大物 刚体

定轴: 转轴固定。如：吊扇，门窗等。
非定轴: 转轴随时间而变化。 3. 平面平行运动----可分解成平动和转动。
如：自行车轮. ------
三. 描述刚体定轴转动的物理量
角坐标

角位移
v
角速度 d
R
dt
角加速度 d
dt
v R an v2 R R 2
若M=0，则=0-----平衡问题
三.转动惯量 (moment of inertia) 1.定义:组成刚体的各个质元的质量与该质元 到转轴距离平方乘积的和。
J miri2
J r2dm
2.决定J的三个要素： 质量 质量分布 转轴位置
3. 转动惯量J的计算
例题1:如图,求环绕通过其环心
解：角动量守恒（对地）
L L0
L
设台的转达动惯量为J，角速度为；人的转 动惯量为J’，转动角速度为’
则
J J ' ' 0 而
2m '
M 而人相对于台的
J 1 MR 2, J ' mR 2 2
人对台 人对地 台对地பைடு நூலகம்
人对台

1 2
J12
合外力矩的功等于刚体转动动能的增量.
比较:
W

F dS

1 2
mv
2
2

1 2
mv
2 1
例：一根质量为m 长为 l 的均质细棒，可绕通过其 一端的光滑轴O在竖直平面内转动，若使其从水平 位置开始自由摆下，求细棒摆到任一位置，外力矩 作的功和棒在竖直位置的角速度大小。
解：只有重力矩作功。
垂直环面的轴的转动惯量。
m
解:
J m R2
R
例题2: 求图中圆盘的转动惯量 解: 取细圆环为质元
dJ r 2dm r 2ds r 2 2rdr
ω
dr
0r
J
R 0
r
2
2r
M
R2
dr

M
R2
2
R4 4
1 MR 2 2
例题3:杆长L，质量M，绕图中轴转动，
求转动惯量
定义：
L

r

p
r mv
圆周运动
v

r L

mvr
mr 2
2、刚体的角动量
刚体定轴转动时，其角动量就是各质点角动量
之总和（矢量和转化成代数和）
L mi viri (
对应牛顿第二定律
mirdi2()mv ) JdP
F

形
式
dt dt
转动定律可写成
Fi ri sini fi ri sini mi ri2
外力力矩 内力力矩
Fi
i
ri
i
fi
Firi sini firi sin i miri2
i
i
i
Firi sin i firi sin i miri2
i
i
i
内 力 成 对 firi sin i 0
kt
（2）： 0e J
d
dt
kt
d 0e J dt

t
kt
d 0e J dt
0
0
J0
2k
N J0 2 4k
§4-3 刚体定轴转动的动能定理 一. 力矩的功 ------力矩的空间积累作用
M Fr sin
dW F ds (F sin )ds F sin(rd ) Md
J J0 md2
例题4:求细棒绕其一端的J
解:
J0

1 12
mL2
J

J0

m(
L)2 2

1 3
mL2
O
O，
d=L/2
四.转动定律举例
例题1：如图所示，已知 m2 > m1 求m2的加速度 和绳中的张力。
解: 隔离物体、受力分析如图
M R
T1
m1g
T1
T2
T2
m2g
m1 m2
T1
T2
J
1 ml2
2l
3
因为
d d d d dt d dt d
所以 d 3g cos

d
2l
d 3g cos d
2l
两边积分

d


3g cos
d
0
0 2l
3g sin
l
例5： 一风机的转动部分以初角速度 0 绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正 比，比例系数 k， 若转动部分对其轴的转 动惯量为 J。
外力 Fi 内力 fi 与矢径 ri
夹角分别为 i 和 i 由牛顿第二定律: Fi

fi

miai
Fi
i
ri
i
fi
法向
Fi cos i fi cos i miain
力矩为零
切 向 Fi sini fi sin i miait miri
切向 Fi sini fi sini mi ait mi ri
m
解: 隔离物体、受力分析如图
N
T2
M
R
Mg
T1
mg
取顺时 m g T m a
针为正 方向

TR J
( 1 MR2 )

a

R
2
m
解得：
a
m m M
g
2
物体下落高度h时的速度为：
v 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为：
4mgh
v 2m M
0 0 2t2

M

J0 (
1 t1

1 t2
)
例4：一根长l，质量为m的均匀细直棒，其一端
有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面
内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下
摆 角时的角加速度和角速度？ 解：受力分析
棒的角加速度为：



M

1 m glcos
2

3g cos
m1 g
T2

2m1 m1 m2
1 2
M 1M 2
m2 g
M R
m1 m2
例题2： 如图所示，一质量为
M，半径为R 的定滑轮（当作
均匀圆盘）上面绕有细绳。绳 的一端固定在滑轮边上，另一
M
R
端挂一质量为 m的物体而下垂。
忽略轴处摩擦，求物体 m由静
止下落 h 高度时的速度大小和
此时滑轮的角速度大小。
R
R
例题3:电风扇在开启电源后，经 t1 时间达到了 额定转速，此时相应的角速度为 0 ，当关闭 电源后，经过 t2 时间风扇停转。已知风扇转子 的转动惯量为 J，并假设摩擦阻力矩和电机的
电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩。
解: M M f J1

M
f
J 2
0 0 1t1
at

dv dt

R
§4-2 力矩 转动定律 一 .力矩（moment of force）
1.定义：力矩=力力臂
M F d Fr sin
F

r d
M rF
2.物理意义：决定刚体转动的物理量。 表明力的大小、方向和作用点对物体
转动的影响。
二. 转动定律
刚体中任一质元mi ，受
ROTATIONAL MECHANICS OF RIGID BODIES
基本要求：
（一）熟练掌握描述刚体定轴转动的四个物理量 ------角坐标、角位移、角速度和角加速度。
（二）掌握力矩和转动惯量的概念，掌握转动惯 量的计算和平行轴定理，熟练掌握刚体定 轴转动的转动定律。
（三）理解力矩的功和转动动能的概念，熟练 掌握刚体定轴转动的动能定理、功能原 理和机械能守恒定律。
（四）掌握角动量的概念，熟练掌握角动量定 理和角动量守恒定律。
§4-1 刚体的定轴转动
一. 刚体 (rigid body)
力学抽象模型: 有一定形状和大小， 不会发生形变的物体。
二. 刚体的运动 1 .平动 ----刚体内任一条直线方向不变。
特征 ：可用刚体上任意点的运动为代表
（质点）。 2. 转动 ----刚体内各点都绕同一直线作圆周运动。
dW m g l cosd
W


mg
l
2
cosd

1
m gl sin
0
2
2
W 1 J 2 0
2
3g sin
l
（还可用机械能守恒定律）

竖直位置，=900
3g
l
§4-4 角动量 角动量守恒定律
一.角动量(angular momentum） z
1、质点的角动量
M d(J ) dL
M

dL
一般形式
dt
角动量也即动量矩
力矩
dt （比较
F
dt d）P

L

r
p
dt
M rF
二. 角动量(angular momentum)定理
F—t—动量定理
M—t—角动量定理
1. 冲量矩（角冲量）
力矩与作用时间之积称为冲量矩（角冲量）
i
Firi sini M 合 外 力 矩
ri
i

M ( miri2 )
i
Fi
i i
fi
(若力不在与轴垂直的平面内,可先投影,结果相同.)
J miri2
i
M J
转动惯量
Fi
i
ri
i
fi
M J J d
dt
----与牛顿第二定律比较
F ma m dv dt
t2 Mdt t1
和Mt 单位：N.m.s
2.角动量(angular momentum)定理
M d (J ) dL
dt
dt
t2 Mdt t1
J 2 J1
d ( J
)

J 2

J1
Mdt J22 J11
冲量矩等于角动量的增量
三. 角动量守恒定律
Mdt J22 J11
平动惯量 m 线量 r ,r,v ,a 力 F
转动惯量 J 角量 力矩 M
牛顿定律 F ma 冲 量 tt12 Fdt 动 量 mv
转动定律
M

J 冲 量矩
t2 Mdt t1
动量矩
J
动量定理 动量守恒定律
解: dJ r 2dm x2dx
O' dm
J
L
2 L
2
x2
M L
dx
L 2

1 3
M L
(
L 2
)
3
(
L 2
)3

dx L x2
0
ML2
12
4. 平行轴定理 若刚体对过其质心O的转轴的转动
惯量为J0 ，则该刚体对平行于该轴的、 与该轴相距为d 的另一转轴的转动惯量 为J ，则有：
结条论件::LM=恒0 矢量
L J const.
J11 J22
实例: 跳水，溜冰，直升飞机，定向仪等
能量、动量、角动量守恒定律普遍成立
例题:一质量为M、长为L的棒自由悬挂于O点，
一质量为m的小球以v0的速度射向棒的一端,与
棒发生完全弹性碰撞，求碰后小球的反弹速度
及棒开始转动时的角速度。
O
解: 碰撞过程 角动量守恒、机械能守恒
L1 L2 E1 E2
L mv0
v
mL2 ( v0 ) J mvL (1)

L

1 2
mv02

1 2
mv2

1 2
J2

(2)
J 1 ML2
3
O L
mv0 v
例：质量为M，半径为R的转台，可绕中 心轴转动，质量为m的人在台的边缘，人 和台原先静止，如果人沿台的边缘跑一圈， 问相对于地面人和台各转了多少角度。
求：（1）经过多少时间后其转动角速度减 少为原来的一半？（2）在此时间内共转过 多少转？
解（1）：M k M J k J J d
dt
d kdt

J
d t kdt

0
0J
kt
0e J
0

1 2
0
t J ln 2 k

'


2m M
M
'
人在台上跑一周: 人对台dt 2
人 相 对 于 地 所 绕 行 的 角度


'dt


M 2m
M人对台dt

2M
2m M
台相对于地所绕行的角度


dt



2m M
' dt


4m
2m M
一.描述质点和刚体的物理量及规律的比较
Eki

N i 1
1 2
mi
ri2
2

1
2
2
(
N i 1
mi
ri2
)

1J 2
2
Ek

1 2
J
2
转动动能
三. 定轴转动的动能定理
M J J d J d d J d
dt d dt
d
W
2 Md
1
2 1
Jd

1 2
J 2 2
F
ds
d
r

W
2
Md
---力矩的功-比较
W

F
dr
1
P M ---力矩的功率 -- P F v
二.转动动能
设转动角速度为
第i个质量元mi的速度vi= ri
其动能
1 2
mi
v2 i

1 2
mi ri 2
2
整个刚体的动能

mi ri
Ek

N i 1
m1g
T1
M
R
T2
m2g
取顺时 针为正
方向

m2 g T2 m2a
T1 m1 g m1a
(T2
T1 )R

J

(1 2
MR2 )
m1
m2
a R
解得：
a m2 m1 g

m1

m2

1 2
M
1
T1

2m2 m1 m2
2
M 1M 2