热传导方程扩散方程

流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶 定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：
u k n dSdt k1 (u u1 )dSdt,
或
u k
n
k1 (u u1 ).
即得到（1.10）：
( u n
u)
| ( x, y,z )
g( x,
y, z, t).
例 长为l 的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为
u t
a2
2u x 2
2u y2
2u z 2
f (x,
y, z, t),
(1.5)
其中 a2 k , f F , f 称为非齐次项（自由项）。
c
c
三维无热源热传导方程：
u t
a2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
.
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u(x, t) (x, y, z), (x, y, z) G, t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u g( x, y, z, t), ( x, y, z) , t 0, (1.8)
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
由傅里叶热传导定律，从 t1 到 t2 这段时间内通过 S
进入 内的热量为
Q1
t2 k( x, y, z) u dS dt ,
t1 S
n
由高斯公式
divAdxdydz AgndSx
S
知
Q1
[t2
t1
( (k u) (k u) (k u))dV ]dt .(1.2) x x y y z z
该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式; ➢ 简化整理，得到方程。
2 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件
一、热传导方程的导出： 模型：给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x, y, z)
在时刻 t 的温度为 u( x, y, z, t)。 问题： 研究温度 u( x, y, z, t) 的运动规律。
t1
t
t1 x x y y z z
[t2 F(x, y, z,t)dV ]dt t1
由 及 t1 , t2 的任意性知
c u
(k
u )
(k
u )
(k
u )
F
(
x,
y,
z,
t ).(1.4)
t x x y y z z
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c, , k 都为常数的物体）
域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
区域 内各点的温度从时刻 t1 的温度u(x, y, z, t1 ) 改变为时刻 t2 的温度 u(x, y, z, t2 ) 所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 t1 到时刻 t2 这
段时间内通过曲面S 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
n
3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
u n
u
g( x,
y,
z, t),
(x, y, z) ,
其中： k1 0,
k
g
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k1 k
u1 .
t 0,
(1.10)
注意第三边界条件的推导：
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入 空
气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
dQ k1(u u1)dSdt,
(1.11)
顿定律 其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
第一章
数学建模和基本原理介绍
▪从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类 典型方程
▪根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出 定解条件
▪提出相应的定解问题
§1.1 数学模型的建立
▪ 数学模型建立的一般方法：
➢ 确定所研究的物理量； ➢ 建立适当的坐标系； ➢ 划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1+热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q
设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1oC
所需要的热量为c c(x, y, z), 密度为 (x, y, z),
那么包含点 (x, y, z)的体积微元dV的温度从 u(x, y, z, t1 ) 变为 u(x, y, z, t2 ) 所需要的热量为
（3）热源提供的热量Q2
用 F( x, y, z, t)表示热源强度，即单位时间内从单位
体积内放出的热量，则从 源所提供的热量为
t1
到
t2
这段时间内
内热
由Q热2 量 守tt12恒[ 定 律F得( x：, y, z, t)dV ]dt
(1.3)
[t2
c u dV ]dt [t2
u u u ( (k ) (k ) (k ))dV ]dt
q0 ，写出这个热传导问题的边界条件。
dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
整个 内温度变化所需要的能量Q
Q dQ c[u( x, y, z, t2 ) u( x, y, z, t1 )]dV
c( t2 udt)dV [t2 c u dV ]dt
t1 t
t1
t
(1.1)
分析：（两个物理定律和一个公式）
1、热量守恒定律:
温度变
化吸收
通过边 界流入
热源放 出的热
的热量
的热量
量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
dQ k( x, y, z) u dS dt , n
k( x, y, z) 为热传导系数。
3、热量公式: Q cmu
热传导方程的推导：
任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
注：
u k n g( x, y, z, t), ( x, y, z) ,
t 0, (1.9)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，表示物体绝热。
u 表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方向导数