高中数学苏教版必修5 2.3.2 等比数列的通项公式作业含解析

数学·必修5(苏教版)练习：第2章2.3-2.3.2等比数列的通项公式

第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级基础巩固一、选择题1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a，b，c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案：B2．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析：因为a4＝a1q3＝8·q3＝64，所以q3＝8，q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案：C3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，….答案：A4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．答案：B5．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.答案：D二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，则d ＝________．解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案：0或27．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．解析：由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案：1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．解析：设这个林场今年的树木总量是m，第n年末的树木总量为a n，则a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.则a n＋1a n＝1.25.则数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．则a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案：1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中：(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，a n＝12，求n；(2)a5＝8，a7＝2，a n>0，求a n.解：(1)法一：因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18, ②②①得q＝12，所以14a1＋132a1＝36，所以a1＝128，而a n ＝a 1q n －1，所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以n ＝9.法二：因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)．所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32. 因为a n ＝a 3q n －3，所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，所以q 2＝14，q ＝±12. 又a n >0，所以q ＝12. 所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n ，即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1，即b n＝3n－1＋a n＝3n－1－2n＋21.B级能力提升一、选择题11．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5 B．10 C．15 D．20解析：a2a4＝a23，a4a6＝a25，故得(a3＋a5)2＝25，又a n＞0，所以a3＋a5＝5.答案：A12．设{a n}是由正数组成的等比数列，且a5·a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5 B．10 C．20 D．40解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.答案：C13．在正项等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6 C．8 D．4 2解析：因为a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a33＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案：C二、填空题14.(2014·安徽卷)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：1415．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50三、解答题16．已知等比数列{a n }各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6，2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24，2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a 1＝13.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。

2018版高中数学苏教版必修5学案：2.3.2 等比数列的通项公式(二)

2.3.2 等比数列的通项公式(二)[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法.知识点一推广的等比数列的通项公式{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n－m(m 、n ∈N *，m ≤n ).思考1 如何推导a n ＝a m q n－m?答案根据等比数列的通项公式， a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，∴a n a m＝q n －m ，∴a n ＝a m ·q n －m . 思考2 若已知等比数列{a n }中，q ＝3，a 3＝3，则a 7＝. 答案 243解析 a 7＝a 3·q 4＝3·34＝35＝243. 知识点二等比数列的性质1.如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l .2.如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .3.若m ，n ，p 成等差数列，则a m ，a n ，a p 成等比数列.4.在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.5.如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a k ·a n －k ＋1＝…. 思考等比数列{a n }中，a 3·a 9a 5＝，a 5·a 11＝.答案 a 7 a 28解析由等比数列的性质得a 5·a 11＝a 28. a 3·a 9＝a 5·a 7，∴a 3·a 9a 5＝a 7.题型一等比数列的性质及应用例1 (1)在等比数列{a n }中，若a 3a 6＝9，a 2a 4a 5＝27，则a 2的值为. (2)已知公比为q 的等比数列{a n }中，a 5＋a 9＝12q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为.答案 (1)3 (2)14解析 (1)因为{a n }为等比数列，所以a 3a 6＝a 4a 5＝9，又因为a 2a 4a 5＝27，所以a 2＝3. (2)∵a 5＋a 9＝12q ，∴a 4＋a 8＝12，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝()a 4＋a 82＝14. 反思与感悟在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a 1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝.(2)已知数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝. 答案 (1)32或23 (2)5解析 (1)a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，∴q 10＝a 14a 4＝32或23，a 20a 10＝q 10＝32或23. (2)由a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，即a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0， ∴a 3＋a 5＝5.题型二灵活设项求解等比数列例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为.答案 8，－2，12，－18或－18，12，－2,8解析设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3. 则a 4q 6＝1， aq (1＋q )＝－32，①所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q ＞0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q ＜0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.反思与感悟灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq ；(2)四数成等比数列，一般可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3，但前一种设法的公比为q 2(公比大于0)；(3)五数成等比数列，一般可设为a q 2，aq，a ，aq ，aq 2.跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数. 解由题意设此四个数为bq，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.题型三等比数列的实际应用例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数). 解设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2014年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，所以 a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45(a n －35)，a 1－35＝25－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，∴a n －35＝(－15)(45)n －1，∴a n ＝35－15(45)n －1，则a n ＋1＝35－15⎝⎛⎭⎫45n，∵a n ＋1＞50%，∴35－15⎝⎛⎭⎫45n ＞12，∴⎝⎛⎭⎫45n ＜12，n ＞log 4512＝lg21－3lg2＝3. 则当n ≥4时，不等式⎝⎛⎭⎫45n ＜12恒成立. 所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.反思与感悟本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，避免在运算中出现问题.跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？解 (1)由题意可得16a (1＋25%)n －1＝25a (1－20%)n －1，解得n ＝2，故到2017年两林场木材的总存量相等.(2)令n ＝5，则a 5＝16a ⎝⎛⎭⎫544＋25a ⎝⎛⎭⎫454＜2(16a ＋25a )，故到2019年不能翻一番.1.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝.答案 32解析设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6. ∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.2.等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是.答案 12解析 ∵a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14，∴a 3a 6＋a 4a 5＝12.3.在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2016－a 2017a 2014－a 2015＝.答案 9解析由3a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －3＝0. 解得q ＝3或q ＝－1(舍).∴a 2016－a 2017a 2014－a 2015＝a 2016()1－q a 2014()1－q＝a 2016a 2014＝q 2＝9.4.已知数列：4，a,12，b 中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b ＝. 答案 18解析由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8，又122＝8b ⇒b ＝18.5.在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为.答案 8解析设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b ＞0，∴b ＝2(舍负).所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.1.等比数列的性质及其应用巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要. 2.灵活设项解决等比数列的问题.。

苏教数学必修五课时分层作业等比数列的概念及通项公式含解析

课时分层作业(十) 等比数列的概念及通项公式(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列A [由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，∴log 2b 2＝log 2ac ，即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，∴log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．]2．等比数列{a n } 中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为( )A ．3×10－5B ．3×29C ．128D ．3×2－5或3×29D [设公比为q ，则12q ＋12q ＝30，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴a 10＝a 3·q 7＝12·27或12·⎝ ⎛⎭⎪⎫127，即3×29或3×2－5.]3．已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于() A ．6 B ．－6C ．±6D ．±12C [a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.] 4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的( )A ．第2项B ．第4项C ．第6项D ．第8项B [由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)解得x ＝－1(舍)或x ＝－4，∴首项为－4，公比为32.∴由－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝－1312，解得n ＝4.] 5．在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( )A ．－2B ．1或－2C ．1D ．1或2B [根据题意，代入公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2.] 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝________.1 [设等比数列{a n }的公比为q ，由已知条件得a 25＝4·a 25q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.]7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________. 3×2n －3 [由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q 2＝q 7＝128＝27，故q ＝2. 所以a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3·q n －3＝3×2n －3.]8．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝________. 27 [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9，∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]三、解答题9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？[解] (1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．10．数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，b n ＝a n ＋1－a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{b n }的通项公式．[解] (1)证明：∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a n ＋a n ＋12－a n ＋1a n ＋1－a n＝－12. ∴{b n }是等比数列．(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－12，∴b n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. [能力提升练]1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于( ) A.2＋1B ．3＋2 2C ．3－2 2D ．22－3C [设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q >0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1(1＋2)2＝3－2 2.] 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.23－1 [∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， ∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1.]4．设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 64 [设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎨⎧ a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n (n －7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494，当n ＝3或4时， 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64.] 5．已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，求常数p .[解] 因为数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，所以(c n ＋1－pc n )2＝(c n －pc n －1)(c n ＋2－pc n ＋1)，将c n ＝2n ＋3n 代入上式得，[2n ＋1＋3n ＋1－p (2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2－p (2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n －p (2n －1＋3n －1)]，整理得16(2－p )(3－p )·2n ·3n ＝0，解得p ＝2或p ＝3.。

高中数学第2章数列2.3-2.3.2等比数列的通项公式课件苏教版必修5

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q(q≠0)表示．
这一定义常被简述为若aan＋n 1＝q(n∈N*)，则数列{an} 是等比数列．关于定义理解应注意：
题型 1 等比数列的判定 [典例 1] 在数列{an}中，若 an>0，且 an＋1＝2an＋ 3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．证明：法一：因为 an>0，所以 an＋3>0. 又因一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫作等比数列的公比．
2．等比数列{an}的通项公式 an＝a1·qn－1(q≠0)． 3．如果 a，G，b 三个数满足 G2＝ab.则 G 称为 a 与 b 的等比中项．
知识点 1 等比数列的定义

【精品学案】2018-2019学年高中数学苏教版必修5学案：2.3.2.1 等比数列的概念及通项公式 Word版含解析

2.3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点) 2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．()(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．()(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n－1＝3n，∴n＝6.【答案】 6教材整理3等比中项阅读教材P54第11题，完成下列问题．1．若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.2．若数列{a n}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a2n＝a n－1·a n＋1.1．若22是b－1，b＋1的等比中项，则b＝________.【解析】∵(b－1)(b＋1)＝(22)2，∴b2－1＝8，∴b2＝9，∴b＝±3.【答案】±32．若1，a,4成等比数列，则a＝________.【解析】∵1，a,4成等比数列，∴a2＝1×4＝4，∴a＝±2.【答案】±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)．又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n ＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…；(2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列．(3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ；当ab ＝0时，不是等比数列．(1)n 465． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一因为⎩⎨⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6.法二因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12. 由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________． (2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即 a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0， ∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]探究1 【提示】不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列．探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？【提示】不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】法一：利用等比数列的通项公式求解；法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得 q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12. 因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】由题意知 b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327.同理，当b ＝－278时，a ＝－23， c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________.【解析】由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8. 【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)．【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列．设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9. 因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】因为⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】－243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________. 【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9. 【答案】－3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________． ①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数．【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1 二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】设该数列的公比为q . 由已知，得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3(q ＝1舍去)，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列：由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 【答案】 13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________.【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．【解析】由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1＝－1(n ≥2)．故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为aq，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2q＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；(2)若－2q为－2q和－2的等差中项，则1q＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－2q为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝2q，∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

高中数学苏教版必修5 2.3.2 等比数列的通项公式作业

[学业水平训练] 一、填空题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________．解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2，∴a n ＝2n .答案：a n ＝2n2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 6＝6，则a 9＝________．解析：易知a 3，a 6，a 9也成等比数列，所以a 26＝a 3a 9，解得a 9＝18.答案：183．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________．解析：∵a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)，∴a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，∴q ＝2，a 1＝34，即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3·2n －3.答案：3·2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3a 1a 2a 8a 9＝log 3a 45＝log 3343＝43. 答案：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 答案：－76．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝60 ①a 1q 3－a 1q ＝24 ②， ①②得a 1（q 4－1）a 1q （q 2－1）＝52，即q 2＋1q ＝52，解得q ＝12或2，当q ＝2时代入①得a 1＝4，{a n }是递增数列；当q ＝12时，得a 1＝－64，{a n }也是递增数列．答案：2或127．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.综上可知，q 为2或12. 答案：8二、解答题8．数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式．解：∵a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2.令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2.令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1， ∴b 1＝0，C 1＝－2，∴{C n }为等比数列，∴C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n －2.∴b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－(12)n －2. 9．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解：法一：按等比数列设三个数为：a ，aq ，aq 2，则a ，aq ＋4，aq 2成等差数列，即2(aq ＋4)＝a ＋aq 2.①又a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列，即(aq ＋4)2＝a (aq 2＋32)⇒aq ＋2＝4a .②①②两式联立解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝29q ＝－5， ∴这三个数为：2，6，18或29，－109，509. 法二：按等差数列设三个数为b －d ，b ，b ＋d ，则原数列为b －d ，b －4，b ＋d .由已知：三个数成等比数列，即(b －4)2＝(b －d )(b ＋d )⇒8b －d 2＝16，①又b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列，即b 2＝(b －d )(b ＋d ＋32)⇒32b －d 2－32d ＝0.②①②两式联立，解得⎩⎨⎧b ＝269d ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10d ＝8， ∴这三个数为29，－109，509或2，6，18. [高考水平训练]一、填空题1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．(其中97＝4.7×106，98＝4.3×107)解析：设轿车每年的价值构成数列{a n }，根据题意分析可知数列{a n }是首项为36，公比为0.9的等比数列，则a n ＝36·(0.9)n －1，根据题意有a n ≤18，则36·(0.9)n －1≤18，即(0.9)n ≤0.45，∵y ＝(0.9)n 关于n 单调递减，又0.97>0.45，0.98<0.45，故n ＝8. 答案：82．已知数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，给出下列六个数列：①{ka n }(k ≠0)；②{a 2n －1}；③{a n ＋1－a n }；④{a n a n ＋1}；⑤{na n }；⑥{a 3n }．其中仍能构成等比数列的有________(填序号)．解析：因为数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，所以a n ＝a 1q n －1.从而ka n ＝ka 1q n －1，且k ≠0，故数列{ka n }是首项为ka 1，公比为q 的等比数列．因为a 2n －1＝a 1q (2n －1)－1＝a 1(q 2)n －1，故数列{a 2n －1}是首项为a 1，公比为q 2的等比数列．因为a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝(a 1q －a 1)q n －1，故数列{a n ＋1－a n }是首项为a 1q －a 1，公比为q 的等比数列．因为a n a n ＋1＝a 21q 2n －1＝a 21q (q 2)n －1，故数列{a n a n ＋1}是首项为a 21q ，公比为q 2的等比数列．因为na n ＝na 1q n －1，故数列{na n }不是等比数列．因为a 3n ＝a 31(q 3)n －1，故数列{a 3n }是首项为a 31，公比为q 3的等比数列．答案：①②③④⑥二、解答题3．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1－23a n ，求a n . 解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－23a n －(1－23a n －1) ＝－23a n ＋23a n －1，则53a n ＝23a n －1，所以a n a n －1＝25，所以数列{a n }为等比数列．令n ＝1，则S 1＝1－23a 1，即a 1＝1－23a 1，所以a 1＝35，所以a n ＝35·(25)n －1. 4．在等比数列{a n }中，若a 1＝128，a 8＝1.(1)求公比q 和a 12；(2)证明：依次取出数列{a n }中的第1项，第4项，第7项，…，第3n －2项，…，所得的新数列{a 3n －2}(n ∈N *)仍然是一个等比数列．解：(1)∵a 8＝a 1q 8－1，∴1＝128q 7.∴q 7＝1128. ∴q ＝12，a 12＝a 1q 11＝128×(12)11＝116. (2)证明：∵a n ＝a 1q n －1＝128×(12)n －1， ∴a 3n －2＝128×(12)(3n －2)－1＝128×(12)3n －3＝128×(18)n －1. ∴数列{a 3n －2}是一个以128为首项，18为公比的等比数列．。

高中数学第2章数列2.3.2等比数列的通项公式教案苏教版必修5(2021学年)

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2。

3。

2 等比数列的通项公式教学目标:１. 掌握通项公式，并能应用公式解决有关问题;2。

理解等比数列的性质,并学会其简单应用;3。

会求两个正数的等比中项,能利用等比中项的概念解决有关问题，提高分析、计算能力；4．通过学习推导等比数列的通项公式,掌握“叠乘法” .教学重点:等比数列的通项公式.教学难点：等比数列的有关性质及灵活应用．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程：一、问题情境问题1:观察等比数列{}n a:1,2,4,8,16,,如何写出它的第1０项a呢？10问题2:设{}n a是一个首项为1a，公比为q的等比数列，你能写出它的第n项n a吗？二、学生活动通过讨论，发现：1．2321321431,,,,a a q a a q a q a a q a q =====可以总结出11-=n n q a a . ２．如果类比等差数列通项公式的求法，3241231,,,,nn a a a aq q q q a a a a -====，可以将这1-n 个等式的左右两边分别相乘,就可以得到11-=n nq a a ．三、建构教学1. 归纳总结学生的方法，等到等比数列的通项公式, 并且由学生讨论的第二种情况等到总结“叠乘法＂的方法．不过要提醒学生,按照等差数列通项公式的推导方法,也必须检验1=n 时，公式也是成立的．2. 问题1:已知等比数列{}n a 的通项公式为n n a 23⨯=，求首项1a 和公比q ,并画出相应的函数图象．问题2：观察等比数列{}n a 的通项公式11-=n n q a a ，n a 和n 的函数关系是什么？问题３:类比等差数列的性质(,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q +=++=+∈N ﹡),等比数列具备什么样的性质?（学生讨论回答）答问题1:16,2a q ==;问题2:n a 和n 的函数关系是指数型的函数关系; 问题3：(,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q ⋅=⋅+=+∈N ﹡). 四、数学应用1. 例题．思考:类比等差数列通项公式的一般性结论d m n a a m n )(-+=,观察例1中第2个问题231363561,a a q a a q a a q ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩．，你能得到更加一般性的结论吗? （学生讨论) 结论：m n m n n n mnq a a q a a --=⇒=，特别地，11,1-==n n q a a m ．例2 已知数列c b a ,32243,,23,--这5个数成等比数列,求c b a ,,．变式：等比数列{}n a 中，,9,484==a a 求6a . 分析:（１）注意方法的多样性;（2）注意等比中项ab G =2,所以等比中项有两个且互为相反数;（３）要注意等比数列中,间隔项符号相同,所以06>a .例3 等比数列{}n a 满足：252425382=++a a a a a a ，求53a a +．分析:等比数列的性质的简单运用： (,,,,m n p q a a a a m n p q m n p q ⋅=⋅+=+∈N ﹡).2．练习．（1)在等比数列{}n a 中,若24a =,532a =，则公比应为______＿_______; (2)在等比数列{}n a 中，若____________,60,40874321=+=+=+a a a a a a 则；（３)已知1,,,921--a a 四个实数成等差数列,1,b ,b ,b ,9321--五个实数成等比数列,则()122a a b -的值等于_＿_＿___＿_＿___＿__;(4）在等比数列{}n a 中，20,2742321=+=⋅⋅a a a a a ，求首项1a 和公比q ．五、要点归纳与小结1。

苏教版数学必修五同步讲义：2.3.2等比数列的通项公式

2．3.2 等比数列的通项公式1.掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题． 2．理解等比数列的性质，能熟练运用等比数列的性质解决有关问题．, [学生用书P31])1．等比数列的通项公式(1)通项公式：设数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1．(2)通项公式的变形：设a n ，a m 分别是等比数列{a n }的第n 项和第m 项，数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)．2．等比数列的性质若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)；(2)若m ＋n ＝s ＋t ＝2k (m ，n ，s ，t ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a s ·a t ＝a 2k ； (3){c ·a n }(c 是非零常数)是公比为q 的等比数列； (4){|a n |}是公比为|q |的等比数列；(5)若{b n }是公比为q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q ·q 2的等比数列．1．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝________，a n ＝________．解析：a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1.★答案☆：24 3×2n －12．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝________．解析：因为a 7＝a 5q 2，所以q 2＝32.所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2＝4×94＝9.★答案☆：93．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________．解析：因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25. ★答案☆：25等比数列的通项公式及其应用[学生用书P32]已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．【解】 (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．因为方程组中含有指数式，通常采用相除消元法求a 1和q .(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法具有一定的技巧性，能简化运算．1.(1)若等比数列{a n }的前三项分别为5，－15，45，则第5项是________．(2)已知a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________．解析：(1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，②由②①，得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6. ★答案☆：(1)405 (2)6等比数列的性质及应用[学生用书P32]已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9. 【解】法一：根据等比数列的性质得 a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 26，由a 2·a 6·a 10＝1得a 36＝1，故a 6＝1，所以a 3·a 9＝a 26＝1. 法二：根据等比数列的通项公式得： a 2·a 6·a 10＝(a 1q )(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 31·q 15＝(a 1q 5)3＝1，所以a 1q 5＝1，所以a 3·a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2＝1.解决此类问题时，应用等比数列的性质，会简化运算过程．要注重领会整体思想，观察整体特征，找到它们的内在联系，选取合适的方法．2.(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7.(2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .解：(1)法一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9，又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9. (2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.1．用函数的观点看等比数列的通项等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，还可以改写为a n ＝a 1q q n ，当q >0且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q ·q n 是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q·q x 的图象上一些孤立的点．2．等比数列的通项公式与指数函数(1)等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1可以看作是指数型函数y ＝cq x .(2)等比数列增减性：①当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，等比数列{a n }是递增数列． ②当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，等比数列{a n }是递减数列． ③当q ＝1时，等比数列{a n }是常数列． ④当q <0时，等比数列{a n }是摆动数列．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，求{a n }的通项公式．[解] 因为(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋1a n ＝nn ＋1，即a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝n －1n ·n －2n －1·…·23·12a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·23·12·1＝1n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n.(1)本题易出现以下错解：因为(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，即(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，所以(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以{a n }是以1为首项，n n ＋1为公比的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫n n ＋1n －1.以上错解中n n ＋1不是常数，不能作为等比数列的公比．(2)由a n ＋1a n＝q 得{a n }为等比数列中的q 必须是一个非零常数．1．在等比数列{a n }中，a 5＝8，a 7＝2，且该数列的各项都为正数，则通项公式a n ＝________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝8，a 1q 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝14，a 1＝128，因为a n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝128，所以a n ＝128×⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －8.★答案☆：⎝⎛⎭⎫12n －82．在等比数列{a n }中，若a 6＝6，a 9＝9，则a 3＝________．解析：因为a 9＝a 6q 3，所以9＝6q 3，解得q 3＝32.所以a 3＝a 6q －3＝6q 3＝4.★答案☆：43．在等比数列{a n }中，a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11＝________．解析：因为a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，由a 3a 5a 7a 9a 11＝243，得a 57＝35，所以a 7＝3，所以a 29a 11＝a 9·a 7q 2a 9·q 2＝a 7＝3.★答案☆：34．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．解析：设这三个数分别为aq ，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.★答案☆：－25，1，－52, [学生用书P91(单独成册)])[A 基础达标]1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________．解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2，所以a n ＝2n . ★答案☆：a n ＝2n 2．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程2x 2＋7x ＋6＝0的两个根，则a 1a 3a 5a 7a 9＝________．解析：因为a 3，a 7是方程2x 2＋7x ＋6＝0的两根，所以a 3a 7＝3>0，a 3＋a 7＝－72<0，所以a 3<0，a 7<0，所以a 5＝a 3q 2<0，又a 25＝a 3a 7＝3，所以a 5＝－3，所以a 1a 3a 5a 7a 9＝a 55＝－9 3. ★答案☆：－9 33．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________．解析：因为a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)，所以a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，所以q ＝2，a 1＝34，即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3×2n －3.★答案☆：3×2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：因为a 4a 6＝a 25，所以a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. ★答案☆：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.★答案☆：－76．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________．解析：因为b n ＝a n ＋1a n ，且b 10·b 11＝2，又{b n }是等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2，则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1＝1 024，从而a 21＝1 024a 1＝1 024. ★答案☆：1 0247．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，所以a 27＝4a 7.因为a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. ★答案☆：88．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.★答案☆：3或27 9．已知数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式．解：因为a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数，得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2.令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2. 令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1，所以b 1＝0，C 1＝－2，所以{C n }为等比数列，所以C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－22－n . 所以b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－22－n .10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1知，a 1＋1＝2，这时a n ＋1≠0，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.[B 能力提升]1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．解析：设轿车每年的价值构成数列{a n }，根据题意分析可知数列{a n }是首项为36，公比为0.9的等比数列，则a n ＝36×(0.9)n －1，根据题意有a n ≤18，则36×(0.9)n －1≤18，即(0.9)n ≤0.45，因为y ＝(0.9)n 关于n 单调递减，又|0.97－0.45|>|0.98－0.45|，故n ＝8. ★答案☆：82．已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为______________．解析：由题意设此四个数分别为bq，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8.★答案☆：1，－2，4，10或－45，－2，－5，－83．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1－23a n ，求a n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－23a n －⎝⎛⎭⎫1－23a n －1 ＝－23a n ＋23a n －1，则53a n ＝23a n －1，所以a n a n －1＝25，所以数列{a n }为等比数列．令n ＝1，则S 1＝1－23a 1，即a 1＝1－23a 1，所以a 1＝35，所以a n ＝35×⎝⎛⎭⎫25n －1.4．(选做题)若数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正数，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，所以a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)．因为a 2＝2S 1＋1＝3，所以a 2＝3a 1.故数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)设数列{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，所以(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2. 解得d 1＝2，d 2＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正数，所以d >0，所以d ＝2，所以b 1＝3.所以T n ＝3n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋2n .。

苏教版数学高二-必修五课件 -2 等比数列的概念等比数列的通项公式(一)

答案
思考1 下列数列一定是等比数列的是 . (1)1,3,32 ，33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，….
解析答案
思考2 若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？答案不一定.当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故{an}不一定为等比数列.
12345
解析答案
12345
3.
若
等比
数
列
的首
项
为 98
，
末
项为
1 3
，
公比
为
23 ，
则
这
个数
列
的项
数
为 4.
解析设项数为 n，则98·(23)n－1＝13，∴n＝4.
解析答案
12345
4.若数列{an}是等比数列，则下列数列中一定成等比数列的有 ①②④⑤⑥ .
①{a2n}；②{a2n}；③{lg an}；④a1n；⑤{|an|}；⑥{can}(c 为常数且不等于 0)；⑦{an±k}(k≠0).
答案
12345
5.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？解不是等比数列.∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
解析答案
课堂小结
1.等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零. (2)aan＋n 1均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒. (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.

2016_2017学年高中数学第2章数列2.3.2等比数列的通项公式课件苏教版必修5

答案: 5 2
3 解析: 数列{an}为等比数列,由 a1a2a3=5 得��2 =5, 3 由 a7a8a9=10 得��8 =10, 6 3 3 所以��2 ��8 =50,即(a2a8)3=50,即��5 =50, 3 所以��5 =5 2(an>0). 3 所以 a4a5a6=��5 = 5 2.
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2.等比数列的性质 (1)an≠0,且 anan+2>0. (2)已知等比数列的公比为 q,第 m 项为 am,则第 n 项 an=amqn-m. (3)等比数列{an}中,若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am· an=ap· aq; 2 当 m+n=2p 时,am· an=�� . (4)有穷等比数列中,与首末两项等距离两项的积等于首末两项的积. (5)若{an},{bn}均为等比数列,则数列{pan}(p≠0)是公比为 q1 的 �� 等比数列;数列{�� }是公比为��1 的等比数列;数列{|an|}是公比为|q1| 的等比数列,数列{anbn}为公比是 q1q2 的等比数列;
两式相除得,
2 ��2
−
1 ��3
− =-2,
1 ��
即 2q-1-q2+2q3=0, 所以 2q(1+q2)-(1+q2)=(2q-1)(1+q2)=0, 解得:q= ,a1=26, 故 an=a1q =2
n-1 6
1 2
1 �� -1 2
=
1 �� -7 . 2

数学·必修5(苏教版)练习第2章2.3-2.3.2等比数列的通项公式 Word版含解析

第章数列
等比数列
等比数列的概念
等比数列的通项公式
级基础巩固
一、选择题．下列说法：①公差为的等差数列是等比数列；②＝，则，，
成等比数列；③＝＋，则，，成等差数列；④任意两项都有等比中
项．正确的有( )
．个．个．个．个
解析：公差为的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有，，都不为才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．
答案：
．在等比数列{}中，＝，＝，则等于( )
．
．或－
．或－
．
解析：因为＝＝·＝，所以＝，＝.
所以＝＝×＝.
答案：
．等比数列，＋，＋，…的第四项等于( )
．－．．．
解析：由(＋)＝(＋)⇒＝－(＝－舍去)．该数列为－，－，－，－，….
答案：．{}是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( )
①{}也是等比数列；②{}(≠)也是等比数列；
③也是等比数列；④{ }也是等比数列．
．个．个．个．个
解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．
答案：．已知等差数列{}的公差为，若，，成等比数列，则等于( )
．．．－．－
解析：＝－，＝＋，＝＋×＝＋，
由于，，成等比数列，
则＝，
所以(＋)＝(－)(＋)，解得＝－.
答案：
二、填空题
．等差数列{}的首项为＝，，，成等比数列，则＝．
解析：因为，，成等比数列．
所以＝，即(＋)＝(＋)．
所以(＋)＝＋.所以＝或＝.
答案：或．在和之间插入个数，使它们组成共项的等比数列，则这个等
比数列的第项是．
解析：由条件得，＝×，解得＝.
所以＝×＝.
答案：。

【苏教版】高中数学同步辅导与检测：必修5 第2章2.3-2.3.2等比数列的通项公式

第2章数列2.3 等比数列2.3.1 等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式A级基础巩固一、选择题1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b2＝ac，则a，b，c成等比数列；③2b＝a＋c，则a，b，c成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a，b，c都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案：B2．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于()A．16 B．16或－16C．32 D．32或－32解析：因为a4＝a1q3＝8·q3＝64，所以q3＝8，q＝2.所以a3＝a1q2＝8×22＝32.答案：C3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，….答案：A4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( ) ①{a 2n }也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．答案：B5．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.答案：D二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，则d ＝________．解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案：0或27．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．解析：由条件得，768＝6×q7，解得q＝2.所以a6＝6×25＝192.答案：1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．解析：设这个林场今年的树木总量是m，第n年末的树木总量为a n，则a n＋1＝a n＋a n·25%＝1.25a n.则a n＋1a n＝1.25.则数列{a n}是公式q＝1.25的等比数列．则a10＝a1q9＝1.259m.所以a10a1＝1.259.答案：1.259三、解答题9．在等比数列{a n}中：(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，a n＝12，求n；(2)a5＝8，a7＝2，a n>0，求a n.解：(1)法一：因为a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.所以a1q2＋a1q5＝36，①a1q3＋a1q6＝18, ②②①得q＝12，所以14a1＋132a1＝36，所以a1＝128，而a n ＝a 1q n －1，所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以n ＝9.法二：因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)．所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32. 因为a n ＝a 3q n －3，所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9.(2)因为a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，所以q 2＝14，q ＝±12. 又a n >0，所以q ＝12. 所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式．解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n ，即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1，即b n＝3n－1＋a n＝3n－1－2n＋21.B级能力提升一、选择题11．已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于()A．5 B．10 C．15 D．20解析：a2a4＝a23，a4a6＝a25，故得(a3＋a5)2＝25，又a n＞0，所以a3＋a5＝5.答案：A12．设{a n}是由正数组成的等比数列，且a5·a6＝81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是()A．5 B．10 C．20 D．40解析：log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3815＝log3320＝20.答案：C13．在正项等比数列{a n}中，a3＝2－1，a5＝2＋1，则a23＋2a2a6＋a3a7＝()A．4 B．6 C．8 D．4 2解析：因为a3a7＝a25，a2a6＝a3a5，所以a33＋2a2a6＋a3a7＝a23＋2a3a5＋a25＝(a3＋a5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.答案：C二、填空题14.(2014·安徽卷)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：1415．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50三、解答题16．已知等比数列{a n }各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6，2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24，2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a 1＝13.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ∈N *)．。