.已知函数f(x)=(x-1)e x＋1，g(x)=e x＋ax-1(其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718 28…)．(1)求证：函数f(x)有唯一零点；(2)若曲线g(x)=e x＋ax-1的一条切线方程是y=2x，求实数a的值．4.已知函数f(x)=ln x＋ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a=1时，函数g(x)=f(x)－x＋12x－m有两个零点x1，x2，且x11.5.已知函数f(x)=1－ln x x ，g(x)=ae e x ＋1x－bx ，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.6.已知函数f(x)=(x －1)e x ＋1，x ∈[0,1]．(1)证明：f(x)≥0；(2)若a<="">7.已知f(x)=12x 2-a 2ln x ，a>0. (1)若f(x)≥0，求a 的取值范围；(2)若f(x 1)=f(x 2)，且x 1≠x 2，证明：x 1＋x 2>2a.8.已知函数f(x)=ln x ＋a x，a ∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，证明f(x)≥2a －1a.9.已知a 为实数，函数f(x)=aln x ＋x 2-4x.(1)若x=3是函数f(x)的一个极值点，求实数a 的取值；(2)设g(x)=(a-2)x ，若?x 0∈1e ，e ，使得f(x 0)≤g(x 0)成立，求实数a 的取值范围．10.已知函数f(x)=2a －x 2e x (a ∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若?x ∈[1，＋∞)，不等式f(x)>-1恒成立，求实数a 的取值范围．11.设函数f(x)=-x 2＋ax ＋ln x(a ∈R)．(1)当a=-1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在13，3上有两个零点，求实数a 的取值范围．12.设函数f(x)=e 2x －aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f (x)≥2a＋aln 2a.13.已知函数f(x)=ae x －ln x －1.(1)设x=2是f(x)的极值点，求a ，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f (x)≥0.14.设函数f(x)=e x －x 2－ax －1(e 为自然对数的底数)，a∈R.(1)证明：当a ＜2－2ln 2时，f ′(x)没有零点；(2)当x ＞0时，f(x)＋x≥0恒成立，求a 的取值范围．15.已知函数f(x)=lnx-mx2，g(x)=0.5mx2+x，m?R,令F(x)=f(x)+g(x).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式F(x)≤mx-1恒成立，求整数m的最小值.16.已知f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex.(1)当t=-3时,求函数f(x)的单调递增区间.(2)如果f(x)有三个不同的极值点,求t的取值范围.17.已知y=f(x),f(x)=x3+ax2-a2x+2.(1)若a=1，求曲线在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若a<0, 求函数f(x)的单调区间；(3)若不等式2xlnx≤f/(x)+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．18.已知函数．(1)若函数f(x)在区间[2,3]上不是单调函数，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a>0，使得函数y=f(x)图像与直线y=2a有两个交点？若存在，求出所有a的值；若不存在，请说明理由．19.设函数f(x)=ex-1-x-ax2.(1)若a=0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．20.已知函数f(x)=xlnx+ax+1-a.(1)求证：对任意实数a，都有[f(x)]min≤1；(2)若a=2，是否存在整数k，使得在x∈(2,+∞)上，恒有f(x)>(k+1)x-2k-1成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（e=2.71828）。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
高考数学压轴题系列：导数压轴小题100题(培优专用)
高考数学压轴题系列：导数压轴小题100题一、单选题1．已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．2．已知实数，满足，则的值为（）A．B．C．D．3．定义在上的函数，单调递增，，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：①是在上的“追逐函数”；②若是在上的“追逐函数”，则；③是在上的“追逐函数”；④当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（）A．①③B．②④C．①④D．②③4．若，恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．5．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m 的取值范围是A．B．C．D．6．已知定义域为的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，，则下列判断正确的是（）A．B．C．D．7．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（）A．B．C．D．8．若函数的图象与曲线C:存在公共切线，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9．设函数（，e为自然对数的底数）.定义在R上的函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个零点，则实数a的取值范围为( )A．B．C．D．10．已知函数在上可导，其导函数为，若满足：当时，>0，，则下列判断一定正确的是( )A．B．C．D．11．已知函数有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．13．设函数的定义域为D，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是( )A．B．C．D．14．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0≤f(x)≤1；当x∈(0，π)且x≠时，，则函数y=f(x)-|sinx|在区间上的零点个数为( )A．4 B．6 C．7 D．815．已知函数是定义在上的可导函数，且对于，均有，则有（）A．B．C．D．16．已知函数，若函数的图象上存在点，使得在点处的切线与的图象也相切，则的取值范围是A．B．C．D．17．已知函数，对任意的实数，，，关于方程的的解集不可能是（）A．B．C．D．18．设函数，其中，若仅存在两个正整数使得，则的取值范围是A．B．C．D．19．己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）A．B．C．D．20．已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则( ) A．45 B．15 C．10 D．021．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．22．已知函数，若x＝2 是函数f(x)的唯一的一个极值点，则实数k的取值范围为()A．(－∞，e]B．[0，e]C．(－∞，e)D．[0，e)23．设在的导函数为，且当时，有(k为常数)，若，则在区间内，方程的解的个数为（）A．0 B．1 C．0或1 D．424．设函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．25．已知函数，，若成立，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知函数，则函数的零点的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．27．已知函数函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．28．已知当()1,x ∈+∞时，关于x 的方程()ln 21x x k xk+-=-有唯一实数解，则k 值所在的范围是（ ）A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,729．已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．30．已知，若方程有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．31．函数的定义域为D ，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：；；，则等于。
高三数学 导数培优专题(含解析)
培优导数专题1、（本大题满分12分） 设函数f （x ）=.cos 2sin xx+（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）如果对任何,0≥x 都有f （x ）ax ≤，求a 的取值范围. 2．（本小题满分12分）已知.)2()(,02xe ax x xf a -=≥函数（Ⅰ）当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.3、已知函数21()ln (1)(0).2f x x ax a x a R a =-+-∈≠且（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）夺在“中值相依切线”， 试问：函数f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．4、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点。
如果函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=∈-有且仅有两个不动点0、2，且1(2)2f -<-。
（1）试求函数()f x 的单调区间；（2）已知各项均为负的数列{}n a 满足1)1(4=nn a f s ，求证：1111ln n n n a n a ++-<<-；（3）设1n nb a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：201120101ln 2011T T -<<。
5、（12分）设函数f （x ） ＝ x 2＋bln （x ＋1）,（1）若对定义域的任意x ，都有f （x ）≥f （1）成立，求实数b 的值； （2）若函数f （x ）在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝－1，证明对任意的正整数n ，不等式33311......31211)1(nk f nk ++++∑=π都成立；6、（12分）已知函数)()(R x kx e x f x∈-= （1）若e k =，试确定函数)(x f 的单调区间；（2）若0>k 且对任意R x ∈，0|)(|>x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）设函数)()()(x f x f x F -+=，求证：)()2()()2()1(21*+∈+>⋅N n en F F F nn Λ1解： （I ）.)cos 2(1cos 2)cos 2()sin (sin cos )cos 2()(22x x x x x x x x f ++=+--+=' ……2分分是减函数在每一个区间是增函数在每一区间因此即时当即时当6.))(342,322()(,))(322,322()(.0)(,21cos ,)(342322;0)(,21cos ,)(322322ΛΛZ Z Z Z ∈++∈+-<'-<∈+<<+>'->∈+<<-k k k x f k k k x f x f x k k x k x f x k k x k ππππππππππππππππ（II ）令则),()(x f ax x g -=.31)31cos 21(3)cos 2(3cos 22)cos 2(1cos 2)(222-+-+=+++-=++-='a x x x a x x a x g故当.)(,0)0()(,0,0)0(.0)(,31ax x f g x g x g x g a ≤=≥≥=≥'≥即时所以当又时[)[).2021)2(,0.3sin cos 2sin )(,)3arccos ,0(,.3sin ,0)0()(,)3arccos ,0(.3arccos ,0)(.0)(,3arccos ,0.3cos )(,3sin )(,310ππ⋅≥>=≤>>+=∈>=>∈>'∈-='-=<<a f a ax xx x x f a x ax x h x h a x a x h x h a x a x x h ax x x h a 有时当时当于是即时故当上单调增加在因此时故当则令时当因此，a 的取值范围是.,31⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞……12分2．解：（I ）对函数f (x )求导数，得 .]2)1(2[)22()2()(22xx x e a x a x e a x e ax x x f --+=-+-='令0)(='x f ，得 [x 2+2(1－a )x －2a ]e x =0，从而x 2+2(1－a )x －2a =0.解得 212221,11,11x x a a x a a x <++-=+--=其中,当x 变化时，)(x f '，f (x )的变化如下表：当f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值，……………………4分 当a ≥0时，x 1<－1, x 2≥0，f (x )在(x 1 , x 2)为减函数，在(x 2,+ ∞)为增函数.而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x>0；当x =0时，f (x )=0.所以当x =a －1+21a +时, f (x )取得最小值. …………………8分（II ）当a ≥0时，f (x )在[－1，1]上单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1+21a +≥1.解得a ≥43；综上：f (x )在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥43；即a 的取值范围是),43[+∞… 3、解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分由已知得，1(1)()1'()1a x x a f x ax a x x-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a<<-或1x >; ∴函数()f x 在1(0,)a-和(1,)+∞上单调递增②当11a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a>-∴函数()f x 在(0,1)和1(,)a-+∞上单调递增 。
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
高考数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．22sin 24x x x >+ D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()224x h x x =+的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+， 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+ ()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t =， 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =单调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.2．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2xx aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.3．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x xπ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t = 【答案】ACD 【分析】化简函数解析式为()2cos 1f x x ⎛=--+ ⎝⎭，利用二次函数的基本性质可判断A 选项的正误；令sin cos t x x =+，可得()()3231t t f x g t t -==-，利用导数法可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；计算出()()2f x f x t +-=，利用函数的对称性可判断D 选项的正误.【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=--=-+=--+ ⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos 2x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-，()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min1g t g ===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D 选项，()222cos 222cos tx x x xf x x x⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+ ()()2222cos sin sin 2cos 2cos t x x t x x t x x t x xx x++⋅+⋅+==+++， 所以，()()()()22sin sin 2cos 2cos t x x t x xf x t t x xx x --+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,t 对称，所以，22a b t +==，可得1t =，D 对. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x =，所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.7．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1- D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”2e e y x =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确. 故选：C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．9．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11 y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题. 10．函数()lnf x x x=、()()f xg xx'=，下列命题中正确的是（）.A．不等式()0g x>的解集为1,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．函数()f x在()0,e上单调递增，在(,)e+∞上单调递减C．若函数()()2F x f x ax=-有两个极值点，则()0,1a∈D．若120x x>>时，总有()()()2212122mx x f x f x->-恒成立，则m1≥【答案】AD【分析】对A，根据()lnf x x x=，得到()()ln1f x xg xx x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.。
高三导数提高练习题
高三导数提高练习题在高三阶段，数学的知识点变得更加深入和复杂，导数作为其中一个重要的概念，对于学生来说是一个相当关键且难以理解的内容。
为了帮助同学们更好地掌握导数的应用和提高解题能力，下面将提供一些高三导数的练习题。
练习题一：求导数1. 求函数f(x) = x^2 + 2x - 3的导函数f'(x)。
解析：首先，我们需要对函数f(x)进行求导操作。
根据求导的公式，对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导函数f'(x) = 2ax + b。
所以，在这个例子中，由于a = 1，b = 2，我们可以得到f'(x) = 2x + 2。
练习题二：导数的运算2. 已知函数g(x) = x^3 - 4x^2 + 3x，求g'(x) + 2。
解析：首先，我们需要求函数g(x)的导函数g'(x)。
根据求导的公式，对于一个多次幂函数g(x) = ax^n，其导函数g'(x) = anx^(n-1)。
所以，在这个例子中，由于a = 1，n = 3，我们可以得到g'(x) = 3x^2 - 8x + 3。
然后，根据导数的运算法则，我们可以得到g'(x) + 2 = 3x^2 - 8x + 5。
练习题三：导数的应用3. 在一个园形的花坛中，花的数量是x，其半径r和花的数量x满足公式r = 2√x。
求当花的数量变化时，花坛的半径发生的变化率d(r)/d(x)。
解析：首先，我们需要求出半径r关于数量x的导数d(r)/d(x)。
根据题目给出的半径和数量的关系式，我们可以得到r = 2√x。
将其展开为r = 2x^(1/2)。
然后，根据求导的公式，对于幂函数r = ax^n，其导数d(r)/d(x) = anx^(n-1)。
所以，在这个例子中，由于a = 2，n = 1/2，我们可以得到d(r)/d(x) = 1/√x。
练习题四：求二阶导数4. 求函数h(x) = x^3 - 4x^2 + 3x的二阶导数h''(x)。
高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos x g x x x=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.2．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对，B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x=-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.3．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()2227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.4．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.5．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x ，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.6．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0x f x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()x xF x e=，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()xx x x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()xx F x e =单调递减，所以343()42F x F e ππ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭， 所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e π⎛⎫≤=⎪⎝⎭当(),x π∈-+∞时，344()22e F x e ππ-≤≤，所以当3412e a π-<-，即4a e > ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当3412e a π-=-时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.7．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ） A．函数在x =12eB ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．()f x 有两个不同的零点 D．(2)f f f <<【答案】ABD 【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项. 【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x xx x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x =()'f x+ 0-()f x极大值所以当x e =时，函数有极大值()2fe e=，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在),e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列结论不正确的是（ ） A ．10m e<<B ．21x x -的值随m 的增大而减小C ．101x <<D ．2x e >【答案】C由()0f x =得出ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断ACD 选项的正误；任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<，利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-，可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =，可得ln xm x =，构造函数()ln x g x x=，定义域为()0,∞+，()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时， ()0g x '>，此时函数()g x 单调递增； 当x e >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减. 所以，()()max 1g x g e e==，如下图所示：由图象可知，当10m e <<时，直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点，A 选项正确；当1x >时，()0g x >，由图象可得11x e <<，2x e >，C 选项错误，D 选项正确； 任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且12m m <，设()()121g g m ξξ==，其中121e ξξ<<<；设()()122g g m ηη==，其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增，且()()11g g ξη<，11ξη∴<； 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减，且()()22g g ξη<，22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-，则2121ξξηη->-. 所以，21x x -的值随m 的增大而减小，B 选项正确.【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件，并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数()y g x =的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．。
高考数学重难点培优讲义之导数小题典型题型(含答案解析)
导数小题【题型1 函数切线问题】 (4)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (5)【题型4 导数中函数的最值问题】 (6)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (7)【题型6 利用导数解不等式】 (9)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (10)【题型8 任意存在性问题】 (10)【题型9 函数零点嵌套问题】 (11)【题型10 双变量问题】 (13)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．e x+y+1=0B．e x−y+1=0C．e x+y−1=0D．e x−y−1=0【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=ln x相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f(x)=e x(x+a)x在(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[0,+∞)B．(−∞,−4]C．(−∞,−4]∪[0,+∞)D．[−4,0]【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f(x)=x3−2ax2+a2x+1在x=1处有极小值，则a的值为（）A．1B．3C．1或3D．−1或3【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x−tanx−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（）A ．π2+1，−π2+1 B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（ ）A ．ω的取值范围是[125,2910)B ．f (x )在(0,π10)单调递增C ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D ．若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，y =−52x +4π5是f (x )的切线【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2)B ．[−32,2]C ．(−43,2)D ．(−43,1]【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（）A．1B．−4C．−3D．5【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+x3+(a−3)x+1在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A．(-e，2)B．(-e，1-e)C．(1，2)D．(−∞,1−e)【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=x e x，若存在t>0，使得f(x1)= g(x2)=t成立，则x1−2x2的最小值为（）A．2−ln4B．2+ln4C．e−ln2D．e+ln2【题型5 函数零点（方程根）个数问题】，若函数g(x)=【例5】（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知函数f(x)={x3+2x2+x,x≥0−2x,x<0f(x)−|kx2−4x|,(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围（）A．(−∞,−1)∪(2√5,+∞)B．(−∞,−√5)∪(0,2)C．(−∞,0)∪(0,2+2√2)D．(−∞,0)∪(2+2√5,+∞)【变式5-1】（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）已知函数f(x)={e x,x≥0−3x,x<0，若函数g(x)=f(−x)−f(x)，则函数g(x)的零点个数为（）A．1B．3C．4D．5【变式5-2】（2023·陕西商洛·陕西校考模拟预测）已知函数f(x)={x e x,x<0−x2+2x,x≥0，若关于x的方程f2(x)−(2+t)f(x)+2t=0有3个不同的实数根，则实数t的取值范围为（）A．(−∞,−1e )B．(−1e,0)C．[−1e,1]D．(−e,2)【变式5-3】（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）已知函数f(x)=(x2−2x)e x，若方程f(x)=a有3个不同的实根x1,x2,x3(x1<x2<x3)，则ax2−2的取值范围为（）A．[−1e ,0)B．[−2e,0)C．(−√2e−√2,0)D．(−√2e−√2,√2e√2)【题型6 利用导数解不等式】【例6】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足f ′(x )−f (x )x−1>0，且f (1)=1，则不等式f (e x )−(x +1)e x >0的解集为（ ）A ．(0,+∞)B ．(1,+∞)C ．(−∞,0)D ．(−∞,1)【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）若函数f(x)为偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 3+2x 2+3．若f(−9)≥f (a 2−2a +1)，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[−2√3,4]B ．[−4,2]C ．[−2,4]D ．[−4,2√3]【变式6-2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设函数f ′(x )是函数f(x)(x ∈R )的导函数，f (3)=e 3，且f ′(x )−f (x )>0恒成立，则不等式f (x )−e x >0的解集为（ ）A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(−∞,3)D ．(3,+∞)【变式6-3】（2023·四川达州·统考一模）已知f (x )=lnx −ax 3，g (x )=x e x −lnx −x −34，若不等式f (x )g (x )>0的解集中只含有两个正整数，则a 的取值范围为（ ）A ．[ln327,ln28) B ．(ln327,ln28) C ．[ln232,ln327) D ．(ln232,ln327)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=ln(√x2+1+x)+e x−e−x−2x+3，若f(a e x)+f(lna−lnx)>6对于x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是．【变式7-1】（2023·陕西咸阳·咸阳校考模拟预测）已知f(x),g(x)分别是定义域为R的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=e x，若关于x的不等式2f(x)−ag2(x)≥0在(0,ln2)上恒成立，则实数a的最大值是．【变式7-2】（2023·陕西咸阳·武功校考模拟预测）已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，若xf′(x)−f(x)=xe x ，f(1)=−1e，且x≥1时，f(x e x)≤f(x+lnx−a)恒成立，则a的取值范围是.【变式7-3】（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数f(x)=e x+ax−2，其中a∈R，若对于任意的x1,x2∈[2,+∞)，且x1<x2，都有x2f(x1)−x1f(x2)<a(x1−x2)成立，则实数a的取值范围是．【题型8 任意存在性问题】【例8】（2023·四川乐山·统考二模）若存在x0∈[−1,2]，使不等式x0+(e2−1)lna≥2ae x0+e2x0−2成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[12e ,e 2]B ．[1e2,e 2]C ．[1e2,e 4]D ．[1e,e 4]【变式8-1】（2023·四川南充·统考三模）已知函数f(x)=13x 3，g(x)=e x −12x 2−x ，∃x 1，x 2∈[1,2]使|g (x 1)−g (x 2)|>k |f (x 1)−f (x 2)|（k 为常数）成立，则常数k 的取值范围为（ ）A ．(−∞,e −2]B ．(−∞,e −2)C ．(−∞,e 2−34] D ．(−∞,e 2−34)【变式8-2】（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数f (x )=x 2e x,x >0.若存在实数a ∈[0,1]，使得f (2−1m )≤a 3−12a 2−2a +e −1成立，则正实数m 的取值范围为（ ）A ．(12,1] B ．[12,1]C ．(0,1)D ．(0,1]【变式8-3】（2023·贵州·校联考二模）已知函数f (x )=x e x +2a ，g (x )=eln x x，对任意x 1∈[1,2]，∃x 2∈[1,3]，都有不等式f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[−e 2,+∞)B ．[1−e 2,+∞)C ．[−e2,+∞)D ．[12−e 2,+∞)【题型9 函数零点嵌套问题】【例9】（2023·四川成都·石室中学校考一模）已知函数f (x )=(ln x )2−a2x ln x +aex 2有三个零点x 1、x 2、x 3且x 1<x 2<x 3，则2lnx 1x 1+lnx 2x 2+lnx 3x 3的取值范围是（ ）A．(−1e2−e ,0)B．(−1e2,0)C．(−12e,0)D．(−2e,0)【变式9-1】（2023·四川成都·四川校考模拟预测）已知a>1，x1,x2,x3为函数f(x)=a x−x2的零点，x1< x2<x3，若x1+x3=2x2，则（）A．x3x2<2ln a B．x3x2=2ln aC．x3x2>2ln a D．x3x2与2ln a大小关系不确定【变式9-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数f(x)=e x−1x +xe x−1+x+a，若f(x)=0有3个不同的解x1，x2，x3且x1<x2<x3，则2e x1x1+e x2x2+e x3x3的取值范围是（）A．(e,+∞)B．[2e,+∞)C．(−8e,+∞)D．(e,2e)【变式9-3】（2023·江西南昌·统考二模）已知正实数a使得函数f(x)=(e x−ax)(x−alnx)有且只有三个不同零点x1,x2,x3，若x1<x2<x3，则下列x1,x2,x3的关系式中，正确的是（）A．x1+x3=2x2B．x1+x2=√ax3C．x1x3=√a2x22D．x1x3=x22【题型10 双变量问题】【例10】（2023下·福建福州·高二校考期中）已知函数f(x)=(x−2)e x，若f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，x1⋅x2> 0，则（）A．x1>12B．x2<32C．x1x2>1D．x1+x2<2【变式10-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）若实数x,y满足4lnx+2ln(2y)≥x2+8y−4，则（）A．xy=√24B．x+y=√2C．x+2y=1+√2D．x2y=1【变式10-2】（2023下·河南信阳高二淮滨高中校考阶段练习）设函数f(x)=e x(x−ae x)(其中e为自然对数的底数)恰有两个极值点x1,x2(x1<x2)，则下列说法中正确的是(）A．0<a<13B．0<x2<1C．−12<f(0)<0D．f(x1)+f(x2)>0【变式10-3】（2023·全国·高三专题练习）已知a>b>0，blna=alnb，有如下四个结论：①b<e；②b>e；③∃a,b满足a⋅b<e2；④a⋅b>e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④1．（2023·全国·统考高考真题）曲线y =e x x+1在点(1,e2)处的切线方程为（ ）A ．y =e4xB ．y =e2xC ．y =e 4x +e4D ．y =e 2x +3e42．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x )=a e x −lnx 在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为（ ）． A ．e 2 B ．eC ．e −1D ．e −23．（2023·全国·统考高考真题）函数f (x )=x 3+ax +2存在3个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−2) B ．(−∞,−3) C ．(−4,−1) D ．(−3,0)4．（2022·全国·统考高考真题）当x =1时，函数f(x)=alnx +bx 取得最大值−2，则f ′(2)=（ ）A ．−1B ．−12C ．12D ．15．（2022·全国·统考高考真题）已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则（）A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b6．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．[18,814]B．[274,814]C．[274,643]D．[18,27]7．（2021·全国·统考高考真题）若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A．e b<a B．e a<bC．0<a<e b D．0<b<e a8．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）．A．f(0)=0B．f(1)=0C．f(x)是偶函数D．x=0为f(x)的极小值点9．（2023·全国·统考高考真题）若函数f(x)=alnx+bx +cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则（）．A．bc>0B．ab>0C．b2+8ac>0D．ac<010．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=x3−x+1，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线11．（2023·全国·统考高考真题）设a∈(0,1)，若函数f(x)=a x+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增，则a的取值范围是.12．（2022·全国·统考高考真题）已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a x−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是．导数小题【题型1 函数切线问题】 (3)【题型2 导数中函数的单调性问题】 (4)【题型3 导数中函数的极值问题】 (6)【题型4 导数中函数的最值问题】 (9)【题型5 函数零点（方程根）个数问题】 (12)【题型6 利用导数解不等式】 (16)【题型7 导数中的不等式恒成立问题】 (19)【题型8 任意存在性问题】 (22)【题型9 函数零点嵌套问题】 (25)【题型10 双变量问题】 (30)导数是高考数学的必考内容，是高考常考的热点内容，主要涉及导数的运算及几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数的极值和最值问题等，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想.从近三年的高考情况来看，导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小；利用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题，解题时要灵活求解．【知识点1 切线方程的求法】1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；③将已知条件代入②中的切线方程求解.【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】1.确定函数单调区间的步骤；(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.2.含参函数的单调性的解题策略：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.3.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.2.根据函数极值求参数的一般思路：已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.3.利用导数求函数最值的解题策略：(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：①求函数在(a,b)内的极值；②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【知识点4 导数的综合应用】1.导数中函数的零点（方程的根）的求解策略(1)利用导数研究方程根（函数零点）的技巧①研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．②根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．③利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)已知函数零点个数求参数的常用方法①分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．②分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．2.导数中恒成立、存在性问题的求解策略恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值；当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，结合函数图象，利用导数来求解．【题型1 函数切线问题】【例1】（2023·全国·模拟预测）若曲线y=(1−x)e x有两条过点A(a,0)的切线，则a的取值范围是（）A．(−∞,−1)∪(3,+∞)B．(−3,1)C．(−∞,−3)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)【解题思路】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】设切点为(x0,(1−x0)e x0)，由已知得y′=−xe x，则切线斜率k=−x0e x0，切线方程为y−(1−x0)e x0=−x0e x0(x−x0)．∵直线过点A(a,0)，∴−(1−x0)e x0=−x0e x0(a−x0)，化简得x02−(a+1)x0+1=0．∵切线有2条，∴Δ=(a+1)2−4>0，则a的取值范围是(−∞,−3)∪(1,+∞)，故选：D.【变式1-1】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数f(x)=1e x−1，则曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程为（）A．ex+y+1=0B．ex−y+1=0C．ex+y−1=0D．ex−y−1=0【解题思路】先由导数求切线的斜率，再求出切点，结合点斜式方程写出即可.【解答过程】由f(x)=1e x −1，得f′(x)=−1e x，所以f′(−1)=−e，又f(−1)=e−1，故曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线的方程为y−(e−1)=−e(x+1)，即ex+y+1=0.故选：A.【变式1-2】（2023·四川雅安·统考一模）若直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=（）A．1e2B．2e2C．1eD．2e【解题思路】利用导数的几何意义计算即可.【解答过程】设切点为(x0,lnx0)，则由题意可知f′(x)=1x ⇒f′(x0)=1x0=k，所以{1x0=kkx0=lnx0⇒{x0=ek=1e.故选：C.【变式1-3】（2023·四川凉山·统考一模）函数f(x)=12x2+alnx在区间(1,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）A．(−2,1)B．(−2,−1)C．(−2,0)D．(−3,−2)【解题思路】利用导数的几何意义结合导函数的单调性计算即可.【解答过程】由f(x)=12x2+alnx⇒f′(x)=x+ax(x>0)，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，且f′(x1)⋅f′(x2)=−1若a≥0，则f′(x)>0恒成立，不符合题意，可排除A项；所以a<0，此时易知y=f′(x)单调递增，要满足题意则需{f′(1)=1+a<0 f′(2)=2+a2>0f′(1)f′(2)=(1+a)(2+a2)<−1⇒a∈(−3,−2).故选：D.【题型2 导数中函数的单调性问题】【例2】（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是（）A．y=1x2B．y=e−2x C．y=−x2+1D．y=lg|x|【解题思路】求导判断函数单调性，并结合偶函数的定义逐一判断即可.【解答过程】对于A选项：当x∈(0,+∞)时，y=1x2的导函数为y′=−2x3<0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递减，故A选项不符合题意；对于B选项：当x∈(0,+∞)时，y=e−2x的导函数为y=−2e−2x<0，所以y=e−2x在x∈(0,+∞)时单调递减，故B选项不符合题意；对于C选项：当x∈(0,+∞)时，y=−x2+1的导函数为y′=−2x<0，所以y=−x2+1在x∈(0,+∞)时单调递减，故C选项不符合题意；对于D选项：当x∈(0,+∞)时，y=lg|x|=lgx的导函数为y′=1x⋅ln10>0，所以y=1x2在x∈(0,+∞)时单调递增，又函数y=lg|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)=lg|x|=lg|−x|=f(−x)，故D选项符合题意.故选：D.【变式2-1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数f(x)=2(x−1)e x−x2−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A．0B．1eC．e D．3【解题思路】结合导数，将f(x)在R上单调递增转化为f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，再参变分离，转化为a≤2xe x−2x恒成立，即求出2xe x−2x的最小值即可得.【解答过程】由题意可得f′(x)=2xe x−2x−a，因为f(x)在R上单调递增，所以f′(x)=2xe x−2x−a≥0恒成立，即a≤2xe x−2x恒成立，设g(x)=2xe x−2x，则g′(x)=(2x+2)e x−2，令ℎ(x)=(2x+2)e x−2，则ℎ′(x)=(2x+4)e x，当x<−2时，ℎ′(x)<0，x>−2时,ℎ′(x)>0,故ℎ(x)在(−∞,−2)为减函数，在(−2,+∞)上为增函数，故ℎ(x)min=ℎ(−2)<0，但ℎ(0)=0，x→−∞时，ℎ(x)→−2，故当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0，则g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故g(x)min=g(0)=0，即a≤0.故选：A.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知x=ln56，y=2425ln45，z=−16，则（）A．y<x<z B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z【解题思路】设函数f (x )=xlnx ，利用函数单调性，比较x ，y 的大小，再结合lnx ≤x −1，比较x ，z 的大小.【解答过程】设f (x )=xlnx （x >0），则f ′(x )=lnx +1>0 ⇒ x >1e，所以函数f (x )在(1e,+∞)上为增函数.又1e <45<56所以f (45)<f (56)即2425ln 45<ln 56 ⇒ x >y ； 设g (x )=lnx −x +1，则g ′(x )=1x −1=1−x x>0 ⇒ 0<x <1，故g (x )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减.所以g (x )≤g (1)=0，故lnx −x +1≤0 ⇒ lnx ≤x −1（当x =1时取“=”） 所以ln 56≤56−1=−16，即x <z .故选：A.【变式2-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0,+∞)B ．(−∞,−4]C ．(−∞,−4]∪[0,+∞)D ．[−4,0]【解题思路】由导函数f ′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立可得． 【解答过程】f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2，因为函数f (x )=e x (x+a )x在(0,+∞)上单调递增，所以当x ∈(0,+∞)时，f ′(x )=e x (x 2+ax−a )x 2≥0恒成立，即当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，因为对称轴为x =−a2，当a >0时，x =−a 2<0，g (0)=−a <0，所以当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0不恒成立，不符题意；当a ≤0时，x =−a2≥0，当x ∈(0,+∞)时，g (x )=x 2+ax −a ≥0恒成立，则Δ=a 2+4a ≤0，解得−4≤a ≤0． 故选：D ．【题型3 导数中函数的极值问题】【例3】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值，则a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．−1或3【解题思路】由f (x )在x =1处有极小值可知，f ′(1)=0解出a 的值，并根据单调性验证. 【解答过程】因为f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1，所以f ′(x )=3x 2−4ax +a 2，因为函数f (x )=x 3−2ax 2+a 2x +1在x =1处有极小值， 所以f ′(1)=3−4a +a 2=0，解得a =1或a =3， 当a =1时，f ′(x )=3x 2−4x +1=(3x −1)(x −1)， 当f ′(x )>0时，x <13或x >1，当f ′(x )<0时，13<x <1， f (x )在x =1处取到极小值，符合题意；当a =3时，f ′(x )=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)， 当f ′(x )>0时，x <1或x >3，当f ′(x )<0时，1<x <3， f (x )在x =1处取到极大值，不符合题意； 综上：a 的值为1. 故选：A.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）函数f(x)=2x −tanx −π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为（ ）A ．π2+1，−π2+1B ．−π2+1，−3π2+1 C ．3π2−1，−π2+1D ．−π2−1，−3π2+1【解题思路】求出f ′(x )，由f ′(x)<0、f ′(x)>0可得答案． 【解答过程】由题意，得f ′(x)=2−(sinx cosx)′=2−1cos 2x =2cos 2x−1cos 2x，当x ∈(−π2,−π4)∪(π4,π2)时，2cos 2x −1<0，f ′(x)<0； 当x ∈(−π4,π4)时，2cos 2x −1>0，f ′(x)>0．所以f(x)在(−π2,−π4)上单调递减，在(−π4,π4)上单调递增，在(π4,π2)上单调递减． 当x =−π4时，f(x)取得极小值，为f (−π4)=−3π2+1；当x =π4时，f(x)取得极大值，为f (π4)=−π2−1． 故选：D ．【变式3-2】（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数f (x )=e x +x 22−lnx 的极值点为x 1，函数ℎ(x )=lnx 2x的最大值为x 2，则（ ）A ．x 1>x 2B ．x 2>x 1C ．x 1≥x 2D ．x 2≥x 1【解题思路】根据题目条件求出x1∈(14,12)，x2=12e<14，即可判断．【解答过程】f(x)=e x+x22−lnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=e x+x−1x 在(0,+∞)上单调递增，且f(12)=e12−32>0，f(14)=e14−154<0，所以∃x1∈(14,12)，e x1+x1−1x1=0，所以当0<x<x1时f′(x)<0，当x>x1时f′(x)>0，即f(x)在(0,x1)上单调递减，在(x1,+∞)上单调递增，则f(x)在x=x1处取得极小值且x1∈(14,12 )．ℎ(x)=lnx2x 的定义域为(0,+∞)，由ℎ′(x)=2−2lnx4x2=1−lnx2x2，当x∈(0,e)时，ℎ′(x)>0，当x∈(e,+∞)时，ℎ′(x)<0，故ℎ(x)=lnx2x 在x=e处取得极大值，也是最大值，ℎ(x)max=ℎ(e)=lne2e=12e，即x2=12e <14．所以x1>x2．故选：A.【变式3-3】（2023·广东广州·广州校考模拟预测）设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论错误的是（）A．ω的取值范围是[125,29 10)B．f(x)在(0,π10)单调递增C．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，则ω=165；D．若x=3π25是f(x)在(0,2π)上的第一个极值点，y=−52x+4π5是f(x)的切线【解题思路】选项A，利用函数有5个零点，根据整体思想，可得答案；选项B，根据正弦函数的单调性，利用整体思想，结合选项A，求其最值，可得答案；选项C，根据正弦函数零点的计算公式，建立方程，可得答案；选项D，先求直线与三角函数的公共点，根据导数的几何意义，可得答案.【解答过程】∵f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，在[0,2π]有且仅有5个零点，∴0≤x≤2π，π5≤ωx+π5≤2πω+π5，则5π≤2πω+π5<6π，125≤ω<2910，A正确；当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5，当ω=2910时，ωπ10+π5=29π100+20π100=49π100<π2，B 正确；若x =3π25是f (x )在(0,2π)上的第一个极值点，ω3π25+π5=π2，ω=52，C 错误；由C 得f (x )=sin (52x +π5)，直线y =−52x +4π5过定点M (8π25,0)，点M 在f (x )上，f ′(x )=52cos (52x +π5)=−52，f ′(8π25)=−52， 所以直线y =−52x +4π5是f (x )的切线，D 正确.故选：C.【题型4 导数中函数的最值问题】【例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）函数f (x )=x 2+(a −1)x −3lnx 在(1,2)内有最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−32,2) B ．[−32,2] C ．(−43,2)D ．(−43,1]【解题思路】求出f ′(x)=2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，得出g(x)=0有一正根一负根，因此题意说明正根在区间(1,2)内，从而由{g(1)<0g(2)>0得参数范围．【解答过程】f ′(x)=2x +(a −1)−3x =2x 2+(a−1)x−3x，设g(x)=2x 2+(a −1)x −3，因为Δ=(a −1)2+24>0，因此g(x)=0有两个不同实根， 又g(0)=−3<0，因此g(x)=0两根一正一负， 由题意正根在(1,2)内，所以{g(1)=2+(a −1)−3<0g(2)=8+2(a −1)−3>0 ，解得−32<a <2，故选：A ．【变式4-1】（2023·广西南宁·统考模拟预测）若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为（ ）A ．1B ．−4C ．−3D ．5【解题思路】分类参数可得a =2x +1x 2(x >0)，构造函数ℎ(x )=2x +1x 2(x >0)，利用导数求出函数ℎ(x )的单调区间及极值，作出其大致函数图象，结合函数图象求出a ，再利用导数求出函数f (x )在[−1,1]上的最值即可.【解答过程】函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且仅有一个零点，即方程f(x)=2x3−ax2+1=0在(0,+∞)内有且仅有一个实根，分离参数可得a=2x+1x2(x>0)，令ℎ(x)=2x+1x2(x>0)，则函数y=ℎ(x),y=a只有一个交点，ℎ′(x)=2−2x3=2(x3−1)x3，当0<x<1时，ℎ′(x)<0，当x>1时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=3，又当x→0时，ℎ(x)→+∞，当x→+∞时，ℎ(x)→+∞，如图，作出函数ℎ(x)=2x+1x2(x>0)的大致图像，由图可知a=3，所以f(x)=2x3−3x2+1，则f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，当−1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，又f(−1)=−4,f(0)=1,f(1)=0，所以f(x)在[−1,1]上的最大值为1，最小值为−4，所有f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值之和为1−4=−3.故选：C.【变式4-2】（2023·广东湛江·校考模拟预测）已知函数f(x)=e x +x 3+(a −3)x +1在区间(0，1)上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-e ，2)B ．(-e ，1-e )C ．(1，2)D ．(−∞,1−e)【解题思路】f ′(x )在(0,1)上递增，根据f (x )在(0,1)上有最小值，可知f (x )有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得a 的取值范围.【解答过程】∵f ′(x )=e x +3x 2+(a −3)在区间(0,1)上单调递增，由题意只需 {f ′(0)<0f ′(1)>0 ⇒{a −2<0e +a >0⇒−e <a <2， 这时存在x 0∈(0,1)，使得f(x)在区间(0,x 0)上单调递减，在区间[x 0,1)上单调递增，即函数f(x)在区间(0,1)上有极小值也即是最小值． 所以a 的取值范围是(−e,2). 故选：A.【变式4-3】（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知函数f (x )=xlnx ，g (x )=xe x ，若存在t >0，使得f (x 1)=g (x 2)=t 成立，则x 1−2x 2的最小值为（ ）A ．2−ln4B ．2+ln4C ．e −ln2D ．e +ln2【解题思路】由题设知f(x 1)=f(e x 2)=t ，研究f(x)的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定y =t >0、f(x)的交点个数得x 1=e x 2，进而将目标式化为x 1−2x 2=x 1−2lnx 1且x 1>1，构造函数研究最小值即可.【解答过程】由题设x 1lnx 1=x 2e x 2=e x 2lne x 2=t ，即f(x 1)=f(e x 2)=t ，由f ′(x)=1+lnx ，则(0,1e )上f ′(x)<0，f(x)递减；(1e ,+∞)上f ′(x)>0，f(x)递增； f(x)≥f(1e )=−1e ，且f(1)=0，f(x)图象如下：由图知：t ∈(0,+∞)时，x 1=e x 2，即x 2=lnx 1且x 1>1，所以x 1−2x 2=x 1−2lnx 1， 令ℎ(x)=x −2lnx 且x ∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=1−2x =x−2x，。
高中求导专项练习题
高中求导专项练习题1. 求导问题一已知函数$y=x^3-2x^2$，求该函数在$x=2$处的导数值。
解析：求导即求函数的斜率，利用导数的定义进行求解。
函数$y=x^3-2x^2$的导数为$\frac{dy}{dx}=3x^2-4x$。
将$x=2$代入导数表达式中，即可求出该函数在$x=2$处的导数值。
2. 求导问题二已知函数$y=\sqrt{x+1}$，求该函数的导数。
解析：利用导数的定义求解。
函数$y=\sqrt{x+1}$的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$。
将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
3. 求导问题三已知函数$y=e^x\ln x$，求该函数的导数。
解析：利用乘法法则和链式法则求解。
函数$y=e^x\ln x$的导数为$\frac{dy}{dx}=e^x\ln x+\frac{e^x}{x}$。
利用指数函数和对数函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
4. 求导问题四已知函数$y=\sin^2x$，求该函数的导数。
解析：利用链式法则求解。
函数$y=\sin^2x$的导数为$\frac{dy}{dx}=2\sin x\cos x$。
利用三角函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
5. 求导问题五已知函数$y=\frac{1}{\log_2x}$，求该函数的导数。
解析：利用倒数法则和链式法则求解。
函数$y=\frac{1}{\log_2x}$的导数为$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x\ln 2(\ln x)^2}$。
利用对数函数的导数规则，将导数表达式简化后即可得到该函数的导数。
6. 求导问题六已知函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}$，求该函数的导数。
解析：利用除法法则和链式法则求解。
函数$y=\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}$的导数为$\frac{dy}{dx}=\frac{2x\sqrt{1+x}-\frac{1}{2}x^2\frac{1}{\sqrt{1+x}}}{1+x}$。
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
高中数学函数的单一性与导数综合测试题(含答案 )选修 2-2 1.3.1 函数的单一性与导数一、选择题1．设 f(x) ＝ax3＋ bx2＋ cx＋d(a0)，则 f(x) 为 R 上增函数的充要条件是 ()A ．b2－ 4ac0 B．b0， c0C．b＝0，c D ． b2－ 3ac0[答案] D[ 分析 ]∵a0，f(x)为增函数，f(x) ＝3ax2＋ 2bx＋ c0 恒建立，＝(2b)2－ 43ac＝ 4b2－ 12ac0， b2－3ac0.2．(2009 广东文， 8)函数 f(x) ＝ (x－ 3)ex 的单一递加区间是() A ．(－， 2) B． (0,3)C．(1,4) D ． (2，＋ )[答案] D[ 分析 ]考察导数的简单应用．f(x) ＝(x－ 3)ex＋ (x－ 3)(ex) ＝ (x－ 2)ex，令 f(x)0 ，解得 x2，应选 D.3．已知函数y＝ f(x)(xR) 上任一点 (x0， f(x0)) 处的切线斜率k ＝(x0 －2)(x0 ＋ 1)2，则该函数的单一递减区间为 ()A ．[－1，＋ ) B．(－， 2]C．(－，－ 1)和 (1,2) D ． [2，＋ )[答案]B[ 分析 ]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单一减区间为 (－， 2] ．4．已知函数y＝xf(x) 的图象如图 (1)所示 (此中 f(x) 是函数 f(x)的导函数 )，下边四个图象中，y＝ f(x) 的图象大概是 ()[答案] C[ 分析 ]当01时xf(x)0f(x)0 ，故 y＝f(x) 在 (0,1)上为减函数当 x1 时 xf(x)0 ，f(x)0 ，故 y＝ f(x) 在(1，＋ )上为增函数，所以否认 A、B、D 应选 C.5．函数 y＝xsinx ＋ cosx， x(－)的单一增区间是()A. －，－ 2 和 0，2B.－ 2， 0 和 0，2C.－，－ 2，D.－ 2，0 和[答案]A[ 分析 ] y＝xcosx，当－ x2 时，cosx0， y＝xcosx0 ，当 02 时， cosx0，y＝ xcosx0.6．以下命题建立的是 ()A ．若 f(x) 在 (a，b)内是增函数，则对任何 x(a，b)，都有 f(x)0B．若在 (a， b)内对任何x 都有 f(x)0 ，则 f(x) 在 (a， b)上是增函数C．若 f(x) 在 (a， b)内是单一函数，则f(x) 必存在D ．若 f(x) 在 (a， b)上都存在，则f(x) 必为单一函数[答案]B[ 分析 ]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0 ，故 A 错； f(x)在(a，b)内是单一函数与 f(x) 能否存在无必定联系，故 C 错；f(x) ＝2 在 (a， b)上的导数为f(x) ＝ 0 存在，但f(x) 无单一性，故D错．7． (2019 福建理， 11)已知对随意实数 x ，有 f( － x) ＝－ f(x) ，g(－x) ＝ g(x) ，且 x0 时， f(x)0 ，g(x)0 ，则 x0 时 () A ．f(x)0 ，g(x) B ． f(x)0 ， g(x)0C．f(x)0 ，g(x) D ． f(x)0 ， g(x)0[答案 ]B[分析 ]f(x) 为奇函数， g(x) 为偶函数，奇 (偶 )函数在对于原点对称的两个区间上单一性同样(反 )，x0 时， f(x)0 ，g(x)0. 8． f(x) 是定义在 (0，＋ )上的非负可导函数，且知足xf(x) ＋f(x)0 ，对随意正数 a、 b，若 ab，则必有 ()A ．af(a)f(b)B ． bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D ．bf(a)af(b)[答案 ]C[分析 ]∵xf(x) ＋ f(x)0 ，且 x0 ，f(x)0 ，f(x) －f(x)x ，即 f(x) 在(0，＋ )上是减函数，又 0＜ a＜ b， af(b)bf(a) ．9．对于 R 上可导的随意函数f(x) ，若知足 (x －1)f(x)0 ，则必有()A ．f(0) ＋ f(2)2f(1)B ． f(0) ＋ f(2)2f(1)C．f(0) ＋ f(2)2f(1) D ． f(0) ＋ f(2)2f(1)[答案] C[ 分析 ]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单一递加，在(－，1] 上单一递减或f(x) 恒为常数，故 f(0) ＋ f(2)2f(1) ．故应选 C.10．(2019 江西理， 12)如图，一个正五角星薄片( 其对称轴与水面垂直 )匀速地升出水面，记t时辰五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0) ＝0)，则导函数y＝ S(t)的图像大概为[答案]A[ 分析 ]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，此中恰露出一个角时变化不连续，应选 A.二、填空题11．已知 y ＝13x3 ＋ bx2＋ (b＋ 2)x＋ 3 在 R 上不是单一增函数，则 b 的范围为 ________．[ 答案 ] b－1 或 b2[ 分析 ]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒建立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意 b＜－ 1 或 b＞2.12．已知函数f(x) ＝ax－ lnx ，若 f(x) ＞ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，实数 a 的取值范围为 ________．[ 答案 ] a1[ 分析 ]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒建立．设 g(x) ＝ 1＋ lnxx ，则 g(x) ＝－ lnxx2 ＜ 0(x＞ 1)，g(x) ＝ 1＋ lnxx 在区间 (1，＋ )内单一递减，g(x) ＜ g(1)，∵g(1)＝ 1，1＋ lnxx ＜ 1 在区间 (1，＋ )内恒建立，a1.13．函数 y＝ln(x2 － x－2)的单一递减区间为__________．[答案 ] (－，－ 1)[ 分析 ]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令 f(x) ＝ x2－x － 2， f(x) ＝ 2x－10，得 x12 ，函数 y＝ ln(x2 －x－ 2)的单一减区间为 (－，－ 1)．14．若函数y＝ x3 － ax2＋ 4 在 (0,2)内单一递减，则实数 a 的取值范围是 ____________ ．[答案 ] [3，＋ )[ 分析 ] y＝3x2 － 2ax，由题意知3x2－ 2ax0 在区间 (0,2) 内恒建立，即 a32x 在区间 (0,2)上恒建立， a3.三、解答题15．设函数 f(x) ＝x3－ 3ax2＋ 3bx 的图象与直线12x ＋y－ 1＝0 相切于点 (1，－ 11)．(1)求 a、 b 的值；(2)议论函数f(x) 的单一性．[ 分析 ] (1)求导得 f(x) ＝ 3x2－6ax＋3b.因为 f(x) 的图象与直线12x＋y － 1＝0 相切于点 (1，－ 11)，所以 f(1) ＝－ 11，f(1) ＝－ 12，即 1－ 3a＋3b＝－ 113－6a＋3b＝－ 12，解得 a＝ 1，b＝－ 3.(2)由 a＝ 1， b＝－ 3 得f(x) ＝3x2－ 6ax＋3b＝ 3(x2－ 2x－ 3)＝3(x ＋1)(x － 3)．令 f(x)0 ，解得 x －1 或 x3；又令 f(x)0 ，解得－ 13.所以当 x(－，－ 1)时， f(x) 是增函数；当x(3 ，＋)时，f(x) 也是增函数；当 x( － 1,3)时， f(x) 是减函数．16．求证：方程x－ 12sinx＝ 0 只有一个根x＝ 0.[ 证明 ]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则 f(x) ＝ 1－12cosx＞ 0，f(x) 在(－，＋ )上是单一递加函数．而当 x＝ 0 时， f(x) ＝ 0，方程 x－ 12sinx ＝0 有独一的根x＝ 0.17．已知函数y＝ ax 与 y＝－ bx 在(0，＋ )上都是减函数，试确立函数 y＝ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 剖析 ] 可先由函数 y＝ax 与 y＝－ bx 的单一性确立 a、b 的取值范围，再依据 a、 b 的取值范围去确立 y＝ ax3＋ bx2＋ 5 的单一区间．[ 分析 ]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由 y＝ ax3＋bx2＋ 5 得 y＝ 3ax2＋ 2bx.令 y＞ 0，得 3ax2＋ 2bx＞0，－ 2b3a＜ x＜ 0.当 x－ 2b3a， 0 时，函数为增函数．令 y＜ 0，即 3ax2＋ 2bx＜0，x＜－ 2b3a，或 x＞ 0.在－，－ 2b3a，(0，＋ )上时，函数为减函数．18． (2019 新课标全国文，21)设函数 f(x) ＝x(ex － 1)－ ax2.(1)若 a＝ 12，求 f(x) 的单一区间；(2)若当 x0 时 f(x)0 ，求 a 的取值范围．[ 分析 ] (1)a＝12 时， f(x) ＝x(ex － 1)－12x2，f(x) ＝ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)(x ＋ 1)．当 x( －，－ 1)时， f(x)0 ；当 x(－ 1,0)时， f(x)0 ；当 x(0 ，＋ )时， f(x)0.故 f(x) 在 (－，－ 1]， [0，＋ )上单一递加，在[ －1,0] 上单一递减．(2)f(x) ＝ x(ex － 1－ ax)．令 g(x) ＝ ex－ 1－ ax，则 g(x) ＝ex－ a.“师”之观点，大概是从先秦期间的“师长、师傅、先生”而来。
高中数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及答案
高中数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数1(),()122x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12()(2)m f lnm g e-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项的正误．进而得出结论． 【详解】在函数1(),()122xx f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q，则||2PQ =，而2ln 2<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x'=，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为12121(2)2m m g ee--'=，令12()(2)m f lnm g e-''=，即1212m m e-=，即1221m me -=，则12m =满足方程1221m me -=，m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数1()()()22xx F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x'=-，函数1()xF x e x'=-在(0,)+∞上为增函数，由于1()20F e '<，F '（1）10e =->，则存在1(,1)2t ∈，使得1()0tF t e t'=-=，可得t lnt =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．∴11()()2222t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-11132220222t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>， ∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122n y x ln n =+-， ∴11(1)22m n n m lnm ln ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，令1()(1)22G x x x lnx ln =--++，则11()1x G x lnx lnx x x-'=--=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1(2)202G ln '=-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1()0G s lns s'=-=，且1s s e =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，5(2)02G =>，17(8)20202G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1(1)202m m lnm ln --++=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．2．已知函数()1ln f x x x x=-+，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()121()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()2110g x x x''=--<，所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()110,12ln 202g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x=-+， 当0x >时，()1ln f x x x x=-+，可得 ()221x x f x x -+-'=， 因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()221x x f x x -+-'=，因为22131()024x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1ln f x x x x=-+在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-，则 ()2110x x xϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，可得()()12222222211111lnln 1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()121()f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 121x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.3．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上 B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为334C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P点坐标为：1212(,)2x x x x +， 直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x=-⇒=，因此正三角形PAB，所以正三角形PAB的面积为11sin6022︒==，故本选项说法正确；C：阿基米德三角形PAB为直角三角形，当PA PB⊥时，所以1212121222121122122114PA PBx x x xx xk k x xx x x x x x++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---，直线AB的方程为：14y kx=+所以P点坐标为：1(,)24k-，点P到直线AB的距离为：=||AB===，因为12121,4x x k x x+==-，所以21AB k=+，因此直角PAB的面积为：2111(1)224k⨯+=≥，当且仅当0k=时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D：因为1212,x x k x x m+==-，所以1||AB x x===-，点P到直线AB的距离为：212==所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x xS x x-=⋅-=，故本选项说法不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.4．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点， 当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解． 设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值， 又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、，()2ln xg x x -'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误；对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD.【点睛】 本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ） A．函数在x =12e B ．函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．()f x 有两个不同的零点D．(2)f f f <<【答案】ABD【分析】 求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A 选项，作出函数()f x 的抽象图像可以判断BCD 选项.【详解】函数的定义域为()0,∞+，求导2431ln 212ln ()x x x x x f x x x ⋅-⋅-'==， 令()0f x '=，解得：x =所以当x =2f e=，故A 正确； 对于BCD ，令()0f x =，得ln 0x =，即1x =，当x →+∞时，ln 0x >，20x >，则()0f x >作出函数()f x 的抽象图像，如图所示：由图可知函数的值域为1,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故B 正确；函数只有一个零点，故C 错误；又函数()f x 在),e +∞32e π<<<，则(2)3)f f f π<<，故D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：（1）方程法：令()0f x =，如果能求出解，有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
高中数学培优大全习题之导数
1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-，10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x∆≠时，商00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆称作函数()yf x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-． 如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x∆→时，00()()f x x f x lx+∆-→∆”，或记作“000()()limx f x x f x lx∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x∆→时，000()()()f x x f x f x x+∆-'→∆”或“0000()()lim()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．4．导数的几何意义：设函数()y f x =的图象如图所示．A B 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y xx+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线A B 绕点A 转动，它的最终位置为直线A D ，这条直线A D 叫做此曲线过点A 的切线，即知识内容板块一.导数的概念 与几何意义x 0xyxOD CB A000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆切线A D 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．题型一：极限与导数【例1】正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是（ ） A ．(0180)︒︒， B ．(060)︒︒， C ．(6090)︒︒， D ．(60180)︒︒，【例2】在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A ．2ππn n-⎛⎫⎪⎝⎭， B ．1ππn n-⎛⎫⎪⎝⎭， C ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．21ππn n nn --⎛⎫⎪⎝⎭，【例3】对于任意π02ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有（ ）A ．sin (sin )co s co s(co s )ϕϕϕ<< B ．sin (sin )co s co s(co s )ϕϕϕ>>C ．sin (co s )co s co s(sin )ϕϕϕ<<D ．sin (sin )co s co s(sin )ϕϕϕ<<【例4】若0()lim1x f x x→=，则0(2)limx f x x→=________．【例5】若1(1)lim11x f x x →-=-，则1(22)lim1x f x x →-=-_______．【例6】设()f x 在0x 可导，则()()003limx fx x fx x x∆→+∆--∆∆等于（ ）A ．()02f x ' B ．()0f x ' C ．()03f x ' D ．()04f x '【例7】若000(2)()lim13x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于（ ）A ．23B ．32C ．3D ．2【例8】设()f x 在x 处可导，a b ，为非零常数，则0()()limx f x a x f x b x x∆→+∆--∆=∆（ ）．A ．()f x ' B ．()()a b f x '+ C ．()()ab f x '- D ．()f x '【例9】设(3)4f '=，则0(3)(3)lim2h f h f h→--=（ ） A ．1-B ．2-C ．3-D ．1【例10】 若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--=______．【例11】 已知函数2()8f x x x=+，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆的值为 ．【例12】 已知1()f x x=，则0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-∆的值是（ ）典例分析A ．14-B ．2C ．14D ．2-【例13】 若2(1)(1)2f x f x x +-=+，则(1)f '=_______．【例14】 已知函数()f x 在0xx =处可导，则22000[()][()]limx f x x f x x∆→+∆-=∆（ ）A ．0()f x ' B ．0()f x C ．20[()]f x ' D ．002()()f x f x '【例15】 计算32lim43n n n →∞-=+________．【例16】 222lim23n n n n →∞+=-_______．【例17】 将直线2:0l n x y n +-=、3:0l x n y n +-=（*n ∈N ，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则limn n S →∞=．【例18】 2111lim 1333n n →∞⎛⎫++++= ⎪⎝⎭（ ）A ．53B ．32C ．2D ．不存在【例19】 如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去．设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞=（ ）r OA ．22πrB ．28π3rC ．24πrD ．26πr【例20】 22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭______．【例21】 若lim1n →∞=，则常数a=_______．【例22】πlimx →=_____．【例23】 2123limn nn→∞++++=_________【例24】 012lim (2)x xx x →⎛⎫-=⎪+⎝⎭________．【例25】 211lim34x x x x →-=+-__________．【例26】 2241lim 42x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭（ ） A ．1-B ．14-C ．14D ．1【例27】1lim1x x →=- ．【例28】 设函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a n x=+++，其中12n a a a n +∈∈R N ，，，，，已知对一切x ∈R，有()sin f x x≤和0sin lim1x x x→=，求证：1221n a a n a +++≤．【例29】 如图，函数()f x 的图象是折线段A B C ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【例30】 如图，函数()f x 的图象是折线段A B C ，其中A B C ，，的坐标分别为()04，，()20，，()64，，则((0))f f =；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）【例31】 下列哪个图象表示的函数在1x =点处是可导的（）B.A.【例32】 函数2()21f x x =+在闭区间[11]x +∆，内的平均变化率为（ ）A ．12x +∆B ．2x +∆C ．32x+∆ D ．42x +∆【例33】 求函数y =在0x 到0x x+∆之间的平均变化率．【例34】 若函数2()f x x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【例35】 求函数2()f x x x=-+在1x =-附近的平均变化率，在1x =-处的瞬时变化率与导数．【例36】 求函数3()2f x x x=-在1x =附近的平均变化率，在1x =处的瞬时变化率与导数．【例37】 已知某物体的运动方程是3199s t t=+，则当3t =s 时的瞬时速度是_______．【例38】 已知某物体的运动方程是22232t s tt-=+，则3t =时的瞬时速度是_______．【例39】 已知物体的运动方程是23s t t=+，则物体在时刻4t=时的速度v=____，加速度a=．【例40】 物体运动方程为4134s t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【例41】 一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为43214164st t t=-+，则速度为零的时刻是（ ）A ．4s 末B ．8s 末C ．0s 与8s 末D ．0s ，4s ，8s 末【例42】 如果某物体做运动方程为22(1)s t =-的直线运动（s 的单位为m ，t 的单位为s ），那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ）A ．0.88-m/sB ．0.88m/sC ． 4.8-m/sD ．4.8m/s【例43】 求y =xx =处的导数．题型二：导数的几何意义【例44】 已知曲线1y x x=+上一点522A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，用斜率定义求：⑴ 过点A 的切线的斜率；⑵ 过点A 的切线方程．【例45】 已知曲线1y x=上一点(12)A ，，用斜率定义求：⑴过点A 的切线的斜率；⑵过点A 的切线方程．【例46】 函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．0(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<<-B ．0(3)(3)(2)(2)f f f f ''<<-<C ．0(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<<- D ．0(3)(2)(2)(3)f f f f ''<-<<【例47】 求函数()a f x a x x=+(0)a ≠的图象上过点A2(1)a a+，的切线方程．【例48】 曲线321y x x =+-在点(11)P --，处的切线方程是（）A ．1yx =- B ．2yx =- C ．yx=D ．1yx =+【例49】 求曲线1y x =在点(11)，的切线1l 方程，与过点(20)-，的切线2l 的方程．【例50】 函数1y x=-在点122⎛⎫-⎪⎝⎭，处的切线方程为（ ）A ．4yx= B ．44yx =- C ．4(1)yx =+ D ．24yx =+【例51】 已知曲线214y x=的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为_______．【例52】 曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【例53】 过点(11)，作曲线3yx=的切线，则切线方程为__________．【例54】 曲线2xy x =-在点(11)-，处的切线方程为__ ．【例55】 若曲线21y x =-与31yx=-在0xx =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）A6B．6-C ．23D ．23或0【例56】 设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10a x y ++=垂直，则a=（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-【例57】 设曲线2y a x =在点(1)a ，处的切线与直线260x y --=平行，则a=（ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1-【例58】 若曲线4y x=的一条切线l 与直线48yx =+平行，则l 的方程为______________．【例59】 若曲线4y x=的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y--= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=【例60】 设P为曲线C ：21y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[13]，，则点P 纵坐标的取值范围是_______．【例61】 设P为曲线C ：223yx x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．[]10-， C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【例62】 曲线21x y x =-在点()11，处的切线方程为（ ） A ．20x y --=B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．450x y --=【例63】 设函数2()()f x g x x=+，曲线()y g x =在点(1(1))g ，处的切线方程为21yx =+，则曲线()yf x =在点(1(1))f ，处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-【例64】 设()f x 是偶函数．若曲线()y fx =在点()()11f ，处的切线的斜率为1，则该曲线在点()()11f --，处的切线的斜率为 ．【例65】 函数sin y x=的图象上一点π32⎛⎝⎭处的切线的斜率为（ ）A ．1B 2C 2D ．12【例66】 曲线ln (21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是（ ）A B ． C ． D ．0【例67】 在平面直角坐标系xo y中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．【例68】 抛物线2y x b x c =++在点(1,2)处的切线与其平行线0b x yc ++=间的距离为________．【例69】 若0y =是曲线3yx b x c=++的一条切线，则32()()32bc +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【例70】 函数2(0)y x x =>的图像在点()2kka a ，处的切线与x 轴交点的横坐标为1k a+，其中*k ∈N ，若116a =，则135a a a ++的值是 ．【例71】 已知点P在曲线4e 1xy=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）A ．π04⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．ππ42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．π3π24⎛⎤⎥⎝⎦，D ．3ππ4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【例72】 曲线2x y x =+在点(11)--，处的切线方程为（ ） A ．21yx =+B ．21yx =- C ．23y x =-- D ．22yx =--【例73】 若曲线12y x-=在点12a a -⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8【例74】 函数()ln f x x =的图象在点()e ,(e )f 处的切线方程是 ．【例75】 设曲线()1*n y xn +=∈N 在点(11)，处的切线与x 轴的交点的横坐标为nx ，则12nxx x ⋅等于（ ） A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1【例76】 直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则k =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．1±【例77】 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【例78】 在平面直角坐标系xO y中，点P 在曲线C ：3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为____ ．【例79】 若存在过点(10)，的直线与曲线3y x=和21594ya x x =+-都相切，则a 等于（ ）A ．1-或2564-B ．1-或214C ．74-或2564- D ．74-或7【例80】 已知函数21()()5g x f x x=+的图象在P 点处的切线方程为8yx =-+，又P 点的横坐标为5，则(5)(5)f f '+=________．【例81】 设曲线1co s sin x y x+=在点π12⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与直线10x a y -+=平行，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【例82】 已知函数()lo g a f x x=和()2lo g (22)(01)a g x x t a a t =+->≠∈R ，，的图象在2x=处的切线互相平行，则t =_______．【例83】 ⑴曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是____． ⑵曲线32242yx xx =--+过点(13)-，的切线方程是_________．【例84】 已知曲线31433y x =+，则过点(24)P ，的切线方程是_______．【例85】 已知曲线s：33yx x=-及点(22)P -，，则过点P 可向s 引切线的条数为_____．【例86】 曲线1y x=和2yx=在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是______．【例87】 曲线12e xy =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．29e2B ．24eC ．22eD ．2e【例88】 曲线3y x=在点3()(0)a a a ≠，处的切线与x 轴、直线xa=所围成的三角形的面积为16，则a =．【例89】 曲线313y x x=+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A ．19B ．29C ．13D ．23【例90】 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程．【例91】 若曲线3()ln f x a x x=+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________．【例92】 曲线cos y x =在点π42P ⎛ ⎝⎭处的切线方程是 ．【例93】 函数co s 2y x=在点π04⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是（ ）A ．42π0x y ++= B ．42π0x y -+= C ．42π0x y--= D ．42π0x y +-=【例94】 已知函数()f x 在R 上满足()()22288f x fx xx =--+-，则曲线()yfx =在点()()11f ，处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．yx= C ．32yx =-D ．23y x =-+【例95】 已知曲线C：4323294yx x x =--+，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程．【例96】 已知抛物线2y a x b x c=++通过点(11)P ，，且在点(21)Q -，处与直线3y x =-相切，求实数a 、b、c 的值．【例97】 曲线(1)(2)y x x x =+-有两条平行于直线yx=的切线，求此二切线之间的距离．【例98】 已知曲线32()21f x x x =-+，求经过点(21)P ，且与曲线()f x 相切的直线l 的方程．【例99】 已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行直线410x y --=，且点0P 在第三象限， ⑴求0P 的坐标；⑵若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．【例100】 已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++()a b ∈R ，．若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求a ，b 的值．【例101】 已知函数xxea ex f -⋅+=)(（a ∈R ）的导函数是)(x f '，且)(x f '是奇函数，若曲线)(x f y=的一条切线的斜率是23，则切点的横坐标为（ ）A ．ln 2B ．2ln -C ．22ln D ．22ln -【例102】 已知函数32()c f x x b x x d=+++的图象过点(02)P ，，且在点(1(1))Mf --，处的切线方程为670x y -+=．求函数()yf x =的解析式．【例103】 已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(10)，处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，⑴求直线2l 的方程；⑵求由直线1l 、2l 和x 轴所围成的三角形的面积．【例104】 设函数()b f x a x x=-，曲线()yf x =在点(2(2))f ，处的切线方程为74120x y --=．⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线yx=所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【例105】 设函数1()()f x a x a b x b=+∈+Z ，，曲线()yf x =在点(2(2))f ，处的切线方程为3y=．⑴求()y f x =的解析式；⑵证明：曲线()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；⑶证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【例106】 已知抛物线1C ：22y x x=+和2C ：2y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．⑴则a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程． ⑵若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．【例107】 设0t ≠，点(0)P t ，是函数3()f x x a x =+与2()g x b xc=+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a b c ，，．【例108】 已知曲线1C ：2y x=与2C ：2(2)yx =--，直线l 与12C C ，都相切，求直线l 的方程．【例109】 已知函数3()f x x x=-．⑴求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； ⑵求曲线()y f x =过点(26)P --，的切线的方程．⑶设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．⑷求过任一点()N a b ，能作的曲线3()f x x x=-的切线的条数．【例110】 如图，在平面直角坐标系xO y中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B，两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段A B 和直线:l y c =-交于点P Q ，，⑴若2O A O B ⋅=，求c 的值；⑵若P 为线段A B 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线； ⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．【例111】 证明如下命题：命题：设(0)C c ，是y 轴正半轴上的一动点，过C 的动直线与抛物线22(0)x p y p =>交于A B，两点，则过A B ，的抛物线的两切线的交点的轨迹方程为y c =-，且轨迹上任一点的横坐标一定是该点对应的切点弦A B 中点的横坐标．【例112】 设Q为直线(0)y c c =-<上任意一点，过Q 作抛物线22x p y =(0)p >的两条切线，切点分别为A B ，，求证：直线A B 必过定点(0)C c ，，且线段A B 的中点的横坐标一定对应于Q 点的横坐标．【例113】 已知函数()2ln f x x x=-．⑴写出函数()f x 的定义域，并求其单调区间； ⑵已知曲线()yfx =在点()()00x fx ，处的切线是2ykx =-，求k 的值．【例114】 求曲线12y x =+上的点到直线10x y ++=的距离的最小值．1知识内容板块二.导数的运算注：ln lo g e aa=a e e π 2.7182818284e =．注意()x x e e '=．2．导数的四则运算法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())()()f x g x f x g x '''±=±，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）． ⑵函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()C f x C f x ''=，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数． ⑶函数的商的求导法则： 设()f x ，()g x 是可导的，()0g x ≠，则2()()()()()()()f x g x f x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦．特别是当()1f x ≡时，有21()()()g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．【例115】 下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(lo g )ln 2x x '=C ．3(3)3lo g ex x'=D ．2(c o s )2s in x x x x'=-【例116】 2()3f x x x =++，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2【例117】 2()f x x x=+，则(1)f '=（ ）A ．6B ．5C ．3D ．2【例118】 2()3f x x =+，则(1)f '=（ ）A ．5B ．4C ．2D ．1【例119】 2()3f x x x =-+，则(1)f '=（ ）典例分析A ．5B ．4C ．1D ．0【例120】 函数31y x x=-的导数y '=（ ）A ．2213xx-B ．1332x- C ．2213x x+D ．221x x+【例121】 求函数2s in y x x=的导数．【例122】 已知函数()ln f x x =，则()ef e '的值等于（ ）A ．1B ．eC ．1eD ．2e【例123】 设函数32()2f x x a x x'=++，(1)9f '=，则a=_______．【例124】 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．3(1)3(1)xx -+- B ．22(1)x- C ．2(1)x - D ．1x -【例125】 已知函数2()f x a x c=+，且(1)2f '=，则a 的值为（ ）A ．1BC ．1-D ．0【例126】 函数3(21)y x =+在0x=处的导数是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．6【例127】 已知函数2()(1sin )f x x x =+，求π2f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值．【例128】 函数2c o s y x x=的导数为（ ）A ．22c o s sin y x x x x '=- B ．22c o s sin y x x x x '=+C ．2c o s 2sin y x x x x'=- D ．2c o s sin y x x x x'=-【例129】 函数221x y x=-的导数是（ ）A ．222(1)1x x+-B ．22131x x+- C ．2222(1)4(1)x x x --- D ．2222(1)(1)x x +-【例130】 函数1co s x y x=-的导数是（ ）A ．1co s sin 1co s x x xx--- B ．21c o s sin (1c o s )x x xx --- C ．21c o s sin (1c o s )x x x -+- D ．21c o s sin (1c o s )x x xx -+-【例131】 函数()ln 2x f x x=的导函数()f x '是（ ）A ．21ln 2xx-B ．21ln 2xx+ C ．212ln 22xx- D ．212ln 22xx+【例132】 求下列函数的导数：(1)(2)(3)y x x x =+++．【例133】 求函数()()()y x a x b x c =---的导数．【例134】 设函数()()()()f x x a x b x c =---，（a 、b 、c 是两两不等的常数），则='+'+')()()(c f c b f b a f a ．【例135】 函数2(1)(1)y x x =+-在1x =处的导数等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【例136】 若2()(2)f x x a =+，且(2)20f '=，则a=______．【例137】 若()exf x x =，则()0f '=________．【例138】 函数32()3f x a x x =++，若(1)8f '=，则实数a =_________．【例139】 设()ln f x x x=，若0()2f x '=，则0x =（ ）A ．2eB ．eC ．ln 22D ．ln 2【例140】 已知函数()πc o s sin 4f x f x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 ．【例141】 已知()s in f x x=，则(1)f '=（ ）A ．1co s 13+ B ．1sin 1co s 13+ C ．1sin 1co s 13- D ．sin 1cos1+【例142】 32()32f x a x x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310【例143】 若30(),()3f x x f x '==，则0x 的值为________．【例144】 求下列函数的导数：2(21)(31)y x x =-+【例145】 求下列函数的导数：1ln 1ln x y x-=+．【例146】 求下列函数的导数：tan x．【例147】 求下列函数的导数：sin co s co s sin x x x y x x x-=+．【例148】 求函数1()sin co s f x x x=+的导函数()f x '．【例149】 求下列函数的导数：2(251)xy x x e=-+；【例150】 求下列函数的导数：()xxf x =+．【例151】 求下列函数的导数：37314y x x=-+【例152】 求下列函数的导数：()f x x=．【例153】 求下列函数的导数：y x =．【例154】 求下列函数的导数：y =+．【例155】 求函数y =的导数．【例156】 求下列函数的导数：2121xxy -=+．【例157】 求下列函数的导数：2s in12c o s 24x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【例158】 求下列函数的导数：2211x x y x x -+=++【例159】 求下列函数的导数：32xxxy e e=-+【例160】 求下列函数的导数：ln tan y x x x x =+．【例161】 函数s in x y x=的导数为_________【例162】 函数2(1s in )y x =-的导数是________．【例163】 设y =y '=________．【例164】 设3()f x x=，()f a b x -的导数是 ．【例165】 求下列函数的导数：y =【例166】 求下列函数的导数：2πs in 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．【例167】 求下列函数的导数：y =【例168】 求下列函数的导数：x y =【例169】 求下列函数的导数：2ln 1x y x =+【例170】 求下列函数的导数：2s in (c o s )y x =【例171】 ()(2)sin (2)f x a x a x =--（a 为参数），求()f x '；【例172】 ()(2)sin (2)g a a x a x =--（x 为参数），求()g a '．【例173】 函数4226()5f x a a x x=+-的导数为（ ）A ．326410a a x x+- B ．3254106a a x x+- C ．25106a x x -D ．以上都不对【例174】 求xy x=的导数．【例175】 已知函数()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----，则(1)f '=（ ）A ．99!-B ．100!-C ．98!-D ．0【例176】 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数()()()()128f x x x a x a xa =---，则()0f '=（ ）A ．62B ．92C ．122D ．152【例177】 ln y x=的导数是______．【例178】 求2πs in 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的导数．【例179】求()ln )f x x =的导数；【例180】已知函数()f x =(1)2f '=，则a 的值为_______．【例181】 已知函数2()(1)f x x x =-，若00()f x x '=，则0x =_______．【例182】 已知函数xey x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值．【例183】 设()ln xf x a e b x=⋅+，且1(1),(1)f e f e''=-=，求实数,a b 的值．【例184】 有下列命题：①若()f x 存在导函数，则(2)[(2)]f x f x ''=； ②若函数44()c o s s inh x x x=-，则π112h ⎛⎫'=⎪⎝⎭；③若函数()(1)(2)(2009)(2010)g x x x x x =----，则(2010)2009!g '=； ④若三次函数32()f x a x b x c x d =+++，则“0ab c ++=”是“()f x 有极值点”的充要条件．其中真命题的序号是 ．1．利用导数判断函数的单调性的方法：知识内容板块三.导数的应用如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>，则()f x 在这个区间上是增函数；如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '<，则()f x 在这个区间上是减函数． 2．利用导数研究函数的极值：已知函数()y f x =，设0x 是定义域内任一点，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <，则称函数()f x 在点0x 处取极大值，记作0()y f x =极大．并把0x 称为函数()f x 的一个极大值点． 如果在0x 附近都有0()()f x f x >，则称函数()f x 在点0x 处取极小值，记作0()y f x =极小．并把0x 称为函数()f x 的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点． 3．求函数()y f x =的极值的方法： 第1步 求导数()f x '；第2步 求方程()0f x '=的所有实数根；第3步 考察在每个根0x 附近，从左到右，导函数()f x '的符号如何变化．如果()f x '的符号由正变负，则0()f x 是极大值；如果由负变正，则0()f x 是极小值．如果在()0f x '=的根0x x =的左右侧，()f x '的符号不变，则0()f x 不是极值．4．函数()f x 的最大（小）值是函数在指定区间的最大（小）的值． 求函数最大（小）值的方法：第1步 求()f x 在指定区间内所有使()0f x '=的点；第2步 计算函数()f x 在区间内使()0f x '=的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值．题型一：原函数与导函数的图象【例1】 函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上（ ）O yxB ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点【例2】 函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个baOyx【例3】 ()f x xb xc =++()f x '的图象不过第几象限?典例分析【例4】 若函数2()f x xb x c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x '的图象可能为（ ）D.C.B.A.【例5】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）D.C.B.A.ss【例6】 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图所示，则()yf x =的图象可能是（ ）A.【例7】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【例8】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.【例9】()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ）D.C.B.A.y【例10】 如果函数()yfx =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ）D【例11】设()f x'是函数()f x的导函数，将()y f x=和()y f x'=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）【例12】如图所示是函数()y f x=的导函数()y f x'=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（）)为增函数B．在区间(03)，内()y f x=为减函数C．在区间(4)+∞，内()y f x=为增函数D．当2x=时()y f x=有极小值【例13】如果函数()y f x=的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间3,2--⎪⎝⎭内单调递增；②函数()yf x =在区间1,32⎛⎫-⎪⎝⎭内单调递减；③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增；④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x=-时，函数()yf x =有极大值；则上述判断中正确的是___________．【例14】 函数321()f x x x =-+的图象大致是（ ）DCBA【例15】 已知函数的图像如下图所示，则其函数解析式可能是（ ）A ．()2ln f x x x =+B ．()2ln f x x x =-C ．()ln f x x x=+ D ．()ln f x x x=-【例16】 函数2()(2)exf x xx =-的图象大致是 （ ）DCBA【例17】 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()yS t '=的图像大致为（ ）【例18】 函数22xyx=-的图像大致是（ ）【例19】 已知函数()f x 的导函数()fx '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【例20】 已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞ D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞【例21】 己知函数()32f x a x b x c =++，其导数()f x '的图象如图所示， 则函数()f x 的极小值是（ ） A ．a b c ++ B ．84a b c++ C ．32a b+D ．c题型二：函数的单调性【例22】 函数214yx x=+的单调增区间为（ ）A ．(0)+∞，B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，【例23】 下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（ ）A ．21x y =-+B ．1xy x=- C ．2(1)y x =-- D ．12lo g (1)y x =-【例24】 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ．【例25】 三次函数3()1y f x a x ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．0a ≤D ．0a <【例26】 函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．【例27】 函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为（ ）A ．(2)+∞，B ．(2)-∞，C ．(0)-∞，D ．(02)，【例28】 函数co s sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．π3π22⎛⎫⎪⎝⎭， B ．(π2π)， C ．3π5π22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．(2π3π)，【例29】 若y ax=与b y x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y a x b x=+的单调性描述正确的是（ ）A ．在()-∞+∞，上是增函数B ．在()0+∞，上是增函数C ．在()-∞+∞，上是减函数 D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数【例30】 函数()()()321483f x a x a xb x b=+-+-+的图象关于原点中心对称，则()f x （ ）A ．在⎡-⎣上为增函数B ．在⎡-⎣上为减函数C ．在)⎡+∞⎣上为增函数，在(-∞-，上为减函数D ．在(-∞-，上为增函数，在)⎡+∞⎣上为减函数【例31】 若32()(0)f x a x b x c x d a =+++>在R 上是增函数，则（ ）A ．240b a c -≥B ．240b a c -≤ C ．230b ac -≥ D ．230b a c -≤【例32】 若21()ln (2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[1)-+∞，B ．(1)-+∞， C ．(1]-∞-， D ．(1)-∞-，【例33】 函数()21xf x x =-（ ）A ．在()02，上单调递减B ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递增C ．在()02，上单调递增D ．在()0-∞，和()2+∞，上单调递减【例34】 若函数()221x f x x=-+，则()f x （ ）A ．在()-∞+∞，单调增加B ．在()-∞+∞，单调减少C ．在(11)-，单调减少，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调增加D ．在(11)-，单调增加，在(1)-∞-，与(1)+∞，上单调减少【例35】 已知函数321()53f x x x a x =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是 ．【例36】 已知函数321()53f x x x a x =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【例37】 已知321(2)33yx b x b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b -≤或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤【例38】 若函数()23k k h x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞- D ．(,2]-∞【例39】 已知()23k k h x x x=-+，()()ln g x h x x=+，且()g x 在(1,)+∞上是增函数，则此时实数k 的取值范围是______．【例40】 若函数32()1f x x a x=-+在(02)，内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<【例41】 若函数32()1f x x a x =-+的单调递区间为(02)，，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a <<【例42】 已知函数232()43f x x a x x=+-在区间[]11-，上是增函数，则实数a 的取值范围为______．【例43】 若函数232()43f x x a x x=+-在区间(2)-∞-，与(2)+∞，上都是减函数，则实数a 的取值范围为______．【例44】 函数214yx x=+的单调增区间为（ ）A ．(0,)+∞ B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(,1)-∞- D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【例45】 对于R 上可导的函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +≤C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>【例46】 已知函数()f x 是偶函数，在()0,+∞上导数()f x '0>恒成立，则下列不等式成立的是（ ）Ａ．()()()312f f f -<-< B ．()()()123f f f -<<-C ．()()()231f f f <-<-D ．()()()213f f f <-<-【例47】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()a f a b f b ≤B ．()()b f b a f a ≤C ．()()a f b b f a ≤D ．()()b f a a f b ≤【例48】 设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f xg x fx g x ''+<，则当ax b<<时，有（ ）A ．()()()()f x g x f b g b >B ．()()()()f x g a f a g x >C ．()()()()f x g b fb g x >D ．()()()()f x g x fa g a >【例49】 函数()()ln 1f x x a x =+-在()12，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．【例50】 已知函数()321f x x a x x =-+--在()-∞+∞，上是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(()3-∞-+∞，，B ．⎡⎣C ．(()3-∞-+∞，，D ．(【例51】 若函数32()1f x x x m x =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)3+∞ B ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,]3-∞。
导数培优练习题
2016-2017学年度???学校10月月考卷1．设函数ln ,x f x x ax g x e ax ,其中a 为实数. （1）若f x 在1,上是单调减函数, 且g x 在1,上有最小值, 求a 的取值范围；（2）若g x 在1,上是单调增函数, 试求f x 的零点个数, 并证明你的结论. 2．已知函数222220,6x f x e x x a a g x x x c c R .（1）若曲线y f x 在点0,0f 处的切线方程为42y x ,求a 的值；（2）求函数f x 的单调区间；（3）当1a时, 对122,2,2,2x x ,使得12f x g x 成立, 则实数c 的取值范围．3．设函数21ln 12fx x ax x ．（1）当2a时，求函数f x 的极值点；（2）当0a时，证明：x xe f x 在0,上恒成立．4．已知函数2()1(0)1mxf x m x ，2()(axg x x e a R ）．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0m 时，若对任意12,[02]x x ，，12()()f x g x 恒成立，求a 的取值范围．5．设函数222ln R f xx ax x bx a b ，，．（Ⅰ）当10ab ，时，求曲线y f x 在点11f ，处的切线方程；（Ⅱ）当2b时，若对任意[1)x ，，不等式223f x x a 恒成立，求实数a 的取值范围．6．已知函数()x af x lnx x ，其中a 为常数．（1）若曲数()yf x 在点(1,(1))f 处的切线与直线1y x 垂直，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为13，求a 的值．7．已知函数2ln ,f xax bx x a b R .（1）当1,3a b 时,求函数f x 在1,22上的最大值和最小值；（2）设0a ,且对于任意的0,1x f x f ,试比较ln a 与2b 的大小.8．已知函数),(22)(R a R x ax e x f x .（1）当1a时，求曲线)(x f y 在1x 处的切线方程；（2）当0x时，若不等式0)(x f 恒成立，求实数a 的取值范围.9．已知函数3().f x x x （1）求曲线()y f x 在点(1,0)M 处的切线方程；（2）如果过点(1,)b 可作曲线()yf x 的三条切线, 求实数b 的取值范围.10．已知函数ln 0f x kx x k 有极小值1e ．（1）求实数k 的值；（2）设函数12x g x x e ．证明：当0x 时，x e f x g x ．11．已知函数))(ln )(ln ()(2R a x x x ax x f .（1）当6a 时，求曲线)(x f y 在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）若0)(x f 恒成立，求实数a 的取值范围.12．已知函数f （x ）=alnx ﹣x+3（y=kx+2k ），曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=x+b （b ∈R ）（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求f （x ）的极值．13．（2014?抚州一模）已知函数，m ∈R ．（1）当m=1时，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；（2）若f （x ）在区间（﹣2，3）上是减函数，求m 的取值范围．14．已知函数()ln af x x x ，()()6lng x f x ax x ，其中a R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）设函数2()4h x x mx ，当2a 时，若1(0,1)x ，2[1,2]x ，总有12()()g x h x 成立，求实数m 的取值范围.15．已知函数3()3f x x x .求函数()f x 在3[3,]2上的最大值和最小值.16．设函数21ln 2fx x x ．（1）讨论函数f x 的单调性；（2）若12g xf x ax 在区间1,上没有零点，求实数a 的取值范围．17．已知函数),(31)(23R b a bx ax x x f ．若)(x f y 图象上的点)311,1(处的切线斜率为－4，求)(x f y的极大值。
数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案
数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ACD 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，函数()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ，()()()()33sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选项正确；对于B 选项，当3a =-时，()3sin 3f x x x x =++，则()2cos 330f x x x '=++>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；对于C 选项，()2cos 3f x x x a '=+-，由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()23cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，所以，函数()g x '在R 上为增函数，当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；对于D 选项，当3a =时，()3sin 3f x x x x =+-，则()2cos 33f x x x '=+-.由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.3．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故1515y -≤≤，当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．4．已知函数()32f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，+∞上是增函数，则213x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数2()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选项；证明()()2()333a a af x f x f -++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.【详解】A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，+∞上单调递增，∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223ax x +=-，1213x x ⋅=-，易知12x x <，∴213x x -==≥，B对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33a a f --，，又23()(1)()333a a a f x x x f -+=-+++-，∴()()2()333a a af x f x f -++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())33aa f --，成中心对称，C 对，D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，处切线方程为y x =-， 且3y xy x x =-⎧⎨=-⎩有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.5．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项． 【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦， 则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.6．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+.设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.7．已知函数()21ln 2f x ax ax x =-+的图象在点()()11,x f x 处与点()()22,x f x 处的切线均平行于x 轴，则（ ）A ．()f x 在1,上单调递增B ．122x x +=C ．()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D ．若163a =，则()f x 只有一个零点 【答案】ACD 【分析】求导，根据题意进行等价转化，得到a 的取值范围；对于A ，利用导数即可得到()f x 在()1,+∞上的单调性；对于B ，利用根与系数的关系可得121x x =+；对于C ，化简()()121212x x x x f x f x ++++，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D ，将163a =代入()f x '，令()0f x '=，可得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解. 【详解】 由题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()211ax ax ax a x x xf -+=-+='，则1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，则2124010a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩，解得4a >， 当()1,x ∈+∞时，函数210y ax ax =-+>，此时()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故A 正确；因为1x ，2x 是方程210ax ax -+=的两个不等正根，所以121x x =+，故B 错误； 因为()()221212121112221111ln ln 22x x x x f x f x x ax ax x ax ax a ++++=+++-++- 1112111ln 1ln 22a a a a a a a a⎛⎫=+++--=--+ ⎪⎝⎭， 易知函数()11ln 2h a a a a=--+在()4,+∞上是减函数， 则当4a >时，()()742ln 24h a h <=--， 所以()()121212x x x x f x f x ++++的取值范围是7,2ln 24⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故C 正确； 当163a =时，()1616133f x x x '=-+，令()0f x '=，得14x =或34， 则()f x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在13,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 在14x =取得极大值，且104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()2ln 20f =>， 所以()f x 只有一个零点，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：①切点坐标满足原曲线方程；②切点坐标满足切线方程；③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.8．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-【答案】AD【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+， 当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x 的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确.故选：AD【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.9．对于函数2ln ()x f x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x在x =12e B ．()f x 有两个不同的零点 C．f f f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD【分析】 求得函数的导数312ln ()-'=x f x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】 由题意，函数2ln ()x f x x =，可得312ln ()(0)x f x x x -'=>， 令()0f x '=，即312ln 0x x -=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln ln 2ln ,242f f πππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以f f f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x = 所以当0x<<()0g x '>，函数()g x 在上单调递增； 当x>()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减， 所以当x=()g x 取得最大值，最大值为22e e g e =-=， 所以2e k >，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．10．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【分析】 将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x x ϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>， 所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式，得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为k 为整数，所以0k ≤.故选：ABC【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。
导数综合强化训练(45题)(解析版)—2025年新高考数学一轮复习
导数综合强化训练一、单选题1．已知函数()e 2(0)1'x f x f x =++，则'(2)f 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2e 1-D ．2e 2-【答案】D【详解】根据题意，()()()()()()0e 201e 200e 20x xf x f x f x f f f ¢¢¢¢=++Û=+Û=+¢Û()()()201e 22e 2x f f x f ¢¢¢=-Û=-Û=-.故选：D.2．已知12023ln 20242024a =+，12024ln 20252025b =+，12025ln 20262026c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A【详解】构造函数()ln 1f x x x =+-，11()1x f x x x-=¢-=，当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以111202420252026f f f æöæöæö>>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a b c >>.故选：A.3．设曲线e ax y =在点(0,1)处的切线与直线230x y -+=平行，则a =（ ）.A ．1B ．2C ．12D ．12-【答案】B【详解】由函数e ax y =，可得e ax y a ¢=，则0|x y a =¢=，因为直线210x y -+=的斜率为2，可得2a =.故选：B.4．若对任意的1x ，(]21,3x Î，当12x x <时，1212ln ln 22a ax x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)3,+¥B ．()3,+¥C ．[)6,+¥D ．()6,+¥【答案】C【详解】当12x x <时，1212ln ln 22a a x x x x ->-恒成立，即当12x x <时，1122ln ln 22a ax x x x ->-恒成立，设()(]ln ,1,32af x x x x =-Î，则()f x 单调递减，而()102af x x¢=-£在(]1,3上恒成立，即2a x ³在(]1,3上恒成立，所以6a ³.故选：C.5．已知函数()()e xf x x a =+，a ÎR 有大于1-的极值点，则a 的取值范围为（ ）A ．21,e æö-+¥ç÷èøB ．21,e æö-¥-ç÷èøC ．()0,¥+D ．(),0-¥【答案】D【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()e e 1e x x xf x a x x a ¢=++=++，令()0f x ¢=，可得()1e xx a +=-，构建()()1e xg x x =+，由题意可知：()y g x =与y a =-在()1,-+¥有交点，则()()2e 0xg x x =+>¢对任意()1,x Î-+¥内恒成立，可知()y g x =在()1,-+¥内单调递增，则()()10g x g >-=，可得0a ->，即0a <，所以a 的取值范围为(),0-¥.故选：D.6．已知函数()2xf x ax x =-+，[1,)x Î+¥，()f x ¢是()f x 的导函数，且()0f x ¢£，则a 的最小值为（ ）A ．23B ．29C ．13D ．19【答案】B【详解】由题意得220(2())a x f x =-£+¢，则22max22(2)(2)a a x x éù³Û³êú++ëû．注意到()22y x =+在[1,)+¥上单调递增，()212y x =+在[1,)+¥上单调递减.则()()22max 2229212x éù==êú++êúëû，所以29a ³,即a 的最小值为29.故选：B7．如果()e xf x ax =-在区间()1,0-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．1(,][1,)e -¥+¥U B ．1[,1]eC ．1(,e-¥D ．[1,)+¥【答案】A【详解】由已知()()e ,e x xf x ax f x a ¢=-=-，因为()()e ,1,0xf x ax x =-Î-是单调函数,所以()()1,0,e 0x x f x a =-¢Î-³恒成立或()()1,0,e 0xx f x a =-¢Î-£恒成立，所以e x a ³恒成立或e x a £恒成立，所以0e =1a ³或11e =ea -£,所以1a ³或1ea £.故选：A.8．已知直线2y x a =-+与函数()24ln f x x x =-的图象有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()3,+¥B ．[)3,+¥C ．1,32æöç÷èøD ．()2,3【答案】A【详解】因为()()22242x f x x x x=¢-=-，所以()f x在(上单调递减，在)¥+上单调递增．令()2f x ¢=-，得1x =，所以直线2y x a =-+与()f x 的图象相切时的切点为()1,1，此时3a =，所以当3a >时，直线2y x a =-+与()f x 的图象有两个不同的交点．故选：A.9．已知函数32()3f x x ax ax b =+++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为12y x m =-+.若函数()f x 至少有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．(5,27)-B ．[5,27]-C ．(1,3]-D ．[1,3]-【答案】B【详解】由题意，得2()323f x x ax a ¢=++，(1)3512f a ¢\=+=-，3a \=-，32()39f x x x x b \=--+.令2()3690f x x x ¢=--=，得11x =-，23x =.当1x <-或3x >时，()0f x ¢>，()f x \在(,1)¥--，(3,)+¥上单调递增；当13x -<<时，()0f x ¢<，()f x \在(1,3)-上单调递减\当1x =-时，()f x 有极大值(1)5f b -=+；当3x =时，()f x 有极小值(3)27f b =-.若要使()f x 至少有两个不同的零点，只需50270b b +³ìí-£î（等号不同时成立），解得527b -££.故选：B10．已知函数()f x 的导函数是()f x ¢，且311(),ln 3,log 3f x x p q ¢===，则下列命题正确的是（ ）A ．()()f p f q -<B ．()(2)f p f q >C ．11()()f f p q >D ．11(1)(f f p q+>【答案】B【详解】依题意，41()4f x x c =+（c 为常数），()f x 是偶函数，且在(0,)+¥上单调递增，又ln 31p =>，110log 31q <=<，则01q p <<<，对于A ，()()()f p f p f q -=>，A 错误；对于B ，1111112ln 32log 3ln 3log 9ln e log 110p q -=-=>-=，20p q >>，()(2)f p f q >，B 正确；对于C ，110q p >>，11()()f f q p>，C 错误；对于D ，3333113e1log e 1log 11log log 1011p q +-=+-=<=，111p q +<，11(1)()f f p q +<，D 错误.故选：B11．已知函数()2e x bf x x =×-有三个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．220,e æöç÷èøB ．240,e æöç÷èøC ．24,e æö-¥ç÷èøD ．220,e éùêúëû【答案】B【详解】因为()2e xf x x b =×-有三个零点，所以20e x b x ×-=有三个根，所以y b =和()2e x g x x =×有三个交点，而()(2)e xg x x x +¢=，令()0g x ¢<，(2,0)x Î-，令()0g x ¢>，(,2)(0,)x Î-¥-È+¥，所以()g x 在(,2),(0,)-¥-+¥上分别单调递增，在(2,0)-上单调递减，所以()g x 极小值为()00g =，()g x 极大值为()242e g -=，当x ®+¥时，()g x ¥®+，x ®-¥时，()0g x ®，所以240,e b æöÎç÷èø，故B 正确.故选：B12．设函数()()sin f x x a ax =-，若存在0x 使得0x 既是()f x 的零点，也是()f x 的极值点，则a 的可能取值为（ ）A ．0BC ．πD ．2π【答案】B【详解】由()()sin f x x a ax =-，得2()sin ()cos f x ax ax a ax ¢=+-，令000()()sin 0f x x a ax =-=，则0x a =或0sin 0ax =，当0x a =时，由20000()sin ()cos 0f x ax ax a ax ¢=+-=，得2sin 0a =，所以2π(N)a k k =Î，则N)a k =Î当0sin 0ax =时，由20000()sin ()cos 0f x ax ax a ax ¢=+-=，得200()cos 0ax a ax -=，由0cos 0ax ¹，得0a =或0x a =，当0a =时，()0f x =不存在极值点，当0x a =时，得N)a k =Î，综上，N)a k =Î，所以当1k =时，a =.故选：B13．设0.02e 1a =-，0.012(e 1)b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【详解】依题意，0.020.010.012e 2e 1(e 1)0a b -=-+=->，则a b >，0.012(e 1)sin 0.01tan 0.01b c -=---，令π()2e sin tan 2,(0,6x f x x x x =---Î，求导得21()2e cos cos xf x x x=--¢，令21π()2e cos ,(0,)cos 6xh x x x x =--Î，求导得32sin ()2e sin cos xx h x x x =+-¢，而2e sin 2xx +>，02sin 1x <<，311cos x <<于是32sin 2cos x x <<，即()0h x ¢>，函数()f x ¢在(0,)6π上单调递增，则()(0)0f x f ¢¢>=，因此函数()f x 在(0,)6π上单调递增，有(0.01)(0)0f f >=，即b c >，所以a b c >>.故选：B14．已知()f x 是定义在()0,¥+上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x +£¢，对任意的正数a ，b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()bf b af a £B ．()()bf a af b £C ．()()af a bf b £D ．()()af b bf a £【答案】A【详解】令()()g x xf x =，x ∈(0,+∞)，则()g x ¢=()()0xf x f x +£¢，所以()g x 在x ∈(0,+∞)上单调递减，若0a b <<，则()()()()g b bf b g a af a =£=，故A 正确，C 错误；因为()()0xf x f x +£¢，且()f x 是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，所以()()0xf x f x £-£¢，令()()f x h x x=，x ∈(0,+∞)，则()h x ¢=()()20xf x f x x-£¢，所以ℎ(x )在x ∈(0,+∞)上单调递减，若0a b <<，则()()()()f a f b h a h b ab=>=，即()()bf a af b >，故BD 错误.故选：A.15．若正实数a ，b ，c 满足b a bc =，ln b a a c =，则（ ）A ．a b ³B ．a c ³C ．b c ³D ．c b³【答案】B【详解】b a bc =，ln b a a c =，则ln bc a c =，则ln 1b a =，则1e b a =.则1(e )e b b b a ==，则1(e )e=b b b a bc ==，则ec b=先比较a ，b ：作差1e ba b b -=-，设1()e (0)xf x x x =->，求导121()e 10,(0)xf x x x¢=--<>，则1()e (0)x f x x x =->在(0,)+¥单调递减.(1)e 10f =->，(2)20f =-=<，故1()e (0)x f x x x =->有正负还有零.即a b -,a b 大小.故A 错误.再比较a ，c ：作差1e e ba cb -=-，设1e ()e (0)x f x x x =->，求导112221e 1()e (e e )0xx f x x x x¢=-+=-=，则1x =由于11011e e 0()0x x f x x ¢<<Þ>Þ-<Þ<，则()f x 在(0,1)单调递减.1111e e 0()0x x f x x¢>Þ<Þ->Þ>，则()f x 在(1,)+¥单调递增.且(1)0f =，则()0f x ³，即1ee 0ba cb -=-³，即ac ³.故B 正确．最后比较b ，c ，由于ec b=，假设b c ==满足题意，假设b c >，即eb b>，即2e b >，即b >假设b c <，即eb b<，即2e b <，即0b <<也满足题意．则,b c 无法比较大小，故CD 错误.故选：B.16．已知不恒为0的函数()f x 的定义域为R,()e ()e ()y x f x y f x f y +=+，则不正确的（ ）A ．(0)0f =B ．()e xf x 是奇函数C ．0x =是()f x 的极值点D ．4(3)3e (1)f f =--【答案】C【详解】函数()f x 的定义域为()()(),e e y xf x y f x f y +=+R ，对于A ，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，解得(0)0f =，A 正确；对于B ，x ∈R ，取y x =-，则(0)e ()e ()x x f f x f x -=+-，因此()()e e x x f x f x --=-，令()()e xf xg x =，即有()()g x g x -=-，因此函数()g x 是奇函数，即()e xf x 是奇函数，B 正确；对于C ，选项B 中，令()g x x =，则()e x f x x =，求导得()(1)e x f x x ¢=+，因为(0)10f ¢=¹，因此0x =不是()f x 的极值点，C 错误；对于D ，222e (1)e (2)e (1)e[e (1)e (1)]3e (1)(3)f f f f f f f +==++=，由()()e e x x f x f x --=-，得1(1)(1)e ef f --=-，即2(1)e (1)f f =--，因此4(3)3e (1)f f =--，D 正确．故选：C【点睛】关键点点睛：对于选项C ：直接判断不容易说明时，可以通过举反例的方式说明，简化分析推理过程.二、多选题17．已知函数3211()2132f x x x x =+-+，若函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，则a 的可能取值为（ ）A ．12-B ．12C ．1-D ．0【答案】AD 【详解】3211()2132f x x x x =+-+Q ，2()2(2)(1)f x x x x x ¢\=+-=+-，当2<<1x -时，()0f x ¢<，故()f x 在()2,1-上单调递减；当2x <-或1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()(),2,1,¥¥-+上单调递增，\函数()f x 在1x =处取得极小值，在2x =-处取得极大值．令)(()1f x f =，解得1x =或72x =-，Q 函数()f x 在(2,23)a a +上存在最小值，且(2,23)a a +为开区间，721232a a \-<<<+，解得112a -<<．故选：AD.18．已知函数()()()2ln f x x x a a =--ÎR 在区间[)1,+¥上单调递减，则实数a 可以是（ ）A ．0B 1C ．1D ．12【答案】ABD 【详解】()()120f x x a x ¢=--£在区间[)1,+¥上恒成立，即12a x x£-在区间[)1,+¥上恒成立，令()1,12g x x x x=-³，则()21102g x x ¢=+>，所以()g x 在区间[)1,+¥上单调递增，所以()g x 的最小值为()112g =，所以a 的取值范围是12a £，对比选项可知，只有ABD 符合题意.故选：ABD.19．设函数32()1f x x x ax =-+-，则（ ）A ．当1a =-时，()f x 有三个零点B ．当13a ³时，()f x 无极值点C ．a $ÎR ，使()f x 在R 上是减函数D ．,()a f x "ÎR 图象对称中心的横坐标不变【答案】BD【详解】对于A ，当1a =-时，32()1f x x x x =---，求导得2()321f x x x ¢=--，令()0f x ¢=得13x =-或1x =，由()0f x ¢>，得13x <-或1x >，由()0f x ¢<，得113-<<x ，于是()f x 在1(,)3-¥-，(1,)+¥上单调递增，在1(,1)3-上单调递减，()f x 在13x =-处取得极大值1111(1032793f -=--+-<，因此()f x 最多有一个零点，A 错误；对于B ，2()32f x x x a ¢=-+，当13a ³时，4120a D =-£，即()0f x ¢³恒成立，函数()f x 在R 上单调递增，()f x 无极值点，B 正确；对于C ，要使()f x 在R 上是减函数，则2()320f x x x a ¢=-+£恒成立，而不等式2320x x a -+£的解集不可能为R ，C 错误；对于D ，由32322222258()()()()()113333327f x f x x x a x x x ax a -+=---+--+-+-=-，得()f x 图象对称中心坐标为129(,3327a -，D 正确.故选：BD20．已知,,,a b c d ÎR ，满足0a b c d >>>>，则（ ）A ．a c b d ->-B ．sin sin a a b b ->-C ．a b d c>D ．ad bc ab cd+>+【答案】BC【详解】对于A ，若65,4,1,====a b c d ，则24-=<-=a c b d ，故A 错误；对于B ，令()()sin 0f x x x x =->，则()1cos 0f x x ¢=-³，所以()f x 在()0,x Î+¥上单调递增，因为0a b >>，所以()()f a f b >，即sin sin a a b b ->-，故B 正确；对于C ，因为0a b c d >>>>，所以110d c >>，所以a bd c>，故C 正确； 对于D ，因为0a b c d >>>>，所以()()0+--=--<ad bc ab cd a c d b ，可得+<+ad bc ab cd ，故D 错误.故选：BC.21．已知定义在R 上的函数()y f x =满足132f x æö-ç÷èø为偶函数，()21f x +为奇函数，当10,2x éùÎêúëû时，()0f x ¢>，则下列说法正确的是（ ）A ．()00f =B ．函数()y f x =为周期函数C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．4133f f æöæö>ç÷ç÷èøèø【答案】AB【详解】因为132f x æö-ç÷èø为偶函数，1111332222f x f x f x f x æöæöæöæö-=+Û-=+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()()1f x f x Û=-，故函数图象关于直线12x =对称，f (2x +1)为奇函数，()()()21211(f x f x f x f x -+=-+Û-+=-+1），函数图象关于(1,0)对称，对于B ，()()()()()()11,21f x f x f x f x f x f x =-=-++=-+=，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B 正确；对于A ，()()2121f x f x -+=-+，令()()0,11x f f ==-，故f (1)=0，又()()()01110f f f =-==，故A 正确；对于C ，131222f f f æöæöæö-==-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，当10,2x æöÎç÷èø时，f ′(x )>0，即函数在10,2æöç÷èø上递增，函数图象关于(1,0)对称，故函数在13,22æöç÷èø上递减，故函数在11,22éù-êúëû上递增，所以1122f f æöæö-¹ç÷ç÷èøèø，故函数不是偶函数，故C 错误；对于D ，124333f f f æöæöæö=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，故D 错误，故选：AB.【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；22．已知函数()()2e xf x x =-，()lng x x x k =+，(R)k Î，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 只有1个零点，当1ek >时，函数()g x 只有1个零点．B ．若关于x 的方程()f x a =有两个不相等的实数根，则实数()e,0a Î-．C ．121,0,e x x æö"Îç÷èø，且12x x ¹，都有1212()()0g x g x x x ->-．D ．1x "ÎR ，2(0,)x $Î+¥，使得()()12f x g x >成立，则实数)1,e e(k Î-¥-．【答案】BD【详解】由题意()()()e 2e 1e x x xf x x x ¢=+-=-，故当1x >时，()0f x ¢>，当1x <时，()0f x ¢<，所以()f x 在(),1-¥上单调递减，在()1,+¥上单调递增；()ln g x x x k =+定义域为()0,¥+，()ln 1g x x ¢=+，故当1ex >时，()0g x ¢>，当10e x <<时，()0g x ¢<，所以()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，在1,e æö+¥ç÷èø上单调递增.对于A ，令()02f x x =Þ=，故函数()f x 只有1个零点；当1e k >时，()110e e g x g k æö³=-+>ç÷èø，故()g x 没有零点，故A 错误；对于B ，()()1e f x f ³=-，1x <时，()0f x <，2x >时，()0f x >，故()f x a =有两个不相等的实数根，则实数()e,0a Î-，故B 正确；对于C ，()g x 在10,e æöç÷èø上单调递减，故C 错误；对于D ，1x "ÎR ，2(0,)x $Î+¥，()()12f x g x >成立，则()()min min f x g x >，所以()11e f g æö>ç÷èø，即11e e e e k k ->-+Þ<-，故D 正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：恒成立和有解问题通常转化成最值问题来求解，解决本题可先利用导数求出函数的单调性，从而可求出函数值正负分布情况和最值，进而可依次求解各选项.三、填空题23．若曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++¹相切，则a = ．【答案】8【详解】由ln y x x =+，所以1y x x¢=+，则1|2x y =¢=，所以曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线为()121y x -=-，即21y x =-；又21y x =-与曲线2(2)1(0)y ax a x a =+++¹相切，由2(2)121y ax a x y x ì=+++í=-î，可得()2200ax ax a ++=¹，则280a a D =-=，解得8a =或0a =（舍去），故答案为：824．设函数3()31(1)f x ax x a =-+>，若对于任意的[1,1]x Î-，都有()0f x ³成立，则实数a 的值为 ．【答案】4【详解】由题意得，()233(1)f x ax a =->¢，令()2330f x ax -¢==，解得x =[1,1]-．①当1x -£<()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当x <<时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；1x <£时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．所以只需0f ³，且(1)0f -³即可，由10f =-³，可得4a ³，由(1)40f a -=-+³，可得4a £，综上可得，4a =．故答案为：4.25．函数()()2f x x x a =-的极小值点为2，则实数a 的值为 .【答案】2【详解】因为()()2f x x x a =-，得到()()()22343f x x ax a x a x a =-+=--¢，由题知()2(6)(2)0f a a =--=¢，解得6a =或2a =，当6a =时，()(36)(6)3(2)(6)f x x x x x =-=--¢-，由()0f x ¢>，得到2x <或6a >，由()0f x ¢<，得到26x <<，则()f x 在()(),2,6,-¥+¥上单调递增，在()2,6上单调递减，此时2x =当2a =时，()(32)(2)f x x x =--¢，由()0f x ¢>，得到23x <或2a >，由()0f x ¢<，223x <<，则f(x)在()2,,2,3æö-¥+¥ç÷èø上单调递增，在2,23æöç÷èø上单调递减，此时2x =是极小值点，符合题意，故答案为：2.26．已知函数()(e 1)x f x a =-，对任意(0,)x Î+¥，总有()2f x x ³成立，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)2,+¥【详解】依题意，(0,)x "ÎÎ+¥，()2(e 1)2(e 1)20x x f x x a x a x ³Û-³Û--³，显然e 10x ->，则有0a >，于是2(e 1)20e 10x xa x x a--³Û--³，令2e 1,0()xg x x a x -->=，求导得2()e x g x a¢-=，当2a ³，即21a£时，()0g x ¢>，函数()g x 在(0,)+¥上单调递增，()(0)0g x g >=，即()2f x x ³；当02a <<，即21>a 时，当20ln x a<<时，()0g x ¢<，函数()g x 在2(0,ln )a上单调递减，2(0,ln )x aÎ，()(0)0g x g <=，此时()2f x x <，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[)2,+¥.故答案为：[)2,+¥27．设函数()()e ln 0ax f x a a æö=>ç÷èø的零点为0x ，则当a 的取值为 时，0x 的最大值为 ．【答案】 e1e【详解】由题意()00e ln 0ax f x a æö==ç÷èø，所以0e 1ax a =，即0e ax a =，所以0ln ax a =，即()0ln ,0ax a a=>，令()()ln ,0a g a a a=>，则()21ln ag a a -¢=，因为当0e a <<时，()0g a ¢>，当e a >时，()0g a ¢<，所以当0e a <<时，()g a 单调递增，当e a >时，()g a 单调递减，所以当e a =时，0x 有最大值()1e eg =.故答案为：e ，1e.【点睛】关键点点睛：关键在于得出()0ln ,0ax a a=>，从而构造函数即可顺利得解.28．定义在(0,)+¥上的函数()f x 满足2()10x f x ¢+<，5(2)2f =，则关于x 的不等式1(ln )2ln f x x>+的解集为.【答案】2(1,e )【详解】因(0,)x Î+¥时，2()10x f x ¢+<，即21()0f x x ¢+<，也即1(())0f x x¢-<，取1()()g x f x x =-，则()0g x ¢<，即()g x 在(0,)+¥上单调递减，又5(2)2f =，则151(2)(2)2222g f =-=-=，由1(ln )2ln f x x>+可得(ln )(2)g x g >，故得，0ln 2x <<，解得，2(1,e )x Î.故答案为：2(1,e ).29．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ¢>+，(0)3f =，则不等式()2e 1x f x >+的解集为 ．【答案】(,0)-¥【详解】设()1()e x f x g x -=，则()()()1e xf x f xg x -¢-¢=-，()()1f x f x ¢>+Q ，()()10f x f x ¢\-->，()0g x ¢\<，()g x \在R 上单调递减，()2e 1x f x >+Q ，()1()2e xf xg x -\=>，又0(0)1(0)2ef g -==，()(0)g x g \>，0x \<，()2e 1x f x \>+的解集为(,0)-¥．故答案为：(,0)-¥.30．已知函数()()24222x x f x a x ax =+-×-有4个不同的零点，则a 的取值范围为.【答案】()(),22,eln2¥--È--【详解】解：由题意可得方程()()2220x xax x +-=有4个不同的根，方程220x x -=的2个根为121,2x x ==，则方程20x ax +=有2个不同的根，且2a ¹-，即函数2x y =与函数y ax =-的图象有两个交点.当直线y ax =-与函数2x y =的图象相切时，设切点为()00,2x x ，因为2ln2xy ¢=，所以0002ln2,2,x x a ax ì-=ïí-=ïî解得021log e,eln2ln2x a ===-.要使函数2x y =与函数y ax =-的图象有两个交点，只需直线y ax =-的斜率大于eln2，故a 的取值范围为()(),22,eln2¥--È--.故答案为：()(),22,eln2¥--È--四、解答题31．已知函数()32691f x x x x =-++.(1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)当[]0,5x Î时，求函数()f x 的最大值.【答案】(1)91y x =+(2)21【详解】（1）因为()32691f x x x x =-++，所以()23129f x x x ¢=-+.()()09,01f f ==¢所以切线方程为()190y x -=-，即91y x =+.（2）令()21231290,1,3f x x x x x =-+¢===，因为[]0,5x Î，所以()f x 在][0,1,3,5éùëû单调递增，()1,3单调递减，所以()()(){}{}max max 1,5max 5,2121f x f f ===.32．已知函数()212ln 32f x x x x =-+．(1)求函数()f x 的极值；(2)解不等式：()6ln 28f x >+．【答案】(1)极大值为52-，极小值为2ln 24-(2)()8,+¥【详解】（1）函数()f x 的定义域为全体正实数，由()()()()212122ln 332x x f x x x x f x x x x--¢=-+Þ=-+=，令()1201,2f x x x ¢=Þ==，于是有x()0,11()1,22()2,+¥()f x ¢+-+()f x 单调递增52-单调递减2ln 24-单调递增因此，当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为()512f =-，2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()22ln 24f =-；（2）由（1）可知：函数()f x 在()0,1x Î时单调递增，而()5102f =-<，所以此时有()0f x <，在()1,2x Î时单调递减，所以有()0f x <，因此要想()6ln 28f x >+，有()0f x >，则必有2x >，当()2,x Î+¥时，函数单调递增，而()2182ln 83886ln 282f =-´+´=+，所以由()()()6ln 2888f x f x f x >+Þ>Þ>，因此不等式()6ln 28f x >+的解集为()8,+¥.33．已知函数()()e 211x xf x x -=-．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)求出方程()()f x a a =ÎR 的解的个数．【答案】(1)(),0-¥，3,2æö+¥ç÷èø(2)答案见解析【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),11,¥¥-È+．()()22e 23(1)x x xf x x --¢=．令()0f x ¢=解得0x =或32x =．则x 、f ′(x )、()f x 的关系列表如下：x(),0¥-0(0,1)31,2æöç÷èø323,2¥æö+ç÷èøf ′(x )+--0+()f x 单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增∴f (x )的单调递增区间为()3,0,,2¥¥æö-+ç÷èø．（2）方程()()f x a a =ÎR 的解的个数为函数y =f (x )的图象与直线y a =的交点个数．在（1）中可知：()f x 在区间()3,0,,2¥¥æö-+ç÷èø上单调递增，在()30,1,1,2æöç÷èø上单调递减，在0x =处取得极大值()01f =，在32x =处取得极小值3234e 2f æö=ç÷èø，令0y =，得12x =．当0x <时，0,y y >的图像过点()10,1,,02æöç÷èø．当x ®-¥时，0y ®，但始终在x 轴上方；当x 从1的左侧无限近于1时，y ®-¥；当x 从1的右侧无限近于1时，y ®+¥；当32x =时，324e y =；当x ®+¥时，y ®+¥．根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示，\当3214e a <<时，y =f (x )与y a =没有交点，则方程()f x a =的解为0个；当0a <或1a =或324e a =时，y =f (x )与y a =有1个交点，则方程()f x a =的解为1个；当01a <<或324e a >时，y =f (x )与y a =有2个交点，则方程()f x a =的解为2个．34．设函数()y f x =，其中()()0ln f x a x =->，(1)求()f x ¢；(2)若()y f x =在[1,)+¥是严格增函数，求实数a 的取值范围；(3)若()y f x =在[2,4]上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()f x ¢=(2)[2,)+¥；(3)(．【详解】（1）由()()12ln ln 0f x x ax x a ==->，得()12112f x a x x -=×-¢，所以()f x =¢（2）由题意得，()0f x ¢³在[1,)+¥上恒成立，即a ³在[1,)+¥恒成立，因为y 在[1,)+¥上递减，所以y =2=，所以2a ³，即实数a 的取值范围为[2,)+¥；（3）由题意得，()0f x ¢<在[2,4]上有解，即a <[2,4]上有解，因为y 在[2,4]上递减，所以1££，所以0a <<，即实数a 的取值范围为(．35．已知函数()y f x =，其中()()()326,R f x x ax a x b a b =++++Î．(1)若函数()y f x =的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a 、b 的值；(2)若()y f x =在R 上是严格增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)3a =-，0b =；(2)[]3,6a Î-．【详解】（1）由()()()326,R f x x ax a x b a b =++++Î，得()2326f x x ax a ¢=+++，由题意得，(0)0(0)3f f =ìí=¢î，即063b a =ìí+=î，解得3a =-，0b =；（2）()2326f x x ax a ¢=+++，由题意得，()0f x ¢³在R 上恒成立，则()2Δ41260a a =-+£，化简得23180a a --£，解得[]3,6a Î-．36．已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．(1)若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；(2)求()f x 的极值点；(3)若()f x 在[)0,+¥上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】(1)14a =；(2)答案见解析；(3)[)1,+¥．【详解】（1）函数()f x 的定义域为()1,-+¥，()111f x ax x¢=-+-+，因为函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，所以()1331013f a ¢=-+-=+，解得14a =．（2）函数()f x 的定义域为()1,-+¥，()()()111111111ax x x x a ax f x ax x x x-+++---¢=-+-==+++．令()0f x ¢=得10x =或2111a x a a-==-，所以当110a-<，即1a >时，()0f x ¢>的解集为11,0a æö-ç÷èø，()0f x ¢<的解集为()11,10,a æö--+¥ç÷èøU ，所以函数()f x 在区间11,1a æö--ç÷èø和()0,¥+上严格减，在区间11,0a æö-ç÷èø上严格增，0x =是函数()f x 的极大值点，11=-x a 是函数()f x 的极小值点；当110a-=，即1a =时，()0f x ¢£在区间()1,-+¥上恒成立，此时函数()f x 在区间()1,-+¥上严格减，无极值点；当110a->，即01a <<时，()0f x ¢>的解集为10,1a æö-ç÷èø，()0f x ¢<的解集为()11,01,a æö--+¥ç÷èøU ，所以函数()f x 在区间()1,0-和11,a æö-+¥ç÷èø上严格减，在区间10,1a æö-ç÷èø上严格增，0x =是函数()f x 的极小值点，11=-x a是函数()f x 的极大值点；综上，当1a >时，0x =是函数()f x 的极大值点，11=-x a 是函数()f x 的极小值点；当1a =时，函数()f x 在区间()1,-+¥上严格减，无极值点；当01a <<时，0x =是函数()f x 的极小值点，11=-x a是函数()f x 的极大值点．（3）由（2）知，当01a <<时，函数()f x 在区间11,a æö-+¥ç÷èø上严格减，在区间10,1a æö-ç÷èø上严格增，故函数()f x 在[)0,+¥上的最大值是()1100f f a æö->=ç÷èø，与已知矛盾；当1a =时，函数()f x 在区间[)0,+¥上严格减，最大值()()max 00f x f ==，满足条件；当1a >时，函数()f x 在区间[)0,+¥上严格减，最大值是()()max 00f x f ==，满足条件；综上，a 的取值范围是[)1,+¥．37．曲线()3f x x =在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在点A 处的切线方程.【答案】320x y --=或320x y -+=【详解】求导得()23f x x ¢=.令233x =，则1x =±.当1x =时，切点A 为()1,1,所以该曲线在()1,1处的切线方程为()131,y x -=-即320x y --=；当=1x -时，切点A 为()1,1,--所以该曲线在()1,1--处的切线方程为()131,y x +=+即320.x y -+=综上知，曲线()3f x x =在点A 处的切线方程为320x y --=或320x y -+=.38．已知函数1()e ax f x x=+（0a ³）．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设2()()g x f x x ¢=×，求函数()g x 的极大值．【答案】(1)3y x =-+(2)答案见解析【详解】（1）当0a =时，1()1f x x =+，()21f x x ¢=-，则()()11,12f f ¢=-=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()21y x -=--，即3y x =-+；（2）函数()g x 的定义域为()(),00,-¥+¥U ，21()e ax f x a x ¢=-，则()22e 10()()ax ax g x x x f x ¢-=×=¹，则()()()222e e 2e 0ax ax ax g x ax a x ax ax x ¢=+=+¹，当0a =时，()1g x =-，此时函数()g x 无极值；当0a >时，令'()0g x >，则2x a<-或0x >；令()0g x ¢<，则20x a-<<，所以函数()g x 在()2,,0,a æö-¥-+¥ç÷èø上单调递增，在2,0a æö-ç÷èø上单调递减，所以()g x 的极大值为2241eg a a æö-=-ç÷èø；综上所述，当0a =时，函数()g x 无极大值；当0a >时，()g x 的极大值为241e a -.39．设函数()e x f x x a =-.(1)若直线2y x =--是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；(2)讨论()f x 的单调性；(3)当1a =时，记函数()()x g x e f x =，若0m n +>，证明：()()2g m g n +<-.【答案】(1)2a =(2)答案见解析(3)证明见解析【详解】（1）设切点为00(())x f x ,，()1e x f x a ¢=-，所以切线方程为()0000e 1e x x y x a a x x -+=--（），因为直线2y x =--是曲线()y f x =的切线，所以01e 1x a -=-，即0e 2x a =，化简切线方程得022y x x =-+-，所以0222x -=-，解得00x =，所以2a =.（2）()1e x f x a =¢-，当0a £时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，当0a >时，令()0f x ¢>，解得ln x a <-，所以()f x 在(,ln )a -¥-上单调递增，令()0f x ¢<，解得ln x a >-，所以()f x 在(ln ,)a -+¥上单调递减，综上可知，当0a £时，()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，当0a >时，()f x 在(,ln )a -¥-上单调递增，在(ln ,)a -+¥上单调递减.（3）由题意知，()()e2e 1x x g x x -¢=+，令()2e 1x h x x =-+，由（1）知，()h x 在(,ln 2)-¥-上单调递增，在(ln 2,)-+¥上单调递减，所以()(ln 2)ln 20h x h -=-<≤，可得()0g x ¢<，所以()g x 在(,)-¥+¥上单调递减，因为0m n +>，所以m ，n 中至少有一个大于0（否则若0,0m n ££，有00m n n +£+£，这与0m n +>矛盾），不妨设0m >，n m >-，所以()()g n g m <-，所以()()()()g m g n g m g m +<+-，令()()()2212e e 2e e m m m mm m g m g m m j =+-+=---+()()2222e e 1e 1e m m m mm ---=()()()()()22222e 1e e 1e 11e e m m m m m m m g m --+-+==，因为0m >，所以()(0)1g m g <=-，即()10g m +<，又2e 10m ->，所以()0m j <，即()()20g m g m +-+<，可得()()2g m g m +-<-，所以()()2g m g n +<-.【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于证明()()20g m g m +-+<即可，其中0m >，由此即可顺利得证.40．已知函数()()1ln R f x ax x a =--Î.(1)若2a =，求()f x 在1,e e éùêúëû上的最大值和最小值；(2)若1a =，当1x >时，证明：()ln x x f x >恒成立；(3)若函数()f x 在1x =处的切线与直线:1l x =垂直，且对()0,x ¥"Î+，()2f x bx ³-恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】(1)最大值是2e 2-，最小值是ln 2(2)证明见解析(3)21,1e æù-¥-çúèû【详解】（1）当2a =时，()21ln f x x x =--，()21x f x x -¢=，令()0f x ¢=可得12x =，故当10,2x æöÎç÷èø时()0f x ¢<，()f x 在10,2æöç÷èø单调递减；当1,2x æöÎ+¥ç÷èø时()0f x ¢>，()f x 在1,2æö+¥ç÷èø单调递增；故()f x 递减区间为11,e 2éùêúëû，递增区间为1,e 2éùêúëû函数()f x 的极小值1ln 22f æö=ç÷èø是唯一的极小值，无极大值.又12e e f æö=ç÷èø，()1e 2e 2e f f æö=->ç÷èø()f x \在1,1e éùêúëû上的最大值是2e 2-，最小值是ln 2（2）因为1a =，所以令()()ln ln ln 1h x x x f x x x x x =-=-++，()1ln h x x x¢=+.当1x >时，()0f x ¢>，则()h x 在()1,¥+上单调递增，所以当1x >时，()()10h x h >=，所以()ln x x f x >恒成立.（3）因为函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线:1l x =垂直，所以()10f ¢=，即10a -=，解得1a =所以()1ln f x x x =--.因为对()0,x "Î+¥，()2f x bx ³-恒成立，所以对()0,x "Î+¥，1ln 1x b x --£恒成立.令()1ln x g x x-=，则()2ln 2x g x x -¢=令()0g x ¢>，解得2e x >；令()0g x ¢<，解得20e x <<，所以函数()1ln x g x x-=在区间()20,e 上单调递减，在区间()2e ,+¥上单调递增，所以()()22min e e 1g x g ==-，则211e b -£-，解得：211e b £-.所以实数b 的取值范围为21,1e æù-¥-çúèû41．已知函数()e cos x f x a x =+在0x =处的切线方程为2y x =+.(1)求实数a 的值；(2)探究()f x 在区间3π,2öæ-+¥ç÷èø内的零点个数，并说明理由.。
导数优生培优小题---含参考答案
导数优生培优试卷导数综合应用---综合训练（难度较大）一、单选题1．()ln m f x x m x=-+在区间()1,e e -内有唯一零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．,112e e e ⎛⎤-+ ⎥+⎝⎦B ．1,11e e e -⎛⎫ ⎪++⎝⎭C ．,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭ D ．1,12e ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 2．已知函数()sin cos ef x x x x x=-+⋅，当[]4,4x ππ∈-且0x ≠时，方程0f x 的根的个数是（ ） A ．7 B ．6 C ．9D ．83．已知函数21()ln 22f x x x ax x =--有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,e --∞B ．()20,e -C ．()1,e --∞D ．()10,e -4．函数()2ln 12f x x x x =+--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞6．已知函数321,0,()235,0,x x x x x f x x ⎧++<=⎨+-⎩若函数()27ay f x =-恰有3个零点，则满足条件的整数a 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B ．24,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭8．若函数11()ln x x f x x x e e m --+=-+++有零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[1,)-+∞D ．[3,)+∞9．已知函数()xf x ax e =-与函数()ln 1g x x x =+的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,e -+∞B ．1,2e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2e -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．(),1e -∞- 10．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（ ）A ．9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知函数()2f x x m =-与函数()11ln ,,22g x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]0,2ln2-B ．10,ln 24⎛⎤⎥⎝+⎦- C ．1ln 2,2[)ln 24-+-D ．1ln 2,ln 24⎛-+⎤⎥⎝⎦12．已知关于x 的不等式32ln x ax x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．(,0]-∞13．已知函数()3sin f x x x x =--+，当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()()2cos 22sin 20f m f m θθ-+->成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭14．已知函数ln ,0()(2),0x xx f x x x e x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，若函数()()g x f x a =-仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(2,)+∞B ．31(2,),e ⎛⎫+∞⋃-∞- ⎪⎝⎭C ．311,2,e e ⎛⎤⎛⎫⋃-∞- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ D ．31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭15．设函数()()21xf x ex mx m =--+，其中1m <，若有且仅有一个整数n ，使得()0f n <，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知函数2()31f x xx =---，()e g 2x exx ex+=，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则n m -的最大值为（ ）A ．1BC．D17．函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ，2x ，且122x x <，则a 的取值范围是（ ）A ．2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D．⎛⎝⎭导数优生培优试卷18．设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x "，若在(,)a b 上()0f x "<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知2()ln x f x e x x px =--在(1,4)上为“凸函数”，则实数p 的取值范围是（ ）A ．1,22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[1,)-+∞eC ．41,28e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,)e +∞19．函数()ln 12122x a x f x x x+=+-在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)4,-+∞B ．[)e,-+∞C ．[)2,-+∞D ．[)0,+∞20．已知函数()2ln f x x x =-，()33g x x xm =-+，方程()()f x g x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的实根，则m 的取值范围是（ ）A ．2121,333e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．22212,333e e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦C ．221,133e ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．212,33e ⎛⎤- ⎥⎝⎦21．32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x x a =--有3个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．[0,2)B ．[0,1)C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞22．已知函数()()ln 1xf x ex =-，1,2x ⎡⎤∈+∞⎢⎥⎣⎦若存在[]2,1a ∈-，使得21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,+∞C ．2,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦23．设函数()24x f x x +=，()xg x xe =，若对任意1x 、(]20,x e ∈，不等式()()121g x f x k k≤+恒成立，则正数k 的取值范围为（ ）A ．141,e e e +⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(],4eC ．10,4e e e +⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．140,4e e +⎛⎤ ⎥-⎝⎦ 24．已知函数()22ln f x x x =-，若关于x 的不等式()0f x m -≥在[]1,e 上有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,2e -∞-B ．(2,2e ⎤-∞-⎦C ．(],1-∞D ．(),1-∞25．设02m <≤，已知函数()3125016x x f x m-+=，对于任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦26．已知函数()33f x x x =-，过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()f x 的三条切线，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,1)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(3,2)--27．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．528．()22ln 2f x x e x mx =-+，()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为（ ）A ．22ln 22,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．22ln 22,42e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．22ln 2ln 34,623e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．22ln 2ln 34,623e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 29．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭30．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．12-B ．13C ．12D ．131．已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦32．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x >时，()()'0xf x f x -<，若()()()ln23,,ln23f e f f a b c e-===-，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<导数优生培优试卷33．若函数2,0()21,0x e x f x x x x ⎧≥=⎨-++<⎩（其中e 是自然对数的底数），且函数()y f x mx=-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(0,)eC ．(,0)(1,)-∞⋃+∞D ．(,0)(,)e -∞⋃+∞34．已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞B ．(4.?)+∞C ．(,4]-∞D ．(,4)-∞35．已知函数()33,0ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4B ．[)0,2C ．(],4-∞D ．(],2-∞36．已知函数()xf x e ex a =-+与()1ln g x x x=+的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[),e -+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞-D ．(],e -∞-37．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞38．已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．39．已知函数()f x kx =，ln ()x g x x=，若关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．211[,)2e eB ．11(,]2e eC ．21(0,)eD ．1(,)e+∞40．函数2()ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2212a -<≤- B ．21a -<≤- C ．31a -<≤-D ．ln3ln 23232a -<≤- 41．函数()321162f x x bx cx =++的导函数()'f x 是偶函数，若方程()'ln 0f x x -=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中e 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数c 的取值范围是（ ）A ．2111,2e 2⎡⎤---⎢⎥⎣⎦B ．2111,2e 2⎡⎫---⎪⎢⎣⎭ C ．2111e ,22⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．2111e ,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦42．已知函数()x x f x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e --B ．2[,)e +∞C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞43．已知函数()1x f x e ax =--在区间(1,1)-内存在极值点，且()0f x <恰好有唯一整数解，则的取值范围是（ ）A ．221,e 2e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．22211,11,22e e e e ⎡⎫⎛⎤--⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．()1,e e -D ．()2211,1,2e e e e ee ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭44．已知()f x 是定义在(),-∞+∞上的函数，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()()10f x x f x '+->，则下列结论中正确的是（ ）A ．()0f x >恒成立B ．()0f x <恒成立C ．()10f =D ．当(),1x ∈-∞时，()0f x <；当()1,x ∈+∞时，()0f x >45．已知函数10()ln ,0x xf x x x x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()Fx f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e-，0) B ．(12e-，0) C ．(0，12e) D ．(0，21e)导数优生培优试卷参考答案1．B 【分析】 等价转化为ln 1x x m x =+在区间()1,e e -内只有一个根，然后利用导数求得ln ()1x x h x x =+在区间()1,e e -的单调性，最后简单计算可得结果. 【详解】由题可知：等价于11ln m x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间()1,e e -内只有一个根 即ln 1x x m x =+在区间()1,e e -内只有一个根 令2ln 1ln (),()1(1)x x x xh x h x x x ++'==++， 令()1ln k x x x =++，1()10k x x'=+>，函数()y k x =在区间()1,e e -单调递增，()11()0k x k e e -->=>，所以()0h x '>，函数()y h x =在区间()1,e e -单调递增，所以有()()()1h e h x h e -<<，即11(),1111e eh x m e e e e --<<<<++++， 故选：B.【点睛】思路点睛：（1）等价转为ln 1x x m x =+在区间()1,e e -内只有一个根；（2）构造函数ln ()1x x h x x =+；（3）利用导数研究函数ln ()1x xh x x =+性质；（4）得出结果.2．D 【分析】 设()eg x x=，()sin cos h x x x x =-⋅ ，求方程()0f x =的根的个数，即求函数()y g x =与()y h x =的交点个数，利用函数均为奇函数求区间交点数即可.【详解】 设()eg x x=，()sin cos h x x x x =-⋅ ，()f x 与()g x 均为奇函数， ∴只需求()y g x =与()y h x =在(0,4]π上的交点个数.∴()sin h x x x '=，所以()h x 在(0,)π和(2,3)ππ上单调递增，在(,2)ππ和(3,4)ππ上单调递减，且()()()()()00,,22,33,44h h h h h ππππππππ===-==-； 又()e g x x=单调递减且()()()(),444e eg h g h ππππππ=<=>，∴在(0,4]π上有4个交点，故在[4,0)π-上也有4个交点，故方程()0f x =在[4,4]ππ-且0x ≠上有8个根，故选：D.【点睛】关键点点睛：将函数拆分成两个函数()eg x x=，()sin cos h x x x x =-⋅ ，研究它们在指定区间上的交点个数. 3．B 【分析】由()'ln 1f x x ax =--在()0,∞+上有两个不同的零点，转化为函数y a =与ln 1x y x-=有两个不同的交点，利用数形结合法求解. 【详解】()'ln 1f x x ax =--，因为()'ln 1f x x ax =--在()0,∞+上有两个不同的零点， 即ln 10x ax --=有两个不同的正根，即ln 1x a x-=有两个不同的正根， 即y a =与ln 1x y x-=有两个不同的交点. 因为22ln xy x-'=，当20x e <<时，0y '>，当2x e >时，0y '<，导数优生培优试卷所以函数ln 1x y x -=在()20,e 为增函数，在()2,e +∞为减函数， 当2x e =时，21y e=，且当x e >时，0y >，在同一坐标系中作出 y a =与ln 1x y x-=的图象，如图所示：由图象得210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决． 4．D 【分析】易知()f x 的图象是由函数()2ln 1g x x x =-+的图象向左平移一个单位长度得到，然后利用()2ln 1g x x x =-+的奇偶性和极值求解.【详解】因为()()22ln 12ln 111f x x x x x x =+--=+-++，所以()f x 的图象是由函数()2ln 1g x x x =-+的图象向左平移一个单位长度得到，因为()2ln 1g x x x =-+为偶函数，故()f x 的图象关于直线1x =-对称.又0x >时，()2ln 1g x x x =-+，()21122x g x x x x-'=-=，所以在⎛ ⎝⎭上，()0g x '>，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上，()0g x '<， 所以()g x 在()0,∞+存在极值点， 所以()f x 在()1,-+∞上存在极值点. 综上可知，只有选项D 符合条件.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数()f x 的变形，得到与()2ln 1g x x x =-+的图象关系而得解. 5．B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∴()2222ln 2x x t f x x -+-'=，∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立∴对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ∴对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ∴1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.导数优生培优试卷6．C【分析】画出函数的图像，利用零点的个数，结合图像，即可得到结果． 【详解】当0x ≥时，()235x x f x =+-单调递增，此时函数的值域为[3,)-+∞．当0x <时，2()32f x x x '=+，由()0f x '=，得23x =-，则231()max 327f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 因为320011++=，且函数()27a y f x =-恰有3个零点，所以3112727a <<，即2731a <<，故整数a 的个数为3．故选：C 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 7．D 【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解；【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()xx x f x e -'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点， 所以2401t e <-<，即2411t e<<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力． 8．A 【分析】设11()ln e e x x g x x x --+=-++，则函数11()ln x x f x x x e e m --+=-+++有零点转化为函数导数优生培优试卷()g x 的图象与直线y m =-有交点，利用导数判断函数()g x 的单调性，即可求出．【详解】设11()ln e e x x g x x x --+=-++，定义域为()0,∞+，则111()1e e x x g x x--+'=-+-，易知()'g x 为单调递增函数，且(1)0,g '= 所以当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减； 当(1,)x ∈+∞时， ()0g x '>， ()g x 递增，所以 ()(1)3,g x g ≥= 所以3m -≥，即3m ≤-． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查根据函数有零点求参数的取值范围，意在考查学生的转化能力，属于基础题．9．A 【分析】根据题意将函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点转化为ln 1x e x x a x--=有两解，令新的函数ln 1()x e x x h x x --=，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，所以()()f x g x -=，即ln 1xe ax x x -=+有两解，则ln 1x e x x a x--=有两解，令ln 1()x e x x h x x --=，则()21()1x x h x e x-'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>；所以函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以()h x 在1x =处取得极小值，所以(1)1h e =-，所以1a e >-，a 的取值范围为()1,e -+∞. 故选：A.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 10．A 【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+，令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 11．B 【分析】由题意可得()()f x g x =-对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根，等价于方程21ln 0x x x m -+-=对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根，令()21ln x x h x x =+-，可转化为y m =与()21ln x x h x x =+-两个函数图象在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点，对()h x 求导判断单调性，作出其函数图象，数形结合即可求解.【详解】若函数()2f x x m =-与函数()11ln,,22g x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则()()f x g x =-对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根， 即21ln0x x x m -+-=对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根， 可得21lnx m x x +=-对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不等式的实根， 令()21lnx xh x x =+-， 则y m =与()21lnx x h x x =+-两个函数图象在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点，导数优生培优试卷()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=--==， 由()0h x '>可得12x <<，由()0h x '<可得112x <<， 所以()21lnx xh x x =+-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在()1,2单调递增，所以()h x 图象如图所示：当1x =时，()ln11011h =-=+， 当12x =时，ln 12111l 4n 2242h ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭-，若y m =与()21ln x x h x x =+-两个函数图象在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦有两个不同的交点， 由图知104ln 2m <≤-+， 所以实数m 的取值范围是10,ln 24⎛⎤ ⎥⎝+⎦-， 故选：B 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12．A 【分析】将不等式32ln x ax x -≥恒成立，转化为不等式2ln x xa x≤-在()0,∞+上恒成立，令()2ln x x xg x =-，用导数法求得其最小值即可. 【详解】因为不等式32ln x ax x -≥恒成立， 所以不等式2ln x xa x≤- 在()0,∞+上恒成立， 令()2ln x x xg x =-， 则()3312ln x xg x x -+'=，令()312ln h x x x =-+，则()2230h x x x'=+>， 所以()h x 在()0,∞+上是递增，又()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得最小值()11g =， 所以 1a ≤， 故选：A 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.13．A【分析】可判断()f x 是奇函数且在R 上为减函数，不等式可化为导数优生培优试卷()()2cos 222sin f m f m θθ->-，可得2sin 12sin 1m θθ+>-在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，令()()21,0,11t g t t t +=∈-，利用导数可得()()01g t g <=-，即可求出.【详解】由()f x 解析式可得()f x 是奇函数，()231cos 0f x x x '=--+≤，()f x ∴在R 上为减函数，由()()2cos 22sin 20f m f m θθ-+->得()()()2cos 22sin 222sin f m f m f m θθθ->--=-，2cos 222sin m m θθ-<-∴，即2sin 12sin 1m θθ+>-在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，令sin t θ=，则()0,1t ∈，设()()21,0,11t g t t t +=∈-，则()()222101t t g t t --'=<-，()g t ∴在()0,1单调递减，()()01g t g ∴<=-，21m ∴≥-，即12m ≥-.故选：A. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是判断()f x 是奇函数且在R 上为减函数，得出2sin 12sin 1m θθ+>-在0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.14．C【分析】转化为()y f x =的图象与直线y a =仅有一个交点，利用导数得到函数的性质，根据函数的性质作出函数的图象，根据图象可得解. 【详解】当0x >时，ln ()x f x x=，21ln ()x x x f x x⋅-'=21ln xx -=，当0x e <<时，()'f x 0>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，所以()f x 在x e =处取得极大值为1()f e e=， 当0x ≤时，()(2)x f x x e =+，()(2)(3)x x x f x e x e x e '=++=+， 当3x <-时，()0f x '<，当3x >-时，()0f x '>， 所以()f x 在(,3)-∞-上递减，在(3,0]-上递增，所以()f x 在3x =-处取得极小值为331(3)f e e --=-=-，又(0)2f =， 因为函数()()g x f x a =-仅有一个零点，所以()y f x =的图象与直线y a =仅有一个交点， 作出函数()f x 的图象，如图：由图可知：12a e <≤或31a e<-. 故实数a 的取值范围为311,2,e e ⎛⎤⎛⎫⋃-∞- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭. 故选：C【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 15．D 【分析】 设()()21xg x ex =-，y mx m =-，则有且仅有一个整数n ，使得()g x 在直线y mx m=-的下方，由此利用导数性质能求出m 的取值范围. 【详解】导数优生培优试卷函数()()21xf x e x mx m =--+，其中1m <，设()()21xg x ex =-，y mx m =-，∴有且仅有一个整数n ，使得()0f n <，∴有且仅有一个整数n ，使得()g x 在直线y mx m =-的下方， ∴()()21xg x e x '=+，∴当12x <-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当12x >-时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； ∴当12x =-时，()1212[2]min g x g e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0x =时，()01g =-，当1x =时，()10g e =>， 直线y mx m =-恒过()1,0，斜率为m ，故()01m g ->=-，且()113g e m m --≥-=--，解得312m e≤<， ∴m 的取值范围是：3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故选：D.【点睛】 关键点点睛：（1）利用数形结合思想将题意转化为两图象相交的问题；（2）利用导数判断函数的单调性，分析临界位置处函数值的大小关系. 16．A 【分析】利用导数求得()g x 的单调区间和最小值.画出()f x 和()g x 的图象，结合图象求得n m -的最大值. 【详解】()()()()'22222222214222xx x x x x xe e ex e ex eex e e e x e e x g x e e x ex exex +⋅-+⋅⋅-⋅⋅--====⋅， 所以当01x <<时，()()'0,g x g x <递减；当1x >时，()()'0,g x g x >递增. 所以在区间()0,∞+上，()g x 的最小值为()112e eg e+==. ()23524f x x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭，故()f x 在32x =-时取得最大值54. 画出()()0f x x <和()()0g x x >图象如下图所示， 令()1f x =，解得2x =-或1x =-.依题意，实数m ，n 满足0m n <<，若[]1,x m n ∀∈，()20,x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，由图可知，n m -的最大值为()121---=. 故选：A【点睛】恒成立、存在性问题的求解，可通过结合图象以及函数的最值来求解. 17．A 【分析】导数优生培优试卷根据已知可进行分离参数后，构造函数，两个零点1x ，2x ，求解a 的范围和切点，可得1201x x <<<，且()()12f x f x =，结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围，然后结合函数单调性进行求解即可． 【详解】解：函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ，2x ， 令()0f x =，可得e xa x = 令()e xg x x= 即()()2e 1x x g x x-'=， 令()0g x '=，可得1x =， 可得当()0,1x ∈时，则()0g x '<， 当()1,x ∈+∞时，则()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得1201x x <<<， （i ）若1102x <<，则21120x x >>>，符合题意； （ii ）若1112x <<，则2121x x >>， 根据单调性，可得()()122f x f x <， 即()()112f x f x <，可得1111ln 22ln ax x ax x -<-，1ln 2x ∴>，综合（i ）（ii ）得，1x 的取值范围是()ln2,1． 又()g x 在()ln2,1上单调递减，可得()()ln 2g x g >， 即2ln 2a． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围，体现了转化思想的应用．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 18．C 【分析】 求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可. 【详解】∴()2ln xf x e x x px =--，∴()ln 12xf x e x px '=---，∴()12xf x e p x''=--， ∴()2ln xf x e x x px =--在()1,4上为“凸函数”，∴()120xf x e p x''=--<在()1,4上恒成立， 即12xp e x >-在()1,4上恒成立， 令()1xg x e x =-，()1,4x ∈，∴()210xg x e x =+>'，∴()1xg x e x=-在()1,4上单调递增，∴()()4144g x g e <=-，∴4124p e ≥-，即41,28e p ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：C.【点睛】导数优生培优试卷导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19．C 【分析】先根据题意将问题转化为()'0f x ≥在()0,∞+上恒成立，进而得22ln 230x x a -++≥在()0,∞+上恒成立，故令()22ln 23g x x x a =-++，()0,x ∈+∞，研究函数()min 0g x ≥即可得答案.【详解】解：因为函数()ln 12122x a x f x x x+=+-在()0,∞+上单调递增， 所以()'0f x ≥在()0,∞+上恒成立；由于()22221ln 1212ln 23222'x a x x f xx a x x -+-++=++=， 所以22ln 230x x a -++≥在()0,∞+上恒成立， 故令()22ln 23g x x x a =-++，()0,x ∈+∞，()2222'2x g x x x x-=-=， 故当()0,1x ∈时，()'0g x <，当()1,x ∈+∞时，()'0g x >，所以函数()22ln 23g x x x a =-++在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()min 1240g x g a ==+≥，解得2a ≥-， 故实数a 的取值范围为[)2,-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数单调性求参数取值范围，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意将问题抓化为()'0f x ≥在()0,∞+上恒成立，进一步运算得22ln 230x x a -++≥在()0,∞+上恒成立，进而构造函数并研究函数最值即可.20．A 【分析】由题可得232ln m x x =-，构造函数()22ln h x x x =-，讨论其在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变化情况即可得出答案. 【详解】由()()f x g x =，得232ln m x x =-， 令()22ln h x x x =-，则()()()211x x h x x-+'=，所以()h x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，所以()()min 11h x h ==，()221122h e e h e e ⎛⎫=->=+ ⎪⎝⎭， 则21132m e <≤+，即2121333m e <≤+． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 21．A 【分析】化为()a f x x =-有3个实根，设()()h x f x x =-，利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，根据图象可得结果. 【详解】因为函数()()g x f x x a =--有3个零点，所以()a f x x =-有3个实根， 设()()h x f x x =-，当0x ≤时，3()3h x x x =-，2()33h x x '=-， 当10-<≤x 时，()0h x '<，当1x <-时，()0h x '>， 所以()h x 在(,1)-∞-上递增，在(1,0)-上递减， 所以()h x 在1x =-时取得极大值(1)2h -=， 当0x >时，()ln h x x x =--为减函数， 作出函数()h x 的图象如图：导数优生培优试卷由图可知，02a ≤<. 故选：A 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 22．D 【分析】'1()ln 1x f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x =+-，计算函数的单调性，得到()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】'1()ln 1x f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x =+-，则'22111()x g x x x x -=-=，故当112x <<时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当1x >时，'()0,()g x g x >单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，'()0f x ≥，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增.设()()222314h a a a e a e =+--=+--，则()h a 在[]2,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，()max ()1h a h e ==-， 存在[]2,1a ∈-，使21223f a a e m ⎛⎫-≤+-- ⎪⎝⎭成立，等价于()121f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭.1211122m m ⎧-≤⎪⎪∴⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤.故选：D. 【点睛】本题考查了能成立问题，转化为函数的值域问题是解题的关键，得出参数与函数的最值的大小关系. 23．D 【分析】 由已知条件可得()()max min1g x f x k k≤+，分别利用基本不等式和导数可求得()min f x 和()max g x ，可得出关于正实数k 的不等式，由此可得出正数k 的取值范围.【详解】对任意1x 、(]20,x e ∈，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则()()max min 1g x f x k k≤+. 当(]0,x e ∈时，由基本不等式可得()2444x f x x x x +==+≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以，()min 4f x =.()x g x xe =，()()10x g x x e '∴=+>对任意的(]0,x e ∈恒成立，所以，函数()g x 在区间(]0,e 上单调递增，所以，()()1max ee g x g e e e e+==⋅=，所以，141e e k k+≤+，因为0k >，解得1404e k e +<≤-. 故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()y f x =，[],x a b ∈，()y g x =，[],x c d ∈.（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，则()()max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =成立，则()f x 的值域是()g x 的值导数优生培优试卷域的子集. 24．B 【分析】由题意可得()max m f x ≤，利用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，存在[]1,3x ∈，使得()m f x ≤，则()max m f x ≤.()22ln f x x x =-，则()()()22112222x x x f x x x x x-+-'=-==， 当[]1,3x ∈时，()0f x '≥，所以，函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，则()()2max 2f x f e e ==-，22m e ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(2,2e ⎤-∞-⎦.故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 25．B 【分析】令()31250g x x x =-+，用导数法得到()g x 在[]2,m m -上递减；再根据02m <≤，则()f x 在[]2,m m -上递减，然后再根据对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤，由()()max min 1f x f x -≤求解. 【详解】设()31250g x x x =-+，则()()2231234g x x x '=-=-，当2x <-或2x >时()0g x '>，()g x 递增；当22x -<<时()0g x '<，()g x 递减；当02m <≤时，[]2,m m - []22-,， 所以()g x 在[]2,m m -上递减； 所以()f x 在[]2,m m -上递减；所以()()()()max min 2,f x f m f x f m =-=因为任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤， 所以()()max min 1f x f x -≤， 即()()()()332122501250211616m m m m f m f m m m---+-+--=-≤，即23280m m +-≥， 解得2m ≤-或43m ≥，又02m <≤， 所以实数m 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键有两点：一是对任意[]12,2,x x m m ∈-，都有()()121f x f x -≤等价于()()max min 1f x f x -≤，二是()f x 在[]2,m m -上的单调性，由()31250g x x x =-+，利用导数法求解. 26．D 【分析】先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m 的方程，因为过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可． 【详解】解；设切点坐标3000(,3)x x x -， ∴()33f x x x =-，∴233fxx∴曲线()f x 在3000(,3)x x x -处的切线斜率为0233x - 又∴切线过点(1,)A m ，导数优生培优试卷∴切线斜率为300031x x mx ---，∴3000203133x x mx x --=-- 即320023x x m+3=0-+ ∴∴过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线， ∴方程∴有3解．令()32000233h x x x m+=-+，则()0h x 图象与x 轴有3个交点， ∴()0h x 的极大值与极小值异号()200066h x x x '=-，令()00h x =，得00x =或1，∴()()010h h <，即（m ＋3）（m ＋2）＜0解得−3＜m ＜−2 故选：D ． 【点睛】方法点睛：１.准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将切线的条数转化为函数()32000233h x x x m+=-+的零点个数，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用．２.当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解. 27．B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x++=>，()1k f x x ∴>+可化为()111ln x kx x ++>+ 即()()111ln x x k x+++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++，()02,3x ∈，()013,4x +∴∈， ∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围. 28．A 【分析】导数优生培优试卷由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2x e x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-xg x x和22y e x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x和22y e x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22y e x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围. 【详解】解：由题可知，()22ln 2f x x e x mx =-+，0x >，由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 20x e x mx -+≥，即222ln e x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2xe x m x-+≥-的解集中恰有一个整数， 令()ln =-x g x x ，则()21ln xg x x -'=-，当1x e <<时，()0g x '<；当x e >时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，画出()ln x y xg x ==-和22y e x =-的大致图象，如图所示： 要使得2ln 2x e x m x -+≥-，可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x 和22y e x m =-+的交点的横坐标，而2ln 2x e x m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<，当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-，即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线22y e x m =-+过点1,0A 时，得22m e =， 当直线22y e x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫-⎪⎝⎭时，得2ln 242m e =-，所以m 的取值范围为22ln 22,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.【点睛】 关键点点睛：本题考查根据不等式的解集求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数以及转化成两个函数的交点是解题的关键，考查数形结合思想和转化能力. 29．D 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，。
高三数学 数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及答案
高三数学 数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确； 若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．下列不等式正确的有（ ） A2ln 3< B．ln π<C．15< D．3ln 2e <【答案】CD 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析其单调性，然后由()2f f >、ff >、(4)f f >、()f f e <得出每个选项的正误.【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，令()0f x '=得x e =易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以①()2f f>，即ln 22>22ln ln 3>=，故A 错误；②ff >>，所以可得ln π>B 错误；③(4)f f >ln 4ln 242>=，即ln152ln 2=>所以ln15ln >15<，故C 正确；④()f f e <ln e e <3ln 21e<，即3ln 22e <所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.3．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： （i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧，A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <； 当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确； 对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'， 所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.4．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点 D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点 【答案】ABD 【分析】根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.【详解】由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin xf x e x ''=-，(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，又3423()0,()0,(0)20422f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=>(0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，即00cos x e x =-，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，又()00f eππ--=+>，000000()sin sin cos )04x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．5．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．6．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得：所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-， 所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.7．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。
高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(附解析
高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(附解析一、导数及其应用多选题1．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a b be e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a ba ab a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a bb a，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e；所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误.故选：AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.2．已知函数()21xx x f x e+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 存在两个不同的零点 B ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值C ．当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5f x e =，则t 的最小值为2 【答案】ABC 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A ．2()010f x x x =⇒+-=，解得x =，所以A 正确； 对于B ．22(1)(2)()x xx x x x f x e e --+-=-=-'， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >，所以(,1),(2,)-∞-+∞是函数的单调递减区间，(1,2)-是函数的单调递增区间， 所以(1)f -是函数的极小值，(2)f 是函数的极大值，所以B 正确．对于C ．当x →+∞时，0y →，根据B 可知，函数的最小值是(1)f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；对于D ：由图象可知，t 的最大值是2，所以D 不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是(2,)+∞是函数的单调递减区间，但当x →+∞时，0y →，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．3．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf xx 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f xx 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C ，参变分离得到22ln xk x x <+，构造函数()22ln x g x x x=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()211x t t x =>，由()()12f x f x =得21222ln t x x t t-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构造函数即得． 【详解】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=，当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数yf xx 有且只有1个零点，故B 正确．C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x-+-'=．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+， ∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->， ∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.4．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2yx 上两个不同点,A B 横坐标分别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）A ．若AB 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上B ．若阿基米德三角形PABC ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值14D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积212||4x x S -=【答案】ABC 【分析】设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.A ：把抛物线焦点的坐标代入直线AB 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，由题意可知：点221122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，由2'2yx y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：221112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，两方程联立得：211122222()2()y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，直线AB 的方程与抛物线方程联立得：2121220,y kx mx kx m x x k x x m y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 14y =-，因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而1214x x m =-=-，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，此时221111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：21(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB， 所以正三角形PAB的面积为11sin 602224︒==， 故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时， 所以1212121222121122122114PAPBx x x xx x kk x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：14y kx =+所以P 点坐标为：1(,)24k -，点 P 到直线AB 的距离为：=||AB ===，因为12121,4x x k x x +==-，所以21AB k =+， 因此直角PAB的面积为：2111(1)224k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以1||AB x x ===-，点P 到直线AB 的距离为：212== 所以阿基米德三角形PAB的面积32121211224x x S x x -=⋅-=， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.5．某同学对函数()sin e e x xxf x -=-进行研究后，得出以下结论，其中正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于原点对称B ．对定义域中的任意实数x 的值，恒有()1f x <成立C ．函数()y f x =的图象与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点的距离相等D ．对任意常数0m >，存在常数b a m >>，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减 【答案】BD 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断选项A ；由函数的性质可知()sin 1xxx f x e e-=<-可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x x e e x --->，构造函数()sin 0x x h x e e x x -=-->，求导判断单调性，进而求得最值即可判断选项B ；函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()0，πk (k Z ∈，且)0k ≠，可判断选项C ；求导分析()0f x '≤时成立的情况，即可判断选项D. 【详解】对于选项A ：函数()sin e e x xxf x -=-的定义域为{}|0x x ≠，且()()sin sin x x x xx xf x f x e e e e ----===--，所以()f x 为偶函数，即函数()y f x =的图象关于y 轴对称，故A 选项错误； 对于选项B ：由A 选项可知()f x 为偶函数，所以当0x >时，0x x e e -->，所以()sin 1x xx f x e e -=<-，可得到sin x x x e e -<-，即sin 0x xe e x --->，可设()sin 0x x h x e e x x -=-->，，()cos x x h x e e x -'=+±，因为2x x e e -+>，所以()cos 0x x h x e e x -±'=+>，所以()h x 在()0+∞，上单调递增，所以()()00h x h >=，即()sin 1xxx f x e e-=<-恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：函数()y f x =的图象与x 轴的交点坐标为()()00k k Z k π∈≠，，且，交点()0π-，与()0π，间的距离为2π，其余任意相邻两点的距离为π，故C 选项错误； 对于选项D ：()()()()2cos sin 0xx x x xxee x e e xf x ee-----+-'=≤，可化为e x (cos x －sin x )()cos sin 0xex x --+≤，不等式两边同除以x e -得，()2cos sin cos sin x e x x x x -≤+，当()32244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈⎪⎝⎭，，cos sin 0x x -<，cos sin 0x x +>，区间长度为12π>，所以对于任意常数m >0，存在常数b >a >m ，32244a b k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，，，()k Z ∈，使函数()y f x =在[]a b ，上单调递减，故D 选项正确；故选：BD 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数()f x 的最值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.6．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.7．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln xf x x=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）A ．y x =B ．12y x =-C ．3ex y =D ．1122y x =- 【答案】AB 【分析】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =，可得()21ln xf x x -'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1x g x e-=，可得()1e0x g x -'=>，()g x 单调递增，因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合； 设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为021ln x k x -=，又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以21ln 12()e k e e -==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3xy e=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，明显不满足，排除D. 故选：AB.【点睛】对于函数的新定义试题：（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.8．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在x e =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．(23fff π<<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立， 设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x--'=，令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x <<()0g x '>，函数()g x在上单调递增；当x >()0g x '<，函数()g x在)+∞上单调递减，所以当x =()g x取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．9．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减；当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x -'=，当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值 极小值极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x 1 12x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值(2)4e g =，()y g x =图像综上可得，22424<<e a e 或2a e >，a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.故选：BC 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项. 【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
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导数专题培优练习（综合问题）
1.对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数
()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00
x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数
32115()33212
g x x x x =-+-，则122015()()...()201620162016g g g +++=（ ） A. 2016 B. 2015 C. 4030 D. 1008
2.函数()sin 2()3f x x xf π=+'，()f x '为()f x 的导函数，令12
a =-，3
b log 2=，则下列关系正确的是（ ）
A. ()()f a f b >
B. ()<()f a f b
C. ()()f a f b =
D. ()()f a f b < 3.已知函数213()4ln(1)(2)22
f x x x m x m =-+-++-,（其中为m 常数）,函数()y f x =有两个极值点，则数m 的取值范围是（ ）
A. (－∞,－3)∪(1,+∞)
B. (－∞,－3]∪[1,+∞)
C. (1,3)
D. (3,+∞) 4.记函数()x f x e x a =--,若曲线2cos 2cos 1y x x =-++上存在点()00,x y 使得()00f y y =,则a 的取值范围是（ ）
A. ()2,e 4-∞-
B. 222ln 2,e 4⎡⎤--⎣⎦
C. 222ln 2,e 4-⎡⎤-+⎣⎦
D. ()
2,e 4--∞+ 5.已知函数31()21x x f x x x e e
=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）． A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1 B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
6.若定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x =f +x -，且当1x <时，()x x f x e =
，则满足(1)()f a ->f a 的a 的取值范围是（ ）
A. (2,+∞)
B. 1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ C. (3,+∞) D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。