2016年广东省湛江市高三文科二模数学试卷
广东湛江2016届高三数学上学期第一次联考试卷文科有答案
广东湛江2016届高三数学上学期第一次联考试卷（文科有答案）“四校”2015—2016学年度高三第一次联考试题文科数学本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和学号填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先填选做题题号，再作答．漏填的，答案无效．5．考生必须保持答题卡、答题卷的整洁．考试结束后，将试卷与答题卷一并交回．参考公式：半径为R的球的表面积公式：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合若则等于（）A．1B．2C．3D．1或22、已知为虚数单位，且，则实数的值为（）A．1B．2C．1或-1D．2或-23、双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．4、函数的图像的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．5、设，，若，则（）A．为无理数B．为有理数C．D．6、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是()A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数7、已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中恒成立的是()A．B．C．D．8、我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A、1365石B、338石C、169石D、134石9、对任意非零实数，定义的算法原理如程序框图所示。
【解析】广东省湛江市廉江一中2016届高三上学期第二次月考数学试题(文科) Word版含解析[ 高考]
![【解析】广东省湛江市廉江一中2016届高三上学期第二次月考数学试题(文科) Word版含解析[ 高考]](https://img.taocdn.com/s3/m/8ef4991cee06eff9aef8075b.png)
2015-2016学年广东省湛江市廉江一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（每题只有一项是正确的选项，本大题共12题，每题5分，共60分）1．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．sin的值是（）A．B．﹣C．D．﹣3．设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则等于（）A．﹣B．C．0 D．5．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．56．已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣B．C．﹣D．7．方程lgx=8﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=（）A．2 B．3 C．4 D．58．下列坐标所表示的点不是函数y=tan（）的图象的对称中心的是（）A．B．C． D．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x10．下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx| C．y=cos D．y=tan（﹣x）11．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣312．现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x•2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A．①②③④B．②①③④C．③①④②D．①④②③二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知函数f（x）=，则f（）的值为．14．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为．15．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是．16．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值为4；④y=f（x）的图象关于直线x=对称；则其中正确结论的序号为．三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．（12分）（2011•赣榆县校级模拟）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若，求f（x）的最大值和最小值．18．（12分）（2015秋•廉江市校级月考）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求f（x）的最小正周期和振幅；（2）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象．（3）求函数f（x）的递增区间．19．（12分）（2015春•淮安期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α和β，，其终边分别交单位圆于A，B两点．若A，B两点的横坐标分别是，﹣．试求（1）tanα，tanβ的值；（2）∠AOB的值．20．（12分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．21．（12分）（2015•邢台模拟）已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．选修4-5：不等式选讲22．（10分）（2015•固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省湛江市廉江一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题只有一项是正确的选项，本大题共12题，每题5分，共60分）1．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】子集与真子集．【专题】集合．【分析】先求出集合的元素的个数，再代入2n﹣1求出即可．【解答】解：∵集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，∴真子集的个数是：23﹣1=7个，故选：C．【点评】本题考查了集合的子集问题，若集合的元素有n个，则子集的个数是2n个，真子集的个数是2n﹣1个，本题是一道基础题．2．sin的值是（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式sin（2π﹣α）=﹣sinα即可求得sin的值．【解答】解：∵sin=sin（2π﹣）=﹣sin=﹣，故选：D．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题．3．设集合A={x|＜0}，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】由分式不等式的解法，⇒0＜x＜1，分析有A⊊B，由集合间的包含关系与充分条件的关系，可得答案．【解答】解：由得0＜x＜1，即A={x|0＜x＜1}，分析可得A⊊B，即可知“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件，故选A．【点评】本日考查集合间的包含关系与充分、必要条件的关系，如果A是B的子集，则x∈A 是x∈B的充分条件，x∈B是x∈A的必要条件．4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则等于（）A．﹣B．C．0 D．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用三角函数的定义，求出tanθ，利用诱导公式化简代数式，代入即可得出结论．【解答】解：∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，∴tanθ=3，∴===，故选：B．【点评】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，正确运用三角函数的定义、诱导公式是关键．5．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．【点评】本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．6．已知sin（α﹣）=，则cos（）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】运用﹣α、﹣α的诱导公式，计算即可得到．【解答】解：sin（α﹣）=，即为sin（﹣α）=﹣，即有sin[﹣（+α）]=﹣，即cos（）=﹣．故选A．【点评】本题考查三角函数的求值，考查三角函数的诱导公式的运用，考查运算能力，属于基础题．7．方程lgx=8﹣2x的根x∈（k，k+1），k∈Z，则k=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题．【分析】令f（x）=lgx+2x﹣8则可知函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且函数在（0，+∞）连续，检验只要满足f（k）f（k+1）＜0即可【解答】解：令f（x）=lgx+2x﹣8则可知函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且函数在（0，+∞）连续∵f（1）=﹣6＜0，f（2）=lg2﹣4＜0，f（3）=lg3﹣2＜0，f（4）=lg4＞0∴f（3）f（4）＜0由函数的零点判定定理可得，函数的零点区间（3，4）∴k=3故选：B【点评】本题主要考查了函数的零点判定定理的应用，属于基础性试题8．下列坐标所表示的点不是函数y=tan（）的图象的对称中心的是（）A．B．C． D．【考点】正切函数的奇偶性与对称性．【专题】计算题．【分析】分别令x=，求出函数值为0，不满足题意的选项即可．【解答】解：分别把x=，代入y=tan（），可得y=tan（）=0，所以函数关于对称．A不正确．y=tan（）=0，所以函数关于对称．B不正确．y=tan（）=0，所以函数关于对称．C不正确．y=tan（）≠0所以函数不关于对称．D正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查正切函数的对称性，正确验证三角函数值是解题关键，考查基本知识的应用与计算能力．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数图象可得A，由T=﹣，可得T，由周期公式可得ω，由（，1）在函数图象上，又|φ|＜，可解得φ，从而可得f（x）=sin（2x+），根据左加右减平移变换规律即可得解．【解答】解：由函数图象可得：A=1，周期T=﹣，可得：T=π，由周期公式可得：ω==2，由（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）=1，可解得：φ=2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故可解得：φ=，故有：y=f（x）=sin（2x+），则有：f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故选：D．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移规律，属于基本知识的考查．10．下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间（）上为减函数的是（）A．y=sin2x B．y=2|cosx| C．y=cos D．y=tan（﹣x）【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题．【分析】y=sin2x的最小正周期是π，在区间（）上先减后增；y=2|cosx|最小周期是π，在区间（）上为增函数；y=cos的最小正周期是4π，在区间（）上为减函数；y=tan（﹣x）的最小正周期是π，在区间（）上为减函数．【解答】解：在A中，y=sin2x的最小正周期是π，在区间（）上先减后增；在B中，y=2|cosx|的最小周期是π，在区间（）上为增函数；在C中，y=cos的最小正周期是4π，在区间（）上为减函数；在D中，y=tan（﹣x）的最小正周期是π，在区间（）上为减函数．故选D．【点评】本题考查三角函数的单调性和周期性的灵活应用，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．11．已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．12．现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x•2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A．①②③④B．②①③④C．③①④②D．①④②③【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．【解答】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选：D．【点评】本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．已知函数f（x）=，则f（）的值为．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（）==即可得出．【解答】解：f（）===sin．故答案为：sin．【点评】本题查克拉分段函数的求值，考查了计算能力，属于基础题．14．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为2．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据已知条件中的面积可求出弧长，再利用弧度制的概念可求出弧度数．【解答】解：由扇形的面积公式可知，∵r=1，∴l=2，再由，所以所对的圆心角弧度数为2．故答案为：2．【点评】本题考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力，比较基础．15．如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是18．【考点】基本不等式；对数的运算性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的运算性质和基本不等式即可得出．【解答】解：∵log3m+log3n=4，∴，得mn=34．∵m＞0，n＞0，∴==18，当且仅当m=n=9时取等号．故答案为18．【点评】熟练掌握对数的运算性质和基本不等式是解题的关键．16．关于函数f（x）=4sin（2x+），（x∈R）有下列结论：①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；②y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）；③y=f（x）的最大值为4；④y=f（x）的图象关于直线x=对称；则其中正确结论的序号为①②③④．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】①根据三角函数的周期公式进行求解；②根据三角函数的诱导公式进行转化；③结合三角函数的有界性和最值进行求解判断；④根据三角函数的对称性进行判断；【解答】解：①函数的周期T=，故y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数正确；②f（x）=4sin（2x+）=4cos（﹣2x﹣）=4cos（﹣2x）=4cos（2x﹣）；故y=f（x）可改写为y=4cos（2x﹣）正确；③当4sin（2x+）=1时，y=f（x）的最大值为4，正确；④当x=时，f（）=4sin（2×+）=4sin=4为最大值，即f（x）的图象关于直线x=对称，正确．故正确的是①②③④，故答案为：①②③④【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．三、解答题（17-21每题12分，22题10分，共70分）17．（12分）（2011•赣榆县校级模拟）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若，求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的周期性和对称性可的f（x）的最小正周期及对称中心．（2）根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．【解答】解：（1）∴f（x）的最小正周期为，令，则，∴f（x）的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质．三角函数的单调性、周期性、对称性等性质是近几年高考的重点，平时应加强这方面的训练．18．（12分）（2015秋•廉江市校级月考）已知函数f（x）=sinx+cosx．（1）求f（x）的最小正周期和振幅；（2）在给出的方格纸上用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象．（3）求函数f（x）的递增区间．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用辅助角公式即可求f（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求得周期和振幅；（2）利用五点作图法作出f（x）在一个周期内的图象；（3）根据三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（x）=2（）=2sin（x+），∴函数f（x）的最小正周期为T=2π，振幅为2．（2）列表：x ﹣x+0 π2πy=2sin（x+）0 2 0 ﹣2 0作图如下：（3）由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，所以函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z …（12分）【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及五点作图法，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．19．（12分）（2015春•淮安期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作角α和β，，其终边分别交单位圆于A，B两点．若A，B两点的横坐标分别是，﹣．试求（1）tanα，tanβ的值；（2）∠AOB的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）根据三角函数的定义即可求tanα，tanβ的值；（2）∠AOB=β﹣α，利用两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：（1）由条件知cosα=，cosβ=﹣．∵，∴sinα=，sinβ==，则tanα==，tanβ==﹣7；（2）∵∠AOB=β﹣α，∴tan∠AOB=tan（β﹣α）===，∵，∴0＜β﹣α＜π，则β﹣α=．【点评】本题主要考查三角函数的定义以及两角和差的正切公式的应用，考查学生的运算能力．20．（12分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0（2）由，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x=a处取得极小值，且极小值为f（a）=a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x=a处取得极小值a﹣alna，无极大值．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题．21．（12分）（2015•邢台模拟）已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）f′（x）=a﹣e x，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣e x，x∈R．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，则，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：xh′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增极大值单调递减由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．∴．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．选修4-5：不等式选讲22．（10分）（2015•固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
湛江一中等四校2016届高三上学期第二次联考数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年广东省湛江一中等四校高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分）1．已知M=｛0，1，2,3，4｝，N={1，3，5，7｝，P=M∩N，则集合P的子集个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．已知复数z=（i为虚数单位），则z的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣i3．已知向量=(1，﹣1)，=（2，x）．若•=1，则x=（）A．﹣1 B．﹣C．D．14．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位:台）的茎叶图，则数据落在区间［22，30）内的概率为()A．0.2 B．0。
4 C．0。
5 D．0.65．在直角坐标系xOy中，“方程表示椭圆"是“m＞n＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分条件又不必要条件6．抛物线y2=2px上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A．4 B．9 C．10 D．187．若等比数列｛a n}满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=（）A．1 B．2 C．﹣2 D．48．已知直线x=和x=是函数f(x）=2sin（ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．9．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知点F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．11．已知函数f（x）=｜x﹣a｜在（﹣∞，﹣1)上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞,1]B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，+∞）D．［1，+∞）12．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体外接球的表面积为（）A．32πB．64πC．128π D．136π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数的定义域是．14．若实数x、y满足,则的取值范围是．15．曲线y=﹣5e x+4在点（0，﹣1）处的切线方程为．16．设数列{a n}满足a2+a4=10,点P n(n，a n）对任意的n∈N+，都有向量=（1，2），则数列｛a n}的前n项和S n=．三、解答题（共5小题,满分60分）17．(12分)（2014•原阳县校级模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边是a,b，c，且c=3，a=，sinB=2sinA（1）求b；（2）求cos（2B+2C）的值．18．（12分）（2013•广州二模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求证：平面PBC丄平面PAC（2）已知PA=1,AB=2，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，求BC的长．19．(12分）（2014•漳州四模）某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民，得到数据如下表：喜欢不喜欢合计大于40岁20 5 2520岁至40岁10 20 30合计30 25 55(Ⅰ）判断是否有99。
湛江市2016年普通高考能力测试(二)
湛江市2016年普通高考能力测试（二）文科综合注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5.本试卷共页。
如遇缺页、漏页、字迹不清等情况，考生须及时报告监考老师。
第Ⅰ卷一、本卷共35个小题，每小题4分，共140分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
芒果冰有别于传统的芒果冰沙，它是一种含新鲜的小块芒果、炼乳、芒果冰激凌以及绵绵冰为一体的夏日冰品，在现在讲求高品质以及新鲜卫生的社会生活环境下形成了一种热潮。
据此回答1-3题。
1．下列国家和地区，芒果冰的原料来源最丰富的是A．南非B．俄罗斯C．台湾D．印度2．芒果冰在世界各地掀起热潮的原因最主要的是A．市场B．原料C．交通D．技术3．当芒果冰在中国热卖的季节，下列所叙述的地理现象正确的是A．古巴物体的影子较长B．阿根廷潘帕斯草原草木茂盛C．我国大部分地区普遍进入雨季D．旧金山附近的河流正值汛期吐鲁番被称为中国夏季气温最高的地方，但近几年云南元江却异军突起，吐鲁番高温的头把交椅已发生动摇。
请根据2015年两地高温日数统计资料回答4-5题。
4．关于元江和吐鲁番高温日数特点的叙述，正确的是A．元江高温日数长，连续高温月份短B．吐鲁番高温日数短，连续高温月份长C．元江进入高温的月份早，主要集中在6、7月份D．吐鲁番进入高温的月份晚，主要集中在7、8月份城市元江吐鲁番高温日数134天104天连续高温日数22天52天5月24日至6月14日6月20日至8月10日极端最高气温41.5℃47.5℃7月13日7月24日5．元江在夏季高温方面有赶超吐鲁番之势的主要原因A．深居内陆，受海洋影响小B．属于温带大陆性气候，晴天多C．纬度低，处于河谷地带D．受夏季风影响时间短2016年中国与吉布提政府之间签订了一个10年的合约，计划在当地建立一个海军后勤基地和自贸区。
湛江市2016届普通高考测试题(一)(文数)
湛江市2016届普通高考测试题(一)数学（文科）本试卷共6页，共24小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。
参考公式：圆柱的侧面积公式：l r S ⋅⋅=π2 ，其中r 是底面半径，l 是母线长. 球体的体积公式：334R V ⋅⋅=π，其中R 是球的半径. 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合M ＝{}|12x x -<<，集合N ＝{}|(2)0x x x +<，则M N ＝ A ．（－2,2） B ．（－1,0） C ．R D ．∅2．已知i 是虚数单位，复数()(1)z a i i =+-，若z 的实部与虚部相等，则实数a ＝ A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2 3．函数()2sin(2)6f x x π=+的图象A ．关于直线6x π=对称 B ．关于直线12x π=-对称C ．关于点（23π，0）对称 D ．关于点（π，0）对称4．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，数列{}n b 是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{}n b a 是A ．公差为5的等差数列B ．公差为6的等差数列C ．公比为6的等比数列D ．公比为8的等比数列 5．运行如图的程序框图，则输出s 的值为 A ．201412 B ．201512 C ．201612 D ．2017126．命题“空间两直线a 、b 互相平行”成立的充分条件是A ．直线a 、b 都平行于同一个平面B ．直线a 平行于直线b 所在的平面C ．直线a 、b 都垂直于同一条直线D ．直线a 、b 都垂直于同一个平面 7．已知3cos()25πα-=，(,)2παπ∈，则sin()4πα+＝A ．－10 B ．10 C ．－10 D ．108．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为,a b ，则直线0ax by -=的倾斜角大于4π的概率为 A ．512 B ．712 C ．13 D ．129．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A 、64＋8πB 、48＋12πC 、48＋8πD 、48＋12π 10．已知左、右焦点分别是12,F F 的双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点A 满足 AF 1⊥AF 2，且｜AF 1｜＝3｜AF 2｜，则该双 曲线的渐近线方程为A ．y x =B ．y x =C ．y =D ．y =11．三棱锥P －ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是222三棱锥的外接球的体积是 ABCD ．12．已知函数2,0()ln(),0kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k 的取值范围是A ．（0,1）B ．（0，1e） C ．（0，＋∞） D ．（0，e ）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
湛江市高二期末考试文数试题
湛江市2016—2017学年度第二学期期末调研考试高中数学(选修1-2 、4-4)试卷考试用时：120分钟 总分：150分 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ∑∑=-=--∧---=ni i ni i ix x y y x xb 121)())((=1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑， ˆay b x ∧=-. 随机量变))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= （其中d c b a n +++=）2()P K k ≥ 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数22i i +在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是 A ．模型1的相关指数2R 为0.96 B ．模型2的相关指数2R 为0.82 C ．模型3的相关指数2R 为0.60 D ．模型4的相关指数2R 为0.35 3．下图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则计划受影响的主要要素有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．正方形是矩形D ．其它 5．下面几种推理中是演绎推理．．．．的是 学 班 姓名 学号密 封 线A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=C ．猜想数列111,,,122334⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=6．若直线的参数方程为12()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为A ．21 B ．21- C ．2 D ．2- 7．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标可能为A ．)3,2(πB ．)32,2(πC ．)3,1(πD ．)32,1(π 8．执行右面的程序框图，如果输入N =4，则输出的数S 等于A ．34 B ．43 C ．45 D ．549．对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，下列说法正确的是A ．2k 越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大 B ．2k 越大，说明“A 与B 无关”的程度越大 C ．2k 越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越大 D ．2k 越接近于0，说明“A 与B 无关”的程度越小10．在同一坐标系中，将椭圆1251622=+y x 变换成单位圆的伸缩变换是 是否 输出S输入N1,0k S ==1(1)S S k k =++k N<1k k =+开始结束A ．5:4x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩B ．4:5x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩C ．14:15x x y y ϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩D ．15:14x x y yϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩11．在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为1t 、2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是A ．221t t - B ．221t t + C ．221t t - D ．221t t +12．设111()1(2,)23f n n n N n =++++>∈，经计算可得(4)2,f >5(8),2f >(16)3,f > 7(32)2f >. 观察上述结果，可得出的一般结论是 A ．()212(2,)2n f n n n N +>≥∈ B ．()22(2,)2n f n n n N +≥≥∈ C ．()22(2,)2nn f n n N +≥≥∈ D ．()22(2,)2nn f n n N +>≥∈二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；（2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系；（3）苹果的产量与气候之间的关系；（4）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是 ．14.化极坐标方程θθρsin cos 2=为直角坐标方程得 ．15.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：844.430202723)7102013(502≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ，因为841.32>k ，所以判定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性为_________.16．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC 中，AB ⊥AC ，点A 在BC 边上的射影为D ，有AB 2＝BD ·BC .”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥BCD A -中，AD ⊥平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有__________．”三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)高中阶段，在各个领域我们学习许多知识．在语言与文学领域，学习语文和外语；在数学领域学习数学；在人文与社会领域，学习思想政治、历史和地理；在科学领域，学习物理、化学和生物；在技术领域，学习通用技术和信息技术；在艺术领域学习音乐、美术和艺术；在体育与健康领域，学习体育等．请你设计一个关于高中阶段所学习知识的结构图．18．（本小题满分12分）已知复数i m m m z )9(622-+-+=，当实数m 取什么值时， （Ⅰ）复数z 是实数； （Ⅱ）复数z 是纯虚数；（Ⅲ）复数z 对应的点位于第一、三象限的角平分线上.19．（本小题满分12分）张老师对全班50名学生进行了关于作业量多少的调查．喜欢玩电脑游戏的同学中，认为作业多的有18人，认为作业不多的有9人；不喜欢玩电脑游戏的同学中，认为作业多的有8人，认为作业不多的有15人．（Ⅰ）根据以上数据建立一个22⨯的列联表；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系”？（参考公式及有关数据见卷首，参考数值：119623413=⨯⨯，10117.01196121≈÷） 20．（本小题满分12分）某种产品的广告费用支出x （万元）与销售y （万元）之间有如下的对应数据：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，请你解决以下问题： （Ⅰ）画出上表数据的散点图；（Ⅲ）假如2017年广告费用支出为10万元，请根据你得到的模型，预测该年的销售收入y 的值．（线性回归方程系数公式∑∑∑∑====∧--=---=ni ini ii ni in i iixn xyx n y x x x y y x x b 1221121)())((，x b y a ∧∧-=；参考数据79041∑==i ii yx ）21．（本小题满分12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为12x ty at =-⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a 为常数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 分圆C 所得的两弧长度之比为1:2，求实数a 的值．22．（本小题满分12分） 用适当的方法证明下列各题：（Ⅰ）证明：5、6、7不可能成等差数列；（Ⅱ）已知x ，y ，a ，b 都是实数，且122=+y x ，122=+b a ，求证：1||≤+by ax ．。
湛江市2016届高三调研测试(文数)
试卷类型：A湛江市2016届高三调研测试数学（文科）本试卷共5页，共24小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合M ＝{}|02x x <<，集合N ＝{}2|4x x <，则M N ＝A 、（－2，0）B 、（0，2）C 、（－2，2）D 、∅2、若向量,a b 满足||||a b = ，当,a b不共线时，a b + 与a b - 的关系是A 、相等B 、平行C 、垂直D 、相交但不垂直3、甲、乙两人比赛，已知甲获胜的概率为0.4，甲不输的概率为0.9，则两人比赛结果不是平局的概率是A 、0.6B 、0.5C 、0.4D 、0.1 4、已知i 是虚数单位，则1||(1)i i +＝A 、1(1)i i + B 、－1(1)i i + C 、14 D5、下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）单调递增的函数是A 、3y x =B 、|1|y x =-C 、2y x =-＋1 D 、xy ）（1sin 1=6、等比数列{}n a 中，2435460,2n a a a a a a a >++＝25，则35a a +＝ A 、5 B 、10 C 、15 D 、207、运行如图的程序框图，则输出s 的值为A 、120B 、240C 、360D 、720 8、要得到函数sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=-的图象A 、向左平移6π个单位 B 、向右平移6π个单位 C 、向左平移3π个单位 D 、向右平移3π个单位9、若圆锥的侧面展开图是半圆面，则此圆锥的轴截面是A 、等边三角形B 、等腰直角三角形C 、顶角为30°的等腰三角形D 、以上都不对10、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，其离心率记为e ，则抛物线22y ex =的焦点坐标为 A 、（1,0） B （32，0） C 、（23，0） D 、（56，0） 11、一个三棱柱被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A 、12B 、24C 、30D 、48 12、若定义在R 上的函数)(x f y =满足)(1)1(x f x f =+， 且当(0,1]x ∈时，x x f =)(，函数g （x ）＝3log (0)2(0)x x x x >⎧⎨≤⎩，则函数)()()(x g x f x h -=在区间［－4,4］内的零点个数为 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，第13~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~24题为选考题，考生根据要求作答。
【数学】2016-2017年广东省湛江市高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2016-2017学年广东省湛江市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＞1}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{﹣1，1}C．（1，3） D．{﹣1，+∞}2．（5分）设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣33．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率（）A．B．C．D．4．（5分）若直线l与平面α相交，则（）A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一直线与l平行C．平面α内存在唯一直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交5．（5分）已知函数f（x）=（1﹣cosx）sinx，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）既是奇函数也是偶函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数6．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）7．（5分）已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2 B．4 C．6 D．128．（5分）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1 C．D．310．（5分）某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（）A．y=0.85x B．y=50×0.53+（x﹣50）×0.85C．y=0.53x D．y=50×0.53+0.85x11．（5分）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a=30，b=40，A=30°B．a=25，b=30，A=150°C．a=8，b=16，A=30°D．a=72，b=60，A=135°12．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）+f（x）＜0，设a=f （m﹣m2），b=e•f（1），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a，b的大小与m的值有关二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）sinl5°cosl5°的值为．14．（5分）双曲线﹣=1的离心率e=．15．（5分）设x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为．16．（5分）已知，，||=2，||=3，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，点C为线段AB中点，则=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1+b3=5，b1•b3=4．（Ⅰ）若a n=log2b n+3，证明：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE的侧面ABC是等边三角形，EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，BE=1，BC=CD=2，F是棱AD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求四棱锥A﹣BCDE的体积．19．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）20．（12分）已知曲线C在y轴右边，C上的每一点到点F（1，0）的距离比到y 轴的距离多1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）已知过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C有两交点A，B，若＜0恒成立，求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求a的值；若不存在，说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2|﹣3，g（x）=|x+3|（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若不等式f（x）＜g（x）+a对任意x∈R恒成立，试求a的取值范围．2016-2017学年广东省湛江市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＞1}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，3}B．{﹣1，1}C．（1，3） D．{﹣1，+∞}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＞1}，∴集合A∩B={|1＜x＜3}=（1，3）．故选：C．2．（5分）设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3【解答】解：复数==﹣3i+2的虚部是﹣3．故选：D．3．（5分）在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形的边长为2，则面积为4；圆与正方形内切，圆的半径为1，所以圆的面积为π，则阴影部分的面积为，所以所求概率为P==．故选：C．4．（5分）若直线l与平面α相交，则（）A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一直线与l平行C．平面α内存在唯一直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交【解答】解：若l与α相交则l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行故B，C，D错误故选：A．5．（5分）已知函数f（x）=（1﹣cosx）sinx，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）是偶函数C．f（x）既是奇函数也是偶函数D．f（x）既不是奇函数也不是偶函数【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣cosx）sinx，它的定义域为R，关于原点对称，且满足f（﹣x）=[1﹣cos（﹣x）]•sin（﹣x）=（1﹣cosx）•（﹣snx）=﹣（1﹣cosx）sinx=﹣f（x），故该函数为奇函数，故选：A．6．（5分）函数f（x）=的定义域是（）A．（0，+∞）B．[1，+∞）C．（1，2]D．[2，+∞）【解答】解：由log2x﹣1≥0，得log2x≥log22，即x≥2．∴函数f（x）=的定义域是[2，+∞）．故选：D．7．（5分）已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2 B．4 C．6 D．12【解答】解：椭圆+y2=1，长轴长2a=2，则a=，设直线AB过椭圆的右焦点F2，根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF2|=2a=2，|AC|+|F2C|=2a=2．∴三角形的周长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a=4．故选：B．8．（5分）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【解答】解：∵函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=n×，n∈z，又ω＞0，故其最小值是．故选：C．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1 C．D．3【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为3，底面三角形的一条边长为3，该边上的高为1，∴几何体的体积V=××3×1×3=．故选：C．10．（5分）某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填（）A．y=0.85x B．y=50×0.53+（x﹣50）×0.85C．y=0.53x D．y=50×0.53+0.85x【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是用分段函数计算旅客行李的托运费用．当满足条件x＞5时，应满足“不超过50kg按0.53元/kg收费，超过50kg的部分按0.85元/kg收费”故此时y=50×0.53+（x﹣50）×0.85故选：B．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）A．a=30，b=40，A=30°B．a=25，b=30，A=150°C．a=8，b=16，A=30°D．a=72，b=60，A=135°【解答】解：对于A：∵a=30，b=40，A=30°，有=，∴sinB=，又b＞a，故B＞A，故B可以是锐角，也可以是钝角，故△ABC有两个解．对于B：∵b＞a，∴B＞A=150°，错误，这样的三角形不存在．对于C：sinB===1，B为直角，故△ABC有唯一解，对于D：∵a=72，b=60，A=135°，由正弦定理得：sinB===，又b＜a，故B＜A，故B为锐角，故△ABC有唯一解．故选：A．12．（5分）已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）+f（x）＜0，设a=f （m﹣m2），b=e•f（1），则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a，b的大小与m的值有关【解答】解：设g（x）=e x f（x），则g'（x）=e x f′（x）+e x f（x）=e x（f′（x）+f（x）＜0，所以g（x）为减函数，∵m﹣m2=﹣（m﹣）2+＜1，∴g（m﹣m2）＞g（1），所以即e f（e）＞e1f（1），∴＞f（1），所以f（m﹣m2）＞e•f（1），所以a＞b；故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）sinl5°cosl5°的值为．【解答】解：sin15°•cos15°=×2sin15°•cos15°=sin30°=×=．故答案为：14．（5分）双曲线﹣=1的离心率e=．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1，焦点在x轴上，a=2，b=，则c2=a2+b2=4+2=6，则c=，由双曲线的离心率公式可知：e==，故答案为：．15．（5分）设x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值为2．【解答】解：不等式组表示的区域如图：由z=2x+y得到y=﹣2x+z，所以当直线经过图中A（1，0）时，直线在y轴上的解决最大，所以最大值为2×1+0=2；故答案为：2．16．（5分）已知，，||=2，||=3，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，点C为线段AB中点，则=5．【解答】解：由题意可得，AB是△SMN的中位线，∴=2=2（﹣）．再由点C为线段AB中点，可得=（+），∴=2（﹣）•（+）=﹣=9﹣4=5，故答案为5．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{b n}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1+b3=5，b1•b3=4．（Ⅰ）若a n=log2b n+3，证明：数列{a n}是等差数列；（Ⅱ）若c n=，求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵b1+b3=5，b1•b3=4，且数列{b n}（n∈N*）递增，∴b1，b3是方程x2﹣5x+4=0的两根，b1＜b3．∴∴b1=1，b3=4∴q=2（舍去负值）．∴b n=2n﹣1，∴a n=log2b n+3=n+2．∵a n﹣a n=（n+1）+2﹣（n+2）=1，+1∴数列{a n}是以3为首项，1为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n===﹣，则S n=﹣+﹣+…+﹣+﹣=﹣=．18．（12分）四棱锥A﹣BCDE的侧面ABC是等边三角形，EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，BE=1，BC=CD=2，F是棱AD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（1）取AC中点M，连接FM、BM，∵F是AD中点，∴FM∥DC，且FM=DC=1，∵EB⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EB∥DC，∴FM∥EB．又∵EB=1，∴FM=EB，∴四边形BEFM是平行四边形，∴EF∥BM，∵EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．解：（2）取BC中点N，连接AN，∵AB=AC，∴AN=BC，∵EB⊥平面ABC，∴AN⊥EB，∵BC与EB是底面BCDE内的相交直线，∴AN⊥平面BCDE，由（1）得，底面BCDE为直角梯形，S==3，梯形BCDE在等边△ABC中，BC=2，∴AN=，=S梯形BCDE•AN=．∴V棱锥A﹣BCDE19．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9（分钟）；（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=∴P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.15+0.3+0.25=0.7∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7．20．（12分）已知曲线C在y轴右边，C上的每一点到点F（1，0）的距离比到y 轴的距离多1．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）已知过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C有两交点A，B，若＜0恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意：曲线C上的任意点到点F（1，0）的距离等于到直线x=﹣1的距离，∴曲线C的方程是y2=4x，x＞0．（Ⅱ）设过点M（m，0），（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B （x2，y2），设l的方程为x=ty+m，与抛物线方程联立，得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16t2+16m＞0，y1+y2=4t，y1y2=﹣4m，①又=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），∵＜0，∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2＜0，②等价于（y1y2）+2y1y2﹣[（y1+y2）2﹣2y1y2]+1＜0由①式，m2﹣6m+1﹣4t2＜0，∵4t2≥0∴只需m2﹣6m+1＜0即可．即：3﹣2＜m＜3+2，∴所求m的取值范围为3﹣2＜m＜3+2．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x2+x﹣lna，∴f′（x）=2x+1﹣=，∵函数定义域为（0，+∞），∴f′（x）≥0等价于（2x+1）（x+1）≥0，∴当x≥时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴函数f（x）的递增区间是[，+∞），递减区间是（0，）．（Ⅱ）假设存在实数a，使g（x）=x2﹣f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）的最小值为3．g′（x）=a﹣=，①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，此时g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，∴a=＞0不满足条件，舍去；②当0＜a≤时，≥e，g（x）在（0，e]上单调递减，此时g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，∴a=不满足条件，舍去；③当a＞时，0＜＜e，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，此时g（x）min=g（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．综上，存在实数a=e2，使得x∈（0，e]的最小值为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．∴=||，解得a=32或a=．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣2|﹣3，g（x）=|x+3|（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若不等式f（x）＜g（x）+a对任意x∈R恒成立，试求a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＜g（x）可化为|x﹣2|﹣|x+3|＜3，当x≤﹣3时，不等式可化为：2﹣x+（x+3）＜3，无解；当﹣3＜x＜2时，不等式可化为：2﹣x﹣（x+3）＜3，解得﹣2＜x＜2；当x≥2时，不等式可化为：x﹣2﹣（x+3）＜3，解得x≥2；综上，不等式的解集为{x|x＞﹣2}．（2）不等式等价于|x ﹣2|﹣|x +3|＜a +3，由于|x ﹣2|﹣|x +3|≤|（x ﹣2）﹣（x +3）|=5，当且仅当x ≤﹣3时等号成立． 故a +3＞5，即a ＞2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）。
广东省湛江一中2015-2016学年高二上学期期中考试文科数学试题
湛江一中2015—2016学年度第一学期第一次考试高二级 文科数学 试卷考试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：张颖一、选择题。
（共12题，每道题5分，12*5=60） 1．若集合A {}|01x x =≤<，2{|2}B x x x =<，则=⋂B A （ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤ 2．数列⋅⋅⋅10,6,3,1的一个通项公式是（ ） A ．)1(2--=n n a n B ．12-=n a n C ．2)1(+=n n a n D ．2)1(-=n n a n 3. 已知△ABC 中,a=4,b=43,A=30°,则角B 的度数等于( ) A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°4．不等式组⎩⎨⎧≥≤+x y y x 2表示的平面区域是（ ）5．已知0<<b a , 则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ab a <2B ．b a <C ．b a 11>D ．ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛21216．在21和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（ ）A ．8B ．±8C ．16D ．±167．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积为( )8．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A.724a a <->或B.724a a ==或C.724a -<<D.247a -<<9．已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则9337172a a a a a a ++的值为（ ） A ．10 B ．20 C ．100 D ．200 10．某人要制作一个三角形，要求它的三边的长度分别为3,4,6，则此人（ ） A ．不能作出这样的三角形 B ．能作出一个锐角三角形 C ．能作出一个直角三角形 D ．能作出一个钝角三角形11.等差数列{a n }的前n 项和为S n (n=1,2,3,…),当首项a 1和公差d 变化时,若a 5+a 8+a 11是一个定值,则下列各数中为定值的是()A.S 17B.S 18C.S 15D.S 1612．若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是a a n n 2014)1(+-=，2015(1)2n n b n+-=+，且n n a b <对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，B ．1-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，C ．3-22⎡⎫⎪⎢⎭⎣，D ．3-12⎡⎫⎪⎢⎭⎣，二、填空题。
广东省湛江市高考数学二模试卷(文科)卷
高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足2z=3+12i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数|z|=（）A. 3B. 2C. 4D. 52.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=2x-3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 83.现有甲班A，B，C三名学生，乙班D，E两名学生，从这5名学生中选2名学生参加某项活动，则选取的2名学生来自于不同班级的概率是（）A. B. C. D.4.平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，||=2，||=3，=，则=（）A. 3B. -3C. 2D. -25.有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性．这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：附：K2=据此表，可得（）A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50%C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足60%D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%6.在△ABC中，内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a cos B=（4c-b）cos A，则cos2A=（）A. B. C. D. -7.设F1，F2分别为离心率e=的双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线C的右顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，则tan∠MAN=（）A. -1B. -C. -D. -28.已知实数m是给定的常数，函数f（x）=mx3-x2-2mx-1的图象不可能是（）A.B.C.D.9. 在三棱锥P -ABC 中，AB =BC =2，AC =2，PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（ ）A.B.C. D.10. 把函数y =f （x ）的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数g （x ）的图象，并且g （x ）的图象如图所示，则f （x ）的表达式可以为（ ）A. f （x ）=2sin （x +）B. f（x ）=sin （4x +）C. f （x ）=sin （4x -）D. f （x ）=2sin （4x -）11. 设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，经过原点O 的直线与椭圆C 相交于点A ，B ，若|AF |=2，|BF |=4，椭圆C 的离心率为，则△AFB 的面积是（ ）A.B. 2C. 2D.12. 函数f （x ）对于任意实数x ，都有f （-x ）＝f （x ）与f （1＋x ）＝f （1-x ）成立，并且当0≤x ≤1时，f （x ）＝x 2，则方程的根的个数是A. 2020B. 2019C. 1010D. 1009二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f （x ）=e x cos x +x 5，则曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程是______． 14. 若实数x ，y 满足不等式组，且z =x -2y 的最小为0，则实m =______．15. 一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a ，当a ∈[2，2019]时，符合条件的a 共有______个． 16. 圆锥Ω的底面半径为2，母线长为4．正四棱柱ABCD -A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′，B ′，C ′，D ′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n =．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．18.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PB=PD．（1）求证：PD⊥AB；（2）若AB=6，PC=8，E是BD的中点，求点E到平面PCD的距离．19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：=x，其中，==，=．（1）据题中数据，求月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这6个家庭中随机抽取2个，求月支出都少于1万元的概率．20.已知定点F（1，0），横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，若|TF|=|TH|+1．（1）求动点T的轨迹C的方程；（2）若点P（4，4）不在直l：y=kx+m线上，并且直线l与曲线C相交于A，B两个不同点．问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA，PB斜率之和是一个定值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21.函数g（x）=（x-2）e x-ax+2，其中常数a∈R．（1）求f（x）=g（x）+e x+ax-2的最小值；（2）若a＜0，讨论g（x）的零点的个数．22.在直角坐标系xOy中，点M（0，1），直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为7ρ2+ρ2cos2θ=24．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A，B，求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=|2x+3|．（1）解不等式f（x）-g（x）≥2；（2）若2f（x）≤g（x）+m对于任意x∈R恒成立，求实数m的最小值，并求当m 取最小值时x的范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z=a+bi，a、b∈R，∵2z=3+12i，∴2（a+bi）-（a-bi）=3+12i，即，解得a=3，b=4，∴z=3+4i，∴|z|=．故选：D．根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及子集的定义及子集个数的求法，属于基础题.求出集合B，然后求出A∩B，从而可确定它的子集个数．【解答】解：B={-1，1，3，5}；∴A∩B={1，3}；∴A∩B的子集个数为：．故选C．3.【答案】D【解析】解：从这5名学生中选2名学生参加某项活动，基本事件总数n==10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m==4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P=1-=1-．故选：D．基本事件总数n==10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m==4，由此能求出抽到2名学生来自于不同班级的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，||=2，||=3，∴=2×=-3，∵=，∴=，，则=（•===-3．故选：B．先根据向量的数量积求出•，然后把，用，表示，代入结合已知即可求解本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力．5.【答案】A【解析】解：由表中数据，计算K2=≈0.3367＜0.455，∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%；故选：A．由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．属中档题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得cos A，进而利用二倍角余弦公式得到结果．【解答】解：在△ABC中，根据正弦定理，∵a cos B=（4c-b）cos A，∴sin A cos B=4sin C cos A-sin B cos A即4sin C cos A=sin B cos A+sin A cos B=sin(A+B)=sin C,∴sin C=4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1=4cos A，即cos A=，那么cos2A=2cos2A-1=-．故选：C．7.【答案】A【解析】解：离心率e===，可得b=2a，可设双曲线的渐近线l的方程为y=2x，A（a，0）为双曲线C的右顶点，以F1F2为直径的圆方程为x2+y2=c2，解得M（，）即（a，2a），N（-a，-2a），直线AN的斜率为=1，可得∠OAN=45°，且MA⊥x轴，可得tan∠MAN=tan（90°+45°）=-1．故选：A．由离心率公式和a，b，c的关系，求得直线l的方程y=2x，求得圆的方程，联立解得M，N，再由直线的斜率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的运用，考查方程是想和运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数图象的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题．令m=0，排除D，对函数求导，确定其极值点的正负即可判断．【解答】解：当m=0时，C符合题意；当m≠0时，f′（x）=3mx2-2x-2m，△=4+24m2＞0，设3mx2-2x-2m=0的两根为x1，x2，则＜0，则两个极值点x1，x2异号，则D不合题意．故选D．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．推导出AB⊥BC，PB⊥面ABC，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与MN所成角的余弦值．【解答】解：∵在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又PB⊥面ABC，∴以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设PB=t，∵M，N，Q分别为AC，PB，AB的中点，MN=，∴P（0，0，t），N（0，0，），A（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0），∴MN==，解得t=2，∴P（0，0，2），Q（1，0，0），N（0，0，1），=（1，0，-2），=（-1，-1，1），设异面直线PQ与MN所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线PQ与MN所成角的余弦值为．故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象的应用，利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题．根据图像可得g(x)的最大值为2，故f(x)的最大值为1，故排除AD；若f（x）=sin（4x-），则，不满足图像，进而可解.【解答】解：根据图像可得g(x)的最大值为2，故f(x)的最大值为1，故排除AD；若f（x）=sin（4x-），则，当时，g(x)=2，不满足图像，故选B．11.【答案】C【解析】解：设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，|AF′|=|BF|=4，∴|AF′|+|AF|=2+4=6=2a，∴a=3，又e=，∴c=，由余弦定理可得，cos∠FAF′==-，故sin∠FAF′=．∴S△AFB=S△AFF′=|AF′||AF|sin∠FAF′==故选：C．由椭圆定义及离心率，可得a，c的值，利用余弦定理可得cos∠FAF′，进而利用面积公式得到结果．本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），则函数f（x）为偶函数.又f（1+x）=f（1-x）成立，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（x）=f（2+x）,即函数f（x）为周期为2的周期函数.则函数y=f（x）的图象与直线y=在[0，1]有两个交点，在（1，3]有两个交点，在（3，5]有两个交点…在（2017，2019]有两个交点，在（2019，+∞）无交点，在（-∞，0）无交点，即交点个数为2020，故选：A．由函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解．本题考查了函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化，属中档题．13.【答案】y=x+1【解析】【分析】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题．求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可.【解答】解：函数f（x）=e x cos x+x5，f′（x）=e x（cos x-sin x）+5x4，则f′（0）=1，又f（0）=1，故切线方程为y=x+1，故答案为：y=x+1．14.【答案】【解析】解：画出可行域如图阴影部分所示：当z=x-2y过A时取得最小值，联立得A，则，解m=．故答案为：．画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方程求解即可本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题．15.【答案】135【解析】解：由题设a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，则3m=5n+1当m=5k，n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2，n=3k+1，满足题意当m=5k+3，n不存在；当m=5k+4，n不存在；故2≤a=15k+8≤2019，解-≤k≤，则k=0，1，2…134，共135个故答案为：135由题设a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，得3m=5n+1，对m讨论求解即可．本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16.【答案】【解析】解：设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，根据相似性可得：，解得：h=，（其中0＜x＜2）．∴此正四棱柱体积为：V=x2h=x2•，V′=令V′=0，解得：x=，易得：V=x2•，在（0，）上递增，在（，2）上递减，所以此正四棱柱体积的最大值为．故答案为：．设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，利用相似性表示h=，从而得到V的表达式，利用导数知识求最值即可．本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，导数的应用，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）当n≥2时，a n=S n-S n-1=+（n-1）2-（n-1）=11-n，当n=1时，满足上式，可得a n=11-n；（2）由a n=11-n，可得b n===（-），T n=（-+-+…+-）=（-）=--．【解析】（1）运用数列的递推式，当n≥2时，a n=S n-S n-1，检验n=1成立即可得到所求通项公式；（2）由b n===（-），裂项相消求和即可．本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题．18.【答案】（1）证明：由于四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形．设AB的中点为K，连接PK，DK，如图所示，则AB⊥DK，又PA=PB，所以AB⊥PK，又PK，DK相交于K，面PKD，所以AB⊥平面PKD．又PD⊂平面PKD，所以AB⊥PD．（2）解：由（1）可知，AB⊥平面PKD．又AB∥CD，所以CD⊥平面PKD．又CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PKD，设点E到平面PCD的距离为h，则由于BD=2ED，得点B到平面PCD的距离为2h．由于KB∥平面PCD，所以K，B两点到平面PCD的距离均为2h．所以点K到直线PD的距离就是2h．设△ABD的中心为H，则PH⊥平面ABD．HC=4HE=4，在Rt△PHC中，PH==4，在Rt△PHD中，PH=4，DH=2，所以PD==2．由DH=2HK，得点H到直线PD的距离为，即==，得h=．所以点E到平面PCD的距离为．【解析】本题考查线面垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．（1）设K为AB的中点，要证AB⊥PD，转证AB⊥平面PKD，即证AB⊥PK，AB⊥DK；（2）设H为△ABD的中心，点E到平面PCD的距离为h，则点K到平面PCD的距离为2h，由（1）可知，AB⊥平面PKD,得平面PDC⊥平面PKD，故H到直线PD的距离为，在Rt△AHD中计算H到PD的距离即可得出答案.19.【答案】解：（1）=38，=7；其中==≈0.2，==7-0.2×38=-0.6，故月支出y关于x月收入的线性回归方程是：=0.2x-0.6，（2）若从6个家庭中抽取2个，则基本事件为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，月支出都少于1万元的基本事件为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种，则月支出都少于1万元的概率为P==．【解析】（1）由题意得到、，，，从而得到月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程；（2）从6个家庭中抽取2个，共包含15种情况，其中月支出都少于1万元的基本事件共10种，从而得到结果．本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设点T在直线x=-1上的射影是R，则由于T的横坐标不小于0，∴|TR|=|TH|+1，又|TF|=|TH|+1，∴|TF|=|TR|，即点T到F（1，0）的距离与T到直线x=-1的距离相等，∴T的轨迹是以F为焦点，以x=-1为准线的抛物线．即C的方程是y2=4x．（2）由于A，B在曲线C上，可设A（，a），B（，b），则PA的斜率k1==，同理PB的斜率k2=．∴k1+k2=+=．又曲线C与直线l相交于A，B两点，∴k≠0，于是联立方程，得⇒ky2-4y+4m=0，∴a+b=，ab=．∴∴k1+k2==1-，此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意．【解析】（1）利用抛物线定义，即可得到动点T的轨迹C的方程；（2）设A（，a），B（，b），利用斜率计算公式可得k1+k2，利用韦达定理即可得到结果．本题考查了定义法求轨迹方程、综合考查了直线与圆锥曲线方程联立解决复杂的存在探究问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）=（x-1）e x在定义域R上的导数为f′（x）=xe x．∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间是（-∞，0），单调增区间是（0，+∞）．∴f（x）的最小值是F（0）=-1．（2）g（x）在其定义域R上的导数是g′（x）=（x-1）e x-a．①当a≤-1时，由（1）可得g′（x）≥0，g（x）在R上是增函数，此时由g（0）=0，可得函数g（x）有唯一的零点．②当-1＜a＜0时，g′（0）=-1-a＜0，并且对于负数2ln（-a）-5，有g′[2ln（-a）-5]=[2ln（-a）-5-1]e[2ln（-a）-5]-a=[2ln（-a）-6]e[2ln（-a）-5]-a=．又∵2a ln（-a）-6a＜6＜e5，∴2a ln（-a）-6a-e5＜0，即g′[2ln（-a）-5]＞0．∴在区间（2ln（-a）-5，0）上存在负数t，使得g′（t）=0，则在（-∞，t）上g′（x）＞0，g（x）是增函数；在区间（t，0）上g′（x）＜0，g（x）是减函数．则g（t）＞g（0）=0，g（）=（）＜0．∴在（-∞，0）上，g（x）有且仅有1个零点；在区间（0，+∞）上，g′（0）=-1-a＜0，g′（1）=-a＞0并且g′（x）是增函数．∴存在正数n，使得在（0，n）上，g′（x）＜0，g（x）是减函数；在（n，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）是增函数．于是有g（n）＜g（0）=0，g（2）=2-2a＞0．∴在（0，+∞）上，g（x）恰有唯一的零点．∴当-1＜a＜0时，g（x）在R上恰有三个不同的零点．综上所述，当a≤-1时，g（x）有唯一的零点；当-1＜a＜0时，g（x）有三个不同的零点．【解析】（1）导数为f′（x）=xe x，研究单调性即可得到f（x）=g（x）+e x+ax-2的最小值；（2）g（x）在其定义域R上的导数是g′（x）=（x-1）e x-a，对a分类讨论，数形结合即可明确g（x）的零点的个数．本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解（1）∵7ρ2+ρ2cos2θ=24，∴7ρ2+ρ2（2cos2θ-1）=24，又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为：+=1.（2）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），代入曲线C方程，得19t2+6t-45=0＞0恒成立,∴t1+t2=-，t1t2=-∴+=+===.【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程t的几何意义，考查计算能力，属中档题．（1）利用极坐标与直角坐标的互化求解即可；（2）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），与椭圆联立，利用t的几何意义求解+即可.23.【答案】解：（1）f（x）-g（x）=|x-1|-|2x+3|，当x≤-时，不等式化为x+4≥2，解得x≥-2，可得-2≤x≤；当＜x＜1时，不等式化为-3x-2≥2，解得x≤-，可得＜x≤-；当x≥1时，不等式化为-x-4≥2，解得x≤-6，可得x∈∅．综上可得，原不等式的解集为{x|-2≤x}．（2）若2f（x）≤g（x）+m恒成立，则|2x-2|-|2x+3|≤m恒成立，∴m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，又∵|2x-2|-|2x+3|≤|2x-2-（2x+3）|=5，∴m最小值为5．此时∴，解得x≤．【解析】（1）零点分段去绝对值化简f（x）-g（x）解不等式即可；（2）2f（x）≤g（x）+m恒成立，即|2x-2|-|2x+3|≤m恒成立，即m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，由绝对值三角不等式求m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，即可求解．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题．。
2016年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x ＜2}，集合N={x|x （x+2）＜0}，则M ∪N=（ ）A ．（﹣2，2）B ．（﹣1，0）C ．RD ．∅2．已知i 是虚数单位，复数z=（a+i ）（1﹣i ），若z 的实部与虚部相等，则实数a=（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣23．函数f （x ）=2sin （2x+）的图象（ ） A ．关于直线x=对称B ．关于直线x=﹣对称 C ．关于点（，0）对称D ．关于点（π，0）对称4．已知数列{a n }是公比为2的等比数列，数列{b n }是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{a}是（ ）A ．公差为5的等差数列B ．公差为6的等差数列C ．公比为6的等比数列D ．公比为8的等比数列5．运行如图的程序框图，则输出s 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．命题“空间两直线a ，b 互相平行”成立的充分条件是（ ）A ．直线a ，b 都平行于同一个平面B ．直线a 平行于直线b 所在的平面C ．直线a ，b 都垂直于同一条直线D ．直线a ，b 都垂直于同一个平面7．已知cos （﹣α）=，则sin （）=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a ，b ，则直线ax ﹣by=0的倾斜角大于的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π10．已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线上一点A满足AF1⊥AF2，且|AF1|=3|AF2|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x11．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．πB．πC．πD．8π12．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=2cosx+1的图象在点x=处的切线方程是．14．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＜f（1）的实数x的取值范围是．15．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=．16．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=﹣，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB1⊥平面A1CD，AC⊥BC，D为AB中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）AA1=1，AC=2，求三棱锥C1﹣A1DC的体积．19．46．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．20．如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．21．设函数f（x）=（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．请考生再22,23,24三题中任选一题做答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|x（x+2）＜0}，则M∪N=（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，0）C．RD．∅【考点】并集及其运算．【分析】直接根据并集的定义即可求出．【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），集合N={x|x（x+2）＜0}=（﹣2，0），∴M∪N=（﹣2，2），故选：A．2．已知i是虚数单位，复数z=（a+i）（1﹣i），若z的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等求得a值．【解答】解：∴z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴由a+1=1﹣a，得a=0．故选：B．3．函数f（x）=2sin（2x+）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=﹣对称C．关于点（，0）对称D．关于点（π，0）对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得它的图象关于直线x=+对称，故排除B，选A．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的图象关于点（﹣，0）对称，故排除C，D，故选：A．4．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{a}是（）A．公差为5的等差数列B．公差为6的等差数列C．公比为6的等比数列D．公比为8的等比数列【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{a n}是公比为2的等比数列，可得．由数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，可得b n+1﹣b n=3，计算即可判断出结论．【解答】解：由数列{a n}是公比为2的等比数列，可得．由数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，∴b n+1﹣b n=3，则===23=8．∴数列{a}是公比为8的等比数列．故选：D．5．运行如图的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序依次写出每次循环得到的s，a的值，当a=2016时，满足条件a≥2016，退出循环输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得s=1，a=1不满足条件a≥2016，s=，a=2不满足条件a≥2016，s=（）2，a=3不满足条件a≥2016，s=（）3，a=4…观察规律可得：不满足条件a≥2016，s=（）2015，a=2016满足条件a ≥2016，退出循环，输出s 的值为．故选：B ．6．命题“空间两直线a ，b 互相平行”成立的充分条件是（ ）A ．直线a ，b 都平行于同一个平面B ．直线a 平行于直线b 所在的平面C ．直线a ，b 都垂直于同一条直线D ．直线a ，b 都垂直于同一个平面【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线线平行的判定定理判断即可．【解答】解：直线a ，b 都平行于同一个平面，a ，b 可能相交，可能异面也可能平行，故A 错误； 直线a 平行于直线b 所在的平面，a ，b 可能异面也可能平行，故B 错误；直线a ，b 都垂直于同一条直线，a ，b 可能相交，可能异面也可能平行，故C 错误；直线a ，b 都垂直于同一个平面，则a ∥b ，故D 正确，故选：D ．7．已知cos （﹣α）=，则sin （）=（ ）A ．B ．C ．﹣D ． 【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】先求出sin α，cos α，再利用和角的正弦公式，即可求出结论．【解答】解：∵cos （﹣α）=，∴sin α=，∵， ∴cos α=﹣，∴sin （）=sin αcos +cos αsin ==﹣， 故选C ．8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a ，b ，则直线ax ﹣by=0的倾斜角大于的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由直线ax ﹣by=0的倾斜角大于，得到a ＞b ．由此能求出直线ax ﹣by=0的倾斜角大于的概率．【解答】解：∵直线ax ﹣by=0的倾斜角大于，∴k==1，∴a＞b．∵投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，∴基本事件总数n=6×6=36，其中a＞b包含的基本事件个数m==15，∴直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为p===．故选：A．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为棱柱与圆柱的组合体，几何体的表面积为棱柱的表面积加上圆柱的侧面积．【解答】解：由三视图可知该几何体的下部分是底面为边长是4，高是2的四棱柱，上部分是底面直径为4，高为2的圆柱，∴S=4×4×2+4×4×2+4π×2=64+8π．故选A．10．已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线上一点A满足AF1⊥AF2，且|AF1|=3|AF2|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A为双曲线的右支，由双曲线的定义可得，|AF1|﹣|AF2|=2a，求得|AF1|=3a，|AF2|=a，运用勾股定理和a，b，c的关系和渐近线方程即可得到所求．【解答】解：由题意可得A为双曲线的右支，由双曲线的定义可得，|AF1|﹣|AF2|=2a，由|AF1|=3|AF2|，可得|AF1|=3a，|AF2|=a，由AF1⊥AF2，可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即有9a2+a2=4c2，即为c2=a2，即有a2+b2=a2，即b2=a2，即有b=a，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．11．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．πB．πC．πD．8π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=πR3=π，故选：C．12．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）【考点】分段函数的应用．【分析】求出x＞0时关于原点对称的函数g（x）=lnx，由题意可得g（x）的图象和y=kx﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设出直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），求出g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得切点和k的值，由图象即可得到所求范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），由f（x）的图象关于原点对称，可得g（x）=lnx（x＞0），由题意可得g（x）的图象和y=kx﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），由g（x）的导数为g′（x）=，即有切线的斜率为=k，又lnm=km﹣2，解得m=，k=e，由图象可得0＜k＜e时，有两个交点．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=2cosx+1的图象在点x=处的切线方程是x+y﹣1﹣﹣=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用直线的点斜式方程，可得所求切线的方程．【解答】解：函数f（x）=2cosx+1的导数为f′（x）=﹣2sinx，可得在点x=处的切线斜率为k=﹣2sin=﹣1，切点为（，1+），即有在点x=处的切线方程为y﹣（1+）=﹣（x﹣），即为x+y﹣1﹣﹣=0．故答案为：x+y﹣1﹣﹣=0．14．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＜f（1）的实数x的取值范围是（0，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数的单调性列出不等式解得即可．【解答】解：∵f（x）为R上的减函数，∴f（）＜f（1）等价于＞1，解得0＜x＜1．故答案为（0，1）．15．在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC的值．【解答】解：设，，则∵AB=2，=1∴2acosθ=1又由余弦定理可得：9=4+a2+4acosθ∴a2=3，∴a=故答案为：16．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（﹣∞，1]．【考点】简单线性规划．【分析】先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=﹣，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）化简可得2a1+3a1q=1，a3=3=3a4，从而求得a n；（Ⅱ）化简S n=（1﹣），T n=﹣=3﹣=1﹣．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，∵a n＞0，q＞0；∴2a1+3a1q=1，a3=3=3a4，∴a1=，q=；故a n=•=；（Ⅱ）S n==（1﹣），T n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣=1﹣，故T n=1﹣．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB1⊥平面A1CD，AC⊥BC，D为AB中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）AA1=1，AC=2，求三棱锥C1﹣A1DC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得AA1⊥CD，由AB1⊥平面A1CD得AB1⊥CD，故CD⊥平面AA1B1B；（2）由CD⊥平面AA1B1B得CD⊥AB，得出△ABC是等腰直角三角形，以△A1C1C为棱锥的底面，则D到平面A1C1CA的距离h==．代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，∵AB1⊥平面A1CD，CD⊂A1CD，∴AB1⊥CD．又AA1⊂平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，AA1∩AB1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵CD⊥平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴CD⊥AB，又∵D是AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，BC=AC=2．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又∵AC⊥BC，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC=A，∴BC⊥平面AA1C1C，∵D是AB的中点，∴D到平面AA1C1C的距离h==1．∵S===1，∴V=V==．19．46．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先求出样本容量，再求[80，90）间的频数与频率，计算对应矩形的高；（Ⅱ）求出分数在[80，100]之间的试卷数，用列举法求出基本事件数，计算概率即可；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，频率分布直方图中[50，60）间的频率是0.008×10=0.08，频数是2，样本容量是=25；∵[80，90）间的频数是25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，∴频率是=0.16，∴矩形的高=0.016；（Ⅱ）分数在[80，100]之间的试卷数是4+2=6，分别记为a、b、c、d、A、B；从这6份中任取2份，ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB共15种，其中至少有一份的分数在[90，100]之间的基本事件数是aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB共9种∴它的概率为P==；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是=55×0.008×10+65×+75×+85×+95×=73.8，由此估计平均分是73.8．20．如图，已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求出过两点（c、0），（0，b）的直线方程，由点到直线的距离公式可得b=λa，取λ=，求得椭圆方程，然后分别联立直线x=m（﹣a＜m＜a）与椭圆与圆方程，求出点的坐标，则的值可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程，求出A，B的坐标，由斜率相等可得，结合﹣a＜m＜0即可证得0＜λ＜．【解答】（Ⅰ）解：过两点（c、0），（0，b）的直线方程为，即bx+cy﹣bc=0，由原点O到直线bx+cy﹣bc=0的距离为λc（λ∈（0，1），得，即b=λa，当λ=时，b=，此时椭圆方程为．设直线l的方程为x=m（﹣a＜m＜a），联立，解得B（m，），C（m，），联立，解得A（m，），D（m，﹣），∴=；（Ⅱ）证明：如图，由（Ⅰ）得，A（m，），联立，得B（m，λ），又N（a，0），∴，而，由BO∥AN，得，∴m=λ（m﹣a），即．∵﹣a＜m＜0，∴，即，解得：λ＞1（舍）或，又λ∈（0，1），∴0＜λ＜．21．设函数f（x）=（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）a≤0时，f（x）≤x+1成立，0＜a≤2时，令h（x）=﹣x﹣1，求出h（x）的单调性，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=，∵a＞0，e x＞0，∴由f′（x）≥0可得x≤，∴a＞0时，f（x）在（﹣∞，]递增；（Ⅱ）（i）a≤0时，f（x）=，由x≥0，得ax+1≤1，∵e x≥1，∴≤1，而x+1≥1，∴f（x）≤x+1成立；（ii）0＜a≤2时，令h（x）=﹣x﹣1，则f（x）≤x+1成立等价于h（x）≤0，h′（x）=﹣1，∵g（x）=﹣ax+a﹣1是减函数且x≥0，∴g（x）max=a﹣1≤1，∴h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）递减，∴x≥0时，h（x）≤h（0）=0，∴f（x）≤x+1恒成立，综上，a≤2时，对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．请考生再22,23,24三题中任选一题做答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接BE，由直径所对圆周角为直角得到∠ABE=90°，由三角形相似的条件得到△ACD∽△AEB，再由相似三角形对应边成比例得AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）由切割弦定理可得CF2=AF•BF，然后再由三角形相似求得AC的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BE，∵AE为圆O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC，又∵∠ACD=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴，又∵AB=BC，∴AE•ED=AC•BC；（Ⅱ）解：∵CF是圆O的切线，∴CF2=AF•BF，又AF=4，CF=6，∴BF=9，∴AB=BF﹣AF=5，又∵∠ACF=∠FBC，∠F为公共角，∴△AFC∽△CFB，∴，∴AC=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用cos2θ+sin2θ=1可把圆C的参数方程化为普通方程，再利用化为极坐标方程．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开可得直角坐标方程．求出圆心C到直线l的距离d，利用弦长公式|AB|=2即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程为（θ为参数），化为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开化为：（ρsinθ+ρcosθ）=2，可得直角坐标方程：y+x﹣4=0．由（I）可知：圆C的圆心C（2，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）把f（x）的解析式代入xf（x）+3＞0，去绝对值后化为不等式组，求解不等式组得答案；（2）把f（x）＜m﹣|x|，分离变量m后构造分段函数，求解分段函数的最大值，从而得到m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|，∴xf（x）+3＞0⇔x|x﹣2|+3＞0⇔①或②，解①得：﹣1＜x≤2，解②得x＞2，∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（﹣1，+∞）；（2）f（x）＜m﹣|x|⇔f（x）+|x|＜m，即|x﹣2|+|x|＜m，设g（x）=|x﹣2|+|x|（﹣3＜x＜3），则，g（x）在（﹣3，0]上单调递减，2≤g（x）＜8；g（x）在（2，3）上单调递增，2＜g（x）＜4∴在（﹣3，3）上有2≤g（x）＜8，故m≥8时不等式f（x）＜m﹣|x|在（﹣3，3）上恒成立．2016年7月19日。
2016年广东省湛江市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2016年广东省湛江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2≥4}，集合B＝{x|x＞1}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|﹣2＜x≤1}D．{x|﹣2≤x＜1} 2．（5分）已知i是虚数单位，a∈R，复数z1＝3﹣ai，z2＝1+2i，若z1•z2是纯虚数，则a＝（）A．﹣B．C．﹣6D．63．（5分）根据表格中的数据用最小二乘法计算出变量x、y的线性回归方程为＝3x﹣，则表格中m的值是（）A．4B．C．5D．64．（5分）已知等比数列{a n}中，4a1，a3，2a2成等差数列，则公比q＝（）A．2B．﹣1或﹣2C．﹣1或2D．﹣15．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝2，则输出的结果为（）A．2B．5C．11D．236．（5分）已知向量，满足•＝10，|+|＝5，且＝（2，1），则||＝（）A．3B．5C．2D．7．（5分）不等式|x+y|≤1确定的平面区域记为Ω，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（1，2），若将一个质点随机投入△ABC中，则质点落在区域Ω内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设α，β，γ为平面，m，n为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥n B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2πB．4πC．2+πD．6+π10．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于M，N两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△MON的面积为，则P的值为（）A．B．3C．4D．211．（5分）函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列式子正确的是（）A．0＜f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）B．0＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）C．0＜f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）D．0＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜f′（2）12．（5分）若∀x∈（0，），9x＜log a x（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，]C．（，3）D．（1，）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省湛江市数学高三文数2月教学质量检测试卷
广东省湛江市数学高三文数2月教学质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·衡水模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数z满足，为虚数单位，则z＝（）A .B .C .D .3. （2分）设P是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左右焦点，且则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·鹤壁模拟) 数列的通项公式，其前项和为，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·衡阳模拟) 将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高三上·集宁月考) 变量满足条件，则的最小值为（）A .B .C . 5D .7. （2分）(2018·遵义模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 43B . 55C . 61D . 818. （2分）已知为△ 所在平面外一点，且，，两两垂直，则下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（）A . ①②③B . ①②④C . ②③④D . ①②③④9. （2分）平面向量的夹角为，，则（）A . 7B .C .D . 310. （2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图是半径均为的圆，则该几何体的表面积是（）A . 14πB . 12πC . 10πD . 8π11. （2分）函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（）A . 关于点对称B . 关于直线对称C . 关于点对称D . 关于直线对称12. （2分）定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时, ,则函数的零点的个数为（）A . 1B . 2C . 0D . 0或2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） f（x）= （0＜a＜1）的单调增区间是________．14. （1分）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为________15. （1分）(2018·杨浦模拟) 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，， .若为钝角，，则的面积为________16. （1分） (2018高二上·武汉期中) 已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，过点作椭圆的切线和两轴分别交于点，当（为坐标原点）的面积最小时，，则椭圆的离心率为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）设数列{an}的前n项和为Sn ，且满足：．（1）求a1，a2，a3；（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）若bn= （n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．18. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，F是BC的中点，且PA=BC=2AB=2．（1）求证：CD⊥PA（2）线段PA是否存在一点E，使得EF∥平面PCD？若有，请找出具体位置，并加以证明，若无，请分析说明理由．19. （10分）(2018·南充模拟) 汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟从2012年开始就对二氧化碳排放量超过的型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下(单位： )：甲80110120140150乙100120100160经测算发现，乙类型品牌汽车二氧化碳排放量的平均值为 .（Ⅰ）从被检测的5辆甲类型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过的概率是多少？(Ⅱ)求表中，并比较甲、乙两类型品牌汽车二氧化碳排放量的稳定性.，其中，表示的平均数，表示样本数量，表示个体，表示方差)20. （10分） (2016高二上·常州期中) 如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km2）．（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；（Ⅱ）求面积S（km2）关于x（km）的函数解析式；（Ⅲ）求面积S（km2）的最大值．21. （10分） (2017高二下·赣州期中) 已知函数f（x）=ax﹣lnx，函数g（x）= ﹣bx，a∈R，b∈R 且b≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）+g（x2）=0成立，求实数b的取值范围．22. （10分）(2020·许昌模拟) 在直角坐标系中,曲线的参数方程为 ( 为参数),其中 ,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程;（2）已知曲线与曲线交于两点,点 ,求的取值范围.23. （10分） (2019高一上·大庆月考) 定义在R上的奇函数是单调函数，满足 .，且（1）求；（2）若对于任意都有成立，求实数k的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
广东省湛江市高三数学一模试卷 文(含解析)
2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|x（x+2）＜0}，则M∪N=（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，0）C．RD．∅2．已知i是虚数单位，复数z=（a+i）（1﹣i），若z的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1B．0C．﹣1D．﹣23．函数f（x）=2sin（2x+）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=﹣对称C．关于点（，0）对称D．关于点（π，0）对称4．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{a}是（）A．公差为5的等差数列B．公差为6的等差数列C．公比为6的等比数列D．公比为8的等比数列5．运行如图的程序框图，则输出s的值为（）A． B． C． D．6．命题“空间两直线a，b互相平行”成立的充分条件是（）A．直线a，b都平行于同一个平面B．直线a平行于直线b所在的平面C．直线a，b都垂直于同一条直线D．直线a，b都垂直于同一个平面7．已知cos（﹣α）=，则sin（）=（）A． B． C．﹣D．8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，则直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为（）A． B． C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π10．已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线上一点A满足AF1⊥AF2，且|AF1|=3|AF2|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x11．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．πB．πC．πD．8π12．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=2cosx+1的图象在点x=处的切线方程是．14．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＜f（1）的实数x的取值范围是．15．在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC= ．16．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围．三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=﹣，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB1⊥平面A1CD，AC⊥BC，D为AB中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）AA1=1，AC=2，求三棱锥C1﹣A1DC的体积．19．46．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．20．如图，已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．21．设函数f（x）=（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．请考生再22,23,24三题中任选一题做答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．2016年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，集合N={x|x（x+2）＜0}，则M∪N=（）A．（﹣2，2）B．（﹣1，0）C．RD．∅【考点】并集及其运算．【分析】直接根据并集的定义即可求出．【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），集合N={x|x（x+2）＜0}=（﹣2，0），∴M∪N=（﹣2，2），故选：A．2．已知i是虚数单位，复数z=（a+i）（1﹣i），若z的实部与虚部相等，则实数a=（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等求得a值．【解答】解：∴z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴由a+1=1﹣a，得a=0．故选：B．3．函数f（x）=2sin（2x+）的图象（）A．关于直线x=对称B．关于直线x=﹣对称C．关于点（，0）对称D．关于点（π，0）对称【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=2sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得它的图象关于直线x=+对称，故排除B，选A．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的图象关于点（﹣，0）对称，故排除C，D，故选：A．4．已知数列{a n}是公比为2的等比数列，数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{a}是（）A．公差为5的等差数列B．公差为6的等差数列C．公比为6的等比数列D．公比为8的等比数列【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{a n}是公比为2的等比数列，可得．由数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，可得b n+1﹣b n=3，计算即可判断出结论．【解答】解：由数列{a n}是公比为2的等比数列，可得．由数列{b n}是公差为3且各项均为正整数的等差数列，∴b n+1﹣b n=3，则===23=8．∴数列{a}是公比为8的等比数列．故选：D．5．运行如图的程序框图，则输出s的值为（）A． B． C． D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序依次写出每次循环得到的s，a的值，当a=2016时，满足条件a≥2016，退出循环输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得s=1，a=1不满足条件a≥2016，s=，a=2不满足条件a≥2016，s=（）2，a=3不满足条件a≥2016，s=（）3，a=4…观察规律可得：不满足条件a≥2016，s=（）2015，a=2016满足条件a≥2016，退出循环，输出s的值为．故选：B．6．命题“空间两直线a，b互相平行”成立的充分条件是（）A．直线a，b都平行于同一个平面B．直线a平行于直线b所在的平面C．直线a，b都垂直于同一条直线D．直线a，b都垂直于同一个平面【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线线平行的判定定理判断即可．【解答】解：直线a，b都平行于同一个平面，a，b可能相交，可能异面也可能平行，故A 错误；直线a平行于直线b所在的平面，a，b可能异面也可能平行，故B错误；直线a，b都垂直于同一条直线，a，b可能相交，可能异面也可能平行，故C错误；直线a，b都垂直于同一个平面，则a∥b，故D正确，故选：D．7．已知cos（﹣α）=，则sin（）=（）A． B． C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】先求出sinα，cosα，再利用和角的正弦公式，即可求出结论．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴sinα=，∵，∴cosα=﹣，∴sin（）=sinαcos+cosαsin==﹣，故选C．8．投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，则直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由直线ax﹣by=0的倾斜角大于，得到a＞b．由此能求出直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率．【解答】解：∵直线ax﹣by=0的倾斜角大于，∴k==1，∴a＞b．∵投掷一颗骰子两次，将得到的点数依次记为a，b，∴基本事件总数n=6×6=36，其中a＞b包含的基本事件个数m==15，∴直线ax﹣by=0的倾斜角大于的概率为p===．故选：A．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．64+8πB．48+12πC．48+8πD．48+12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为棱柱与圆柱的组合体，几何体的表面积为棱柱的表面积加上圆柱的侧面积．【解答】解：由三视图可知该几何体的下部分是底面为边长是4，高是2的四棱柱，上部分是底面直径为4，高为2的圆柱，∴S=4×4×2+4×4×2+4π×2=64+8π．故选A．10．已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线上一点A满足AF1⊥AF2，且|AF1|=3|AF2|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A为双曲线的右支，由双曲线的定义可得，|AF1|﹣|AF2|=2a，求得|AF1|=3a，|AF2|=a，运用勾股定理和a，b，c的关系和渐近线方程即可得到所求．【解答】解：由题意可得A为双曲线的右支，由双曲线的定义可得，|AF1|﹣|AF2|=2a，由|AF1|=3|AF2|，可得|AF1|=3a，|AF2|=a，由AF1⊥AF2，可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即有9a2+a2=4c2，即为c2=a2，即有a2+b2=a2，即b2=a2，即有b=a，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：B．11．三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（）A．πB．πC．πD．8π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=， bc=， ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=πR3=π，故选：C．12．已知函数f（x）=的图象上有两对关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．（0，+∞）D．（0，e）【考点】分段函数的应用．【分析】求出x＞0时关于原点对称的函数g（x）=lnx，由题意可得g（x）的图象和y=kx ﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设出直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），求出g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得切点和k的值，由图象即可得到所求范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣ln（﹣x），由f（x）的图象关于原点对称，可得g（x）=lnx（x＞0），由题意可得g（x）的图象和y=kx﹣2（x＞0）的图象有两个交点．设直线y=kx﹣2与y=g（x）相切的切点为（m，lnm），由g（x）的导数为g′（x）=，即有切线的斜率为=k，又lnm=km﹣2，解得m=，k=e，由图象可得0＜k＜e时，有两个交点．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=2cosx+1的图象在点x=处的切线方程是x+y﹣1﹣﹣=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用直线的点斜式方程，可得所求切线的方程．【解答】解：函数f（x）=2cosx+1的导数为f′（x）=﹣2sinx，可得在点x=处的切线斜率为k=﹣2sin=﹣1，切点为（，1+），即有在点x=处的切线方程为y﹣（1+）=﹣（x﹣），即为x+y﹣1﹣﹣=0．故答案为：x+y﹣1﹣﹣=0．14．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＜f（1）的实数x的取值范围是（0，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】利用函数的单调性列出不等式解得即可．【解答】解：∵f（x）为R上的减函数，∴f（）＜f（1）等价于＞1，解得 0＜x＜1．故答案为（0，1）．15．在△ABC中，AB=2，AC=3， =1，则BC= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC的值．【解答】解：设，，则∵AB=2， =1∴2acosθ=1又由余弦定理可得：9=4+a2+4acosθ∴a2=3，∴a=故答案为：16．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围（﹣∞，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，由，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1则实数m的取值范围（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a3=3．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=﹣，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）化简可得2a1+3a1q=1，a3=3=3a4，从而求得a n；（Ⅱ）化简S n=（1﹣），T n=﹣=3﹣=1﹣．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，∵a n＞0，q＞0；∴2a1+3a1q=1，a3=3=3a4，∴a1=，q=；故a n=•=；（Ⅱ）S n==（1﹣），T n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=3﹣=1﹣，故T n=1﹣．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB1⊥平面A1CD，AC⊥BC，D为AB中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）AA1=1，AC=2，求三棱锥C1﹣A1DC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由AA1⊥平面ABC得AA1⊥CD，由AB1⊥平面A1CD得AB1⊥CD，故CD⊥平面AA1B1B；（2）由CD⊥平面AA1B1B得CD⊥AB，得出△ABC是等腰直角三角形，以△A1C1C为棱锥的底面，则D到平面A1C1CA的距离h==．代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：（I）∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，∵AB1⊥平面A1CD，CD⊂A1CD，∴AB1⊥CD．又AA1⊂平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，AA1∩AB1=A，∴CD⊥平面AA1B1B．（II）∵CD⊥平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴CD⊥AB，又∵D是AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，BC=AC=2．∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，又∵AC⊥BC，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC=A，∴BC⊥平面AA1C1C，∵D是AB的中点，∴D到平面AA1C1C的距离h==1．∵S===1，∴V=V==．19．46．某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，（阴影部分为破坏部分）其可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在[90，100]之间的概率；（Ⅲ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）先求出样本容量，再求[80，90）间的频数与频率，计算对应矩形的高；（Ⅱ）求出分数在[80，100]之间的试卷数，用列举法求出基本事件数，计算概率即可；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分即可．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，频率分布直方图中[50，60）间的频率是0.008×10=0.08，频数是2，样本容量是=25；∵[80，90）间的频数是25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，∴频率是=0.16，∴矩形的高=0.016；（Ⅱ）分数在[80，100]之间的试卷数是4+2=6，分别记为a、b、c、d、A、B；从这6份中任取2份，ab、ac、ad、aA、aB、bc、bd、bA、bB、cd、cA、cB、dA、dB、AB 共15种，其中至少有一份的分数在[90，100]之间的基本事件数是aA、aB、bA、bB、cA、cB、dA、dB、AB共9种∴它的概率为P==；（Ⅲ）根据频率分布直方图计算这次测试的平均分是=55×0.008×10+65×+75×+85×+95×=73.8，由此估计平均分是73.8．20．如图，已知椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c、0），（0，b）的直线的距离为λc（λ∈（0，1），垂直于x轴的直线l与椭圆C1及圆C2：x2+y2=a2均有两个交点，这四个交点按其坐标从大到小分别为A、B、C、D（Ⅰ）当λ=时，求的值；（Ⅱ）设N（a，0），若存在直线l使得BO∥AN，证明：0＜λ＜．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）求出过两点（c、0），（0，b）的直线方程，由点到直线的距离公式可得b=λa，取λ=，求得椭圆方程，然后分别联立直线x=m（﹣a＜m＜a）与椭圆与圆方程，求出点的坐标，则的值可求；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程，求出A，B的坐标，由斜率相等可得，结合﹣a＜m＜0即可证得0＜λ＜．【解答】（Ⅰ）解：过两点（c、0），（0，b）的直线方程为，即bx+cy﹣bc=0，由原点O到直线bx+cy﹣bc=0的距离为λc（λ∈（0，1），得，即b=λa，当λ=时，b=，此时椭圆方程为．设直线l的方程为x=m（﹣a＜m＜a），联立，解得B（m，），C（m，），联立，解得A（m，），D（m，﹣），∴=；（Ⅱ）证明：如图，由（Ⅰ）得，A（m，），联立，得B（m，λ），又N（a，0），∴，而，由BO∥AN，得，∴m=λ（m﹣a），即．∵﹣a＜m＜0，∴，即，解得：λ＞1（舍）或，又λ∈（0，1），∴0＜λ＜．21．设函数f（x）=（a∈R）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a≤2时，证明：对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）a≤0时，f（x）≤x+1成立，0＜a≤2时，令h（x）=﹣x﹣1，求出h（x）的单调性，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=，∵a＞0，e x＞0，∴由f′（x）≥0可得x≤，∴a＞0时，f（x）在（﹣∞，]递增；（Ⅱ）（i）a≤0时，f（x）=，由x≥0，得ax+1≤1，∵e x≥1，∴≤1，而x+1≥1，∴f（x）≤x+1成立；（ii）0＜a≤2时，令h（x）=﹣x﹣1，则f（x）≤x+1成立等价于h（x）≤0，h′（x）=﹣1，∵g（x）=﹣ax+a﹣1是减函数且x≥0，∴g（x）max=a﹣1≤1，∴h′（x）＜0，h（x）在[0，+∞）递减，∴x≥0时，h（x）≤h（0）=0，∴f（x）≤x+1恒成立，综上，a≤2时，对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x+1恒成立．请考生再22,23,24三题中任选一题做答.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AE是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC，垂足为D．（Ⅰ）求证：AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于F，若AF=4，CF=6，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接BE，由直径所对圆周角为直角得到∠ABE=90°，由三角形相似的条件得到△ACD∽△A EB，再由相似三角形对应边成比例得AE•AD=AC•BC；（Ⅱ）由切割弦定理可得CF2=AF•BF，然后再由三角形相似求得AC的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接BE，∵AE为圆O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC，又∵∠ACD=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴，又∵AB=BC，∴AE•ED=AC•BC；（Ⅱ）解：∵CF是圆O的切线，∴CF2=AF•BF，又AF=4，CF=6，∴BF=9，∴AB=BF﹣AF=5，又∵∠ACF=∠FBC，∠F为公共角，∴△AFC∽△CFB，∴，∴AC=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为ρsin（θ+）=2．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．（I）利用cos2θ+sin2θ=1可把圆C的参数方程化为普通方程，再利用【分析】化为极坐标方程．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开可得直角坐标方程．求出圆心C到直线l的距离d，利用弦长公式|AB|=2即可得出．【解答】解：（I）圆C的参数方程为（θ为参数），化为（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（II）直线l的方程为ρsin（θ+）=2，展开化为：（ρsinθ+ρcosθ）=2，可得直角坐标方程：y+x﹣4=0．由（I）可知：圆C的圆心C（2，0），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|（1）解不等式xf（x）+3＞0；（2）对于任意的x∈（﹣3，3），不等式f（x）＜m﹣|x|恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）把f（x）的解析式代入xf（x）+3＞0，去绝对值后化为不等式组，求解不等式组得答案；（2）把f（x）＜m﹣|x|，分离变量m后构造分段函数，求解分段函数的最大值，从而得到m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|，∴xf（x）+3＞0⇔x|x﹣2|+3＞0⇔①或②，解①得：﹣1＜x≤2，解②得x＞2，∴不等式xf（x）+3＞0的解集为：（﹣1，+∞）；（2）f（x）＜m﹣|x|⇔f（x）+|x|＜m，即|x﹣2|+|x|＜m，设g（x）=|x﹣2|+|x|（﹣3＜x＜3），则，g（x）在（﹣3，0]上单调递减，2≤g（x）＜8；g（x）在（2，3）上单调递增，2＜g（x）＜4∴在（﹣3，3）上有2≤g（x）＜8，故m≥8时不等式f（x）＜m﹣|x|在（﹣3，3）上恒成立．。
广东省湛江市附城中学高二数学文模拟试题含解析
广东省湛江市附城中学高二数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10参考答案：B【考点】96：平行向量与共线向量；93：向量的模．【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．【解答】解：∵，且，∴x?2+1?（﹣4）=0，解得x=2．又∵，且，∴1?（﹣4）=y?2，解之得y=﹣2，由此可得，，∴=（3，﹣1），可得==．故选：B2. 圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先根据圆的标准方程得到分别得到两圆的圆心坐标及两圆的半径，然后利用圆心之间的距离d与两个半径相加、相减比较大小即可得出圆与圆的位置关系．【解答】解：由圆C1：（x+2）2+（y﹣2）2=1与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16得：圆C1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r，所以两圆的位置关系是外切．故选D【点评】考查学生会根据d与R+r及R﹣r的关系判断两个圆的位置关系，会利用两点间的距离公式进行求值．3. 已知随机变量的数学期望E=0.05且η=5+1，则Eη等于A. 1.15B. 1.25C. 0.75D. 2.5参考答案：B4. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是（）A. 234B. 346C. 350D. 363参考答案：B略5. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A．异面 B．平行 C．相交 D．不确定参考答案：B略6. 一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是（）A．1/6 B.1/3 C.1/2 D.5/6参考答案：B略7. 若命题，则是（）A ．B ．C ．D ．参考答案： D 略8. 命题“,”的否定为( ) A. ，B.， C.，D.，参考答案：D9. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A ．6n －2 B ．8n －2 C ． 6n +2 D ．8n +2参考答案：C由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为a 1=8； 第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为a 2=14； 第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为a 3=20， 构成首项为8，公差为6的等差数列， 所以第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.10. 已知幂函数的图像经过点，则的值为（ ）A ．2B ．C ．16D ．参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二次方程+（）+-2=0有一个根比1大，另一个根比1小,则的取值围是 .参考答案：略 12. 曲线在处的切线方程为______________参考答案： 3x-y-3=0 略13. 函数的图像为曲线，若曲线存在与直线垂直的切线，则实数的取值范围是 。
湛江市高三普通高考测试(二)数学文试题.docx
湛江市2015届高三下学期普通高考测试（二）数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则M N =I （ ）A ．MB ．NC ．{}12x x -<<D ．{}3x x <2、某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（ ）A ．15，17，18B ．15，16，19C ．14，17，19D ．15，16，203、已知向量()1,2a =-r ，()1,1b =-r ，()3,1c =-r ，则()c a b ⋅+=r r r （ ） A ．()6,3 B ．()6,3- C ．3- D ．94、已知z 是复数，i 是虚数单位，若1z i i ⋅=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --5、“11c -<<”是“直线0x y c ++=与圆221x y +=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则14a a +=（ ）A ．7B ．9C ．13D ．397、函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．4x π=-C ．8x π= D ．8x π=- 8、一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π9、运行如图的程序框图，若输入的4a =，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510、对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0．其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、若函数()21f x x ax =++是偶函数，则a = ． 12、双曲线C:221916x y -=的离心率是 ． 13、某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件2525x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该校招聘的教师最多是 名．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为31x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是 ．15、（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且F//D E A ，若34AE =EB ，则F E 的长是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）设函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为2π． ()1求ω的值；()2记C ∆AB 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若13f π⎛⎫A -= ⎪⎝⎭，且32a b =，求sin B 的值．17、（本小题满分12分）某学校对学生进行三项身体素质测试，每项测试的成绩有3分、2分、1分，若各项成绩均不小于2分且三项测试分数之和不小于7分的学生，则其身体素质等级记为优秀；若三项测试分数之和小于6分，则该学生身体素质等级记为不合学生编号1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 三项成绩 2，1，2 1，2，2 2，3，3 3，1，1 3，2，2 2，3，1 3，3，3 1，1，1 3，3，1 2，2，2 ()1利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率；()2从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取2人组成小组加强锻炼，求这2人三项测试总分相同的概率．18、（本小题满分14分）在边长为4的正方形CD AB 中，E 、F 分别是C B 、CD 的中点，M 、N 分别是AB 、CF 的中点．将该正方形沿AE 、F A 、F E 折叠，使B 、C 、D 三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．()1证明：//MN 平面F AE ；()2证明：AB ⊥平面F BE ；()3求四棱锥F E-A NM 的体积．19、（本小题满分14分）数列{}n a 的n ，前n 项和记为n S ，对任意正整数均有()241n n S a =+，且0n a >． ()1求1a ，2a 的值；()2求数列{}n a 的通项公式；()3若3n n n a b =（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ． 20、（本小题满分14分）已知以原点O 为中心的椭圆C 上一点到两焦点()1F 7,0-，()2F 7,0的距离之和为8． ()1求椭圆C 的方程； ()2设P 、Q 是椭圆C 上两点，且Q 0OP ⋅O =u u u r u u u r ，求点O 到弦Q P 的距离．21、（本小题满分14分）已知函数()x f x e =，()ln ln g x x a =-（a 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅），且函数()y f x =在0x =处的切线和()y g x =在x a =处的切线互相平行．()1求常数a 的值；()2若存在x 使不等式()x m x f x ->⋅成立，求实数m 的取值范围；()3对于函数()y f x =和()y g x =公共定义域内的任意实数0x ，把()()00f x g x -的值称为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016年广东省湛江市高三文科二模数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 函数的定义域为
A. B.
C. 或
D.
2. 已知是虚数单位，，复数，，若是纯虚数，则
A. B. C. D.
3. 根据表格中的数据用最小二乘法计算出变量，的线性回归方程为，则表格中的
值是
A. B. C. D.
4. 已知等比数列中，，，成等差数列，则公比
A. B. 或 C. 或 D.
5. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为
A. B. C. D.
6. 已知向量，，若．则
A. B. C. D.
7. 不等式确定的平面区域记为，的三个顶点分别为，，，
若将一个质点随机投入中，则质点落在区域内的概率为
A. B. C. D.
8. 设，，为平面，，为直线，则的一个充分条件是
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于
，两点，为坐标原点，若双曲线的离心率为，的面积为，则的值为
A. B. C. D.
11. 函数的图象如图所示，是的导函数，则下列式子正确的是
A.
B.
C.
D.
12. 若，使（且）恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 已知圆与直线相切，则．
14. ．
15. 若定义运算，则函数的最大值为．
16. 已知数列满足，且对于任意都有，则
．
三、解答题（共8小题；共104分）
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期及最大值；
（2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求的值．
18. 从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和
之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第七组的人数为人．
参考公式：（其中）
参考数据：
（1）求第六组的频率；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取人，记他们的身高分别为，，事件，求事件的频率；
（3）对抽取的名学生作调查，得到以下列联表：
喜欢打篮球不喜欢打篮球总计
身高超过
身高不超
总计
根据此表判断是否有的把握认为喜欢打篮球和身高超过有关系．
19. 如图，平面四边形中，，，，是上一点，
且．将该四边形沿折起，使点在平面的射影恰在上，此时．
（1）证明：平面；
（2）证明： 平面；
（3）求三棱锥的体积．
20. 已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过椭圆上任意一点作椭圆的两条切线和，切点分别为，．当点在椭圆上运动时，是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切?若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由．
21. 设函数．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）的导函数是，讨论函数的零点个数．
22. 如图，是的直径，是的切线，交于点．
（1）若为的中点，证明：；
（2）若，，求的长．
23. 在直角坐标系中，圆的方程为，以原点为极点，以轴正半
轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线的参数方程为（为参数），求圆上的点到直线的距离的取值
范围．
24. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）求函数的图象与轴围成的三角形的面积．
答案
第一部分
1. D 【解析】．
2. A
3. A
4. C
5. D
6. C
7. A
8. D 【解析】对于选项D，因为，，
所以，
又，
所以．
9. C 10. D
11. B 12. A
第二部分
13.
14.
15.
16.
第三部分
17. （1）
所以的最小正周期，最大值为．
（2）若，，所以，
所以，所以，，
，所以，
由余弦定理，得．
18. （1）由题意，第七组的频率为，
所以第六组的频率为．（2）在内的人数为人，
设为，，，．身高在的人数为人，设为，．
若时，有，，，，，共种情况．
若时，有共种情况．
若，分别在，内时，有，，，，，，，共种情况．
所以基本事件的总数为种，
事件所包含的基本事件个数有种，故满足的事件概率．（3）由题意，，
所以有的把握认为喜欢打篮球和身高超过有关系．
19. （1）因为平面，平面，
所以，
又，平面，平面，，
所以平面．
（2）因为是等腰直角三角形，，
所以．
因为，，
所以．
因为，，
所以．
所以．
所以．
所以，
又平面，平面，
所以 平面．
（3）因为，
所以．
因为平面，
所以
20. （1）因为椭圆过点，且离心率．
所以，，又，
联立解得，．
所以椭圆的方程为．
（2）设点，，．
所以切线的方程为：，
因为点也切线上，
所以，
同理可得：．
所以点，均在直线上，即直线的方程为：．所以原点到直线的距离，
因为点在椭圆上，
所以，
所以．
所以存在圆心在原点的定圆恒与直线相切．
21. （1）当时，，
所以；
所以当时，，在上是减函数；
当时，，在上是增函数；
所以当时，取得极小值为．
（2）因为函数，
令，得，
设，
所以，
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数；
所以是的极值点，且是极大值点，
所以是的最大值点，
所以的最大值为，
又，结合的图象，如图：
可知：
①当时，函数无零点；
②当时，函数有且只有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④当时，函数有且只有一个零点；
综上，当时，函数无零点；
当或时，函数有且只有一个零点；
当时，函数有两个零点．
22. （1）连接，
由已知得，，
在中，由已知可得，
所以，
连接，则，
又因为，
所以，
所以．
（2）设，
在中，，
由射影定理可得，
所以，即，
解方程可得
所以．
23. （1）圆的方程为，展开化为：，
把代入可得：圆的极坐标方程：．（2）直线的参数方程为（为参数），化为直角坐标方程：，圆的圆心，
圆心到直线的距离．
所以圆上的点到直线的距离的取值范围是．
24. （1）时：，解得：，
时：，解得：，时：，解得：，不合题意，综上，不等式的解集是．
（2），如图示：
显然，，，
故．。