原创1：3.2 立体几何中的向量方法(一)

∴Ԧv＝－3u，∴u∥Ԧv，∴α∥β.
(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)，
∴a与u即不共线，也不垂直，
∴l与平面α斜交．
(4)∵a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)，
∴a·u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，
∴l⊂α或l∥α.
典例分析
例2 如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，
空间中任意一条直线l的位置可以由
Ԧ
l上一个定点A以及一个定方向确定.
这样,点A和向量,不仅可以确定直线l的位置,
Ԧ
B
A
Ԧ
还可以具体表示出l上的任意一点.
=
知识点三：平面位置的确定
给一个定点和两个定方向(向量),
P
能确定一个平面在空间的位置吗?
空间中平面α的位置可以由α内
两条相交直线来确定
u＝λԦv
a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2
⇔ __________________________
(λ∈R)．
典例分析
例1 (1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，
根据下列条件判断l1，l2的位置关系：
①a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)；
②a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)；
1
∴u＝ a，∴u∥a，∴l⊥α.
4
跟踪训练
根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、
直线与平面的位置关系．
(1)直线l1、l2的方向向量分别是
a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；
(2)平面α、β的法向量分别是
u＝(1，3，0)，Ԧv＝(－3，－9，0)；
(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
即2x1=0, 2y1+z1=0
令z2＝2得y2＝－1，
得令z1＝2，则y1＝－1，
所以n2＝(0，－1，2)，
所以n1＝(0，－1，2)．
因为n1＝n2，
因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1.
又FC1⊄平面ADE，∴FC1∥平面ADE.
所以平面ADE∥平面B1C1F.
(2)∵C1B1＝(2，0，0)，
根据下列条件判断平面α与l的位置关系；
①u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)；
②u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．
【解析】(3)①∵u＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)，
∴u·a＝－12－4＋16＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．
2
A
D x
典例分析
设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，
1
1
则n·DC＝(1，λ，u)·( ，1，0)＝ ＋λ＝0，
2
2
1
∴λ＝－ .
2
1
1
n·DS＝(1，λ，u)·(－ ，0，1)＝－ ＋u＝0，
2
2
1
∴u＝ ，
2
1 1
∴n＝(1，－ ， )．
2 2
跟踪训练
已知点A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)，求平面ABC的一个法向量．
【解析】 (1)①∵a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)，
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
典例分析
(2)设u，Ԧv分别是不同的平面α，β的法向量，
根据下列条件判断α，β的位置关系；
1
①u＝(－1，1，－2)，Ԧv＝(3，2，－ )；

＝(a，a，0)，＝(0， ，a)，
2
法向量为n＝(2，－2，1)，
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为
m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，
m·AN=0
则
m·NM=0
∴

− 1 + 0 + 1 =
2


+ 1 + 0 = 0
2 1
2
0
∴y1＝－x1＝－2z1，取z1＝1，
∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)，
∵m∥n，
∴平面AMN∥平面EFDB.
归纳小结
向量法解决几何问题的步骤
(1)建立空间图形与空间向量的关系，把几何问题转化为向量问题．
(2)进行向量的加减、数乘、数量积运算，得出向量运算的结果．
(3)把向量运算的结果转化为相应的几何问题的结果．
再见
第三章 空间向量与立体几何
§3.2.1
立体几何中的向量方法(一)
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
上一节,我们把向量从平面推广到空间,
并利用空间向量解决了一些立体几何问题.
本节我们进一步学习立体几何中的向量方法.
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面ຫໍສະໝຸດ 以及由它们组成的空间图形.
为了用空间向量解决立体几何问题,
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
跟踪训练
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，
A1D1，B1C1，C1D1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFDB.
证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz.
z
D1
N
A1
F
C1
E
M
B1
设正方体棱长为a，
d
b
c
(3)由n·a=0，n·b=0建立关于
两个方程
x、y、z的方程组
三个未知数
(4)取方程组的一组解.
非零向量
知识点六：向量与平行
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为
l∥α⇔a⊥u ⇔________
a·u＝0
a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
⇔_________________．
a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，
1
SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，求平面SCD与平面SBA的法向量．
2
【解析】∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，
∴以A为原点，以AD、AB、AS的方向
z
S
为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，
y
B
C
1
则A(0，0，0)，D( ，0，0)，C(1，1，0)，
2
S(0，0，1)，
1
AD＝( ，0，0)是平面SAB的法向量，
则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，
如果a⊥α ，那么向量a叫做平面α的法向量.
知识点五：平面的法向量
一个平面有多少个法向量？
(1)设出平面的法向量n=(x,y,z)
它们是什么关系？
(2)取平面内两个不共线的向量
如何求平面的一个法向量？
n
b
a=(a1,b1,c1)，b=(a2,b2,c2)
e
α
a
a＝(1，－4，－3)，μ＝(2，0，3)；
Ԧ
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
跟踪训练
解： (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)，
∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)∵u＝(1，3，0)，Ԧv＝(－3，－9，0)，
则A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，
B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．


∴N( ，0，a)，M(a， ，a)，
2
2


E( ，a，a)，F(0， ，a)，
2
2
C
D
x
A
B
y
跟踪训练


∴＝(－ ，0，a)，＝( ， ，0)，
2
2 2
同理可得平面EFDB的一个
因此，可取n＝(bc，ac，ab)为平面ABC的一个法向量．
典例分析
例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，
z
求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.
【证明】
如图所示建立空间直角坐标系D－xyz，
D1
A1
F
则有D(0，0，0)、A(2，0，0)，C(0，2，0)，
首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.
知识点一：点的位置向量
如何确定一个点在空间的位置?
P
在空间中，取一定点O作为基点，
那么空间中任意一点P的位置就可以用
向量OP来表示.
把向量OP称为点P的位置向量.
O
知识点二：直线的方向向量
在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),
P
能确定一条直线在空间的位置吗?
D
C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，
B1(2，2，2)，
所以1 ＝(0，2，1)，
＝(2，0，0)，＝(0，2，1).
A
x
C1
B1
E
C
B
y
典例分析
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
由n2⊥FC1，n2⊥C1B1，得
则n1⊥，n1⊥，
得2y2+z2=0,2x2=0
2
②u＝(3，0，0)，Ԧv＝(－2，0，0)；
【解析】
1
(2)①∵u＝(－1，1，－2)，Ԧv＝(3，2，－ )，
2
∴u·vԦ＝－3＋2＋1＝0，∴u⊥Ԧv，∴α⊥β.
②∵u＝(3，0，0)，Ԧv＝(－2，0，0)，
3
∴u＝－ vԦ，∴u∥Ԧv，∴α∥β.
2
典例分析
(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，
这样,点O与向量,不仅
Ԧ
可以确定平面α 的位置,
还可以具体表示出α内的任意一点.
b
α
O
a
= Ԧ +
知识点四：平面的法向量
a
给一个定点和一个定方向(向量),
能确定一个平面在空间的位置吗?
给定一点A和一个向量a,
A
α
过点A, 与向量a垂直的平面是确定的.
法向量：
如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面α，
(3)面面平行
则l∥m⇔a∥b⇔__________
a＝λb
设平面α，β的法向量分别为
⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
u＝(a1，b1，c1)，Ԧv＝(a2，b2，c2)，
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，
平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，
则α∥β⇔u∥Ԧv⇔________
解：设坐标原点为O，
由已知可得：AB＝(－a，b，0)，AC＝ (－a，0，c)．
设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则n·AB＝(x，y，z)·(－a，b，0)＝－ax＋by＝0，
n·AC＝(x，y，z)·(－a，0，c)＝－ax＋cz＝0.


于是得y＝ x，z＝ x.


不妨令x＝bc，则y＝ac，z＝ab.