习题课高数

1
故
13
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n1 ( 3) ( 1) ln n n 1
n

因
单调递减, 且
由Leibnitz判别法知级数收敛 ; 但由于 ln(1 1 ) ~ 1 与调和级数比较,知 n n 所以原级数仅条件收敛 .
| un | 发散 n 1

14
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sin n1 ; ( 2) ( 1) n1 n1
n 1

n1 ( 3) ( 1) ln ; n n 1
n

［提示］ (1) p >1 时, 绝对收敛 ; 0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得大级数 原级数绝对收敛 .
n1 收敛 , n 1
1 n 1 (1 ) e n
1 0 (n ) e
1 1 因此级数在端点发散 , 故收敛区间为 ( , ) . e e
19
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un1 ( x ) 【解】 因 lim n u ( x ) n
lim
n
x2 2
x2 当 1 , 即 2 x 2 时， 级数收敛; 2
n n
又因 2Leabharlann un vn )22
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确. 【练习】 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
n 1

un unvn , 也都收敛 . n 1 n

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P257 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
的和 .
1 ( 1)n ( 1)n 2 n 0 ( 2 n)! n 0 ( 2 n 1 )!
1 [cos 1 sin 1 ] 2
27
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28
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显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 .
根据和函数的连续性 , 有
26
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五、利用幂级数求数项级数的和
1.利用常见的幂级数展式求数项级数的和
P258 题9(2). 求级数
n 1 (2n 1) 1 ( 1 ) 【解】 原式 = 2 ( 2 n 1 )! n 0
( n 1)! (4) ( 1) n 1 n n 1
n

因
un1 un
n2 1 n 1 n (1 ) n1 n1
所以原级数绝对收敛 .
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二、利用级数求数列极限
【例2】 求下列极限 P257 题6
1 n 1 1 k2 (1) lim k (1 ) n n k k 1 3 1 1 n2 【解】 对于级数 n (1 ) n n 1 3 1 1 n e n un (1 ) 1, 级数收敛， 3 n 3 n 1 1 k2 于是Sn k (1 ) 有界， k k 1 3 1 n 1 1 k2 lim k (1 ) 0. n n k k 1 3
9
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un1 an a (5) s (a 0 , s 0): 用比值判别法可知: lim n u n n n 1 a 1 时收敛 ; a 1 时发散. s 1 时收敛; a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散. ［练习］ 下列命题是否正确？若 正确则说明理由，
lim[2 4 8 ( 2 ) ] 2
n
n 1
1 27
1 n 3n
1 n 3 n 1 3n 1

1 令S ( x ) nx x 1, 则 n1 S ( ). 3 n 1 n 1 3 x 1 n 1 n ( ) 而S ( x ) nx ( x ) 2, 1 x (1 x ) n 1 n 1
)
)
2 ( 1)n 如 : un , un收敛， n 3 n 1
10
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( 3)若 un收敛且vn un , 则 vn收敛； (
n 1 n 1


)
1 如 : vn 1, un 2 ; n
1 (4)若正项级数 un 发散，则un ； ( n n 1 1 如 : un ; 2n
【例1】 若级数 证明级数
均收敛 , 且
收敛 .
【证明】 0 c n a n b n a n ( n 1 , 2 , ) , 则由题设
(b n a n ) 收敛 n1

[( c n a n ) a n ]
n1

(c n a n ) 收敛 n1
第十一章
习题课
无穷级数
一、数项级数的审敛法 二、利用级数求数列极限 三、求幂级数收敛域的方法 四、幂级数和函数的求法 五、利用幂级数求数项级数的和
一、主要内容
un为常数
un n 1

un为函数 un ( x )
常数项级数
函数项级数
2
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求和 展开
(在收敛域内进行) 时为数项级数; 时为幂级数;
n
1 n n 1
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
由此可知,可用比较法的极限形式与∑1/n比较,则容易.
8
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n cos 2 n 3 : ( 3) n 2 n 1

利用比值判别法, 可知原级数发散. n 用比值法, 可判断级数 n 收敛, n 1 2 再由比较法可知原级数收敛 .
(an , bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
【基本问题】 判别敛散；
求和函数(收敛域)；
级数展开.
3
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一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim un 0
n
不满足
发 散
满足
un1 比值审敛法 lim n un

(c n a n ) a n 收敛
n1 n1

【练习题】 P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
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解答提示: P257 题2. 判别下列级数的敛散性:
［提示］ (1) lim n n 1 , 0 , N ,

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( 2) lim[2 4 8 ( 2 ) ]
n
1 3
1 9
1 27
1 n 3n
【解】 2 4 ( 2 )
1 3 1 9
1 3
1 9
1 n 3n
2
1 2 3 n n 3 9 27 3
2
1 2 3 n (1 n 1 ) 3 3 9 3

1 t (0 x 1) dt x 01 t 1 1 ln ( 1 x ) x 1 1 ( 1 ) ln ( 1 x ) x 25
x
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即得
1 1 ( 1 ) ln ( 1 x ) , 0 x 1 x
ln10 n ln10 x lim lim n x n x 10 ln9 x 10! lim lim 0 x x x x ln10 n N ,当n N时，有0 1, n 1 1 10 于是 ln n n, , 10 ln n n
当 x 2 时 , 一般项 un n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2 , 2 ) .
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四、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式
• 映射变换法 （在收敛区间内）
n a nx n 0
an x n 0

否则举出反例 .

P257 题4.
un (1)若 un收敛且 lim 1, 则 vn收敛； ( n v n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 如 : vn ( 1) , un ( 1) ; n n n un1 ( 2)若 un收敛( un 0), 则lim 1； ( n u n 1 n
n
不定 根值审敛法 lim n un 其它法判别
1
部分和有界 比较审敛法
1
收 敛
1
发 散
4
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3. 任意项级数审敛法 ［概念］ 为收敛级数 若 收敛 , 称 发散 , 称 且 收敛 , 且 s u1 ，余项
5
绝对收敛 条件收敛
若 Leibnitz判别法: 若 则交错级数
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级数审敛法表格一览 正项级数 交错级数 任意项级数
1. 若 sn s , 则级数收敛;
2.当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
4.Leibnitz定理
4.绝对收敛 5.条件收敛
6
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［练习］ P258 题8. 求下列幂级数的和函数：