分布函数、均匀分布、指数分布函数-精品文档
讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
4 / 13
P{Z
x}
P
X
x
P{X
x}
1
e d t, x
(t )2 2 2
2 π
令 t u,得
P{Z x} 1 x eu2 /2d u (x),
2 π
由此知 Z~N(0,1).
3
2
68.26%
95.44%
99.74%
2 3
若 X~N( , 2 ), 则它的分布函数
e 2 d x 1.
2
f(x)具有的性质:
（1）.曲线关于 x= 对称. 这表明对于
任意 h>0 有
P{ -h<X }=P{ <X +h}.
（2）.当 x= 时取到最大值
f () 1 . 2 π
x 离 越远, f(x)的值越小. 这表明
对于同样长度的区间, 当区间离 越
F(x) 1
解 (1)所求概率为
6 / 13
P{X
89}
P
X
90 0.5
89 90
0.5
(2)
1 (2) 1 0.9772 0.0228.
(2) 按题意需求 d 满足
0.99
P{X
80}
P X
d
80 d
0.5 0.5
1
P
X d 0.5
80 d 0.5
1 80 d 0.5
(0.3) (0.5) 0.6179 [1 (0.5)] 0.6179 1 0.6915 0.3094.
设 X~N( , 2 ), 由 (x)的函数表
5 / 13
还能得到: P{ <X< }= (1)- (-1)
指数分布的分布函数
指数分布的分布函数指数分布是概率论和统计学中常用的概率分布之一，它常用来描述无记忆性的随机事件发生的时间间隔。
指数分布具有简单且明确的数学形式，因此在实际应用中具有广泛的意义。
指数分布的分布函数是描述该分布的一种方式，本文将对指数分布和其分布函数进行介绍。
指数分布的定义指数分布是连续概率分布的一种，其随机变量X的概率密度函数为：f(x) = λ * exp(-λx)其中，λ 是正实数，代表参数。
指数分布的随机变量X通常表示一个事件发生的时间间隔，而λ则表示该事件的平均发生率，即单位时间内发生该事件的次数。
指数分布的分布函数指数分布的分布函数是指数分布在某一点处的概率累积值，即随机变量X小于或等于某个数值x的概率。
指数分布的分布函数可以表示为：F(x) = 1 - exp(-λx)其中，exp(x) 表示e的指数函数，e 是自然对数的底数。
分布函数的性质指数分布的分布函数具有以下几个重要的性质：1. F(0) = 0当x为0时，指数分布的分布函数为0。
这是因为指数分布要求X为非负数，因此在x为0时，没有任何事件发生的时间间隔，故概率为0。
2. F(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的随着x的增大，指数分布的分布函数值F(x)也逐渐增大，但增长趋势逐渐减缓。
这是因为随着时间的推移，事件发生的间隔也变得越来越长，因此发生时间小于等于某个数值x的概率也会增大。
3. F(x) 在x → +∞ 时趋近于1当x趋近于正无穷大时，指数分布的分布函数将趋近于1。
这是因为随着时间的增加，事件发生的间隔也将会无限延长，因此事件发生的概率也会趋近于1。
4. F(x) 在 x < 0 时为0由于指数分布要求X为非负数，所以对于所有的负数x，指数分布的分布函数都为0。
在负数范围内没有事件发生的时间间隔，因此概率为0。
指数分布的应用指数分布在实际应用中有着广泛的应用，特别是在可靠性工程、排队论、生存分析和金融工程等领域。
分布函数、均匀分布、指数分布函数讲解
一、连续型随机变量的定义
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
对于连续型随机变量的 分布函数 F ( x)必是连续函数 .
0 1 10 F x 2 5 1
x3 3 x 4
4 x5
x5
2 1 3 P X 4 F 4 F 4 0 5 10 10
2 3 P X 5 F 5 F 4 1 5 5
130 , 0 x 30 即 f ( x) 其它 0,
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
例 2、 设连续型随机变量 X的概率密度为
求 A的值， 解：
A 1 3
1 3 x 3 0
f ( x)dx
0
A 3.
1 3
1 3 x Ae dx A( )e 3
3 x
0
f ( x ) dx
1 3 0
3e 3 x dx e
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。 (1) P{x1 X x2} (2) P{x1 X x2} 同理，还可以写出
P{X x1} P{X x1}
二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性： ，则
指数分布和均匀分布变换-概述说明以及解释
指数分布和均匀分布变换-概述说明以及解释1.引言1.1 概述指数分布和均匀分布是概率论中两个重要的概率分布模型。
它们在统计学研究和实际应用中具有广泛的应用和重要的意义。
指数分布是一种连续型概率分布，其概率密度函数具有以下形式：f(x) = λe^(-λx)，其中λ为正常数，表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布在描述随机事件的时间间隔、寿命和可靠性等方面具有重要作用。
在实际中，许多自然现象和实验现象可以近似地服从指数分布，例如辐射衰减、进化过程和信号传输时间等。
均匀分布是一种简单的连续型概率分布，其概率密度函数在一个区间内的取值是常数，其余区间的取值为零。
均匀分布常用于表示在某个范围内的随机变量的可能取值的概率均等的情况，例如抛掷硬币、掷骰子和随机选取物品等。
均匀分布具有平均分布的特点，无论在何处抽取样本，概率均等。
本文将对指数分布和均匀分布的基本概念和特征进行介绍和分析。
首先，将详细介绍指数分布的概念和特征，包括概率密度函数、期望值、方差等。
然后，对均匀分布的基本概念和特征进行讨论，包括概率密度函数、期望值、方差等。
接下来，将重点探讨指数分布和均匀分布之间的关系，以及它们之间的变换方法及其应用。
通过对指数分布和均匀分布的比较与分析，我们可以更好地理解和应用这两种概率分布模型。
对于统计学的学习和实际问题的研究，了解指数分布和均匀分布的特点和应用是非常重要的。
在实际应用中，我们可以根据问题的性质和要求，选择适合的分布模型进行建模和分析，从而得到更准确和可靠的结果。
这对于优化工程设计、风险评估和决策分析等方面具有重要的作用。
在接下来的章节中，我们将详细介绍指数分布和均匀分布的基本概念和特征，探讨它们之间的关系，并讨论其变换方法及其在实际应用中的应用。
通过深入研究和理解这些内容，我们将对概率分布模型有更全面和深入的了解，并能够更好地运用它们解决实际问题。
1.2 文章结构本文将围绕指数分布和均匀分布的变换展开讨论，并探讨它们在实际应用中的意义和作用。
大学概率论均匀分布·指数分布
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§2.7 均匀分布 • 指数分布
均匀分布的概率密度与分布函数
(1) 概率密度
在区间[a,b]上概率密度 f (x) C(常数)，于是
b
C d x C(b a) 1 C
P(x1 X x2)
x2 f (x) dx.
x1
f (x)
P(x1 x x2 )
x
O
x1
x2
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§2.6 连续随机变量的概率密度
[例2] 设连续随机变量 X 的概率密度
f
(x)
A 1 x2
,
x .
求： (1) 常数 A 的值；
x0
x
F(x);
x
(2) F (x) P( X x) f (x) dx.
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§2.6 连续随机变量的概率密度
[例 1] 设随机变量 X 的概率密度为：
f
(x)
1 2
cos
x,
0,
求 X 的分布函数 F (x).
1 (arctan x π) 1 1 arctan x.
π
2 2π
[柯西(Cauchy)分布]
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常用概率分布函数
– 则f(x)为X的概率密度函数（PDF）
– f(x)满足：
(1) f (x) 0
(2) f (x)dx 1
常用概率分布函数
• 连续型随机变量
– F(x)为连续型随机变量的累积分布函数（CDF）
F(x) P(X x) x f (x)dx
– 连续型随机变量X均值和方差分别为：
E(X ) xf (x)dx
常用概率分布函数
二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布 伽马分布
常用概率分布函数
• 离散型随机变量
– 若随机变量的取值为有限个或可以逐一列举的无穷多个 数值，则称此类随机变量为离散型随机变量。
– 设离散随机变量X有：P( X xi ) p( xi )
– 将P={p1,p2,…pn…}称为X的概率密度函数 （Probability Density Function，PDF）
– 泊松分布是二项分布的特殊情况（n趋近无穷大，令 np->λ），当一个固定时间间隔内有大量事件以恒定的 速率发生，且事件之间相互独立时，可以用泊松分布描 述，并称这样的随机事件为泊松流。
– 泊松分布的概率密度函数： P(x k) k e k {0,1, 2..., n}
k!
– 累积分布函数：
– x=0:0.001:5;
0.4
– n=10;
0.35
– p=0.1;
0.3
– y=binopdf(x,n,p); 0.25
– plot(x,y);
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
常用概率分布函数
• 泊松分布（ Poisson Distribution ）
均匀分布与指数分布
故障工作的时间 s 无关.
指数分布
例1 设顾客在某银行窗口等待服务的时间（分钟）X ~ E( 0.2 ). 某顾客在窗
口等待服务，若超过10分钟就离开. 他一个月要到银行5次，如果以Y 表示 一个月内他因未等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布律及 P{ Y ≥1 }.
解：任意一次未等到服务（即超过10分钟）而离开窗口的概率
t 小时的概率不 s 无关.
P X s t | X s P X s t ， X s P X s t
P X s
P X s
e xdx st
ex dx s
e (st ) es
e t
PX
t
若将 X 看做某系统接连发生两次故障的时间间隔，此性质表明，在时
段（s, s+t）上无故障的概率只不时段的长度 t 有关，而不系统过去无
p PX 10
f (x)dx
1
x
e 5 dx
e
2
10
10 5
而 Y ~ B ( 5, p ). 故Y 的分布律为
P{Y k} C5ke2k (1 e2 )5k , k 0,1, 2,3, 4,5.
所以 PY 1 1 PY 0 0.5167
休息，休息一下！
等车时间丌超过2分钟的概率 p = P{ X ≤ 2 } = 2/5. 记等车丌超过2分钟的人数为 Y ，则 Y ~ B ( 3, p ).
p=?
至少有二人等车时间丌超过2分钟的概率为 :
PY 2 PY 2+PY 3 0.352.
常用的连续型分布
2. 指数分布 X ~ E( λ )
若随机变量X的概率密度为 则称X服从指数分布.
ab
x
均匀分布的分布函数
均匀分布的分布函数一、引言在概率论与数理统计中，均匀分布是一种常见的概率分布，被广泛应用于各个领域。
均匀分布的特点是概率密度函数在一定区间内是常数，也就是说各个取值概率是相等的。
为了更好地理解均匀分布，需要了解其分布函数的概念以及计算方法。
本文将介绍均匀分布的分布函数定义、性质以及其计算方法。
二、均匀分布的定义均匀分布是一种连续概率分布，在给定区间上的所有取值的概率是相等的。
均匀分布常用符号表示为U(a, b)，其中a和b分别为区间的上下界。
均匀分布的概率密度函数（PDF）为：f(x) = 1 / (b - a)， a <= x <= b对于任意小于a或大于b的值，概率密度函数为0。
均匀分布的分布函数（CDF）是概率密度函数的积分形式，描述的是随机变量小于等于某个特定值的概率。
下面将介绍均匀分布的分布函数及其性质。
三、均匀分布的分布函数及性质1. 分布函数的定义均匀分布的分布函数（CDF）表示为F(x)，对于任意给定的x，F(x)计算的是随机变量小于等于x的概率。
具体计算方法为：F(x) = (x - a) / (b - a)， a <= x <= b当x小于a时，F(x)等于0；当x大于b时，F(x)等于1。
分布函数是一种累积分布函数，表示的是小于等于某个特定值x的概率。
分布函数在统计推断、假设检验等领域中扮演着重要的角色。
2. 分布函数的性质均匀分布的分布函数具有以下性质：（1）F(x)是单调不减的函数。
对于均匀分布，随着x的增大，F(x)逐渐增大，表示了在给定区间内随机变量小于等于某个特定值的概率增大。
（2）F(a) = 0，F(b) = 1。
这表示在取值范围的下界a处的概率是0，在取值范围的上界b处的概率是1。
（3）F(x)是一个连续的函数。
均匀分布的分布函数是连续的，在区间内的任何值都有一个对应的概率。
四、均匀分布的分布函数计算方法均匀分布的分布函数可以通过不同的方法进行计算。
均匀分布的概率密度函数和分布函数
均匀分布的概率密度函数和分布函数哎呀，今天咱们聊聊一个特别有意思的话题：均匀分布的概率密度函数和分布函数。
这可是数学里面的一个重要概念哦，虽然有点儿高深，但是咱们用大白话来说说，相信大家都能听懂。
咱们来聊聊均匀分布。
均匀分布就像是一个大家庭，里面的每个成员都长得差不多，也就是说，他们的概率值相差不大。
想象一下，这个家庭里有10个兄弟姐妹，他们每个人都有一个分数，这个分数表示他们在某个测试中的表现。
如果这个测试有很多道题目，那么每个人得分的可能性就很大。
如果这个测试只有5道题目，那么每个人得分的可能性就很小了。
均匀分布就是指在这个家庭里，每个人得分的可能性都差不多。
咱们说说概率密度函数。
概率密度函数就像是一个家庭里的一张全家福，它告诉我们每个成员的具体位置。
在均匀分布的例子里，我们可以用正态分布来表示这个全家福。
正态分布是一个非常常见的分布，它的形状像一个钟形，左右对称。
在钟形的左边，数值越小，右边数值越大；在钟形的中间，数值越稳定。
这就像一个家庭里的兄弟姐妹，有的人可能成绩很好，有的人可能成绩一般，但是中间那个兄弟姐妹的成绩是最稳定的。
现在，咱们再来看看分布函数。
分布函数就像是一个家庭里的族谱，它告诉我们每个成员的父母是谁。
在均匀分布的例子里，我们可以用指数分布来表示这个族谱。
指数分布是一个特殊的分布，它的形状像一个倒置的钟形。
指数分布在钟形的左边，数值越小，右边数值越大；在钟形的中间，数值越稳定。
这就像一个家庭里的兄弟姐妹，有的人可能父母都是科学家，有的人可能父母都是艺术家，但是中间那个兄弟姐妹的父母是最稳定的。
通过这个例子，相信大家已经对均匀分布的概率密度函数和分布函数有了一定的了解。
这只是一个简单的例子，实际上还有很多其他的分布可以表示均匀分布。
不过，只要我们掌握了这些基本概念，就能够更好地理解和应用这些知识。
均匀分布的概率密度函数和分布函数是数学里面的一个重要概念。
虽然它们有时候看起来有点儿高深，但是只要我们用大白话来说说，相信大家都能听懂。
常见的分布函数Word版
6数理统计的基本概念6.1 基本要求1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。
能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。
2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。
3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。
4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。
了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。
了解正态总体的某些常用抽样分布。
6.2 内容提要6.2.1 总体和样本1 总体和个体研究对象的某项特征指标值的全体称为总体(或母体)，组成总体的每个元素称为个体。
总体是一个随机变量，常用X，Y等来表示。
2 样本从总体中随机抽出n个个体称为容量为n的样本，其中每个个体称为样品，它们都是随机变量。
3 简单随机样本设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果这n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立且每个样品X i与总体X具有相同的分布，则称X1，X2，…，X n为总体X的简单随机样本。
4 样本的联合分布*该部分内容考研不作要求。
若总体X 具有分布函数F (x )，则样本(X 1，X 2，…，X n )的联合分布函数为∏==ni i n x F x x x F 121)(),,,(若总体X 为连续型随机变量，其概率密度函数为f (x )，则样本的联合概率密度为∏==ni in x f x x x f 121)(),,,( (6.1)若总体X 为离散型随机变量，其分布律为P {X =a i }=p i (i =1，2，…n)，则样本的联合分布为∏======ni i i n n x X P x X x X x X P 12211}{},,,{ (6.2)其中),,,(21n x x x 为),,,(21n X X X 的任一组可能的观察值。
6.2.2 样本分布1 频率分布设样本值(x 1，x 2，…，x n )中不同的数值是x 1*，x 2*，…，x l *，记相应的频数分别为n 1，n 2，…，n l ，其中x 1*< x 2*<…< x l *且n n li i =∑=1。
均匀分布课件
0,
F(x)
x
f (t) dt
x b
a a
,
1
x a, a x b,
xb
f ( x)
a
b
x
F( x)
a
b
x
d
(c,d) (a,b), P(c X d)
1
dx dc
c ba ba
即 X 落在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间的
概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正
无线电元件的寿命 动物的寿命
指数分布 常作为各种“寿命”
分布的近似
(3) 正态分布
若X 的 d.f. 为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
, 为常数， 0
x
亦称高斯 (Gauss)分布
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布
记作 X ~ N ( , 2 )
N (-3 , 1.2 )
求 P ( X < 0 ).
解一
P( X
0)
0
2
1
2
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2 0.8
P(X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图
P(X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.
若 1< 2
均匀分布、指数分布、正态分布以及标准正态分布的概率密度
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指数的分布函数
指数的分布函数指数分布是一种常见的概率分布，通常用于描述随机事件发生的时间间隔或持续时间。
它具有许多应用，在信号处理、可靠性工程、生物学、经济学等领域得到广泛应用。
本文将从定义、特征、概率密度函数、分布函数以及实际应用等方面对指数分布进行详细解释。
首先，我们来给出指数分布的定义。
对于一个随机变量X，如果它的概率密度函数（Probability Density Function，PDF）满足以下形式：f(x) = λ* e^(-λx) (x > 0)其中，λ是一个正常数，表示随机事件的平均发生率。
这样的随机变量X就称为服从指数分布，记作X ~ Exp(λ)。
接下来，我们来解释指数分布的几个特征。
首先，指数分布是一个连续型分布，其取值范围为非负实数。
其次，指数分布的期望值和方差分别为1/λ和1/λ^2，这意味着随机事件的平均发生时间为1/λ，而随机事件发生时间的方差则与平均发生时间的平方成反比。
最后，指数分布是没有记忆的，即前一次事件发生与下一次事件发生之间的时间间隔是独立同分布的。
对于指数分布而言，概率密度函数（Probability Density Function，PDF）是描述随机变量X取某个值的概率密度的函数。
而分布函数（CumulativeDistribution Function，CDF）是描述随机变量X小于等于某个值的概率。
指数分布的概率密度函数为f(x) = λ* e^(-λx)，我们可以对其进行积分得到其分布函数的表达式。
对于x < 0，其分布函数F(x) = 0；对于x ≥0，其分布函数F(x) = 1 - e^(-λx)。
我们可以看出，随着x的增大，分布函数逐渐接近1，即随机事件发生时间长的概率逐渐增大。
指数分布具有一个重要的性质，即无记忆性。
这意味着在已经等待了一定时间后，随机事件发生在未来一段时间内的概率与已经等待时间的长度无关。
这个性质在许多实际问题中具有重要意义。
均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布
⎧ 1 ⎪ f ( x ) = ⎨800 e 800 , x > 0 ;⎩P ( A ) = P ( A ) = P ( A ) = P ( X > 1000) = ⎰+∞1000 800 P ( X > 1000) = ⎰+∞ P ( X ≥ s + t X ≥ s ) = P ( A B ) = P ( AB )1) 7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过 3 分钟的概率．解：设随机变量 X 表示“乘客的候车时间”，则 X 服从 [0 , 5] 上的均匀分布，其密度函数为⎧1 5, x ∈ [0 , 5]f ( x ) = ⎨⎩0, x ∉ [0 , 5]于是有 P (0 ≤ X ≤ 3) = ⎰ 33 f ( x )dx = = 0.6.5二、已知某种电子元件的使用寿命 X (单位:h)服从指数分布，概率密度为x- ⎪0 , x ≤ 0.任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用 1000h 以上的概率．解：设 A 表示“至少有１个电子元件能使用 1000h 以上”； A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能 123使用 1000h 以上”．则1 2 3 1 x x 5 e -800 dx = - e -800 +∞ = e -4 ≈ 0.2871000P ( A ) = P ( A ⋃ A ⋃ A ) = P ( A ) + P ( A ) + P ( A ) - P ( A A ) - P ( A A ) - P ( A A ) + P ( A A A )1231231 2231 31 23= 3 ⨯ 0.287 - 3 ⨯ 0.287 2 + 0.287 3 ≈ 0.638（另解）设 A 表示“至少有１个电子元件能使用 1000h 以上”．则1 1000 800x x 5 e -800 dx = - e -800 +∞ = e - 4 ≈ 0.2871000从而有 P ( X ≤ 1000) = 1 - P ( X > 1000) = 1 - e- 5 4≈ 0.713 ，进一步有P ( A ) = 1 - [P ( X ≤ 1000)]3 ≈ 1 - 0.7133 ≈ 0.638三、(1) 设随机变量 X 服从指数分布 e (λ ) ．证明：对于任意非负实数 s 及 t ，有P ( X ≥ s + t X ≥ s ) = P ( X ≥ t ).这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数 X 服从指数分布 e (0 ． ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为 X ~ e (λ ) ，所以 ∀x ∈ R ，有 F ( x ) = 1 - e -λx ，其中 F ( x ) 为 X 的分布函数．设 A = X ≥ s + t ， B = X ≥ t ．因为 s 及 t 都是非负实数，所以 A ⊂ B ，从而 AB = A ．根据条件 概率公式，我们有P ( A ) P ( X ≥ s + t ) 1 - P ( X < s + t )= = =P ( B ) P ( B ) P ( X ≥ s ) 1 - P ( X < s )1 - [1 - e -λ ( s +t ) ] = = e -λt ．1 - [1 - e -λs ]另一方面，我们有1 / 32p0.216ppf ( x ) = ⎨π ( x 2 + 1) ⎩ P ( X ≥ t ) = 1 - P ( X < t ) = 1 - P ( X ≤ t ) = 1 - F (t ) = 1 - (1 - e -λt ) = e -λt ．综上所述，故有P ( X ≥ s + t X ≥ s ) = P ( X ≥ t ) ．（２）由题设，知 X 的概率密度为⎧0.1e -0.1x ， x > 0 ；f ( x ) = ⎨⎩0 ，x ≤ 0 ． 设某人购买的这台旧电视机已经使用了 s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5 年以上的概率为P ( X ≥ s + 5 X ≥ s ) = P ( X ≥ 5) = ⎰ +∞f ( x )dx = 0.1⎰ +∞ e -0.1x d x = -e -0.1x55+∞ 5= e -0.5 ≈ 0.6065 ．答：该电视机还能使用 5 年以上的概率约为 0.6065 ．四、设随机变量 X 服从二项分布 B (3, 0.4) ，求下列随机变量函数的概率分布：（1） Y = 1 - 2 X ；（2） Y = X (3 - X)12解： X 的分布律为．Xp0.216（1） Y = 1 - 2 X 的分布律为11 2 30.432 0.288 0.064Y11 - 10.432 - 3 0.288 - 5 0.064（2） Y =2X (3 - X )2Y2的分布律为0 1 1 00.216 0.432 0.288 0.064即Y2五、设随机变量 X 的概率密度为0 10.28 0.72⎪⎪0 ,⎧ 2, x > 0;x ≤ 0.求随机变量函数 Y = ln X 的概率密度．解：因为 F ( y ) = P (Y < y ) = P (ln X < y ) = P ( X < e y ) = F (e y )Y X所以随机变量函数Y = ln X 的概率密度为2/3π (e 2 y + 1)π (e 2 y + 1)2e yf ( y ) = F ' ( y ) = F ' (e y )e y = f (e y )e y = (-∞ < y < +∞) ，即Y Y X2e yf ( y ) = (-∞ < y < +∞) ．Y3 / 3。
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X pk
3
0 .1
4
0 .3
5
0 .6
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解：F x P { X x } 当 x 时 0,
F x 0 ;
1, 当 x 时
F A B 0 1 1 2 A B 2 A F B 1 2
1 1 所以 F r c t a n x x a 2
例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x )
X
pk
0 1 3
1
2
1 2
1 6
F ( x ) P { X x } 解:
F x 1
当0 时 , x 1
F ( x ) P { X x } P { 0 X x } kx
特别,令 x 1, P k 1 { 0 X 1 } k 1 1
, x0 0 F (x ) ＝ P { X x } ＝ , 0x1 x 1 x1 ,
F ( x ) F ( x ) P { X x } 2 1 1
同理，还可以写出 P P { x X x } { x X x }, 1 2 1 2
二、分布函数的性质
，则 F ⑴ 单调不减性： ( x ) F ( x ) 若 x 1 2 1 < x2
F ( x ) 1，且 F ( ) l i m F () x 0 , ⑵ 0
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x } p , k 1 , 2 , 3 , k k
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为 P {X xk } F x P { Xx } p k
x x k
xk x
0 , x 0 1 / 3 , 0 x 1 F(x) 1 /2 , 1 x 2 1 , x 2
0 , x 0 1 / 3 , 0 x 1 所以，F(x) 1 /2 , 1 x 2 1 , x 2 1 1 1 eg: P {X } F ( ) 2 3 2 1 3 3 1 1 1 1 P { X }F ( ) F ( ) 2 2 2 2 2 3 6 2 F ( 3 ) F ( 1 ) P { X 1 } P { 1 X 3 } 3
1
2
离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；
P { X x } F ( x )( F x 0 ) k k k
例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为
F x
0 1 1 0 2 5 1
x 3
3 x 4 4 x 5
x 5
求 X 的分布律。 解 X 的可能取值为 3，4，5。
F ( x)
1
x
F(x)
x
f ( t ) dt
0
1
1 ,0t 1 其 中 f (t) ,其 它 0
第五、六节 连续型随机变量及其分布
一、连续型随机变量的定义 二、常用的连续型随机变量
第二章
一、连续型随机变量的定义
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f ，使对任意实数 x 有 x x ,
F (x ) f ( t) dt ,
x
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x ) 为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
对于连续型随机变量的 分布函数 F ( x ) 必是连续 .
f( x ) 可积 F ( x ) 连续2.⑵Fra bibliotek概率密度的性质
⑴ 非负性
f (x) 0
1 P F30 X3 F3 1 0
F x
0 1 1 0 2 5 1
x 3
3 x 4
4 x 5
x 5
2 1 3 4 F 4 0 P X4 F 51 01 0
2 3 P X 5 F 1 5 F 4 5 5
( x ) 0 Xx } F 当 x 0时, {
1 1时, F ( x ) P { X x } 当 0x P { X0 } 3 x2 当1 时, 1 1 1 { X 0 } P { X 1 } F(x) P 2 3 6 当 x2时 P { X 1 } P { X 2 } 1 { X 0 } F(x) P
, x] 上的概率. 表示 X 落在 (
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。 (1) P { x X x } P { X x } P { X x } 1 2 2 1
F ( x ) F ( x ) 2 1
(2) P { x X x } P { X x } P { x X x } 1 2 1 1 2
x
F ( ) l i m F () x 1 ;
x
⑶ 右连续性：F ( x 0 ) l i m F ( t ) F ( x ) .
t x
上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数 的充要条件。
例1 已知 F x A arctan x B ，求 A、 B。 解
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
第02章
二、分布函数的性质
三、离散型分布函数的求法
一、分布函数的概念
定义1 设 X 是一个随机变量，x是任意实数，则称函数
x ) F ( x ) P { X x } (
为X 的分布函数。
x 分布函数 Fx 的函数值的含义：