分布函数、均匀分布、指数分布函数讲解

一、连续型随机变量的定义
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
对于连续型随机变量的 分布函数 F ( x)必是连续函数 .
0 1 10 F x 2 5 1
x3 3 x 4
4 x5
x5
2 1 3 P X 4 F 4 F 4 0 5 10 10
2 3 P X 5 F 5 F 4 1 5 5
130 , 0 x 30 即 f ( x) 其它 0,
为使候车时间 X 少于 5 分钟，乘客必须在7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站
P{10 X 15} P{25 X 30} 15 1 30 1 1 dx dx 10 30 25 30 3
例 2、 设连续型随机变量 X的概率密度为
求 A的值， 解：
A 1 3
1 3 x 3 0



f ( x)dx


0
A 3.
1 3
1 3 x Ae dx A( )e 3
3 x
0
f ( x ) dx

1 3 0
3e 3 x dx e
∴可以使用分布函数值描述随机变量落在区间里的概率。 (1) P{x1 X x2} (2) P{x1 X x2} 同理，还可以写出
P{X x1} P{X x1}
二、分布函数的性质
⑴ 单调不减性： ，则
⑵ 0 F ( x) 1 ，且
⑶ 右连续性： 上述三条性质，也可以理解为判别函数是否是分布函数 的充要条件。
解: F ( x) P{ X x} 当 x 0 时, { X x}
X
pk
0 1 3
1 1 6
2 1 2
F ( x) 0
1 当 0 x 1 时, F ( x) P{ X x} P{ X 0} 3 当 1 x 2时, 1 1 1 F ( x) P{ X 0} P{ X 1} 3 6 2 当x 2时 F ( x) P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} 1
1 e 1.
例 3、 及概率密度函数 f (x)。 解：
求常数 a,b,
例 4、 解：
，求A , B 及 f (x)。
注： F ( x) f ( x)的方法.
二、常用的连续型随机变量
1、均匀分布 定义、 若 连续型随机变量 X 的概率密度为：
1 , a xb f ( x) b a 其它 0,
所以 X 的分布律为
例4、 向[0,1]区间随机抛一质点，以 X表示质点坐标. 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间 长度成正比，求 X的分布函数. 解： 当 当 当 时, 时, 时,
特别,令
第五、六节 连续型随机变量及其分布
一、连续型随机变量的定义 二、常用的连续型随机变量
第二章
例1 已知 F x A arctan x B ，求 A、 B。 解
F

2
A B 0
A
F

2
1
A B 1

1 B 2
1 所以 F x arctan x 2
1
例2. 已知随机变量X 的分布律为 求分布函数 F ( x)
所以，
一般地，设离散型随机变量 X 的分布律为
P{ X xk } pk , k 1, 2, 3,
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为 F x P{ X x} pk P{ X xk }
xk x

xk x
1
2
离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；
例2、 设随机变量X 服从[1，6]上的均匀分布，求一元 二次方程 t 2 + X t + 1 = 0 有实根的概率。 解 因为当 X 2 4 0 时，方程有实根，故所求 概率为 P{ X 2 4 0} P{( X 2) ( X 2)}
P{ X 2} P{ X 2}, 1 4 , 1 x 6 5 利用 f ( x) 5 0,其它 61 4 从而 P{ X 2} f ( x)dx dx . 2 25 5 同理P{X 2} 0.
则称 X 服从 [a, b]上的均匀分布，
记作： X ～ U [a, b]
分布函数为: F ( x)

x

0, xa f (t )dt , b a 1,
x a，
a x b， x b.
均匀分布的概率背景
因为 P{c X c l}
x0 x 0,
例4 .电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2
年的概率为多少？ 解 由已知得 X 的概率密度为
3e 3 x f ( x) 0
3 x 2
x0 x 0,
6
分钟，则他离开。假设他一个月内要来银行5次， 以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y 的分布律及至少有一次没有等到服务的概率 解 Y是离散型， Y ~ b(5, p) ，其中 p = P{ X > 10} 现在 X 的概率密度为
1/ 5e x / 5 f ( x) 0
求 F(x).
当x 1时, F ( x) 0 当 1 x 1时, x 2 1 2 1 t dt F ( x) 0 dt 1 x 1 1 2 1 x arcsin x 2 当 x 1, F ( x) 1

x

f (t )dt

c l
c
f ( x)dx

c
c
1 l dx ba ba
由此可得，如果随机变量 X 服从区间[a, b]上的均匀 分布，则随机变量 X 在区间[a, b]上的任一子区间上取
值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的
位置无关。
例1.某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车， 即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻，如果乘客到达此站时 间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时 间少于5 分钟的概率. 解： 依题意， X ～ U (0 ,30)
P{ X xk } F ( xk ) F ( xk 0)
例3 已知离散型随机变量 X 的分布函数为
0 1 10 F x 2 5 1
求 X 的分布律。
x3 3 x 4 4 x5 x5
解 X 的可能取值为 3，4，5。
1 P X 3 F 3 F 3 0 10
f (x)
1
0
a
b
x
4、密度函数f (x)的意义：
反映了随机变量 X在点x 处的密集程度。 在等长度的区间上，f的值越大，说明X在该区间内 落点的可能性越大。
f (x)
1
0
a
b
x
例1. 设 X 的密度函数为 f (x)
解： F ( x) P X x
2 1 x2 , 1 x 1 f ( x) 0, 其它
(1) P{ X 2} 3e dx e
2
PX 3.5 X 1.5
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}


3.5
3e dx
3e dx
3 x
3 x
1.5
=e
- 6
由⑴、⑵结果得：指数分布具有无记忆性，即
P X s t X s P X t (t 0)
f ( x)可积 F ( x)连续
2.
概率密度的性质
⑴ 非负性 ⑵
f ( x) 0




f ( x)dx＝1
由于
F ()

f ( x)dx＝1
f ( x) F ( x)
(3) f (x)在点x 处连续，则
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念
第02章
二、分布函数的性质
三、离散型分布函数的求法
一、分布函数的概念
定义1 设 X 是一个随机变量， x 是任意实数，则称函数
( x )
为X 的分布函数。
x 分布函数 F x 的函数值的含义：
表示 X 落在 (, x] 上的概率.
2、 指数分布
定义：若随机变量X 的概率密度为：
e x f x 0 x0 x0
其中 ( 0) 为常数，则称随机变量X服从参数为 的
指数分布的分布函数为 指数分布。
0 F x x 1 e
x0 x0
例3 假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟) X 服从参数为 的指数分布。若等待时间超过10