《固体物理·黄昆》第一章(1)
固体物理黄昆第一章
元激发的能量与寿命
元激发的能量与晶体的振动频率或量子数有关，可以通过量子力学公式计算。
元激发的寿命取决于其与周围环境的相互作用，以及能量的耗散机制。在某些条件下，元激发的寿命 可以很长，使得它们在某些物理过程中起到关键的作用。例如，在超导材料中，声子与电子相互作用 导致电子配对，从而实现超导态。
05
完美晶体
理想状态下，晶体中的原子或 分子应完全规则排列。
线缺陷
晶体中原子或分子的排列出现 中断，形成一条线上的缺陷。
形成原因
晶体缺陷的形成与温度、压力、 杂质等因素有关。
晶体缺陷对物理性质的影响
01
光学性质
晶体缺陷可以影响光的折射、反射 和吸收等性质。
热学性质
晶体缺陷可以影响热导率、热膨胀 等性质。
黄昆的贡献与影响
贡献
黄昆是中国固体物理学领域的奠基人之一，他在固体物理学的多个领域做出了卓越的贡献，包括晶体结构、晶体 振动、相变等方面。
影响
黄昆的学术成果不仅对中国固体物理学的发展产生了深远影响，也对全球固体物理学的发展产生了重要影响。他 的学术思想和方法论对后来的科研工作者提供了宝贵的启示和借鉴。
揭示了声子在固体中的传播特性
通过声子理论，黄昆揭示了声子在固体中的传播特性，包括声速、衰 减等，为理解材料的力学性质和热学性质提供了重要的理论依据。
黄昆的极化子理论
01
提出极化子的概念
黄昆在极化子理论中，提出了极化子 的概念，即某些固体中由于晶格振动 和电子运动的耦合而形成的元激发。
02
发展了极化子的计算 方法
02
元激发与量子力学中的粒子不同，它是一种波动现象，具有 波粒二象性。
03
元激发是晶体中能量的传递和转换机制，是理解固体物理中 许多现象的基础。
黄昆固体物理解答
( ) r
R
=
l
(
2ir
)
+
m
(
2
rj )
+
n
r 2k
+
(ir
+
rj
+
r k)
。由
r R
所定义的也是一个点阵常数为
2
的
SC
点阵，但相对于上面一个
SC
点阵位移了一个矢量
(ir
+
rj
+
r k)
，
这个点正好位于体心位置。上面两个 SC 点阵穿套起来正好是一个 bcc
点阵，故 ni 或全为奇数，或全为偶数所定义的是一个 bcc 点阵。
vc*
=
(2π vc
)3
,其中Vc为正格子原胞的体积。
vc*
=
(2π )3 vc2
(ar2
×
ar3 )
•
ar 1
=
(2π )3 vc
1.5证明：倒格子矢量
r G
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
垂直于密勒指数为
(h1,
h2
,
h3
)
的
晶面系.
解：因为
uuur CA
=
av1
− av3 ,
uuur CB =
又令 n = N − l − m, n 仍为整数，则有
r R
=
(n
+
r m)i
+
(n
+
l
)
r j
+
(l
+
黄昆版固体物理课后习题解答
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理习题第一章(黄昆)资料
对于构成金刚石结构，n= 4 8 1 6 1 8 ,V= ( 8r )3,
则有：x=
8* 4 πr3 3
( 8r )3
3 16
π
8
≈0.34
2
3
3
1.2 试证六方密排堆积结构中 c (8 )1/ 2 1.633. a3
证明：如图所示，六方密排中取出一个正四
面体，有c=2h
在正四面体中有：
]
a1VC
(2 )3
VC
即倒格子原胞体积为（2）3 Vc .
1.5指证数明为（：h倒1h格2h子3）矢的量晶面G系 h.1b1 h2b2 h3b3 垂直于密勒
证明：如图所示，ABC是晶面族（h1h
2
h
）
3
中离原点最近的一晶面.
因为
AC
( a3
a1 )
BC
（ a 3
a2 ）
h3 h1
k
0 a2i
i （a3 a1） 0
j 0
k
a a2 j
00a
a00
i （a1 a2） a
j 0
k
0 a2k
0a0
代入有：b1
2
a
i ,b2
2
a
j , b3
2
k
a
2
2 2
倒格子矢量：G hb1 kb2 lb3 h
i k a
a
j l
k a
则密勒指数为（hkl）的晶面系，面间距d为：
2
a -a a
2
22
代入有：b1
2
a2 ( 2 a3
j
k)
2
a
(
j
k)
固体物理(黄昆)第一章总结
2017-2018固体物理复习资料整理 D.S晶体：1.化学性质相同 2.几何环境相同第一章晶体结构1. 晶格实例1.1面心立方（fee ）配位数12格点等价格点数4致密度0.74- a -- a^- j k原胞基矢：-aa 2k i 原胞体积 Q= a 1(a 2a 3)=a 3/4-a丟寸jNaCI:两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子 基元=Na + + Cl 具有面心立方：简单格子（ Al 、Cu 、Ag ; Ar Kr Xe Ne ）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）1.2简单立方（SC 配位数6格点等价格点数1致密度0.52 CsCl 两组简单立方格子穿套而成的复式结构 基元=Cs + + Cl -钙钛矿结构：CaTiO 3五个简单立方穿套而成 基元：Ca 、Ti 、OI 、Oil 、OIII （01、Oil 、OIII的化学环境各不相同，氧八面体）典型晶体：BaTio3、PbZro3 LiNbO3、LiTaO3氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI等1.3体心立方（bee ）配位数8格点等价 格点数2致密度0.68■ a ■ ■ ■a 1（-i j k ） 2-a ------3原胞基矢：a 2（^j k ）原胞体积： Q = & （θ2 a 3） = a /22-a ^^ ~a 3 （i j -k ）2体心立方晶体：碱金属、W Ma Nb V 、Fe 等1.4六角密堆（hep ）配位数12两种格点 原子数6基元数3致密度0.74典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, LU等1.5金刚石结构 最近邻原子数4次近邻原子数12致密度0.34晶体结构=布拉维格子（面心立方） +基元（A+B ）*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体： SiC, Zn Se, AlAs, GaP, GaAS等2. 晶体的周期性结构2.1基本概念基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）：R = n1a1n2a2n3a3晶体结构=布拉维格子+基元原胞：由基矢a1、a2、a3确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞2.2维格纳-赛茨原胞（WS原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[I m n] 晶面指数（米勒指数）：（h k I ）米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS原胞，即所谓的第一布里渊区，布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢2k G h=Gl24.1简单立方的倒格矢（简单立方 ----- 简单立方）■NNa〔= ai b∣ = （2 Πa）i基矢彳a? =aj倒格矢也=（2 Πa）j©3 = ak b3 = （2 Πa）k4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方面心立方）-1 ^ ^ ^J 2 π-丄-a1=— a(-i + j +k)d— (j+k)2a基矢丿- 1 - - ^a2 = —a(i -j +k)倒格矢1b2=2π(k +「) 2a-1 ^ ^ ^ a3 =-a(ι + j -k)二2π -- b3 = (I+ j)L. 2l. a倒格矢可以表示为：G h =h1b1+h2b2+ h3b32 π二—[(h2h3)i (h gj (h h2)k]a其中（h1 h2 h3 ）是米勒指数，G h垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体4.3面心立方晶格的倒格子（面心立方一一体心立方）5. 晶体的宏观对称性= ；0二一： C=χ,y,z ）该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 （如电导率、热导率）5.2六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有 如下形式,D 〃 = ；〃E 〃 , D_= ；_E_,六角对称的晶体有双折射现象5.3对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1.旋转COS日-SinB 0 '1 0 0 X 绕Z 轴旋转q 角的正交矩阵Sin 日 CoS 日 0 ,中心反演的正交矩阵 0 1 0J 00 1丿< 0T J由于 CoSt = (1 - m)∕2 所以 m = -1 0 1 2 3,所以 t = 0 2— /62 — /42 — /32 — /2 ,没有所谓的5度轴和7度轴。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案(1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理 黄昆答案 第一章
将上式代入 ε = Az T ε Az 得
⎛ ⎜ 0 ⎞ ⎜ ⎜ ε 23 ⎟ = ⎟ ⎜− ⎜ ε 33 ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 3 ε11 + ε 22 4 4 3 3 ε11 + ε 22 4 4 3 − ε 32 2 − 3 3 ε11 + ε 22 4 4 3 1 ε11 + ε 22 4 4 1 − ε 32 2 − 3 ⎞ ε 23 ⎟ 2 ⎟ ⎟ 1 − ε 23 ⎟ 2 ⎟ ⎟ ε 33 ⎟ ⎟ ⎠
a 2
r
r
r r
a r 2
r
r r
a r 2
r
r
课后答案网
同理： 可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子。
面心立方格子原胞基矢: 面心立方格子原胞体积： 倒格子基矢： 同理 可见由
* vc =
ww
晶面系.
r r r r 1.5证明：倒格子矢量 G = h1b1 + h2b2 + h3b3 垂直于密勒指数为 (h1 , h2 , h3 ) 的
倒格子基矢 b1 =
v
kh da w. co m
案 网
1 h k l ( )2 + ( )2 + ( )2 a b c
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理解：简单正交系
课后答案网
sc
bcc
fcc 第 n 近距 离 1
n
1 2 3 4 5 6
第 n 近 邻 第 n 近距离 数 6 1 12 8 6
操作构成群 C4 ， C4 = ( C1 , C2 , C3 , C4 ) 群中任意两 个元素的乘积仍然是群中的元素（具体过程 乘积在此省略，请验证）。
答
济南大学-固体物理(黄昆)课件-第一章-1
， 为 一组基矢 Rl l1a1 l2a2 l3a3 a1, a2 , a3
x
1
3
二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法 2）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子
二维晶格的晶系和布拉伐格子 晶系 轴和角度 布拉伐格子
斜方
长方 正方
六角
a≠b γ ≠90℃ a≠b γ = 90℃ a=b γ = 90℃ a=b γ=120℃
R 等价数学定义： l l1a1 l2a2 l3a3 中取一切整数值
所确定的点 的集合称为布拉伐格子。
(a)基元
(b)晶体结构
: 两类不同的原子 : 基元中特定的点 — 格点 黑点的总体形成 Bravais 格子 布拉伐格子 + 基元 = 晶体结构
③ 格矢量：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其 他格点的矢量 Rl 称为格矢量。可表示为 注意事项： 1）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的 2 4 ·
用原胞和基矢来描述
描 述 方 式
位置坐标描述
1、 定义：
原胞：一个晶格最小的周期性单元，也称为固体物理 学原胞
晶格基矢:指原胞的边矢量，一般用 a1, a2 , a3 表示
2 、注意：
① 三维晶格原胞(以基矢 a1, a2 , a3 为棱的平行六面体
是晶格体积的最小重复单元） 的体积 为：
A a
A层
B层
近邻原子所分别形成的正三 角形的空间取向，不同于B 面内原子的上、下各3个最 近邻原子所分别形成的正三 六角密排晶格结构的典型单元 角形的空间取向！
B A层内原子的上、下各3个最 c
五、金刚石晶体结构
1· 特点：每个原子有4 个最近邻，它们正 好在一个正四面体的顶角位置 2· 堆积方式：立方单元体内对角线上的原子 — A 面心立方位置上的原子 — B
黄昆版固体物理学课后答案
黄昆版固体物理学课后答案《固体物理学》习题解答黄坤原著韩汝琦改编（陈志远答案，仅供参考）第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积v所得到的小球总体积nv与晶体原胞体积vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，x?（1）对于简立方结构：（见教材p2图1-1）nvvc43？r、 vc=a3，n=134343？RR33∴十、0.526a38r3a=2r，v=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线bg=3a?4r?a?n=2,vc=a343x32？∴十、434? r2？？r33330.688a3433（R）3（3）对于面心立方：单元面对角线BC=2A？4r，？A.22rn=4，vc=a3444??r34??r3233x0.74336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：s=6?s?abo?6?晶胞的体积：v=s?c?a?asin60332a=223328a?a?32a3?242r323n=1212?11?2??3=6个6246??r323x0.7436242r（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线bg=3a?4?2r?a?8r3n=8,vc=a3一448??r38??r33?33x0.346a3833r33c81。
2.测试：在六角形紧密堆积结构中？()1/2? 一点六三三a3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球a、b、o的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球n位于球abo所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：na=nb=no=a=2r.也就是说，图中的Nabo形成一个正四面体1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
A.a1？2（j？k）A.证明了：（1）面心立方的法向晶格基向量（固体物理的原胞基向量）：？a2？（i？k）2aa3?2(i?j)??2(a2?a3)由倒格子基矢的定义：b1??0,aa1?(a2?a3)?,2a,2a,20,a,2a?i,2aa3a???，a2?a3?,242a0,2?j,0,a,2?kaa2(?i?j?k)240?4a2???2?b1?2??3?(?i?j?k)?(?i?j? k)a4a？2.b2？（I？J？K）a类似地：2即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
01_03固体物理 黄昆 第一章
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
Z
[111]
A O X (111)
Y
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
• 练习：
• 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
Z
{110}=(110)+(011)+(101)+(110)+(011)+(101) +(110)+(011)+(101)
(111 ) 面等效的晶面数分别为：4个
{111}=(111)+(111)+(111)+(111)+(111)+(111)+(111)+(111)
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
A[012] B[123]
Z
(123) Y O1 X O2 X O1 (012) A O2 Y
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
晶向的标志
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 a 1 , a 2 , a 3 —— 沿晶向到最近的一个格点的位矢 l 1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3
l1 , l 2 , l 3 —— 一组整数
晶向指数 [ l 1 l 2 l 3 ] 单胞 —— 有类似的晶向指数 带轴 ——一些特殊晶列
•
小结：
1.密勒指数 ( h 1 h 2 h 3 ) 是一组相互平行的晶面； 2. ( h1 h 2 h 3 ) 与 ( h 1 h 2 h 3 ) 平行且完全等价； 3.晶面族 { h 1 h 2 h 3 } 表示位向不同，但晶面上原子排列完全相 同的晶面组合。 4.立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直， 例如：[111]垂直于（111）
黄昆固体物理习题解答
对 (111) 面与 (100) 面的交线作同样考虑
晶向为[0 11]。
也可以这样求解，因为 (111) 面与 (100) 面的法线方向分别为[111]和[100] ，所以与这两个
方向都垂直的方向是：
i jk 1 1 1 = j−k 100
所以晶向为[0 11]或[01 1]
∂ ( ∂r ∂r ∂V
∂U ) = ∂r ∂r ∂V
∂ ∂r
(
1 ∂V
∂U ) ∂r
∂r
∂ 2V
=
∂r ∂V
[−
∂r 2 (∂V )2
∂U ∂r
+
1 ∂V
∂ 2U ∂r 2
]
∂r
∂r
而在 r = r0 时，上式中的第一项为零，所以
K
=
[V
(
d 2U dV 2
)]V
=V0
=
V0
[(
∂V ∂r
)−2
(
2π υc
)3
(a2
×
a3
)
⋅
[(a3
×
a1
)
×
(a1
×
a2
)]
{ } =
(
2π υc
)3
(a2
×
a3
)
⋅
[(a3 × a1) ⋅ a2 )]a1 − [(a3 × a1) ⋅ a1 ]a2
=
(
2π υc
)3
(a2
×
a3
)
⋅
[
(a3
×
a1
)
⋅
a2
)]
a1
= (2π )3 υc
第一章-晶体结构-《固体物理学》黄昆-韩汝琦
6. 几种化合物晶体的晶格 1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
16 /16
第一章 晶体结构
晶体：在微米量级的范围是有序排列的 —— 长程有序
—— 在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体时对应一定 的熔点
晶体的规则外形
—— 最显著的特点是晶面有规则、对称地配置 —— 一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
01/ 28
不同生长条件下NaCl晶体的外形___b, c, d
—— 20世纪三十年代，建立了固体能带论和晶格动力学
01_00_绪论 —— 固体物理_黄昆
10 /16
—— 固体能带论说明了导体与绝缘体的区别，并断定有 一类固体，其导电性质介于两者之间______半导体
—— 20世纪四十年代末，以诸、硅为代表的半导体单晶的 出现并制成了晶体三极管______ 产生了半导体物理
体心立方晶格中，A层中原Байду номын сангаас球的距离等于A－A层之间的距
离，A层原子球的间隙 —— 0.31r0
r0 —— 原子球的半径
—— 体心立方晶格 结构的金属
Li、Na、K、Rb、 Cs、Fe 等
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
01_01_一些晶体的实例 —— 晶体结构
钙钛矿结构 —— 钛酸钙（CaTiO3）结构 —— 重要介电晶体 钛酸钡（BaTiO3） 锆酸铅（PbZrO3） 铌酸锂（LiNbO3） 钽酸锂（LiTaO3）等
固体物理(黄昆)第一章总结
第一章晶体结构1.晶格实例1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74原胞基矢：()()()123222aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞体积3123()/4Ωa a a a=⋅⨯=NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl-具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag；Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等）1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl-钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3氯化铯型结构：CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68原胞基矢：123()2()2()2aa i j kaa i j kaa i j k=-++=-+=+-原胞体积：3123()/2Ωa a a a=⋅⨯=体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等1.5金刚石结构 最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34 晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B)*将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP , GaAs 等2. 晶体的周期性结构2.1基本概念晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同 基元：晶体结构中最小的重复单元布拉维点阵（布拉维格子）： 112233R n a n a n a =++ 晶体结构 = 布拉维格子+基元原胞：由基矢1a 、2a 、3a 确定的平行六面体，是体积最小的周期性结构单元，原胞只包含一个格点晶胞：同时计及周期性及对称性的尽可能小的重复单元，原胞实际上是体积最小的晶胞2.2维格纳-赛茨原胞（WS 原胞）1. 作某个格点与其它格点的连接矢量2. 作所有这些连接矢量的垂直平分面3. 这些垂直平分面围起的凸多面体就是维格纳-赛茨原胞3. 晶向、晶面及其标志晶列（向）指数：[l m n] 晶面指数（米勒指数）：( h k l )米勒指数是以晶胞基矢为基准，而面指数则以原胞基矢为基准标定4. 布里渊区倒格子空间中的维格纳-赛茨（WS ）原胞，即所谓的第一布里渊区,布里渊区包含了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢22h h k G G ⋅= 4.1简单立方的倒格矢（简单立方——简单立方）基矢123a aia aj a ak ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 倒格矢123(2π/a)(2π/a)(2π/a)b i b j b k⎧=⎪=⎨⎪=⎩4.2体心立方晶格的倒格子（体心立方——面心立方）基矢1231()21()21()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b j k a b k i a b i j a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩倒格矢可以表示为：1122332331122π[()()()]h G h b h b h b h h i h h j h h k a=++=+++++ 其中（h1 h2 h3）是米勒指数，h G 垂直于米勒指数，其第一布里渊区是一个正十二面体 4.3面心立方晶格的倒格子（面心立方——体心立方）基矢1231()21()21()2a a j k a a k i a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩ 倒格矢1232π()2π()2π()b i j k a b i j k a b i j k a ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩第一布里渊区为截角八面体即5. 晶体的宏观对称性xx xy xz x x y yx yy yz y z zx zy zz z D E D E D E εεεεεεεεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.1对于所有立方对称的晶体中，介电常数是一个对角张量：0 (,,,)x y z αβαβεεδαβ==该结论适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质 (如电导率、热导率)5.2六角对称的晶体中，若坐标轴选取在六角轴的方向和与它垂直的平面内，则介电常数有如下形式// 0 00 00 0 εεε⊥⊥⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，//////D E ε=， D E ε⊥⊥⊥=，六角对称的晶体有双折射现象5.3对称操作（正交变换：旋转、中心反演、镜面反映） 1. 旋转绕 z 轴旋转 q 角的正交矩阵cos sin 0sin cos 0 0 0 1θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，中心反演的正交矩阵 1 0 0 0 1 0 0 0 1-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭由于cost = (1 - m)/2 所以 m = -1 0 1 2 3，所以t = 0 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2，没有所谓的5度轴和7度轴。
固体物理第一章1-资料
第一章 晶体结构 第二章 晶体结构测定 第三章 晶格振动 第四章 金属（I）：自由电子 第五章 金属（II）：能带论
第一章(1) 晶体结构
1.1 晶体的共性 1.2 一些晶格的实例 1.3 配位数和致密度 1.4 原子的周期性阵列 1.5 晶格的基本类型 1.6 再总结：布喇菲格子
固体的结构：固体材料是由大量的原子（或离子）组成的，原 子以一定方式排列，原子排列的方式称为固体的 结构。
1.2 一些晶格的实例
晶格：晶体中原子排列的具体形式称为晶体格子，简称晶格。 （1）晶体原子规则排列形式不同，则有不同的晶格结构； （2）晶体原子规则排列形式相同，只是原子间的距离不同， 则它们具有相同的晶格结构。
处理方法：把晶格设想成为原子球的规则堆积
一、正方堆积
把原子视为刚性小球，在二维平面内最 简单的规则堆积便是正方堆积；
任一个球与同一平面内的四个最近邻相 切。
原子球的正方堆积
二、简单立方堆积
正方排列层层重合堆积起来，就构成了简单立简单立方晶格的结构，但是一些 复杂的晶格可以在简单立方晶格的基础上加以分析
三、体心立方堆积
把简单立方堆积的原子球均匀地散开一些， 而恰好在原子球空隙内能放入一个全同的原 子球，使空隙内的原子球与最近邻的八个原 子球相切，这就构成了体心立方堆积。
二、自限性
晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特 性，称之为晶体的自限性。这一特性是晶 体内部原子的规则排列在晶体宏观形态上 的反映。
由于生长条件的不同，同一种晶体的外形 会有差异。在某条件下生长的晶体的晶面 数目和相对大小，与另一条件下生长的同 一种晶体的晶面情况会有很大的差别。
尽管同一种晶体其外形可能不同，但相应 的两晶面之间的夹角总是不变的，这一规 律称为晶面夹角守恒定律。
固体物理学(黄昆_高教版)_答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnV x =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34ar 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒=n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342ar342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r344ar344x 3333≈π=π⨯=π⨯=（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=32126112+⨯+⨯=6个74.062r224r 346x 33≈π=π⨯=（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r338r 348ar348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
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Lattice image of water-quenched Al72Ni20Co8 obtained by the
a3 体积 V a1 a2 a3 2
原子个 数
1
由一个顶点向三个体心引 基矢。
bcc原胞示意图
fcc
晶胞：
a ai 基矢 b aj c ak
体积 V a3 原子个 数 4
原胞：
基矢
a a ( i j ) 1 2 a a2 ( j k ) 2 a a3 ( k i ) 2
x j , yj , 和z j的取值在 0 x j , yj , z j 1
晶胞
除了周期性外， 每种晶体还有自己特 殊的对称性。为了同 时反映晶格的对称性， 往往会取最小重复单 元的一倍或几倍的晶 格单位作为原胞。结 晶学中常用这种方法 选取原胞，故称为结 晶学原胞，简称晶胞 （也称为单胞）。 例：二维
例：立方晶系的几个晶面
立方晶格的几种主要晶面标记
第一章 晶体结构
• 晶体：组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性 • 非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻 或次近邻原子间的键合：如配位数、键长键角 等具有一定的规律性），无长程周期性
• 准晶：有长程的取向序，沿取向序的对称轴方 向有准周期性，但无长程周期性
晶体的宏观特征
• • • • • • • 自范性 晶面角守恒定律 解理性 各向异性 均匀性 对称性 最低内能与固定熔点
c.金刚石结构
典型晶体：金刚石、Si、Ge
金刚石的配位数为 4；
2. 简单化合物晶体 NaCl结构
典型晶体：NaCl、LiF、KBr
CsCl结构
典型晶体：CsCl、CsBr、CsI
闪锌矿结构
在晶胞顶角和面心处的原子与体内原子分别属于 不同的元素。
许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。典型 晶体：ZnS、CdS、GaAs、-SiC
晶胞中原子所占的体积 晶 胞 体 积
fcc结构
4 R 2a
每个晶胞有 原子
8×1/8+6×1/2=4个
4 3 4 2 2 3 R 4 3 a 4 原子所占体积 3 2 3 4 致密度 0.74 3 3 晶胞体积 a a 6
a
§1.3 晶向 晶面和它们的标志
晶体性质的各向异性，表明晶体结构具有方向性。 一、晶列和晶向 晶列 ：相互平行的直线系。
1 由一个顶点向三个面心引 基矢。
a3 体积 V a1 a2 a3 4
原子个 数
hcp
a1 a2
两者之间的夹角为1200
c 1.633 a1
基元中一个原子位于原点０００，另一个原 子位于２／３，１／３，１／２， r=2/3*a1+1/3*a2+1/2*a3
堆积系数 ＝
—— 沿晶向到最近的一个格点的位矢 —— 一组整数 晶向指数 —— 对于单胞，也有类 似的晶向指数 带轴 ——一些特殊晶列
Rl 2a1 3a2
晶向指数
晶向指数
简单立方晶格的晶向标志
立方边OA的晶向 立方边共有6个不同的晶向
面对角线OB的晶向
—— 面对角线晶向 共有12个
体对角线OC的晶向
体对角线晶向共有8个 —— 由于立方晶格的 对称性，以上3组晶向 是等效的，表示为
小结:晶向指数的确定步骤:
• 1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴 x,y, z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。 • 2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。
• 3)在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3 个坐标值。 • 4)将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，[u v w]即为待定晶向的晶向指数。 • 注意等效晶向<U V W>
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
1 2 3 4 1 4 1 2 1 4 3 4
1 2
1 2
A类碳原子 共价键方向
B类碳原子 晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简 单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌 套而成。
密勒指数，有着重要的意义
通常用密勒指数来标记不同的晶面。 小结: 确定密勒指数的步骤
1）选任一格点为原点，作 a 、 b 、 c 的轴线。
2）求出晶面族中离原点最近的第一个晶面在 a 、 c b 、 轴上的截距 h' a 、 k ' b 、 l ' c 。
3）将 h' 、 k ' 、 l ' 取倒数并化为互质整数 h 、 k 、 即为密勒指数。 l ，则（h，k，l）
Wigner-Seitz原 胞（对称原胞）
维格纳 — 塞茨原胞：选取某一个格点 为中心，做出中心与最近邻各点以及次 近邻各点连线的中垂面，这些面所包围 的含中心的闭合空间。
基元中的原子数目可以是一个，也可以是多 个。基元中第j个原子的中心位置相对于一个 格点，可以表示为：
rj x j a1 y j a2 z j a3
格点必分别落在该
族的不同晶面上
设
末端上的格点分别落在离原点的距离 的晶面上 —— 整数 —— 晶面间距
—— 最靠近原点的晶面 在坐标轴上的截距
同族中其它晶面的截距是
的整数倍
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距
密勒指数（Miller index) 标记这个晶面系 —— 以单胞的基矢为参考， 所得出的晶列指数和晶面的
High Angle Annular Dark Field ( HAADF )
存在5重对称轴
§1.1一些晶格的实例
几种常见的晶体结构 1. 元素晶体
一维 二维
二维正方堆积
二维密排堆积
三维 a. 较松散的堆积
简单立方（simple cubic, sc）堆积
体心立方（body-centered cubic, bcc）
fcc的配位数为12；
密排六方（ hexagonal close-packed, hcp ）堆积 排列方式： ABABAB (六方密堆积)
典型晶体：Be、Mg、Zn、Cd、Ti
hcp的配位数为12；
c. 金刚石结构：
典型晶体：金刚石、Si、Ge
金刚石的配位数为 4；
二、基矢和原胞 基矢：初基平移矢量
a2 0 a1
晶体可以看成是由格点沿空间３个不同方向各按一定的长度周期性地平移 而构成，每一个平移距离称为周期．令a1,a2,a3的模代表空间３个方向上 最小平移距离，ai, i=1,2,3并称为基矢．
1. 格矢: R l
2. 基矢： 任一格矢
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3 ，
二、晶面和晶面指数
晶体的晶面 —— 在布拉伐格子中作一簇平行的平面，这些 相互平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗
—— 这些相互平行的平 面称为晶体的晶面
同一个格子，两组不同的晶面族
取某一原子为原点O，原胞的三个基矢
为坐标系的三个轴 ____不一定相互正交 —— 晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 —— 一族晶面必包含了 所有格点而无遗漏 —— 在三个基矢末端的
体积 V a
3
a1 ai 基矢 a2 aj a 3 ak
sc
体积 V a3
bcc 晶胞：
a ai 基矢 b aj c ak
体积 V a3
原子个 数
2
原胞：
a a1 2 ( i j k ) a 基矢 a2 ( i j k ) 2 a a3 ( i j k ) 2
sc
bcc 立方晶系的布拉伐格子
fcc
实际晶格 = 布拉伐格子 + 基元
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简 单晶格。 晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完 全等同的。 若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离 子），那么晶格为复式晶格。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同 种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石 和hcp晶格都是复式晶格。
晶胞的三个棱边矢量用 a
，b ，c 表示，
称为轴矢（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为 晶格常数。 下面对结晶学中属于立方晶系的布拉伐原 胞简立方、体心立方和面心立方的固体物理原 胞进行分析。 原胞： 晶胞：
a ai 基矢 b aj c ak
雪花结晶花样
—— 六角形白色结晶体
—— 空气中所含水汽多 少及温度高低等不同，所 形成的雪花的形状也不同
非晶体 —— 不具备长程有序特点 —— 在凝结过程中不经过结晶的阶段，非晶体中分子与 分子的结合是无规则的 Be2O3晶体与Be2O3玻璃的内部结构
多晶体 : 由两个以上的同种或异种单晶组成的 结晶物质，各单晶通过晶界结合在一起
堆积 典型晶体：Li、Na、K、-Fe
配位数：一个原子周围最近邻原子的数目。 对于体心立方（bcc）配位数 为8。
b. 密堆积： 面心立方（face-centered cubic, fcc）堆积 排列方式： ABCABC (立方密堆积)
典型晶体： Cu、Ag 、Au、Ca、Sr、Al、