中考数学因式分解1
中考数学试卷因式分解
一、选择题1. 下列各式中，因式分解正确的是（）A. $x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$B. $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$C. $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$D. $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$答案：B解析：选项A是完全平方公式，选项C和D是十字相乘法，而选项B是平方差公式。
因此，选项B是因式分解正确的。
2. 若$(a + 1)^2 - 4a = 0$，则$a$的值为（）A. -1B. 1C. 2D. 3答案：B解析：首先，将$(a + 1)^2 - 4a$展开得到$a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1$。
接着，将$a^2 - 2a + 1$因式分解得到$(a - 1)^2$。
因此，$(a - 1)^2 = 0$，解得$a = 1$。
二、填空题3. $x^2 - 5x + 6$的因式分解为（）答案：$(x - 2)(x - 3)$解析：首先，找到$x^2 - 5x + 6$中$x$的一次项系数的相反数，即$-5$的相反数为$5$。
然后，找到$x^2 - 5x + 6$中常数项的相反数，即$6$的相反数为$-6$。
接下来，将$5$和$-6$相乘得到$-30$。
最后，找到两个数相乘等于$-30$，且它们的和等于$-5$的两个数，即$-6$和$5$。
因此，$x^2 - 5x + 6$的因式分解为$(x - 2)(x - 3)$。
4. 若$a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$，则$a$的值为（）答案：$4b$解析：根据平方差公式，$(a + 2b)(a - 2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$。
因此，若$a^2 - 4b^2 = (a + 2b)(a - 2b)$，则$a$的值为$4b$。
三、解答题5. 解下列方程：（1）$x^2 - 4x + 3 = 0$（2）$2x^2 - 5x - 3 = 0$答案：（1）$x_1 = 1$，$x_2 = 3$解析：首先，将方程$x^2 - 4x + 3 = 0$因式分解得到$(x - 1)(x - 3) = 0$。
中考数学“因式分解”典例及巩固训练
中考数学“因式分解”典例及巩固训练（1）一、典型例题例1、（2017•广东省）分解因式：a 2+a = ．解：答案为a (a+1)例2、（2019•黄冈市）分解因式3x 2﹣27y 2＝ ． 解：原式＝3（x 2﹣9y 2）＝3（x +3y ）（x ﹣3y ），故答案为：3（x +3y ）（x ﹣3y ）例3、因式分解：221222x xy y ++. 解：22221122(44)22x xy y x xy y ++=++21(2)2x y =+．二、巩固训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=(x ﹣1)2B ．(a +b )(a ﹣b )=a 2﹣b 2C ．x 2+4x +4=(x +2)2D ．ax 2﹣a =a (x 2﹣1)2．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )A ．224x y +B ．224x y -+C ．224x y --D ．324x y -3. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( )①21025x x -+：②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如果代数式2425x kx ++能够分解成2(25)x -的形式，那么k 的值是( )A ．10B ．20-C ．10±D ．20±5. 分解因式：（1）a 2b ﹣abc = ．（2）3a (x ﹣y )﹣5b (y ﹣x )= ．6．分解因式：4a 2﹣4a +1= ．7．分解因式：2a 2﹣4a +2= ．8．（2017•广州市）分解因式：xy 2﹣9x = ．9.分解因式：x 6﹣x 2y 4= ．10．（2018•黄冈市）因式分解：x 3﹣9x = ．11．（2018•葫芦岛市）分解因式：2a 3﹣8a = ．12．因式分解： （1）2218x -； （2）224129a ab b -+； （3）3221218x x x -+；13．（2019·河池市）分解因式：2(1)2(5)x x -+-．14．分解因式：4224816x x y y -+．15.分解因式：（1）22()+x y x y -- ； （2）22()()a x y b x y ---； （3）229()()m n m n +--.★★★★1.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x ++++进行因式分解．2．【阅读材料】对于二次三项式222a ab b ++可以直接分解为2()a b +的形式，但对于二次三项式2228a ab b +-，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式2228a ab b +-中先加上一项2b ，使其成为完全平方式，再减去2b 这项，（这里也可把28b -拆成2b +与29b -的和），使整个式子的值不变．于是有：2228a ab b +-222228a ab b b b =+-+-2222(2)8a ab b b b =++--22()9a b b =+-[()3][()3]a b b a b b =+++-(4)(2)a b a b =+-我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆)项法．【应用材料】（1）上式中添（拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①268m m ++；②4224a a b b ++★★★★★1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A 类、C 类正方形卡片和B 类长方形卡片．用若干张A 类、B 类、C 类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2223(2)()a ab b a b a b ++=++．（1）如图3，用1张A 类正方形卡片、4张B 类长方形卡片、3张C 类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；（2）若解释因式分解2234()(3)a ab b a b a b ++=++，需取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（3）若取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面题1图积为22++，则m的值为，将此多项式分解因式5a mab b为．巩固训练参考答案1．C2．B3. B4．B5. （1） ab (a ﹣c) ． （2）(3a+5b )(x ﹣y ) ．6．（2a ﹣1）2．7．2(a ﹣1)2．8．x (y +3)(y ﹣3)．9. x 2(x 2+y 2)(x +y )(x ﹣y ) ．10．x (x +3)(x ﹣3)．11．2a (a +2)(a -2)．12．解：（1）；（2）；（3）原式．13．解：原式．14．解：原式．15.解：（1）原式=；（2）原式；（3）原式．★★★★1.解：（1）故选：；2218x -22(9)x =-2(3)(3)x x =+-224129a ab b -+22(2)12(3)a ab b =-+2(23)a b =-222(69)2(3)x x x x x =-+=-221210x x x =-++-29x =-(3)(3)x x =+-22(4)x y =-22(2)(2)(2)x y x y x y =+-+22())(x y x y ---)[2(1])(x y x y =---)(22(1)x y x y =---22()()x y a b =--()()()x y a b a b =-+-22[3()]()m n m n =+--(33)(33)m n m n m n m n =++-+-+4(2)(2)m n m n =++C（2），设，原式，，，，；故答案为：；（3）设，原式，，，，．2．解：（1）上式中添（拆项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式；（2）①；②．22(41)(47)9x x x x -+-++24x x y -=(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =-+4(2)x =-4(2)x -22x x y +=(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =++4(1)x =+)268m m ++2691m m =++-22(3)1m =+-(31)(31)m m =+++-(4)(2)m m =++4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-2222()()a b ab =+-2222()()a b ab a b ab =+++-★★★★★1．解：（1）由图可得，，故答案为：；（2）如右图所示；（3）由题意可得，，，故答案为：6，．2243()(3)a ab b a b a b ++=++2243()(3)a ab b a b a b ++=++6m =2256(5)()a ab b a b a b ++=++(5)()a b a b ++中考数学“因式分解”典例及巩固训练（2）一、典型例题例1、因式分解：222a ab b ac bc ++++．解：原式22(2)()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++例2、用十字相乘法进行因式分解：232x x ++.解：原式(1)(2)x x =++．例3、在实数范围内进行分解因式：35x x -．解：原式2(5)x x =-(x x x =+-．二、巩固训练1．用分组分解法进行因式分解：（1）2221x y xy +--； （2）3223x x y xy y +--．2．（2017•百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3)，验算：“交叉相乘之和”； 题2图1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1． 即：(x +1)(2x ﹣3)=2x 2﹣3x +2x ﹣3=2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3=(x +1)(2x ﹣3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12= ．3.用十字相乘法分解因式：（1）x 2+2x ﹣3= ．（2）x 2﹣4x +3= ．（3）22x x +-= .（4）2215a a --= .（5）4x 2+12x ﹣7= ．4．选择恰当的方法进行分解因式：（1）26x x --； （2）2363a a -+； （3）226a ab b --；（4）29(2)(2)a x y y x -+-； （5）2222a b a b --+；（6）34x x -；5．分解因式：（1）22430y y --； （2）224414a b b +--.6．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）22363ax axy ay -+； （2）35x x -．7．在实数范围内分解因式：（1）9a 44b - 4； （2）x 22- 3+；（3）x 5﹣4x .★★★★1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式： （1）243x x -+； （2）24127x x +-．2．在实数范围内分解因式221x x --．3．因式分解是数学解题的一种重要工具，掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义．我们常见的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．在此，介绍一种方法叫“试根法”例：32331x x x -+-，当1x =时，整式的值为0，所以，多项式有因式(1)x -，设322331(1)(1)x x x x x ax -+-=-++，展开后可得2a =-，所以3223331(1)(21)(1)x x x x x x x -+-=--+=-根据上述引例，请你分解因式：（1）2231x x -+； （2）32331x x x +++．★★★★★1．请看下面的问题：把44x +分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和222()2x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得：4422222222224444(2)4(2)(2)(22)(22)x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”. 请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解． （1）444x y +；（2）2222x ax b ab ---． 2．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，2211221212211212122112()()()a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为1122()()a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即62(3)-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1(3)121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为(2)(3)x x +-．题2图请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法” 分解因式：26x x +-= (3)(2)x x +- ．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2257x x +- ；（2）22672x xy y -+= ． 【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk qj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．（3）已知x ，y 为整数，且满足2232231x xy y x y ++++=-，请写出一组符合题意的x ，y 的值．巩固训练参考答案1．解：（1）．解：（2）原式． 2．(x +3)(3x ﹣4)． 3.（1）(x +3)(x -1) ． （2）(x ﹣1)(x ﹣3) ． （3） . （4） . （5）(2x +7)(2x ﹣1) ．4．解：（1）原式． （2）原式； （3）原式； （4）原式．（5）原式． （6）原式； 5．.解：（1）原式 ；（2）原式．6．解：（1）原式；2221x y xy +--2()1x y =--(1)(1)x y x y =-+--3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-(2)(1)x x +-(5)(3)a a -+(2)(3)x x =+-23(21)a a =-+23(1)a =-(3)(2)a b a b =-+29(2)(2)a x y x y =---2(2)(91)x y a =--(2)(31)(31)x y a a =-+-()()2()()(2)a b a b a b a b a b =+---=-+-2(4)(2)(2)x x x x x =-=+-22(215)y y =--2(5)(3)y y =-+224(144)a b b =--+224(12)a b =--(221)(221)a b a b =+--+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-（2）原式，．7．解：（1）原式； （2）原式．（3）原式=★★★★1．解：（1）（2）2．解：．3.解：（1）当时，整式的值为0，所以，多项式有因式， 于是； （2）当时，整式的值为0，多项式中有因式，2(5)x x =-(x x x =222222(32)(32)(32)a b a b a b =+-=++2(x =2(2)(x x x x +243x x -+24443x x =-+-+2(2)1x =--(21)(21)x x =-+--(1)(3)x x =--24127x x +-2412997x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-221x x --22111x x =-+--2(1)2x =--(11x x =---1x =(1)x -2231(1)(21)x x x x -+=--1x =-∴32331x x x +++(1)x +于是可设，，， ，，．★★★★★1．解：（1）原式； （2）原式． 2．解：【阅读与思考】分解因式：； 故答案为：； 【理解与应用】（1）； （2）；故答案为：（1）；（2）； 【探究与拓展】（1）分解因式； 故答案为：（2）∵关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 存在其中，，；而，，或，故的值为43或；（3），为整数，且满足，可以是，（答案不唯一）．32232331(1)()(1)()x x x x x mx n x m x n m x n +++=+++=++++-13m ∴+=3n m +=2m ∴=1n =3223331(1)(21)(1)x x x x x x x ∴+++=+++=+442222222222222444(2)4(22)(22)x y x y x y x y x y x y xy x y xy =++-=+-=+++-22222222()()()(2)x ax a a b ab x a a b x b x a b =-+---=--+=+--26(3)(2)x x x x +-=+-(3)(2)x x +-2257(1)(27)x x x x +-=-+22672(1)(27)x xy y x x -+=-+(1)(27)x x -+(1)(27)x x -+2235294(21)(34)x xy y x y x y x y +-++-=+--+(21)(34)x y x y +--+x y 22718524x xy y x my +--+-∴111⨯=9(2)18⨯-=-(8)324-⨯=-71(2)19=⨯-+⨯51(8)13-=⨯-+⨯271643m ∴=+=72678m =--=-m 78-x y 2232231x xy y x y ++++=-1x =-0y =。
中考数学专题复习第4讲因式分解(含详细答案)
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
中考数学专题-因式分解及其应用
第13讲 因式分解及其应用考点·方法·破译1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如2x px q ++的多项式，当p ＝a ＋b ，q ＝ab 时可分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式；5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解经典·考题·赏析【例１】⑴若229x kxy y ++是完全平方式，则k ＝______________⑵若225x xy ky -+是完全平方式，则k ＝______________【解法指导】形如222a ab b ±+的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.解：⑴22229(3)x kxy y x kxy y ++=++是完全平方式，∴6kxy xy =± ∴6k =±； ⑵22225522y x xy ky x x ky -+=-⋅⋅+是完全平方式，∴225()2ky y = ∴254k = 【变式题组】01．若22199m kmn n -+是一个完全平方式，则k ＝________02．若22610340x y x y +-++=，求x 、y 的值03．若2222410a a b ab b +-++=，求a 、b 的值04．（四川省初二联赛试题）已知a 、b 、c 满足22|24||2|22a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值【例2】⑴（北京）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A ．()()x x y x y +-B ．22(2)x x xy y -+C ．2()x x y +D ．2()x x y -⑵（杭州）在实数范围内分解因式44x -＝____________⑶（安徽）因式分解2221a b b ---＝_______________【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形解：⑴3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=-⑵42224(2)(2)(2)(x x x x x x -=+-=+⑶22222221(21)(1)(1)(1)a b b a b b a b a b a b ---=-++=-+=++--【变式题组】⑴3223223612x y x y x y -+⑵2222(1)2a x ax +-⑶222045a bx bxy -⑷2249()16()a b b a --+⑸222(5)8(5)16a a -+-+【例3】要使二次三项式25x x p -+在实数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可能有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数多个【解法指导】由2()()()x a b x ab x a x b +++=++可知，在整数范围内分解因式25x x p -+，p 为(5)n n -的积为整数，∴p 有无数多个，因而选D【变式题组】⑴已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个⑵在1~100间，若存在整数n ，使2x x n +-能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n 有__个【例4】分解因式：⑴221112x x -+⑵22244x y z yz --+⑶22(52)(53)12x x x x ++++-⑷226136x xy y x y +-++-【解法指导】解：⑴ ∴221112(23)(4)x x x x -+=--⑵222244x y z y --+222(44)x y yz z =--+22(2)x y z =--(2)(2)x y z x y z =+--+ ⑶设2525x x ++=，则原式可变为2(1)1212(3)(4)t t t t t t +-=+-=-+∴原式＝22(523)(524)x x x x ++-+++ 2 1 －3 －422(51)(56)x x x x =+-++2(51)(2)(3)x x x x =+-++⑷226136x xy y x y +-++-22(6)(13)6x xy y x y =+-++-(2)(3)(13)6x y x y x y =-+++-(23)(32)x y x y =-++-【变式题组】01．分解因式：⑴2224912x y z yz --- ⑵224443x x y y --+-⑶236ab a b --+ ⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++⑸261910y y -+【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程64970xy x y +--=的整数解；⑵（希望杯）设x 、y 为正整数，且224960x y y ++-=，求xy 的值【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解； ⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x 、y 为正整数的特点，结合不等式求解. 解：⑴64970xy x y +--=，(64)(96)1xy x y +-+=，2(32)3(32)1x y y +-+=，∴(23)(32)1x y -+=，∵x 、y 都是整数 ∴{{(23)1(23)1(32)1(32)1x x y y -=-=-+=+=-或 ∴{21113x x y y =⎧⎪=⎨=-=-⎪⎩（舍去）或，∴方程的整数解为{11x y ==-， ⑵224960x y y ++-=，2244100y y x ++=-，22(2)100y x +=-，∵21000x -≥∴2100x ≤ ∵x 为正整数，∴x ＝1，2，…，10 ，又∵2(2)y +是平方数，∴x ＝6或8当x ＝6时2(2)y +＝64，y ＝6，当x ＝8时2(2)y +＝36，y ＝4，∴xy ＝36或32【变式题组】01.设x 、y 是正整数，并且222132y x =-，则代数式222x xy y x y+-+的值是___________ 02.（第二届宗沪杯）已知a 、b 为整数，则满足a ＋b ＋ab ＝2008的有序数组（a ，b ）共有__________03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种04．方程332232x y x y xy -+-=的正整数解的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不少于3个05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.【例6】已知k 、a 都是正整数，2004k ＋a 、2004（k ＋1）＋a 都是完全平方数⑴请问这样的有序正整数（k 、a ）共有多少组？⑵试指出a 的最小值，并说明理由.解：⑴22004k a m +=① 22004(1)k a n ++=②，这里m 、n 都是正整数，则222004n m -= 故()()2004223167n m n m +-==⨯⨯⨯注意到，m n +、n m -奇偶性相同，则{{100233426n m n m n m n m +=+=-=-=或，解得{{500164502170m m n n ====或， 当n ＝502，m ＝500时，由①得2004k ＋a ＝250000，所以2004(124)1504a k =-+③由于k 、a 都是正整数，故k 可以取值1，2，3，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k 、a ）共124组当n ＝170，m ＝164时，由①得2004k ＋a ＝26896所以2004(13)844a k =-+④由于k 、a 都是正整数，故k 可以取值1，2，3，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k 、a ）共13组从而，满足要求的正整数组（k 、a ）共有124＋13＝137（组）⑵满足式③的最小正整数a 的值为1504，满足式④的最小正整数a 的值为844，所以，所求的a 的最小值为844【变式题组】01．（北京竞赛）已知a 是正整数，且22004a a +是一个正整数的平方，求a 的最大值02．设x 、y 都是整数，y y 的最大值演练巩固 反馈提高01．如果分解因式281(9)(3)(3)n x x x x -=++-，那么n 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 02．若多项式22(3)(3)x pxy qy x y x y ++=-+，则p 、q 的值依次为（） A ．12-，9- B ．6，9- C ．9-，9- D ．0，9-03．下列各式分解因式正确的是（ ）A ．291(91)(91)x x x -=+-B ．4221(1)(1)a a a -=+-C ．2281(9)(9)a b a b a b --=--+D ．32()()()a ab a a b a b -+=-+-04．多项式()()()()x y z x y z y z x z x y +--+-+---的公因式是（ ）A ．x y z +-B ．x y z -+C ．y z x +-D ．不存在05．22()4()4m n m m n m+-++分解因式的结果是（）A．2()m n+B．2(2)m n+C．2()m n-D．2(2)m n-06．若218x ax++能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（）A．4个B．6个C．8个D．无数个07．已知224250a b a b++-+=，则a ba b+-的值为（）A．3 B．13C．3-D．13-08．分解因式：2(2)(4)4x x x+++-＝__________________09．分解因式：22423a b a b-+++＝__________________10．分解因式：33222x y x y xy-+＝___________________11．已知5a b+=，4ab=-，那么22223a b a b ab++的值等于____________ 12．分解因式：2242x y x y-++＝_______________13．分解因式：2()6()9a b b a---+＝_________________14．分解因式：222(41)16a a+-＝___________________15．已知20m n+=，则332()4m mn m n n+++的值为_____________ 16．求证：791381279--能被45整除17．已知9621－可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数培优升级 奥赛检测01．（四川省初二数学联赛试题）使得381n +为完全平方数的正整数n 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．502．（四川省初二数学联赛试题）设m 、n 是自然数，并且219980n n m --=，则m ＋n 的最小值是（ ）A ．100B ．102C ．200D ．不能确定03．（四川省初二数学联赛试题）满足方程32326527991x x x y y y ++=+++的正整数对（x ，y ）有（ ）A ．0对B ．1对C ．3对D ．无数对04．（全国初中数学竞赛试题）方程323652x x x y y ++=-+的整数解（x ，y ）的个数是（）A ．0B ．1C ．3D ．无穷多05．（四川省初二数学试题）已知42(1)M p p q =+，其中p 、q 为质数，且满足29q p -=，则M＝（）A ．2009B ．2005C ．2003D ．200006．（仙桃竞赛试题）不定方程2()7x y xy +=+的所有整数解为_________________07．已知多项式2223286x xy y x y +--+-可以分解为(2)(2)x y m x y n ++-+的形式，那么3211m n +-的值是______08．对于一个正整数n ，如果能找到a 、b ，使得n ＝a ＋b ＋ab ，则称n 为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个 09．一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称正整数a 为完全平方数，如2648=，64就是一个完全平方数；若22222992299229932993a =+⨯+，求证a 是一个完全平方数10．已知实数a 、b 、x 、y 满足2a b x y +=+=，5ax by +=，求2222()()a b xy ab x y +++的值11．若a 为自然数，则4239a a -+是质数还是合数？请你说明理由12．正数a 、b 、c 满足3ab a b bc b c ca c a ++=++=++=，求(1)(1)(1)a b c +++的值13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是（mn ＋9m ＋11n ＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数。
因式分解-中考数学一轮复习考点专题复习大全(全国通用)
考向06 因式分解【考点梳理】1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)十字相乘法可对二次三项式试一试；(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.方法一：分组分解法常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x 2﹣4y 2﹣2x +4y ，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．这种分解因式的方法叫分组分解法．例如：x 2﹣4y 2﹣2x +4y ＝（x +2y ）（x ﹣2y ）﹣2（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x +2y ﹣2）．方法二：十字相乘法一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【题型探究】题型一：因式分解的定义1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．21(1)1x x x x --=--B ．221(1)x x -=-C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．2(1)x x x x -=-2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．()++=++2x 3x 2x x 32B ．()()2422x x x -=+-C ．()a x y ax ay -=-D ．2623x y x xy =⋅3．下列变形中，属于因式分解且正确的是（ ）A ．262(3)x x +=+B ．2(1)a a a a +=+C ．2(1)(1)x x x x x -=+-D ．231(3)1x x x x -+=-+题型二：提取公因式和公式法因式分解4．下列因式分解正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．244(2)(2)x x x x -+=+-D ．2()()()x x y y y x x y -+-=- 5．下列因式分解正确的是（ ）A ．()321a a a a -=-B ．()()22ab c ab c ab c -=+-C ．()()22a b ab a a b a b -=+-D ．322269(3)a a b ab a a b ++=+6．下列因式分解正确的是（ ）A ．a 10b ﹣a 5＝a 5（a 2b ﹣1）B ．a 2﹣4b 2＝（a ﹣2b ）2C ．a 6＋4a 3b ＋4b 2＝（a 3＋2b ）2D ．a 2﹣a （b ＋1）＝a （a ﹣b ＋1）题型三：十字相乘法7．把多项式x 2+（p ﹣q ）x ﹣pq 分解因式，结果正确的是（ ）A ．（x+p ）（x+q ）B ．（x ﹣p ）（x ﹣q ）C ．（x+p ）（x ﹣q ）D ．（x ﹣p ）（x+q ）8．下列式子变形是因式分解的是（ ）A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6B ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 9．将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（ ）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-题型四：分组分解法10．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（ ）A ．2222x y x y +++B ．2222x y xy ++-C ．2244x y x y -++D ．2244x y y -+-11．把x 2－y 2－2y －1分解因式结果正确的是（ ）．A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)12．下列运算不正确的是（ ）A ．1(1)(1)xy x y x y +--=-+B ．22221()2x y z xy yz zx x+y+z +++++=C ．2233()()x y x xy y x y +-+=+D ．33223()33x y x x y xy y -=-+-题型五：因式分解在化简求值的应用13．若a +b =1，则222a b b -+的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如果2a b +=，那么代数式2222a b b a b a b⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭的值为_______． 15．已知x ＝2，x+y ＝3，则x 2y+xy 2＝_____．题型六：因式分解的综合问题16．已知，实数m ，n 满足3m n +=，2230m n mn +=-．（1）若m n >，则m n -=_______；（2）若5n p +=-，则代数式2232m p n p m mn -+-的值是______________．17．已知23x a ab =-，222y a ab b =--+．(1)化简3x y -；(2)当a 和b 221b b =---时，求3x y -的值．18．材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m 可以被9整除，且m 的百位上的数字比十位上的数字大2，则称m 为“够二数”；将m 的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为m '，()1818999m m F m '-+=，例如：8424m =，∵84241892+++==⨯，422-=，∴8424是“够二数”，()84244248181884246999F -+==． (1)判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算()F m 的值；(2)若一个四位正整数n abcd =是“够二数”，且()c F n 为5的倍数，请求出所有的“够二数”n 的值．【必刷基础】一、单选题19．在因式分解练习时，小颖做了4道题如下，小颖分解不够到位的一题是（ ）A ．()()22x y x y x y -=-+B ．22244(2)x xy y x y -+=-C ．()2222x y xy xy x y -=-D ．()221x x x x -=-20．已知1xy =-，2x y +=，则32231122x y x y xy ++=（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．421．解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值是（ ）A ．1B ．1C ．3D ．322．对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab +b 2）C ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2﹣ab +b 2）D ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab ﹣b 2） 23．下列因式分解正确的是（ ）A ．()1ax ay a x y +=++B ．()333a b a b +=+C ．()22444a a a ++=+D ．()2a b a a b +=+24．如图2所示的是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，22S x x =+主，2S x x =+左，则长方体的表面积为（ ）A ．232x x ++B ．2362x x ++C ．26124x x ++D ．66x +25．如果把二次三项式22x x c ++分解因式得()()2213x x c x x ++=-+，那么常数c 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-22621440a b b +-+=，则a b -的值为（ ）A ．3B ．-3C ．1D ．-127．分解因式：42242x x y y -+=______．28．若关于x 的多项式26x px --含有因式3x -，则实数p 的值为______ ．29．已知：整式21A n =+，2B n =，21C n =-，整式0C >．(1)当1999n =时，写出整式A B +的值______（用科学记数法表示结果）；(2)求整式22A B -；(3)嘉淇发现：当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【必刷培优】一、单选题30．设x 、y 是实数，且222450x y x y +-++=．23(2)2x y +31．计算：2255100199922a a ⨯-⨯=（ ） A ．5000a B ．1999a C ．10001a D ．10000a32．已知230x x --=，则代数式()()()323210x x x x +-+-的值为（ ）A ．34B ．13C ．26D ．71333．对于二次三项式22x mxy x +-（m 为常数），下列结论正确的个数有（ ）①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则2x y -=②无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，则()225x my +=③若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则115x y +=+ ④满足()()22220x xy x y xy y +-+--≤的整数解(),x y 共有8个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题34．已知整数x ，y 满足2022202220222022x y y x x y xy +--+=，则7x y --的最小值为 _____． 35．已知多项式22x bx c ++ 分解因式为()()231x x -+ ，则bc 的值为______．36．已知23a b =-+，则代数式2269a ab b -+的值为 ___________．37．因式分解：322321218x y x y xy -+=______________________．38．若函数221[(100196)|100196|]2y x x x x =-++-+，当自变量x 分别取1，2，⋯⋯，100时，对应的函数值的和是 __．三、解答题39．两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则成这两个多位数互为“友好数”．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是37+，82+，378210+=+=，37∴和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是123++，51+，123516++=+=，123∴和51互为“友好数”．(1)直接写出103的所有两位数的“友好数”；(2)若两个不同的三位数10040m a b =++、20010(15n c a =+，05b ，09c ，且a 、b 、c 为整数）互为友好数，且m n -是11的倍数，记11m n P -=，求P 的所有值． 40．如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a ，有两张正方形的乙种纸板，边长为b ，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a ，b （a b >）．(1)观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________；(2)若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为290cm ，每个丙种矩形纸板的面积为218cm ，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和．41．观察下列等式：1223113221⨯=⨯；2335225332⨯=⨯；3669339663⨯=⨯；…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”．(1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”：52×______=______×25；______×187=781×______．(2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a ，个位上数字为b ，且29a b ≤+≤，请用a 、b 表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）．42．(1)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解：()()2233a b a b +-+解：原式()()22229669a ab b a ab b =++-++ 第一步 2288a b =- 第二步()228a b =- 第三步 任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______________________． 任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程．参考答案：1．C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A 、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B 、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C 、符合因式分解的形式，符合题意；D 、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．2．B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．【详解】解：A 、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；C 、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．3．A【分析】利用因式分解的定义逐一判断即可．【详解】A 、262(3)x x +=+，符合因式分解的定义，且分解正确；B 、2(1)a a a a +=+，是整式的乘法，不是分解因式；C 、()()()2111x x x x x x x -=-≠+-，分解因式不正确；D 、231(3)1x x x x -+=-+，分解因式不正确，故选：A【点睛】本题考查了因式分解的定义，理解掌握把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做因式分解，分解因式要分解到不能再分解为止．4．D【分析】利用提取公因式法、完全平方公式逐项进行因式分解即可．【详解】解：A 、原式 =()244x x x x -+=-- ，故本选项不符合题意；B 、原式 =()1x x y ++ ，故本选项不符合题意；C 、原式 =()22442x x x -+=- ，故本选项不符合题意；D 、原式 =()()()2x y x y x y --=- ，故本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，属于基础题，关键是掌握因式分解的方法．5．D【分析】根据因式分解的定义化简判断；【详解】解：()()()32A 111a a a a a a a -=-=-+，，故此选项不合题意； B ，22ab c -，无法运用平方差公式分解因式，故此选项不合题意；C ，()22a b ab ab a b -=-，故此选项不合题意；D ，322269(3)a a b ab a a b ++=+，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；因式分解的结果是整式的乘积的形式且结果必须分解到不能再分解为止，这是判断是否是因式分解的根据方法．6．C【分析】利用提公因式法判定A 和D 错误，利用平方差公式判定B 错误，利用完全平方公式判定C 正确.【详解】解：A ．a 10b ﹣a 5＝a 5（a 5b ﹣1），故此选项不合题意；B ．a 2﹣4b 2＝（a ﹣2b ）（a ＋2b ），故此选项不合题意；C ．a 6＋4a 3b ＋4b 2＝（a 3＋2b ）2，故此选项符合题意；D ．a 2﹣a （b ＋1）＝a （a ﹣b ﹣1），故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握方法和步骤：一提二套三检查.7．C【分析】根据x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）容易得出答案．【详解】解：x 2+（p ﹣q ）x ﹣pq ＝（x+p ）（x ﹣q ）．故选C ．【点睛】本题考查了因式分解的方法；熟练掌握x 2+（p+q ）x+pq ＝（x+p ）（x+q ）是解决问题的关键．8．B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，【详解】A 、x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)，是因式分解，故本选项符合题意；C 、(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6，不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)≠(x ＋2)(x ＋3)，故本选项不符合题意；故选B9．B【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：()211a a --+=2211a a a -+-+=232a a -+=()()12a a --．故选B ．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．10．A【分析】根据因式分解的方法与步骤进行判断即可【详解】解：A ．原式不能分解，符合题意；B ．原式2()2(x y x y x y =+-=++，不符合题意；C ．原式()()4()()(4)x y x y x y x y x y =+-++=+-+，不符合题意；D ．原式22(2)(2)(2)x y x y x y =--=+--+，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查因式分解、平方差公式、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解答的关键，注意实数范围内分解因式时2要写成2．11．A【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【详解】解：原式=x 2-（y 2+2y+1），=x 2-（y+1）2，=（x+y+1）（x-y-1）．故选A ．12．B【详解】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y +--=+-+=-+，A 正确，不符合题意；2222221()()()2x y z xy yz zx x y x z y z ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦，B 错误，符合题意； 2233()()x y x xy y x y +-+=+，C 正确，不符合题意；33223()33x y x x y xy y -=-+-，D 正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．13．D【分析】把222a b b -+进行变形，代入a +b =1，计算，再次代入即可求解．【详解】解：222a b b -+()()2a b a b b =+-+2a b b =-+a b =+1=故选：D【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a +b =1变形为a =1-b ，代入求值．14．4【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式,，然后把a +b =2整体代入计算即可．【详解】解：原式=2222b a b ab b b a b⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭ =2222a b ab b b a b ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭=()22a b b b a b+⋅+ =()2a b +，∵a +b =2，∴原式=2×2=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，以及因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．6y【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵x ＝2，x+y ＝3，∴原式＝xy （x+y ）＝6y ，故答案为：6y【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握计算法则是解题关键.16． 7 42或252##252或42【分析】（1）将已知式子因式分解代入得出10mn =-，然后利用两个完全平方公式之间的关系求解即可；（2）利用（1）中结论得出52m n =⎧⎨=-⎩或25m n =-⎧⎨=⎩，然后分两种情况，将原式化简代入求值即可． 【详解】解：（1）∵m +n =3，∴()2230m n mn mn m n +=+=-，∴10mn =-，∴()()()22494049m n m n mn -=+-=--=，∴7m n -=±，∵m >n ，∴0m n ->，∴7m n -=；（2）2232m p n p m mn -+-()2222()m n p m m n =-+- ()22()m n p m =-+()()()m n m n p m =+-+，由（1）得37m n m n +=⎧⎨-=⎩或37m n m n +=⎧⎨-=-⎩解得：52m n =⎧⎨=-⎩或25m n =-⎧⎨=⎩当m =5，2n =-时，∵5n p +=-，∴3p =-，∴m +p =2，∴原式()()52522=-⨯+⨯42=；当2m =-，n =5时，∵5n p +=-，∴10p =-，∴12m p +=-，∴原式()()()252512=-+⨯--⨯-252=；∴代数式的值为42或252；故答案为：①7；②42或252．【点睛】题目主要考查因式分解的运用，求代数式的值及完全平方公式与平方差公式，熟练掌握运算法则进行变换是解题关键．17．(1)2246a b -(2)10【分析】（1）用a ，b 表示出代数式3x y -，化简即可；（2）根据已知式子求出a ，b ，代入（1）的结果即可；(1)∵23x a ab =-，222y a ab b =--+，∴()2223332x y a ab a ab b -=----+， 2223336a ab a ab b =-++-，2246a b =-；(2)221b b =---，()210b +=， ∴2010a b -=⎧⎨+=⎩， ∴2a =，1b ，∴()2222346426110x y a b -=-=⨯-⨯-=；【点睛】本题主要考查了整式化简求值，准确利用二次根式非负性求解是解题的关键．18．(1)1314是是“够二数”， F （1314）＝﹣1；6536不是“够二数”；(2)n ＝7758．【分析】（1）根据“够二数”的定义进行判断求解即可；（2）根据“够二数”的定义得出a ＋b ＋c ＋d ＝9x ，其中x 是正整数，且x ≠0，则b －c ＝2，表示出()F n ，代入b ＝c ＋2得()F n ＝a －d ＋2，则()c F n ＝52c y a d =-+，其中y 是整数，得 c ＝5，b ＝7，()c F n ＝52c y ad =-+，其中y 是整数，1129a d a d x =-⎧⎨++=⎩，其中x ≠0，且是整数，a +d +12＝9x ，a ，d 是正整数，得到x ≠1，从x ＝2开始进行分析即可得到答案．(1)解：∵ 1+3+1+4＝9＝9×1，3－1＝2，∴1314是“够二数”，∴此时m '＝4131，∴F （1314）＝131441311818999-+＝﹣1， ∵6+5+3+6＝20，20不能被9整除，∴6536不是“够二数”；(2)解：∵一个四位正整数n abcd =是“够二数”，∴a ＋b ＋c ＋d ＝9x ，其中x 是正整数，且x ≠0，则b －c ＝2，∴b ＝c ＋2，则1＜c ＜7， ∴n dcba '=，∴()1818999n n F n '-+= 1818999abcd dcba -+= 1000100101000100101818999a b c d d c b a +++----+= 99990909991818999a b c d +--+= 1111010111202111a b c d +--+=， 将b ＝c ＋2代入得，()F n 11110(2)10111202111a c c d ++--+=＝111111222111a d -+ ＝a －d ＋2，∴()c F n ＝52c y ad =-+，其中y 是整数， ∴ c ＝5，b ＝7，∴ 52229c y a d a c d x⎧=⎪-+⎨⎪+++=⎩，∴（a －d ＋2）y ＝1，∵y 是整数，∴a －d ＋2＝1，即a ＝d －1，∴1129a d a d x =-⎧⎨++=⎩，其中x ≠0，且是整数， ∵a +d +12＝9x ，a ，d 是正整数，∴ x ≠1，当x ＝2时，11218a d a d =-⎧⎨++=⎩，解得5272a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意，舍去； 当x ＝3时，11227a d a d =-⎧⎨++=⎩，解得7=8a d =⎧⎨⎩，符合题意，此时n ＝7758； 当x ＝4时，11236a d a d =-⎧⎨++=⎩，解得23225=2a d ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，此时d ＝2592>，不合题意，舍去； ∴ 随着x 的增大，d 也增大，不符合题意，综上所述，n ＝7758．【点睛】此题考查了新定义运算、因式分解、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键．19．D【分析】根据因式分解的定义逐一判断即可．【详解】解：A. ()()22x y x y x y -=-+，正确，不符合题意；B. 22244(2)x xy y x y -+=-，正确，不符合题意；C. ()2222x y xy xy x y -=- ，正确，不符合题意；D. ()21x x x x -=- ，原式分解错误，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解，在因式分解的过程中，有公因式一定要先提公因式，分解一定要分到不能再分解为止．20．A【分析】先对所求的式子进行因式分解，再整体代入计算即可．【详解】解：1xy =-，2x y +=，32231122x y x y xy +∴+ ()22122xy x xy y =++ ()212xy x y =+ ()21122=⨯-⨯ 2=-．故选：A ．【点睛】本题考查了整式的因式分解、代数式求值，熟练掌握提公因式法与公式法的综合运用是解决本题的关键．21．A【分析】首先解方程210x x --=，然后利用整体代入的思想把2x 换成1x +，多次代入即可求解．【详解】解：210--=x x ，21x x x ∴=+=，， 0x，x ∴， 4323x x x ∴-+22223x x x x x =⋅-⋅+21213x x x x =+-++（）（）231x x =-++131x x =--++2=1=故选：A ．【点睛】此题主要考查了分解因式的实际运用，同时也考查了解一元二次方程，有一定的综合性．22．A【分析】根据立方差公式即可求解．【详解】解：∵a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，将上式中的b 用-b 替换，整理得：∴a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2），故选：A ．【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．23．B【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．【详解】解：A 、ax +ay =a (x +y )，故选项计算错误；B 、3a +3b =3(a +b )，选项计算正确；C 、()22442a a a ++=+，选项计算错误；D 、2a b +不能进行因式分解，选项计算错误；故选：B ．【点睛】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．24．C【分析】由主视图和左视图的宽为x ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【详解】解：∵S 主视图=x 2+2x =x （x +2），S 左视图=x 2+x =x （x +1），∴俯视图的长为x +2，宽为x +1，则俯视图的面积S 俯=（x +2）（x +1）=x 2+3x +2．所以长方体的表面积为：2222232x x x x x x 26124x x故选C ．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．25．B【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．【详解】解：∵()()2213x x c x x ++=-+∴22223x x c x x ++=+-故3c =-故选B【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．26．B【分析】利用完全平方公式将244b b -+进行因式分解，再利用算术平方根和完全平方的非负性解题即可．【详解】解：21440a b b ++-+=2(2)0b -= 210,(2)0a b ，1020a b +=⎧∴⎨-=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩， 123a b ．故选B ．【点睛】本题考查了用完全平方公式法进行因式分解：222)2(a ab b a b ±+=± ，算数平方根以及完全平方的非负性，熟练掌握用公式法进行因式分解以及非负数的性质是解题的关键．27．22()()x y x y +-【分析】先用完全平方公式分解，再利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：4224222222()()()x x y y x y x y x y -+=-=+-，故答案为：22()()x y x y +-．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握公式法分解因式是解决本题的关键．28．1【分析】设另一个多项式为()x b +，再利用整式的乘法进行整理得()()226333x px x x b x b x b --=-+=+--（）得到对应各项系数，然后求得p 的值．【详解】解：设多项式的另一个因式是()x b +，则()()226333x px x x b x b x b --=-+=+--（）， ∴36b -=-，()3p b =--∴2b =，()231p =--=．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了因式分解的综合应用，设出另一个因式，再利用整式的乘法找到各项系数，使之对应相等是解答本题的关键．29．(1)6410⨯(2)22(1)n -(3)正确，理由见解析【分析】1（）根据题意可得，()()22121A B n n n +=++=+，把1999n =代入计算应用科学记数法表示方法进行计算即可得出答案；2（）把21A n =+，2B n =，代入22A B -中，可得()()22212n n +-，应用完全平方公式及因式分解的方法进行计算即可得出答案；3（）先计算()()2222221B C n n +=+-，计算可得()221n +，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． （1）解：()()22121A B n n n +=++=+， 当1999n =时，原式()219991=+22000=6410=⨯； 故答案为：6410⨯；（2）()()2222212A B n n -=+-()2222214n n n =++- ()22221n n =-+ 22(1)n =-；（3）嘉淇的发现正确，理由如下：()()2222221B C n n +=+-()2222421n n n =+-+ ()221n =+，222B C A ∴+=，∴当n 取正整数时，整式A 、B 、C 满足一组勾股数．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．30【分析】根据已知式子利用完全平方公式因式分解，根据非负数的性质求得,x y 的值，代入代数式，根据二次根式的性质化简即可求解．【详解】解：∵222450x y x y +-++=即2221440x x y y -++++=∴()()22120x y -++=∴10x -=，20y +=解得：1x =，=2y -=【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，非负数的性质，二次根式的性质化简，求得,x y 的值是解题的关键． 31．D【分析】先提取公因式，再运用平方差公式即可求解．【详解】2255100199922a a ⨯-⨯ 225(1001999)2a =⨯- 5(1001999)(1001999)2a =⨯-+ 5220002a =⨯⨯ 10000a =，故选：D ．【点睛】本题考查了运用提取公因式和平方差公式对代数式进行化简的知识，掌握平方差公式是解答本题的关键．32．C【分析】先化简代数式，再整体代入求值即可．【详解】解：()()()323210x x x x +-+-229410x x x =-+-210104x x =--()2104x x =--， ∵230x x --=∴23-=x x∴原式=10×3－4=26故选C ．【点睛】本题考查了代数式的化简求值、平方差公式、提取公因式、整体代入等知识点，掌握整体代入是解答本题的关键．33．A【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x 后根据恒成立找关系即可；③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．【详解】①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则22(2)0x xy x x x y --=-=-∴20x y --=或者0x =，故①错误；②等式223x mxy x x +-=化简后为(5)0x my x +-=∵无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，∴50x my +-=，即5x my +=∴()225x my +=，故②正确；③若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则两个方程相加得：222214x xy x y xy y +-++-=，∴ 2()2()14x y x y +-+=2(1)15x y +-=∴ 1x y +=±，故③错误；④整理()()22220x xy x y xy y +-+--≤得：22220x y x y +--≤∴22(1)(1)2x y -+-≤∵整数解(),x y∴22(1)0(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎨-=⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎨-=⎩∴11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩， 10x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩， 01x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩， ∴ 整数解(),x y 共9对，故④错误；综上所述，结论正确的有②；故选：A ． 【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程． 34．180=，然后因式分解为0=0=，进而分析得出337x =，6y =，则答案可得．【详解】解：2022，0，∴0=，0，∴202223337xy ==⨯⨯，∵x ，y 均为整数，70x y -->，337x =，6y =，18=．故答案为：18．0．35．24【分析】利用整式的乘法去括号合并同类项后，对比各项系数相等即可．【详解】∵22x bx c ++ 分解因式为()()231x x -+∴()()222312462x x x x x bx c -+=--=++∴4b =- ，6c =-∴24bc =故答案是24【点睛】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，正确利用公式计算是关键． 36．4【分析】先根据完全平方公式将2269a ab b -+因式分解()23a b -，再将32a b -=-代入，即可求出答案．【详解】解：∵23a b =-+，∴32a b -=-，∴2269a ab b -+()23a b =- ()22=-4=， 故答案为：4．【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．37．()223xy x y -【分析】先提取公因式2xy ，再根据完全平方公式化简．【详解】322321218x y x y xy -+22269xy x xy y ()223xy x y =-，故答案为()223xy x y -．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．分解因式三步骤：一提公因式，二套公式，三检查．分解因式时要先考虑能否用提公因式法，然后考虑公式法．若多顶式有两顶，可考虑用平方差公式；若多顶式有三顶，可考虑用完全平方公式．38．390【分析】将x 2-100x +196分解为：（x -2）（x -98），然后可得当2≤x ≤98时函数值为0，再分别求出x =1，99，100时的函数值即可．【详解】二次函数2100196y x x '=-+与x 轴交点为(2,0)，(98,0)，∴当=2x ，3...98时，22|||100196|(100196)y x x x x '=-+=--+， ∴当=2x ，3...98时，221[(100196)|100196|]2y x x x x =-++-+ 221[(100196)(100196)]2x x x x =-+--+ 102=⨯ =0，当=1x ，99x =，=100x 时，函数2100196y x x '=-+的函数值为正数，221[(100196)|100196|]2y x x x x ∴=-++-+ 1[(2)(98)(2)(98)]2y x x x x =--+-- (2)(98)y x x =--1x ∴=时，(2)(98)y x x =--(1)(97)=--97=，当99x =时，(2)(98)y x x =--971=⨯97=，当=100x 时，(2)(98)y x x =--982=⨯196=，∴自变量x 分别取1，2，⋯⋯，100时，对应的函数值的和是：09797196390+++=．故答案为：390．【点睛】本题考查函数值的知识及十字相乘法分解因式，有一定难度，关键是将x 2-100x +196分解为：（x -2）（x -98）进行解答．39．(1)13、22、31、40(2)9P =-【分析】（1）根据新定义进行解答便可；（2）根据新定义列出a 、b 、c 的方程，得2a b c +=-，m n -是11的倍数，得2811c -是整数，从而求得c 的值，进而求得a 、b 的值，便可求得结果．【详解】（1）解：1034++=，134+=，224+=，314+=，404+=，103∴的所有两位数的“友好数”为13、22、31、40； （2）解：10040m a b =++、20010n c =+，2a b c ∴+=-，m n -是11的倍数，1004020010a b c ∴++--是11的倍数，即10010160a b c +--是11的倍数， ∴1001016069141111a b c a b c a c +--++-=--+为整数， ∴611a b c ++-是整数， 2a b c +=-， ∴2811c -是整数， 09c ，c 为整数，82810c ∴--，c 为整数，280c ∴-=，4c ∴=，22a b c ∴+=-=，15a ，05b ，且a 、b 为整数，1a ∴=，1b =或2a =，0b =，141m ∴=或240，240n =， m 、n 为两个不同的三位数，141m ∴=，240n =，14124091111m n P --∴===-． 即9P =-．【点睛】本题主要考查了新定义，整除的问题，关键是读懂题意，应用新定义解决问题．40．(1)22225a b ab ++， (2)(2)a b a b ++，22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++(2)54cm【分析】（1）根据图形可得九张小纸板面积的和22225a b ab ++；根据图形可知用两边的乘积表示为(2)(2)a b a b ++；根据等面积法即可得出22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++（2）根据题中条件可以得到222290a b +=，18ab =，恒等变形即得2()81a b +=，结合几何意义即可得到9a b +=，从而求得结论．【详解】（1）解：观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为22225a b ab ++；根据图形可知用两边的乘积表示为(2)(2)a b a b ++；根据等面积法即可得出22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++；故答案为：22225a b ab ++， (2)(2)a b a b ++，22225(2)(2)a b ab a b a b ++=++；（2）解：根据题意可得：222290a b +=，18ab =，∴2245a b +=，236ab =，即222453681a b ab ++=+=，∴2()81a b +=，∵0a >，0b >，∴9a b +=，∴矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和为6()6954(cm)a b +=⨯=．【点睛】本题考查看图写代数式以及因式分解得实际应用，看懂图形，读懂题意，利用因式分解恒等变形得到要求的量是解决问题的关键．41．(1)275，572；71，17(2)()()()()10100101001010a b b a b a a a b b b a ++++=++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【分析】（1）根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；（2）根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．（1）根据题意：52×275=572×25；71×187=781×17；故答案为：275，572，71，17；（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a +b ）×[100b +10（a +b ）+a ]=[100a +10（a +b ）+b ]×（10b +a ）.证明如下：∵左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，∴左边的两位数是10a +b ，三位数是100b +10（a +b ）+a ，右边的两位数是10b +a ，三位数是100a +10（a +b ）+b ，∴左边=（10a +b ）×[100b +10（a +b ）+a ]=（10a +b ）（100b +10a +10b +a ）=（10a +b ）（110b +11a ）=11（10a +b ）（10b +a ），右边=[100a +10（a +b ）+b ]×（10b +a ）=（100a +10a +10b +b ）（10b +a ）=（110a +11b ）（10b +a ）=11（10a +b ）（10b +a ），∴左边=右边.∴“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a +b ）×[100b +10（a +b ）+a ]=[100a +10（a +b ）+b ]×（10b +a ）.【点睛】本题是对数字变化规律的考查，同时考查了列代数式，去括号，整式的加减运算，因式分解的应用，根据已知信息，掌握利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数是解题的关键．42．(1)0（1）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；任务二：小明因式分解的结果不彻底，22a b -还可以进行因式分解；任务三：原式[(3)(3)][(3)(3)]a b a b a b a b =++++-+(44)(22)a b a b =+-=8()()a b a b +-故答案为：任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解不彻底（或a 2−b 2还可以进行因式分解）；任务三：8(a +b )(a −b )．。
中考数学二次三项式的因式分解(公式法)复习教案(1)
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c 在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
中考数学复习：专题1-6 例谈因式分解的方法与技巧
专题06 例谈因式分解的方法与技巧【专题综述】 因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。
这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。
【方法解读】一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1：因式分解 32422+++-b a b a【举一反三】因式分解：611623+++x x x二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例2：因式分解444y x +【举一反三】因式分解 4323+-x x三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
例3：因式分解24)6)(43(22+---+x x x x【举一反三】因式分解2)1()2)(2(-+-+-+xy y x xy y x四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。
例4：因式分解)()(2222n m xy y x mn +++【举一反三】因式分解 22)()(my nx ny mx -++五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。
例5：因式分解xy x y x x x 2232234-++-【举一反三】因式分解abc bc c b ac c a ab b a 2222222++++++【强化训练】1．因式分解：(5)(2)()()12x x x x +-+-+-..2．阅读下面解题过程，然后回答问题.分解因式： 223x x +-.解：原式=22113x x ++--=()2214x x ++- = ()214x +-=()()1212x x +++-= ()()31x x +-上述因式分解的方法称为”配方法”.请你体会”配方法”的特点，用“配方法”分解因式： 243y y -+.3．因式分解：（1）（a +b ）2+6（a +b ）+9； （2）（x ﹣y ）2﹣9（x +y ）2；（3）a 2（x ﹣y ）+b 2（y ﹣x ）． （4）(x 2－5)2＋8(5－x 2)＋16.4．下面是某同学对多项式（x 2-4x +2）（x 2-4x +6）+4进行因式分解的过程.解：设x 2-4x =y ，原式=（y +2）（y +6）+4=y 2+8y +16=（y +4）2=（x 2-4x +4）2.（1）该同学因式分解的结果是否彻底?_______________. （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果__________________.（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2-2x ）（x 2-2x +2）+1进行因式分解.5．先阅读，再因式分解：x 4＋4＝(x 4＋4x 2＋4)－4x 2＝(x 2＋2)2－(2x )2＝(x 2－2x ＋2)(x 2＋2x ＋2)，按照这种方法把多项式x 4＋324因式分解．6．问题背景：对于形如2120+3600x x -这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成()260x -，对于二次三项式21203456x x -+，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将2120x x -加上一项260，使它与2120x x -的和成为一个完全平方式，再减去260，整个式子的值不变，于是有： 2120+3456x -=22226060603456x x -⨯+-+=()260144x --=()226012x --=()()60+126012x x ---=()()4872x x --问题解决：（1）请你按照上面的方法分解因式： 2140+4756x x -；（2）已知一个长方形的面积为228+12a ab b +，长为+2a b ，求这个长方形的宽．7．因式分解：(x –3) (x +4) +3x =__________.8．x 3+3x 2—4 （拆开分解法）9．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x +y ）2+2（x +y ）+1．解：将“x +y ”看成整体，令x +y =A ，则原式=A 2+2A +1=（A +1）2再将“A ”还原，得：原式=（x +y +1）2．上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x ﹣y ）+（x ﹣y ）2=__________．（2）因式分解：（a +b ）（a +b ﹣4）+4（3）证明：若n 为正整数，则式子（n +1）（n +2）（n 2+3n ）+1的值一定是某一个整数的平方．10．已知22610340m n m n +-++=，则m n +=______．。
中考数学复习：因式分解
中考数学复习：因式分解一．选择题（共4小题）1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）2．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（）A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除3．分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）4．下列何者为多项式x2﹣36的因式（）A．x﹣3B．x﹣4C．x﹣6D．x﹣9二．填空题（共41小题）5．因式分解：x2﹣4＝．6．分解因式：x3﹣9x＝．7．因式分解：ax2﹣2ax+a＝．8．分解因式：x2﹣4＝．9．分解因式：m3﹣4m2+4m＝．10．分解因式：a3+2a2b+ab2＝．11．分解因式：a2+5a＝．12．因式分解：x2﹣1＝．13．分解因式：xy2﹣4x＝．14．因式分解：3a2+6ab+3b2＝．15．因式分解：m2﹣3m＝．16．分解因式：2a2﹣2a＝．17．2a2与4ab的公因式为．18．若x+y＝3，xy＝2，则x2y+xy2的值是．19．分解因式：x3﹣xy2＝．20．因式分解：x2+x＝．21．因式分解：m3﹣4m＝．22．已知实数a，b，满足a+b＝6，ab＝7，则a2b+ab2的值为．23．因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝．24．因式分解：x2y+2xy+y＝．25．分解因式：4﹣4x+x2＝．26．分解因式：a2﹣100＝．27．因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝．28．已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+9＝．29．因式分解：x2﹣25y2＝．30．分解因式：a3b﹣ab＝．31．因式分解：x2﹣2x+1＝．32．因式分解：x2﹣3x＝．33．分解因式：n2﹣9＝．34．因式分解：a2+ab＝．35．分解因式：x2﹣y2＝．36．分解因式：x3﹣6x2+9x＝．37．分解因式：2x2﹣4x+2＝．38．一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：．39．因式分解：m2﹣3m＝．40．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m﹣n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧优数，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．41．分解因式：x3﹣4x2+4x＝．42．分解因式：x2﹣9＝．43．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于．44．分解因式：m2﹣1＝．45．分解因式：x2y﹣y3＝．三．解答题（共1小题）46．（1）计算：|3−1|−4sz0°+(12)−1+(4−p0；（2）分解因式：2a3﹣12a2+18a．中考数学复习：因式分解答案1．解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故选项A错误，B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故选项B错误，C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故选项C正确，D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故选项D错误．故答案为：C．2．解：（2k+3）2﹣4k2＝4k2+12k+9﹣4k2＝12k+9＝3（4k+3），∵k为任意整数，∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，故选：B．3．解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a﹣1）（2a+1）．故选：A．4．解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6），∴x﹣6是多项式x2﹣36的因式．故选：C．5.解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．6．解：原式＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3），故答案为：x（x+3）（x﹣3）．7．解：ax2﹣2ax+a＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）2．8．解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．9．解：m3﹣4m2+4m＝m（m2﹣4m+4）＝m（m﹣2）2．故答案为：m（m﹣2）2．10．解：a3+2a2b+ab2＝a（a2+2ab+b2）＝a（a+b）2．故答案为：a（a+b）2．11．解：∵a2+5a公有因式为a，∴原式＝a（a+5），故答案为：a（a+5）．12．解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．13．解：原式＝x（y2﹣4）＝x（y+2）（y﹣2），故答案为：x（y+2）（y﹣2）14．解：3a2+6ab+3b2，＝3（a2+2ab+b2），＝3（a+b）2．15．解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．16．解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．故答案为：2a（a﹣1）．17．解：2a2与4ab的公因式是2a．故答案为：2a．18．解：∵x+y＝3，xy＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×3＝6，故答案为：6．19．解：x3﹣xy2＝x（x2﹣y2）＝x（x+y）（x﹣y）．故答案为：x（x+y）（x﹣y）．20．解：x2+x＝x（x+1）．21．解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），故答案为：m（m+2）（m﹣2）22．解：∵a+b＝6，ab＝7，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝7×6＝42．故答案为：42．23．解：3ma2﹣6mab+3mb2＝3m（a2﹣2ab+b2）＝3m（a﹣b）2，故答案为：3m（a﹣b）2．24．解：x2y+2xy+y＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2．故答案为：y（x+1）2．25．解：4﹣4x+x2＝（2﹣x）2；故答案为：（2﹣x）2．26．解：a2﹣100＝（a+10）（a﹣10），故答案为：（a+10）（a﹣10）．27．解：原式＝（x2+xy）﹣z（x+y）＝x（x+y）﹣z（x+y）＝（x+y）（x﹣z），故答案为：（x+y）（x﹣z）．28．解：∵m2﹣m﹣1＝0，∴m2﹣m＝1，∴2m3﹣3m2﹣m+9＝（2m3﹣2m2）﹣m2﹣m+9＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+9＝2m﹣m2﹣m+9＝﹣m2+m+9＝﹣（m2﹣m）+9＝﹣1+9＝8，故答案为：8．29．解：x2﹣25y2＝（x﹣5y）（x+5y）．故答案为：（x﹣5y）（x+5y）．30．解：原式＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．故答案为：ab（a+1）（a﹣1）．31．解：原式＝（x﹣1）2．故答案为：（x﹣1）232．解：原式＝x•x﹣x•3＝x（x﹣3），故答案为：x（x﹣3）．33．解：n2﹣9＝（n+3）（n﹣3），故答案为：（n+3）（n﹣3）．34．解：a2+ab＝a（a+b）．故答案为：a（a+b）．35．解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案是：（x+y）（x﹣y）．36．解：x3﹣6x2+9x，＝x（x2﹣6x+9），＝x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．37．解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．38．解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴符合条件的一个多项式是x2﹣1，故答案为：x2﹣1（答案不唯一）．39．解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．40．解：根据题意，且m﹣n＞1，当m＝3，n＝1，则第1个智慧优数为：32﹣12＝8，当m＝4，n＝2，则第2个智慧优数为：42﹣22＝12，当m＝4，n＝1，则第3个智慧优数为：42﹣12＝15．正整数的平方分别为：1，4，9，16，25，36，49，64，81．当m＝5，n＝3，则第3个智慧优数为：52﹣32＝16，当m＝5，n＝2，则第3个智慧优数为：52﹣22＝21，当m＝5，n＝1，则第3个智慧优数为：52﹣12＝24，以此类推，当m＝6时，有4个智慧优数，同理m＝7时有5个，m＝8时，有6个，智慧优数虽然不会重复，但产生方式却会．举例：24是一个智慧数，却可以有两种方式产生：m＝7，n＝5和m＝5，n＝1．又两数之间的差越小，平方越小，所以后面也有智慧优数比较小的，所以需要将智慧优数进行一一列出，并进行比较．第22个智慧优数，当m＝9时，n＝5，第22个智慧优数为：92﹣52＝81﹣25＝56，第23个智慧优数，当m＝11时，n＝8，第23个智慧优数为：112﹣82＝121﹣64＝57，故答案为：15，57．41．解：原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2．故答案为：x（x﹣2）2．42．解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．故答案为：（x+3）（x﹣3）．43．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴3x3﹣10x2+5x+2027＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027＝3x﹣4﹣3x+2027＝2023，故答案为：2023．44．解：m2﹣1＝（m+1）（m﹣1）．45．解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．46．解：（1）原式=3−1﹣4×12+2+1 =3−1﹣2+2+1=3；（2）原式＝2a（a2﹣6a+9）＝2a（a﹣3）2．考点卡片1．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．2．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．3．因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．4．公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．5．因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．6．因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．7．提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．8．因式分解-分组分解法1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．例如：①ax+ay+bx+by＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy﹣x2+1﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1＝1﹣（x﹣y）2＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）9．因式分解-十字相乘法等借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．10．因式分解的应用1、利用因式分解解决求值问题．2、利用因式分解解决证明问题．3、利用因式分解简化计算问题．【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．11．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．12．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．13．一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．14．特殊角的三角函数值（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=1；cos30°=tan30°=sin45°=cos45°=tan45°＝1；sin60°=cos60°=12；tan60°=3；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．。
中考数学常考的知识点：因式分解
中考数学常考的知识点：因式分解（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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上海中考数学因式分解
上海中考数学因式分解数学中考因式分解在中考数学中，因式分解是一个非常重要的知识点。
掌握了因式分解，我们可以将复杂的数学表达式化简为简单的乘积形式，提高解题的效率和准确性。
下面，我们来学习一下关于上海中考数学因式分解的相关内容。
因式分解是指将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式。
在因式分解过程中，我们需要将表达式中的公因式进行提取，同时应用一些特定的分解公式。
下面，我们将介绍几种常见的因式分解方法。
第一种方法是提公因式。
当一个多项式中的每一项都可以被一个相同的数或代数式整除时，我们可以将这个公因式提取出来，从而实现因式分解。
例如，对于多项式2x+4y，其中的公因式为2，我们可以将其分解为2(x+2y)。
第二种方法是提取代数式公因式。
当一个多项式中的每一项都可以被一个相同的代数式整除时，我们可以将这个代数式公因式提取出来，从而进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+2x，其中的公因式为x，我们可以将其分解为x(x+2)。
第三种方法是利用分解公式。
在因式分解中，我们经常利用一些特定的分解公式来实现分解。
这些分解公式包括二次差分公式、完全平方公式、差平方公式等等。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以利用差平方公式将其分解为(x-2)(x+2)。
通过掌握以上几种因式分解方法，我们可以更加灵活地处理各种类型的多项式表达式。
在中考中，因式分解不仅仅用于求解方程，还可以用于简化表达式、化简算式等等。
因此，对于上海中考数学来说，掌握因式分解是非常重要的。
最后，我们需要在解题过程中注意准确度和规范性。
在进行因式分解时，一定要仔细审题，确保分解的正确性。
同时，我们还需要注意表达的简洁性和逻辑性，通过合理地使用语言和符号，使分解过程更加清晰和易懂。
总之，上海中考数学因式分解是一个必备的知识点，通过掌握提公因式、提取代数式公因式和利用分解公式等方法，我们可以有效地解决各种与因式分解相关的数学问题。
在解题过程中，我们应该注重准确性和规范性，并且通过简洁明了的语言和符号，使分解过程清晰易懂。
中考数学复习之因式分解,基础过关练习题
4. 因式分解● 知识过关1. 因式分解的概念(1)把一个多项式化成几个整式的______的形式，这样的式子变形叫做把这个式项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式.(2)因式分解与整式乘法是______变形.● 考点分类考点1 因式分解的概念例1下列式子变形是因式分解的是( )A.6)5(652+-=+-x x x xB.)3)(2(652--=+-x x x xC.65)3)(2(2+-=--x x x xD.)3)(2(652++=+-x x x x考点2 因式分解的基本方法例2 (1)下列因式分解正确的是( )A.)1(33a a a a +-=+-B.)2(2242b a b a -=+-C.22)2(4-=-a aD.22)1(12-=+-a a a考点3 用分组分解法进行因式分解例3 先阅读以下材料，然后解答问题.分解因式mx+nx+my+ny =(mx+nx )+(my+ny )=x (m+n )+y (m+n )=(x+y )(m+n ); 也可以mx+nx+my+ny =(mx+my )+(nx+ny )=m (x+y )+n (x+y )=(m+n )(x+y );以上分解因式的方法称为分组分解法.请用分组分解法分解因式：2233ab b a b a -+-考点4 因式分解的应用例4 若a,b ，c 三个数满足ac bc ab c b a ++=++222，则( )A. a=b=cB. a ，b,c 不全相等C. a ，b,c 互不相等D. 无法确定a,b,c 之间的关系真题演练1．对于任意实数a ，b ，a 3+b 3＝（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）B ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab +b 2）C ．a 3﹣b 3＝（a ﹣b ）（a 2﹣ab +b 2）D ．a 3﹣b 3＝（a +b ）（a 2+ab ﹣b 2）2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2﹣x ﹣6＝（x +2）（x ﹣3）B ．x 2﹣1＝（x ﹣1）2C ．x 2﹣x ﹣1＝x （x ﹣1）﹣1D ．x （x ﹣1）＝x 2﹣x3．已知ab ＝﹣3，a +b ＝2，则a 2b +ab 2的值是（ ）A ．﹣6B ．6C ．﹣1D ．14．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．﹣x 2+9y 2B ．x 2+9y 2C ．x 2﹣2y 2+1D ．﹣x 2﹣9y 25．若a ﹣b ＝6，ab ＝5，则a 2b ﹣ab 2＝ ．6．如果a +b ＝4，ab ＝3，那么a 2b +ab 2＝ ．7．在实数范围内分解因式：x 2﹣4x ﹣3＝ ．8．分解因式：3m 2﹣3mn ＝ ．9．分解因式：a 2﹣16b 2＝ ．10．分解因式：（x 2+9）2﹣36x 2＝ ．11．若等式x 2﹣3x +m ＝（x ﹣1）（x +n ）恒成立，则n m ＝ ．12．若a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．（1）若满足b （a ﹣b ）﹣c （b ﹣a ）＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）若满足a 2+2b 2+c 2﹣2b （a +c ）＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．课后练习1．已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形2．已知3x2+4x﹣6＝0，则多项式6x4+11x3﹣14x2﹣14x+15的值是（）A．1B．2C．3D．43．将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（）A．a（a+4）（a﹣4）B．（a﹣4）2C．a（a﹣16）D．（a+4）（a﹣4）4．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）5．因式分解：4a2﹣b2＝．6．因式分解：3x2﹣12y2＝．7．在实数范围内分解因式：2x2﹣4＝．8．分解因式：ax2﹣5ax+6a＝．9．分解因式：3ma2﹣6ma+3m＝．10．已知x+y＝0.5，xy＝﹣2，则代数式x2y+xy2的值为．11．若x﹣y﹣7＝0，则代数式x2﹣y2﹣14y的值等于．12．因式分解8m2n﹣2n＝．13．已知x﹣y＝2，y﹣z＝﹣1，求x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz的值．冲击A+如图1,在△ABC 中，BD 平分△ABC ，CE 平分△ACB ，BD 与CE 交于点O(1) 如图1，若△A=60°求△BOC 的度数；作OF△AB 于点F ，求证AE+AD=2AF ；如图2，若△A=90°，OD=74OB ，求OCOE 的值.。
专题04 因式分解篇(原卷版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾专题04因式分解2023年中考数学必考考点总结考点一：因式分解1.因式分解的概念：把一个多项式写成几个整式的乘法的形式，这种变形叫做因式分解。
2.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++公因式的确定：公因式＝各项系数的最小公倍数×相同字母（式子）的最低次幂。
若多项式首项是负的，则公因式为负。
用各项除以公因式得到另一个式子。
②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22。
完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±③十字相乘法：利用十字交叉线将二次三项式进行因式分解的方法叫做十字相乘法。
对于一个二次三项式c bx ax ++2，若满足21a a a ⋅=，21c c c ⋅=，且b c a c a =+1221，那么二次三项式c bx ax ++2可以分解为：()()22112c x a c x a c bx ax ++=++。
当1=a 时，二次三项式是c bx x ++2，此时只需21c c c ⋅=，且b c c =+21，则c bx x ++2可分解为：()()212c x c x c bx x ++=++。
④分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解--分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式。
（分组分解法一般针对四项及以上的多项式）3.因式分解的具体步骤：（1）先观察多项式是否有公因式，若有，则提取公因式。
（2）观察多项式的项数，两项，则考虑平方差公式；三项则考虑完全平方式与十字相乘法。
四项及以上则考虑分组分解。
（3）检查因式分解是否分解完全。
必须分解到不能分解位置。
再无特比说明的情况下，任何因式分解的题目都必须在有理数范围内进行分解。
微专题1．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x2．（2022•永州）下列因式分解正确的是（）A．ax+ay＝a（x+y）+1B．3a+3b＝3（a+b）C．a2+4a+4＝（a+4）2D．a2+b＝a（a+b）3．（2022•湘西州）因式分解：m2+3m＝．4．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝．5．（2022•常州）分解因式：x2y+xy2＝．6．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（）A．a（a+2）B．a（a﹣2）C．（a+2）2D．（a+2）（a﹣2）7．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝．8．（2022•烟台）把x2﹣4因式分解为．9．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝．10．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．11．（2022•衡阳）因式分解：x2+2x+1＝．12．（2022•济南）因式分解：a2+4a+4＝．13．（2022•宁波）分解因式：x2﹣2x+1＝．14．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（）A．x（x﹣4）+4B．（x+2）（x﹣2）C．（x+2）2D．（x﹣2）215．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）16．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝．17．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝．18．（2022•辽宁）分解因式：3x2y﹣3y＝．19．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝．20．（2022•黔东南州）分解因式：2022x2﹣4044x+2022＝．21．（2022•常德）分解因式：x3﹣9xy2＝．22．（2022•怀化）因式分解：x2﹣x4＝．23．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（）A．﹣12B．﹣3C．3D．1224．（2022•内江）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝．25．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为．26．（2022•黔西南州）已知ab＝2，a+b＝3，求a2b+ab2的值是．。
九年级数学解一元二次方程(因式分解法)
一、基础知识（一）因式分解公式1．因式分解法若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x2－9＝0，这个方程可变形为(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x－3)等于0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相当于解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A·B＝0，A＝0或B＝0。
二、重难点分析本课教学重点：因式分解法的灵活应用在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．本题教学难点：因式分解法中的公式公式的特点：左边为二项式，是两个数的完全平方的差，右边是这两个数的和与差的积，运用这个公式可以把形式是平方差的二项式分解因式。
公式的特点：左边为三项式，其中首末两项是两个数的平方和的形式，中间一项是这两个数的积的2倍（加上相应的符号），右边是这两个数之和（或差）的平方，运用完全平方公式可将符合公式左边特点的三项式分解因式。
典例精析：例1.用因式分解法解下列方程：(1)y2＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；(3)(2x－1)(x－1)＝1．例2.用适当方法解下列方程：(1)3(1－x)2＝27；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1；(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2．【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.3因式分解法例3.解关于x的方程：(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2．【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.3因式分解法三、感悟中考1．（2013年天津）关于x的一元二次方程x2﹣5x+p=0的两实根都是整数，则整数p 的取值可以有（）【答案】D【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.3因式分解法2.（2013年甘肃）经计算整式x+1与x﹣4的积为x2﹣3x﹣4，则一元二次方程x2﹣3x ﹣4=0的所有根是（）四、专项训练（一）基础练习1．方程x（x﹣2）=x的根是．解得：x1=0，x2=3．【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.3因式分解法2. 小华在解一元二次方程x2﹣4x=0时，只得出一个根是x=4，则被他漏掉的一个根x=．3. 如果方程ax2﹣bx﹣6=0与方程ax2+2bx﹣15=0有一个公共根是3，求a、b的值，并分别求两个方程的另外一个根．【答案】解：把x=3分别代入两个方程，【考点】 人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.3因式分解法（二）提升练习4．已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值．【答案】解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y 13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--． 【考点】 人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.3因式分解法5.关于x 的一元二次方程x 2﹣5x +p =0的两实根都是整数，则整数p 的取值可以有（ ）【答案】D【考点】人教新课标九年级上册•21章一元二次方程•21.2.3因式分解法6,.若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣3，则实数p的值为（）。
初中数学因式分解方法汇总(共12种,中考必背,全掌握计算题不再怕)
初中数学因式分解方法汇总1提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1、分解因式x -2x -xx -2x -x=x(x -2x-1)2 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2、分解因式a +4ab+4ba +4ab+4b =（a+2b）3分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5mm +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4 十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析：1 -37 22-21=-197x -19x-6=（7x+2）(x-3)5配方法对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6拆、添项法可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.例7、分解因式2x -x -6x -x+22x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x [2(x + )-(x+ )-6令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6= x [2(y -2)-y-6]= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9图象法令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )例9、因式分解x +2x -5x-6令y= x +2x -5x-6作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10 主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) [a -a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)11利用特殊值法将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.例11、分解因式x +9x +23x+15令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12待定系数法首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.例12、分解因式x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以解得则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)。
【初中数学】中考数学因式分解考点列举
【初中数学】中考数学因式分解考点列举中考数学因式分解测试点的枚举(1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.（2）公因子：多项式的每个项中包含的相同因子称为多项式的公因子(3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的.（4）公因子法：一般来说，如果一个多项式的项有公因子，你可以把公因子放在括号外，以因子积的形式写出多项式。
这种分解因子的方法称为公因子法(5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式.（6）如果多项式第一项的系数为负，通常需要提出-号，以便括号中第一项的系数为正。
当符号被提出时，多项式的所有项都必须改变(7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.（8）使用公式法：如果乘法公式是反的，它可以用来将一些多项式分解成因子。
这种分解因子的方法叫做公式法(9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b)（10）用平方差公式分解因子的二项式公式有什么特点①系数能平方，(指的系数是完全平方数)② 字母索引应该成对排列③两项符号相反.(指的两项一正号一负号)（11）用平方差公式进行因式分解的关键是把每一项都写成平方的形式，并正确判断a和B分别等于什么(l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a22ab+b2=(ab)2（13）完全平方公式的特点：①它是一个三项式.② 其中两个是两个数的平方和③第三项是这两数积的正二倍或负二倍.④ 有了以上三个特征，它等于两个数之和（或差）的平方(14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)等于这两个数的和(或者差)乘以它们的平方和与它们积的差(或者和).（15）使用立方和和立方差分解的关键是能够将这两项写成两个数的立方(16)具备什么条件的多项式可以用分组分解法来进行因式分解：如果一个多项式的项分组并提出公因式后，各组之间又能继续分解因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.（17）小组分解法的前提：掌握公因子法和公式法是学好小组分解法的前提(18)分组分解法的原则：分组后可以直接提出公因式，或者分组后可以直接运用公式.（19）分组时，我们应该考虑分组后是否可以继续分解，关键是选择合理的分组方法。
中考数学复习之因式分解专题
中考数学复习之因式分解专题1．分解因式：（x﹣1）2+2（x﹣5）．2．（1）计算：（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|；（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．3．（8分）（1）计算：sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|（2）因式分解：3a2﹣484．（8分）（1）计算：（）﹣1+﹣6tan60°+|2﹣4|（2）因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）5．（8分）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？6．（8分）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．7．（8分）（1）计算：（）﹣2+（﹣）0﹣2cos60°﹣|3﹣π|（2）分解因式：6（a﹣b）2+3（a﹣b）8．（8分）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．9．（8分）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）＝．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）＝＝．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．10．（8分）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A）∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2）（B）∴c2＝a2+b2（C）∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．11．（8分）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．12．（8分）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．13．（8分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．14．（8分）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b ＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．15．（8分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若+＝45，则x＝；②若﹣＝26，则y＝；③若+＝，则t＝；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被整除，﹣一定能被整除，•﹣mn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．。
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2 2
2
2．下列各等式(1) a － b = (a + b) (a–b ),(2) x –3x +2 = x(x–3) + 2 1 1 1 1 2 (3 ) 2 － ,(4 )x + 2 －2－（ x － 2 x –y ( x + y) (x – y ) x x 从左到是因式分解的个数为（ ） (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 2 3．若 x ＋mx＋25 是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） (A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10 2 4．若 x ＋mx＋n 能分解成( x+2 ) (x – 5)，则 m= ,n= ; 2 5．若二次三项式 2x +x+5m 在实数范围内能因式分解，则 m= ; 2 6．若 x +kx－6 有一个因式是(x－2)，则 k 的值是 ; 7．把下列因式因式分解： 3 2 2 2 (1)a －a －2a (2)4m －9n －4m+1 (3)3a +bc－3ac-ab 8．在实数范围内因式分解： 2 (1)2x －3x－1 考点训练： 1. 分解下列因式： 2 (1).10a(x－y) －5b(y－x) (3).x (2x－y)－2x＋y (5).2ax－10ay＋5by＋6x *(7).a ＋4 (9).x y－9xy (11).4a－a
2 2 2 2 2 2
(13).4y ＋4y－5 解题指导： 1．下列运算:(1) (a－3) ＝a －6a＋9 (3) ax ＋a xy＋a＝a(x ＋ax) (4)
2 2 2 2 2
(2) x－4＝( x ＋2)(
x －2)
1 2 1 1 2 2 x － x＋ ＝x －4x＋4＝(x－2) 其中是因式分)(x＋y－1)－12
2
(5).4ａｂ－（1－ａ ） （1－ｂ ） ＊4。已知 a＋b＝1,求 a ＋3ab＋b 的值
3 3
2
(6).－3m －2m＋4
2
5．ａ、ｂ、ｃ为⊿ABC 三边，利用因式分解说明ｂ －ａ ＋2ａｃ－ｃ 的符号 6．0＜ａ≤5，ａ为整数，若 2ｘ ＋3ｘ＋ａ能用十字相乘法分解因式，求符合条件的ａ 独立训练： 2 2 2 2 3 3 1．多项式 x －y , x －2xy＋y , x －y 的公因式是 。 2．填上适当的数或式，使左边可分解为右边的结果： 1 2 2 2 2 (1)9x －( ) ＝(3x＋ )( － y), (2).5x ＋6xy－8y ＝(x )( －4y). 5 2 3．矩形的面积为 6x ＋13x＋5 (x>0),其中一边长为 2x＋1,则另为 。 2 4．把 a －a－6 分解因式，正确的是( ) (A)a(a－1)－6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6) 1 2 2 2 2 2 2 2 5．多项式 a ＋4ab＋2b ,a －4ab＋16b ,a ＋a＋ ,9a －12ab＋4b 中，能用完全平方公式分解 4 因式的有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 6．设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则 x＋y 的值是（ ） (A)-5 或 3 (B) -3 或 5 (C)3 (D)5 2 7．关于的二次三项式 x －4x＋c 能分解成两个整系数的一次的积式，那么 c 可取下面四个值 中的（ ） (A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5 2 8．若 x －mx＋n＝(x－4)(x＋3) 则 m,n 的值为（ ） (A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n＝12 (C) m＝1,n＝－12 (D) m＝1,n＝12. 25 2 9．代数式 y ＋my＋ 是一个完全平方式，则 m 的值是 。 4 x y 2 2 10．已知 2x －3xy＋y ＝0（x,y 均不为零） ，则 ＋ 的值为 。 y x 11．分解因式: 2 2 2 (1).x (y－z)＋81(z－y) (2).9m －6m＋2n－n ＊(3).ab(c ＋d )＋cd(a ＋b ) ＊(5).x ＋4y
a 2 b 2 (a b)(a b), a 2 2ab b 2 (a b) 2 , a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 )
写出结果．
(3)十字相乘法 对于二次项系数为 l 的二次三项式 x px q,
2
寻找满足 ab=q，a+b=p 的 a，b，如有，
2
ax2 bx c a( x x1 )(x x2 ).
考查题型： 1．下列因式分解中，正确的是（ ） 1 2 1 2 2 (A) 1- x = (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x – 2 = - 2(x- 1) 4 4 3 (C) ( x- y ) –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1) 2 2 (D) x –y – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
且运算正确的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2 2．不论ａ为何值，代数式－ａ ＋4ａ－5 值（ ） （A）大于或等于 0 （B）0 （C）大于 0 （D）小于 0 2 3．若 x ＋2（m－3）x＋16 是一个完全平方式，则 m 的值是（
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）
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第 4 课 因式分解 〖知识点〗 因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘 法、求根） 、因式分解一般步骤。 〖大纲要求〗 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握 利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。 〖考查重点与常见题型〗 考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。重点考查的分式提取公 因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为多，也有选择题和 解答题。 因式分解知识点 多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因 式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多项式 am bm cm m(a b c), 其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． (2)运用公式法，即用
（3）2ｘ ＋4ｘｙ＋ｙ
2
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4 4 2 2 2 2 2
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(4).a －3a －4 ＊(6).a ＋2ab＋b －2a－2b＋1
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4
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12．实数范围内因式分解 2 2 （1）ｘ －2ｘ－4 （2）4ｘ ＋8ｘ－1
则 x 2 px q ( x a)(x b); 对于一般的二次三项式 ax2 bx c(a 0),寻找满足 a1a2=a， c1c2=c,a1c2+a2c1=b 的 a1， a2， c1， c2， 如有， 则 ax2 bx c (a1 x c1 )(a2 x c2 ). (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． (4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之 间进行． 分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是 “-”号，括到括号里的各项都改变符号. (5)求根公式法：如果 ax bx c 0(a 0), 有两个根 X1，X2，那么
2 5 5 5 4 3 2
)
2
(4)9－x +2xy－y
2
2
(2)－2x +5xy+2y
2
2
(2).a －4a ＋4a (4).x(6x－1)－1
n+1
n
n-1
1 2 2 (6).1－a －ab－ b 4 (8).(x ＋x)(x ＋x－3)＋2 (10).－4x ＋3xy＋2y (12).2x －4x＋1 (14)3X －7X+2
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（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7 或－1 2 2 2 2 2 2 4．(x ＋y )(x －1＋y )－12＝0,则 x ＋y 的值是 5．分解下列因式： 3 6 6 (1).8xy(x－y)－2(y－x) ＊(2).x －y (3).x ＋2xy－x－xy