基于等效时间的非线性热传导方程及其工程应用
热传导方程的应用
热传导方程的应用热传导方程（heat conduction equation）是描述热量传递过程的一种方程。
它描述了物质内部温度随时间和空间位置的变化规律，是研究热传导过程及其应用的基础。
在现代科学与工程领域中，热传导方程被广泛应用于热传导现象的模拟、热传导材料的研究、能源领域的设计与优化等方面。
首先，热传导方程在工程热传导现象的模拟中起到了关键作用。
以工况优化为目标的汽车发动机热管理系统，需要准确模拟发动机内部温度的分布与变化。
通过解热传导方程，可以建立发动机内部温度分布的数学模型，进而优化冷却系统的设计。
这种模拟与优化能够提高循环效率，降低排放，使整个系统在发动机工作过程中更加高效稳定。
其次，热传导方程在热传导材料的研究和应用中起到了重要的作用。
许多新式材料如纳米材料、陶瓷材料等，具有优异的热导性能。
通过研究热传导方程，可以了解这些材料内部的能量传输机制，从而指导新材料的设计和合成。
此外，热传导方程还可以用来计算材料的热导率和热阻，为热管理设计提供关键的物性参数。
另外，热传导方程在能源领域的应用也不可或缺。
太阳能集热器是目前广泛应用于清洁能源利用的技术，通过收集太阳辐射的热能，实现热能的转换和利用。
通过研究热传导方程，可以掌握集热板内部热传导和传热的规律，为集热器的优化设计提供理论依据。
热传导方程的应用还可以帮助我们设计高效传热设备，如换热器、蒸汽发生器等，提高能源转化效率，减少能源的浪费。
此外，热传导方程在材料加工领域也有重要的应用。
我们知道，大部分材料在制备过程中都需要加热处理。
热传导方程可以帮助我们理解热处理过程中的温度分布和变化规律，指导工程师们制定合理的加热工艺参数。
通过研究热传导方程，可以实现对材料内部结构和性能的调控，满足各种工业应用的需求。
总之，热传导方程作为一种描述热传导现象的数学模型，在科学研究和工程应用中扮演着重要角色。
通过求解热传导方程，我们可以深入了解热传导现象的机理，并可应用于工业生产、能源利用和材料加工等领域。
有限元综述.(优选)
有限元综述蔡璟、吕丹丹、李川摘要：有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法。
1965年“有限元”这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。
如今，有限元在工程上得到广泛应用。
本文首先介绍了有限元的研究背景和意义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。
关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究，边界元法，光滑粒子法，发展趋势前言有限元法（Finite Element Method）是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。
自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，解决了物理场应用中的限制。
经历几十年的发展，有限元法已经被广泛用于各个领域。
1.研究背景和意义有限元法的思想首先由 R. Courant 在 1943 年提出，十九世纪六十年代数值分析科学家认识了有限元基本思想，建立了有限元方法的数学基础。
其中，我国数学家冯康独立地提出了有限元方法，将其命名为“基于变分原理的差分格式”，对有限元方法的创始及奠基工作做出了重要贡献。
以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅广泛地被应用于各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。
fepg简介
aFEPG 系统简介系统主要思想和做法计算机发展至今，在带动社会不断发展和变化的同时，其本身也在不断的发展与进步，从机器代码到高级语言（FORTRAN/C ）再到面向对象的程序设计方法的发展，已经引领社会发生了巨大的变革，目前人们都在期待着更为方便的新一代语言的出现。
针对有限元研究领域，FEPG 为各专业的研究人员创造了一门独特的有限元语言，为各学科领域的数值计算提供了极大的方便，这种语言可以节省90%以上的软件编写代码量。
例如针对一个三维稳态热传导问题，采用FEPG 提供的有限元语言，用户只需填写以下VDE/PDE 、GCN 、GIO 等几个简单的文件即可生成全部生成有限元计算源代码。
稳态热传导控制方程：假设求解边界条件为：按照有限元方法，转化为虚功方程的弱形式：（*）对应的偏微分方程PDE 文件书写如下：disp u u 代表未知函数（温度）名coor x y z 给出总体坐标系下的坐标变量X ，Y ，Z shap c 8 c 表示六面体单元，8表示八节点单元，也可相应替换为w 4 （四面体四节点单元）等gaus 2 给出每个方向上积分点的个数 \mate ek q ek,eq 为材料参数名，后面可给定相应值 空一行stif 给出刚度矩阵dist=+[u/x;u/x]*ek +[u/y;u/y]*ek +[u/z;u/z]*ek 对应于方程（*）中的左端项 空一行load=+[u]*q 给出载荷向量，对应于方程（*）中的右端项 空一行end 结束符计算流程由以下几行语言规定：Defi 定义物理场a ell a 场采用椭圆方程求解 空一行STARTC a 初始化a 场 SOLVC a 求解a 场Ω=∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂- )zuek (z u )()(in eq y u ek y x u ek x Γ= 0in u ⎰⎰ΩΩΩ=Ω∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂ud eq d y u y u x u x u ek δδδδ)zu z u (连接GCN和PDE的GIO文件：PDE文件名# elemtype c 8 单元类型3dxyz 坐标系以上为采用FEPG独特的有限元语言来求解一个三维稳态热传导问题所需要的文件，它的书写形式接近于通常习惯的写法，采用有限元语言描述有限元方程的代码量远远低于直接采用FRORTRAN/C编程，因此可以把我们从庞大复杂的编程劳动中解脱出来，将更多精力投入到寻找合理的物理模型与更准确的算法中。
热传导问题的通用格林函数及格林函数解
=
0 ∈边界
Si
,t
> τ (9)
i = 1 ,2 , …s
初始条件 G t =τ = δ( r - r′) ec ∈区 域 R (10 ) ,
( IV)
解得本征值
λ m
,本征函数
ρcδ( r - r′)δ( t - τ) 的内热源分布. 根据能量守恒定律 ,τ时刻区域内任一空间位置处微元
dυ温度升高所吸收的热量等于其内热源产生的热量
ρcdυ[ G t =τ - G t =τ ] = ρcδ( r - r′)δ( t - τ) dυdτ
考虑到 (6) 式得
G t =τ = δ( r - r′)
产生的温度场 ,先求点源的场 ,即先求问题 ( I) 的辅助问题 ( II) 的解 —基本解.
可以证明 ,满足辅助问题 ( II) 的格林函数 G( r , t| r′,τ) 服从如下互易关系 :
G( r , t | r′,τ) = G( r′, - τ| r , - t)
(21)
根据 (21) 式 ,将 (4) 式写成以函数 G( r′, - τ| r , - t) 表示的形式 ,为
[2 ] 陆振球. 经典和现代数学物理方程. 上海 :上 海科技出版社 ,1991 ,112 —119
Generalpurpose Green Function and Green Function Solution to Heat Conduction Problems
Hu Hanping
( Department of Thermal Science and Energy Engineering , USTC)
m
N
1 (λm
)
e
热传导的数学模型与应用
热传导的数学模型与应用热传导是研究热传输过程的一种方法，它基于物质的热运动，描述了热能在空间中沿着温度梯度传导的过程。
在现实世界中，热传导的应用广泛，例如工程传热、地质传热等。
本文将介绍热传导的数学研究领域及其在应用中的一些方法和技术。
一、一维热传导的数学模型考虑一根长为L的均匀导热杆，其温度分布随时间的变化可以描述为以下偏微分方程：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，u表示温度，k是杆的热导率。
这个方程是著名的热传导方程，它描述了热传导现象的基本规律。
对于一维的情况，我们可以设计一些边界条件来求解这个方程。
例如，假设杆的两端分别接触两个热库，温度分别为$u_0$和$u_L$，则可以给出如下的边界条件：$$u(0,t)=u_0,\quad u(L,t)=u_L$$此外，还需确定初始条件，即$t=0$时的温度分布：$$u(x,0)=f(x)$$为了求解这个问题，我们可以采用变量分离法或者傅里叶变换等数学工具求解上述偏微分方程，进而得到温度分布随时间的变化规律。
这个问题在工程中有很多应用，例如热传导计算、材料热处理等。
二、二维热传导的数学模型对于二维的情况，即热传导在一个平面上进行时，我们需要引入两个空间变量$x,y$，此时热传导方程变为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$同样地，我们还需要给出边界条件和初始条件。
例如，假设平面上存在一个温度分布为$u(x,y,0)=f(x,y)$的初始温度分布，则边界条件可以取如下形式：$$u(x,0,t)=u(x,L,t)=u(0,y,t)=u(W,y,t)=0$$其中，L和W分别表示平面的长度和宽度。
数学物理方法中热传导方程的COMSOL教学应用
第40卷 第12期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 40 No.12 2020年 12月 Journal of Science of Teachers′College and University Dec. 2020文章编号：1007-9831（2020）12-0083-06数学物理方法中热传导方程的COMSOL教学应用王鹏1，王清亮1，左旭东2，张冬梅3（1. 忻州师范学院 物理系，山西 忻州 034000；2. 江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001；3. 大连理工大学 物理学院，辽宁 大连 116024）摘要：数学物理方法是物理专业的一门必修课程，由于具有较多数学技巧以及物理图像不直观等特点，授课与学习的难度均较大．以热传导方程的学习内容为例，论述了如何利用COMSOL Multiphysics有限元分析软件实现可视化和探究性教学，使学生更深刻地理解数学方程中的物理内涵并建立正确的物理图像，减轻教师的授课负担并提高学生的学习效果．关键词：COMSOL Multiphysics；数学物理方法；热传导方程中图分类号：O411.1∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2020.12.019The application of COMSOL software on the thermal conduction equation inmethods of mathematical physicsWANG Peng1，WANG Qingliang1，ZUO Xudong2，ZHANG Dongmei3（1. Department of Physics，Xinzhou Teachers University，Xinzhou 034000，China；2. School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001，China；3. School of Physics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）Abstract：Methods of mathematical physics is a compulsory course in physics major．Due to the characteristics of many necessary mathematical skills involved and unintuitive physical images，both teaching and learning are difficult．In order to achieve the visualization teaching and inquiry teaching，based on an example of thermal conduction equation，a COMSOL Multiphysics software based on finite analysis method is utilized，which makes students have deeper understanding on the physical connotation of mathematical equations and establish correct physical picture．The application of COMSOL software reduces the teaching burden of teachers and improves the learning effect of students．Key words：COMSOL Multiphysics；methods of mathematical physics；thermal conduction equation数学物理方法是物理学以及部分工科专业本科生必修的一门重要科目，旨在丰富学生的知识技能储备以及培养学生利用数学技能解决物理问题的能力．因此，这门课程不仅物理内容较多，而且涉及大量的高等数学知识，如复变函数、微积分和级数等，学生普遍反映学习难度较大，学习积极性不高．繁琐的数学推导也使得学生更关注“数学”技能的提高而忽略了“物理”内涵的理解；另外，数学物理方法课程还存在考核方式单一、教学时效性不强等不足[1]．目前，数学物理方法课程的教学方式仍以课堂讲授为主．无论是以往的板书教学还是如今的多媒体教学，都能够较好地做到数学公式的推导和数学思想的传达；但是如何让学生更直观地获得物理图像仍力有未逮，尤其在传统的板书教学过程中较难实现．即使是采用多媒体教学方式，也很难找到或者绘制贴合教材的相关素材用于直观展示物理图像，如果采用板书教学的方法绘图则更加不易，要想进一步实现学生自收稿日期：2020-08-12基金项目：山西省高等学校科技创新项目（2020L0538）；山西省高等学校教学改革创新项目（J2019169）；忻州师范学院科研基金项目（2019KY06）作者简介：王鹏（1991-），男，辽宁大连人，讲师，博士，从事碳纳米材料基础物性及应用研究．E-mail：**********************84 高 师 理 科 学 刊 第40卷 主深入学习、拓展思路、发散思维的目标就更难了．因此，如何在教学过程中实现“数学方法”与“物理图像”的有机结合成为提高教学效果必须要解决的问题．计算机仿真是一种能够实现物理图像展示的有效手段，已经被广泛使用于大学教学中．宋彦琦[2]等人利用Matlab 软件编程实现了复变函数方程以及波动方程定解问题的求解．但是编程方法不易掌握，对学生直观理解物理问题也并无明显益处．相比之下，COMSOL Multiphysics 软件是一款大型多物理场数值仿真软件，具有上手较快、操作便捷和可视性强的特点，能够根据实际需求建立物理模型，并将数学方程的数值求解结果以曲线图、分布图等图像的形式直观展示出来，体现了“数形结合”的思想．另外，COMSOL 软件涵盖了物理、化学、工程等多个科学领域的计算模块，能够满足教学和科研的需要．目前，已有不少学科的本科专业课使用这一软件辅助教学，如物理专业的电磁学[3-6]、模拟电子技术[7]等课程，甚至部分研究生的课程教学也采用这一软件[8-16]，取得了较好的成果．本文针对数学物理方法课程在教学过程中存在的重“数学”而轻“物理”的问题，利用COMSOL 软件求解一个空心圆柱体热传导模型，明确热传导方程的物理含义和3类边界条件的物理概念，展示数学方程中隐藏的物理图像．结合COMSOL 软件开展教学可以激发学生的自主学习动力并提高学生的思维发散能力和探索能力，实现探究性学习和翻转课堂的教学模式，提高学习效果．1 空心圆柱体的热传导方程及边界条件本文以一个空心圆柱的热传导模型（见图1）为例来展开说明．空心圆柱体的内、外半径（内R ，外R ）以及高度（h ）分别为0.05，0.15，0.2 m．图1 空心圆柱体 热传导方程一般可写为 (,)(,)(,)T r t c k T r t F r t tr ¶-D =¶r r r （1） 其中：T 是待求温度，与时间和空间均有关；t 为时间；F 为热源强度；c k ，，r 分别为热导率、密度和比热容．等号左边第１项就是初中时就学习过的单位体积内物体温度变化与外界所交换的热量（V T cm V q D =0，0q 和V 分别是物体吸收/释放的热量和物体体积），第２项则表示单位时间内以热传导形式流入该单位体积的热量．因此，方程（1）的物理本质就是能量或者说热能守恒．在本例中，认为空心圆柱体中无热源，则()0=t r F ，，该方程变为齐次方程．如果只想知道圆柱体达到热平衡状态时的温度分布而不研究温度随时间的变化，则方程（1）将化为拉普拉斯方程 (,)0T r t D =r （2） 要求解热传导方程，必须要给定初始条件和边界条件，圆柱体的初始温度被设定为20 ℃（293.15 K）．数学物理方法课程中常见的边界条件可以分为3类：第1类边界条件是直接规定待求物理量的取值．在本例中，空心圆柱的内表面被视为与一个恒温热源 接触，温度被固定为室温60 ℃（333.15 K），即高度h 内表面 上/下表面 外表面 R 内R 外第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 85|333.15 K r R T ==内 （3）第2类边界条件是规定待求物理量在边界外法线方向上的方向导数．对一个给定的边界截面，傅里叶热传导定律可以写为 T q k n ¶=-׶r （4） 其中：q r 是单位面积内的热流量，即热流密度；负号表示热量是逆温度梯度方向传导的．因此，对于给定热导率的空心圆柱体来说，规定外法线方向导数等价于直接定义热流密度．显然，热流密度是一个更具有直观物理意义的量，可以将边界处的热流密度直接视为第2类边界条件．本例中，将空心圆柱体的外表面设置为绝热条件，即圆柱体与外界不能通过外侧表面与外界环境进行热交换 |0r R T k n=¶-×=¶外 （5） 第3类边界条件规定了边界处待求物理量与待求物理量外法线方向上方向导数之间的线性关系，有时也称作混合边界条件．本例设定圆柱体的上下2个表面与外界存在热交换，根据牛顿冷却定律，在该表面设置第3类边界条件 0,ext |()z h f T k h T T n=¶-×=×-¶ （6） 其中：f h 为空心圆柱上下表面的对流换热系数；ext T 表示外界环境温度．等号左边表示圆柱表面因存在温度梯度而流通的热量，右边表示由于环境中热对流的存在而交换的热量．这样看就会发现，公式（6）的物理意义就是在圆柱体的上下2个表面不会有热量的持续累积和损耗，热量的流动是连续的，这也符合直观认知．通过给定f h 的值和环境温度ext T ，就可以得到确定的第3类边界条件．2 利用COMSOL Multiphysics 软件求解空心圆柱体热传导模型2.1 物理模型的构建由于空心圆柱具有中心对称结构，因此在用COMSOL Multiphysics 仿真软件构建模型时无需构建三维模型，选择“二维轴对称”模型，可以减少计算量和计算时间．利用COMSOL 软件绘制的矩形（见图2），其位置和大小均可在软件中任意更改．本例中矩形的宽度和高度分别为0.1，0.2 m，左下角顶点的坐标为（0.1，0 m）．r =0处的红线表示旋转轴，矩形绕轴旋转一圈即可得到与图1所示同尺寸的空心圆柱体．COMSOL 软件内置了多种材料的基本物理特性参数，在仿真过程中可以直接对仿真模型添加材料并调用相关参数．空心圆柱体的材料被设置为铁，其密度、比热容和热导率分别为7 870 kg/m 3，440 J/（kg·K），76.2W/(m·K)．由于本文研究的是空心圆柱体的热传导问题，因此选择软件中自带的“固体传热”模块进行仿真计算．86 高 师 理 科 学 刊 第40卷 该模块已经内置了热传导方程，无需修改，只需进行边界条件和初始条件的设置即可．利用COMSOL 软件设置初始温度条件的界面见图3a．可以看到，COMSOL 软件的界面对用户非常友好，直接在输入框内输入数值即可．根据对空心圆柱体初始温度的设定，此处输入“293.15 K”．利用COMSOL 软件设置第1类边界条件的界面见图3b ．设置一栏中，在“边界选择”中选择矩形的左边（这一条边经绕轴旋转后即形成空心圆柱体的内表面），表示要对这一条边进行物理条件的设置．其下方“方程”中展示了一个关于温度的公式，表示此处设置的物理含义是温度边界条件．在温度输入框中输入“333.15 K”，即可完成了第1个边界条件的设置．设置圆柱外表面绝热和上下表面热对流边界条件时的软件界面分别见图3c~d，与对空心圆柱体的边界条件设定的操作基本一致．通过以上操作，可以使学生对数学方程、初始条件和边界条件有更直观的认识，有利于深入理解数学公式背后的物理内涵．2.2 仿真结果与讨论点击COMSOL 软件中的“物理场控制网格”实现空心圆柱体的网格自动剖分，本案例中将网格数设置为360．由于本案例求解的是空心圆柱体热稳定状态温度分布，因此研究模式选择“稳态”（此时软件自动将要求解的方程设定为拉普拉斯方程）；点击“计算”按钮，软件开始自动求解数学方程并输出物理图像，使用普通笔记本电脑的计算时间仅需约2 s．f h =100 W/（m 2·K）时，空心铁圆柱体的温度分布情况见图4a~b．可以看到圆柱体的温度从内表面（333.15 K）向外表面（约328 K）逐渐降低，同时上下表面的温度比圆柱体的中央区域要低，这是上下表面与温度较低的外界环境（293.15 K）存在热交换的边界条件导致的必然结果；等温线自左向右（对应空心圆柱体由内而外）逐渐稀疏，表示温度梯度的绝对值逐渐减小；由于圆柱体上下表面与外界存在热交换，因此，上下表面的温度沿径向方向降低得比其内部要快，导致上下表面附近的等温线分布比中央更密集．结果表明，COMSOL 软件能够展示热传导方程中的待求温度函数在给定的初始条件和边界条件下是如何分布a 整体设置初始温度条件（293.15 K）b 内表面设置为第1类边界条件（温度333.15 K）第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 87 的，使学生不仅能够很好地理解边界条件的概念，还能够直观地把数学方程与物理图像联系起来．在满足教学需求的基础上，COMSOL 软件还自带有“参数化扫描”功能，可以赋予某个条件任意多的数值，用于研究该条件对仿真结果的影响．在本例中，通过赋予空心圆柱体表面对流换热系数()f h 3个不同的数值，研究了表面对流换热情况对其空心圆柱体热传导过程的影响．圆柱上下表面在具有不同换热系数的条件下，其温度沿径向方向的变化曲线见图4c．可以看到，空心圆柱体的温度沿着径向向外逐渐降低，且斜率逐渐趋于0，与图4a 和图4b 的结果一致．另外，随着f h 取值的增加，空心圆柱体外侧的温度逐渐降低，这是由于f h 的增大使圆柱体通过上下表面向低温外界环境释放出了更多的热量，导致处于热绝缘状态的外表面从圆柱内侧吸收到的热量较少，因此温度较低．在仿真过程中，计算热传导方程中温度函数的空间分布仅是COMSOL 软件的结果之一，软件已经把所有热物理参数的分布进行了计算并保存在模型中．因此，对学有余力的学生，教师可以引导其进一步深入思考和探索，利用COMSOL 软件展示更多的结果．例如：圆柱体上下表面的换热边界条件既然能够影响圆柱体的温度分布，那热流量究竟是多大，与空间位置以及表面换热系数的大小是否有关．要得到以上结论只需要在软件中将之前展示的纵坐标“温度”替换为“热流密度”．空心圆柱体上表面的热流密度沿径向方向的变化曲线见图4d．可以看到，上表面的热流量密度沿着径向向外逐渐降低，这是由于空心圆柱体的内侧温度较高，与外界环境温差较大，因此热流量密度较大．由此可见，f h 与圆柱体表面的热流密度成明显的正相关关系，提高f h 有助于圆柱体的散热，而降低f h 则有助于圆柱体的保温．f h 取值的数量和大小均可在COMSOL 软件中根据教学和研究需求进行自定义设置．通过COMSOL 软件还可以对空心圆柱体的初始温度、内表面温度等初始条件和边界条件进行修改或赋予不同的取值，从而进一步研究不同条件对热传导过程的影响，这样不仅能够使学生对热传导现象的理解更加深入，更能调动学生学习的主观能动性．在实际的教学过程中，还可以将学生们提前分组，分别研究不同物理条件对空心圆柱体热传导过程的影响，在课堂上互相交流学习，从而实现翻转课堂教学模式和探究性学习模式，锻炼学生的探究能力，提高科学素养．最终完成的计算结果可以保存为一个单独的工程文件（.mph 格式），便于学生上交和教师检查，也有利于保存记录和用于交流学习．这些操作不仅可以使用在热传导方程的学习上，对数学物理方法课程中的其它内容同样有效．在学习结束后，教师可以结合实际应用与课程内容出题，=100 W·（m ·K）时空心圆柱体的等温线分布/℃88 高 师 理 科 学 刊 第40卷让学生开展调研后将实际问题转化为仿真模型，制作并上交仿真案例．这个过程既可以作为课后作业发布，也可以作为期末考试的一种新载体，未来甚至可以在数学物理方法课程中设置计算机实践课时，进一步实现教学模式和考核模式的改革．利用COMSOL软件辅助教学可以实现物理概念的理解、模型的建立和仿真结果的可视化展示等目的，是一种能够让学生更好地预习、学习和复习的有效手段．不仅能够使学生直观建立物理图像，理解数学方程背后的物理内涵，还可以让学生将理论知识与实际应用联系起来，提高认识问题和解决问题的能力．3 结论本文以空心圆柱体为例，利用COMSOL Multiphysics软件实现了热传导过程的物理图像的可视化教学，帮助学生进一步理解3类边界条件和热传导方程的物理内涵．COMSOL软件具有操作简单、可视性强的特点，集教、学、研多种功能于一体，加强了数学公式与物理图像和实际应用之间的关联性，同时减少学生的畏难心理和教师的授课压力．该软件的使用有助于激发学生的主观能动性，利于探究性学习和翻转课堂教学模式的开展；能够让教师和学生在教与学的过程中更加关注数学方程背后的物理概念与物理思想，让学生在掌握数学技能的同时，实现领悟物理思想、使用数学工具解决实际物理问题的教学目标．COMSOL 软件的应用为课后作业和能力考核提供了一种全新的方式，是实现新时代教学改革的有效手段．参考文献：[1] 周天．“数学物理方法”课程的教学认识和改革探索[J]．教育教学论坛，2020（10）：316-317[2] 宋彦琦，刘冬桥，李小龙，等．引入计算机仿真的数学物理方法教学改革探索[J]．高教学刊，2020（4）：125-127，130[3] 徐亚东，周航，高雷．信息技术优化教学方案 提升教学效果——以COMSOL在电磁学中的应用为例[J]．物理通报，2019，（12）：22-24[4] 刘国强，闫孝姮，赵筱赫．电磁场中稳恒磁场的COMSOL教学应用[J]．中国现代教育装备，2019（19）：9-10，13[5] 王晓华．在“电磁场理论”教学中的COMSOL有限元软件的应用研究[J]．黑龙江科学，2017，8（19）：79-81[6] 黄爱凤．物理仿真软件在物理教学中的应用探讨——以“变压器”教学为例[J]．物理之友，2017，33（5）：47-49[7] 周腾，王瀚林，史留勇，等．COMSOL Multiphysics在《模拟电子技术》教学改革中的应用[J]．教育教学论坛，2017（24）：237-238[8] 张杰，陈煅，郭佳瑶，等．COMSOL有限元分析方法在循环伏安法教学中的应用[J]．化学教育，2019，40（20）：75-79[9] 吴宏伟，方羽，权家琪．以波动光学模块为例探究COMSOL在教学改革中的应用[J]．科教文汇，2019（9）：80-82[10] 邱伟彬，林志立．利用COMSOL仿真进行二维光子晶体的教学[J]．高教学刊，2019（7）：84-86[11] 黄勇刚．利用COMSOL提升研究生表面等离激元光学的教学质量——以表面等离激元光波导为例[J]．科技视界，2019（19）：67-68[12] 张赛，胡光华，许伯强，等．基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真分析在《固体中的超声导波》教学中的应用[J]．中国多媒体与网络教学学报，2018（5）：14-15[13] 辛锋先，刘学伟，伍晓红，等．COMSOL可视化仿真在声学理论课程中的应用与实践[J]．高教学刊，2018（24）：1-4[14] 孔为，肖建昆，陈代芬．Comsol Multiphysics在“节能技术”教学中的应用[J]．科技资讯，2013（6）：209[15] 邓科，关珺珺．基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真模拟在《理论声学》教学中的应用：缺陷态的分析[J]．科技创新与应用，2016（18）：22-23[16] 李晓东，梁婕，李忠武，等．计算机仿真在环境系统工程教学中的应用[J]．广州化工，2015，43（19）：160-161。
COMSOL软件在流体、结构、传热等多物理场耦合领域的应用.docx
Subsurface Flow Module基于地下水流动分析地球物理现象2 000 years在建的核废料储存库,用于在接下来的10万年内储存乏燃料棒。
该模型模拟的情形是: 燃料束套筒发生破裂,导致核废料通过周闌的岩石裂隙发生渗漏,并回充到上方的隧道中。
饱和与变饱和渗流地卜水流动模块面向需要仿真地卞或其他多孔介质中的流体流动的工程师和科学家们，并且还可以将这种流动过程与其他现象建立联系，例如多孔弹性、传热、化学反应和电磁场等。
它可以用于模拟地下水流动、废料与污染物在土壤中的扩散、油与气体的流动，以及由于地下水开采而引发的土地沉陷等现彖。
地下水流动模块可以模拟管道流、饱和与变饱和多孔介质或裂隙中的地下水，并可与传质、传热、地球化学反应和多孔弹性等模型相耦合。
许多不同的行业需要面对岩土物理和水力领域的挑战。
民事、采矿、石油、农业、化工、核能和坏境工程等领域的工程师经常需要考虑这些现象，因为他们从事的行业会直接或间接（通过环境因素）影响我们生存的地球环境。
地下水渗流影响许多地球物理属性地卜•水流动模块内包含了许多专用的接11,用于模拟地卞环境中的流动及其他现彖。
作为物理接II,它们可以与地下水流动模块内的其他任意物理接11组合并直接耦合，或与COMSOL模块套件中任何其他模块的物理接II组合并直接耦合。
例如，地下水流动模块的多孔弹性模型与左土力学模块中的描述土壤和岩石的非线性固体力学模型相耦合。
融合地球化学反应速率和动力场COMSOL使您可以在地卞水流动模块物理接I I中的编辑区域内灵活地输入任意公式，这对于在质量传递接II中定义地球化学反应速率和动力场非常有用。
但是，将这些物理接II 与化学反应工程模块耦合将意味着,您可以通过该模块易用的物理接II定义化学反应，模拟多个多物质反应。
对于模拟核废料数T•年间在其储存库中的扩散及多步反应过程，这两种模块的组合会很有用。
更多图片Time =86400 Surfge■: Effecth/e saturation (1) Contour: Pressure heotf (m> 0O1 -0.2 0304 0506 0.708 09•1•1.14.2•1.3095690-85.0.80-7 &0.7▼ 0.6843地下水流动的仿真物理接口地下水流动模块用于仿真多孔介质流动及其相关过程：多孔介质流动地卜水流动模块的核心功能是模拟变饱和与完全饱和多孔介质中的流动。
有限元第12章 热传导问题
第12章热传导问题1. 引言2. 稳态热传导问题33. 瞬态热传导问题一般格式直接积分法模态叠加法解的稳定性与时间步长选择44. 热应力的计算1.1 典型加工方法中的传热问题焊接汽车各个典型部件的加工方法注塑冲压铸造1.1典型加工方法中的传热问题焊接注塑铸造锻压1.1 典型加工方法中的传热问题注塑1.1 典型加工方法中的传热问题焊接1.1 典型加工方法中的传热问题铸造1.1 典型加工方法中的传热问题锻压冷冲热冲1.1 典型加工方法中的传热问题⏹传热问题广泛出现在材料加工领域⏹温度场与宏观力学性能和微观组织变化关系密切1.2 温度场基本方程微分方程边界条件初始条件1.2 温度场基本方程退化为二维问题1.2 温度场基本方程退化为稳态问题稳态热传导问题以前各章所讨论的弹性静力学问题相同，采用C0型插值函数的有限单元进行离散以后，可以直接得到有限元求解方程。
瞬态热传导问题，在空间域有限元离散后，得到的是一阶常微分方程组，不能对它直接求解。
如何进行求解，原则上和下—章将讨论的动力学问题类同，可以采用模态叠加法或直接积分法。
热能传递的三种基本方式：1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热对流：是指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
热对流仅能发生在流体中。
包括自然对流与强制对流，前者是由于流体冷、热各部分的密度不同而引起的；括自然对流与强制对流前者是于流体冷热各部分的密度不同而引起的；后者是由于水泵、风机或其他压差作用所造成的。
Th q ∆=牛顿冷却公式为表面换热系数，不仅取决于流体物性，以及表面形状等，还与流体速度有密切关系。
h1.2 温度场基本方程1.2 温度场基本方程热能传递的三种基本方式：热辐射：物体通过电磁波来传递能量的方式称为辐射。
物体会因各种原因发出辐射能，其中因热的原因而发出辐射能的现象称为热辐射。
Stefan-Boltzmann定理其中为热力学温度（K），为环境温度，为Stefan-Boltzmann常量i i it)理想黑体其值等于般量。
MSC.Nastran软件介绍(详尽版)
作为世界CAE工业标准及最流行的大型通用结构有限元分析软件, MSC.NASTRAN的分析功能覆盖了绝大多数工程应用领域,并为用户提供了方便的模块化功能选项,MSC.NASTRAN的主要功能模块有:基本分析模块(含静力、模态、屈曲、热应力、流固耦合及数据库管理等)。
动力学分析模块、热传导模块、非线性分析模块、设计灵敏度分析及优化模块、超单元分析模块、气动弹性分析模块、 DMAP用户开发工具模块及高级对称分析模块。
除模块化外, MSC.NASTRAN还按解题规模分成10,000节点到无限节点,用户引进时可根据自身的经费状况和功能需求灵活地选择不同的模块和不同的解题规模, 以最小的经济投入取得最大效益。
MSC.NASTRAN及MSC的相关产品拥有统一的数据库管理,一旦用户需要可方便地进行模块或解题规模扩充, 不必有任何其它的担心。
MSC.NASTRAN以每年一个小版本, 每两年一个大版本的速度更新, 用户可不断获得当今CAE发展的最新技术用于其产品设计。
目前MSC.NASTRAN的最新版本是1999年发布的V70.5版。
新版本中无论在设计优化、 P单元、热传导、非线性还是在数值算法、性能、文档手册等方面均有大幅度的改进或突出的新增功能。
以下将就MSC.NASTRAN不同的分析方法、加载方式、数据类型或新增的一些功能做进一步的介绍:⒈静力分析静力分析是工程结构设计人员使用最为频繁的分析手段, 主要用来求解结构在与时间无关或时间作用效果可忽略的静力载荷(如集中/分布静力、温度载荷、强制位移、惯性力等)作用下的响应, 并得出所需的节点位移、节点力、约束(反)力、单元内力、单元应力和应变能等。
该分析同时还提供结构的重量和重心数据。
MSC.NASTRAN支持全范围的材料模式,包括: 均质各项同性材料,正交各项异性材料, 各项异性材料,随温度变化的材料。
方便的载荷与工况组合单元上的点、线和面载荷、,热载荷、强迫位移,各种载荷的加权组合，在前后处理程序MSC.PATRAN中定义时可把载荷直接施加于几何体上。
CAE及其运用概述
CAE及其运用概述引言：CAE(Computer Aided Engineering)是用计算机辅助求解复杂工程和产品结构强度、刚度、屈曲稳定性、动力响应、热传导、三维多体接触、弹塑性等力学性能的分析计算以及结构性能的优化设计等问题的一种近似数值分析方法。
CAE从60年代初在工程上开始应用到今天，已经历了30多年的发展历史，其理论和算法都经历了从蓬勃发展到日趋成熟的过程，现已成为工程和产品结构分析中(如航空、航天、机械、土木结构等领域)必不可少的数值计算工具，同时也是分析连续力学各类问题的一种重要手段。
随着计算机技术的普及和不断提高，CAE系统的功能和计算精度都有很大提高，各种基于产品数字建模的CAE系统应运而生，并已成为结构分析和结构优化的重要工具，同时也是计算机辅助4C系统(CAD/CAE/CAPP/CAM)的重要环节。
CAE系统的核心思想是结构的离散化，即将实际结构离散为有限数目的规则单元组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散体进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析，这样可以解决很多实际工程需要解决而理论分析又无法解决的复杂问题。
其基本过程是将一个形状复杂的连续体的求解区域分解为有限的形状简单的子区域，即将一个连续体简化为由有限个单元组合的等效组合体；通过将连续体离散化，把求解连续体的场变量(应力、位移、压力和温度等)问题简化为求解有限的单元节点上的场变量值。
此时得到的基本方程是一个代数方程组，而不是原来描述真实连续体场变量的微分方程组。
求解后得到近似的数值解，其近似程度取决于所采用的单元类型、数量以及对单元的插值函数。
根据经验，CAE各阶段所用的时间为：40%～45%用于模型的建立和数据输入，50%～55%用于分析结果的判读和评定，而真正的分析计算时间只占5%左右。
针对这种情况，采用CAD技术来建立CAE的几何模型和物理模型，完成分析数据的输入，通常称此过程为CAE的前处理。
MSC.NASTRAN的分析功能
MSC.NASTRAN的分析功能作为世界CAE工业标准及最流行的大型通用结构有限元分析软件, MSC.NASTRAN的分析功能覆盖了绝大多数工程应用领域,并为用户提供了方便的模块化功能选项,MSC.NASTRAN的主要功能模块有:基本分析模块(含静力、模态、屈曲、热应力、流固耦合及数据库管理等)。
动力学分析模块、热传导模块、非线性分析模块、设计灵敏度分析及优化模块、超单元分析模块、气动弹性分析模块、DMAP用户开发工具模块及高级对称分析模块。
除模块化外, MSC.NASTRAN还按解题规模分成10,000节点到无限节点,用户引进时可根据自身的经费状况和功能需求灵活地选择不同的模块和不同的解题规模, 以最小的经济投入取得最大效益。
MSC.NASTRAN及MSC的相关产品拥有统一的数据库管理,一旦用户需要可方便地进行模块或解题规模扩充, 不必有任何其它的担心。
MSC.NASTRAN以每年一个小版本, 每两年一个大版本的速度更新, 用户可不断获得当今CAE发展的最新技术用于其产品设计。
目前MSC.NASTRAN的最新版本是1999年发布的V70.5版。
新版本中无论在设计优化、P单元、热传导、非线性还是在数值算法、性能、文档手册等方面均有大幅度的改进或突出的新增功能。
以下将就MSC.NASTRAN不同的分析方法、加载方式、数据类型或新增的一些功能做进一步的介绍:⒈静力分析静力分析是工程结构设计人员使用最为频繁的分析手段, 主要用来求解结构在与时间无关或时间作用效果可忽略的静力载荷(如集中/分布静力、温度载荷、强制位移、惯性力等)作用下的响应, 并得出所需的节点位移、节点力、约束(反)力、单元内力、单元应力和应变能等。
该分析同时还提供结构的重量和重心数据。
MSC.NASTRAN支持全范围的材料模式,包括: 均质各项同性材料,正交各项异性材料, 各项异性材料,随温度变化的材料。
方便的载荷与工况组合单元上的点、线和面载荷、,热载荷、强迫位移,各种载荷的加权组合，在前后处理程序MSC.PA TRAN中定义时可把载荷直接施加于几何体上。
热传导问题高效并行算法设计与实现研究
热传导问题高效并行算法设计与实现研究一、热传导问题概述热传导问题，作为物理学中的一个重要分支，主要研究热量在物体内部或不同物体之间的传递过程。
在工程应用中，热传导问题广泛存在于电子设备散热、建筑节能、材料加工等多个领域。
随着现代科技的发展，对于热传导问题的精确模拟和高效计算需求日益增长，这促使了高效并行算法设计与实现研究的不断深入。
1.1 热传导问题的基本理论热传导问题基于傅里叶热传导定律，该定律指出，热量的传递速率与物体内部温度梯度成正比，并且热量总是从高温区域向低温区域传递。
在三维空间中，热传导方程可以表示为偏微分方程的形式，即：\[\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \right)\]其中，\( T \) 表示温度，\( \alpha \) 为热扩散率，\( t \) 为时间，\( x, y, z \) 为空间坐标。
1.2 热传导问题的数值方法为了求解热传导方程，常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法等。
这些方法通过将连续的偏微分方程离散化为代数方程组，从而利用计算机进行求解。
然而，随着问题的规模增大，传统的串行算法在计算效率和处理能力上逐渐显得力不从心，因此，研究高效的并行算法成为了解决大规模热传导问题的关键。
二、高效并行算法设计在并行计算领域，算法设计的核心目标是提高计算效率和缩短计算时间。
针对热传导问题，高效并行算法的设计主要涉及以下几个方面：2.1 并行计算模型并行计算模型是实现并行算法的基础，常见的并行计算模型包括共享内存模型（如OpenMP）和分布式内存模型（如MPI）。
在热传导问题中，根据问题的规模和复杂度，选择合适的并行计算模型对于算法性能有着重要影响。
应用于非线性热传导方程的格子玻尔兹曼方法
应用于非线性热传导方程的格子玻
尔兹曼方法
格子玻尔兹曼（Lattice Boltzmann）方法是一种近似求解非线性热传导方程的数值方法，它将微分方程表示为一系列的离散的布朗运动方程。
该方法利用物理量的随机变化来描述流体在多维空间中的运动，并模拟传统的热力学方法。
格子玻尔兹曼方法首先将空间划分为一系列的网格单元，并将每个网格单元内的传热和流动过程用离散的布朗运动方程来描述。
然后，基于离散布朗运动方程，根据热传导的物理原理，利用粒子的碰撞和扩散，从而得到空间上的温度场。
最后，由于温度场的不断改变，引起的流动也会改变，从而模拟出热传导的实际情况。
因此，格子玻尔兹曼方法通过将非线性热传导方程表示为离散布朗运动方程，并利用粒子的碰撞和扩散来模拟热传导，可以较好地模拟非线性热传导方程的实际情况。
基于有限元方法的热传导分析及其工程应用
基于有限元方法的热传导分析及其工程应用热传导是热力学中的一个重要现象，它描述了热量在物体中的传递过程。
在许多工程领域中，对热传导进行准确的分析和预测至关重要。
有限元方法是一种常用的数值模拟方法，可以有效地用于热传导分析，并在工程实践中得到了广泛的应用。
1. 有限元方法简介有限元方法是一种将复杂问题离散化为简单问题的数值方法。
它将需要求解的区域划分为有限数量的子区域，称为单元。
通过在每个单元上建立适当的数学模型，并考虑其边界条件，可以得到整个区域的近似解。
有限元方法可以应用于不同的物理场问题，例如结构力学、热传导、流体力学等。
2. 热传导的数学模型热传导过程可以用热传导方程表达。
对于三维空间中的热传导问题，热传导方程可以写作：∇·(k∇T) + q = ρCp∂T/∂t其中，T是温度分布，k是热导率，q是体积源项，ρ是密度，Cp是比热容。
这是一个偏微分方程，可通过有限元方法进行离散化求解。
3. 有限元离散化过程为了使用有限元方法解决热传导问题，首先需要将待求解区域划分为有限数量的单元。
常见的单元形状有三角形、四边形单元等。
然后，在每个单元内选择适当的插值函数来近似温度场的分布。
通过在每个单元上建立局部方程，并将它们组装成一个整体方程，可以得到一个线性方程组。
通过求解这个方程组，可以得到整个区域的温度分布。
4. 边界条件的处理在热传导问题中，边界条件起着重要的作用。
边界条件可以分为温度边界条件和热通量边界条件。
温度边界条件指定了边界上的温度值，而热通量边界条件指定了热量在边界上的传递速率。
在有限元方法中，通过在网格节点处施加相应的边界条件，可以得到方程组的边界条件部分。
5. 工程应用基于有限元方法的热传导分析在工程中有着广泛的应用。
以热导率为例，对于材料的选取和设计，了解其热导率的分布是非常重要的。
有限元方法可以对材料的热导率进行模拟和预测，从而指导工程设计和优化。
同时，在导热设备的设计中，有限元方法也可以用来评估材料的热传导性能，确定热传导路径，优化传热效果。
考虑外界温度影响的水管冷却等效热传导方程
考虑外界温度影响的水管冷却等效热传导方程一、本文概述在热传导研究中，水管冷却是一个重要的应用场景，涉及到工业、建筑、能源等多个领域。
然而，在实际的水管冷却过程中，外界温度往往会对冷却效果产生显著影响。
因此，本文旨在研究并建立一个考虑外界温度影响的水管冷却等效热传导方程。
本文将首先回顾热传导的基本理论，并讨论水管冷却的基本原理。
在此基础上，将分析外界温度对水管冷却过程的影响机制，并建立相应的数学模型。
通过该模型，我们可以更准确地预测和控制水管冷却过程中的热传导行为，从而提高冷却效率并减少能源浪费。
本文还将对所建立的等效热传导方程进行验证和讨论，通过与实际实验数据的对比，验证其准确性和适用性。
还将讨论该方程在不同应用场景下的应用潜力和限制，为相关领域的研究和实践提供有价值的参考。
本文旨在通过建立一个考虑外界温度影响的水管冷却等效热传导方程，为水管冷却过程提供更精确的理论支持和实际应用指导。
二、热传导基本原理热传导是热量从物体的高温部分传至低温部分，或由高温物体传至低温物体的过程。
这一现象的本质是物体内部微观粒子（如原子、分子或电子）之间由于温度差异而产生的热能交换。
在热传导过程中，能量传递的方式主要有热传导、热对流和热辐射三种形式。
对于水管冷却而言，热传导过程尤为关键。
当水流经水管时，由于水管壁与周围环境的温度差异，热量会由水管内部的高温水流传递至低温的水管壁，进而通过水管壁向外传递至周围环境。
这一过程中，热传导速率受到多种因素的影响，包括水管材料的导热性能、水管壁的厚度、周围环境的温度以及热量传递的距离等。
当考虑外界温度的影响时，热传导过程将变得更为复杂。
外界温度的变化会直接影响水管壁与周围环境之间的热量交换速率，从而改变水管内部的冷却效果。
例如，在高温环境中，水管壁与外界环境的温差增大，热传导速率加快，可能导致水管内部的水温下降速度减缓；而在低温环境中，热传导速率减慢，则可能加速水管内部的水温下降。
非线性偏微分方程在材料科学中的应用研究
非线性偏微分方程在材料科学中的应用研究非线性偏微分方程是材料科学中常见的数学模型之一，它广泛应用于材料科学的研究中。
在材料科学中，非线性偏微分方程可以用来描述材料的物理特性、变形、变化等现象，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
非线性偏微分方程的研究始于20世纪初，随着计算机技术的发展和数值计算方法的不断改进，非线性偏微分方程的研究得到了迅速发展。
目前，非线性偏微分方程已经成为材料科学中不可或缺的数学模型之一。
在材料科学中，非线性偏微分方程可以用来描述材料的各种物理特性。
例如，热传导方程可以用来描述材料的热传导特性；弹性方程可以用来描述材料的弹性特性；扩散方程可以用来描述材料中各种物质的扩散过程等等。
这些方程可以帮助我们更加深入地了解材料的物理特性，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
除了描述材料的物理特性外，非线性偏微分方程还可以用来描述材料的变形和变化过程。
例如，Navier-Stokes方程可以用来描述流体在材料中的运动；Maxwell方程可以用来描述电场和磁场在材料中的变化等等。
这些方程可以帮助我们更加深入地了解材料的变形和变化过程，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
在实际应用中，非线性偏微分方程往往需要通过数值计算方法来求解。
目前，数值计算方法已经非常成熟，可以高效地求解各种非线性偏微分方程。
通过数值计算方法，我们可以更加深入地了解材料的物理特性、变形和变化过程，为材料科学的研究提供了重要的支持。
总之，非线性偏微分方程在材料科学中具有重要的应用价值。
它可以用来描述材料的物理特性、变形和变化过程，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，相信非线性偏微分方程在材料科学中的应用将会越来越广泛。
混凝土早期热-力学模型及工程应用
混凝土早期热-力学模型及工程应用张研;蒋林华;储洪强【摘要】考虑混凝土早期强度的本构关系,结合化学反应速率描述温度对混凝土绝热温升方程的影响,对大体积混凝土结构早期的温度场和应力场进行研究.温度场的求解基于等效时间的非线性热传导方程,应力场求解考虑混凝土初期徐变影响.结合苏州轨道交通地下车站工程实例,对大体积混凝土施工期和运行期温度场和应力场进行仿真计算.结果表明,夏季开始浇筑的车站主体结构必须采取适当的温控措施,以保证大体积混凝土不产生温度裂缝.【期刊名称】《水利水电科技进展》【年(卷),期】2010(030)005【总页数】5页(P65-68,72)【关键词】大体积混凝土;混凝土早期性能;绝热温升;工程应用【作者】张研;蒋林华;储洪强【作者单位】河海大学力学与材料学院,江苏,南京,210098;河海大学力学与材料学院,江苏,南京,210098;河海大学力学与材料学院,江苏,南京,210098【正文语种】中文【中图分类】TV431大体积混凝土的广泛应用使得温度开裂的发生日益严重,同时高强混凝土的出现使结构早期温度应力显著增加,因此工程技术人员越来越关注早期混凝土热学和力学性质[1-5],以便能够进一步从理论上分析混凝土结构温度和应力的变化规律,并对温度变化导致的开裂破坏进行预测。
笔者在混凝土结构早期温度场的计算中,用等效时间的概念定义混凝土绝热温升,同时考虑化学反应速率对混凝土绝热温升过程的影响,给出了考虑化学反应速率的混凝土绝热温升和热传导方程及其解法。
同时,在混凝土应力应变关系中,在通常温度应力的基础上考虑了混凝土早期强度与水化程度之间的影响,探讨了应力、绝热温升以及水化程度之间的关系。
在等效时间理论的混凝土非线性热传导方程和混凝土早期强度理论研究的基础上,采用数值手段对苏州轨道交通车站大体积混凝土施工期温度应力与温度控制进行探讨。
1 温度控制方程与混凝土早期强度理论1.1 温度控制方程假定混凝土在浇筑过程中满足能量守恒定律,并且考虑混凝土自身水化热,则混凝土三维不稳定温度场热传导方程可以表示为式中:x,y,z为直角坐标;t为时间;T(x,y,z,t)为温度场;D 为混凝土导温系数,D=λ/cρ(λ,c和ρ分别为混凝土的导热系数、比热容和密度);W为混凝土自身在绝热条件下的水化热。
forcheimer方程
Forchheimer方程是一个非线性渗流模型，用来描述多孔介质中的流动行为。
该方程是由Forchheimer在1901年提出的，通过实验发现随着流速增大，渗流速度与水力梯度之间的关系逐渐偏离线性关系。
当流速增大到一定值时，渗流速度与水力梯度之间不再服从线性关系。
Forchheimer方程的一般形式是：$J = A u + B u^2$，其中A和B 是与流体性质和渗透介质孔隙结构有关的常数。
当流速较小时，线性化后为达西定律，而当流速增大时，方程表现出非线性特征。
在速度高、孔隙率不均匀的条件下，Forchheimer方程可以用来描述速度与压力梯度之间的非线性关系。
三面扇原理
三面扇原理的基本原理1. 引言三面扇原理是一种用于传热和传质的数学模型，它在工程领域中被广泛应用于热交换器、蒸发器、冷凝器等设备的设计和优化。
本文将详细解释三面扇原理的基本原理，包括其定义、假设条件、数学表达式和应用。
2. 定义三面扇原理是一种用于描述流体在平行板之间传热和传质过程的数学模型。
它假设流体在平行板之间形成了一个由许多个微小流动通道组成的“扇”形结构，每个微小通道由两个相邻平行板和两个相邻壁面组成。
根据这一假设，可以将整个流动通道视为一个等效的矩形截面，并对其进行分析。
3. 假设条件为了简化计算和分析，三面扇原理基于以下假设条件：•流体为层流状态：即流体在通道中的运动是无序且稳定的。
•流体温度和浓度沿通道高度方向变化很小：即可以忽略温度和浓度梯度。
•通道壁面温度和浓度均匀：即可以将通道壁面温度和浓度视为常数。
•流体性质不随位置变化：即可以将流体的密度、粘度和热导率等视为常数。
4. 数学表达式三面扇原理使用以下数学表达式描述流体在通道中的传热和传质过程：4.1 热传导方程根据热传导方程，流体在通道中的热传导可以表示为：q=−k⋅A⋅dT dz其中，q是单位时间内通过单位截面积的热量传递量，k是流体的热导率，A是通道截面积，dTdz是温度梯度。
4.2 质量扩散方程根据质量扩散方程，流体在通道中的质量扩散可以表示为：N=−D⋅A⋅dC dz其中，N是单位时间内通过单位截面积的物质传递量，D是流体的扩散系数，C是浓度，dC是浓度梯度。
dz4.3 能量守恒方程根据能量守恒方程，流体在通道中的能量守恒可以表示为：d(ρ⋅A⋅V⋅T)+P⋅A⋅V=qdt其中，ρ是流体的密度，V是流体的速度，T是温度，P是单位时间内通过单位截面积的功率。
5. 应用三面扇原理可以应用于各种热交换器、蒸发器、冷凝器等设备的设计和优化。
通过建立三面扇模型，可以对设备的传热和传质性能进行分析，并进行参数优化。
例如，在热交换器设计中，可以使用三面扇原理来优化板式换热器的板间距、板厚度等参数，以提高换热效率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２０ ０ ８年 ｌ ２月
水利Biblioteka 水运工程
学
报
ＮＯ ４ ． Ｄｅ ｃ．２ ８ ００
ＨＹＤＲ０． ＳＣＩ ＥＮＣＥ ＡＮＤ ＥＮＧＩ ＮＥＥｍ ＮＧ
基 于 等效 时 间 的非 线 性热 传 导方 程及 其 工程 应用
宋 智 通 ， 张 子 明 ， 陈 金 杭 尹 刚 。 ，
ｆｌ ｗ ：（ ）Ｔ ｅ ｍａ ｉ ｍ ｔｍｐ ｒｔｒｓａ ｄ ａ ｉｂ ｔ ｉ ｕｖ ｓ ｏ ｏ ｃｅｅ ａｅ ｒｍａｋ ｂｙ ｉｆ ｅ ｃ ｄ ｂ ｈ ｏｌ ｓ １ ｈ ｘｍｕ ｅ ｅａｕｅ ｎ ｄａ ａｉ ｒ ｅ ｃ ｒｅ ｆｃ ｎ ｒｔ ｒ ｅ ｒ ａ ｌ ｎ ｕ ｎ ｅ ｙ ｔｅ ｏ ｃ ｓ ｌ
Ｉｓ ｔｔ，Ｎ ｎｉｇ ２ ０ ２ ｎｔ ｕｅ ａ ｊ １ ０ ９，Ｃ ｉａ； ．Ｗａｅ ｕｐ） Ｃ ｍ ａ ｙｏ ｈ ｎ ｌ Ｏ ｌ ｉｌ ｉ ｎ ｈｎ ３ ｔｒＳ ｐ １ ｏ ｐ ｎ ｆＳ ｅｇ ｉ ｉ Ｆ ｅ ｄ，Ｄ ｎ ｙｎ ２ ７ ９ Ｃ ｉａ） ｏ ｇ ｉｇ ５ ０ ９， ｈｎ
ｔｅ ｄ ａ ａ ｉ ｔｍｐ ｒｔ ｒ ｒｓ ． Ａ ｏ ｃ ｅｅ ｎ ｌｔ ｔｓ ｍ ｏ ｅ ｉ ｂ ｉｔ ｎ ｃ ｍｐ ｔｄ ｔ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌｃ ｍｅ ｔ ｈ ａ ｉｂ ｔ ｃ ｅ ｅ ａｕ ｅ ｉｅ ｃ ｎ ｒ ｔ ａ ａｙ ｉ ｅ ｔ ｃ ｄ ｌ ｓ ｕｌ ａ ｄ ｏ ｕ ｅ ａ ｄ ｆ ｒ ｎ ｐ ａ ｅ ｎ ｔｍｐ ｒｔ ｒ ｓ ａ ｄ ｕ ｄ ｒｄ ｆｅｅ ｔｂ ｕ ｄ ｒ ｏ ｄ ｔｏ ｓ ｂ ＥＭ ，ａ ｄ ｔ ｅ ｔ ｍｐ ｒ ｔ ｒ ｉｅ ｆｔ ｅ ｃ ｎ ｒ ｏ ｎ ｎ ｔ ｅ ｅ ｅ ａｕ ｅ ｎ ｎ ｅ ｉ ｒ ｎ ｏ ｎ ａ ｃ ｎ ｉｉｎ ｙ Ｆ ｙ ｎ ｈ ｅ ｅ ａｕ ｅ ｒｓ ｓｏ ｈ ｅ ｔｅ ｐ ｉｔｉ ｈ ｍｏ ｅ ｒ ｔ ｄｅ ｄ ｌａ ｅ ｓｕ ｉｄ． Ｔ ｅ ｈ ｏ —ｉｅ ｒｈ ａ ｏ ｄ ｃｉ ｎ ｅ ｕ ｔ ｎ ｂａ ｅ Ｄ ｔ ｅ ｅ ｕ ｖ ｌｎ ｉ ｈ ｏｙ ｉ ａ ｐ ｉｄ ｔ ｈ ｎ ｔｅ ｎ ｎ ｌ ａ ｅ ｔｃ ｎ ｕ ｔ ｑ ａｉ ｓ ｄ Ｏ ｈ ｑ ｉａｅ ｔｔ ｎ ｏ ｏ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｐ ｌｅ ｏ ｓｍｕｌｔ ｎ ａ ａｙ ｅ ｈ ｔｍｐ ｒｔ ｒ ｆｅｄ ｏ ｎ ｔｎ ｉ ａｅ ａ ｄ ｎ ｌ ｚ ｔ ｅ ｅ ｅ ａｕ ｅ ｉ ｌ ｓ ｆ Ｌｏ ｇａ ＲＣＣ ｒ ｖｔ ｄ ｍ ． Ｔｈ ｃ ｎ ｌ ｓｏ ｓ ｒ ｓ ｍｍａ ｉｅ ａ ｇ ａ ｉ ｙ ａ ｅ ｏ ｃｕ ｉｎ ａ ｅ ｕ ｒｚ ｄ ｓ
Ｓ ＯＮＧ ｉｔｎ ， ＺＨＡＮＧ — ｎ ， ＣＨＥＮ ｉ ｈ ｎ ， ＹＩ ｎ Ｚｈ —ｏ ｇ 一 Ｚｉｍｉｇ Ｊｎ— ａ ｇ Ｎ Ｇａ ｇ
（ ．Ｃ ｌｇ ｆ Ｃｖ ｎ ｉ ｅ ｎ ，Ｈ ｈ ｉＵ ｉ ｒｔ，Ｎ ｎｉ ２ ０ ９ ，Ｃ ｉａ ．Ｎ ｎｉ ｙ ｒｕｉ Ｒ ｓ ｒ １ ｏ ｅｅｏ ｉｌ ｇｎ ｒ ｇ ｏ ａ ｎｖ ｓｙ ａｊ ｇ ｌ ｉＥ ｅｉ ｅｉ ｎ １０ ８ ｈｎ ；２ ａｊ ｇ Ｈ ｄａ ｌ ｅ ａｃ ｎ ｃ ｅ ｈ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈ ｈ ｍｉ ａ ｅ ｃ ｉ ｎ ｒ ｔ ｓ ｕ ｅ ｏ ｄ ｓ ｒｂ ｈ ｏ ｅ ｃ ｅ ｃ ｌｒ ａ ｔｏ ａ ｅ ｉ ｓ ｄ ｔ ｅ ｃ ｉ ｅ ｔ ｅ ｃ ｍｂ ｎ ｄ ｅ ｆ ｃ ｓ ｏ ｌ ｃ ｍｅ ｔｔ ｍｐ ｒ ｔ ｒ ｎ ｉ ｎ ｉ ｅ ｆｅ ｔ ｆｐ ａ ｅ ｎ ｅ ｅ ａｕ ｅ ａ ｄ ｔ ｍｅ ｏ
同 边 界 （ 交换 边 界 和绝 热边 界 ） 热 条件 下 中心 点 的温 升 过 程 ． 用 基 于 等效 时 间 的 非 线 性 热 传 导 方 程 ， 龙 滩 碾 应 对
压 混 凝 土 重力 坝 温 度 场 进行 仿 真 分 析 ， 与传 统 理 论计 算 结 果 比较 ． 究 表 明 ： １ 浇 筑 温 度对 混凝 土 最 高 温 升 并 研 （）
关 键 词 ：化学反应速率； 等效时问； 等效绝热温升 ； 混凝 土浇筑温度 ； 非线性热传导方程
中 图 分 类 号 ： Ｖ １ ： Ｖ ４ ． Ｔ ３ ５ Ｔ ６ ２２
文献标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ： １９ ６ｏ ｚｏ ）４ ０３ — ６ １ — ４ｘ（ｏｓ ｏ — ０９ ０ ３ ０
Ｎｏ ｌｎ ａ ｅ ｔ ｃ ｎ ｕｃ ｉ ｎ ｅ ｕａ ｉ ｎ ｂ ｓ ｄ ｏ ｈｅ ｅ ｕｉ ａ ｅ ｉ ｅ ｎ－ｉ ｅ ｒ ｈ ａ ｏ ｄ ｔｏ ｑ ｔｏ ａ ｅ ｎ ｔ ｑ ｖ ｌｎｔｔｍ ｔ ｅ ｒ ｎ ｔ ｐ ｌｃ ｔｏ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｉｓ ａ ｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｉ ｎ ｉ ｅ ｒ ｎ
（ ．河海 大学 土 木工 程 学 院 ，江 苏 南 京 １
田供 水公 司 ， Ｉ 东 东 营 Ｉ ｌ ２ ７９ ５ ０ ９）
２ ０ ９ ； ．南 京 水 利 科 学研 究 院 ，江 苏 南 京 １０ ８ ２
２ ０ ２ ； ．胜 利 油 １０ ９ ３
摘 要 ：用化学反应速率描述浇筑温度对混凝土绝热温升的影响 ， 究混凝土连续墙模 型在不同浇筑温 度和不 研
和 绝 热 温 升过 程 有 显 著 影 响 ；２ 采 用 等效 时间 理 论 的 温 度计 算 结 果 比传 统 理 论 结 果 平 均 增 加 ６ ７ ；３ 坝 体 （） ．％ （ ）
浇 筑 时 的 外 界气 温 影 响 坝 体 内部 最 高 温 度 场 ， 季 浇 筑 混凝 土须 采 取 适 当 的 温控 措 施 ． 夏